Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις

Προβλήματα – Εξισώσεις Β΄ βαθμού – Κλασματικές εξισώσεις Μαθηματικά Γ ́Γυμνασίου

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Σελίδα 1 25/8/2015

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β’ ΒΑΘΜΟΥ

Κατηγορία 1η : Αναζητούμε έναν άγνωστο

Ονομάζουμε x το μέγεθος που αναζητούμε

Εκφράζουμε με την βοήθεια της μεταβλητής χ τα δεδομένα της άσκησης

Βρίσκουμε μια ισότητα μεταξύ των μεγεθών αυτών (σε αυτό βοηθάει ο παρακάτω

πίνακας)

Λύνουμε την εξίσωση

Εξετάζουμε αν η λύση επαληθεύει το πρόβλημα

Ο παρακάτω πίνακας μας δείχνει πως οι εκφράσεις των προβλημάτων μετατρέπονται σε μαθηματικές

σχέσεις – πράξεις.

ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ - ΛΕΞΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ

Μεγαλύτερο - Περισσότερο +

Μικρότερο - Λιγότερο -

ν – πλάσιο του x ν x

Ελαττώνουμε -

Αυξάνουμε +

Βρίσκουμε – Μας δίνει – Είναι =

Τετράγωνο του x

x2

Διαφορά –

Αντίστροφος του x 1

x

Αντίθετος του x - x



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Να βρείτε ένα αριθμό τέτοιο ώστε το 8/πλάσιό του να είναι κατά 12 μεγαλύτερο από το τετράγωνό του.

Βρείτε ένα αριθμό Έστω x ο ζητούμενος αριθμός

Το 8/πλάσιό του 8x

Να είναι =

Κατά 12 μεγαλύτερο +12

Από το τετράγωνό του x2

Η εξίσωση είναι 28x 12 x

Επίλυση

2 2

( 1)2

1 2

8x 12 x 0 x 8x 12 0

x 8x 12 0

x 6 ή x 2

2. Αν προσθέσουμε από έναν αριθμό τον αντίστροφό του βρίσκουμε 2. Βρείτε τον αριθμόν

Βρείτε τον αριθμό Έστω x ο ζητούμενος αριθμός

Ένας αριθμός x

Προσθέσουμε +

Τον αντίστροφό του 1

x

Βρίσκουμε 2 = 2

Η εξίσωση είναι 1

x 2x

Επίλυση

2

2

2

1x x x x 2 x 1 2x

x

x 2x 1 0

x 1 0

x 1 ί ή



Κατηγορία 2η : Αναζητούμε δύο αγνώστους

Ονομάζουμε x,y τους αγνώστους που ζητάει το πρόβλημα

Βρίσκουμε μια προφανής σχέση που τα συνδέει και την λύνουμε ως προς τον ένα άγνωστο

(συνηθίζεται ως προς y)

Επίσης βρίσκουμε μια άλλη σχέση που συνδέει τα x,y και αντικαθιστούμε στον ένα

άγνωστο την προηγούμενη σχέση

Άρα καταλήγουμε σε μια εξίσωση με έναν άγνωστο (συνήθως ως προς χ) που την λύνουμε

κατά τα γνωστά (αν είναι 1ου βαθμού χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, αν είναι 2ου

βαθμού φέρνουμε όλους τους όρους σε ένα μέλος) και υπολογίζουμε τον άγνωστο.

Αφού βρούμε τον ένα άγνωστο, το αντικαθιστούμε στο βήμα 2 και βρίσκουμε και τον άλλο

άγνωστο.

Εξετάζουμε αν οι λύσεις είναι δεκτές. Επίσης λαμβάνουμε υπόψη και την φύση της

μεταβλητής, δηλαδή για παράδειγμα αν τα x, y είναι μήκη πλευρών τριγώνου, τότε πρέπει

να είναι θετικοί αριθμοί.


1. Το γινόμενο δύο αριθμών είναι 585 και η διαφορά τους 24. Βρείτε τους αριθμούς.

Βρείτε τους αριθμούς x,y οι ζητούμενοι αριθμοί

Η διαφορά τους είναι 24 x y 24

Λύνουμε την σχέση ως προς y y x 24 (1)

Το γινόμενο τους 585 x y 585

Αντικαθιστούμε στο y την σχέση

(1)

x (x 24) 585


2 2

2 2

1,2

1 2

x 24x 585 x 24x 585 0

4 ( 24) 4( 585)

24 2916 24 54x

2 2 2

x 15 ή x 39

Εύρεση του y

Η σχέση (1) γίνεται:

Για x=15 τότε y 15 24 9

Για x=-39 τότε y 39 24 63



2. Αν το άθροισμα δύο αριθμών είναι 14 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 106, τότε βρείτε

τους αριθμούς.

Βρείτε τους αριθμούς Έστω x,y η ζητούμενοι αριθμοί

Το άθροισμα τους είναι 14 x y 14

Την λύνουμε ως προς y y 14 x (1)

Το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 106 2 2x y 106

Αντικαθιστούμε την σχέση (1) 2 2x (14 x) 106


2 2

2

2

(:2)2

1 2

x 196 28x x 106

2x 28x 196 106 0

2x 28x 90 0

x 14x 45 0 x 9 ή x 5

Εύρεση του y

Η σχέση (1) γίνεται:

Αν x=9 τότε: y 14 9 5

Αν x=5 τότε: y 14 5 9

Κατηγορία 3η : Προβλήματα με σχήματα

Όταν έχουμε σχήμα που ζητούνται κάποια μεγέθη τότε πρέπει να γνωρίζουμε τα εξής:

Πυθαγόρειο Θεώρημα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Τύποι εμβαδών

Τύποι περιμέτρων

Τύποι όγκων σχημάτων παραλληλεπιπέδων

Σχέσεις πλευρών – μηκών

Σχέσεις γωνιών

Προσέχουμε όταν βρίσκουμε τον άγνωστο, πρέπει να εξετάσουμε αν ικανοποιεί την φύση του

προβλήματος.


1. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών x, x+1, x+2, όπου x ένας θετικός αριθμός. Βρείτε το x.

Να υπολογιστεί x = μια πλευρά του ορθογωνίου

Τι θα εφαρμόσουμε; Πυθαγόρειο Θεώρημα,



όπου η x +2 είναι η υποτείνουσα του τριγώνου

αφού είναι και η μεγαλύτερη πλευρά του

Η εξίσωση είναι 2 2 2(x 2) x (x 1)

Επίλυση

2 2 2

2 2 2

2

( 1)2

1 2

x 4x 4 x x 2x 1

x 4x 4 x x 2x 1 0

x 2x 3 0

x 2x 3 0 x 3 ή x 1

Δεκτή

Η x 3 που μας δίνει θετικές πλευρές

ενώ η x = – 1 δεν είναι δεκτή αφού είναι μήκος

πλευράς τριγώνου

2. Το ύψος του διπλανού τριγώνου είναι 2x+1(m), η

αντίστοιχη βάση είναι x (m) ενώ το εμβαδόν του

τριγώνου είναι 105 (m2). Να βρείτε το x.

Άγνωστος x = βάση τριγώνου

Τι θα εφαρμόσουμε; Εμβαδόν τριγώνου

Εξίσωση

(2x 1) xE

2

Λύνουμε

2

2

2

1 2

(2x 1) x105

2

210 2x x

2x x 210 0

152x x 210 0 x ή x 8

2

Δεκτή

Η 15

x2

δεκτή αφού μας δίνει θετικές πλευρές,

ενώ η x = – 8 απορρίπτεται αφού μας δίνει

αρνητική πλευρά



Κατηγορία 4η : Προβλήματα Φυσικής

Στα προβλήματα που εμφανίζονται όροι ταχύτητα, χρόνος, απόσταση κ.τ.λ λέγονται Προβλήματα

Φυσικής. Τα κυριότερα που πρέπει να κάνουμε είναι

Ε.Ο.Κ (ευθύγραμμη ομαλή κίνηση) ( ) x( ) u

( ) t

Αν έχουμε δύο κινητά (πχ. αυτοκίνητο, πεζός) εφαρμόζουμε τον παραπάνω

τύπο ξεχωριστά, για την αρχική και τελική κατάσταση και μετά

συνδυάζουμε τις σχέσεις.


1. Μια βάρκα κατεβαίνει το ποτάμι με

σταθερή ταχύτητα και διανύει απόσταση

29Km. Στην επιστροφή, κινείται αντίθετα

της φοράς του ποταμιού και με την ίδια

σταθερή ταχύτητα διανύει απόσταση

28,5km. Το ταξίδι «πήγαινε – έλα» διήρκησε

5h.

Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας, αν η

ταχύτητα του ρεύματος του ποταμού είναι

2,5km/h

«Στοιχεία για το κατέβασμα»

Ταχύτητα βάρκας x = ;

Ταχύτητα ποταμού 2,5 km/h (ίδιας φοράς)

Απόσταση 29 km

Χρόνος t1

«Στοιχεία για την επιστροφή»

Ταχύτητα βάρκας x = ;

Ταχύτητα ποταμού 2,5 km/h (αντίθετης φοράς)

Απόσταση 28,5 km

Χρόνος t2

Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας x = ; ( x > 0)

1η κίνηση: «Κατέβασμα ποταμού»

(ΑΠΟΣΤΑΣΗ)(ΤΑΧ ΤΗΤΑ)

(ΧΡΟΝΟΣ)

1

29x 2,5

t

1

29t

x 2,5



2η κίνηση: «Επιστροφή»

(ΑΠΟΣΤΑΣΗ)(ΤΑΧ ΤΗΤΑ)

(ΧΡΟΝΟΣ)

2

2

28,5 28,5x 2,5 t

t x 2,5

Το ταξίδι «πήγαινε – έλα» διήρκησε 5 h 1 2t t 5

Η εξίσωση είναι

29 28,55

x 2,5 x 2,5

Επίλυση

25x 57,5x 30 0

1 2x 12 ή x 0,5

Δεκτή Η ταχύτητα της βάρκας είναι 12 km/h

2. Ένας πιλότος οδηγώντας με σταθερή ταχύτητα το αεροπλάνο του καλύπτει μία απόσταση 600 km. Αν

είχε αυξήσει την ταχύτητα του κατά 40km/h θα χρειαζόταν μισή ώρα λιγότερο για να καλύψει την ίδια

απόσταση. Να βρεθεί η ταχύτητα του αεροπλάνου

Να βρεθεί η ταχύτητα του αεροπλάνου x = ; (x > 0)

Οδηγώντας με σταθερή ταχύτητα το

αεροπλάνο καλύπτει απόσταση 600

(αρχικά)

( )( )

( )

1

1

600 600x t

t x

Αν είχε αυξήσει την ταχύτητα του κατά

40km/h

x + 40

Καλύψει την ίδια απόσταση (Απόσταση) = 600 km

Τύπος σε αυτήν περίπτωση

(τελικά)

( )( )

( )

2

2

600 600x 40 t

t x 40

Θα χρειαζόταν μισή ώρα λιγότερο 1 2

1 2

t t 30min

t t 0,5h

Εξίσωση

600 6000,5

x x 40

600(x 40) 600x 0,5(x 40)x

2

1 2

x 40x 4800 0

x 200 ή x 240

Δεκτή Η ταχύτητα του αεροπλάνου είναι 200 km/h



Κατηγορία 5η : Προβλήματα με αναγωγή στην μονάδα

Είναι η πιο δύσκολη κατηγορία και αναφέρεται στα προβλήματα που από ένα κύριο σύνολο (π.χ. τάξη,

εκσκαφείς, βρύσες, παιδιά) ζητούνται στοιχεία. Το χαρακτηριστικό αυτών των περιπτώσεων είναι η

«αναγωγή στην μονάδα», δηλαδή τι ποσό αντιστοιχεί στο ένα, άρα η πράξη που θα κάνουμε θα είναι

διαίρεση. Για την καλύτερη κατανόηση αυτής της κατηγορίας δείτε τα παρακάτω παραδείγματα (που

αποτελούν μεθοδολογία) που φαίνεται ο τρόπος σκέψης άρα και λύσης.

Όταν ένα ποσό Α αναφέρεται σε ένα σύνολο χ, τότε για βρούμε πόσο αντιστοιχεί το ποσό

Α στη μονάδα παίρνουμε τον λόγο: ( ) A

x

Το παραπάνω το βρίσκουμε εύκολα και με την «μέθοδο των τριών»


1. Μια τάξη ενοικίασε για εκδρομή ένα πούλμαν 240 €. Επειδή 2 μαθητές αρρώστησαν, το εισιτήριο

αυξήθηκε για τους υπόλοιπους κατά 50 λεπτά στον καθένα. Πόσοι μαθητές πήγαν στην εκδρομή και

πόσο πλήρωσε ο καθένας;

Πόσοι μαθητές πήγαν εκδρομή; x = οι μαθητές που πήγαν εκδρομή, άρα

x + 2 = είναι όλοι μαθητές της τάξης

Πόσο θα πληρώσουν οι μαθητές που θα πάνε

τελικά εκδρομή;

240

x

Πόσο θα πλήρωνα αν πήγαιναν εκδρομή όλοι οι

μαθητές της τάξης;

240

x 2

Το εισιτήριο αυξήθηκε για τους μαθητές της

εκδρομής κατά 50 λεπτά

2400,50

x 2

Εξίσωση

240 2400,50

x x 2

Επίλυση x = 30 ή x = -32

Δεκτή

x =30 μαθητές θα πάνε εκδρομή και θα πληρώσουν

240 2408

x 30 €



2. Δύο εκσκαφείς χρειάζονται 12 μέρες για ένα έργο, όταν εργάζονται μαζί. Ο ένας μόνος του χρειάζεται 7

μέρες περισσότερο από τον άλλο. Πόσες μέρες χρειάζεται μόνος του ο καθένας για να τελειώσει το έργο;

Πόσες μέρες θα τελειώσει το έργο; x =; οι μέρες που χρειάζεται ο ένας για να

τελειώσει το έργο

Σε μια μέρα; Τελειώνει 1

x του έργου σε μια μέρα

Ο άλλος χρειάζεται 7 ημέρες περισσότερες

x +7 ημέρες και για να τελειώσει το έργο

χρειάζεται 1

x 7

για μια μέρα

Δύο εκσκαφείς χρειάζονται 12 ημέρες για να

τελειώσουν το έργο Για μια μέρα χρειάζονται

1

12 της ημέρας

Εξίσωση 1 1 1

x x 7 12

Επίλυση

2x 17x 84 0

x 21 & x 4

Δεκτή x = 21 ημέρες χρειάζεται ο ένας εκσκαφείς και

21+7=28 ημέρες ο άλλος εκσκαφέας

ΓΕΝΙΚΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε έναν αριθμό τέτοιον ώστε το γινόμενό του με τον κατά 5 μικρότερό του είναι 2964

2. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν διαφορά 12 και γινόμενο – 35

3. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν γινόμενο 384 και άθροισμα 44

4.Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 9, ενώ το άθροισμα των τετραγώνων των

ψηφίων του είναι 41. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;

5. Σε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο η κάθετη πλευρά είναι κατά 3 cm μικρότερη από τη

βάση. Να υπολογίσετε το εμβαδό του και το ύψος του

6. Οι πλευρές δύο κύβων διαφέρουν κατά 2 cm, ενώ οι όγκοι τους διαφέρουν κατά 386 cm3. Να βρείτε

τις πλευρές τους.

7. Αν αυξήσουμε τη μια πλευρά ενός τετραγώνου κατά 4,5 cm και ελαττώσουμε την άλλη κατά 3,5 cm

, προκύπτει ένα ορθογώνιο με εμβαδό 513 cm2. Ποια είναι η πλευρά του τετραγώνου;



8. Δύο ευθείες λεωφόροι διασταυρώνονται κάθετα. Αν δύο αυτοκίνητα απομακρύνονται συγχρόνως

από την διασταύρωση με ταχύτητες 54 km/h και 72 km/h αντιστοίχως, να βρείτε μετά από πόσα

δευτερόλεπτα θα απέχουν 0,5 km .

9. Δύο ποδηλάτες διανύουν μια απόσταση 60 km με μέσες ταχύτητες που διαφέρουν κατά 5 km/h . Ο

ένας ποδηλάτης χρειάζεται 1 h περισσότερο από τον άλλο. Να βρεθούν οι ταχύτητες.

10. Μια τάξη ενοικίασε για εκδρομή ένα πούλμαν 240 €. Επειδή 2 μαθητές αρρώστησαν, το εισιτήριο

αυξήθηκε για τους υπόλοιπους κατά 50 λεπτά στον καθένα. Πόσοι μαθητές πήγαν στην εκδρομή και

πόσο πλήρωσε ο καθένας;

11. Το άθροισμα του αριθμητή και του παρονομαστή ενός κλάσματος είναι 100. Αν προσθέσουμε

στον αριθμητή 18 και αφαιρέσουμε από τον παρανομαστή 16, βρίσκουμε κλάσμα διπλάσιο από το

αρχικό. Να βρεθεί το αρχικό κλάσμα.

12. Για μια διαδρομή 18 Km ένας ποδηλάτης χρειάζεται 2

2 h3

λιγότερο από έναν πεζό, αφού ο

ποδηλάτης τρέχει 9 Km/h περισσότερο. Να βρείτε τις ταχύτητες τους.

13. Δύο εκσκαφείς χρειάζονται 12 μέρες για ένα έργο, όταν εργάζονται μαζί. Ο ένας μόνος του

χρειάζεται 7 μέρες περισσότερο από τον άλλο. Πόσες μέρες χρειάζεται μόνος του ο καθένας για να

τελειώσει το έργο;

14.Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 34 cm. Να βρείτε τα μήκη των κάθετων πλευρών

του όταν η μία κάθετη είναι μεγαλύτερη από την άλλη κάθετη κατά 14 cm.

15. Το τετράγωνο ενός αριθμού είναι μεγαλύτερο από το οκταπλάσιο του αριθμού αυτού κατά 20.

Ποιος είναι ο αριθμός;

16. Ένα τετραγωνικό οικόπεδο έχει ίδιο εμβαδό με ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου. Το μήκος του

δεύτερου είναι διπλάσιο από το μήκος του πρώτου ενώ το πλάτος του δευτέρου είναι κατά 25cm

μικρότερο από το μήκος το πρώτου. Να βρείτε τις διαστάσεις των οικοπέδων.

17. Έστω δύο ορθογώνια με το μήκος του δευτέρου διπλάσιο από το μήκος του πρώτου, ενώ το

πλάτος του δευτέρου είναι ελαττωμένο κατά 2 cm από το πλάτος του πρώτου. Αν τα εμβαδά τους

διαφέρουν κατά 3cm βρείτε τις διαστάσεις τους.

18. Ένας εργάτης συμφώνησε να τελειώσει ένα έργο σε 63 ώρες με την εξής συμφωνία: «για κάθε

δουλείας να παίρνει 8€ και για κάθε ώρα που θα κάθεται να πληρώνει πρόστιμο 10€ ». Πόσες ώρες

δουλειάς δούλεψε τελικά αν πήρε:

i. 306 €

ii. δεν πήρε τίποτα

iii. πλήρωσε 18 €



19. Τα έξοδα μιας παρέας που πήγε στα μπουζούκια στον Νότη Σφακιανάκη ήταν 1200 €. Επειδή 3

άτομα δεν πλήρωσαν, επιβαρύνθηκαν οι υπόλοιποι 90 € επιπλέον ο καθένας.

i. Πόσα άτομα πήραν μέρος στο γεύμα;

ii. Πόσα πλήρωσε ο καθένας;

20. Μια εξωλέμβιος βάρκα μάρκας Mercury κινείται στον Δούναβη με ταχύτητα 8 km/h και διανύει

15 km έχοντας την ίδια κατεύθυνση με την κατεύθυνση του ρεύματος. Στον ίδιο χρόνο διανύει 9 km

έχοντας κατεύθυνση αντίθετη με αυτή του ρεύματος του νερού. Ποια είναι η ταχύτητα του ρεύματος

το νερού; (Οι ταχύτητες θεωρούνται σταθερές)

21. Στην κατασκευή ενός «κομματιού» της Αττικής οδού παίρνουν μέρος 28 εργάτες και οδηγοί

διαφόρων μηχανημάτων. Κάθε οδηγός μηχανήματος παίρνει την ημέρα 45€ περισσότερο από κάθε

εργάτη. Όλοι οι οδηγοί μηχανημάτων κερδίζουν 600€ την ημέρα και όλοι οι εργάτες κερδίζουν επίσης

600€ την ημέρα.

i. Να βρεθεί ο αριθμός των εργατών και των οδηγών

ii. Βρείτε τα ημερομίσθια των εργατών και των οδηγών

22. Ο Μίμης αγόρασε ύφασμα και έδωσε 90 €. Εάν με αυτά τα χρήματα αγόραζε 6 μέτρα επιπλέον,

τιμή του μέτρου θα ήταν 0,50 λεπτά μικρότερη. Πόσα μέτρα υφάσματος αγόρασε;

23. Μια δεξαμενή αδειάζει με την βοήθεια δύο βρυσών. Όταν οι δύο βρύσες τρέχουν ταυτόχρονα, η

δεξαμενή αδειάζει σε 15 ώρες. Η μία από τις βρύσες, όταν τρέχει μόνη της, χρειάζεται 16 ώρες

περισσότερες απ’ ό,τι η άλλη βρύση, για ν’ αδειάσει τη δεξαμενή. Να βρείτε σε πόσο χρόνο αδειάζει

τη δεξαμενή καθεμία βρύση χωριστά.

24. Δύο εργάτες εργάστηκαν με διαφορετικά ημερομίσθια. Ο πρώτος μετά από εργασία λίγων ημερών

πήρε 960€, ενώ ο δεύτερος, ο οποίος εργάστηκε 6 ημέρες λιγότερο, πήρε 540€. Εάν ο δεύτερος

εργάτης εργαζόταν όλες τις ημέρες και ο πρώτος εργάτης 6 ημέρες λιγότερο, τότε θα έπαιρναν το ίδιο

ποσό. Πόσες ημέρες εργάστηκε κάθε εργάτης και ποιο ήταν το ημερομίσθιό του;

25. Να χωρίσετε τον αριθμό 82 σε δύο μέρη – αριθμούς, αν διαιρεθεί το μεγαλύτερο μέρος δια του

μικρότερου, να προκύψει πηλίκο 2 και υπόλοιπο 16.

26. Τα δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα έχουν ίσα εμβαδά. Αν το πρώτο σχήμα έχει διαστάσεις x+4

και x+5, ενώ το δεύτερο x και 2x+7, τότε:

α) Να βρεθεί το x και

β) Η διαφορά των περιμέτρων τους

γ) Η διαφορά των εμβαδών τους

27. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 38 και γινόμενο 105.

28. Το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι 240. Να βρείτε τους αριθμούς

29. Να βρείτε το χ αν το παρακάτω σχήμα, αν έχει εμβαδόν 126 cm2 και τα δύο σχήματα ABEF και

ILKJ είναι ίσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Δίνεται: DC = GH =2.



30. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν διαφορά 28 και γινόμενο -204.

31. Αν στο τετράγωνο ενός αριθμού προσθέσουμε το τριπλάσιο του θα βρούμε το 4. Ποιος είναι ο

αριθμός.

32. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 1 και γινόμενο -240.

33. Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακεραίους αριθμούς που το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 85.

34. Το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι 552. Να βρείτε τους αριθμούς.

35. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν διαφορά 10 και γινόμενο -60.

36. Να βρείτε δύο αριθμούς που να έχουν γινόμενο 30 και άθροισμα 11.

37. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 13 και γινόμενο 40.

38. Αν στο τετράγωνο ενός αριθμού προσθέσουμε το διπλάσιο του και το 3 βρίσκουμε 38. Να βρείτε

τον αριθμό.

39. Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις x, 3x – 1. Αν το εμβαδόν του είναι 70, τότε να

βρείτε το χ.

40. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν διαφορά 10 και γινόμενο 231.

41. Αν στο τριπλάσιο ενός αριθμού προσθέσουμε το τετράγωνό του βρίσκουμε 70. Ποιος είναι ο

αριθμός;

42. Να βρείτε δύο αριθμούς των οποίων το άθροισμα είναι 10 και η διαφορά των τετραγώνων τους

είναι 40.

43. Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι 506. Να βρείτε του αριθμούς.

44. Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν διαφορά 4 και η διαφορά των τετραγώνων τους είναι 56.



45. Το τετράγωνο ενός αριθμού είναι ίσο με το πενταπλάσιό του ελαττωμένο κατά 6. Ποιος είναι ο

αριθμός.

+1 Θέμα που ξεχωρίζει από τον υπογράφων!

Ο ιδιοκτήτης μιας κρουαζιέρας του Νείλου, έκανε την εξής πρόταση σε ένα ταξιδιωτικό γραφείο: «Αν

δηλώσουν 100 άτομα για την κρουαζιέρα η τιμή θα είναι 1000€. Για κάθε επιπλέον άτομο που θα

συμμετέχει, το αντίτιμο της κρουαζιέρας μειώνεται κατά 5€». Τελικά ο ιδιοκτήτης συμφώνησε με το

ταξιδιωτικό γραφείο και είσπραξε 112.500€. Βρείτε πόσα άτομα, έλαβαν μέρος στην κρουαζιέρα του

Νείλου.

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης

Μαθηματικός

http://lisari.blogspot.com

http://lisari.blogspot.com/

Education

Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις