Теория нечётких множеств

ТТееоорриияя ннееччёёттккиихх ммнноожжеессттвв

ДДььяяккоонноовв АА..ГГ..

ММооссккооввссккиийй ггооссууддааррссттввеенннныыйй ууннииввееррссииттеетт

ииммееннии ММ..ВВ.. ЛЛооммооннооссоовваа ((ММоосскквваа,, РРооссссиияя))

Теория нечётких множеств 2 слайд из 51 Дьяконов А.Г. (Москва, МГУ)

Алгоритмы, модели, алгебры 3 декабря 2015 года

Обычное множество

ХХааррааккттееррииссттииччеессккааяя ффууннккцциияя ооббыыччннооггоо ччёёттккооггоо ммнноожжеессттвваа

.,0,,1

)(AxAx

xhA

ГГддее ооппррееддееллееннаа??

((ууннииввееррссааллььннооее ммнноожжеессттввоо))

АА еессллии ббууддеетт ппррииннииммааттьь ззннааччеенниияя иизз ]1,0[ ??



Зачем нужны нечёткие множества?

ИИссттоорриияя ссоо ссввииддееттеелляяммии......

ППоонняяттииее ««ппоожжииллоойй»»

ВВыыххоодд –– ннееччёёттккооее ммнноожжеессттввоо



Можно пересекать «разные» понятия

ККаакк??

ППооччееммуу ээттоо ннее ввеерроояяттннооссттьь??



Нечёткий поиск

NNiissssaann XX--TTrraaiill IIII 22..55 CCVVTT 116699 лл..сс.. 665500 000000 РР 115555 000000 ккмм

NNiissssaann MMuurraannoo IIII ((ZZ5511)) 33..55 CCVVTT 224499 лл..сс.. 11 115500 000000 РР 2288 000000 ккмм

NNiissssaann QQaasshhqqaaii II 22..00 CCVVTT 114411 лл..сс.. 778800 000000 РР 8844 000000 ккмм

Запрос ««NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT ((8888 лл..сс..)) ббееннззиинн,, ппеерреедднниийй,, 8800 000000 РР,,

22001100,, 3399 000000 ккмм,, ББееллыыйй ХХээттччббеекк 55 ддвв.. ММоосскквваа»»

Результат: ннеетт

ННоо вв ббааззее еессттьь

NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT 8888 лл..сс.. 8855 000000 РР 3355 000000 ккмм

NNiissssaann MMiiccrraa IIIIII 11..44 AATT 8888 лл..сс.. 8800 000000 РР 4400 000000 ккмм





Определение

Пусть задано множество U (базовое множество)

и функция ]1,0[: UA (степень принадлежности),

тогда нечётким (размытым) подмножеством A называется график

}|))(,{( Uuuu A

Множество (L-R)-типа

Нечётких подмножеств множества больше, чем чётких!



Трапецеидальное нечёткое множество

Треугольное нечёткое множество



Основные понятия



Операции

равенство BABA

включение BABA

дополнение BABA 1

пересечение ],min[ BABA

объединение ],max[ BABA

алгебраическое произведение BABA

алгебраическая сумма BABABA

пустое и универсальное

множества

0 , 1U



При замене функции принадлежности на характеристическую –

аналогичные операции в теории множеств

Пересечение

Объединение



Алгебра – множество с введёнными на нём операциями

,,);(U

ABBA

ABBA

)()( CBACBA

)()( CBACBA

AAA

AAA

AA )(

Как называются свойства операций?



,,);(U

ABBA коммутативность

ABBA коммутативность

)()( CBACBA ассоциативность

)()( CBACBA ассоциативность

AAA идемпотентность

AAA идемпотентность

AA )( инволюция



Задача 1

Какие из равенств всегда выполняются?

)()()( CABACBA

BABA )(

A

AA

AUA

UUA

UAA )(

)( AA

Решения задач – в конце слайдов

Но практически всё выполнено!



Для ,,);(U всё почти аналогично!

Проверить!

Нет только дистрибутивности и идемпотентности

)()()( CABACBA

Таким образом, пересечения и объединения можно вводить по-

разному... но способов ещё больше!



Пересечение можно вводить по разному!

Т-нормы

],min[ BABA (1)

BABA (2)

]1,0max[ BABA (3)

]))1()1((,1min[1 /1 pp

B

p

ABA (4)

]]1[],1[max[ BAABBA II (5)



Аксиоматическое определение Т-нормы

(треугольной нормы)

]1,0[]1,0[]1,0[:

0)0,0(

AAA ),1()1,(

),(),( ABBA

)),,(()),(,( CBACBA

),(),(),(),( DCBADCBA

В чётком случае– обычное пересечение

Как ввести объединения?



Как ввести объединения

Можно по правилам де Моргана

],max[]1,1min[1],min[ BABABA

BABABABA )1()1(1



Объединение тоже можно вводить по разному!

Т-конормы

],max[ BABA (1)

BABABA (2)

],1min[ BABA (3)

]))()((,1min[ /1 pp

B

p

ABA (4)

.0,0,1

,0,

,0,

BA

AB

BA

BA

(5)

Аналогично – есть аксиоматический подход...

Поэтому это не теория вероятностей – больше алгебры и эвристик



Задача 2

Кстати,

1],))()((,1min[ /1 ppp

B

p

ABA

Чему равен

]))()[((lim /1 pp

B

p

Ap

?

Докажите.



Задача (решение сразу)

Как определить выпуклое нечёткое множество?

Как определить декартово произведение нечётких множеств?



Задача (решение сразу)

Как определить выпуклое нечёткое множество?

)](),(min[))1((]1,0[, yxyxRyx AAA

тогда и только тогда, когда все уровни выпуклые!

Как определить декартово произведение нечётких множеств?

)](),(min[),( yxyx BABA



Декомпозиция нечётких множеств

-уровень множества A –

})(|{ uUuA A

Декомпозиция: 10

),(

AA

Пример декомпозиции:

)}5.0,4(),1.0,3(),4.0,2(),1.0,1{(

max

}4{5.0},4,2{4.0},4,3,2,1{1.0



Расстояния между нечёткими множествами, nU ||

Расстояние Хэмминга –

Uu

BA uu |)()(|

Расстояние Евклида –

Uu

BA uu 2|)()(|

Что для бесконечных множеств?



Оценка нечёткости

Есть энтропийный подход...

Uu

AA

C

u

C

u

U

)(ln

)(

||ln

1 ,

Uu

A uC )(

В чём недостаток?



Оценка нечёткости

Есть энтропийный подход...

Uu

AA

C

u

C

u

U

)(ln

)(

||ln

1 ,

Uu

A uC )(

В чём недостаток?

минимальна у одноэлементных множеств

(неважно, чётких или нечётких)

Почему «более нечёткое»?



Метрический подход

1. Расстояние до «ближайшего» чёткого множества

))(round()( uu AA

за меру нечёткости можно взять

)),(( AAf

2. Расстояние до самого нечёткого множества 5.0I



Аксиоматический подход

0)( A для чёткого множества A,

1)( 5.0 I для самого нечёткого множества,

)()( AA ,

)()( BA при )5.0)()(()5.0)()(( uuuu BABA

(заострение множества)

)()()()( BABABA (иногда)



Задача 3

),(21)( 5.0хэм IAA

удовлетворяет аксиомам



Нечёткое бинарное отношение –

нечёткое множество на 21 UU

t -я проекция бинарного отношения R –

),(max)( 21

)(

3

uuu Ru

t

t

Rt

Носитель отношения R –

}0),(|),{()( 212121 uuUUuuRS R

Дополнение, пересечение, объединение, алгебраическое

произведение отношений, алгебраическая сумма отношений...

ясно как

Отношение L содержит R , если

),(),(),( 21212121 uuuuUUuu LR



Декомпозиция отношений

000010

5.0,100010

4.0,110011

1.0max4.01.00

05.01.0

max-min-композиция отношений

YXR ~

ZYL ~

ZXLR ~

)]],(),,([min[max),( zyyxzx LRy

LR

для композиции надо выполнить своеобразное умножение матриц

2.02.03.02.0

3.0002.05.01

2.011.05.02.00

в композиции

можно использовать max-произведение

и max-среднее арифметическое



Задача 4

Какие равенств всегда выполняются?

)()( MLRMLR

)()()( MRLRMLR

)()()( MRLRMLR

)()( MRLRML



Отношение R в UU

рефлексивное, если 1),( uuUu R

симметричное, если ),(),(),( 122121 uuuuUUuu RR

транзитивное, если )],(),,([max),(),,( 3 zyyxzxUzyx RRy

R

можно «красивее»: RRR

Подобие = рефлексивное + симметричное + транзитивное

~ декомпозируется на чёткие эквивалентности

Как это использовать в машинном обучении?

Примеры...



Если RRRk , то

транзитивное замыкание R – 32 RRR

оно транзитивное Почему? (задача 5)

Композиция транзитивных отношений не всегда транзитивна

На экзамене – пример.



Нечёткий предпорядок – нечёткое бинарное транзитивное и

рефлексивное отношение.

Для предпорядка 32 RRR Доказать (задача 5)

Отношение R антисимметричное, если

0),(),(

),(),(}|),{(\),( 2

xyyx

xyyxUuuuUyx

RR

RR

Порядок – антисимметричный предпорядок



Образ нечёткого множества при отображении

YXf :

)(sup)()(1

xy Ayfx

B

Принцип обобщения (внимание!)

– основан на этой формуле

Пусть, например, нечёткие множества – нечёткие числа, тогда

)](),(min[sup)( yxy BAyxz

BA

аналогично другие операции над нечёткими числами

~ уравнения с нечёткими числами



Немного о нечётком выводе и т.п.

Модификатор «очень» – возведение в квадрат

2)]([)()( uuu RRR

(здесь всё эвристично)

Пример эвристического вывода

«Если товар дорогой, то надёжный»

«Товар очень дорогой» «Товар очень надёжный»



Немного о нечётком выводе и т.п.

Обобщение импликации

)]()(1,1min[),( vuvu BABA



Проблемы формализации

Если появляется дополнительное понятие,

то модифицируются уже имеющиеся!



Проблемы формализации

Трудно перевести понятие в модель

Ещё сложнее: «совсем молодой»



Есть понятие ПОСП

(полное ортогональное семантического пространство)

~ набор функций }{ j

1. Нормальность }1)(|{1 uUuU jj – отрезок

2. j неубывает слева от 1

jU и невозрастает справа

3. Не более двух точек разрыва первого рода

4. Полнота UujUu j }0)(:|{

5. Ортогональность 1)( j

j uUu



Степень нечёткости ПОСП

часто используют

U

kt duuufU

))()((||

1

Uu )()()( uuu ikt при },{ kti

1)0( f , 0)1( f , f убывает.

А каким свойствам должна удовлетворять

«степень нечёткости ПОСП»? Зачем она нужна?



Зачем нужна степень нечёткости ПОСП

Это трудность описания ситуаций в заданных терминах...

Совсем легко описать Тяжело описать



Нечёткие задачи...

Какое из множеств более нечёткое:

)}9.0,3(),6.0,2(),3.0,1{( , )}75.0,2(),25.0,1{( ?

Дано нечёткое число «один»:

],2,0[,0],2,1[,2

],1,0[,

)(uuu

uu

uодин

чему равно число «два»= «один»+ «один»?

Чему равно число «два»= 2*«один»?

В каком случае «ноль»+ «один» = «один»?



Решение задачи 1

Какие из равенств всегда выполняются?

,,);(U ,,);(U

)()()( CABACBA

Неверно!

BABA )(

A

AA

AUA

UUA

UAA )( Неверно! Неверно!

)( AA Неверно! Неверно!

Как решать: непосредственная проверка

)],min(),,max[min()],max(,min[ cabacba




Часто проще проверить используя правила де Моргана

,,);(U

)()()( CABACBA

)()()( CABACBA

)1)(1()(1 acabbccba

bcaacababcacab 211

bcaabc 2

Дистрибутивность справедлива лишь при

0001

cbaa




Чему равен

]))()[((lim /1 pp

B

p

Ap

?

],max[]))()[((lim /1

BA

pp

B

p

Ap

Пусть BA , A

pp

A

B

pA

pp

B

p

Ap

/1

/1 1lim]))()[((lim .

0)1ln(

1lnlim/1

p

xx

ppp

p, 10 x




),(21)( 5.0хэм IAA удовлетворяет аксиомам

Например, )()()()( BABABA

Проверяем |5.0||5.0||),min(5.0||),max(5.0| bababa




Какие равенств всегда выполняются?

)()( MLRMLR Непросто

)()()( MRLRMLR

)()()( MRLRMLR Неверно!

)()( MRLRML

Как рассмотреть (2) и (3):

,)),(min(max)),,(min(maxmax))),max(,(min(max ttt

ttt

tttt

mrlrmlr




Транзитивное замыкание 32 RRRL транзитивно.

LRRRRRRL 32222 )()(


Для предпорядка 32 RRR

)]],(),,([min[max),(2 zyyxzx RRyR

),()],(,),(min[)]],(),,([min[),(

1

2 zxzxxxzyyxzx RRRxyRRR

С другой стороны, по транзитивности ),(),(2

2 zxzxRR RR

поэтому ),(),(2 zxzx RR и RR 2

«Домножая на R» получаем и другие равенства.



Литература

Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения

нечеткости. Москва, Диалог-МГУ, 1998, 116 с.

http://www.intsys.msu.ru/staff/ryzhov/FuzzySetsTheory&Applications.pdf

Основные понятия теории нечетких множеств, нейронных сетей и

генетических алгоритмов // Вспомогательные материалы к курсу

проф. Рыжова А.П.

http://www.mba-topman.ru/files/Osnovnye_ponyatiya1064.pdf

Ухоботов В. И.Избранные главы теории нечетких множеств // Учеб.

пособие. Челябинск : Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2011. – 245 с.

http://www.lib.csu.ru/texts/UhobotovVI.pdf

Education

Теория нечётких множеств