ـتاذاألس أعداد

طبعة جديدة

ومنقحة

للعام الدراسي

2017

لجميع أمثلة وتمارين الفصل الرابعمفصل شرح .

رابع للفصل الحلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية.

أسئلة أضافية محلولة.

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

272

التكامل/رابعالفصل ال

الدالة الممابلة – النظرة األساسة للتكامــــــــــل

: بحث- ,مستمرة على الفترة F فأنه توجد دالة - ,ى الفترة دالة مستمرة عل أذا كانت

( ) ( ) ( )

∫وكون ( )

( ) - ,على الفترة fالدالة الممابلة للدالة حث تسمى ( )

( ) بحث -𝟓 𝟏,دالة مستمرة على الفترة ( ) أذا كانت /(1)مثال ∫فجد لمة f دالة ممابلة للدالة 𝟐 𝟑 ( ) 𝟓

𝟏

/الحل

∫ 𝟓

𝟏

( ) (𝟓) (𝟏) 𝟑(𝟐𝟓) 𝟑(𝟏) 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐

ومكن أن نكتب ذلن بالصورة األتة :

∫ 𝟓

𝟏

( ) , ( )𝟓-𝟏 ,𝟑 𝟐

𝟓-𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐

0𝟎دالة مستمرة على الفترة fأذا كانت /(2)مثال

𝟐 ه : fو أن الدالة الممابلة للدالة 1

0𝟎

𝟐1 , ( )

∫جد لمة أوف ( )

𝟐𝟎

/الحل

∫

𝟐

𝟎

( ) , ( )- .

𝟐/ (𝟎) .

𝟐/ (𝟎) 𝟏 𝟎 𝟎

( ) أثبت أن الدالة /(3)ثال م 𝟑 𝟐 , ,𝟏 𝟑- ( ) ه دالة ممابلة للدالة 𝟑 𝟐

( ) ∵ /الحل 𝟑 ) ألنها كثرة حدود ( ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق على 𝟐

∴ F (𝟑 𝟏)على و لابلة لألشتماق -𝟑 𝟏,على ه دالة مستمرة

( ) 𝟑 𝟐 ( ) (𝟏 𝟑)

∴ F 𝟑 𝟏,على ه دالة ممابلة للدالة-

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

273

( ) أثبت أن الدالة /(4)ثال م 𝟏

𝟐 ه دالة ممابلة للدالة , 𝟐

( ) 𝟐 ,

∫ ثم جد لمة 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

∵ ( ) ه دالة مستمرة و لابلة لألشتماق 𝟐

( ) 𝟏

𝟐 ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أضا 𝟐

( ) 𝟏

𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟐 ( )

ه دالة مقابلة للدالة ∴

∫ ( )

( ) ( )

∫ 𝟐

𝟒

𝟎

[𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟎

𝟒 [

𝟏

𝟐 𝟐 .

𝟒/] [

𝟏

𝟐 𝟐(𝟎)] [

𝟏

𝟐 .

𝟐/] [

𝟏

𝟐 𝟎]

𝟏

𝟐(𝟏)

𝟏

𝟐(𝟎)

𝟏

𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

274

Fوالدالة الممابلة لها fالجدول أدناه وضح العاللة بن

الدالة ( ) الدالة الممابلة لها ( )

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

, ( )- 𝟏

𝟏

, ( )- ( ) 𝟏

𝟏

( )

( )

𝟏

( )

( )

𝟏

( )

𝟐( )

𝟏

( )

𝟐( )

𝟏

𝟏

∫ ( ) ( ) من الجدول نستنتج

عدد ثابت حمم Cحث أن F+Cكما ف الجدول أعاله ه مجموعة الدوال الممابلة ألة دالة

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

275

∫أوجد /(5)ثال م 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

∫ 𝟐

𝟒

𝟎

, -𝟎

𝟒

𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏

∫أوجد /(6)ثال م 𝟐

𝟐

𝟒

/الحل

∫ 𝟐

𝟐

𝟒

, - 𝟒

𝟐 0

𝟐

𝟒1 ,𝟎 𝟏- 𝟏

∫أوجد /(7)ثال م

𝟑𝟎

/الحل

∫

𝟑

𝟎

, -𝟎

𝟑

𝟑 𝟎

𝟏

𝟑

𝟏

𝟎

𝟏

.𝟏𝟐/ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏

∫أوجد /(8)ثال م 𝟑𝟑

𝟏

/الحل

∫ 𝟑𝟑

𝟏

* 𝟒

𝟒+𝟏

𝟑

[𝟖𝟏

𝟒 𝟏

𝟒]

𝟖𝟎

𝟒 𝟐𝟎

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

276

خواص التكامـــــل المحدد

( ) وكانت - ,دالة مستمرة على أذا كانت Ⓘ أوال: 𝟎 , -

∫فأن ( )

:مثال 𝟎

(𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑥2 0 𝑥𝜖, 1 2- ∶ ألن ∫ 𝟐𝟐

𝟏

𝑑𝑥 𝟎

(𝑏) 𝑓(𝑥) 3 > 0 𝑥𝜖, 2 3- ∶ ألن ∫ (𝟑)𝟑

𝟐

𝑑𝑥 > 𝟎

(𝑐) 𝑓(𝑥) (𝑥 1) > 0 𝑥𝜖,2 3- ∶ ألن ∫ ( 𝟏)𝟑

𝟐

𝑑𝑥 > 𝟎

( ) وكانت - ,دالة مستمرة على أذا كانت ② 𝟎 , -

∫فأن ( )

:مثال 𝟎

(𝑎) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖,1 2- ∶ ألن ∫ ( 𝟐)𝟐

𝟏

𝑑𝑥 < 𝟎

(𝑏) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖, 2 1- ∶ ألن ∫ 𝟏

𝟐

𝑑𝑥 < 𝟎

فأن عدد حقق ثابت Cوكان - ,دالة مستمرة على أذا كانت ثانا:

∫ 𝑪𝒇(𝒙) 𝑪∫ 𝒇(𝒙) 𝒃

𝒂

𝒃

𝒂

∫أذا كان /(9)ثال م ( ) 𝟖𝟓

𝟐∫فأوجد 𝟓 ( )

𝟓

𝟐

/الحل

∫ 𝟓 ( ) 𝟓

𝟐 𝟓∫ ( )

𝟓

𝟐 𝟓(𝟖) 𝟒𝟎

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

277

𝟏 ) فأن - , دالتن مستمرة على 𝟐 𝟏 أذا كانت ثالثا: 𝟐)∫ 𝟏 ∫ ∫ 𝟐 𝒃

𝒂

𝒃

𝒂

𝒃 𝒂

- ,ومكننا تعمم هذه الخاصة على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على

∫أذا كانت /(10)ثال م 𝟐( ) 𝟏𝟕𝟑

𝟏 ,∫ 𝟏( ) 𝟏𝟓

𝟑

𝟏 فأوجد كال من :

∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑

𝟏

∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑

𝟏

/الحل

∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑

𝟏

∫ 𝟏( ) 𝟑

𝟏

∫ 𝟐( ) 𝟑

𝟏

15 17 32

∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑

𝟏

∫ 𝟏( ) 𝟑

𝟏

∫ 𝟐( ) 𝟑

𝟏

15 17 2

( ) أذا كانت /(11)ثال م 𝟑 𝟐 ∫فأوجد 𝟐 ( ) 𝟐

𝟏

/الحل

∫ ( ) 𝟐

𝟏

∫ (𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟐

𝟏

∫ 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏

∫ 𝟐 𝟐

𝟏

, 𝟑𝟐-𝟏

, 𝟐𝟐-𝟏

(8 1) (4 1) 7 3 10

:فأن ( ) وكانت - ,دالة مستمرة على ( ) أذا كانت رابعا:

∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥𝒄

𝒂

∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥𝒃

𝒄

𝒃

𝒂

∫أذا كانت /(21)ثال م ( ) 𝟖𝟕

𝟑 ,∫ ( ) 𝟓

𝟑

𝟏∫فأوجد ( )

𝟕

𝟏

/الحل

∫ ( ) 𝟕

𝟏

∫ ( ) 𝟑

𝟏

∫ ( ) 𝟕

𝟑

𝟓 𝟖 𝟏𝟑

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

278

( ) أذا كان /(31)ثال م ∫أوجد | | ( ) 𝟒

𝟑

ولها لاعدتان هما : -𝟒 𝟑 ,دالة مستمرة على /الحل

( ) 2 𝟎 < 𝟎

∫ ( ) 𝟒

𝟑

∫ ( ) 𝟎

𝟑

∫ ( ) * 𝟐

𝟐+ 𝟑

𝟎

, 𝟐

𝟐

𝟒- 𝟎

𝟒

𝟎

[0 ( 9

2)] [

16

2 0]

9 16

2 25

2

( ) أذا كان /(14)ثال م 2𝟐 𝟏 𝟏𝟑 < 𝟏

∫فأوجد ( ) 𝟓

𝟎

ألن (𝟏 )وذلن ألنها مستمرة عند -𝟓 𝟎,مستمرة على الفترة الدالة /الحل

( ) (𝟏) 𝟐(𝟏) 𝟏 معرفة 𝟑

( ) 𝟏

( ) { ( )

(𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏

( )

𝟑 𝟑 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟏 ( ) 𝟏 موجودة 𝟑 ( ) (𝟏)

> *مستمرة على كل من الدالة ∴ 𝟏+ * > 𝟏+

-𝟓 𝟎,مستمرة على الفترة الدالة ∵

∴ ∫ ( ) ∫ ( ) 𝟏

𝟎∫ ( ) 𝟓

𝟏 ∫ 𝟑

𝟏

𝟎∫ (𝟐 𝟏) 𝟓

𝟏

𝟓

𝟎

,𝟑 𝟏

-

𝟎

, 𝟐

𝟓

-

𝟏

,𝟑 𝟎- ,𝟑𝟎 𝟐- 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

279

( ) أذا كان ثال /م {𝟑 𝟐 𝟐 𝟏

𝟔 𝟏 < 𝟏∫فأوجد ( )

𝟑

𝟐

ألن (𝟏 )وذلن ألنها مستمرة عند -𝟑 𝟐 ,مستمرة على الفترة الدالة /الحل

( ) (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟐(𝟏) معرفة 𝟓

( ) 𝟏

( ) { ( )

(𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟓 𝟏

( )

(𝟔 𝟏) 𝟓 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟏 ( ) 𝟏 موجودة 𝟓 ( ) (𝟏)

> *مستمرة على كل من الدالة ∴ 𝟏+ * > 𝟏+

-𝟑 𝟐 ,مستمرة على الفترة الدالة ∵

∴ ∫ ( ) ∫ ( ) 𝟏

𝟐∫ ( ) 𝟑

𝟏 ∫ (𝟔 𝟏)

𝟏

𝟐∫ (𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟑

𝟏

𝟑

𝟐

,𝟑 𝟐 𝟏

-

𝟐

, 𝟑 𝟐 𝟑

-

𝟏

,𝟐 𝟏𝟒- ,𝟑𝟔 𝟐- 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐

( ) أذا كان ثال /م | | ∫فأوجد 𝟑 ( ) 𝟒

𝟑

نفس طرمة أثبات الحل ف السؤال السابك /الحل

( ) 2 𝟑 𝟎 𝟑 < 𝟎

∫ ( ) 𝟒

𝟑

∫ (𝟑 ) 𝟎

𝟑

∫ ( 𝟑) *𝟑 𝟐

𝟐+ 𝟑

𝟎

* 𝟐

𝟐 𝟑 +

𝟎

𝟒

𝟒

𝟎

[𝟎 ( 𝟗 𝟗

𝟐)] [(

𝟏𝟔

𝟐 𝟏𝟐) 𝟎]

𝟐𝟕 𝟒𝟎

𝟐 𝟔𝟕

𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

280

خامسا:

( )∫ ( )

𝟎 ( ) ∫ ( )

∫ ( )

مثال :

( )∫ 𝟑

𝟑

* 𝟐

𝟐 +𝟑

𝟑

9

2 9

2 𝟎

( )∫ 𝟑 𝟐𝟐

𝟑

∫ 𝟑 𝟐𝟑

𝟐

, 3-2 ,27 8- 27 8 19

(𝟒 تمارين(𝟏

:أحسب كال من التكامالت التالة /1س

( ) ∫ (𝟑 𝟐)𝟐

𝟐

* 𝟑 𝟐

𝟐 𝟐 +

𝟐

𝟐

*𝟑(𝟒)

𝟐 𝟒+ *

𝟑(𝟒)

𝟐 𝟒+ (𝟔 𝟒) (𝟔 𝟒) 𝟐 𝟏𝟎 𝟖

( )∫ ( 𝟐 𝟐 𝟏)𝟐

𝟏

* 𝟏

𝟏 𝟐 𝟐

𝟐 +

𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 ]

𝟏

𝟐

( 𝟏

𝟐 𝟒 𝟐) ( 𝟏 𝟏 𝟏) 𝟓

𝟏

𝟐 𝟏 𝟒

𝟏

𝟐

( )∫ ( 𝟒 𝟒 )𝟑

𝟏

* 𝟓

𝟓 𝟐 𝟐 +

𝟏

𝟑

[𝟐𝟒𝟑

𝟓 𝟏𝟖] [

𝟏

𝟓 𝟐]

𝟐𝟒𝟐

𝟓 𝟏𝟔

𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎

𝟓 𝟑𝟐𝟐

𝟓

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

281

( )∫ | 𝟏|𝟐

𝟎

| 𝟏| 2 𝟏 𝟏𝟏 < 𝟏

∫ | 𝟏|𝟐

𝟎 ∫ (1 )

∫ ( 1)2

* 2

2+

* 2

2 +

2

[(1 1

2) 0] [(2 2) (

1

2 1)]

1

2 1

2 𝟏

( )∫ ( )𝟎

𝟐

* 𝟐

𝟐 +

𝟐

𝟎

*(𝟎)𝟐

𝟐 (𝟎)+ [

. 𝟐 /

𝟐

𝟐 .

𝟐/]

,𝟎 𝟎- [( 𝟐

𝟒 )

𝟐 𝟏]

𝟐

𝟖 𝟏 𝟏

𝟐

𝟖

( ) مالحظة

( )∫ 𝟑 𝟏

𝟏

𝟐

𝟑

∫ 𝟑 𝟏

𝟏

𝟑

𝟐

∫( 𝟏)( 𝟐 𝟏)

𝟏 ∫ ( 𝟐 𝟏)

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

* 3

3 2

2 +

2

3

(*27

3 9

2 3+ *

8

3 4

2 2+) (

54 27 18 16 12 12

6)

59

6

( )∫𝟐 𝟑 𝟒 2 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐)𝟑

𝟏

* 2 4 5

1+

, 2 4 5

𝟑

-

𝟏

[9 12 5

3] ,1 4 5- 3

5

3 8 5

5

3 15 5

3 10

3

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

282

حث f(x) ه دالة ممابلة للدالة ( ) أثبت أن الدالة / 2س

0𝟎

𝟔1 ( ) حث

( ) 𝟏 0𝟎 حث

𝟔1 ∫ أحسب ثم ( )

𝟔𝟎

( ) دالة ممابلة للدالة ( ) ك نثبت أنـل /الحل

0𝟎مستمرة على الفترة ( ) نثبت أن

𝟔1

( )

, - 0𝟎

𝟔1

( )

( ) ( )

مستمرة ف مجالها ( ) ∴

( ) ( ) 𝟏 ( )

( ) دالة ممابلة للدالة ( ) ∴

∫ ( )

𝟔

𝟎

( 𝟔) (𝟎) [

𝟔 𝟔] , 𝟎 𝟎-

𝟏

𝟐 𝟔 𝟑 𝟔

: أوجد كال من التكامالت التالة /3س

( ) ∫ ( 𝟐)( 𝟏)𝟐𝟒

𝟏

∫ ( 𝟐)( 𝟐 𝟐 𝟏)𝟒

𝟏

∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐) 𝟒

𝟏

∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐) 𝟒

𝟏

[ 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐

𝟐 𝟐 ]

𝟏

𝟒

,𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖- *𝟏

𝟒 𝟑

𝟐 𝟐+

𝟑𝟐 𝟏

𝟒 𝟑

𝟐 𝟐 𝟑𝟒

𝟓

𝟒 𝟏𝟑𝟔 𝟓

𝟒 𝟏𝟒𝟏

𝟒

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

283

( )∫ | 𝟏|𝟏

𝟏

( ) | 𝟏| { 𝟏 𝟏

𝟏 < ( خارج الفترة) 𝟏

∫ | 𝟏|

∫ ( 1)

* 2

2 +

(1

2 1) (

1

2 1) 1 1 𝟐

( )∫ 𝟒 𝟏

𝟏

𝟑

𝟐

∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟏)

𝟏

𝟑

𝟐

∫( 𝟏)( 𝟏)( 𝟐 𝟏)

𝟏 ∫ ( 𝟏)( 𝟐 𝟏)

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐

∫ ( 𝟑 𝟐 𝟏) 𝟑

𝟐

* 𝟒

𝟒 𝟑

𝟑 𝟐

𝟐 +

𝟐

𝟑

[𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟗

𝟐 𝟑] [𝟒

𝟖

𝟑 𝟐 𝟐]

𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟐 𝟏𝟐 𝟖

𝟖

𝟑 𝟒

𝟖𝟏

𝟒 𝟗

𝟐

𝟖

𝟑 𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐

𝟏𝟐 𝟑𝟏𝟑

𝟏𝟐

( )∫ √ (√ 𝟐)𝟐

𝟏

𝟎

∫ √ ( 𝟒√ 𝟒)𝟏

𝟎

∫ .𝟏𝟐/( 𝟒

.𝟏𝟐/ 𝟒)

𝟏

𝟎

∫ ( .𝟑𝟐/ 𝟒 𝟒

.𝟏𝟐/)

𝟏

𝟎

[ .𝟓𝟐/

.𝟓𝟐/

𝟐 𝟐 𝟒 .𝟑𝟐/

.𝟑𝟐/]

𝟎

𝟏

[𝟐

𝟓 𝟐

𝟖

𝟑] 𝟎

𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎

𝟏𝟓 𝟕𝟔

𝟏𝟓

( ) تأذا كان /4س 2𝟐 𝟑𝟔 < 𝟑

∫فأوجد ( ) 𝟒

𝟏

-𝟒 𝟏, الفترة مستمرة على ( ) نبرهن أن الدالة /الحل

( ) (𝟑) 𝟐(𝟑) ( الدالة معرفة عندما 𝟑 ) 𝟔

( ) (𝟑)

( ) { ( )

(𝟐 ) 𝟐(𝟑) 𝟔 𝟏

( )

(𝟔) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐

( ) (𝟑)

( ) (𝟑) ( الدالة مستمرة عندما 𝟑 ) 𝟔

∫ ( ) 𝟒

𝟏

∫ 𝟔 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 ,𝟔 𝟑

-

𝟏

, 𝟐 𝟒

-

𝟑

,𝟏𝟖 𝟔- ,𝟏𝟔 𝟗- 𝟒

𝟑

𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

284

( ) أذا كان /5س {𝟑 𝟐 𝟎

𝟐 < 𝟎∫فأوجد ( )

𝟑

𝟏 1د / 2014وزاري

(𝟎 )وذلن بأثبات أنها مستمرة عند -𝟑 𝟏 , الفترة مستمرة على ( ) نبرهن أن الدالة /الحل

( ) (𝟎) 𝟑(𝟎)𝟐 ( الدالة معرفة عندما 𝟎 ) 𝟎

( ) (𝟎)

( ) { 𝟎

(𝟑 𝟐) 𝟑(𝟎)𝟐 𝟎 𝟏

𝟎

(𝟐 ) 𝟐(𝟎) 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐

( ) (𝟎)

( ) (𝟎) ( الدالة مستمرة عندما 𝟎 ) 𝟔

∫ ( ) 𝟑

𝟏

∫ 𝟐 𝟎

𝟏

∫ 𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟎

-

𝟏

, 𝟑 𝟑

-

𝟎

,𝟎 𝟏- ,𝟐𝟕 𝟎- 𝟑

𝟎

𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔

******************************************************************

المحدد الغــر التكامـــل

وكل fفأنه وجد عدد ال نهائ من الدوال الممابلة للدالة F دالة ممابلة - ,المستمرة على الفترة أذا كانت للدالة

مثل عدد ثابت والفرق بن أكثر من أثنن منها ساوي عدد ثابت Cحث F + Cمنها ساوي

ة على الصورة ـــــة الدوال الممابلــــمى مجموعـــــتس F+C بالتكامل غر المحدد للدالةة𝒇 علةى الفتةرة المسةتمرة

∫ ورمز لها بالرمز - , 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 هو ر الدالة أذا كان رمز متغ𝒙

صطلح على كتابة التكامل غر المحدد بالصورة∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝑭(𝒙) 𝑪 𝑪 𝐑

العملة المعاكسة لعملة التفاضل أي أحداهما تنه دور األخرى عملة التكامل غر المحدد هو

: التكامل للدوال التالة أوجد /(1)ثال م

(𝒂) ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟏)𝒅𝒙 𝟑𝒙𝟑

𝟑 𝟐

𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝒙 𝒄

(𝒃) ∫(𝐜𝐨𝐬𝒙 𝒙 𝟐)𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧𝒙 𝒙 𝟏

𝟏 𝒄 𝐬𝐢𝐧𝒙

𝟏

𝒙 𝒄

(𝒄) ∫(𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒙 𝐭𝐚𝐧𝒙)𝒅𝒙 𝒙 𝟐

𝟐 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄

(𝒅) ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙 𝟒)𝒅𝒙 𝟏

𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙 𝟒) 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

285

جد التكامالت لكل مما أت : /(2)ثال م

(𝒂) ∫(𝒙𝟐 𝟑)𝟐(𝟐𝒙)𝒅𝒙

(𝒙𝟐 𝟑)𝟑

𝟑 𝒄

(𝒃) ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓)𝟔(𝟑𝒙 𝟒)𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)∫(𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓)

𝟔 (2)(𝟑𝒙 𝟒)𝒅𝒙

𝟏

𝟐 (𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓)𝟕

𝟕 𝒄

1

𝟏𝟒(𝟑𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟓)𝟕 𝒄

(𝒄) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟒 𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟓 𝒙

𝟓 𝒄

(𝒅) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟔 𝑥 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟕 𝑥

𝟕 𝒄

بعض العاللات ف الدوال المثلثة

(𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

(𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

(𝟑) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟏 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

(𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

(𝟓) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟏

𝟐(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)

(𝟔) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏

𝟐(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)

(𝟕) 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝜽 𝟏

(𝟖) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏

𝟐,𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙-

(𝟗) 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏

𝟐,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙-

(𝟏𝟎) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙 𝟏

𝟐,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙-

(𝟏𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

286

تكامالت الدوال المثلثة التربعة

(𝟏)∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄

(𝟐)∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄

(𝟑)∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄

(𝟒)∫ 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐜𝐬𝐜𝟐 𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄

(𝟓)∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

𝟐 𝒅𝜽

𝟏

𝟐(∫𝒅𝜽

𝟏

𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽)

𝟏

𝟐(𝜽

𝟏

𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽) 𝒄

𝟏

𝟐𝜽

𝟏

𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 𝒄

(𝟔)∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽

𝟐 𝒅𝜽

𝟏

𝟐(∫𝒅𝜽

𝟏

𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽)

𝟏

𝟐(𝜽

𝟏

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄

𝟏

𝟐𝜽

𝟏

𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝜽 𝑐

( 618 صفحةو 185أمثلة ) من الكتاب صفحة

(𝟏)∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄

(𝟐)∫ 𝒙𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟑 𝒅 𝒙𝟏

𝟑∫ 𝟑𝒙𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝟏

𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒙𝟑 𝒄

(𝟑) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 𝒅𝒙

∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄

3د / 2012وزاري

(4) ∫𝒔𝒊𝒏𝟒 𝒙𝒅𝒙 ∫.𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙/𝟐𝒅𝒙 ∫*

𝟏

𝟐(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)+

𝟐

𝒅𝒙 ∫𝟏

𝟒(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙)𝒅𝒙

𝟏

𝟒(∫1 ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 )𝒅𝒙

𝟏

𝟒(∫1 ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫

𝟏

𝟐(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙))𝒅𝒙

𝟏

𝟒(𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄

𝟏

𝟒(𝟑

𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄

𝟑

𝟖𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙)

𝟏

𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙) 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

287

(𝟓) ∫(𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱)𝟕(𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱)𝐝𝐱 (𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱)𝟖

𝟖 𝒄

(𝟔) ∫𝟏 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙

𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙

𝟐 𝒄

𝟏

𝟐 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙 𝒄

(𝟕) ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙)𝒅𝒙

∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙

𝟑 𝒄

2د / 4201ي وزار

(𝟖) ∫𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙

𝟐 𝒄

1د / 6201وزاري 3د / 2014وزاري

(𝟗) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱) 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟑𝐱(𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱)𝒅𝒙

𝟐

𝟑∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟑𝐱(𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱)( 𝟑)𝒅𝒙 (

𝟐

𝟑)𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱

𝟒 𝐜

𝟏

𝟔 𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱 𝐜

مالحظة 𝐜𝐨𝐬𝟒𝟑𝐱 (𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱)𝟒

(𝟏𝟎) ∫𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙

∫(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) (𝟐)𝒅𝒙

𝟏

𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄

(𝟏𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝟑𝐱𝐝𝐱 ∫*𝟏

𝟐(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)+𝐝𝐱

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄

(𝟏𝟐) ∫𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟓𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟏)𝒅𝒙 ∫𝒄𝒔𝒄𝟐𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟓𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄

(𝟏𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟕𝐱𝐝𝐱 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟕𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫𝒔𝒆𝒄𝟐𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟕𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄

1د / 2014وزاري

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

288

أمثلة أضافة محلولة:أوجد التكامالت األتة /مثال

(𝟏) ∫𝒙 𝟑𝒙𝟐 𝟏𝟑 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟏𝟑) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟔)(𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄 𝟏

𝟖(𝟑𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑) 𝒄

(𝟐) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟓(𝟐𝒙) 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟐𝒙)𝒅𝒙 (𝟏

𝟐)𝒕𝒂𝒏𝟔(𝟐𝒙)

𝟔 𝒄

𝒕𝒂𝒏𝟔(𝟐𝒙)

𝟏𝟐 𝒄

(𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟑(𝟒𝒙)𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙)𝒅𝒙 ( 𝟏

𝟒)𝐜𝐨𝐬𝟒(𝟒𝒙)

𝟒 𝒄

𝐜𝐨𝐬𝟒(𝟒𝒙)

𝟏𝟔 𝒄

(𝟒) ∫𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟓(𝒙𝟑)𝒅𝒙 (𝟏

𝟑)𝐜𝐨𝐬𝟔(𝒙𝟑)

𝟔 𝒄

𝐜𝐨𝐬𝟔(𝒙𝟑)

𝟏𝟖 𝒄

(𝟓) ∫𝐬𝐢𝐧𝟑(𝟐𝒙)

𝒔𝒆𝒄(𝟐𝒙)𝒅𝒙 ∫

𝐬𝐢𝐧𝟑(𝟐𝒙)

(𝟏

𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙))𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟑(𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)𝐬𝐢𝐧𝟒(𝟐𝒙)

𝟒 𝒄

𝐬𝐢𝐧𝟒(𝟐𝒙)

𝟖 𝒄

(𝟔) ∫𝒙 𝒙𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝒙𝟐 𝟗).𝟏𝟐/ 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)(𝒙𝟐 𝟗)

.𝟑𝟐/

.𝟑𝟐/

𝒄 (𝒙𝟐 𝟗)

.𝟑𝟐/

𝟑 𝒄

(𝒙𝟐 𝟗)𝟑

𝟑 𝒄

(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝒅𝒙

∫ (𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟒

𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟔 𝒄

(𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟓𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓𝒙

𝟓 𝒄

(𝟗) ∫ 𝒙𝟓 𝟐𝒙𝟑𝟑

𝒅𝒙 ∫(𝒙) 𝒙𝟐 𝟐𝟑

𝒅𝒙 ∫(𝒙) (𝒙𝟐 𝟐).𝟏𝟑/ 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)(𝒙𝟐 𝟐)

.𝟒𝟑/

.𝟒𝟑/

𝒄

(𝟑

𝟖) (𝒙𝟐 𝟐)

.𝟒𝟑/ 𝒄

(𝟏𝟎) ∫ 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓)𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓)𝒅𝒙 (𝒙𝟐

𝟐 𝟓𝒙) 𝒄

(𝟏𝟏) ∫ 𝟑

(𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫

𝟑

(𝒙 𝟏)𝟐 𝒅𝒙 𝟑∫(𝒙 𝟏) 𝟐𝒅𝒙

𝟑(𝒙 𝟏) 𝟏

𝟏 𝒄

𝟑

(𝒙 𝟏) 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

289

(𝟏𝟐) ∫ 𝒙𝟐 𝟏

√𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙𝟐 𝟏)(𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏).

𝟏𝟓/ 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟑)(𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏).

𝟒𝟓/

.𝟒𝟓/

𝒄

𝟓

𝟏𝟐(𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟏).

𝟒𝟓/ 𝒄

(𝟏𝟑) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙𝒅𝒙 ( 𝟐) 𝐜𝐨𝐬𝟒 𝒙

𝟒 𝒄

(𝟏𝟒) ∫𝟗𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 ( 𝟏

𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄

𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐 𝑐

:األتةللدوال أوجد التكامالت /مثال

(𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟑𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟑𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫𝒔𝒆𝒄𝟐𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟑𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄

(𝟐) ∫𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟕𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝟕𝒙 𝟏)𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟏

𝟕𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄

(𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙

𝟐∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 2

𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝐜

(𝟒) ∫(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏)𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏)𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟑𝒙

𝟑 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄

(𝟓) ∫√𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 𝒅𝒙

∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄

(𝟔) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟓𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 )𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙

𝟔 𝒄

(𝟕) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙)𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)𝒅𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

290

(𝟖) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫,𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙-𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫,𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙-𝒅𝒙

𝟏

𝟐( 𝟏

𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝟏

𝟔𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟖𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄

(𝟗)∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟏)𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝟏)𝒅𝒙

𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙

𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄

(𝟏𝟎)∫ 𝒔𝒆𝒄𝟔 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝟏)𝟐 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 (𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙

∫ (𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟓𝒙

𝟓 𝟐

𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙

𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄

حل السؤال(𝟏𝟎) ولكن أجعل األس(𝟒) بدل من(𝟔) ∶ واجب

(𝟏𝟏) ∫𝒙𝟓 𝒙𝟒 𝟏

𝒙𝟑 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 ∫(𝒙𝟐 𝒙 𝟏)𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄 (نقسم البسط على المقام ثم نكامل )

(𝟏𝟐) ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟐𝐱𝐝𝐱 ∫*𝟏

𝟐(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)+𝐝𝐱

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄

(𝟏𝟑) ∫𝒙𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙𝟑 𝐝𝐱 𝟏

𝟑∫(𝟑)𝒙𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙𝟑 𝐝𝒙

𝟏

𝟑𝐜𝐬𝐜 𝒙𝟑 𝒄

(𝟏𝟒) ∫𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟐𝐝𝐱 𝟏

𝟐∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙𝟐 (𝟐)𝐝𝒙

𝟏

𝟐𝐬𝐞𝐜 𝒙𝟐 𝒄

(𝟏𝟓) ∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 𝟏

𝟕∫ 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟕𝐱 (𝟕)𝐝𝐱

𝟏

𝟕𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄

(𝟏𝟔) ∫𝒙𝟐 9

𝒙 𝟑 𝒅𝒙 ∫

(𝑥 3)(𝑥 3)

𝑥 3𝒅𝒙 ∫(𝑥 3)𝒅𝒙

𝒙𝟐

𝟐 3𝒙 𝒄

(𝟏𝟕) ∫𝒙𝟒 16

𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫

(𝒙𝟐 4)(𝒙𝟐 4)

𝑥 2𝒅𝒙 ∫

(𝑥 2)(𝑥 2)(𝒙𝟐 4)

𝑥 2𝒅𝒙

∫(𝑥 2)(𝒙𝟐 4)𝒅𝒙 ∫(𝒙𝟑 4𝑥 2𝒙𝟐 8)𝒅𝒙 𝒙𝟒

𝟒 2𝒙𝟐 2

𝒙𝟑

𝟑 8𝑥 𝒄

(𝟏𝟖) ∫𝒙𝟑 1

𝒙 1 𝒅𝒙 ∫

(𝑥 1)(𝒙𝟐 𝑥 1)

𝑥 1𝒅𝒙 ∫(𝒙𝟐 𝑥 1)𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

291

(𝟏𝟗) ∫𝒙𝟐

√𝒙𝟑 𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐(𝒙𝟑 𝟓)

2 𝒅𝒙

1

3∫(3)𝒙𝟐(𝒙𝟑 𝟓)

2 𝒅𝒙

1

3×(𝒙𝟑 𝟓)

2

12

𝒄

2

3 𝒙𝟑 𝟓 𝒄

(𝟐𝟎) ∫ 𝐜𝐨𝐭𝟑 𝟗𝒙 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟗𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟗∫ 𝐜𝐨𝐭𝟑 𝟗𝒙 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝟗𝒙 ( 𝟗)𝐝𝐱

𝟏

𝟗× 𝐜𝐨𝐭𝟒 𝟗𝒙

𝟒 𝒄

(𝟐𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟗∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗𝒙 (𝟗)𝐝𝐱

𝟏

𝟗𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄

(𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝐝𝐱 𝟏

𝟕∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝒙 (𝟕)𝐝𝐱

𝟏

𝟕𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄

2د / 2012وزاري

(𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟑 𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 𝐝𝐱 ∫( 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 )𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙𝐝𝐱

𝟏

𝟑𝒄𝒔𝒄𝟑 𝒙 𝒄

(𝟐𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱

𝟏

𝟑∫𝟑( 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 )𝒔𝒆𝒄𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱

𝟏

𝟑×𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙

𝟓 𝐜

𝟏

𝟏𝟓𝒔𝒆𝒄𝟓 𝟑𝒙 𝐜

𝟐.مثال : جد معادلة المنحن الذي مله 𝟏

𝟐 (1 , 0)ومر بالنمطة /𝟐

/الحل

𝟐)∫ ∫ (المل)∫ 𝟏

𝟐 𝟐) 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 ( نعوض النقطة(𝟏 𝟎))

𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏

𝟔 𝟑 معادلة المنحن 𝟏

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

292

𝟑)مثال : جد معادلة المنحن الذي مله 𝟐 (1 , 0)ومر بالنمطة (

/الحل

𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟐 ) 𝟑 𝟑

𝟑 ( نعوض النقطة(𝟏 𝟎)) 𝟑

𝟏 𝟏 معادلة المنحن 𝟐 𝟑 𝟐

𝟑)جد معادلة المنحن الذي مله مثال : (15)والمنحن متلن نهاة عظمى محلة تساوي (𝟗 𝟔 𝟐

/الحل

( نجعل 𝟎 ) 𝟗 𝟔 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑)⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎

( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏

نهاة عظمى محلة (𝟏𝟓 𝟏 )النمطة

𝟑 (𝟗 𝟔 𝟐 𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟑 𝟐 ( نعوض النقطة(𝟏𝟓 𝟏 )) 𝟗

𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟐 معادلة المنحن 𝟏𝟎 𝟗

(1,4-)والمنحن متلن نمطة حرجة عند / 𝟔 .عادلة المنحن جد ممثال :

/الحل

∫ ∫(𝟔 ) 𝟑 𝟐 ( نجعل 𝟎 عندما 𝟏 ) 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑

𝟐 𝟑)∫ ∫ (المل)∫ 𝟑) 𝟑 ( نعوض النقطة(𝟒 𝟏 )) 𝟑

𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 معادلة المنحن 𝟐 𝟑

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

293

𝟐 مماسا له عندما 𝟕 𝟑 والمستمم ( 𝟐) الذي مله جد معادلة المنحنمثال :

/الحل

Ⓘ نعوض لمة(x) لمة الستخراجف معادلة المستمم(y) ثم أجاد نمطة التماس

𝟑 𝟕 𝟑(𝟐) 𝟕 𝟏 نقطة التماس (𝟏 𝟐)

المل أي بمعنى أخر المشتمة األولى إلجادنشتك معادلة المستمم ②

𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑

(𝟑 )حث ننجد لمة المجاهل ف معادلة مل المنح ③

𝟐 𝟑 𝟐(𝟐) 𝟒 𝟑 معادلة مل المنحن 𝟏 𝟐 𝟏

المطلوبة فتم الحصول على معادلة المنحن (C)نكامل معادلة مل المنحن ثم نجد لمة ثابت التكامل ④

𝟐 (𝟏 𝟐)∫ ∫ (المل)∫ ( نعوض النقطة(1 2))

𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 معادلة المنحن 𝟑

مالحظات :

ال تكامل مل منحن وفه ثابت مجهول مثل(C) او(P) حتى تجد لمة المجهول.

ف أجاد ثوابت ألستخدمهاألجاد معادلة منحن دالة فضل أن تجد أوال نمطة كاملة من معلومات السؤال

التكامل المجهولة

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

294

(𝟒 تمارين(𝟐

جد تكامالت كل مما أت ضمن مجال الدالة :

(1) ∫(2𝒙𝟐 𝟑)𝟐 𝟗

𝒙𝟐𝐝𝐱 ∫

(𝟒𝒙𝟒 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝟗) 𝟗

𝒙𝟐𝐝𝐱 ∫

(𝟒𝒙𝟒 𝟏𝟐𝒙𝟐)

𝒙𝟐𝐝𝐱 ∫

𝒙𝟐(𝟒𝒙𝟐 𝟏𝟐)

𝒙𝟐𝐝𝐱

𝟒𝒙𝟑

𝟑 𝟏𝟐𝒙 𝒄

(𝟐) ∫(𝟑 √𝟓𝒙)

𝟕

√𝟕𝒙𝒅𝒙 ∫

.𝟑 √𝟓 (√𝒙)/𝟕

√𝟕 (√𝒙)𝒅𝒙

𝟏

√𝟕∫.𝟑 √𝟓 (√𝒙)/

𝟕

(√𝒙)𝒅𝒙 (نوفر المشتقة)

𝟏

√𝟕( 𝟐

√𝟓)∫ (

√𝟓

𝟐).𝟑 √𝟓 (√𝒙)/

𝟕

(√𝒙)𝒅𝒙

𝟏

√𝟕( 𝟐

√𝟓).𝟑 √𝟓 (√𝒙)/

𝟖

𝟖 𝒄

1

𝟒 √𝟑𝟓(𝟑 √𝟓𝒙 )

𝟖 𝒄

(𝟑) ∫𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫

𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙)

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙

∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟐 𝒄

1د / 3201وزاري

(𝟒) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝟏𝒙

𝟏 𝐜

𝟏

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄

: حل أخر

∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄

(𝟓) ∫𝒙

(𝟑𝒙𝟐 𝟓)𝟒 𝒅𝒙 ∫𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟒 𝒅𝒙

𝟏

𝟔∫(𝟔)𝒙 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟒 𝒅𝒙

𝟏

𝟔 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)

𝟑

𝟑 𝒄

𝟏

𝟏𝟖 (𝟑𝒙𝟐 𝟓)𝟑 𝒄

(𝟔) ∫ 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓𝟑

𝐝𝐱 ∫ (𝒙 𝟓)𝟐𝟑

𝐝𝐱 ∫(𝒙 𝟓).𝟐𝟑/ 𝐝𝐱

(𝒙 𝟓).𝟓𝟑/

.𝟓𝟑/

𝒄 𝟑

𝟓 (𝒙 𝟓)

.𝟓𝟑/ 𝒄

(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙

∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙

𝟑 𝒄

(𝟖) ∫𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝒅𝒙 ( 𝟐)∫ (

𝟏

𝟐)𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

295

/لو كان المثال.

∫𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝒅𝒙 ( 𝟐)∫(

𝟏

𝟐)𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙

√𝟏 𝒙𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄

(𝟗) ∫(𝟑𝒙𝟐 𝟏)𝟐𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙𝟒 𝟔𝒙𝟐 𝟏)𝒅𝒙

𝟗

𝟓𝒙𝟓 𝟐𝒙𝟑 𝒙 𝒄

(𝟏𝟎) ∫ √𝒙 𝒙

√𝒙𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ) √𝒙(𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 )( √𝒙) (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙

∫(𝒙 𝟑𝟒 ) (𝒙

𝟏𝟒) (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟐𝟒 ) (𝟏 √𝒙) 𝒅𝒙 ∫[𝒙

. 𝟏𝟐/] (𝟏 𝒙

.𝟏𝟐/).𝟏𝟐/

𝒅𝒙

( 𝟐)∫ [ 𝟏

𝟐𝒙. 𝟏𝟐/] (𝟏 𝒙

.𝟏𝟐/).𝟏𝟐/

𝒅𝒙 𝟐(𝟏 𝒙

.𝟏𝟐/).𝟑𝟐/

.𝟑𝟐/

𝒄 𝟒

𝟑(𝟏 𝒙

.𝟏𝟐/).𝟑𝟐/

𝒄

𝟒

𝟑 (𝟏 √𝒙)

𝟑 𝒄

/لو كان المثال.

∫ 𝒙 √𝒙

√𝒙𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 ) √𝒙(√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟑𝟒 )( √𝒙) (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙

∫(𝒙 𝟑𝟒 ) (𝒙

𝟏𝟒) (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫(𝒙

𝟐𝟒 ) (√𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫[𝒙

. 𝟏𝟐/] (𝒙

.𝟏𝟐/ 𝟏)

.𝟏𝟐/

𝒅𝒙

(𝟐)∫(𝟏

𝟐) [𝒙

. 𝟏𝟐/] (𝒙

.𝟏𝟐/ 𝟏)

.𝟏𝟐/

𝒅𝒙 𝟐(𝒙

.𝟏𝟐/ 𝟏)

.𝟑𝟐/

.𝟑𝟐/

𝒄 𝟒

𝟑(𝒙

.𝟏𝟐/ 𝟏)

.𝟑𝟐/

𝒄

𝟒

𝟑 (√𝒙 𝟏)

𝟑 𝒄

2د / 2013ري وزا

(𝟏𝟏) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫𝒅𝒙 𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙

𝒙 𝟐 (𝟏

𝟑) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙𝒅𝒙 𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫[

𝟏

𝟐(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)]𝒅𝒙

𝒙 𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫(

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)𝒅𝒙 𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟐(𝟏

𝟔) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟑

𝟐𝒙

𝟐

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄

(𝟏𝟐) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟒𝒙𝒅𝒙 (𝟏

𝟒)∫(𝟒) 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟒𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟒 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄

(𝟏𝟑) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟐𝒙𝒅𝒙 (𝟏

𝟐)∫(𝟐) 𝒄𝒔𝒄𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟐 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄

(𝟏𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝟖𝒙𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐𝟖𝒙 𝟏)𝒅𝒙 𝟏

𝟖𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

296

1د / 2016وزاري

(𝟏𝟓) ∫√𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)𝟏𝟐

𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)

𝟏𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)

𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝟏

𝟐∫( 𝟐)𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)

𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝟏

𝟐 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)

𝟑𝟐

.𝟑𝟐/

𝒄 𝟏

𝟑 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)

𝟑𝟐 𝒄

(𝟏𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟖𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄

(𝟏𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟏

𝟐∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙)

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟏𝟔𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄

𝟏

𝟐𝒙

𝟏

𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄

(𝟏𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫(

𝟏

𝟐,𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙-)

𝟐

𝒅𝒙 ∫𝟏

𝟒 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝒙 𝒅𝒙

𝟏

𝟒(∫𝒅𝒙 ∫𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝒙 𝒅𝒙)

𝟏

𝟒[𝒙

𝟐

𝟔𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫

𝟏

𝟐(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙)𝒅𝒙]

𝟏

𝟒[𝒙

𝟏

𝟑𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟐(𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄

𝟏

𝟒𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟖𝒙

𝟏

𝟗𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄

𝟑

𝟖𝒙

𝟏

𝟏𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙

𝟏

𝟗𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة :جد التكامالت التالة /مثال

(1) ∫𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 (𝟏

𝟒) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄

𝟏

𝟐𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄

(𝟐) ∫𝒔𝒊𝒏√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 (𝟐)∫(

𝟏

𝟐)𝒔𝒊𝒏√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√𝒙 𝒄

(𝟑) ∫𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙𝒅𝒙 ∫

𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 .𝒂𝟐/𝒙

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 .𝒂𝟐/𝒙

𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐 .𝒂

𝟐/𝒙𝒅𝒙 ∫0𝐬𝐞𝐜𝟐 .

𝒂

𝟐/𝒙 𝟏1𝒅𝒙

𝟐

𝒂𝒕𝒂𝒏 .

𝒂

𝟐/𝒙 𝒙 𝒄

(𝟒) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙

𝟐

𝟑∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟐( 3 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙)𝒅𝒙

𝟐

𝟑×(𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟑

𝟑 𝐜

𝟐

𝟗(𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟑 𝐜

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

297

(𝟓) ∫√𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙).𝟏𝟐/ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙

1

4∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)

.𝟏𝟐/ (𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙

(𝟏

𝟒)(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)

.𝟑𝟐/

.𝟑𝟐/

𝒄 (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)

.𝟑𝟐/

𝟔 𝒄

(𝟔) ∫𝒅𝒙

𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫

.𝟏𝟐/𝒅𝒙

.𝟏𝟐/ (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙)

𝐝𝐱 ∫.𝟏𝟐/𝒅𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐 .𝟏𝟐/𝒙

∫(𝟏

𝟐) 𝒔𝒆𝒄𝟐 (

𝟏

𝟐)𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 (

𝟏

𝟐)𝒅𝒙 𝒄

(𝟕)∫𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐 (𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐 (𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝐝𝒙

(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)

𝟏𝟐

.𝟏𝟐/

𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄

(𝟖) ∫𝟑

𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔 (

𝟏

𝒙)𝒅𝒙 ( 𝟑)∫

𝟏

𝒙𝟐𝐜𝐨𝐬 (

𝟏

𝒙)𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏 (

𝟏

𝒙) 𝐜

(𝟗) ∫𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 ∫(

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝒙)𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙

𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄

(𝟏𝟎)∫(𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 𝟏)𝟐

(𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝟏)𝟐𝒅𝒙 ∫

(𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙)𝟐

(𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫.

𝒔𝒆𝒄𝒙

𝒄𝒔𝒄𝒙/𝟒

𝒅𝒙 ∫ 0

𝟏𝒄𝒐𝒔𝒙

1

0𝟏𝒔𝒊𝒏

1

𝟒

𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟒

𝒅𝒙

∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙𝒅𝒙

)36(ف الصفحة )9(ثم نكمل الحل كما ف المثال

(𝟏𝟏) ∫ (𝟓

𝒙𝟑

𝟕

𝒙𝟐).𝟏𝟑/

𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟓 𝟕𝒙

𝒙𝟑).𝟏𝟑/

𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟓 𝟕𝒙)

.𝟏𝟑/

𝒙𝒙𝒅𝒙

𝟏

𝟕 (𝟓 𝟕𝒙)

.𝟒𝟑/

.𝟒𝟑/

𝒄

𝟑

𝟐𝟖(𝟓 𝟕𝒙)

.𝟒𝟑/ 𝒄

(𝟏𝟐) ∫𝟕𝒙𝟒

(𝒙 𝟓)𝟔𝒅𝒙 ∫

𝟕𝒙𝟒

(𝒙 𝟓)𝟒(𝒙 𝟓)𝟐𝒅𝒙 𝟕∫

𝒙𝟒

(𝒙 𝟓)𝟒(𝒙 𝟓) 𝟐𝒅𝒙 𝟕∫.

𝒙

𝒙 𝟓/𝟒

(𝒙 𝟓) 𝟐𝒅𝒙

(𝟕

𝟓)∫(𝟓) .

𝒙

𝒙 𝟓/𝟒

[𝟏

(𝒙 𝟓)𝟐]𝒅𝒙

𝟕

𝟓 .

𝒙𝒙 𝟓

/𝟓

𝟓 𝒄

𝟕

𝟐𝟓 .

𝒙

𝒙 𝟓/𝟓

𝐜

(𝟏𝟑) ∫ 𝒙𝟓 𝒙𝟑𝟑

𝒅𝒙 ∫(𝒙) 𝒙𝟐 𝟏𝟑

𝒅𝒙 ∫(𝒙)(𝒙𝟐 𝟏)(𝟏𝟑) 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟐)∫(𝟐𝒙)(𝒙𝟐 𝟏)

(𝟏𝟑) 𝒅𝒙

(𝟏

𝟐)(𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑)

(𝟒𝟑)

𝒄 𝟑

𝟖(𝒙𝟐 𝟏)

(𝟒𝟑) 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

298

(𝟏𝟒) ∫ 𝟓𝒙𝟒 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 ∫𝒙 𝟓𝒙𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫𝒙(𝟓𝒙𝟐 𝟑).𝟏𝟐/ 𝒅𝒙 (

𝟏

𝟏𝟎)∫(𝟏𝟎)𝒙(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

.𝟏𝟐/ 𝒅𝒙

(𝟏

𝟏𝟎)(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

(𝟑𝟐)

(𝟑𝟐)

𝒄 1

𝟏𝟓(𝟓𝒙𝟐 𝟑)

(𝟑𝟐) 𝒄

(𝟏𝟓) ∫ 𝟓 𝟕√𝒙𝟑

√𝒙𝒅𝒙 ∫(𝟓 𝟕𝒙

.𝟏𝟐/).𝟏𝟑/

(𝒙). 𝟏𝟐/𝒅𝒙 [

𝟐

𝟕]∫ [

𝟕

𝟐] (𝟓 𝟕𝒙

.𝟏𝟐/).𝟏𝟑/

(𝒙). 𝟏𝟐/𝒅𝒙

[ 𝟐

𝟕](𝟓 𝟕𝒙

.𝟏𝟐/).𝟒𝟑/

.𝟒𝟑/

𝒄 𝟑

𝟏𝟒(𝟓 𝟕𝒙

.𝟏𝟐/).𝟒𝟑/

𝒄

(𝟏𝟔) ∫𝒙𝟔 (𝟓 𝟑

𝒙)𝟔

𝒅𝒙 ∫(𝒙 [𝟓 𝟑

𝒙])

𝟔

𝐝𝐱 ∫(𝟓𝒙 𝟑)𝟔𝐝𝐱 (𝟏

𝟓)(𝟓𝒙 𝟑)𝟕

𝟕 𝒄

1

𝟑𝟓(𝟓𝒙 𝟑)𝟕 𝒄

(𝟏𝟕)∫𝒙𝟐(𝒙𝟔 𝟔𝒙𝟑 𝟗)𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐(,𝒙𝟑 𝟑-𝟐)𝟓 𝒅𝒙 ∫𝒙𝟐(𝒙𝟑 𝟑)𝟏𝟎 𝒅𝒙 1

3∫3𝒙𝟐(𝒙𝟑 𝟑)𝟏𝟎 𝒅𝒙

(𝟏

𝟑)(𝒙𝟑 𝟑)𝟏𝟏

𝟏𝟏 𝒄

𝟏

𝟑𝟑(𝒙𝟑 𝟑)𝟏𝟏 𝒄

(𝟏𝟖) ∫𝟕𝒙𝟐 𝒙𝟔 𝒙𝟐 𝒅𝒙 ∫𝟕𝒙𝟐 𝒙𝟐(𝒙𝟒 𝟏) 𝒅𝒙 ∫𝟕𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟏 𝒅𝒙 (𝟕

𝟒)∫(𝟒)𝒙𝟑(𝒙𝟒 𝟏)

.𝟏𝟐/ 𝒅𝒙

(𝟕

𝟒)(𝒙𝟒 𝟏)

.𝟑𝟐/

.𝟑𝟐/

𝒄 𝟕

𝟔(𝒙𝟒 𝟏)

.𝟑𝟐/ 𝑐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

299

ـالطبعــ اللوغارتم

هةةةةةةةة uفةةةةةةةةأن مشةةةةةةةةتمة اللوغةةةةةةةةارتم الطبعةةةةةةةة للدالةةةةةةةةة xدالةةةةةةةةة موجبةةةةةةةةة لابلةةةةةةةةة لالشةةةةةةةةتماق بالنسةةةةةةةةبة الةةةةةةةةى uلةةةةةةةةتكن

( )

مشتقة الدالة

الدالة

.

/

∫عله فأن و

𝟏

| | وتسةتخدم هةذه موجبةة ( )شرط أن تكون الدالة

:وه تمتلن مجموعة من الخصائص الخاصة مثل اشتمالهاالدالة ف توفر المشتمة األولى ف بعض الدوال الت صعب

𝟏 𝟎 ( ) ( )

𝟐 𝟑) اذا كان /(1)مثال جد وفأ (𝟒

(𝟑 𝟐 𝟒)

𝟔

𝟑 𝟐 𝟒

∫ جد /(2)مثال 𝜃 𝑑

𝟏

𝜃

𝜃

𝟏 𝜃

𝜃𝜃 𝜃 𝜃

∫ 𝜃 𝑑

𝟏

𝜃

𝜃 ∫

| | |𝟏

| 𝜃

: جد مشتمة الدوال التالة : مثال /

( )

( 𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐

( ) ( ) ( )

.

/ ( )

.

/ ( )

( )

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

300

: لكل مما أت جد التكامل مثال /

∫

∫ (

)

( )𝟐

𝟐

∫

𝟐 1 (

𝟏

𝟐)∫

(𝟐)

𝟐 1

𝟏

𝟐 | 𝟐

| 1

∫𝟏

| |

∫ ∫

∫

| |

∫ ∫

| |

∫ 𝟐 𝟑

𝟏 𝟑

𝟏

𝟑∫𝟑 𝟐 𝟑

𝟏 𝟑

𝟏

𝟑 |𝟏 𝟑 |

الطبع ماللوغارتدالة

الطبعةةة بمعنةةةى أخةةةر هنةةةان بعةةةض الةةةدوال عنةةةدما نشةةةتمها أو اللوغةةةارتمهةةة دالةةةة عكسةةةة لدالةةةة الدالةةةة األسةةةة

اللوغةةةارتماألسةةةة ثةةةم عنةةةدما ننتهةةة نمةةةوم بألغةةةاط الدالةةةة األسةةةة عةةةن طرةةةك أدخةةةال دالةةةة دالةةةةالنكاملهةةةا نةةةدخل علهةةةا

الطبع الهدف من هذه العملة ه لتغر شكل الدالة المراد العمل علها

هةةة u مرفوعةةةة للمةةةوة اي دالةةةة أسةةةة أن مشةةةتمة فةةةذا لةةة

( ) (مشتقة االس)(الدالة) ( )

وعلةةةه فةةةأن

وه تمتلن مجموعة من الخصائص الخاصة مثل ( )∫

𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 ( )

𝟎 𝟏

𝟏

فجد لتكن /(3)مثال

( 𝟐 )

∫جد /(4)مثال 𝟐 3د / 2013وزاري

∫ 𝟐

𝟏

𝟐∫𝟐

𝟐

𝟏

𝟐

𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

301

عدد ثابت( ــة ) األساس الدالة األســ

هةةةةةة uن مشةةةةةةتمة اي دالةةةةةةة أسةةةةةةة مرفوعةةةةةةة للمةةةةةةوة عةةةةةةدد ثابةةةةةةت مثةةةةةةل أسةةةةةةاس الدالةةةةةةة األسةةةةةةة فةةةةةةأ ( )نفةةةةةةرض أن

( ) (مشتقة االس)( األساس )(الدالة) ( )( )

( )∫وعلةةةةةةةةةةةةةةةةةه فةةةةةةةةةةةةةةةةةأن

𝟏

( )

وتتمز ببعض الخصائص الت ذكرناها ف الدالة األسة السابمة وسوف نوضح ذلن ف المثال التال .

جد /(5)مثال

:لكل مما أت

𝟑𝟐 𝟓

𝟑𝟐 𝟓 ( 𝟑)(𝟐) (𝟐 𝟑) 𝟑𝟐 𝟓

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 ( 𝟐)( 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐)(𝟐

𝟐)

𝟓

𝟓 ( 𝟓)( )

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة

جد /مثال

: لكل مما أت

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐)

𝟏

( )

( ), - , - ( )

𝟑(𝟐 𝟒 )

𝟑(𝟐 𝟒

)( 𝟑),𝟒 ( 𝟒)(𝟏)-

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 )

𝟐

𝟐 (𝟐 𝟐 )

𝟑𝟐 𝟓

𝟑𝟐 𝟓 (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟓

𝟓

𝟓 ( 𝟓)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

302

: جد التكامل لكل مما أت /مثال

∫ 𝟕 𝟏

𝟕 𝟕

∫ ( )

∫

∫ √

√ (𝟐)∫

√

(𝟐)√ 𝟐 √

: جد التكامل لكل مما أت /مثال

∫𝟒 𝟒 (𝟏

𝟒)

∫𝟐 ( ) 𝟐 (𝟏

𝟐)

∫ 𝟑 𝟑 𝟏

𝟑∫(𝟑) 𝟑 𝟑

𝟏

𝟑 𝟑

∫ 𝟑 𝟕 ( 𝟐𝟕 ) (𝟏

𝟕)∫(𝟕)𝟑 𝟕 ( 𝟐𝟕 ) (

𝟏

𝟕)𝟑 𝟕 (

𝟏

𝟑)

∫𝟐𝟑 𝟑 𝟒𝟐 𝟏

𝟐 𝟑 ∫

𝟐𝟑 𝟑 𝟐𝟒 𝟐

𝟐 𝟑 ∫(

𝟐𝟑 𝟑

𝟐 𝟑 𝟐𝟒 𝟐

𝟐 𝟑)

∫(𝟐(𝟑 𝟑 𝟑) 𝟐(𝟒 𝟐 𝟑)) ∫𝟐𝟐 ∫𝟐𝟑 𝟓

(1

2)∫(𝟐)𝟐𝟐 (

𝟏

𝟑)∫(𝟑)𝟐𝟑 𝟓 (

1

2)𝟐𝟐 (

𝟏

𝟐) (

𝟏

𝟑)𝟐𝟑 𝟓 (

𝟏

𝟐)

∫ 𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

303

(𝟒 تمارين(𝟑

جد /1س

:لكل مما أت

(𝒂) 𝟑

𝟑

𝟑 𝟏

(𝒃) 𝐲 𝐥𝐧 .𝒙

𝟐/

.𝟏𝟐/

.𝒙𝟐/ (

𝟏

𝟐) (

𝟐

𝒙)

𝟏

𝒙

(𝒄) 𝒚 𝒍𝒏(𝒙𝟐)

𝟐𝒙

𝒙𝟐

𝟐

𝒙

(𝒅) 𝐲 (𝒍𝒏𝒙)𝟐

𝟐 𝒍𝒏𝒙 (

𝟏

𝒙)

𝟐

𝒙 𝐥𝐧𝐱

(𝒆) 𝒚 𝒍𝒏 (𝟏

𝒙) 𝟑

𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑

(

𝟑𝒙 𝟒

𝒙 𝟑) 𝟑𝒙 𝟏

𝟑

𝒙

(𝒇) 𝒚 𝒍𝒏(𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙)

( 𝒔𝒊𝒏𝒙)

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙

(𝒈) 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟓)

𝒆( 𝟓𝒙

𝟐 𝟑𝒙 𝟓) , 𝟏𝟎𝒙 𝟑- ( 𝟏𝟎𝒙 𝟑) 𝒆( 𝟓𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟓)

(𝒉) 𝒚 𝟗√𝒙

𝟗√𝒙 (𝒍𝒏𝟗) (

𝟏

𝟐√𝒙)

𝟗√𝒙

𝟐√𝒙 (𝒍𝒏𝟗)

(𝒊) 𝒚 𝟕. 𝒙𝟒/

𝟕.

𝒙𝟒/ (𝒍𝒏𝟕) (

𝟏

𝟒)

𝒍𝒏𝟕

𝟒𝟕. 𝒙𝟒/

( ) 𝟐

𝟐 𝟐 ( 𝟐)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

304

:جد التكامالت األتة /2س

(𝑎) ∫1

𝟏

,𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏 𝟑 - 𝟎

| 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐𝟐 𝟐𝒍𝒏𝟐

(𝒃) ∫𝟐

𝟐 𝟗

𝟒

𝟎

𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟐 𝟗 𝟒 - 𝟎

| | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓(𝟐) 𝒍𝒏𝟑(𝟐)

𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏𝟓

𝟑

1د / 2012وزاري 2د / 4201وزاري

(𝒄 ∫ 𝟐 𝟓

𝟑

) 𝒅𝒙 , 𝟐 𝟓 -

𝟑

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 𝟐( 𝟓) 𝟐( 𝟑)

𝟏

𝟐 (𝟓)

𝟐0 (𝟑)

𝟐 1

𝟏

𝟐𝟐𝟓, 𝟗 -

𝟏

𝟐𝟏𝟔, - 𝟖

(𝒅) ∫ 𝟐

𝟎 𝒅𝒙 ,

𝟐 - 𝟎

𝟐 𝟎 (𝟐) 𝟏

0 𝟏 1 𝟐 𝟏0 𝟏1 𝟏

𝟐 𝟏

𝟏

𝟐

2د / 2013وزاري 1د / 2011وزاري

(𝒆) ∫ (𝟏 )2 𝟏

𝟎 𝒅𝒙 *

(𝟏 )3

3+0

1

3,(𝟏 )3

𝟏 - 𝟎

1 3

1[ (1 𝒆𝟏)

3 (1 𝒆𝟎)

3]

𝟑

𝟏 (𝟏 𝒆)𝟑 (𝟏 𝟏)𝟑

𝟑

𝟏 (𝟏 𝒆)𝟑 (𝟐)𝟑

𝟑

𝟏 (𝟏 𝒆)𝟑

𝟑

𝟖

: لو كان السؤال

∫ (𝟏 ) 𝟏

𝟎 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 )

𝟏

𝟎 𝒅𝒙 *𝒆𝒙

𝒆𝟐𝒙

𝟐 +0

1

*𝒆𝟏 𝒆𝟐

𝟐+ *𝒆𝟎

𝒆𝟎

𝟐+ 𝒆𝟏

𝒆𝟐

𝟐 𝟑

𝟐

1د / 2013وزاري 2د / 2011وزاري

(𝒇) ∫𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 𝟒 𝟏

𝟏

𝟎 𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏

𝟏 - 𝟎

( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔

2د / 2012وزاري 2د / 5201وزاري

(𝒈) ∫ √

𝟐√

𝟒

𝟏

𝒅𝒙 , √ 𝟒 - 𝟎

0𝒆√𝟒 𝒆√𝟏1 𝒆𝟐 𝒆𝟏

1د / 2011وزاري

(𝒉 ∫ ( 𝟐

𝟐 )

𝟒

𝟒

) 𝒅𝒙 , |𝟐 |

𝟒 -

𝟒

𝒍𝒏 |𝟐

𝟒|𝒍𝒏 |𝟐

𝟒|𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

305

(𝒊) ∫

√

𝟐

𝟔

𝒅𝒙 ∫ ( ). 𝟏𝟐/

𝟐

𝟔

𝐝𝐱 ( ).

𝟏𝟐/

[.𝟏𝟐/

𝟔

𝟐

] , 𝟐√

𝟐 -

𝟔

𝒔𝒊𝒏𝒙

𝟐

𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐

𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

𝟐

√𝟐 𝟐 √𝟐

( ) ∫ 𝟑𝟓 ∫( 𝟐𝟓 ) 𝟓 ∫( 𝟐𝟓 𝟏) 𝟓

∫( 𝟐𝟓 𝟓 𝟓 ) ∫ 𝟓 𝟐𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙

( 𝟏

𝟓) 𝟐𝟓

𝟐 ∫

𝟓

𝟓 𝒅𝒙

𝟏

𝟏𝟎 𝟐𝟓

𝟏

𝟓 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄

1د / 2015وزاري

(𝒌 ∫ ( )

𝟐

𝟎

) 𝒅𝒙 , - 𝟐 0 .

𝟐/ (𝟎)1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 𝒆

(𝑳 ∫ 𝟐

𝟏

) 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏

𝟐

𝟏

𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏𝟐

𝟏

𝒅𝒙 ∫ 𝟐

𝟏

𝒅𝒙 , 𝟐 - 𝟏

𝟐 𝟏 𝟏

: أنأثبت /3س

( ) ∫ √

𝟑 𝟏

√ 𝟐𝟑 𝟐

𝟖

𝟏

األسر ∫ 𝟐𝟑 (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟏𝟐

𝟖

𝟏

𝟑∫ (𝟏

𝟑)

𝟐𝟑 (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟏𝟐

𝟖

𝟏

𝟑

[ (

𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐

𝟑𝟐

]

𝟏

𝟖

𝟐 [( 𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐]

𝟏

𝟖

𝟐 [(𝟖𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐 (𝟏

𝟏𝟑 𝟏)

𝟑𝟐]

𝟐 [(𝟐 𝟏)𝟑𝟐 (𝟏 𝟏)

𝟑𝟐] 𝟐 [(𝟏)

𝟑𝟐 𝟎] 𝟐(𝟏) 𝟐 األمن

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

306

( ) ∫ |𝟑 𝟔|𝟒

𝟐

𝒅𝒙 𝟑𝟎

𝟐 𝟔 𝟑مالحظة

|3 6| 23 6 26 3 < 2

الطرف األسر ∫ |3 6|

2

𝑑𝑥 ∫ (6 3 )2

2

𝑑𝑥 ∫ (3 6)

2

𝑑𝑥 *6 3 2

2 + 2

2

*3 2

2 6 +

𝟐

𝟒

(,12 𝟔- , 12 6-) ( 24 24 ,𝟔 12- ) 6 18 6 𝟑𝟎 الطرف األمن

1د / 2016وزاري

∫فأذا كان -𝟔 𝟐 ,دالة مستمرة على الفترة ( ) /4س ( )𝟔

𝟏∫وكان 𝟔 , ( ) 𝟑-

𝟔

𝟐د ـــــفج 𝟑𝟐

∫ ( )𝟏

𝟐

∫ , ( ) 𝟑-𝟔

𝟐

𝟑𝟐

∫ ( )𝟔

𝟐

∫ 𝟑𝟔

𝟐

𝟑𝟐

∫ ( )𝟔

𝟐

|𝟑 | 𝟐𝟔 𝟑𝟐

∫ ( )𝟔

𝟐

,𝟏𝟖 ( 𝟔)- 𝟑𝟐

∫ ( )𝟔

𝟐

𝟐𝟒 𝟑𝟐

∫ ( )𝟔

𝟐

𝟖

∫ ( )𝟔

𝟐

∫ ( )𝟏

𝟐

∫ ( )𝟔

𝟏

𝟖 ∫ ( )𝟏

𝟐

𝟔

∫ ( )𝟏

𝟐

𝟖 𝟔 ∫ ( )𝟏

𝟐

𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

307

∫أذا علمت أن جد لمة / 5س . 𝟏

𝟐/

𝟏 𝟐∫ 𝟐

𝟒𝟎

/الحل

∫ ( 𝟏

𝟐)

𝟏

𝟐∫ 𝟐

𝟒

𝟎 *

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 +𝟏

𝟐, -𝟎

𝟒

( 𝟐

𝟐

𝟐) (

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐) 𝟐 [

𝟒 𝟎]

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐,𝟏 𝟎-

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟑

(×𝟐)⇒ 𝟐 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎

𝟑 𝟐

( ) لتكن / 6س 𝟐 ∫فجد (𝟓 )دالة نهاتها الصغرى تساوي حث 𝟐 ( ) 𝟑

𝟏

للدالة نهاة صغرى /الحل

∴ ( ) 𝟎

( ) 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐)⇒ 𝟏

( ) نمطة نهاة صغرى محلة وه تحمك معادلة الدالة (𝟓 𝟏 )النمطة ∴

𝟓 ( 𝟏)𝟐 𝟐( 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒

( ) 𝟐 𝟐 𝟒

∫ ( ) 𝟑

𝟏

∫ ( 𝟐 𝟐 𝟒 ) 𝟑

𝟏

* 𝟑

𝟑 𝟐 𝟒 +

(𝟗 𝟗 𝟏𝟐) (𝟏

𝟑 𝟏 𝟒) 𝟔 (

𝟏

𝟑 𝟑)

𝟔 (𝟏 𝟗

𝟑) 𝟔 (

𝟖

𝟑)

𝟏𝟖 𝟖

𝟑 𝟐𝟔

𝟑

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

308

( ) أذا كةةةان للمنحنةةة / 7س ( 𝟑)𝟑 جةةةد الممةةةةة العددةةةة للممةةةةدار ( )الب ـــــةةةـنمطةةةةة انم 𝟏

∫ ( )

𝟎 ∫ ( )

𝟎 3د / 2015وزاري

للدالة نمطة أنمالب /الحل

∴ ( ) 𝟎

( ) ( 𝟑)𝟑 𝟏

( ) 𝟑( 𝟑)𝟐

( ) 𝟔( 𝟑) 𝟔( 𝟑) 𝟎 ( 𝟔)⇒ 𝟑 𝟎 𝟑

(𝟑) (𝟑 𝟑)𝟑 𝟏 𝟏 𝟏

𝟑 أي أن (𝟏 𝟑)ه ( )نمطة األنمالب ∴ 𝟏

∫ ( )

𝟎

∫ ( )

𝟎

∫ 𝟑( 𝟑)𝟐𝟏

𝟎

∫ 𝟔( 𝟑)𝟑

𝟎

𝟑 *( 𝟑)𝟑

𝟑+𝟎

𝟏

𝟔 *( 𝟑)𝟐

𝟐+𝟎

𝟑

𝟑 *(𝟏 𝟑)𝟑

𝟑 (𝟎 𝟑)𝟑

𝟑+ 𝟔 *

(𝟑 𝟑)𝟐

𝟐 (𝟎 𝟑)𝟐

𝟐+

𝟑 [ 𝟖

𝟑 𝟐𝟕

𝟑] 𝟔 [𝟎

𝟗

𝟐]

𝟑 [ 𝟏𝟗

𝟑] 𝟔 [

𝟗

𝟐]

𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

309

أمثلة أضافة محلولة : جد التكامالت التالة مثال /

(𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫𝒔𝒆𝒄𝒙(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙)

(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫

𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄

(𝟐) ∫𝒆𝒍𝒏(𝒙𝟐 𝟓)𝒅𝒙 ∫(𝒙𝟐 𝟓)𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝟓𝒙 𝒄

(𝟑) ∫ 𝒆|𝒙|𝟐

𝟐

𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙𝟎

𝟐

𝒅𝒙 ∫ 𝒆𝒙𝟐

𝟎

𝒅𝒙 ,𝟏 𝒆𝟐- ,𝒆𝟐 𝟏- 𝟐𝒆𝟐 𝟐

(𝟒) ∫𝒅𝒙

𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙 ∫

(𝟏 𝒍𝒏𝒙) 𝟏𝟐 𝒅𝒙

𝒙 (𝟏 𝒍𝒏𝒙)

𝟏𝟐

.𝟏𝟐/

𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄

(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒔𝒊𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄

(𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄

(𝟕) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫𝒄𝒔𝒄𝒙(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙)

(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙) 𝒅𝒙 ∫

𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄

(𝟖) ∫𝒔𝒆𝒄√𝒙

√𝒙𝒅𝒙 𝟐∫

𝒔𝒆𝒄√𝒙

(𝟐)√𝒙𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√𝒙 𝒕𝒂𝒏√𝒙| 𝒄

(𝟗) ∫ (𝟏

𝒙 𝒍𝒏𝒙

𝒙)𝒅𝒙 ∫

𝟏

𝒙𝒅𝒙 ∫

𝒍𝒏𝒙

𝒙𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙

(𝒍𝒏𝒙)𝟐

𝟐 𝒄

(𝟏𝟎) ∫(𝒍𝒏𝒙)

𝒙

𝟑

𝒅𝒙 (𝒍𝒏𝒙)𝟒

𝟒 𝒄

(𝟏𝟒) ∫𝒆𝒙

(𝒆 𝒆𝒙)𝟐𝒅𝒙 ∫𝒆𝒙(𝒆 𝒆𝒙) 𝟐𝒅𝒙

(𝒆 𝒆𝒙) 𝟏

𝟏 𝒄

𝟏

𝒆 𝒆𝒙 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

310

جد مثال /

: التالةللدوال

(𝟏) ( )

(

𝟏

) (𝟏)

𝟏 (𝟏 ) ( ) (𝟏 )

(𝟐) ( ) ( ) ( )( ) ( )𝟐

𝟐 (

𝟏

)

𝟐

(

𝟐

) ( ) (

𝟐

)

(𝟑) ( ) ( )

(𝟒 ) ( ) 𝒙 𝟐( ) ,𝟏 - 𝒙

𝟐( ) 𝟐( ) 𝒙

𝟐( ) 𝟐( ) 𝒙

, 𝟐( )𝒙 𝟐( ) -

𝟐( )

𝟐( )

𝒙

(𝟓)

𝟑 𝟏

(𝟑 𝟏)(𝟏) ( )( 𝟑 𝟑 )

(𝟑 𝟏)𝟐 (𝟑 𝟏) ( 𝟑 𝟑 )

(𝟑 𝟏)𝟐

: جد معادلة المماس للمنحن للدوال التالة مثال /

⒜ 𝟎 عندما

نقطة التماس (𝟏 𝟎) 𝟏 𝟎

مل المماس 𝟎 𝟏

𝟏 𝟏

𝟏 𝟏

𝟎 𝟏 𝟏 /معادلة المماس. 𝟎

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

311

(b) 𝟐 𝟏 عندما

𝟐 𝟐𝟏 نقطة التماس (𝟐 𝟏) 𝟐

مل المماس (𝟐 ) 𝟐 (𝟐𝟏) 𝟐 𝟐𝟐 𝟒

𝟏 𝟏

𝟒 𝟐

𝟏 𝟐 (معادلة المماس) (𝟏 )𝟒

(c) عندما

( ) (𝟏) نقطة التماس ( )

مل المماس (𝟏

) (𝟏) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐

𝟏 𝟏

𝟐

(معادلة المماس) ( )𝟐

( ) أثبت أن الدالة مثال / ( ) , 0𝟎

𝟒1 ( ) دالة ممابلة للدالة ثم

∫جد لمة ( )

𝟒𝟎

الحل /

ه دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أضا ( ) ه دالة مستمرة و لابلة لألشتماق وكذلن ( )

( ) 𝟐

( )

( )

( ه دالة مقابلة للدالة )

∫

𝟒

𝟎

, ( )- (√𝟐 𝟏) (𝟏 𝟎) (√𝟐 𝟏)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

312

مالحظة:

.نستخدم ( )أذا كان مل المنحن حتوي على المتغر

للمل ثم نضع كل متغر على جهة ثم نكامل الطرفن /

******************************************************************

𝟐 𝟑ومله عند كل نمطة من نماطه ساوي 𝟕 𝟑جد منحن الدالة الذي مس المستمم : 1س 𝟔

نمطةة نهاةة عظمةى محلةة جةد منحنة الدالةة ثةم (𝟒 𝟏 )النمطةة وكةان للدالةة 𝟔 أذا كانت المشتمة الثانةة : 2س

بأستخدام التفاضل أرسم منحن الدالة

𝟐 )جد معادلة منحن الدالة الذي مله عند كل نمطة من نمطه ساوي : 3س وله نهاةة صةغرى محلةة لمتهةا ( 𝟔

< )وكان المنحن ممعر (𝟑 ) > )ومحدب لكل (𝟏 𝟏)

ومله عند كل نمطة من نمطه ساوي (𝟐 𝟏 )جد معادلة المنحن المار بالنمطة : 4س 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟐 𝟑

هو ( )كل نمطة من نمطها ملها عند المنحنات أذا علمت أن معادلةجد : 5س 𝟐

𝟐

******************************************************************

اجاد مساحة المنطمة المستوة

ــنات منحن ومحور السـالمنطمة المستوة المحددة ب حةمسا

ومحةور ( ) مسةاحة المنطمةة المحةددة بةالمنحن Aولتكن - ,دالة مستمرة على الفترة ( ) لتكن

∫| فأن السنات والمستممن ( )

|

: خطوات الحل

:ل منحن ومحور السنات نتبع ماالجاد المساحة بن

Ⓘ نجعةةةةل ( ) فنجةةةةزي - ,الجةةةةاد نمةةةةاط التمةةةةاطع مةةةةع محةةةةور السةةةةنات فةةةةأذا كةةةةان النةةةةات نتمةةةة للفتةةةةرة 𝟎

. الفترة كما تعلمنا سابما واذا كان النات النتم للفترة فهمل وتؤخذ الفترة المعطاة فمط

اذا لم تعطى مع الدالة فترة فالفترة تم تحددها من خالل نماط تماطع الدالة مع محور السنات ②

تكامالت المجزئة المم المطلمة للالمساحة = مجموع ③

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

313

( ) جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةة الدالةةةةة /(1)مثةةةةال 𝟑 ومحةةةةور السةةةةنات وعلةةةةى 𝟒

-𝟐 𝟐 ,الفترة

الحل /

( ) نجعل الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐

(𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐 )فترات التكامل ه ∴

|∫ ( 𝟑 𝟒 )𝟎

𝟐

| |∫ ( 𝟑 𝟒 )𝟐

𝟎

| * 𝟒

𝟒 𝟐 𝟐+

𝟐

𝟎

* 𝟒

𝟒 𝟐 𝟐+

𝟎

𝟐

|(𝟎) (𝟒 𝟖)| |(𝟒 𝟖) (𝟎)| 𝟒 | 𝟒| ( وحدة مربعة) 𝟖

3د / 2013وزاري

ومحةةةةةةةور السةةةةةةةنات 𝟐 ة ــةةةةةةةـددة بمنحنةةةةةةة الدالـــةةةةةةةـاحة المنطمةةةةةةةة المحـــةةةةةةةـجةةةةةةةد مس /(2)مثةةةةةةةال

𝟑 𝟏 والمستممن

الحل /

الجاد نمط التماطع 𝟎 نجعل

𝟐 𝟎 𝟎 ,𝟏 𝟑-

|∫ 𝟐𝟑

𝟏

|

𝟑

* 𝟑

𝟑+

𝟏

|[𝟐𝟕

𝟑] [

𝟏

𝟑]|

𝟐𝟔

𝟑 ( وحدة مساحة)

1د / 2013وزاري

( ) جد مساحة المنطمة المحددة بمنحن الدالة /(3)مثال 𝟑 𝟑 𝟐 ومحور السنات 𝟐

الحل /

( ) نجعل الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐

|∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 )𝟏

𝟎

| |∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 )𝟐

𝟏

| * 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐+

𝟎

𝟏

* 𝟒

𝟒 𝟑 𝟐+

𝟏

𝟐

|(𝟏

𝟒 𝟏 𝟏) (𝟎)| |(𝟒 𝟖 𝟒) (

𝟏

𝟒 𝟏 𝟏)|

𝟏

𝟒 | 𝟏

𝟒|

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 ( وحدة مساحة)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

314

( ) جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةة الدالةةةة /(4)مثةةةال 𝟐 ومحةةةةور السةةةةنات وعلةةةةى 𝟏

-𝟑 𝟐 ,الفترة

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟐 𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 , 𝟐 𝟑-

|∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟏

𝟐

| |∫ ( 𝟐 𝟏)𝟏

𝟏

| |∫ ( 𝟐 𝟏)𝟑

𝟏

|

* 𝟑

𝟑 +

𝟐

𝟏

* 𝟑

𝟑 +

𝟏

𝟏

* 𝟑

𝟑 +

𝟏

𝟑

|[( 𝟏

𝟑 𝟏) (

𝟖

𝟑 𝟐)] [(

𝟏

𝟑 𝟏) (

𝟏

𝟑 𝟏)] [(𝟗 𝟑) (

𝟏

𝟑 𝟏)]|

|𝟕

𝟑 𝟏| |

𝟐

𝟑 𝟐| |𝟕

𝟏

𝟑|

𝟒

𝟑 𝟒

𝟑 𝟐𝟎

𝟑 𝟐𝟖

𝟑 𝟗

𝟏

𝟑 ( وحدة مساحة)

( ) احة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةة الدالةةةةة ـــةةةةـجةةةةد مس /(5)مثةةةةال ومحةةةةور السةةةةنات وعلةةةةى

0الفترة

𝟐 1

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟎 𝟎 [ 𝟐 ]

|∫ 𝟎

𝟐

| |∫

𝟎

| |

𝟎, -

𝟐 | |

, -

𝟎 |

| (𝟎) .

𝟐/| | ( ) (𝟎)| , 𝟏 𝟎- ,𝟏 𝟏- | 𝟏| 𝟐 ( وحدة مساحة) 𝟑

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

315

ومحةةةةور السةةةةنات وعلةةةةى ة ـــةةةةـاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةة الدالــةةةةـجةةةةد مس /(6)مثةةةةال

- ,الفترة

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟎

𝟐 , -

|∫

𝟐

| |∫

𝟐

𝟐

| |∫

𝟐

| |

𝟐, -

| ||

𝟐, -

𝟐

|| |

, -

𝟐 |

| .

𝟐/ ( )| | .

𝟐/ .

𝟐/| | ( ) .

𝟐/|

| 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 ( وحدة مساحة) 𝟒

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة( ) احة المنطمةةةةةة المحةةةةةددة بمنحنةةةةة الدالةةةةةة ـــةةةةةـجةةةةةد مس مثةةةةةال / 𝟐 ومحةةةةةور السةةةةةنات وعلةةةةةى 𝟒

-𝟑 𝟏 ,الفترة

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐 , 𝟏 𝟑- ( همل السالب)

|∫ ( 𝟐 𝟒)𝟐

𝟏

| |∫ ( 𝟐 𝟒)𝟑

𝟐

| |* 𝟑

𝟑 𝟒 +

𝟏

𝟐

| |* 𝟑

𝟑 𝟒 +

𝟐

𝟑

|

|(𝟖

𝟑 𝟖) (

𝟏

𝟑 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (

𝟖

𝟑 𝟖)| |

𝟗

𝟑 𝟖 𝟒| | 𝟑

𝟖

𝟑 𝟖|

|𝟑 𝟏𝟐| |𝟓 𝟖

𝟑| | 𝟗| |

𝟏𝟓 𝟖

𝟑| 𝟗

𝟕

𝟑 𝟐𝟕 𝟕

𝟑 𝟑𝟒

𝟑 / وحدة مساحة.

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

316

( ) ة ــــاحة المنطمة المحددة بمنحن الدالـــــجد مس مثال / -𝟐 𝟎,نات وعلى الفترة ــــومحور الس

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

( المكن ألنه دائما عدد موجب أكبر من الصفر ) 𝟎

|∫ 𝟐

𝟎

| | 𝟐 𝟎| ( 𝟐 ( وحدة مربعة) (𝟏

( ) جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةة الدالةةةةة مثةةةةال / ومحةةةةور السةةةةنات 𝟐 𝟐

0𝟎وعلى الفترة

𝟐1

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟒 [𝟎

𝟐]

|∫ 𝟐

𝟒

𝟎

| |∫ 𝟐

𝟐

𝟒

| |[𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟎

𝟒| |[

𝟏

𝟐 𝟐 ]

𝟒

𝟐| [

𝟏

𝟐(𝟏 𝟎)] [

𝟏

𝟐(𝟎 𝟏)]

𝟏

𝟐 |

𝟏

𝟐| ( وحدة مربعة) 𝟏

******************************************************************

مساحة المنطمة المحددة بمنحنن

والمسةتممن f,gدة بةالمنحنن فأن المساحة المحةد - ,دالتن مستمرتان على الفترة ( ) ( ) لتكن

∫| ه ( ( ) ( ))

|

خطوات الحل :

:الجاد المساحة بن منحن دالتن نتبع مال

Ⓘ نجعةةةل ( ) فنجةةةزي الفتةةةةرة كمةةةا تعلمنةةةةا - ,الجةةةاد نمةةةةاط التمةةةاطع فةةةأذا كةةةةان النةةةات نتمةةةة للفتةةةرة ( )

. سابما واذا كان النات النتم للفترة فهمل وتؤخذ الفترة المعطاة فمط

. اذا لم تعطى مع الدالة فترة فالفترة تم تحددها من خالل نماط تماطع الدالتن②

الدالة األصغر ( –للدالة األكبر )مجموع المم المطلمة للتكامالت المجزئة المساحة = ③

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

317

1د / 2011 يوزار

والمستمم √ المحددة بالمنحن المنطمة جد مساحة /(1)مثال

الحل /

√وذلن بجعل نمط التماطع نجد

√ (بالتربع)⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏

|∫ (√ )𝟏

𝟎

| |∫ ( .𝟏𝟐/ )

𝟏

𝟎

| |[ .𝟑𝟐/

.𝟑𝟐/

𝟐

𝟐]

𝟎

𝟏

| [*𝟐 √ 𝟑

𝟑 𝟐

𝟐+𝟎

𝟏

]

[(𝟐

𝟑 𝟏

𝟐) (𝟎)]

𝟒 𝟑

𝟔 𝟏

𝟔 / وحدة مساحة.

والمستمم 𝟑 المنحن المحصورة بن المنطمة جد مساحة /(2)مثال

الحل /

𝟑 نجد نمط التماطع وذلن بجعل

𝟑 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏

|∫ ( 𝟑 )𝟎

𝟏

| |∫ ( 𝟑 )𝟏

𝟎

| |* 𝟒

𝟒 𝟐

𝟐+ 𝟏

𝟎

| |* 𝟒

𝟒 𝟐

𝟐+𝟎

𝟏

|

|(𝟎) (𝟏

𝟒 𝟏

𝟐)| |(

𝟏

𝟒 𝟏

𝟐) (𝟎)|

𝟏

𝟒 | 𝟏

𝟒|

𝟏

𝟐 (وحدة مساحة)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

318

( ) منحنن الاحة المنطمةةةةةةةةة المحةةةةةةةةددة بةةةةةةةةـــةةةةةةةةـجةةةةةةةةد مس /(3)مثةةةةةةةةال ( ) و

0وعلى الفترة

𝟐

𝟐1

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع ( )

𝟏

𝟒 [ 𝟐 𝟐] (األتجاه الموجب)

|∫ ( )

𝟒

𝟐

| |∫ ( )

𝟐

𝟒

| ||,

𝟒 -

𝟐

|| |

|,

𝟐

-

𝟒

||

|( .

𝟒/ .

𝟒/) ( .

𝟐/ .

𝟐/)| |( .

𝟐/ .

𝟐/) ( .

𝟒/ .

𝟒/)|

|(𝟏

√𝟐 𝟏

√𝟐) ( 𝟏 𝟎)| |(𝟏 𝟎) (

𝟏

√𝟐 𝟏

√𝟐)|

|𝟐

√𝟐 𝟏| |𝟏

𝟐

√𝟐| |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 / وحدة مساحة. 𝟐√𝟐

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة( ) منحنن الجةةةةةةةد مسةةةةةةةاحة المنطمةةةةةةةة المحةةةةةةةددة بةةةةةةة مثةةةةةةةال / 𝟐 ( ) و 𝟏 𝟐 𝟓

-𝟑 𝟐 ,وعلى الفترة

( ) نجعل / الحل الجاد نمط التماطع ( )

𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒)( 𝟏) 𝟎

𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑

|∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒) 𝟏

𝟐

| |∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒)𝟑

𝟏

| |* 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐 𝟒 +

𝟐

𝟏

| |* 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐 𝟒 +

𝟏

𝟑

|

|( 𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟒) (

𝟖

𝟑 𝟔 𝟖)| |(𝟗

𝟐𝟕

𝟐 𝟏𝟐) (

𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟒)|

| 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖

𝟔| |

𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒

𝟔|

𝟏𝟕

𝟔 | 𝟏𝟏𝟐

𝟔|

𝟏𝟕

𝟔 𝟏𝟏𝟐

𝟔 𝟏𝟐𝟗

𝟔 𝟒𝟑

𝟐 ( وحدة مساحة)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

319

𝟒 المحددة بالمنحنن المساحة جد مثال / 𝟐 و 𝟏𝟐

الحل /

( ) نجعل الجاد نمط التماطع ( )

𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒)( 𝟐 𝟑) 𝟎 𝟐 همل 𝟑 √∓

|∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐)𝟐

𝟐 | |*

𝟓

𝟓 𝟑

𝟑 𝟏𝟐 +

𝟐

𝟐

| *𝟑𝟐

𝟓 𝟖

𝟑 𝟐𝟒+ *

𝟑𝟐

𝟓 𝟖

𝟑 𝟐𝟒+

|𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎

𝟏𝟓| |

𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎

𝟏𝟓| |

𝟑𝟎𝟒

𝟏𝟓|

𝟑𝟎𝟒

𝟏𝟓 𝟔𝟎𝟖

𝟏𝟓 𝟒𝟎

𝟖

𝟏𝟓 ( وحدة مساحة)

( ) جةةةةةةد مسةةةةةةاحة المنطمةةةةةةة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمنحنن مثةةةةةةال / ( ) و 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐

0𝟎وعلى الفترة

𝟐1

الحل /

( ) نجعل الجاد نمط التماطع ( )

𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏

𝟏 𝟐 [𝟎

𝟐] ( همل) 𝟏

|∫ ( 𝟐 𝟏)

𝟐

𝟎

| |∫ ( 𝟐 )

𝟐

𝟎

∫

𝟐

𝟎

| |∫ (𝟏

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 )

𝟐

𝟎

∫

𝟐

𝟎

|

|[𝟏

𝟐

𝟏

𝟒 𝟐 ]

𝟎

𝟐 , -

𝟎

𝟐| |[(

𝟏

𝟐×

𝟐 𝟎) 𝟎] 0

𝟐 𝟎1| |

𝟒

𝟐| |

𝟒|

𝟒 ( وحدة مساحة)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

320

( ) جد مساحة المنطمة المحصورة بن المنحنن مثال / | 𝟏| ( ) و 𝟐 𝟏

𝟓 𝟕

( ) الحل / 2 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 < 𝟏

( ) 2 𝟏 𝟏𝟑 < 𝟏

( ) نجعل الجاد نمط التماطع ( )

𝟏 𝟏

𝟓 𝟕

𝟔

𝟓 𝟔 𝟓 𝟏

𝟑 𝟏

𝟓 𝟕

𝟒

𝟓 𝟒 𝟓 < 𝟏

|∫ (𝟒

𝟓 𝟒)

𝟏

𝟓

| |∫ ( 𝟔

𝟓 𝟔)

𝟓

𝟏

| |*𝟒 𝟐

𝟏𝟎 𝟒 +

𝟓

𝟏

| |* 𝟔 𝟐

𝟏𝟎 𝟔 +

𝟏

𝟓

|

|(𝟒

𝟏𝟎 𝟒) (𝟏𝟎 𝟐𝟎)| |( 𝟏𝟓 𝟑𝟎) (

𝟔

𝟏𝟎 𝟔)| |

𝟒𝟒

𝟏𝟎 𝟏𝟎| |𝟏𝟓

𝟓𝟒

𝟏𝟎|

|𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒

𝟏𝟎|

𝟐𝟒𝟎

𝟏𝟎 / وحدة مساحة. 𝟐𝟒

( ) جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنن مثال / 𝟐 ( ) 𝟏

𝟐 -𝟏 𝟎,وعلى الفترة 𝟐

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع ( )

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐 𝟐 𝟎

(بالدستور)⇒

𝟏𝟐

𝟏𝟒 𝟖

𝟐

𝟏𝟐

𝟑𝟑𝟒

𝟐

𝟏𝟐 √𝟑𝟑𝟐

𝟐 𝟏 √𝟑𝟑

𝟒

𝟏 √𝟑𝟑

𝟒 𝟎 𝟏

(0) نختبر الدالة 0 < (0) ه الدالة األكبر ( ) لذا فأن الدالة 2

|∫ (𝟏

𝟐 𝟐 𝟐)

𝟏

𝟎

| |* 𝟐

𝟒 𝟐

𝟑

𝟑+𝟎

𝟏

| |(𝟏

𝟒 𝟐

𝟏

𝟑) (𝟎)|

𝟑 𝟐𝟒 𝟒

𝟏𝟐

𝟐𝟑

𝟏𝟐 / وحدة مساحة.

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

321

المســــــافة

سةةةرعة جسةةةم تحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمم وفةةة مسةةةتوي مةةةا فةةةأن المسةةةافة الممطوعةةةة فةةة الفتةةةرة ( ) لةةةتكن

∫ : ه -𝟐 𝟏 , الزمنة | ( )| 𝟐 𝟏

ممدار المسافة وه كمة غر متجهة ( )حث تمثل

ة ـــــــةةةةةةـات متجهةةةةةةة وأن أزاحــــةةةةةةـفهةةةةةة كم ( ) والتعجةةةةةةل ( )رعة ـــــــةةةةةةـوالس ( ) ا األزاحةةةةةةةــــــــــةةةةةةـأم

∫ الجسم ه ( ) 𝟐 𝟏

( ) ∫ و سرعة الجسم

مالحظات :

Ⓘ هم أذا كان موجب أو سالب أو صفر األزاحة تكامل محدد للسرعة وكون بدون مطلك ألن النات ال

كون النات سالب وجود المطلك ف لانون المسافة هو لك ال ②

∫جد األزاحة خالل الثانة الثامنة فهذا عن حساب مثال أذا طلب ف السؤال ③ الدالة

∫أذا طلب ف السؤال مثال جد األزاحة خالل الثوان الخمس األولى فهذا عن حساب ④ الدالة

السرعةأذا أعط ف السؤال تعجل الجسم فأن ⑤ ( ) ∫ وهو تكامل غر محدد التعجل

فةةة حالةةةة أجةةةاد المسةةةافة تغةةةر أتجةةةاه الجسةةةم وهةةةذا عنةةة حةةةدوث تجزئةةةة فةةة التكامةةةل أن وجةةةد وفةةة حالةةةة ⑥

األزاحة كون أتجاه الجسم ثابت لذا تهمل التجزئة ف التكامل أن وجدت .

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

322

( ) جسم تحرن على خط مستمم بسرعة /(1)مثال :فجــــــــــــــد ⁄ 𝟒 𝟐

ⓐ 𝟑 𝟏,المسافة الممطوعة ف الفترة - ⓑ 𝟑 𝟏,األزاحة الممطوعة ف الفترة -

ⓒامسة المسافة الممطوعة ف الثانة الخ ⓓ ثوان من بدط الحركة (4)بعده بعد مض

4 2/ل الح 0 2 4 𝟐 ,1 3 -

|∫ (𝟐 𝟒)𝟐

𝟏

| |∫ (𝟐 𝟒)𝟑

𝟐

| |, 𝟐 𝟒 𝟐

-

𝟏

| |, 𝟐 𝟒 𝟑

-

𝟐

|

|(𝟒 𝟖) (𝟏 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (𝟒 𝟖)| | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐

∫ (𝟐 𝟒)𝟑

𝟏

, 𝟐 𝟒 𝟑

-

𝟏

(𝟗 𝟏𝟐) (𝟏 𝟒) 𝟑 𝟑 𝟎

|∫ (𝟐 𝟒)𝟓

𝟒

| |, 𝟐 𝟒 𝟓

-

𝟒

| |,(𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟏𝟔 𝟏𝟔)-| 𝟓

∫ (𝟐 𝟒)𝟒

𝟎

|, 𝟐 𝟒 𝟒

-

𝟎

| ,(𝟏𝟔 𝟏𝟔) (𝟎)- 𝟎

⁄𝟐 𝟏𝟖)جسةةةةم تحةةةةرن علةةةةةى خةةةةط مسةةةةتمم بتعجةةةةل /(2)مثةةةةال فةةةةةأذا كانةةةةت سةةةةرعته لةةةةد أصةةةةةبحت (

:فجد من بدط الحركة ثوان (4)بعد مرور ( 𝟖𝟐)

ⓐ الثالثةالثانة المسافة خالل ⓑ ثوان (3)بعده عن نمطة بدط الحركة بعد مرور

الحل /

∫ ( ) ∫𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖

𝟖𝟐 𝟏𝟖(𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎

𝟏𝟖 𝟏𝟎

|∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)𝟑

𝟐

| |,𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

-

𝟐

| |(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟑𝟔 𝟐𝟎)| 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓

∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)𝟑

𝟎

,𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

-

𝟎

(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏

ⓒ ثوان (10)ف المثال أعاله جد السرعة بعد مرور

( ) 𝟏𝟖 𝟏𝟎 (𝟏𝟎) 𝟏𝟖(𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

323

(𝟒 تمارين(𝟔

𝟒 منحن الاحة المحددة بـمسالجد / 1س 𝟏 𝟏 ومحور السنات والمستممن

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟒 𝟎 ( 𝟑 𝟏) 𝟎 𝟎 , 𝟏 𝟏- 𝟏 , 𝟏 𝟏-

|∫ ( 𝟒 )𝟎

𝟏

| |∫ ( 𝟒 )𝟏

𝟎

| |* 𝟓

𝟓

𝟐

𝟐

+ 𝟏

𝟎

| |* 𝟓

𝟓

𝟐

𝟐

+𝟎

𝟏

|

|(𝟎) ( 𝟏

𝟓 𝟏

𝟐)| |(

𝟏

𝟓 𝟏

𝟐) (𝟎)| | (

𝟐 𝟓

𝟏𝟎)| |(

𝟐 𝟓

𝟏𝟎)|

𝟕

𝟏𝟎 𝟑

𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟏𝟎 / وحدة مساحة. 𝟏

( ) الدالةاحة المحددة بـمسالجد / 2س 𝟒 𝟑 𝟐 ومحور السنات -𝟑 𝟐 ,وعلى الفترة 𝟒

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐 , 𝟐 𝟑- 𝟐 همل 𝟏

|∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒)𝟐

𝟐

| |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒)𝟑

𝟐

| |* 𝟓

𝟓 𝟑 𝟒 +

𝟐

𝟐

| |* 𝟓

𝟓 𝟑 𝟒 +

𝟐

𝟑

|

|(𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖) (

𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖)| |(

𝟐𝟒𝟑

𝟓 𝟐𝟕 𝟏𝟐) (

𝟑𝟐

𝟓 𝟖 𝟖)|

|𝟔𝟒

𝟓 𝟑𝟐| |

𝟐𝟏𝟏

𝟓 𝟐𝟑| |

𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎

𝟓| |

𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓

𝟓|

| 𝟗𝟔| 𝟗𝟔

𝟓 𝟏𝟗𝟐

𝟓 / وحدة مساحة.

( ) الدالةاحة المحددة بـمسالجد /3س 𝟒 ومحور السنات 𝟐

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟒 𝟐 𝟎 𝟐( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏

|∫ ( 𝟒 𝟐)𝟎

𝟏

| |∫ ( 𝟒 𝟐)𝟏

𝟎

| |* 𝟓

𝟓 𝟑

𝟑+ 𝟏

𝟎

| |* 𝟓

𝟓 𝟑

𝟑+𝟎

𝟏

|

|(𝟎) ( 𝟏

𝟓 𝟏

𝟑)| |(

𝟏

𝟓 𝟏

𝟑) (𝟎)| |

𝟑 𝟓

𝟏𝟓| |

𝟑 𝟓

𝟏𝟓| |

𝟐

𝟏𝟓| |

𝟐

𝟏𝟓|

𝟒

𝟏𝟓 / وحدة مساحة.

2د / 2012 وزاري

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

324

0𝟎ومحور السنات وعلى الفترة 𝟑 منحنالاحة المحددة بـمسالجد /4س

𝟐1

الحل /

( ) نجعل الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 𝟎 0𝟎

𝟐1

𝟑 0𝟎

𝟐1

𝟐

𝟑 0𝟎

𝟐1

|∫ 𝟑

𝟑

𝟎

| |∫ 𝟑

𝟐

𝟑

| |* 𝟑

𝟑+𝟎

𝟑

| |* 𝟑

𝟑+ 𝟑

𝟐

|

|[ 𝟑 .

𝟑/

𝟑] *

𝟑(𝟎)

𝟑+| |[

𝟑 . 𝟐/

𝟑] [

𝟑 . 𝟑/

𝟑]|

|* ( )

𝟑+ *

(𝟎)

𝟑+| |[

(𝟑 𝟐)

𝟑] *

( )

𝟑+|

|* ( 𝟏)

𝟑+ *

𝟏

𝟑+| |,𝟎- *

( 𝟏)

𝟑+| |

𝟏

𝟑 𝟏

𝟑| |

𝟏

𝟑|

𝟐

𝟑 𝟏

𝟑 وحدة مساحة 𝟏

0𝟎ومحور السنات وعلى الفترة 𝟏 𝟐 𝟐 منحنالاحة المحددة بـمسالجد /5س

𝟐1

الحل /

( ) نجعل الجاد نمط التماطع 𝟎

𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

𝟐 𝟑

𝟐

𝟒 0𝟎

𝟐1

𝟑

𝟒 0𝟎

𝟐1

|∫ 𝟐

𝟒

𝟎

| |∫ 𝟐

𝟐

𝟒

| |* 𝟐

𝟐+𝟎

𝟒

| |* 𝟐

𝟐+ 𝟒

𝟐

|

| 𝟐 .

𝟒/

𝟐 𝟐(𝟎)

𝟐| |

𝟐 . 𝟐/

𝟐 𝟐 .

𝟒/

𝟐| |

. 𝟐/

𝟐 (𝟎)

𝟐| |

( )

𝟐 .

𝟐/

𝟐|

|𝟏

𝟐 𝟎 | |𝟎

𝟏

𝟐| |

𝟏

𝟐| |

𝟏

𝟐|

𝟏

𝟐 𝟏

𝟐 وحدة مساحة 𝟏

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

325

𝟏 √ مساحة المحددة بالدالتن الجد /6س 𝟏

𝟐 [2,5]وعلى الفترة

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع ( )

√ 𝟏 𝟏

𝟐

/( بالتربع).

⇒ 𝟏 𝟏

𝟒 𝟐

(× 𝟒)⇒ 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐)𝟐 𝟎 𝟐 ,𝟐 𝟓-

|∫ [𝟏

𝟐 ( 𝟏)

𝟏𝟐]

𝟓

𝟐

| |[ 𝟐

𝟒 ( 𝟏)

𝟑𝟐

.𝟑𝟐/

]

𝟐

𝟓

| |[ 𝟐

𝟒 𝟐( 𝟏)

𝟑𝟐

𝟑]

𝟐

𝟓

|

| 𝟐𝟓

𝟒 𝟐(𝟒)

𝟑𝟐

𝟑 𝟏

𝟐(𝟏)𝟑𝟐

𝟑 | |

𝟐𝟓

𝟒 𝟐(𝟐𝟐)

𝟑𝟐

𝟑 (𝟏

𝟐

𝟑)|

|𝟐𝟓

𝟒 𝟏𝟔

𝟑 𝟏

𝟑| |

𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒

𝟏𝟐| |

𝟕

𝟏𝟐|

𝟕

𝟏𝟐 ( وحدة مساحة)

𝟒 المحددة بالدالتن جد المساحة /7س 𝟏𝟐 𝟐

(𝟒𝟖)محلول صفحة الحل /

1د / 2014وزاري

( ) المحددة بالدالتن احة ـــــمسالجد / 8س ( ) - 𝟐 𝟎, حث ( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع ( )

𝟎 ( 𝟏) 𝟎

𝟎 𝟎 ,𝟎 𝟐 - ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 -

𝟏 𝟎 ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 -

|∫ ( )

𝟎

| |∫ ( )𝟐

|

|* 𝟐

𝟐 +

𝟎

| |* 𝟐

𝟐 +

𝟐

|

|* 𝟐( )

𝟐 ( )+ *

𝟐(𝟎)

𝟐 (𝟎)+| |*

𝟐(𝟐 )

𝟐 (𝟐 )+ *

𝟐( )

𝟐 ( )+|

|(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 وحدة مساحة 𝟒

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

326

2د / 2013وزاري

( ) لدالتن المحددة با المساحةجد / 9س 𝟐 𝟏 ( ) 0𝟎 حث 𝟑

𝟐1

( ) نجعل الحل / الجاد نمط التماطع ( )

𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑

𝟐 [𝟎

𝟑

𝟐]

|∫ ( 𝟏)

𝟑 𝟐

𝟎

| |, -𝟎

𝟑 𝟐 |

|( 𝟑

𝟐 𝟑

𝟐) ( 𝟎 𝟎)| |(𝟎

𝟑

𝟐) ( 𝟏)| |

𝟑

𝟐 𝟏|

𝟑

𝟐 وحدة مساحة 𝟏

𝟑 الدالة المساحة المحددة بجد /10س 𝟒 𝟐 ومحور السنات 𝟑

الجاد نمط التماطع 𝟎 نجعل الحل /

𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟒 𝟑) 𝟎

( 𝟏)( 𝟑) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑

|∫ ( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 ) 𝟏

𝟑

| |∫ ( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 )𝟎

𝟏

|

|* 𝟒

𝟒 𝟒 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐+ 𝟑

𝟏

| |* 𝟒

𝟒 𝟒 𝟑

𝟑 𝟑 𝟐

𝟐+ 𝟏

𝟎

|

|(𝟏

𝟒 𝟒

𝟑 𝟑

𝟐) (

𝟖𝟏

𝟒 𝟑𝟔

𝟐𝟕

𝟐)| |(𝟎) (

𝟏

𝟒 𝟒

𝟑 𝟑

𝟐)|

|𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐

𝟏𝟐| |

𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖

𝟏𝟐|

𝟑𝟐

𝟏𝟐 | 𝟓

𝟏𝟐|

𝟑𝟐 𝟓

𝟏𝟐 𝟑𝟕

𝟏𝟐 𝟑

𝟏

𝟏𝟐 ( وحدة مساحة)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

327

( ) بسرعة جسم تحرن على خط مستمم /11س (𝟑 𝟐 أحسب (𝟑 𝟔

ⓐ 4 2,المسافة الممطوعة ف الفترة- ⓑ 5 0,األزاحة ف الفترة- 1د / 2015وزاري /الحل

𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 0 ( 3)

𝟐 𝟐 𝟏 0 ( 1)( 1) 0 𝟏 𝟎 1 ,2 4-

|∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑)𝟒

𝟐

| |, 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 - 𝟐| |(𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐) (𝟖 𝟏𝟐 𝟔)| |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔

∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑)𝟓

𝟎

|, 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓

-

𝟎

| ,(𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓) (𝟎)- 𝟔𝟓

2د / 2011وزاري

وكانةةةةةت سةةةةةرعته بعةةةةةد 𝟐 (𝟏𝟐 𝟒)م تحةةةةةرن علةةةةةى خةةةةةط مسةةةةةتمم بتعجةةةةةل لةةةةةدره ــــةةةةةـجس /12س

أحسب 𝟗𝟎ثوان تساوي (4)مرور

ⓐ 𝟐 السرعة عندما

ⓑ 2 1,المسافة خالل الفترة-

ⓒ ثوان من بدط الحركة (10)االزاحة بعد

/الحل

( ) ∫ ( ) ∫(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐

𝟗𝟎 𝟐(𝟏𝟔) 𝟏𝟐(𝟒) 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎

( ) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 (𝟐) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟐(𝟐) 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐

∫ (𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎)𝟐

𝟏

*𝟐 𝟑

𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 +

𝟏

𝟐

|(𝟏𝟔

𝟑 𝟐𝟒 𝟐𝟎) (

𝟐

𝟑 𝟔 𝟏𝟎)|

|𝟏𝟔

𝟑 𝟒𝟒

𝟐

𝟑 𝟏𝟔| |

𝟏𝟒

𝟑 𝟐𝟖|

𝟏𝟒 𝟖𝟒

𝟑 𝟗𝟖

𝟑

∫ (𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎)𝟏𝟎

𝟎

*𝟐 𝟑

𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 +

𝟎

𝟏𝟎

|(𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) (𝟎)|

𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎

𝟑 𝟒𝟏𝟎𝟎

𝟑

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

328

جةد أو (2 6 100) من بدط الحركةة اصةبحت سةرعتها ثانة تتحرن نمطة من السكون وبعد /13س

2د / 2014وزاري . التعجل عندها بمنه ثم أحس تالذي بدا ولاال هاالى موضعنمطة الزمن الالزم لعودة ال

الحل /

( ) نكامل الطرفن (2 6 100)

∫.100 6 2/ 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑

النقطة تتحرك من السكون

∴ 𝟎 𝟎

𝟎 𝟓𝟎(0)2 𝟐(𝟎)𝟑 𝟎

𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑

لذا كون :تساوي صفر ( )عند عودة النقطة الى موضعها األول عن أن األزاحة

𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 𝟎 2(𝟓𝟎 𝟐 ) 𝟎

2 همل 𝟎 𝟎

الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها األول 𝟐𝟓 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 2 50

( ) التعجل ( )

( ) 100 12

(𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐(𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

329

ـة:الحجــوم الدورانـ

الى المسةةتمرة مةةن ( ) لحسةةاب حجةةم الشةةكل المتولةةد مةةن دوران المنطمةةة المحةةددة بةةن منحنةة الدالةةة .1

∫ حول محور السنات نطبك العاللة التالة 𝟐

الى المسةةتمرة مةةن ( ) لحسةةاب حجةةم الشةةكل المتولةةد مةةن دوران المنطمةةة المحةةددة بةةن منحنةة الدالةةة . 2

∫ حول محور الصادات نطبك العاللة التالة 𝟐

3د / 2013وزاري

0المنطمةةةةةةة المحةةةةةةددة بةةةةةةن المنحنةةةةةة /(1)مثةةةةةةال دارت ,ومحةةةةةةور السةةةةةةنات √ 4

جد حجمها ., حول محور السنات

/الحل

∫ 𝟐

∫ (√ )𝟐

𝟒

𝟎

∫ 𝟒

𝟎

* 2

2+

[(16

2) ( وحدة مكعبة) 8 [(0)

3د / 2014وزاري

𝟏المنحن المنطمة المحددة بن /(2)مثال 𝟒 𝟏

. جد حجمها. دارت حول محور الصادات

/الحل

∫ 𝟐

∫ (𝟏

)

𝟐𝟒

𝟏

∫ (𝟏

)

𝟒

𝟏

, 𝟒 -𝟏 , 𝟒 𝟏- ( وحدة مكعبة) 𝟐 𝟐

2د / 2011وزاري

2 أوجةةةةد الحجةةةةم النةةةات مةةةةن دوران المسةةةةاحة المحةةةةددة بةةةالمطع المكةةةةاف الةةةةذي معادلتةةةةه /(3)مثةةةال 8

حول المحور السن 0 2 والمستممن

/الحل

∫ 𝟐

∫ 8 𝟐

𝟎

,4 2 𝟐

-

𝟎

,16 ( وحدة مكعبة) 16 -0

2 2 أوجةةةد الحجةةةم النةةةات مةةةن دوران المسةةةاحة المحةةةددة بةةةالمطع المكةةةاف الةةةذي معادلتةةةه /(4)مثةةةال

حول المحور السن 5 0 والمستممن

/الحل

∫ 𝟐

∫ (𝟐 𝟐)𝟐

𝟓

𝟎

∫ 𝟒 𝟒𝟓

𝟎

*𝟒 𝟓

𝟓+𝟎

𝟓

*𝟒(𝟓)𝟓

𝟓 (𝟎)+ ( وحدة مكعبة) 𝟐𝟓𝟎𝟎

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

330

2 4 سةةةةةةةةاحة المحةةةةةةةةددة بةةةةةةةةالمطع المكةةةةةةةةاف أوجةةةةةةةةد الحجةةةةةةةةم النةةةةةةةةات مةةةةةةةةن دوران الم /(5)مثةةةةةةةةال

حول المحور الصادي 16 0 والمستممن

/الحل

∫ 𝟐

∫ .

𝟒/

𝟏𝟔

𝟎

* 𝟐

𝟖+𝟎

𝟏𝟔

*(𝟏𝟔)𝟐

𝟖 (𝟎)+ ( وحدة مكعبة) 𝟑𝟐

ومنحنةةةة الدالةةةةة أوجةةةةد الحجةةةةم الناشةةةة مةةةةن دوران المنطمةةةةة المحصةةةةورة بةةةةن محةةةةور الصةةةةادات /(6)مثةةةةال

𝟑

, 1 دورة كاملة حول المحور الصادي . 3

/الحل

∫ 𝟐

∫ (𝟗

𝟐)

𝟑

𝟏

[ 𝟏𝟖

]𝟏

𝟑

𝟏𝟖 [𝟏

]𝟏

𝟑

𝟏𝟖 [𝟏

𝟑 𝟏] 𝟏𝟖 [

𝟐

𝟑]

( وحدة مكعبة) 𝟏𝟐

3د / 2015وزاري

ومنحنة الدالةة أوجد الحجم الناش من دوران المنطمةة المحصةورة بةن محةور الصةادات 𝟏

والمسةتممن

1

2 دورة كاملة حول المحور الصادي .

/الحل

1 1

12 2

∫ 𝟐

∫ (𝟏

𝟐)

𝟐

𝟏

[ 𝟏

]𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 𝟏]

𝟏

𝟐 ( وحدة مكعبة)

2د / 3201وزاري

أوجةةةد حجةةةةم المنطمةةةةة المحصةةةةورة بةةةن منحنةةةة الدالةةةةة 𝟏

ومحةةةةور 1 2 والمسةةةةتممن

الصادات دورة كاملة حول المحور الصادي

/الحل

∫ 𝟐

∫ (𝟏

𝟐)

𝟐

𝟏

[ 𝟏

]𝟏

𝟐

[ 𝟏

𝟐 𝟏]

𝟏

𝟐 ( وحدة مكعبة)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

331

(𝟒 تمارين(𝟕

2 أوجةةةةةةد الحجةةةةةةم الةةةةةةدوران المتولةةةةةةد مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمطع المكةةةةةةاف :/(1)س

حول المحور السن 2 1 والمستممن /الحل

∫ 𝟐

∫ ( 2)2𝟐

𝟏

∫ 𝟐

𝟏

*

5+

2

[32

5 1

5]

31

5 ( وحدة مكعبة)

1د / 2013وزاري

2 أوجةةةةةةد الحجةةةةةةم النةةةةةةات مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحصةةةةةةورة بةةةةةةن منحنةةةةةة الدالةةةةةةة /2س 1

حول المحور الصادي 4 والمستمم /الحل

0 1

2 1 2 1

∫ 𝟐

∫ ( 𝟏)𝟒

𝟏

* 𝟐

𝟐 +

𝟏

𝟒

[(𝟖 𝟒) (𝟏

𝟐 𝟏)] [𝟒

𝟏

𝟐] 𝟒

𝟏

𝟐 ( وحدة مكعبة)

2 أحسةةةةةةةةب الحجةةةةةةةةم المتولةةةةةةةةد مةةةةةةةةن دوران المسةةةةةةةةاحة المحصةةةةةةةةورة بةةةةةةةةن المنحنةةةةةةةة /3س 1

حول المحور الصادي 0 والمستمم

/الحل

2 1 1 2

𝟎 2 (حدود التكامل) 𝟏 1

∫ 𝟐

∫ (1 2)𝟐

𝟏

𝟏

∫ (𝟏 𝟐 2 4)𝟏

𝟏

* 𝟐 𝟑

𝟑 𝟓

𝟓+ 𝟏

𝟏

[(𝟏 𝟐

𝟑 𝟏

𝟓) ( 𝟏

𝟐

𝟑 𝟏

𝟓)] [𝟐

𝟒

𝟑 𝟐

𝟓]

𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔

𝟏𝟓

𝟏𝟔

𝟏𝟓 ( وحدة مكعبة)

2د / 2014وزاري

2 أحسةةةةةةةةةب الحجةةةةةةةةةم المتولةةةةةةةةةد مةةةةةةةةةن دوران المسةةةةةةةةةاحة المحصةةةةةةةةةورة بةةةةةةةةةن المنحنةةةةةةةةة /4س

حول المحور السن 2 0 انوالمستمم

/لحلا

∫ 𝟐

∫ 𝟐

𝟎

*

4+

2

[16

4 ( وحدة مكعبة) 4 [0

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

332

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الرابع

جد / 5س

لفاضمرتبطة بموضوع الت ( )الفروع لكل مما أت :

( ) 𝟐 |𝟐 |

𝟐 𝟏𝟐

(𝟐) |𝟐 | 𝟐(𝟐 )

𝟐

𝟐

𝟐 |𝟐 |

( ) ( )

𝟐( )( ) 𝟐( )

( ) 𝟐 | |

𝟐

𝟏

| | (𝟐 ) 𝟐 | |

( ) | 𝟐 |

𝟏

𝟐 𝟐( ) 𝟐

𝟐 𝟐

( )

( )( ) ( )( )

( )𝟐

( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 )

( )𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

( )𝟐 𝟒

( )𝟐

( ) ( )

( ) ( )

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

333

تكامالت كال مما أت : جد / 12س

( ) ∫( 𝟒 𝟒 )

∫( 𝟐 𝟐 )( 𝟐 𝟐 ) ∫( 𝟐 )(𝟏)

𝟏

𝟐∫( 𝟐 )(𝟐)

𝟏

𝟐 𝟐

( ) ∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟐 𝟐)

∫( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐)

∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟐∫

𝟏

𝟐∫ 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 ∫ 𝟐 (𝟐)

𝟏

𝟐∫(𝟏 𝟒 ) 𝟐∫

𝟏

𝟐 𝟑 𝟐

𝟑 𝟐

𝟏

𝟐(

𝟏

𝟒 𝟒 ) 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

𝟖 𝟒 𝟐

𝟏

𝟔 𝟑 𝟐 𝟐

𝟓

𝟐

𝟏

𝟖 𝟒

( ) ∫ | |

∫ 𝟏

( )𝟐

𝟐

( ) ∫𝟐 √

𝟑

√ 𝟐𝟑

∫𝟐 . 𝟐𝟑/

𝟏𝟑 𝟐(𝟑)∫(

𝟏

𝟑)

. 𝟐𝟑/

𝟏𝟑 𝟔

𝟏𝟑 𝟔 √

𝟑

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

334

( ) ∫ 𝟑

∫ 𝟐 ∫( ) 𝟐 𝟑

𝟑

( ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑

∫ 𝟑(𝟑 𝟓 𝟐)𝟑

∫ (𝟑 𝟓 𝟐)𝟑

∫ (𝟑 𝟓 𝟐)𝟏𝟑

𝟏

𝟏𝟎∫( 𝟏𝟎) (𝟑 𝟓 𝟐)

𝟏𝟑

𝟏

𝟏𝟎×(𝟑 𝟓 𝟐)

𝟒𝟑

𝟒𝟑

𝟑

𝟒𝟎(𝟑 𝟓 𝟐)

𝟒𝟑

( ) ∫𝟏

𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗

∫𝟏

( 𝟕)𝟐 ∫( 𝟕) 𝟐

( 𝟕) 𝟏

𝟏

𝟏

𝟕

( ) ∫ 𝟐𝟑 𝟑

𝟏

𝟑∫(𝟑) 𝟐𝟑 𝟑

𝟏

𝟑 𝟑

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

335

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الرابع

جد نات : ⁄ 1/د 96سؤال وزاري

(1) ∫( 3 2 )

3

(2) ∫1

√1

∫(1 ) 2 [

(1 ) 2

12

]

[2(1 ) 2]

[2(22) 2] [2(1)

2] 4 2 2

(3) ∫ 6 3

∫(1 2 23 ) 3

∫ 3 2 ∫ 23 3 1

3 3

2

3 3

3

1

3 3

2

9 3

:جد نات ⁄ 2/د96سؤال وزاري

∫( )( )

∫( 2 2 ) ∫ 2 1

2∫(1 2 )

1

2(

1

2 2 )

1

2

1

4 2

: جد نات ⁄ 1/د97سؤال وزاري

∫ √ 2 15

∫ ( 2 15) 2

1

2∫2 ( 2 15)

2

*

2 ( )

+

0

( 2 15)

1

0

(72)

1 0

(1)

1

2

114

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

336

: جد نات ⁄ 1/د97سؤال وزاري

∫ 2 2

∫ 2 1

2(1 2 )

1

2∫ 2

1

2∫ 2 2

1

2 1

2∫(2) 2

1

2 1

2∫(1 4 )

1

4 2

1

4(

1

4 4 )

1

4 2

1

4

1

16 4

جد نات : ⁄ 2/د97سؤال وزاري

∫(1 3 )2

∫(1 2 3 23 ) ∫ 2∫ 3 1

2∫(1 6 )

2

3 3

1

2(

1

6 6 )

3

2

2

3 3

1

12 6

: جد:1/د98سؤال وزاري

∫( 2 )2

∫( 2 2 2 22 )

1

2∫(1 2 ) 2∫ (2 )

1

2∫(1 4 )

1

2(

1

2 2 ) 4

3 1

2(

1

4 4 )

1

2

1

4 2

4

3

1

2

1

8 4

1

4 2

4

3

1

8 4

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

337

∫إذا كان : 1/د98سؤال وزاري ( 𝟑) 𝟗

𝟒

𝟏 ؟ ما لمة

0

2

1

0

2

1 0

2

1

2

2

2

2

4 1

4 9

4 (× )⇒ 2 2 1 9 2 2 1 9 0

2 2 8 0 2 2 8 0

( 2 4)( 2 2) 0

2 همل 2

2 4 0 2 4 2

∫إذا كان : 2/د98سؤال وزاري (𝟐 𝟑) 𝟏𝟐

؟ ما لمة 𝟑 𝟐 وكان

الحل/

3 2 (1)

∫(2 3) 12 , 2 3 - 12

, 2 3 - , 2 3 - 12 2 3 2 3 12

2 3 (3 2 )2 3(3 2 ) 12

2 3 (9 12 4 2) 9 6 12 0

2 3 9 12 4 2 9 6 12 0 3 2 21 30 0 ( )⇒

2 7 10 0 ( 2)( 5) 0

2 0 2 3 2(2) 1

5 0 5 3 2(5) 7

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

338

( ) : جةةةةةةةد المسةةةةةةةاحة المحةةةةةةةددة بمنحنةةةةةةة الدالةةةةةةةة 2/د2000سةةةةةةةؤال وزاري 𝟏 ومحةةةةةةةور 𝟐 𝟐

0𝟎 الفترة السنات وعلى

𝟐1

الحل:

1 2 2 0 2 0 2

2

2 - 2

4 0𝟎

𝟐1

3

4 0𝟎

𝟐1

00

1 0

21 فترات التكامل

||∫ 2

|| ||∫ 2

2

|| |[1

2 2 ]

| |[

1

2 2 ]

2|

|[1

2

2] [

1

2 0]| |[

1

2 ] [

1

2

2]|

|1

2(1)

1

2(0)| |

1

2(0)

1

2(1)|

1

2 1

2 وحدة مربعة 1

: جد:1/د96سؤال وزاري

∫ 2 2

∫, -2 ∫ [1

2(2 )]

2

∫(1

2 2 )

2

∫1

4 22

1

4 1

2 ∫(1 4 )

1

8(

1

4 4 )

1

8

1

32 4

: جد:2/د2001سؤال وزاري

∫

9 12 4 2

∫

(3 2 )2 ∫(3 2 ) 2

1

2∫(3 2 ) 2( 2)

* 1

2 (3 2 )

1+

[1

2(3 2 )]

[1

2(1)] [

1

2(5)]

1

2 1

10 5 1

10 4

10 2

5

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

339

𝟑 : جةةةةد المسةةةةاحة المحةةةةددة بمنحنةةةة الدالةةةةة 1/ د2001سةةةةؤال وزاري ومحةةةةور السةةةةنات وعلةةةةى 𝟗

.-𝟑 𝟑 ,الفترة

2 ) 0 9 لحل/ا 9) 0 0 2 9 0

2 9 3

-3 0, -0 3 ,فترات التكامل ∴

|∫ ( 9 )

| |∫ ( 9 )

|

|0

21

| |0

21

| |,0- 0

21| |0

21 ,0-|

| 2

| |

2

|

2

40

2 وحدة مربعة

جد لمة:: 1/د2001سؤال وزاري

∫ 2 5 (2 5)

∫( 2 5 ) 2(2 5) [

( 2 5 ) 2

32

]

[2

3( 2 5 )

2]

[2

3(16 20)

2] [

2

3(0)

2] [

2

3(62)

2]

2

3 (216)

432

3 144

𝟒 : جد المساحة المحددة بمنحن الدالتن 1/د2002سؤال وزاري 𝟒 𝟑 𝟐.

4 الحل/ 3 2 3 2 4 3 2 4 0

( 2 4)( 2 1) 0

2 4 0 2 4 2 ( 2 1 همل(0

|∫ ( 3 2 4) 2

2| |0

4 1

2

2

|

|[32

5 8 8] [

32

5 8 8]| |

64

5 32| |

96

5|

96

5 وحدة مربعة

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

340

.-𝟑 𝟏,وعلى 𝟐 𝟐 : جد المساحة المحددة بمنحن الدالتن 1/ د2002سؤال وزاري

2 الحل: 2 2 2 0 ( 2) 0

0 ,0 3- 2 0 2 ,0 3-

|∫ ( 2 2 ) 2

| |∫ ( 2 2 )

2| |0

21

2

| |0

21

2

|

|0

41 0

11| |,9 9- 0

41| |

4

1| |

4|

|

3| |

2

| |

| |

|

2

وحدة مربعة 2

∫: إذا كان 1/د2004سؤال وزاري

𝟐 𝟗 𝟐

𝟒

.hفجد لمة

الحل/

∫

( 2 9) 2

2 ∫ ( 2 9) 2 2

1

2∫2 ( 2 9)

2 2

*

2 ( )

+

2 0(16 9)

1 0( 2 9)

1 2

(52)

( 2 9)

2 ( 2 9)

5 2 ( 2 9)

3 بالتربع⇒

2 9 9 2 0 0

∫: جد لمة 1/د2006سؤال وزاري

(𝟓 𝟐 )𝟐

𝟐

𝟏.

∫ الحل/ (5 2 ) 2

2∫ (5 2 ) 2 ( 2) 0

2 ( 2 )

1

22

2

[1

2(5 2 )]

2

[1

2(5 4)] [

1

2(5 2)]

1

2 1

6 3 1

6 2

6 1

3

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

341

∫: جد لمة 2/د2006سؤال وزاري

(𝟑 𝟒)𝟐

𝟐

𝟏.

∫ (3 4) 2

∫ (3 4) 2 3 0

( )

1

22

2

0

( )1

2 0

( )1 0

( )1

2

∫: إذا كان 1/د2008سؤال وزاري ( ) 𝟓 ∫ ( ) 𝟑

جد لمة - , وكانت

∫ ( )

الحل/

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 5 ∫ ( ) 3

∫ ( ) 5 3 ∫ ( ) 2

∫: جد 2/د2008سؤال وزاري 𝟐𝟐

∫(2 2 1)2 ∫(4 4 2 1)

∫ المشتقة الدالة 4 ∫4 2 ∫

4∫ ( ) 4∫ 2 ( ) ∫

4

4

( ) : جسم تحرن بسرعة 1/د2009سؤال وزاري 𝟑 𝟐 إحسب: tف أي زمن 𝟗 𝟏𝟐 [.0,2الفترة ]المسافة الممطوعة خالل - 1

.𝟐 𝟏𝟖الزمن الذي صبح فه التعجل - 2

2 3 (1) الحل/ 12 9 0 - 3

2 4 3 0 ( 3)( 1) 0

3 0 3 ,0 2-

1 0 1 ,0 2-

|∫(3 2 12 9)

| |∫(3 2 12 9)

2

| |, 6 2 9 -10| |, 6 2 9 -

21|

|,1 6 9- ,0-| |,8 24 18- ,1 6 9-| |4| |2 4| 4 2 6

(2) ( ) ( ) 6 12

18 6 12 6 18 12 6 30 5

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

342

∫: جد لمة 2/د2009سؤال وزاري

𝟑 𝟐

𝟖

𝟑

الحل/

∫

2( 1) ∫

( 1) 2

∫( 1) 2 [

( 1) 2

12

]

[2( 1) 2]

[2(8 1) 2] [2(3 1)

2] [2(32)

2] [2(22)

2] 6 4 2

0𝟎ف الفترة 𝟐 𝟐 : جد المساحة المحددة بن المنحنن: 2/د2009سؤال وزاري

𝟐1.

الحل/ 2 2 2

2 0 2

2 3

2- 2

4 0𝟎

𝟐1

3

4 0𝟎

𝟐1

||∫ 2

|| ||∫ 2

2

|| |[1

2 2 ]

| |[

1

2 2 ]

2|

|0

2

21 0

2 01 0

2 1 0

2

21|

|

2(1)

2(0)| |

2(0)

2(1)|

2

2 وحدة مربعة 1

( ) مساحة المحددة بن المنحنن ال: جد 1/د2010سؤال وزاري ( ) [.1,5ف الفترة ] 𝟏 𝟐√

الحل/

√2 1 √2 1 0 √2 1 تربع الطرفن

2 1 2 2 2 1 0 ( 1)2 0

1 0 1

|∫ [(2 1) 2 ]

| |∫(2 1) 2

| |∫

|

|[1

2 (2 1)

2

32

]

| |* 2

2+

| |[1

3 (2 1)

2]

| |* 2

2+

|

|[1

3 (9)

2

1

3 (1)

2] [

25

2 1

2]| |[

1

3 (32)

2

1

3] [

24

2]|

|9 1

3 24

2| |

54 2 72

6| |

20

6|

10

3 وحدة مربعة

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

343

∫: جد لمة 1/د2010سؤال وزاري ( )𝟐

𝟐𝟎

.

الحل/

∫( 2 2 2 )

2

∫(2 1)

2

∫ ( 2 1) [ 1

2 2 ]

2

2

[ 1

2

2] [

1

2 0 0] [

1

2( 1)

2] [

1

2(1)]

1

2

2 1

2 .1

2/ وحدة مربعة

األولى ته: منحن مشتم1/د2010سؤال وزاري 𝟐

𝟐 𝟒 𝟒 ( جد معادلة المنحن.1,2مر بالنمطة )

( ) الحل/ 2

بتكامل الطرفن

( ) ∫2

( ) ∫

2

( 2)

( ) ∫2( 2) 2 ( ) 2 ( 2)

( )

2

2

وبما ان (2 1) المنحن تحقق معادلته

2 2

2 2 2 0

( ) 2

2 معادلة المنحن

∫: إذا كةةةةةةةةةةةةةةةةةان 2/د2010سةةةةةةةةةةةةةةةةةؤال وزاري ( ) 𝟐 ∫ ( ) 𝟔𝟐

𝟏

𝟑

𝟏جةةةةةةةةةةةةةةةةةد لمةةةةةةةةةةةةةةةةةة:

∫ , ( ) ( ) 𝟒 - 𝟑

𝟏

الحل/

∫ , ( ) ( ) 4 - ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ 4

6 2 0

21

4 ,2 2-31 4 ,18 2- 4 16 20

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

344

( ) : جسم تحرن على خط مستمم بحث سرعته 2/د2010سؤال وزاري 𝟑 𝟐 جد المسافة 𝟕 𝟒

باألمتار.( ثوان من بدط الحركة, ثم جد التعجل عندها علما أن المسافة تماس 4الت مطعها الجسم بعد مض )

الحل/

( ) 3 2 4 7 > 0

∫ (3 2 4 7) , 2 2 7 -40 ,64 32 28- ,0- 124

( ) ( ) التعجل ف أي لحظة 4 6

(4) 6(4) 4 24 4 28 2

( ) بالمنحن المحددة : جد المساحة1/د2012سؤال وزاري [ .1,3-ومحور السنات ف الفترة ] 𝟑(𝟏 )

1 0 (1 ) الحل/ 0 1 , 1 3-

| ∫( 1)

| |∫( 1)

| *( 1)

4+

|( 1)

4|

|*0 ( 2)

4+| |*

(2)

4 0+| | 4| |4| 4 4 وحدة مساحة 8

𝟐 : جةةةد الحجةةةم النةةةات مةةةن دوران المسةةةاحة المحصةةةورة بةةةن المنحنةةة 1/د2012سةةةؤال وزاري 𝟏

حول المحور الصادي. 𝟏 𝟐 والمستممن

الحل/

∫ 2 ∫( 1) * 2

2 +

2

[(4

2 2) (

1

2 1)]

2

0(2 2) .

2/1 .0

2/

2 وحدة مكعبة

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

345

2 5√ ت مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمنحنجةةةةةةد الحجةةةةةةم النةةةةةةا :2/د2012سةةةةةةؤال وزاري

حول المحور السن 1 2 والمستممن

/الحل

∫ 𝟐

∫ . 5 2/𝟐𝟐

𝟏

∫ 𝟓 𝟒𝟐

𝟏

𝟓 𝟎

𝟓 (𝟓)𝟓 ( وحدة مكعبة) 𝟑𝟏𝟐𝟓 (𝟎)

⁄𝟐 𝟏𝟖)جسةةةم تحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمم بتعجةةةل :3/د2012سةةةؤال وزاري فةةةأذا كانةةةت سةةةرعته لةةةد (

:فجد من بدط الحركة ساعات (4)بعد مرور ( 𝟖𝟐)أصبحت

ⓐ المسافة الت لطعها خالل الساعة الثانة

ⓑ ساعات (3)بعده عن نمطة بدط الحركة بعد مرور

الحل /

∫ ( ) ∫𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖

𝟖𝟐 𝟏𝟖(𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎

𝟏𝟖 𝟏𝟎

|∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)𝟐

𝟏

| |,𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟐

-

𝟏

| |(𝟑𝟔 𝟐𝟎) (𝟗 𝟏𝟎)| 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕

∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)𝟑

𝟎

,𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑

-

𝟎

(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏

∫ جد :1/د2013سؤال وزاري 𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙

𝝅

𝟒 𝟎

/الحل

∫𝒕𝒂𝒏𝒙

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙

𝝅𝟒

𝟎

∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙) 𝒅𝒙

𝝅𝟒

𝟎

*𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙

𝟐+𝟎

𝝅𝟒

𝒕𝒂𝒏𝟐 .

𝝅𝟒/

𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐(𝟎)

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎

𝟏

𝟐

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

346

∫ أثبت أن :3/د2014سؤال وزاري |𝟑 𝟔| 𝟑𝟎𝟒

𝟐

/الحل

|𝟑 𝟔| {𝟑 𝟔 𝟐

(𝟑 𝟔) < 𝟐

: ألن (𝟐 )وذلن ألنها مستمرة عند -𝟒 𝟐 ,مستمرة على الفترة الدالة

( ) (𝟐) 𝟑(𝟐) 𝟔 معرفة 𝟎

( ) 𝟐

( ) { (𝟐 )

(𝟑 𝟔) 𝟎 𝟏

(𝟐 )

(𝟔 𝟑 ) 𝟎 𝟐

∵ 𝟏 = 𝟐

∴ 𝟐 ( ) 𝟐 موجودة 𝟎 ( ) (𝟐)

∫ |𝟑 𝟔|𝟒

𝟐

∫ ( 𝟑 𝟔)𝟐

𝟐

∫ (𝟑 𝟔)𝟒

𝟐

[ 𝟑

𝟐 𝟐 𝟔 ]

𝟐

𝟐

[𝟑

𝟐 𝟐 𝟔 ]

𝟐

𝟒

,( 𝟔 𝟏𝟐) ( 𝟔 𝟏𝟐)- ,(𝟐𝟒 𝟐𝟒) (𝟔 𝟏𝟐)-

𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎

𝟒 𝟐 √∫ : جد 3/د2014سؤال وزاري

/الحل

∫√ 𝟐 𝟒 ∫√ 𝟐( 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐

∫ : جد 1/د2015سؤال وزاري 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

/الحل

∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓

𝟐

𝟑

𝟏

∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐)

𝟑

𝟏

𝟐* 4𝑥 𝟏

5 1

+

𝟐[ 4𝑥 5

𝑥]

𝟗[ 12𝟓

3 ] 𝟏, 4 5- 3

𝟓 3 8 5

5

3 15 5

3

10

3

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

347

( ) جةةةةةد مسةةةةةاحة المنطمةةةةةة المحةةةةةددة بمنحنةةةةة الدالةةةةةة :2/د2015سةةةةةؤال وزاري 𝟑 ومحةةةةةور 𝟗

-𝟑 𝟑 ,السنات وعلى الفترة

الحل /

:1/ د2001سؤال وزاري (𝟔𝟖)محلول ف الصفحة

⁄𝟐 𝟏𝟎)جسةةةم تحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمم بتعجةةةل :2/د2015سةةةؤال وزاري ثانةةةة مةةةن بةةةدط 2وبعةةةد (

, أحسب : ( 𝟐𝟒) الحركة أصبحت السرعة

ⓐ الممطوعة ف الثانة الخامسة .المسافة

ⓑ ثوان ((4 بعد الجسم بعد مض . الحل /

∫ ( ) ∫𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟐𝟒 𝟏𝟎(𝟐) 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒

𝟏𝟎 𝟒

|∫ (𝟏𝟎 𝟒)𝟓

𝟒

| |,𝟓 𝟐 𝟒 𝟓

-

𝟒

| |(𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟖𝟎 𝟏𝟔)| 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗

∫ (𝟏𝟎 𝟒)𝟒

𝟎

,𝟓 𝟐 𝟒 𝟒

-

𝟎

(𝟖𝟎 𝟏𝟔) (𝟎) 𝟗𝟔

∫جد تكامل : :3/د2015سؤال وزاري

√ 2

الحل /

∫3 6

√ 2 3∫( 2)( 2)

(عند الضرب تجمع األسس )

3∫( 2)2 3

( 2)

53

9

5( 2)

9

5 ( 2)

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

348

𝑠𝑖𝑛2𝑥)∫ (1) جد كال من التكامالت األتة : :3/د2015سؤال وزاري 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 𝒅𝒙 (2) ∫𝒙𝟑

𝒙 𝒅𝒙

الحل /

(1)∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 𝒅𝒙 ∫(𝑠𝑖𝑛22𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠22𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥

∫(1 𝑠𝑖𝑛4𝑥 )𝑑𝑥 ∫𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1

4𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐

(2) ∫𝒙𝟑 1

𝒙 1 𝒅𝒙 ∫

(𝑥 1)(𝒙𝟐 𝑥 1)

𝑥 1𝒅𝒙 ∫(𝒙𝟐 𝑥 1)𝒅𝒙

𝒙𝟑

𝟑 𝒙𝟐

𝟐 𝒙 𝒄

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

349

أسئلة إضافة حول التكامل

/ جد كال من التكامالت اآلتة:1س

(𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟓𝐱𝐝𝐱

(𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟕𝐱 𝐝𝐱

(𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝐝𝐱

(𝟔) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱

(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐𝐱 𝐬𝐞𝐜𝟒𝐱 𝐝𝐱

(𝟒) ∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 𝒔𝒊𝒏𝟒𝐱𝐝𝐱

(𝟗) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱

(𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱

(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱

(𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 .𝒙

𝟑/𝒅𝒙

(𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟓(𝟑𝒙)𝒅𝒙

(𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐(𝟑𝒙) 𝒅𝒙

(𝟏𝟓) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱

(𝟏𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱

(𝟏𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟐(𝟑𝒙)𝒅𝒙

(𝟏𝟖) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙).𝟑𝟐/ 𝒅𝒙

(𝟏𝟕)∫ 𝒕𝒂𝒏𝟓𝒙𝒅𝒙

(𝟏𝟔) ∫√𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙

(𝟐𝟏)∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑(𝟐𝒙)𝒅𝒙

(𝟐𝟎)∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑(𝟑𝒙)𝒔𝒆𝒄𝟒(𝟑𝒙)𝒅𝒙

(𝟏𝟗)∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒(𝟐𝒙)𝒅𝒙

(𝟐𝟒) ∫ 𝟑

𝟒 (𝟐𝟑)∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟓𝒙𝒅𝒙

(𝟐𝟐)∫ 𝒄𝒔𝒄𝟔𝒙𝒅𝒙

(𝟐𝟕) ∫ 𝟏

√ 𝟏

𝟒

𝟎

(𝟐𝟔) ∫𝟏

√ (𝟏 √ ) (𝟐𝟓) ∫

𝟖 𝟑

𝟐

(𝟑𝟎) ∫ 𝟐 𝟐 𝟏𝟑

𝟗

𝟎

(𝟐𝟗) ∫|𝟐 𝟒|

𝟑

𝟑

(𝟐𝟖) ∫𝟑 | |

𝟏

𝟐

(𝟑𝟑) ∫ 𝟐

𝟐𝟐

𝟔

𝟎

(𝟑𝟐) ∫

𝟐

𝟒

(𝟑𝟏) ∫

𝟐

𝟒

𝟎

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎/ األستاذ علي حميد الفصل الرابع/ التكامــــــــــــــــــل أعداد

350

∫أوجد لمة التكامل / 2س (𝟑 𝟐 𝟖 ) 𝟒

𝟐

. (3,1)ومر بالنمطة جد معادلة المنحن الذي مله / 3س

جةةد معادلةةة هةةذا حةةث ( )أذا علمةةت أن المشةةتمة الثانةةة لدالةةة عنةةد أي نمطةةة تسةةاوي / 4س

. (1-,1)ونمطة نهاة صغرى محلة عند (0,1)المنحن أذا كان متلن نمطة أنمالب

أوجةةد (𝟐 𝟏𝟎𝟎) ثانةةة مةةن بةةدط الحركةةة اصةةبحت سةةرعتها tتتحةةرن نمطةةة مةةن السةةكون وبعةةد / 5س

.الزمن الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه ثم أحسب التعجل عندها