ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2017 الأستاذ علي حميد

ـتاذاألس أعداد

جديدة طبعة

ومنقحة

للعام الدراسي

2017

لجميع أمثلة وتمارين الفصل الثانيمفصل شرح .

للفصل الثانيحلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية .

أسئلة أضافية محلولة.

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد

81

المطوع المخروطة/الفصل الثان

مستمم ثابت ف 𝟎 نمطة ثابتة ف المستوي ولكن (𝟏 𝟏 )لكن : المطع المخروط

الى بعدها عن المستمم (𝟏 𝟏 )مجموعة كل النماط الت نسبة بعد كل منها عن النمطة لذا فانالمستوي نفسه

هو مجموعة النمط أو تكون شكل هندس سمى بالمطع المخروط ( )تساوي عدد ثابت 𝟎

الت بعدها عن نمطة معلومة ساوي بعدها عن مستمم معلوم

: مفاهم أساسة تعن بها وه حث ان لكل شكل مخروط عدة

( )تسمى بإرة المطع المخروط (𝟏 𝟏 )النمطة الثابتة ①

( )سمى دلل المطع المخروط 𝟎 المستمم الثابت ②

حث أذا كان ( )تسمى باالختالف المركزي ( )النسبة ③

( 𝟏) (𝟏 ) نوع القطع مكافئ نوع القطع ناقص ( 𝟏) نوع القطع زائد

| 𝟐|المسافة بن البإرة والدلل = ④

تسمى (𝟎 ) ةثابت نمطةف المستوي والت كون بعدها عن ( ) هو مجموعة النمط : كافئالمطع الم

والذي سمى الدلل وهو ال حتوي البإرة ( ) مساوآ دائمآ لبعدها عن مستمم معلوم 𝟎 البإرة حث

ون بعدها عن نمطة معلومة مساوا لبعدها عن مستمم كهو مجموعة من النمط داخل مستوي والت أو بمعنى أخر

. معلوم

: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور السنات

باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باستخدام

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏

( من تعرف القطع المكافئ )

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎

𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒

والذذذرأس فذذذ x-axis) ) الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذ لمحذذذور السذذذناتهذذذ المعادلذذذة الماسذذذة للمطذذذع المكذذذافئ هذذذذ و

ومعادلذذذذة دللذذذذه (𝟎 ) بإرتذذذذه بذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حذذذذث "O"تسذذذذمى النمطذذذذة حذذذذثنمطذذذذة األصذذذذل

𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات حث 𝟎 𝟒


82

: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(yمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور الصادات

باستخدام التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏


√( 𝟎)𝟐 ( )𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒

والذرأس فذ نمطذة ) )ات صذادوهذ ه المعادلة الماسة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذ لمحذور ال

حذث 𝟎 ومعادلة دلله ( 𝟎) برأس المطع المكافئ حث بإرته "O"األصل حث تسمى النمطة

𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات 𝟒

أحداهما عندما كون على (𝟎 𝟎)نالحظ مما سبك انه وجد معادلتن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل

.والجدول أدنا وضح ذلن ور الصادي حالمحور السن واألخرى عندما كون على الم

( )عىذما كن عه محر انصاداخ ( )عىذما كن عه محر انسىاخ

( )البإرة تنتم لمحور الصادات ① ( )انثؤرج تىتم نمحر انسىاخ ①

ومعادلة الدلل ( 𝟎) البإرة ② معادنح انذنم (𝟎 ) انثؤرج ②

𝟎 معادلة محور المطع ه③ 𝟎 معادنح محر انمطع ③

المحور السن وازيالدلل ④ انمحر انصاد اسانذنم ④

التناظر حول محور الصادات⑤ انتىاظز حل محر انسىاخ⑤

نصف الدللالمحور الصادي ⑥ المحور السن نصف الدلل⑥

𝟐 المانون ⑦ 𝟐 المانون ⑦ 𝟒 𝟒

: مالحظات عامة أشار البإرة عكس أشار الدلل والعكس صحح ❶

2p= المسافة بن البإرة والدلل ❷

كل نمطة تنتم للمطع المكافئ فه تحمك معادلته )أي أن المطع المكافئ مر بها ( ❸

المكافئ بعدها عن البإرة ساوي بعدها عن الدللكل نمطة تنتم للمطع ❹

𝟐 )رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممز الخاصة به ه ❺ 𝟒 𝟎) الجدول أدنا وضح تفاصل أكثر عن معادالت المطع المكافئ ❻

المعادلة البإرة الدلل المحور أتجا المطع التناظر

x-axis المن x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒 x-axis السار x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒

y-axis األعلى y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒 y-axis األسفل y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒


83

𝟐 ئ جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكاف /(1(مثال 𝟖

𝟐 الحل / 𝟖

𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقاست) 𝟒

𝟒 𝟖 𝟖

𝟒 𝟐

( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟐 )

𝟐 معادنت اندنم

. والرأس ف نمطة األصل (3,0)ة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته جد معادل/(2(مثال

𝟔 𝟐الدلل ب ( معادلة ورأسه ف نمطة األصل . 𝟎

(𝟎 ) أ ( الحل / البؤرة (𝟎 𝟑)

𝟑 𝟐 ( انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

___________________________

𝟔 𝟐 ب ( معادلة الدلل 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

𝟐 بإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ جد /(3(مثال ثم أرسمه 𝟒

الحل /

𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒

𝟒 𝟒 𝟒

𝟒 𝟏

( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟏)

𝟏 معادنت اندنم

𝟐 4 𝟒(𝟏) 𝟒 𝟐√

𝟐 𝟏 𝟎

𝟐√ 2 𝟎


84

والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟑√)المكافئ أذا علم أن بإرته جد معادلة المطع بؤستخدام التعرف /(4(مثال

ولذذتكن النمطذذة نمطذذة تنتمذذ الذذى منحنذذ المطذذع المكذذافئ ( ) ولذذتكن النمطذذة (𝟎 𝟑√) البذذإرة الحذذل /

فمن تعرف المطع المكافئ على الدلل ( )نمطة تماطع العمود المرسوم من ه ( 𝟑√ )


√( √𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( √𝟑)

𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

( √𝟑 )𝟐 𝟐 ( √𝟑 )

𝟐

𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟑√𝟒

𝟐 𝟑 جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ /(5(مثال 𝟐𝟒 𝟎

الحل /

𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟑 𝟐 ( وقسم طرف انمعادنت عهى 𝟑) 𝟐𝟒

𝟐 𝟖 𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟒 𝟖 𝟖

𝟒 𝟐

(𝟎 ) انبؤرة (𝟐 𝟎)

𝟐 معادنت اندنم

. ف نمطة األصل هرأسو (𝟓 𝟎)جد معادلة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته /(6(مثال ورأسه ف نمطة األصل . 𝟕 ب ( معادلة الدلل

( 𝟎) أ ( الحل / البؤرة (𝟓 𝟎)

𝟓 𝟐 ( انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎

___________________________

( بانمقاروت مع معادنت اندنم) 𝟕 ب (

𝟕 𝟐 ( انمعادنت انقاست نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟕) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟖


85

ورأسه نمطة األصل ( 𝟒 𝟐) (𝟒 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ الذي مر بالنمطتن /(7(مثال

الحل /

ثابتة لم تتغر ( النمطتان متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة 𝟐 انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ 𝟒

(𝟒 𝟐)وعض أحذ انىمطته انهته تحممان معادنح انمطع انمكافئ ألو مز تا نتكه انىمطح

(𝟒)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔

𝟖 𝟐

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟖

(𝟓 𝟑)جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر دلل المطع المكافئ بالنمطة /(8(مثال

الحل/

ما : االحتمانهتحذذ انثؤرج , وجد أحتمالن للمعادلة الماسة للمطع المكافئ لعدم

ثانا : البإرة تنتم لمحور السنات أوال : البإرة تنتم لمحور الصادات

𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒

(معادلة الدلل) 𝟓

𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟓)

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎

𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒

(معادلة الدلل) 𝟑

𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟑)

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

المكافئ:للمطع المحاور انسحاب

Ⓘ محري اس محر انسىاخ ( )الذي رأسه النمطة المكافئالمعادلة الماسة للمطع( )

انعىصز االوسحابلثم االوسحابتعذ

انثؤرج (𝟎 ) ( )

انذنم

انمحر 𝟎

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 انماون 𝟒


86

انسانة نمحر انسىاخ الحع انزسم أدواي انماوه انخاصح : تاالتجايمكه أن تكن فتحح انمطع انمكافئ


انثؤرج (𝟎 ) ( )

انذنم

انمحر 𝟎

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 انماون 𝟒

( )محري اس محر انصاداخ ( )المعادلة الماسة للمطع المكاف الذي رأسه النمطة ②


انثؤرج ( 𝟎) ( )

انذنم

انمحر 𝟎

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 انماون 𝟒

األسفم نمحر انصاداخ الحع انزسم أدواي انماوه انخاصح : تاالتجايمكه أن تكن فتحح انمطع انمكافئ


انثؤرج ( 𝟎) ( )

انذنم

انمحر 𝟎

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 انماون 𝟒

الفروق بن المعادالت بن كال المحورن والجدول أدنا وضح

( )عىذما كن عه محر انصاداخ ( )عىذما كن عه محر انسىاخ

ومعادلة الدلل ( ) البإرة ① معادنح انذنم ( ) انثؤرج①

الدلل وازي المحور السن ② انذنم اس انمحر انصاد②

األحداث الصاديالرأس والبإرة معان على ③ معان على األحداث السن الرأس والبإرة③

( ) الرأس ④ ( ) انرأس ④

𝟐( )المانون ⑤ 𝟐( ) لمانونا⑤ ( ) 𝟒 𝟒 ( )

المحور معادلة⑥ المحور معادلة⑥


87

مالحظح :

(انرأس) انزأص مىتصف انثعذ ته انثؤرج انذنم أ أن (انبؤرة) (دنهه)

𝟐(انرأس) كذنك

(انبؤرة) (دنهه)

𝟐

𝟐(𝟏 ) مه معادنح انمطع انمكافئ /(9(مثال , معادنح معادنح انمحر , انثؤرج , عه انزأص (𝟐 )𝟒

انذنم

𝟐( ) تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ الحل/ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟐 𝟏 ( ) انرأس (𝟏 𝟐)

𝟒 𝟒 𝟏 𝑭(𝒑 𝒉 𝒌) 𝑭(𝟏 𝟐 𝟏) 𝑭(𝟑 𝟏 ( انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟏

𝒙 معادنت اندنم 𝟏 𝟐 𝟏

𝟐 نالش المطع المكافئ /(10(مثال 𝟒

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟒) نضف الحل/

𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒 ( 𝟐)𝟐 ( بانمقاروت مع المعادلة القاسة للقطع المكافئ )

( )𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 𝟒 ( ) انرأس (𝟒 𝟐 )

𝟒 𝟏 𝟏

𝟒 F(ℎ 𝑝 𝑘) 𝐹 2

𝟏

𝟒 4 𝐹 2

15

4 𝐹 2 3

3

4 انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟐

𝐲 𝟏

𝟒 𝟒

𝟏 𝟏𝟔

𝟒

𝟏𝟕

𝟒 𝟒

𝟏

𝟒 معادنت اندنم


88

(𝟐 تمارين(𝟏

:جد المعادلة للمطع المكافئ ف كل مما ؤت ثم أرسم المنحن البان لها /1 س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟓)البإرة ) أ (

الحل/

(𝟓 𝟎)

𝟓 𝒙 معادنت اندنم 𝟓

𝒚 𝟒 𝟐 𝒚 𝟒(𝟓) 𝟐 𝒚 𝟐 المعادلة القاسة 𝟐𝟎

𝟐 𝟏 𝟎

2√1 2√5 𝟎

والرأس ف نمطة األصل (𝟒 𝟎)البإرة ) ب (

الحل/

(𝟎 𝟒)

𝟒 y معادنت اندنم 4

𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒(𝟒) 2 𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟏𝟔

4√2 4 𝟎

2 1 𝟎

والرأس ف نمطة األصل ( 𝟐√ 𝟎)البإرة ) ج (

الحل/

(𝟎 √𝟐 )

√𝟐 y معادنت اندنم 𝟐√

𝑥 𝟒 2 𝑥 2 المعادلة القاسة (𝟐√)𝟒

2√2 2√√𝟐

𝟎

√𝟐 1 𝟎


89

𝟑 𝟒 معادلة دلل المطع المكافئ ) د ( والرأس ف نمطة األصل 𝟎

الحل/

𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 y 3

4معادنت اندنم

p 3

4 F

3

4 البؤرة

𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒 23 4

𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟑

√6 √𝟑 𝟎

𝟐 1 𝟎

:ف كل مما ؤت جد البإرة والرأس ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ /2 س

( ) 𝟐 𝟒

الحل/

𝟒 𝟒 𝑝 1 البؤرة(𝟏 𝟎)

( معادلة المحور) 𝟎 ( معادلة الدلل) 𝟏 الرأس(𝟎 𝟎)

( ) 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟎

الحل/

𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟖 𝟒

𝟏

𝟖 p

𝟏

𝟑𝟐 (

𝟏

𝟑𝟐 𝟎) البؤرة

( معادلة المحور) 𝟎 𝟏

𝟑𝟐( معادلة الدلل) الرأس(𝟎 𝟎)

( ) 𝟐 𝟒( 𝟐)

𝟐( )تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ الحل/ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟐 𝟎 ( ) انرأس(𝟎 𝟐)

𝟒 𝟒 𝟏 𝐅 ( 𝒑 𝒉 𝒌) �� 𝟏( 𝟐 𝟎) ��( 𝟏 𝟎 ( انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟎

𝒙 معادنت اندنم 2 𝟏 3


90

( ) ( 𝟏)𝟐 𝟖( 𝟏)

𝟐( )انمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ ت الحل/ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟏 𝟏 ( ) انرأس(𝟏 𝟏)

𝟒 𝟖 𝟐 𝐅 (𝒉 𝒑 𝒌) ��(𝟏 𝟐 𝟏 ) ��(𝟏 𝟑 ( انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟏

y 𝟐 معادنت اندنم 𝟏 1

1د / 2012سار

( ) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔

𝟐 ) ف الطرف األخر ( ) ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/ 𝟒 𝟐 𝟔)

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟒) نضف

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟔 𝟒 (𝒚 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐

(𝒚 𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ (𝟏 )𝟐

𝟐( )تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انمكافئ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟏 𝟐 ( ) انرأس(𝟐 𝟏 )

𝟒 𝟐 𝟏

𝟐 𝐅 ( 𝒑 𝒉 𝒌) ��

𝟏

𝟐 𝟏 𝟐 ��

𝟑

𝟐 𝟐 انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟐

𝒙𝟏

𝟐 1

معادنت اندنم

1

2


91

( ) 𝟐 𝟔 𝟎

𝟐 ) ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/ 𝟔 )

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟗)نضف

𝟐 𝟔 𝟗 𝟗 (𝒙 𝟑) 𝟐 معادلة القطع المكافئ (𝟗 )


𝟑 𝟗 ( ) انرأس(𝟗 𝟑 )

𝟒 𝟏 𝟏

𝟒 F (ℎ 𝑝 𝑘) 𝐹 3

𝟏

𝟒 9 𝐹 3

𝟑𝟓

𝟒 انبؤرة

معادنت انمحىر 𝟑

y 𝟏

𝟒 9

1 36

4

𝟑𝟕

𝟒معادنت اندنم

والرأس ف نمطة األصل (𝟓 𝟐) (𝟓 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتن /3 س

𝟐 )والمانون البإرة تنتم لمحور السنات نمطتان متناظرتان حول المحور السنال ∵ الحل/ 𝟒 )

ونعوضها ف المعادلة الماسة (𝟓 𝟐)النمطة نؤخذ لذاالمطع المكافئ مر بهما المعادلة الن انالنمطتان تحمم

(𝟓)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟐𝟓 𝟖𝒑 𝒑 𝟐𝟓

𝟖

𝟐 𝟒 𝟒 25

8 𝟐

𝟐𝟓

𝟐معادلة القطع المكافئ

والذرأس فذ نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه (𝟒 𝟑 )أذا كان دلل المطذع المكذافئ مذر بالنمطذة /4 س

تنتم ألحد المحورن

(𝟒 )والثان (𝟑 )هنان دلالن هما األول (𝟒 𝟑 )الدلل مر بالنمطة ∵ الحل/

ان هنان لطعان مكافئ

) البإرة تنتم لمحور السنات( المطع المكافئ األول 𝟑 𝟑

𝟐 المانون 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐

ات(الثان ) البإرة تنتم لمحور الصادالمطع المكافئ 𝟒 𝟒

𝟐 المانون 𝟒

𝟐 𝟒(𝟒) 𝟐 𝟏𝟔


92

𝟐 لطع مكافئ معادلته /5 س ثم جد بإرته ودلله ثم أرسم المطع Aجد لمة (𝟐 𝟏)بالنمطة مر 𝟎 𝟖

( 𝟐 𝟏)النمطة بالمطع المكافئ مر ∵ الحل/

𝟐 ) تحمك معادلة المطع المكافئ ( 𝟐 𝟏)النمطة 𝟖 𝟎)

(𝟏)𝟐 𝟖(𝟐) 𝟎 A 16 𝟐 𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟔) 16

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎 𝟐

𝟏

𝟐 ( 𝟐 (بالمقارنة مع المعادلة القاسة 𝟒

𝟒𝒑𝟏

𝟐 𝒑

𝟏

𝟖

F( 𝑝) F 𝟏

𝟖 البؤرة

𝟏

𝟖 معادلة الدلل

y x

0 0

𝟏

𝟏

√𝟐

𝟐 1

:باستخدام التعرف جد معادلة المطع المكافئ /6 س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟕)البإرة ) أ (

الحل/

𝟕 𝒙 𝟕 معادلة الدلل

( تعرف القطع المكافئ)

√( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟕)𝟐 (بتربع الطرفن) 𝟐( )

( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 ( 𝟕)𝟐

𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗

𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟐𝟖

1د / 2011وزاري


93

والرأس ف نمطة األصل 𝟑√ معادلة الدلل ) ب (

الحل/

√𝟑 𝑝 √𝟑

(𝟎 ) البؤرة (𝟑√ 𝟎)

( تعرف القطع المكافئ)

√( 𝟎)𝟐 ( √𝟑)𝟐 √( )𝟐 ( √𝟑)

𝟐 (بتربع الطرفن)

𝟐 ( √𝟑)𝟐 ( √𝟑)

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑

𝟐 𝟐√𝟑 𝟐√𝟑 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟑√𝟒

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة (𝟐 𝟏 )والذي رأسه (𝟏𝟎 𝟏𝟑 ) (𝟏𝟎 𝟏𝟏)الذي مر بالنمط المكافئ المطع معادلة جد/ مثال

( ) لمة المحور الصادي للنمطتن ثابتة وهذا دل على أن محور التماثل هوالحل /

𝟏 𝟐

𝟐

𝟏𝟑 𝟏𝟏

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 𝒙 1

𝟐( ) وهذا عن أن المانون هو محور التماثل وازي المحور الصادي أن نالحظ 𝟒 ( )

( 𝟏)𝟐 صغة معادلة القطع المكافئ (𝟐 ) 𝟒

للمطع المكافئ لذا فه تحمك معادلته (𝟏𝟎 𝟏𝟏)النمطة

(𝟏𝟐)𝟐 𝟒 ( 𝟏𝟐) 𝟏𝟐 𝟒 p 3 ( الفتحة الى األسفل)

( 𝟏)𝟐 𝟒( 𝟑)( 𝟐) ( 𝟏)𝟐 معادلة القطع المكافئ (𝟐 )𝟏𝟐


94

𝟐 ) المكذذذافئ للمطذذع تنتمذذذ (𝟎 𝟎) (𝟔 𝟒) (𝟔 𝟏𝟐 ) الذذنمط /مثذذال أحذذذداث جذذد (

البإري والبعد والرأس الدلل ومعادلة البإرة

للمطع المكافئ لذا فه تحمك معادلته (𝟎 𝟎)لنمطة ا الحل /

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

للمطع المكافئ لذا فه تحمك معادلته (𝟔 𝟒)النمطة

𝟔 𝟏𝟔 𝟒 ] ( 𝟐) ( معادلة ) 𝟑 𝟐 𝟖

للمطع المكافئ لذا فه تحمك معادلته (𝟔 𝟏𝟐 )لنمطة ا

𝟔 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐 ] ( 𝟔) ( معادلة ) 𝟏 𝟐 𝟐𝟒

نحل المعادلتن حال أنا فنحصل على :

𝟑𝟐 𝟒 𝟏

𝟖 8

𝟏

𝟖 𝟐 𝟑 1 2b 3 2b 2 b 1

𝟏

𝟖 𝟐 𝟖 𝟐 𝟖 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖 𝟖

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏𝟔)بإضافة

𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔 (𝒙 𝟒) 𝟖 𝟏𝟔 𝟐 (𝒙 𝟒) 𝟖( 𝟐) 𝟐


𝟒 𝟐 ( ) انرأس(𝟐 𝟒 )

𝟒 𝟖 𝟐 F(ℎ 𝑝 𝑘) 𝐹( 4 𝟐 𝟐 ) 𝐹( 4 انبؤرة )

معادنت انمحىر 𝟒

y 𝟐 معادنت اندنم 𝟐 4

انبعد انبؤري 𝟒 𝟖


95

: نمطة األصل وحمك الشروط التالة جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه /مثال

(𝟎 𝟓)بإرته (1)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور السنات /انحم 𝟒

( 𝟎) (𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 𝟎

(𝟑 𝟎)بإرته (2)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒

(𝟎 ) (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 𝟎

𝟔 𝟐معادلة دلله (3) 𝟎 /انحم

𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 البؤرة (𝟑 𝟎) 𝟑

𝟐 𝟒

𝟐 𝟒( 𝟑) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟏𝟐

𝟐√)مر بالنمطة بإرته تنتم لمحور الصادات و(4) 𝟏

𝟐)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒

𝟐√)النمطة 𝟏

𝟐 تنتم للمطع فه تحمك معادلته (

(√𝟐)𝟐 𝟒

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 𝟒 𝟒(𝟏) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟒

جد معادلته ومعادلة دلله (𝟓√ 𝟏) (𝟓√𝟐 𝟏)مر بالنمطتن (5)

𝟐 معادنت ثابتة لم تتغر ( xالنمطتن متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة /انحم 𝟒

وعض أحذ انىمطته ألو مز تا ∴

(𝟐√𝟓)𝟐 𝟒 (𝟏) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 معادنت اندنم 𝟓

𝟐 𝟒 𝟒(𝟓) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟐𝟎

(𝟒 𝟐)تؤرت تىتم نمحر انسىاخ دنه مز تانىمطح (6)

𝟐 معادنح انمطع انمكافئ تؤرت تىتم نمحر انسىاخ /انحم 𝟒

𝟐 ألن انذنم مطع األحذاث انسى معادنح انذنم 𝟐 نذا فأن (𝟒 𝟐)دنه مز تانىمطح

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖

𝟐 رأس ومطح األصم تؤرت مزكش انذائزج انت معادنتا (7) 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎

) =مزكش انذائزج / انحم (معامم )

𝟐 (معامم )

𝟐) =(

𝟎

𝟐 ( 𝟒)

𝟐 = انثؤرج (𝟐 𝟎)= (

𝟐 انثؤرج تىتم نمحر انصاداخ معادنح انمطع انمكافئ 𝟐 𝟒

𝟐 𝟒 𝟒(𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖


96

( 𝟏 𝟐 )مز تانىمطح 𝟎 دنه اس انمحر انصاد معادنح محري (8)

( 𝟏 𝟐 )انذنم اس انمحر انصاد مز تانىمطح /انحم

انذنم مطع األحذاث انسى انسانة انثؤرج تمع عه األحذاث انسى انمجة

𝟐 معادنح انمطع انمكافئ 𝟒 نذا ف تحمم ( 𝟏 𝟐 )انمطع مز تانىمطح

𝟐 𝟒 (𝟏)𝟐 𝟒 ( 𝟐) 𝟏 𝟖 𝟏

𝟖

𝟐 𝟒 𝟏

𝟖 𝟐

𝟏

𝟐 معادلة القطع المكافئ

(𝟏𝟎) وحداثلطعح طنا 𝟒 مطع مه انمستمم (9) /انحم

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 رأس انقطع انمكافئ (𝟓 𝟒)(𝟓 𝟒)

𝟐 معادنح انمطع انمكافئ انتىاظز حل محر انسىاخ تحمم (𝟓 𝟒)انىمطح 𝟒

𝟐 𝟒 (𝟓)𝟐 𝟒 (𝟒) 𝟐𝟓

𝟏𝟔

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐

𝟐𝟓

𝟒

جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وحمك الشروط التالة /مثال

𝐳بإرته الصغة الدكارتة للعدد (1) 𝟒 𝟐𝐢

𝟐 𝐢

/انحم

𝐳 𝟒 𝟐𝐢

𝟐 𝐢×𝟐 𝒊

𝟐 𝒊 𝟖 𝟒𝒊 𝟒𝒊 𝟐

𝟓 𝟏𝟎

𝟓 الصغة الدكارتة (𝟎 𝟐 ) 𝟐

( 𝟐 𝟎) (𝒑 𝟎) البؤرة 𝐩 𝟐

𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒( 𝟐)𝒙 𝒚𝟐 𝟖𝒙 معادلة القطع المكافئ

(3,4)بإرته تنتم ألحد المحورن ودلله مر بالنمطة (2) 𝒑وجد دلالن ولم حدد الي المحورن وازي (3,4)الدلل مر بالنمطة ∵ /انحم 𝟑 𝒑 𝟒

مما عن وجدود لطعان مكافئان (𝟎 𝟑 )والثانة (𝟒 𝟎)وجد بإرتان االولى

𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒(𝟑)𝒙 𝒚𝟐 𝟏𝟐𝒙 معادلة القطع المكافئ األول

𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒(𝟒)𝒚 𝒙𝟐 𝟏𝟔𝒚 معادلة القطع المكافئ انثاو

mثم أوجد لمة 𝑨(𝟎 𝟎) 𝑩( 𝟐 𝟒) 𝑪(𝟐 𝒎)حث ABCمر برإوس المثلث (3)

تمع أما ف الربع األول أو الرابع (m,2)النمطة ∵ /انحم

للربع األول لك تحمك المطع (m,2)النمطة

𝒙𝟐البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝟒𝒑𝒚

فه تحممه (𝟒 𝟐 )المطع مر بالنمطة ∵

( 𝟐)𝟐 𝟒𝒑(𝟒) 𝒑 𝟒

𝟏𝟔 𝐩

𝟏

𝟒 𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒

𝟏

𝟒 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 معادنت انقطع

تمع على المطع لذا فه تحمك معادلة المطع (m,2)النمطة ∵ (𝟐)𝟐 𝐦 𝐦 𝟒


97

𝟐𝒚 √𝟑رأسه نمطة األصل ومعادلة دلله (4) 𝟎 /نحم ا

𝟐𝒚 √𝟑 𝟎 𝟐𝐲 √𝟑 𝐲 √𝟑

𝟐 𝐩

√𝟑

𝟐

𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒 √𝟑

𝟐 𝒚 𝒙𝟐 𝟐√𝟑𝒚 معادلة القطع المكافئ

******************************************************************

: : ف كل مما ؤت جد البإرة ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ 1س

( ) 𝟐 𝟖( 𝟐)

( ) 𝟐 𝟒 𝟎

( ) 𝟐 𝟐𝟖 𝟎

والرأس ف نمطة األصل فجد معادلته علما أن بإرتــــــه (𝟓 𝟐 ): أذا كان دلل المطع المكافئ مر بالنمطة 2س

تنتم ألحد المحورن

معادلة المطع المكافئ الذي :: ف كل مما ؤت جد 3س

والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟕 ))أ( بإرته

𝟑 𝟐)ب( معادلة الدلل له والرأس ف نمطة األصل . 𝟎

والرأس ف نمطة األصل . (𝟔 𝟑))ج( بإرته تنتم لمحور السنات ومر بالنمطة

والرأس ف نمطة األصل . (𝟓 𝟒 ))د( بإرته تنتم لمحور السنات و دلله مر بالنمطة

𝟑√ 𝟐)ب( معادلة الدلل له والرأس ف نمطة األصل . 𝟎

𝟐 لمطع المكافئ تنتم ل (𝟒 𝟐)مطة أذا كانت الن :4س ثم جد أحداث البإرة ( )فجد لمة (𝟒 )

ومعادلة الدلل

:ة المطع المكافئ الذي بؤستخدام التعرف جد معادل: 5س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟒) بإرته ) أ ( 𝟓 ) ب ( معادلة الدلل والرأس ف نمطة األصل 𝟎


98

) الرأس ف نمطة األصل ( :نالصالمطع ال

البإرتذان تسذمان ثذابتتن نمطتذن عذن منهذا نمطة أي بعدي مجموع كون الت ( ) المستوي نماط مجموعة هو

( 𝟐) تساوي لمته ثابتا عددا تساوي

ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات

𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐 √( )𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐(𝟎 )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒)

√ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (بتربـــــــع الطرفن )

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )

( ) ( )حث أن

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 وبإرتا ه (𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 رأسا المطع النالص هما

بذذذنفس األسذذذلوب مكننذذذا أجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذ

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐وبإرتذذذذذا هذذذذذ ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا حذذذذث أن 𝟏

𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )


99

الحظ الشكل التال :

مالحظات :

(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①

𝟐طول المحور الكبر ②

𝟐طول المحور الصغر ③

𝟐البعد بن البإرتن ④

𝟐 دائما كون ⑤ 𝟐 𝟐

االختالف المركزي ⑥

√ 𝟐 𝟐

𝟐 √ )ولمة (𝟏 )حث الحظ أنه كون 𝟐 )

مساحة المطع النالص ⑦

√ 𝟐 محط المطع النالص ⑧ 𝟐 𝟐

𝟐 )حث أن

𝟐𝟐

𝟕)

النسبة بن طول محوره ⑨𝟐

𝟐

( ) هو واألصغر ( )هو واألكبر ( ) أو ( ) أما هو الثان فاإلحداث صفر إحداثاتها أحد بنمطة المطع مر أذا ⑩

أدنا :الحظ الجدول ⑪

لطع نالص بإرتا على محور السنات لطع نالص بإرتا على محور الصادات

المعادلة 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐المعادلة 𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 البإرتان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 البإرتان

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 الرأسان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 الرأسان


100

المركزي واالختالفتن والرأسن ف كل مما ؤت جد طول كل من المحورن وأحداث كل من البإر (/11مثال )

① 𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏 ② 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐

𝟒

𝟑

(1)الحل

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c

𝟐 𝟐(𝟓) طول المحور الكبر وحدة 𝟏𝟎

𝟐 𝟐(𝟒) طول المحور الصغر وحدة 𝟖

𝟐 𝟐(𝟑) البعد البؤري وحدة 𝟔

البؤرتان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓)𝟏

𝟓االختالف المركزي 𝟏

𝟑

(2)الحل

𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 ×

𝟑

𝟒

𝟒 𝟐

(𝟒𝟑)

𝟑 𝟐

(𝟒𝟑)

𝟏 𝟐

(𝟏𝟑)

𝟗 𝟐

𝟒 𝟏

𝟐

(𝟏𝟑)

𝟐

(𝟒𝟗)

𝟏

𝑎 𝟒

𝟗 2

𝟐

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 𝑎

𝟏

√𝟑 𝟐 b 𝑎 𝟐

𝟒

𝟗 𝟏

𝟑

𝟏

𝟗 2

𝟏

𝟑 c

𝟐 𝟐 𝟐

𝟑

𝟒

𝟑 طول المحور الكبر وحدة

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟑

𝟐

√𝟑 طول المحور الصغر وحدة

𝟏 𝟎 𝟐

𝟑 𝟐 𝟎

𝟐

𝟑𝟏 الرأسان 𝟎

𝟏

𝟑 𝟐 𝟎

𝟏

𝟑 البؤرتان

𝟏

𝟑

(𝟐

𝟑)

( ) 𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟏

𝟐 االختالف المركزي 𝟏


101

ــــا النمطـــــتـــان ـورأس (𝟎 𝟑)𝟏 (𝟎 𝟑 )𝟐 ـص الذي بإرتــــــا ـــــة المطع النالـــجد معادل (/12مثال ) ومركز نمطة االصل . (𝟎 𝟓)𝟏 (𝟎 𝟓 )𝟐

الحل/

⇐ البإرتان والرأسان معان على محور السنات والمركز ف نمطة األصل ∵ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟑 𝑪 𝟗 𝟐

𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

𝑪 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒃 𝟐 𝟏 𝟔

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏 معادلة القطع الناقص

اإلحداثنـن نطبك محورا على المحورـــــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وـجد معادل (/31مثال )

ثم وحدة,(𝟏𝟐)ادات جزءا طوله وحدات ومن محور الص (𝟖)ـنات جزءا طوله محور السمن ومطع جد المسافة بن البإرتن ومساحة منطمته ومحطه .

الحل/

المحور الكبر 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔 (البؤرة تقع على الصادات)

المحور الصغر 𝟐 𝟖 b 4 𝑏2 16

𝑥

𝟏𝟔

2 𝒚

𝟑𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟎

𝐜 √𝟐𝟎 𝟐√𝟓

𝟐𝐜 ( انمسافت به انبؤرته) 𝟓√𝟒

انمساحت (وحدة مربعة ) 24 (4)(6)

انمحط 2 √ 2 2

22 √

𝟑𝟔 𝟏𝟔

22 √

𝟓𝟐

2

𝐩 (وحدة ) 𝟐𝟔√2

االختالف المركزي 𝟐√𝟓

𝟔 √𝟓

𝟑


102

𝟐 لتكن (/41مثال ) 𝟒 𝟐 ــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتــــــــهة لطع نالـــــــص ممعادلـــ 𝟑𝟔

1د / 2015وزاري جد لمة (𝟎 𝟑√) الحل/

𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

𝟐

𝟑𝟔 𝟒 𝟐

𝟑𝟔 𝟏

𝟐

(𝟑𝟔 ) 𝟐

𝟗 𝟏

المانون تنتم لمحور السنات (𝟎 𝟑√)البإرة ∵ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

√𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝑎

𝟑𝟔

2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔

𝟗 𝟑

𝟑𝟔

𝟏𝟐

𝟑𝟔

𝟏𝟐 𝐤 𝟑

ـــنات والمسافة بن األصل وبإرتا على محور الســــص الذي مركز نمطة ـــة المطع النالـجد معادل (/51مثال )

وحدة . (𝟐)والفرق بن طول المحورن (𝟔) البإرتن الحل/

𝟐 𝟔 c 3

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏 ( )𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟏 𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟐 𝟖 𝐛 𝟒 𝒂 𝟓

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ئ بإرته بإرة المطـــع المكافــــــل وأحدى لذي مركز نمطــــــة األصـــص اـــة المطع النالــجد معادل (/61مثال )

𝟐 وحدات . (𝟏𝟎)وطول محور الصغر ساوي 𝟎 𝟏𝟐 : من المطع المكافئ المعطى الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 12 p 3 ( البورة 3)

𝟑 (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏 البإرتان :المطع النالص ⇐

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟐𝟓 𝟗 2 𝑎 𝟑𝟒 2

𝒙

𝟑𝟒

𝟐 𝑦

𝟐𝟓( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2


103

بؤستخدام التعرف , جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا : (/17مثال )

𝟔والعدد الثابت (𝟎 𝟐)𝟏 (𝟎 𝟐 )𝟐 . الحل/

𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐

√( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟑)

√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟔 √( 𝟐)𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐

𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟖 ( 𝟒)

𝟑√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟗 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐) 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔

𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒𝟓 ( 𝟒𝟓)

𝟐

𝟗 𝟐

𝟓 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )

مالحظة

لرسم لطع نالص ولكن المطع 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 نتبع الخطوات التالة : 𝟏

(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن النمطتن ①

( 𝟎)𝟐 ( 𝟎)𝟏 نعن النمطتن ②

بالترتب حتى تكون منحن متصل 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 نصل بن النماط األربعة ③

(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن البإرتن ④


104

المطع النالص:) أنسحاب محاور ( :

:المحور السن وازيومحور الكبر ( )المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز النمطة ①

تعذ األوسحاب

لثم األوسحاب

انعىصز لثم األوسحاب تعذ األوسحاب

انزأسان (𝟎 ) ( )

انثؤرتان (𝟎 ) ( )

انمزكش (𝟎 𝟎) ( )

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 انماون 𝟏

اس محر انصاداخ كثزمحري ان ( )المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز النمطة ②




انزأسان ( 𝟎 ) ( )

انثؤرتان ( 𝟎 ) ( )

انمزكش (𝟎 𝟎) ( )

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐


المحذذور الكبذذر ذذوازي محذذور السذذنات

𝒚)ومعادلتذذه 𝒌) والمحذذور الصذذغر

ذذذذذوازي محذذذذذور الصذذذذذادات ومعادلتذذذذذه

(𝒙 𝒉)

المحذذور الكبذذر ذذوازي محذذور الصذذادات

𝒙)ومعادلتذذه 𝒉) والمحذذور الصذذغر

ذذذذذذوازي محذذذذذذور السذذذذذذنات ومعادلتذذذذذذه

(𝒚 𝒌)


105

: مالحظات

( ) ه ( )ورأسه السنات محور وازي الذي النالص للمطعالكبر المحور معادلة①

( ) ه ( )ورأسه الصادات محور وازي الذي النالص للمطع الكبر المحور معادلة②

( ) ه السنات محور وازي الذي النالص للمطعاحداثات المطبن او نهات المحور الصغر ③

( ) ه الصادات محور وازي الذي النالص للمطعاحداثات المطبن او نهات المحور الصغر ④

ستمتصرررز دراسرررتىا فررر مارررى االوسرررحاب عهررر أجررراد مزكرررش انمطرررع انىرررال تؤرتررراي انزاسررران طرررل ⑤

محررررر انكثررررز انصرررركز معادنررررح كررررم مرررره انمحررررره حسرررراب مسرررراحح محرررر انمطررررع انىررررال اجرررراد

االختالف انمزكش .

ول ومعادلة كل من المحورن للمطع ـــــــــــــو طوالمطبن ن ـــــــــــــــــد البإرتن والرأســــــــــج (/18مثال )

النالص ( 𝟐)𝟐

𝟗

( 𝟏)𝟐

𝟐𝟓 ؟ eثم جد لمة 𝟏

الحل/

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟏 (ℎ 𝑘) (2 1 ( مركز القطع الناقص

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝑎 𝟏𝟎 2 وحدة (طول المحور الكبر)

𝟐 𝟗 b 3 𝟔 2 وحدة (طول المحور الصغر)

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 25 9 16 C 4

𝑥 ℎ 𝑥 𝑦 (معادنت انمحىرانكبر) 2 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانصغر) 1

(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (3 2)2 (5 2)

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (4 2)2 (6 2)

(ℎ ) 2(ℎ ) انقطبان (1 1 )2 (1 5)

االختالف المركزي

𝟓

𝟒 𝟏


106

(𝟐 تمارين(𝟐

واالخذتالفثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن والمطبذن والمركذز عذن كذل مذن البذإرتن والرأسذن /1 س

: نهمطى انىالصح انمثىح معادالتا ف كم مما أتالمركزي

ⓐ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

الحل/

𝟐

𝟏

𝟐

(𝟏𝟐)

𝟏 𝑎 𝟏 2 𝑎 1 𝑏 𝟏

𝟐 2 b

𝟏

√𝟐

𝟐𝒂 𝟐(𝟏) طىل انمحىرانكبر ) وحدة 𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐طىل انمحىرانصغر ) وحدة 𝟐√ )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

√𝟐

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐انمسافت ب انبؤرته ) وحدة 𝟐√ )

الرأسان (𝟎 𝟏 )𝟐 (𝟎 𝟏)𝟏

𝟏 𝟏

√𝟐 𝟎 𝟐

𝟏

√𝟐 البؤرتان 𝟎

𝟏 𝟎 𝟏

√𝟐 𝟐 𝟎

𝟏

√𝟐 القطبن(طرفا المحور الصغر)


𝟏

√𝟐

𝟏

𝟏

√𝟐 𝟏

(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر


107

ⓑ 𝟗 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟏𝟕

(𝟏𝟏𝟕)بالمسمة على الحل/

𝟐

𝟏𝟑 𝟐

𝟗 𝟏 𝑎 𝟏𝟑 2 𝑎 √𝟏𝟑 𝑏 𝟗 2 b 𝟑

𝟐𝒂 𝟐 √𝟏𝟑( ) √𝟏𝟑𝟐 ىرانكبرانمح ) وحدة طىل )

𝟐 𝟐(𝟑) طىل انمحىرانصغر ) وحدة 𝟔 )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟑 𝟗 𝟒 𝟐

𝟐 𝟐(𝟐) انمسافت ب انبؤرته ) وحدة 𝟒 )

الرأسان (𝟎 𝟏𝟑√ )𝟐 (𝟎 𝟏𝟑√)𝟏

البؤرتان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐) 𝟏

القطبن (𝟑 𝟎)𝟐 (𝟑 𝟎) 𝟏


𝟐

√𝟏𝟑 𝟏

(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر

ⓒ ( 𝟒)𝟐

𝟖𝟏 ( 𝟏)𝟐

𝟐𝟓 𝟏

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص الحل/( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟖𝟏 𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝑎 b 5

ℎ 4 𝑘 1 (ℎ 𝑘) انمركز (1 4)

𝟐𝒂 𝟐 𝟗( ) طىل انمحىرانكبر ) وحدة 𝟏𝟖 )

𝟐 𝟐(𝟓) طىل انمحىرانصغر ) وحدة 𝟏𝟎 )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟖𝟏 𝟐𝟓 𝟓𝟔 𝟐 𝑐 2√ 14

𝟐 𝟐(2√ ) 14 4√ 14 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )

𝑦 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانكبر) 1

𝑥 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانصغر) 4

(ℎ ) 2(ℎ ) (4 2√ 1) 2(4 14 2√ 14 انبؤرتان (1

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (1 5 )2 (1 13)

(ℎ ) 2(ℎ ) نقطبها (6 4)2 (4 4)

االختالف المركزي 2√

𝟗 𝟏

14



108

( 𝟑)𝟐

𝟗

( 𝟐)𝟐

𝟐𝟓

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص الحل/( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝑎 b 3

ℎ 3 𝑘 2 (ℎ 𝑘) انمركز (2 3 )

𝟐𝒂 𝟐 𝟓( ) طىل انمحىرانكبر ) وحدة 𝟏𝟎 )


𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟐 𝑐 4

𝟐 𝟐( ) 4 8 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )

𝑥 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانكبر) 3

𝑦 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانصغر) 2

(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (6 3 )2 (2 3 )

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (7 3 )2 (3 3 )

(ℎ ) 2(ℎ ) انقطبه (2 6 )2 (2 )

االختالف المركزي 𝟓 𝟏

4

ⓔ 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟕𝟐 𝟗𝟔 𝟏𝟒𝟒 𝟎

: مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/

𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟕𝟐 𝟗𝟔 𝟏𝟒𝟒 𝟗( 𝟐 𝟖 ) 𝟏𝟔( 𝟐 𝟔 ) 𝟏𝟒𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىال الى طرف معادلة المطع (𝟐𝟖𝟖)بإضافة

𝟗( 𝟐 𝟖 𝟏𝟔) 𝟏𝟔( 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟏𝟒𝟒 𝟐𝟖𝟖

𝟗( 𝟒)𝟐 𝟏𝟔( 𝟑)𝟐 𝟏𝟒𝟒 ( 𝟏𝟒𝟒)

( 𝟒)𝟐

𝟏𝟔 ( 𝟑)𝟐

𝟗 معادلة القطع الناقص 𝟏



109

تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انىال ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 وحصم عه 𝟏

𝟒 𝟑 ( ) مركز القطع الناقص (𝟑 𝟒)

𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝑎 b 3

𝟐𝒂 𝟐 𝟒( ) طىل انمحىرانكبر ) وحدة 𝟖 )


𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟕 𝑐 √ 7

𝟐 𝟐(√ ) 7 2√ 7 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )

𝑦 𝑘 𝑦 𝑥 (معادنت انمحىرانكبر) 3 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانصغر) 4

(ℎ ) 2(ℎ ) (4 √ 3) 2(4 7 √ 7 انبؤرتان (3

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (3 )2 (3 8)

(ℎ ) 2(ℎ ) هانقطب ( 4)2 (6 4)

االختالف المركزي √

𝟒 𝟏

7

ⓕ 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟒 𝟎

:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/

𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎𝟒 ( 𝟐 𝟒 ) 𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 ) 𝟐𝟎𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىال الى طرف معادلة المطع (𝟐𝟐𝟗)بإضافة

( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟐𝟎𝟒 𝟐𝟐𝟗 ( 𝟐)𝟐 𝟐𝟓( 𝟑)𝟐 𝟐𝟓 ( 𝟐𝟓)

( 𝟐)𝟐

𝟐𝟓 ( 𝟑)𝟐

𝟏 معادلة القطع الناقص 𝟏


𝟐

( )𝟐

𝟐 :وحصم عه 𝟏

𝟐 𝟑 ( ) مركز القطع الناقص (𝟑 𝟐 )

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟏 𝑎 b 1


110

𝟐𝒂 𝟐 𝟓( ) حىرانكبرانم ) وحدة 𝟏𝟎 طىل )

𝟐 𝟐(𝟏) طىل انمحىرانصغر ) وحدة 𝟐 )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐𝟓 𝟏 𝟐𝟒 𝟐 𝑐 √ 24 𝑐 2√ 6

𝟐 𝟐(2√ ) 6 4√ 6 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )


(ℎ ) 2(ℎ ) ( 2 2 √ 3) 2( 2 6 2√ 6 انبؤرتان (3

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (3 7 )2 (3 3)

(ℎ ) 2(ℎ ) انقطبه (2 2 )2 (4 2 )


𝟓 𝟏

24

: جد المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز ف نمطة األصل ف كل مما ؤت /2 س

وحدة (𝟏𝟐)وطول محور الكبر ساوي (𝟎 𝟓) و (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان )أ(

الحل/

𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟐𝟓

𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝒃 𝟏𝟏 𝟐

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 y

𝟏𝟏( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

𝟒 وتماطع مع محور السنات عند (𝟐 𝟎)البإرتان هما )ب(

الحل/

𝟏(𝟎 𝟐) 𝟐(𝟎 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟒 ( البؤرتان تنتمان الى محور الصادات)

𝟐 (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 )تمثل المطبن وه 𝟒 عند مع محور السنات نمط التماطع 𝟏𝟔 ⇐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝒂 𝟐𝟎 𝟐

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 y

𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2


111

على الترتبوحدة 𝟏 𝟓 عددنمحور الكبر بال نهات أحدى بإرته تبعد عن ج()

الحل/

𝟐 𝟏 𝟓 2𝑎 6 𝑎 3 𝑎 𝟗 2

𝟐 𝟓 𝟏 2c 4 𝑐 2 𝑐 𝟒 2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓

وهما :لمعادلة المطع النالص هنان حالتن

عندما البإرتان تنتم لمحور السنات

𝒙

𝟗

𝟐 y

𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2 عندما البإرتان تنتم لمحور الصادات

𝒙

𝟓

𝟐 y

𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

االختالف المركزي )د(𝟏

𝟐 وحدة طولة (𝟏𝟐) وطول محور الصغر

الحل/

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝑐

𝑎

𝟐 c 𝟐

𝟐

𝟒

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝒃𝟐 𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟑𝟔 𝟐

𝟒 𝟐 𝒂

𝟏𝟒𝟒 𝟐

𝒂

𝟒

𝟐

4𝒂𝟐 144 𝒂𝟐 3𝒂𝟐 144 𝟐 𝟒𝟖

هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :

𝒙

𝟒𝟖

𝟐 y

𝟑𝟔 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2 عندما البإرتان تنتم لمحور السنات

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 y

𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏


وحدة (3)وحدات ونصف محور الصغر ساوي (𝟖)المسافة بن بإرته تساوي )هـ(

الحل/𝟏

𝟐 (𝟐 ) 𝟑 𝑏 3 b2 9

𝟐 𝟖 𝟒 c2 16

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟗 𝟏𝟔 𝟐 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 y

𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2 السنات عندما البإرتان تنتم لمحور

𝒙

𝟗

𝟐 y

𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏



112

: باستخدام التعرف جد معادلة المطع النالص أذا علم /3 س

ⓐ ومركز ف نمطة االصل (𝟑 𝟎)ورأسا النمطتان (𝟐 𝟎)إرتا النمطتان ب .

الحل/

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐 ( حسب التعرف) 𝟐

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 √( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐(𝟑)

√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 √ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔

√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐(𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒

𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟖 𝟑𝟔 ( 𝟒)

𝟑√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟗 𝟐

𝟗( 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏

𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏

𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔

𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒𝟓 ( 45 )

𝑥2

5 𝑦2

91 ( معادلة القطع الناقص)


113

ⓑ والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذنات ومركذز فذ (𝟏𝟎)والعذدد الثابذت وحذدة (𝟔) المسافة بذن البذإرتن

.نمطة االصل

الحل/

البؤرتان (𝟎 𝟑 ) 𝟑 𝟔 𝟐

الراسان(𝟎 𝟓 ) 𝟓 𝟏𝟎 𝟐

على تعرف المطع النالص وباالعتماد

𝟏 𝟐 𝟐

√( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟓)

√( 𝟑)𝟐 𝟐 √( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎

√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐

𝟐 𝟔 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐

𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟒)

𝟓√( 𝟑)𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐𝟓 𝟑

𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐) 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓

𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)

𝑥2

25 𝑦2

16 1 ( معادلة القطع الناقص)


114


بإرتذذه هذذ بذذإرة المطذذع المكذذافئ ىجذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل واحذذد /4 س

𝟐 )الذي معادلته (𝟑√ 𝟑√𝟐)علما ان المطع النالص مر بالنمطة (𝟎 𝟖

: المطع المكافئ ف الحل/

𝟐 𝟖 ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟖 𝒑 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ( البورة

المطع النالص :ف

𝟎 𝟐)البإرتان ) ( 𝟐 𝟎 𝟐 والمانون هو ( ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟑√ 𝟑√𝟐)النمطة

𝟐√𝟑( )

𝟐

𝒂

𝟐

√𝟑( )

𝟐 𝟏

𝟐

𝟏𝟐

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟒 ①( ( وعىض ف

𝟐 𝟑𝟏𝟐 (𝒃𝟐 𝟒 ) (𝒃𝟐 𝟒 𝟐 ) 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒃𝟐 𝟒𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟎

( 𝟐 𝟏𝟐)( 𝟐 𝟏) 𝟎

𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟔

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝒚

𝟏𝟐 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

𝟐 همل 𝟏

وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذنات ومذذذر جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل /5 س

(𝟐 𝟔) (𝟒 𝟑)بالنمطتن

المانون هو ⇐على محور السنات البإرتان ∵ الحل/𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟐 𝟔)النمطة ∵

(𝟔)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟐)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟑𝟔

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟒 𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟒 𝟑)النمطة ∵

(𝟑)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟒)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟗

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔𝟗 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ②) 𝟐

وبحل المعادلتن انا بالطرح نحصل على المعادلة التالة

𝟐 𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒂 𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐 𝟐𝟕 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐𝟗 𝒂 𝟐 𝟐𝟗

𝟒

①( ( وعىض ف

𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝟐𝟗

𝟒

𝟐𝟗

𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗

𝟐𝟗

𝟒 𝟐 𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟗

𝟒 𝟐 𝟒 𝟏𝟖𝟎 𝟗

𝟒𝟗 𝟐 𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟒 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟐( 𝟐 ) 𝟐𝟎 𝟎 𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟒𝟓

𝒙

𝟒𝟓

𝟐 𝒚

𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


115

نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذ وبإرتذذذا لــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصـــــذذذـة المطذذذع النالــــــذذذـد معادلـــــذذذـج /6 س

𝟐 𝟐 𝟐 مع محور الصادات ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟐

𝟐 )المنحن ∵ الحل/ 𝟐 𝟎 مطع المحور الصادي (𝟏𝟔 𝟑 ⇐

𝟐 𝟏𝟔 𝐲 𝟒

𝟒 𝟎)البإرتان ) (𝟎 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 والمانون هو ( ⇐𝒙

𝟐

𝟐 𝒚𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

المعطىمن المطع المكافئ

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝒑 𝟑

𝐱 𝐩 𝒙 دنم انقطع انمكافئ 𝟑 وقطت انتماس (𝟎 𝟑 )

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟎 𝟑 )النمطة ∵

( 𝟑)

𝟐

𝟐 (𝟎)𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

𝟗

𝒃 𝟏

𝟐 𝟐 𝟗

𝑎2 𝑏2 𝑐2 9 16 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝒚

𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

ل ــذـنات ومركذز فذ نمطذة األصـذــــــــتنتمذ الذى محذور الس الذذي بإرتذا د معادلة المطع النذالص ـــــــــج /7 س

𝟐 وطذذول محذذور الكبذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغر ومطذذع المطذذع المكذذافئ عنذذد النمطذذة التذذ 𝟎 𝟖

(𝟐 )احداثها السن

المانون هو تنتم لمحور السنات البإرتان ∵ الحل/ ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

طول المحور الكبر ضعف طول المحور الصغر ∵

𝟐 𝟐(𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

(𝟐 )المعطى نعوض لمة من المطع المكافئ

𝟐 𝟖 𝟎 𝟐 𝟖( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒

تنتم للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فه تحمك معادلة المطع النالص النقطتان (𝟒 𝟐 ) (𝟒 𝟐 )

( 𝟐)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟒)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟒

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟒 𝟐

𝟒

𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟐

𝟏

𝟐 𝟏

𝟏𝟔

𝟐

𝟏 𝟏𝟕

𝟐 𝟏𝟕

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟏𝟕) 𝟐 𝟔𝟖

𝒙

𝟔𝟖

𝟐 𝒚

𝟏𝟕ادلةمع القطع الناقص) 𝟏 )

𝟐


116

𝟐 معادلته لطع نالص /8 س 𝟐 محوره نمطة االصل ومجموع مربع طول و مركز 𝟑𝟔

𝟐 واحد بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي معادلته (𝟔𝟎)ساوي ما لمة كل من 𝟑√𝟒

المعطىمن المطع المكافئ الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟑√𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟒√𝟑 𝒑 √𝟑 √𝟑( 𝟎 ( البؤرة

⇐ بإرتا المطع النالص √𝟑( 𝟎 √𝟑) ( 𝟎 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑 𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

𝒙𝟐

(𝟑𝟔

𝒉

)

𝒚

(𝟑𝟔

) 𝟏

𝟐

𝒂 𝟐 𝟑𝟔

𝒉 𝟐

𝟑𝟔

𝟔𝟎مجموع مربع طول محوره = ∵

(𝟐 )𝟐 (𝟐 )𝟐 𝟔𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟏𝟓 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟐 3 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟗

𝒂 𝟐𝟑𝟔

𝒉

𝟗

𝟑𝟔 𝟒

𝒃 𝟐𝟑𝟔

𝒌

𝟔

𝟑𝟔 𝟔

دى بإرتذه هذ بذإرة المطذع ـــذـل واحـذـــــــة االصـــــــذـنمط الذذي مركذز ص ــذـة المطذع النالــذـد معادلـــذـج /9 س

𝟐 المكافئ .وحدة (𝟑𝟔)ومجموع طول محوره 𝟐𝟒

المعطىمن المطع المكافئ الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐𝟒 𝐩 𝟔 𝟎( 𝟔 ( البؤرة

⇐ بإرتا المطع النالص 𝟎( 𝟔 𝟎) ( 𝟔 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑𝟔 𝒙

𝟐

𝟐 𝒚𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝒃 𝟏𝟖 𝒂 𝟏𝟖 𝒃

𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏𝟖 )𝟐 𝟐 36 𝒃 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 36

𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 36 𝟑𝟔 288 𝐛 𝟖 𝟐 𝟔𝟒

𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟏𝟖 𝟖 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝒚

𝟏𝟎𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐



117

تنتم للمطع النالص والنمطة (𝟎 𝟒)𝟐 (𝟎 𝟒 )𝟏 الذي بإرته جد معادلة المطع النالص /10 س

1د / 0142وزاري .وحدة (𝟐𝟒) ساوي 𝟐 𝟏 بحث أن محــــــط المثلث

الحل/

𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)

𝟒 𝐂𝟐 𝟏𝟔

∵ النالص : وحدة وحسب تعرف المطع (𝟐𝟒)ساوي 𝟐 𝟏 محــــــط المثلث

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 (معادلة ① ) 𝟐𝟒

𝟏 𝟐 𝟐𝐂 𝟐(𝟒) ( المسافة بن البؤرتن) وحدة 𝟖

𝟏 𝟐 𝟐𝒂 (حسب تعرف القطع الناقص )

نحصل على ما ل : وبالتعوض ف (معادلة ① )

𝟐 𝟖 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝟐 𝟔𝟒

𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 16 𝟐 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟖

⇐ بإرتا المطع النالص المانون (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 ) 𝒙𝟐

𝒂 𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝒚

𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


118

أمثلة أضافة محلولة جد معادلة المطع النالص الذي : لكل مما ؤت/ مثال

ⓐ األصل نمطة ومركز ( 𝟏𝟎 وحدات) الكبر المحور وطول (𝟎 𝟑) (𝟎 𝟑 ) بإرتا

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟑 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟒

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦


2

ⓑ األصل نمطة ومركز ( 𝟖 وحدات) الصغر المحور وطول (𝟔 𝟎) (𝟔 𝟎) رأسا

𝟐 𝟖 𝟒 𝟔

𝒚

𝟑𝟔

𝟐 𝑥


2

ⓒ تساوي بإرته بن والمسافة الصغر محور طول بن والنسبة األصل نمطة ومركز (𝟒 𝟎) بإرته أحدى (𝟑

𝟒)

𝟐

𝟐 𝟑

𝟒 𝟒 𝟑 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟓

𝒚

𝟐𝟓

𝟐 𝑥

𝟗( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓓ ثم جد مساحته ومحطه (𝟎 𝟒 ) (𝟑 𝟎)ومر بالنمطتن األصل نمطة مركز

𝟒 𝟑 𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝑦


2


انمحط 2 √ 2 2

2 2 √

𝟏𝟔 𝟗

2 2 √

𝟐𝟓

2 (وحدة ) 𝟐√5


119

ⓔ 𝟖 𝟐نمطت تماطع المستمم ؤحدى مر بوأحد لطبه مركز نمطة األصل

( )ألجاد لم (𝟎 )ثم نجعل ( )جد لم نثم (𝟎 )ألجاد نمط التماطع نجعل الحل /

𝟎 𝒚 𝟖 (𝟎 𝟖 ) 𝒊𝒇 𝒚 𝟎 𝟐𝒙 𝟖 (𝟒 𝟎 )

𝟖 𝟒 𝒙

𝟐

𝟐 𝑦

𝟐( القانون ) 𝟏

2

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝑦

𝟔𝟒( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓕ محذور وطذول (𝟏𝟎 وحدات)والبعذد الثابذت لذه السذنات محذور على نطبك الكبر ومحور األصل نمطة مركز

(𝟔 وحدات) الصغر

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝟔 b 3𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦


2

ⓖ ومركز نمطة األصل والنسبة بن طول محوره تساوي (𝟑 𝟎)أحدى بإرته(𝟒

𝟓)

𝟑 𝟐

𝟐 𝟒𝟓 𝒃

𝟒𝟓

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 16

25

𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝒂 𝟐𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝒂𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔

𝒚

𝟐𝟓

𝟐 𝑥


2

ⓗ المركزي واختالفه األصل نمطة ومركز (𝟎 𝟒) بإرته أحدى (𝟏

𝟐)

𝟒

𝟏

𝟐

4

𝑎 𝟖 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝒃 𝟒𝟖 𝟐

𝑥

𝟔𝟒

2 𝒚

𝟒𝟖( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


120

ⓘ والنسبة بن طول محوره ( 𝟐𝟒)مركز نمطة األصل وبإرتا تنتمان لمحور السنات ومساحته(𝟑

𝟖)

𝟐𝟒 𝑎 24

( معادلة ) 𝑏

𝟐

𝟐 𝟑𝟖 3𝑎 8𝑏

8

𝟑

𝑏

24

𝑏 8

𝟑

𝑏 8𝑏 𝟕𝟐 2 𝑏 𝟗 2 𝟑 𝟖

𝑥

𝟔𝟒

2 𝒚


𝟐

ⓙ وأحدى بإرته ه بإرة المطذع المكذافئ الذذي اإلحداثنالمحورن مركز نمطة األصل ومحورا نطبمان على

𝟐 ) معادلته وطول محور الكبر ضعف طول محور الصغر (𝟎 𝟏𝟐

: من المطع المكافئ الحل /

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 12 p 3 ( 3 ( البورة

:المطع النالص من

𝟑 (𝟑 𝟎) (𝟑 𝟎)البإرتان المانون هو ⇐ ⇐ 𝒙

𝟐

𝟐 𝑦2

𝑎 𝟏

2

𝟐 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝟐 ( ) 𝟐 𝟗 2 𝟒 𝟐 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑

𝑎 𝟒 𝟐 𝟒(𝟑) 2 𝑎 𝟏𝟐 2 𝒙

𝟑

𝟐 𝑦

𝟏𝟐( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓚ (𝟔 وحدات) والمسافة بن بإرته (𝟑 𝟎)مر بالنمطة

𝟐 𝟔 c 3

b 3 ( ألنه يمر بالنقطة)

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟗 𝒂𝟐 𝟏𝟖 (توجد معادلتن للقطع الناقص)

𝒙𝟐

𝟗

𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏

𝟏𝟖

𝒙

𝟏𝟖

𝟐 𝑦

𝟗( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏

2


121

المركذزي والمحذط واالخذتالفالبذإرتن والرأسذن وإحذداثاتوالبعذد البذإري جذد طذول كذل مذن المحذورن / مثال

𝟐 𝟏𝟔المطع التالة والمساحة لمعادلة 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟏𝟔 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟓 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟏

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c

𝟐 𝟐(𝟓) (𝟒)𝟐 𝟐 (المحور الكبر ) وحدة 𝟏𝟎 (المحور الصغر ) وحدة 𝟖

𝟐 𝟐(𝟑) (البعد البؤري) وحدة 𝟔

البؤرتان (𝟎 𝟑 ) (𝟎 𝟑) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)

االختالف المركزي 𝟓

𝟑


انمحط 2 √ 2 2

2 2 √

𝟐𝟓 𝟏𝟔

22 √

𝟒𝟏

2 (وحدة )

المركذزي للمطذع النذالص واالخذتالفعن كل من البإرتن والرأسن ثم جد طول ومعادلة كل من المحورن / مثال

𝟐 𝟐𝟓الذي معادلته ه 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟒 𝟒𝟒 𝟎

:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود انحم /

𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟒 𝟒𝟒 𝟐𝟓( 𝟐 𝟒 ) 𝟗( 𝟐 𝟔 ) 𝟒𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىال الى طرف معادلة المطع (𝟏𝟖𝟏)بإضافة

𝟐𝟓( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟗( 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟒𝟒 𝟏𝟖𝟏 𝟐𝟓( 𝟐)𝟐 𝟗( 𝟑)𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( 𝟐𝟐𝟓)

( 𝟐)𝟐

𝟗 ( 𝟑)𝟐

𝟐𝟓 معادلة القطع الناقص 𝟏


𝟐

( )𝟐


𝟐 𝟑 ( ) مركز القطع الناقص (𝟑 𝟐)

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝑎 b 3 𝟐 𝟏𝟔 𝑐 4



122


(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (7 2)2 (1 2)

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (8 2)2 (2 2)

االختالف المركزي 𝟓 𝟏

4

𝟐 لذذذذتكن / مثذذذذال 𝟐 والنسذذذذبة بذذذذن طذذذذول (𝟎 𝟑)معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتذذذذه 𝟒𝟎𝟎

محور الكبر ومحور الصغر 𝟒

𝟓 فجد لم كل من

انحم /

𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟏

𝟐

(𝟒𝟎𝟎 )

𝟐

(𝟒𝟎𝟎 )

𝟏

سنات البإرة تنتم لمحور ال ∵

𝟑 المانون 𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝑎

𝟒𝟎𝟎

2

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

𝟐

𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟓 𝑏

𝟏𝟔 𝟐

𝟐𝟓 2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟏𝟔

𝟐𝟓 𝟐 𝟗

𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝑏 𝟏𝟔 2

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟐𝟓 𝟏𝟔

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟐𝟓

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2


123

والذذذذي كذذذون البعذذذد بذذذن بإرتذذذه مسذذذاوا للبعذذذد ( 𝟖𝟎)سذذذاحته جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي م /مثذذذال

𝟐 )بن بإرة المطع المكافئ ودلله (𝟎 𝟐𝟒

من المطع المكافئ انحم /

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒

4p 24 p 6 2|p| 12

2 12 c 6 𝑐2 36

: المطع النالص من

𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝑎

(معادلة ) 2

𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎

2

𝑎 𝟑𝟔

2 𝟒 𝟑𝟔 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎 2

(𝑎2 )(1 𝑎2 ) 𝟎 64

either 𝑎2 1 𝟐 𝟔𝟒 𝑜𝑟 𝑎2 همم 64

𝒙𝟐

𝟏𝟎𝟎

𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏

𝟔𝟒

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝑦

𝟏𝟎𝟎( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏

2

أذا كانت /مثال 𝟐

𝟑 𝟐 الذذي النذالص المطذع معادلذة جذد (𝟐 𝟏 ) بالنفطذة مذر دلله مكافئ لطع معادلة 𝟎

محوره بن النسبة طول ومربع ( 𝟎) بإرته أحد𝟑

𝟒

نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السن لذا فؤن معادلة الدلل له من المطع المكافئالحل /

( [ 𝟏] 𝟏 ألنه مع على المحور السن (

𝟐 (𝟑 𝟐) ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟐 4 M 2

والمانون هو (𝟐 𝟎) (𝟐 𝟎)بإرتا :المطع النالص من 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟒 𝟐

𝟒 𝟐 𝟑

𝟒 𝟐

𝟑

𝟒 𝟐 𝟐 𝟒

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟑

𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐

𝒙

𝟏𝟐

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2


124

ومذر خذالل (𝟎 𝟔√)𝟐 (𝟎 𝟔√ )𝟏 مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا جد معادلة المطع النذالص الذذي /مثال

𝟐 بإرة المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏 𝟎

من المطع المكافئ الحل /

𝟐 ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏)نضف

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟐 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟐


𝟏 𝟏 ( ) انرأس(𝟏 𝟏 )

𝟒 𝟏𝟐 𝟑 F(𝑝 ℎ 𝑘) 𝐹 𝟑 𝟏( 1) 𝐹 𝟐( 1 ( (تحقق معادنت انقطع انىاقص)

لص :من المطع النا

𝟐 المانون هو (𝟎 𝟔√) (𝟎 𝟔√ ) بإرت المطع النالص ∵ 𝟔 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

)𝟐انىمطح 1 ( تحمك معادنح انمطع انىال ألو مز تا ) تؤرج انمطع انمكافئ (

𝟒

𝟐

𝟏

𝟐 𝟏

(× 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟐 ( معادلة ① ) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟔

𝟒 𝟐 𝟐 𝟔 ( 𝟐 𝟔) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟔 𝟒 𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟎

(𝒃𝟐 )(𝟑 𝒃𝟐 ) 𝟎 𝟐

𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑏2 2 𝟐 𝟖 𝑜𝑟 𝑏2 همم 3

𝒙

𝟖

𝟐 𝑦

𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2


125

ورن للمطذذذذذذع حذذذذذذالمجذذذذذذد أحذذذذذذداث البذذذذذذإرتن والرأسـذذذذذذـن والمطبذذذذذذن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن /مثذذذذذذال

𝟐 𝟒) النالص 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 ؟ eثم جد لمة (𝟎

:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود انحم /

𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝟒( 𝟐 𝟐 ) 𝟗( 𝟐 𝟒 ) 𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىال الى طرف معادلة المطع (𝟒𝟎)بإضافة

𝟒( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟒𝟎 𝟒( 𝟏)𝟐 𝟗( 𝟐)𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

( 𝟏)𝟐

𝟗 ( 𝟐)𝟐

𝟒 معادلة القطع الناقص 𝟏


𝟐

( )𝟐


𝟏 𝟐 ( ) مركز القطع الناقص (𝟐 𝟏)

𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟒 𝑎 b 2 𝟐 5 𝑐 √5

𝟐 𝟐(√ ) 5 2√ 5 وحدة انمسافت ب انبؤرته ) )


(ℎ ) 2(ℎ ) (1 √ 2) 2(1 5 √ 5 انبؤرتان (2

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (2 2 )2 (2 4)


3 𝟏

5

المركذزي االخذتالفوممذدار جذد أحذداث البذإرتن والرأسذن والمطبذن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن /مثال

ومحذور الكبذر ذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتذه تبعذد عذن (𝟒 𝟏)ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز

وحدة طول 10 ,2الرأسن بالبعدن

𝟐انفزق ته انثعذه 𝟐مجمى انثعذه ∵انحم /

𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝟐𝐜 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝐜 𝟖 𝐜 𝟒

انمعادنح انماسح نهمطع انىال ⇐ محري انكثز اس محر انصاداخ ∵ ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟎 𝟏 𝟒

( 𝟏)𝟐

𝟐𝟎 ( 𝟒)𝟐

𝟑𝟔دلةمعا القطع الناقص 𝟏


126



(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (8 1)2 ( 1)

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان ( 1 1)2 (2 1)

االختالف المركزي 𝟔

4

𝟑 𝟏

2

******************************************************************

للمطذوعواالخذتالف المركذزي المحذورن مذن كذل ومعادلذة طذول و والمطبذن والرأسذن البذإرتن أحداث جد : 1س

التالة :النالصة

( ) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓

( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔

( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟑𝟎𝟎

:ة المطع المكافئ الذي معادلبؤستخدام التعرف جد : 2س

.ومركز نمطة االصل (𝟎 𝟔 )ورأسا النمطتان (𝟎 𝟑 )بإرتا النمطتان ) أ ( ه ـــــــــــــــــأحذ تؤرت تثعذ عه انزأس ومركز نمطة االصلبإرتا تمعان على محور السنات ) ب (

. حذج طل 8 ,2تانثعذه


127

) الرأس ف نمطة األصل ( : لمطع الزائد:ا

تسذمى تكون الممة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتن ثذابتتن الت ( ) تويــالمس نماط ةـــمجموع هو

( 𝟐) ) البإرتن ( ساوي عددا ثابتا لمته

ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات

| 𝟏 𝟐| ( حسب تعرف القطع الزائد) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

√(𝒙 𝒄)𝟐 (𝒚 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐

√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚

√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 𝟐 √( )𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝒚 𝒚

(𝒙 𝒄) 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝒚

𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒚

𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒) 𝒚

√( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن )

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

والمعادلة (𝟎 ) (𝟎 )وبإرتا ه (𝟎 ) (𝟎 )هما دئـزارأسا المطع ال ⦁ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

الذي بإرتا تنتمان لمحور الصادات وه زائدبنفس األسلوب مكننا أجاد معادلة المطع ال ⦁ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 حث أن 𝟏

( 𝟎) ( 𝟎)وبإرتا ه ( 𝟎) ( 𝟎)هما زائد رأسا المطع ال


128

مالحظات :

(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①

𝟐 حممطول المحور ال ②

𝟐 المرافكطول المحور ③

𝟐البعد بن البإرتن ④

)االختالف المركزي ⑤

(𝟏 )حث الحظ أنه كون (

𝟐 دائما كون ⑥ 𝟐 𝟐

( )وتمثل لمة س المطع الزائدأر تمثلمر بها المطع الزائد على احد المحورن و تمع تال ةالنمط ⑦ (منتصف المطر البإري تسمى المسافة بن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتم للمطع ) ⑧

عن البإرتن والرأسن وطول كل من المحورن الحمم والمرافك للمطع الزائد (/19مثال ) 𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟑𝟔 𝟏

الحل/

𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟖 𝟐𝒂 طىل انمحىر انحقق وحدة 𝟏𝟔

𝟐 𝟑𝟔 𝒃 𝟔 𝟐𝒃 طىل انمحىر انمرافق وحدة 𝟏𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟏𝟎

𝐕𝟏(𝟖 𝟎) 𝐕𝟐( 𝟖 𝟎) رأسا انقطع انزائد

𝑷𝟏(𝟎 𝟔) 𝑷𝟐(𝟎 𝟔) قطبا انقطع انزائد

𝐅𝟏(𝟏𝟎 𝟎) 𝐅𝟐( 𝟏𝟎 𝟎) بؤرتا انقطع انزائد


129

𝟔جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمم (/20مثال ) ـتالف وحدات واالخ والبإرتان على محور السنات (𝟐)المركزي ساوي

الحل/

𝟐 𝟔 𝒂 𝟑 𝒂𝟐 𝟗

𝟐

𝟑 𝒄 (𝟐)(𝟑) 𝐜 𝟔 𝒄𝟐 𝟑𝟔

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟐𝟕

𝟐

𝟗 𝟐

𝟐𝟕 معادلة القطع الزائد 𝟏

ـما هــــبإرتا ووحدات (𝟒)وطول محور المرافك جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل (/21مثال )

(𝟖√ 𝟎)𝟐 (𝟖√ 𝟎)𝟏 النمطتان

تنتم لمحور الصاداتالبإرتان ∵ الحل/

المعادلة الماسة للمطع الزائد ه 𝒚𝟐

𝒂 𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟒 𝟐 𝒃 𝟒 𝟐

√𝟖 𝒄 𝟖 𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟐 𝟒

𝟐

𝟒 𝟐

𝟒 معادلة القطع الزائـد 𝟏

أعال نالحظ أن طول المحور الحمم مساو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع (21)المثال ف

( ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفه كون بالمطع الزائد المائم او متساوي األضالع الزائدة دعى )

. ( 𝟐√)ممدار ثابت لمته ( )المركزي االختالف


130

) أنسحاب محاور ( : المطع الزائد:

Ⓘ محري انحمم اس محر انسىاخ ( )المعادلة الماسة للمطع الزائد الذي مركز النمطة:




انزأسان (𝟎 ) ( )

انثؤرتان (𝟎 ) ( )

انمزكش (𝟎 𝟎) ( )

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐


محري انحمم اس محر انصاداخ ( )المعادلة الماسة للمطع الزائد الذي مركز النمطة ②




انزأسان ( 𝟎 ) ( )

انثؤرتان ( 𝟎 ) ( )

انمزكش (𝟎 𝟎) ( )

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐



131

: مالحظات

( ) ه السنات محور وازي الذي الزائد للمطع المحور معادلة①

( ) ه الصادات محور وازي الذي الزائد للمطع المحور معادلة②

( ) ه السنات محور وازي الذي الزائد للمطعاحداثات المطبن او نهات المحور الصغر ③

( ) ه الصادات محور وازي الذي الزائد للمطعاحداثات المطبن او نهات المحور الصغر ④

ستمتصرررز دراسرررتىا فررر مارررى االوسرررحاب عهررر أجررراد مزكرررش انمطرررع انىرررال تؤرتررراي انزاسررران طرررل ⑤

محر انكثز انصكز معادنح كم مه انمحره اجاد االختالف انمزكش .

المركذذذزي و طذذذول المحذذذورن للمطذذذع االخذذذتالفجذذذد أحذذذداثا المركذذذز والبذذذإرتن والرأسذذذن و (/22مثذذذال )

الزائد الذي معادلته( 𝟐)𝟐

𝟗

( 𝟏)𝟐

𝟒 𝟏

الزائد بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع الحل/( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

ℎ 2 1 (ℎ 𝑘) ( 2 1 ( مركز القطع الزائد

𝟐 𝟗 𝟑 𝑎 2𝑎 وحدة 6 طىل انمحىر انحقق

𝟐 𝟒 𝟐 𝑏 2𝑏 وحدة 4 طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟏𝟑 𝒄𝟐 13 𝑐 √13

(ℎ ) (ℎ ) ( 2 √ 1) 2( 2 13 √ 13 انبؤرتان (1

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (1 5 )2 (1 1)

√

𝟑

13 االختالف المركزي 𝟏


132

(𝟐 تمارين(𝟑

االتح : شائذجنهمطى انعن كل من البإرتن والرأسن ثم جد طول كل من المحورن واألختالف المركزي /1 س

ⓐ 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒𝟖

(𝟒𝟖)ومسم طزف انمعادنح عه /الحل

𝟐

𝟒 𝟐

𝟏𝟐 𝟏

𝑎 𝟒 2 𝑎 2 2𝑎 وحدة 4 طىل انمحىر انحقق

𝑏 𝟏𝟐 2 b 𝟐√𝟑 2𝑏 √𝟑4 وحدة طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝒄 𝟐 𝟏𝟔 𝟒

البؤرتان (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐)𝟏

𝟒

𝟐 االختالف المركزي 𝟏 𝟐

ⓑ 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒

(𝟏𝟒𝟒)ومسم طزف انمعادنح عه الحل/

𝟐

𝟗 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝑎 9 2 𝑎 3 2𝑎 وحدة 6 طىل انمحىر انحقق

𝑏 𝟏𝟔 2 b 𝟒 2𝑏 وحدة 8 طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟓

البؤرتان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏

𝟓

𝟑 االختالف المركزي 𝟏


133


ⓒ 𝟐( 𝟏)𝟐 𝟒( 𝟏)𝟐 𝟖

(𝟖)ومسم طزف انمعادنح عه الحل/

( 𝟏)𝟐

𝟒 ( 𝟏)𝟐

𝟐 𝟏

( بانمقاروت مع)

( )𝟐

𝟐 ( )𝟐

𝟐 𝟏

ℎ 1 1 (ℎ 𝑘) (1 1 ( مركز القطع الزائد

𝟐 𝟒 𝑎 2 2𝑎 وحدة 4 طىل انمحىر انحقق

𝟐 𝟐 b √𝟐 2𝑏 √𝟐2 وحدة طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝒄𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝑐 √6

(ℎ ) 2(ℎ ) (1 1 √ ) 2(1 1 6 √ 6 انبؤرتان (

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (3 1)2 (1 1)

√

𝟐 االختالف المركزي 𝟏

6

𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔𝟎 𝟗 𝟐 𝟏𝟖 𝟏𝟖𝟓

وزتة معادنح انمطع انشائذ تشكم مزتع كامم كما ه : الحل/

𝟏𝟔( 𝟐 𝟏𝟎 ) 𝟗( 𝟐 𝟐 ) 𝟏𝟖𝟓

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انشائذالى طرف معادلة المطع (𝟑𝟗𝟏)بإضافة

𝟏𝟔( 𝟐 𝟏𝟎 𝟐𝟓) 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟑𝟗𝟏 𝟏𝟖𝟓

𝟏𝟔( 𝟓)𝟐 𝟗( 𝟏)𝟐 𝟓𝟕𝟔 𝟏𝟔( 𝟓)𝟐

𝟓𝟕𝟔 𝟗( 𝟏)𝟐

𝟓𝟕𝟔 𝟓𝟕𝟔

𝟓𝟕𝟔

( 𝟐 𝟓)

𝟑𝟔 ( 𝟏)𝟐

𝟔𝟒 معادلة القطع الزائد 𝟏

تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انشائذ ( )𝟐

𝟐

( )𝟐


ℎ 5 1 (ℎ 𝑘) ( 5 1 ( مركز القطع الزائد

𝟐 𝟑𝟔 𝑎 6 2𝑎 وحدة 12 طىل انمحىر انحقق

𝟐 𝟔𝟒 b 𝟖 2𝑏 وحدة 16 طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟔𝟒 𝒄 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝑐 1

(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (1 15 )2 (1 5)

𝟏(ℎ ) 𝟐(ℎ ) انرأسان (1 11 )2 (1 1)

𝟏𝟎

6 𝟑

5 االختالف المركزي 𝟏


134

الحاالت التالة ثم ارسم المطع : معادلة المطع الزائد ف أكتب /2 س

ⓐ ومركز ف نمطة االصل 𝟑 وتماطع مع محور السنات عند (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان.

الحل/

⇐ بإرتا المطع الزائد ∵ المانون 𝟓 ( 5) 2 ( 5 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 ع الزائد تماطع مع محور السنات عند المط ∵

𝟐 ( 3) ( 3 )الراسان ∴ 𝟗 ⇐

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝐲

𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐


135

ⓑ وحذذذذدات ونطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى (𝟏𝟎)وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك (𝟏𝟐)طذذذذول محذذذذور الحممذذذذ

.المحورن االحداثن ومركز نمطة االصل

الحل/

𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔

𝟐 𝟏𝟎 𝒃 𝟓 𝒃𝟐 𝟐𝟓

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 25 36 𝑪𝟐 𝟔𝟏

-: د وهما ـــــــن للمطع الزائـــــــان حالتــــهن ∴

عندما وازي محور السنات عندما وازي محور الصادات

𝑭𝟏(𝟎 √𝟔𝟏 ) 𝑭𝟐(𝟎 √𝟔𝟏) الرأسان

𝑽𝟏(𝟎 𝟔) 𝑽𝟐(𝟎 𝟔) البؤرتان

𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟐𝟓 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝑭𝟏(√𝟔𝟏 𝟎) 𝑭𝟐( √𝟔𝟏 𝟎) الرأسان

𝑽𝟏(𝟔 𝟎) 𝑭𝑽𝟐( 𝟔 𝟎) البؤرتان

𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟐𝟓ةمعادل القطع الزائد 𝟏

ⓒ وحذدة واختالفذه المركذزي (𝟐√𝟐)مركز نمطة االصل وبإرتذا علذى محذور الصذادات وطذول محذور المرافذك

(𝟑)ساوي

المانون ⇐ بإرتا المطع الزائد تنتم لمحور الصادات ∵ الحل/ 𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐√𝟐 𝒃 √𝟐 𝒃𝟐 𝟐

𝟑 𝒄 𝟑𝒂

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟗𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟐

𝟖𝒂 𝟐 𝟐 𝒂𝟐 𝟏

𝟒 𝑪𝟐

𝟗

𝟒

(𝟎 ) 𝟎 𝟑

𝟐 𝟎

𝟑

𝟐 البؤرتان

(𝟎 ) 𝟎 𝟏

𝟐 𝟎

𝟏

𝟐 الراسان

𝐲

(

𝟐

𝟏)

𝟒

𝒙

𝟐( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐

2د / 2013 /وزاري


136

ونطبذك (𝟎 𝟐√𝟐)(𝟎 𝟐√𝟐 )ذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتذه جد باستخدام تعرف المطع الزائد ال /3 س

وحدات (𝟒)حداثن والممة المطلمة للفرق بن بعدي اة نمطة عن بإرته ساوي محورا على المحورن اال

الحل/

𝟐 𝟒 𝒂 𝟐

للمطع الزائد ( ) نفرض ان النمطة

| 𝟏 𝟐| (من تعرف القطع الزائد) 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

√( 𝟐√𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟒

√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐

( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 𝟐 ( 𝟐√𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐

𝟖√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖√𝟐 ( 𝟖)

√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐√

𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟒√𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 ] ( 𝟒) 𝑥2

4 𝑦2

41 معادلة القطع الزائد


137

وحدات واحدى بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة (𝟔)محور الحمم طول لطع زائد /4 س

. جد معادلت المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)االصل ومر بالنمطتن

1د / 2014وزاري 3د / 2013وزاري . الزائد الذي مركز نمطة االصل

:من المطع المكافئ الحل/

تنتم للمحور السنن لذا فالبإرة ــمتناظرة مع المحور الس (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)النمطتان ∵

𝟐 )والمانون 𝟒 )

تحمك معادلة المطع المكافئ ) ألنه مر بها ( (𝟓√𝟐 𝟏)النمطة ∴

𝟐𝟎 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 ( البؤرة 𝟎 𝟓)

𝟐 ( معادلة القطع المكافئ ) 𝟐𝟎

:الزائدالمطع ف

𝟐 𝟔 𝟑 𝒂 𝟗 𝟐

⇐بإرتا المطع الزائد ∵ ( 𝟓 𝟎)(𝟓 𝟎) 𝟐 ⇐المانون 𝟐𝟓 𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝐲

𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐

𝟐 ومعادلتذه ل ـــــــــذـمركذز نمطذة االصلطذع زائذد /5 س 𝟐 (𝟐√𝟔)وطذول محذور الحممذ 𝟗𝟎

𝟐 𝟗ه ـوحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرت المطذع النذالص الذذي معادلتذ 𝟏𝟔 𝟐 ة كذل ـــــذـد لمــذـج 𝟓𝟕𝟔

الت تنتم الى مجموعة االعداد الحممة من

: نالصمن المطع ال الحل/

𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟓𝟕𝟔 ] ( 𝟓𝟕𝟔) 𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟑𝟔 𝟏

𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐𝟖 𝟐√𝟕

( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 )بإرتا المطع النالص : زائدالمطع ال من

⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟕√𝟐 ( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟖 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟎 𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟏𝟎 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝟐 𝟐 𝟗𝟎 𝟐

(𝟗𝟎 )

𝟐

(𝟗𝟎 ) 𝟏

𝟐 𝟗𝟎

𝟗𝟎

𝟐 𝟗𝟎

𝟏𝟖 𝟓

𝟐 𝟗𝟎

𝟗𝟎

𝟏𝟎 𝟗



138

د راسذذه بعذذد عذذن البذذإرتن ـــذذـاذا علمذذت ان اح لـــــذذـاكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص /6 س

3د / 2012وزاري . نبك محورا على المحورن االحداثوحدات على الترتب ونط 𝟗 𝟏 بالعددن

الحل/

𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝒄 𝟓 𝒄𝟐 𝟐𝟓

𝟓 𝟏 𝒂 𝟒 𝒂𝟐 𝟏𝟔

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒃 𝟗 𝟐

الن لمعادلة المطع الزائد ـــــــــــــهنان أحتم ∴

𝟐

𝟏𝟔 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد سنة 𝟏

𝟐

𝟏𝟔 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد صادة 𝟏

𝟐 جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته /7 س 𝟑 𝟐 والنسبة 𝟏𝟐

بن طول محوره 𝟓

𝟑 3د / 2013وزاري . ومركز نمطة االصل

: زائدمن المطع ال الحل/

𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ] ( 𝟏𝟐) 𝟐

𝟏𝟐

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟒

( 𝟒) ( 𝟒 ) زائدبإرتا المطع ال ∴

:لنالص المطع ا من

⇐ نالصبإرتا المطع ال المانون 𝟒 ( 𝟒) ( 𝟒 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

𝟓

𝟑

𝒂

𝟐

𝟐𝟓

𝟗

𝟐

𝟐 𝟐𝟓 𝟐

𝟗

𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝟐 𝟏𝟔

( 𝟗) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟗

2 25 2

9

25 (9)

9 2 25

2

25 2

9 معادلة القطع الناقص 1


139

𝟐 تنتم الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته ( 𝟔) النمطة /8 س 𝟑 𝟐 جد كال من: 𝟏𝟐

ب. طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم ف الجهة المنى من النمطة لمة . أ

تنتم الى المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∵ )أ( الحل/

𝟐 )تحمك معادلة المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∴ 𝟑 𝟐 𝟏𝟐)

(𝟔)𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 24 𝟑 𝟐 𝟐 𝟖 L 2√ 2

𝟏(𝟔 𝟐√𝟐) 𝟐(𝟔 𝟐√𝟐)

: زائدمن المطع ال )ب(

𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟐

𝟏𝟐 𝟐

𝟒 𝟏 𝟐 𝟐𝟏𝟐 𝟒

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟏𝟔𝟐 احداث البؤرة االمن (𝟎 𝟒)

𝟏 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 (𝟐√𝟐 𝟎)𝟐

√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐

𝟐 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 ( 𝟐√𝟐 𝟎)𝟐

√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐

1د / 5201وزاري 2د / 4201وزاري 1د / 2011وزاري

ه ـالذذذذذي معادلتذذذذالنذذذذالص المطذذذذع ا بذذذذإرتــــذذذذـالذذذذذي بإرتذذذذا همالزائذذذذد جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع /9 س 𝟐

𝟗

𝟐

𝟐𝟓 𝟏

𝟐 ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟎


𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒

𝟒 𝟏𝟐 𝐩 𝟑

𝐲 𝟑 ( معادلة الدلل )

: نالصمن المطع ال

𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟐 𝟒

(𝟎 𝟒 ( البؤرتان (𝟒 𝟎)

:زائدالمطع المن

وه راس المطع الزائد (𝟑 𝟎)دلل المطع المكافئ مطع المحور الصادي عند النمطة ∵

𝟑 𝟐 𝟗

⇐ بإرتا المطع الزائد (𝟎 𝟒 المانون 𝟒 ( (𝟒 𝟎) ⇐𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟕 𝟐

𝟗 𝟐

𝟕دالزائ 𝟏 معادلة القطع


140

أمثلة أضافة محلولة

ن و األخذذتالف المركذذزي و طذذول المحذذورن للمطذذع الزائذذد الذذذي ـــــذذـجذذد أحذذداثا المركذذز والبذذإرتن والرأس/ مثذذال

𝟐 𝟒معادلته 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟓𝟒 𝟏 1

الحل/

𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟓𝟒 𝟏𝟎𝟏 𝟒( 𝟐 𝟒 ) 𝟗( 𝟐 𝟔 ) 𝟏𝟎𝟏

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انشائذالى طرف معادلة المطع (𝟔𝟓 )بإضافة

𝟒( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟗( 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟏𝟎𝟏 𝟔𝟓 𝟒( 𝟐 𝟐)𝟐 𝟗( 𝟑)𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

( 𝟐 𝟐)𝟐

𝟗 ( 𝟐 𝟑)𝟐

𝟒 معادلة القطع الزائد 𝟏

تانمماروح مع انمعادنح انماسح نهمطع انشائذ ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 : وحصم عه 𝟏

𝟐 𝟑 ( ) مركز القطع الزائد (𝟑 𝟐)

𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟒 𝑎 b 2 𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝒄𝟐 𝟗 𝟒 𝟏𝟑 𝑐 √13

(ℎ ) (2 √ 3) 13 (2 √ 3) 2(2 13 √ 13 انبؤرتان (3

(ℎ ) (2 3 3) انرأسان (3 1 )2 (3 5)


𝟑

13

وطذذول المحذذور ادات ـــذذـالصوالبإرتذذان علذذى محذذور ل ــــذذـجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص/ مثذذال

𝟏𝟔الحمم له والنسبة بن المسافة بن بإرته وطول محور الحمم 𝟓

𝟒

الحل/

𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝒂𝟐 𝟔𝟒

𝟐

𝟐 𝟓

𝟒

𝒄

𝟖 𝟓

𝟒 𝐜 𝟏𝟎 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐

𝟔𝟒 𝟐

𝟑𝟔 معادلة القطع الزائد 𝟏


141

𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرته بإرة المطع المكافئ / مثال وطول محور المرافك 𝟐𝟎

ساوي البعد بن بإرت المطع النالص 𝟐

𝟗

𝟐

𝟏𝟔 𝟏


𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟎 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 𝟎( 𝟓 ( البؤرة

: نالصمن المطع ال

𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟕 𝟐 √𝟕 البعد البؤري 𝟕√𝟐 𝟐

: زائدالمطع ال من

𝟐 طول المحور المرافق 𝟕√𝟐 √𝟕 𝟐 𝟕

⇐ بإرتا المطع الزائد 𝟎( 𝟓 𝟎) ( المانون 𝟓 ( 𝟓 ⇐𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟕 𝟐 𝟏𝟖 𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟕 معادلة القطع الزائد 𝟏

(𝟔 𝟑) (𝟐√𝟑 𝟎)جد معادلة المطع الزائد الذي مر بالنمطتن / مثال

الحل/

لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولمذذذذذذذذة (𝟐√𝟑 𝟎)مذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ∵

والمانون هو (𝟐√𝟑 )𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

تنتم للمطع الزائد لذا فه تحمك معادلته النقطة (𝟔 𝟑)

( 𝟔)𝟐

𝟑√𝟐( )

𝟐

(𝟑)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐

𝟏 𝟑𝟔

𝟏𝟖

𝟗 𝟐

𝟐 𝟏

𝟗 𝟐

𝟏 𝟗

𝟐 𝟗

𝒚𝟐

𝟏𝟖

𝒙𝟗( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐


142

ا المطذذع النذذالص ـــــــــذذـبإرتذذا رأسجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي /مثذذال 𝒙

𝟏𝟎𝟎

𝟐 𝒚

𝟔𝟒ور ــــذذـوطذذول مح 𝟏

𝟐

وحدة (𝟏𝟐)الحمم

: نالصمن المطع ال /الحل

𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟎 راسا القطع الناقص (𝟎 𝟏𝟎) (𝟎 𝟏𝟎 )

: زائدالمطع ال من

⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟏𝟎 ( 1) ( 1 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂 𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒 𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟔𝟒 معادلة القطع الزائد 𝟏

******************************************************************

ل محذذور تنتمذذ لمحذذور الصذذادات وطذذوجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل و بإرتذذا : 1س

𝟐 )البعذد بذن بذإرة المطذع المكذافئ المرافك سذاوي ودللذه وطذول محذور الحممذ ثالثذة امثذال طذول ( 𝟏𝟐

محور المرافك

الذذذذي جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 2س

𝟗𝒚)معادلته 𝟏𝟔𝟐 𝒙 ( وحدة طول (𝟏𝟔)ومجموع طول المطع النالص 𝟏𝟒𝟒𝟐

إرة وراس المطذذذذذذع المكذذذذذذافئ ـــذذذذذذـا همذذذذذذا بـــــذذذذذذـبإرتذذذذذذا وراسلزائذذذذذذد الذذذذذذذي جذذذذذذد معادلذذذذذذة المطذذذذذذع ا : 3س

( 𝟏)𝟐 𝟒( 𝟑)

لطعذذذان مخروطذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا مذذذر ببذذذإرة االخذذذر . فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة : 4س

𝟐 )احدهما 𝟐 فجد معادلة االخر (𝟑

وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور (𝟏 𝟑)( 𝟏 𝟑)الذذذذذذذذذي مذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتن جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص : 5س

وحدة (𝟐𝟓)الكبر ساوي

الذي معادلته بإرة المطع النالص و أحدى بإرتا هجد معادلة المطع الزائد الذي مركز ف نمطة االصل : 6س

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 𝒚

𝟐𝟎𝟐 وأحد رأسه ه بإرة المطع المكافئ 𝟏 𝟖 𝟎

𝟐


143

الذذذذي جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذ بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 7س

𝟖𝒚)معادلته 𝟐 𝒙 𝟐 )ومس دلل المطع المكافئ 𝟑𝟐𝟐 𝟏𝟔 𝟎) )

𝒚)لذذذذذذذذتكن : 8س 𝟐 𝒙 لص معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذا 𝟑𝟐 )

فجد لمة (𝟔√ 𝟎)والذي احد بإرته (𝟐 𝟏 )الذي مر بالنمطة

𝟓𝒚)لذذذذذتكن: 9س 𝟒𝟐 𝒙 الذذذذذذي معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتذذذذذه هذذذذذ بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ 𝟐 )

𝟐 𝟓√ 𝟒)معادلته فجد لمة (𝟎

) لذذذذذذذتكن: 10س 𝒙 𝟐 𝑵𝒚 معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتذذذذذذذه هذذذذذذذ بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص 𝟗𝟎𝟐 )

𝟐 𝟗)الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه 𝟏𝟔𝒚 𝟐√𝟔 وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحممذذذذذذذذذذذ (𝟓𝟕𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لمذذذذذذذذذذذة 𝟐

𝟓𝒚)لذذذذذذذذتكن : 12س 𝟒𝟐 𝒙 معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع 𝟐 )

𝟐 𝟓 𝟒)الذي معادلته المكافئ فجد لمة (𝟎

******************************************************************

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الثان

3د / 2014وزاري ل ولطع زائد نمطة تماطع محوره نمطة األصذل أحذدهما مذر ببذإرة األخذر ـــــــلطع نالص مركز نمطة األص / 4س

𝟐 𝟗فؤذا كانت 𝟐𝟓 𝟐 :معادلة المطع النالص فجد 𝟐𝟐𝟓 )أ( مساحة المطع النالص . )ب( محط المطع النالص .

)ج( معادلة المطع الزائد ثم أرسمه . )د( األختالف المركزي لكل منهما . )أ( /الحل

𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( 225)

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝟏

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑

𝒂𝒃 (𝟓)(𝟑) 𝟏𝟓 𝝅 وحدة مربعة

)ب(

المحط 𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐𝝅√

𝟐𝟓 𝟗

𝟐 𝟐 𝝅√

𝟑𝟒

𝟐 وحدة 𝟏𝟕√ 𝟐


144

من المطع النالص :)ج(

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑

𝟐 𝒃 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝐜 𝟒

البؤرتان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)

: من المطع الزائد

المطع الزائد مر ببإرة المطع النالص

البؤرتان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓) الرأسان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒)

𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟗

𝟐

𝟏𝟔

𝟐

𝟗معادنت انقطع انزائد 𝟏

)د(

𝟒

𝟓 األختالف المركزي للقطع الناقص 𝟏

𝟓

𝟒 األختالف المركزي للقطع الزائد 𝟏


145

3د / 2015وزاري 2د / 2011وزاري

احة ـــذذـنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـــذذـتنتمذان لمحذذور السالذذذي بإرتذذا نذذالص المطذذع ة الجذد معـــــذذـادل / 5س

.وحدة 𝟏𝟎وحدة مربعة ومحطه ساوي 𝟕منطمته

/الحل

𝒂𝒃 𝟕 𝝅 𝒃 𝟕

𝒂 ( معادلة ① )

𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟎𝝅 𝟐𝝅√

𝟐 𝟐

𝟐

( 𝟐 ) 𝟓 √

𝟐 𝟐

𝟐 ( معادلة ② )

نحصل على : ②ف المعادلة ①بتعوض المعادلة

𝟓√

𝟐

𝟕 𝟐

𝟐

𝒂 𝟓

√ 𝟐

𝟒𝟗𝒂𝟐

𝟐( تربيع الطرفين )

𝟐𝟓 𝟐

𝟒𝟗𝒂𝟐

𝟐 𝟓𝟎 𝟐

𝟒𝟗

𝒂𝟐

( نضرب طرف المعادلة ب 𝟐 ) 𝟓𝟎 𝟐 𝟒 𝟒𝟗

𝟒 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒𝟗)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟒𝟗

𝟐 𝟒𝟗 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟕 𝟒𝟗

𝒃 𝟕

𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 𝟕

𝟕

𝟐

𝟒𝟗

𝟐

𝟏معادنت انقطع انىاقص 𝟏

𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟏 𝟏

𝒃 𝟕

𝒂 𝟕 همل 𝟕

𝟏

.ف المطع النالص ( )ر من لمة كبأجب أن تكون ( )ألن لمة


146

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الثان

1/د98سإال وزاري

𝟐 لطع زائد معادلته 𝟐 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرت المطذع 𝟐√𝟔وطول محور الحمم 𝟗𝟎

𝟐 𝟗النالص الذي معادلته 𝟏𝟔 𝟐 .k ,hجد لمة 𝟓𝟕𝟔

الحل:

: الناقصف القطع

[9 2 16 2 576] 576

2

2

1 2 64 2 36

2 2 2 64 36 2

2 28 2√7

( 7√2 ) ( 7√2) البؤرتان

( 7√2 ) ( 7√2) الزائد : البؤرتان ف القطع

c 2√7 2 6√2 3√2

2 2 2 18 2 28 2 1

ℎ 2 2 9 ] 9 2

9 ℎ

2

9

1

2

18

18ℎ 9 ℎ 5

2

1

1 9 9


147


)النمطة 𝟏

𝟑تنتم إلى المطع المكافئ الذي رأسه ف نمطة األصل وبإرته تنتم إلى محور السنات والت هذ (𝟐

النسبة بن طول محوره , احدى بإرت المطع النالص𝟓

𝟒 جد معادلة كل من المطعن المكافئ والنالص. ,

الحل:

2 : المكافئ 4 (2)2 4 (

) 4

البؤرة ( 3) 3

2 4(3) 2 12

3 ⇐ الناقص البؤرتان هما ( 3 ) ( 3)

2

2 5

4 4 5

5

4

2 2 2 25 2

16 2 9 ] ( 16)

25 2 16 2 144 9 2 144

2 16 4

5( )

5

معادلة القطع الناقص 2

25

2

1


𝟐 جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرت المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟑 𝟐 والنسذبة بذن 𝟏𝟐

طول محورة 𝟓

𝟑

الحل:

2 الزائد: ف المطع 3 2 12( 2)

2

2

2

1 2 12 2 4

2 2 2 2 12 4 2 16 4

( 4) ( 4 ) البؤرتان

4 ⇐ البؤرتان ( 4) ( 4 )الناقص: ف القطع

2

2

5

3 5

5

(1)

2 2 2 25 2

2 16 25 2 9 2 144

16 2 144 2 9 3 5( )

5

قصمعادلة القطع النا 2

25

2

1


148


𝟐 𝟑جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرت المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟎

النسبة بن طول محور الحمم والبعد بن بإرته تساوي و𝟏

𝟐

الحل:

2 3 النالص: ف المطع 5 2 12 ( 2 )

2

2

2 1 2 4 2 24

2 2 2 2 4 24 2 16 4

( 4) ( 4 ) البؤرتان

4 ⇐ ( 4) ( 4 )الزائد: البؤرتان ف القطع

2

2 1

2

4 1

2 2 4 2

2 2 2 4 2 16 2 12

2

2

2 معادلة القطع الزائد 1


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذن المكذافئن: 𝟐𝟎 𝟐 والفذرق بذن 𝟐𝟎

وحدة. 2طول محوره الحمم والمرافك =

الحل:

2 المكافئ:ف المطع 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5 ) البؤرة ( 5)

5 ⇐( 5,0-( , )5,0البؤرتان ) :ف المطع الزائد

2 2 2 ( 2) 1 1

2 2 2 (1 )2 2 25 1 2 2 2 25

2 2 2 24 ( 2) 2 12

( 4)( 3)

4 همل 4

3 3

1 3 4

2

16

2

9 1


149


( 8جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذنات والمسذافة بذن بإرتذه تسذاو )

وحدة. 16وحدات ومجموع طول محوره

4 8 2 الحل:

2 2 16 8 8

2 2 2 (8 )2 2 16 64 16 2 2 16

16 48 3 8 3 5

2

25

2



𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟗 𝟐 والنسذبة بذن طذول محذور الحممذ 𝟑𝟔

إلى البعد بن بإرته = 𝟏

𝟐

الحل:

النالص ف المطع 2

2

1 2 36 6

الرأسان ( 6) ( 6 )

البؤرتان ( 6) ( 6 ) c ⇐ ف القطع الزائد 6

2

2

2

2 2 6 3

2 2 2 9 2 36 2 27

2

2



𝟐 لطع نالص معادلته 𝟒 𝟐 جد طول كل من محوره وأحداث كل من بإرته ورأسه. 𝟒

الحل:

2 4 2 4( )

2

2

1 2 4 2

2 1 1

2 2(2) طول المحور الكبر 4

2 2(1) طول المحور الصغر 2

الرأسان ( 2) ( 2 )

2 2 2 4 1 2

2 3 √3

البؤرتان ( 3√) ( 3√ )


150

1/ د2004سإال وزاري

( 5,0-( واحد بإرته )3,0معادلة المطع المخروط الذي محورا محوري االحداثات والذي احد رإوسه )جد

الحل:

3 5

2 2 2 9 2 25 2 ( ألن ) القطع الزائد 16

2

2

معادلة القطع الزائد 1


لطع زائد ولطع نالص احدهما مر ببإرت اآلخر. جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص ه 𝟐

𝟐𝟓

𝟐

𝟗 علما أن محورهما على محوري االحداثات. 𝟏

الحل:

2 النالص: ف المطع 25 5 الرأسان ( 5) ( 5 )

2 9 2 2 2

25 9 2 2 البؤرتان ( 4) ( 4 ) 4 16

4 ⇐ لزائدا الرأسان ( 4) ( 4 ) ف القطع

5 ⇐ البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 2 2 16 2 25 2 9

2

2



( ثم جد معادلة دلله.3,6( , )3,6-جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )

الحل:

القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى القطع متناظر حول محور الصادات

2 4 (3)2 4 (6) 9 24

2 4 (

) 2

2 معادلة القطع المكافئ

معادلة الدلل

2/ د2006سإال وزاري

( ثم جد معادلة دللة.1,3( , )3-,1جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )

الحل:

القطع من النوع السن وفتحة القطع إلى المن. القطع متناظر حول محور السنات

2 4

(3)2 4 (1) 9 4

2 4 9

4 2 معادلة القطع المكافئ 9

معادلة الدلل


151


المطذذع الزائذذد ( وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا8جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذن بإرتذذه ) 𝟐

𝟏𝟔

𝟐

𝟗 𝟏 .

الحل:

الزائدف المطع 2

2

1 2 16 2 9

2 2 2 16 9 2 2 25 5

البؤرتان ( 5) ( 5 )

4 ⇐ ف القطع الناقص 8 2

5 ⇐ الرأسان هما ( 5) ( 5 )

2 2 2 25 2 16 2 25 16 2 9

2

25

2



𝟐 لتكن 𝟐 𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرته بإرة المطع المكافئ 𝟑 .hجد لمة 𝟖

الحل:

8 4 المكافئ:ف المطع البؤرة ( 2) 2

c 2 ⇐ البؤرتان ( 2) ( 2 ) ف القطع الزائد

2 ℎ 2 3

2

3 2

3ℎ

1 2 3 2 3

ℎ

2 2 2 3

4

1 ℎ 3


جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟐

𝟒𝟏

𝟐

𝟏𝟔 ( وحدات.8وطول محور المرافك ) 𝟏

الحل:

2 النالص: ف المطع 41 2 16 2 2 2 2 41 16

2 25 5

البؤرتان ( 5) ( 5 )

5 ⇐ ف القطع الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4 2 2 2 2 16 25

2 9

2

2



152


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎

وحدات. 8 المرافك =

2 الحل: المكافئ: 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )

5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4

2 2 2 2 16 25 2 9

2

2


1/د 2008سإال وزاري

𝟐 𝟒لطع نالص معادلته 𝟐 𝟐 .Lوحدة. جد لمة 𝟑√𝟐والبعد بن بإرته =

3√2 2 الحل: √3

4 2 2 2 ] 2

2

2

1

2

2 2

2 2

2 2 2

2

4 3

4 3 12


𝟐 𝟗جد معادلة المطع النالص الذي مر ببإرت المطع الزائد 𝟏𝟔 𝟐 ومطع من محور السنات جزءا 𝟏𝟒𝟒

( وحدة.12طوله )

الحل:

2 9 الزائد: ف المطع 16 2 144 ( )

2

2

1 2 16 2 9

2 2 2 16 9 2 2 25 5

البؤرتان (5 ) (5 )

6 12 2 5 النالص:ف المطع

2

2

25 معادلة القطع الناقص 1


153


جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورن االحداثن ومر ببذإرة المطذع المكذافئ

𝟐 وحدة مربعة. 𝟐𝟎ومساحة منطمة المطع النالص 𝟏𝟔

الحل:

2 المكافئ:ف المطع 16 4 16 4

البؤرة ( 4)

2 2 : النالصف المطع 2

(1)

ما تمثل رأس أو لطبأ( 4,0النمطة ) ( 4,0المطع النالص مر بالنمطة )

4 2

اوهذ غر ممكن 5

b 4 4 2

4 2 5

والمطع من النوع الصادي

2

25

2



𝟐 𝟑 𝟐 مع محور الصادات علما أن مساحة 𝟑√ 𝟐لطع نالص مر بنمطة تماطع المستمم

حث بإرتذا تنتمذان لمحذور السذنات ومركذز نمطذة وحدة مساحة. جد لمة 𝟑√𝟐منطمته تساوي

االصل.

3√ 2الحل: المستمم:

y √3 ⇐ 2( ) √3 ⇐ عندما

نقطة التقاطع (3√ )

𝟑√ ⇐بما أن المطع من النوع السن النالص: ف المطع

ℎ 2 3 2 2

2

1

2

2

1

2

2

( ألن القطع من النوع السن)

2√3 2√

2√

√ 2

4

12 3

2

3ℎ 12 ℎ 4


154

1/ د2012وزاري

16جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السنات ومجموع طول محوره =

𝟐 وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرت المطع الزائد الذي معادلته 𝟐 𝟐 𝟔

الحل:

2 المطع الزائد: ف 2 2 6

2

2

1

2 6 2 3

2 2 2 6 3 2 2 9 3

البؤرتان ( 3 ) ( 3)

c البؤرتان المطع النالص:ف 3 ⇐ (3 ) ( 3 )

2 2 16 2 8 8

2 2 2 (8 )2 2 9 64 16 2 2 9

16 64 9 16 55 55

8 55

2 55

2

(

)2

2

(

)2 1

2

2

2

2

2

2


2/د2012وزاري جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل ونطبك محورا على المحورن االحداثن ومطع من محور

وحدة مساحة. 𝟐𝟒وحدات ومساحة منمطته 8السنات جزءا طوله

24 24 الحل: 2

وحدات فؤن هذا الجزء أما مثل طذول المحذور الكبذر ( 8)بما أن المطع النالص مطع من محور السنات جزا طوله كبر فكون:أو طول المحور الصغر. فؤذا كان هذا الجزء مثل طول المحور ال

2 8 4 2

6

دائما ف المطع النالص. لذا فؤن الجزء الممطوع مثل طول المحور الصغر: وهذا غر ممكن ألن

2 8 4 6

والمطع من النوع الصادي:

2

2



155

1/د2013وزاري

, جد معادلته. 2واختالفه المركزي = (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒)𝟏 لطع مخروط بإرتا

الحل:

4 ⇐ ⇐ القطع زائد الن 1 2

2

2 4 2

2 2 2 4 2 16 2 16 4 2 12

2

2


3/د2014وزاري

𝟕 𝟖جد بإرة ودلل المطع المكافئ , معادلة المحور ورأس المطع المكافئ 𝟐 مع الرسم 𝟐

𝟐 ) ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود الحل/ 𝟐 𝟖 𝟕)

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏)نضف

𝟐 𝟐 𝟏 𝟖 𝟖 (𝒙 𝟏) 𝟐 معادلة القطع المكافئ (𝟏 )𝟖


𝟏 𝟏 ( ) الرأس( 𝟏 𝟏 )

𝟒 𝟖 𝟐

( ) البؤرة (𝟏 𝟏 )

معادلة الدلل 𝟑

معادلة المحور 𝟏


156

2/د2015وزاري

𝟐 𝟒 𝟐 𝟓لتكن 𝟐 𝟓√ 𝟒لطذع زائذد أحذدى بإرتــذـه هذ بذإرة المطذع المكذافئ معادلة 𝟎

. جد لمة

الحل:

ف المطع المكافئ :

𝟒 √𝟓 𝟐 𝟎 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟐 𝟒

√𝟓

𝟐 𝟒 𝟒 𝟒

√𝟓

𝟏

√𝟓 𝟎

𝟏

√𝟓 البؤرة

𝟎) البإرتانف المطع الزائد : 𝟏

√𝟓 ) (𝟎

𝟏

√𝟓 ) ⇐ c =

𝟏

√𝟓

𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 ( )

𝟐

𝟓

𝟐

𝟒

𝟏 𝟐

𝟓 𝟐

𝟒

𝟐 𝟐 𝟐 [𝟏

𝟓

𝟓

𝟒 ]

(×𝟐𝟎) 𝟒 𝟒 𝟓 𝟗 𝟒

𝟗

𝟒

2/د2015وزاري وحذذذذذدة مسذذذذذاحة 𝟑𝟐جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات , مسذذذذذاحته

والنسبة بن طول محوره 𝟏

𝟐

الحل:

𝟐

𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

𝟑𝟐 𝟐 × 𝟑𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟏𝟔 معادلة المطع النالص 𝟏


157


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎

وحدات. 8 المرافك =

2 الحل: المكافئ: 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )

5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4

2 2 2 2 16 25 2 9

2

2



جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوا لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن

𝟐 دلله 𝟐 𝟖𝟎, أذا علمت أن مساحة المطع النالص 𝟎 𝟐𝟒

الحل:

ف المطع المكافئ :

𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 ( بالمقارنة مع) 𝟐𝟒 𝟒

𝟐𝟒 𝟒 ( 𝟒) (البعد بن بؤرة القطع المكافئ ودله) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔

ف المطع النالص :

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 (𝟏)

𝟖𝟎 𝟖𝟎

(𝟐)

فنتج : (𝟏)ف المعدلة (𝟐)نعوض المعادلة

𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟑𝟔

(× 𝟐) 𝟒 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎

( 𝟐 𝟏𝟎𝟎)( 𝟐 𝟔𝟒) 𝟎

𝟐 أما 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒

𝟐 أو همل 𝟔𝟒

هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتن غر محدد وهما : ∴

𝟐

𝟏𝟎𝟎 𝟐

𝟔𝟒 𝟏

𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟏𝟎𝟎 𝟏


158


أذا كذذذان كذذذل مذذذر ببذذذإرت األخذذذر وكالهمذذذا معذذذان علذذذى محذذذور السذذذنات جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص

وحدة طول . 𝟔وحدة طول وطول المحور الحمم ساوي 𝟐√𝟔 وطول المحور الكبر ساوي

الحل:

كل من المطعن مر ببإرة األخر

د ئرأسا المطع النالص مثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزا ∴

: المطع الزائدف : المطع النالصف

𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖

𝟐 𝟗

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗

𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟗 معادلة القطع الناقص 𝟏

𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟗

𝟐 𝟏𝟖

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗

𝟐

𝟗 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد 𝟏

Education

ملزمة الرياضيات السادس العلمي التطبيقي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2017 الأستاذ علي حميد