Σημειώσεις Β Λυκείου Γεωμετρία

Παγώνης Θεόδωρος

μαθηματικός

2015-2016

β΄ λυκείου γεωμετρία γενικής παιδείας

Κυκλοφορούν επίςησ

Μαθηματικά Κατεύθυνςησ Γ΄ Λυκείου

Μαθηματικά Κατεύθυνςησ Β΄ Λυκείου

Μαθηματικά Γενικήσ Παιδείασ, Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

Θεόδωροσ Παγώνησ e-mail: [email protected] https://www.facebook.com.theodoros.pagones http://lisari.blogspot.gr/

2015-2016

- 1 -

2015-2016

μετρικές σχέσεις

Ασκήσεις


Μαθηματικός

μετρικές σχέσεις κεφάλαιο 9

- 2 -

§1. το πυθαγόρειο

θεώρημα

1) Πνην είλαη ην κήθνο ηεο ππνηείλνπζαο ζε θαζέλα

από ηα παξαθάησ νξζνγώληα ηξίγσλα;

2) Πνην είλαη ην κήθνο ηεο δηαγσλίνπ ηεηξαγώλνπ ζπλαξηήζεη ηεο πιεπξάο ηνπ.

3) Δάλ a , , είλαη γλσζηά επζύγξακκα

ηκήκαηα , πνηα είλαη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα x

θαη y πνπ έρνπλ θαηαζθεπαζηεί ζην παξαθάησ

ζρήκα;

4) Ο θύθινο ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο έρεη αθηίλα 5

cm θαη ην επζύγξακκν ηκήκα ΒΓ έρεη κήθνο 2 cm . Πνηα είλαη ε απόζηαζε ηνπ Γ από ηελ

δηάκεηξν ΑΒ;

5) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) θαη

2 . Πνηα ζρέζε ζπλδέεη ηα επζύγξακκα

ηκήκαηα ΒΓ θαη ΓΓ όπνπ ΑΓ ην ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ .

6) ε ηξίγσλν ΑΒΓ έρσ 6 , 8 θαη

2 , όπνπ ΑΚ είλαη δηάκεζνο . Αλ ΑΓ είλαη

ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ λα βξεζεί ην κήθνο ηεο

πιεπξάο ΒΓ .

7) Λα ππνινγηζηνύλ :

α. ε ππνηείλνπζα νξζνγσλίνπ θαη ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ

όηαλ δίλεηαη ην κήθνο a ησλ θαζέησλ πιεπξώλ ηνπ

β. ην ύςνο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ κε κήθνο πιεπξάο a .

8) Σα κήθε ησλ πιεπξώλ ελόο νξζνγσλίνπ ΑΒΓΓ

έρνπλ ιόγν 2 . Λα απνδεηρζεί όηη νη πξνβνιέο

ησλ θνξπθώλ Α θαη Γ ζηελ δηαγώλην ΒΓ

δηαηξνύλ ηελ δηαγώλην απηή ζε ηξία ίζα επζύγξακκα ηκήκαηα .

9) Αλ ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ δπν απέλαληη

πιεπξώλ ηεηξαπιεύξνπ ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ άιισλ δπν πιεπξώλ ηνπ ,

λα δεηρζεί όηη νη δηαγώληνη ηνπ ηεηξαπιεύξνπ

είλαη θάζεηεο θαη αληηζηξόθσο .

10) Αλ ε ρνξδή ΓΓ είλαη παξάιιειε πξνο ηελ

δηάκεηξν ΑΒ ηνπ δηπιαλνύ θύθινπ , λα

εμεγήζεηε γηαηί 2 2 2 .


- 3 -

11) Γπν θύθινη εθάπηνληαη εμσηεξηθά θαη έρνπλ αθηίλεο 9 cm θαη 6 cm . Πνην είλαη ην κήθνο

ηνπ θνηλνύ εθαπηόκελνπ επζύγξακκνπ

ηκήκαηνο ΑΒ;

12) Σξεηο ίζνη θύθινη αθηίλαο R εθάπηνληαη εμσηεξηθά αλά δπν . Λα δνζεί , ζπλαξηήζεη ηνπ

R , ε απόζηαζε ηνπ θέληξνπ θάζε θύθινπ από ηελ δηάθεληξν ησλ άιισλ δπν θύθισλ.

13) Λα ππνινγίζεηε ην ύςνο θαη ηηο δηαγώληεο

ηζνζθεινύο ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ κε βάζεηο 4 cm

, 10 cm θαη κε παξάιιειεο πιεπξέο 5 cm.

14) Γίλεηαη έλα ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ πιεπξάο a

Λα ππνινγηζηεί ε απόζηαζε ηεο θνξπθήο Β από ην κέζν ηεο δηακέζνπ ΑΓ.

15) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν κε γσλία 090

,

060

θαη . Λα ππνινγηζηνύλ ,

ζπλαξηήζεη ηνπ , νη πξνβνιέο ησλ θαζέησλ πιεπξώλ ζηελ ππνηείλνπζα.

16) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν κε κήθε θαζέησλ

πιεπξώλ 12 θαη 16 . Λα ππνινγηζηνύλ ηα κήθε

ησλ πξνβνιώλ ησλ θάζεησλ πιεπξώλ ζηελ ππνηείλνπζα θαζώο θαη ην κήθνο ηνπ ύςνπο πνπ

αληηζηνηρεί ζηελ ππνηείλνπζα.

17) Λα βξεζνύλ νη θάζεηεο πιεπξέο ελόο

νξζνγσλίνπ πνπ έρεη πεξίκεηξν 84cm θαη κήθνο ππνηείλνπζαο 37cm .

18) Οη πξνβνιέο ησλ θάζεησλ πιεπξώλ ελόο

νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ζηελ ππνηείλνπζα έρνπλ κήθε 2 θαη 8 . Λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ

ύςνπο πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ππνηείλνπζα θαζώο

θαη ηα κήθε ησλ θάζεησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ.

19) ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) θέξνπκε

ην ύςνο ΑΓ . Αλ είλαη 3 , θαη 4 , λα

ππνινγηζηνύλ ηα κήθε ησλ ηκεκάησλ ΒΓ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΑΓ .

(Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 1 ειίδα 185)

20) ε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε

ππνηείλνπζα a λα απνδείμεηε όηη 2a .

21) Αλ ζε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) είλαη

2

. Σόηε λα απνδείμεηε όηη 3

.


22) ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε γσλία

νξζή ηζρύεη 8 θαη 6 . Λα βξεζεί ην κήθνο ηεο

δηακέζνπ ΑΚ .


) θέξνπκε

ην ύςνο ΑΓ . Αλ είλαη 5 θαη 25

13 , λα

δηαηάμεηε θαηά αύμνπζα ζεηξά κήθνπο ηα ηκήκαηα: ΑΓ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΑΓ .


24) Λα απνδεηρζεί όηη ε δηαθνξά ησλ ηεηξαγώλσλ δπν πιεπξώλ ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ηελ δηαθνξά

ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ πξνβνιώλ ηνπο ζηελ ηξίηε

πιεπξά .

25) Λα απνδεηρζεί όηη ην ηξίγσλν πνπ έρεη πιεπξέο 2 2a , 2 θαη 2 2 , όπνπ ,

ζεηηθνί αθέξαηνη κε , είλαη νξζνγώλην .

(Απνδεηθηηθέο Αζθήζεηο 1 ειίδα 186)

26) Οη πξνβνιέο ησλ θαζέησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ πάλσ ζηελ

ππνηείλνπζα , είλαη 3

a θαη 23

a .

α. Λα ππνινγίζεηε ηα κήθε ησλ ΑΒ , ΑΓ θαη ηνπ ύςνπο

ΑΓ .


- 4 -

β. Λα δεηρηεί όηη ηα ηκήκαηα ΑΒ , ΑΓ , ΑΓ είλαη

αλάινγα κε ηνπο αξηζκνύο 3 , 6 , 2 .

27) Αλ ΑΔ , ΑΕ είλαη αληίζηνηρα νη πξνβνιέο δπν ρνξδώλ ΑΓ θαη ΑΓ ελόο θύθινπ ζε κηα δηάκεηξό

ηνπ ΑΒ , λα απνδείμεηε όηη 2 2 .


28) Έζησ Ζ ην νξζόθεληξν ηξηγώλνπ ΑΒΓ . Λα

απνδεηρζεί όηη , αλ 2 2 22a , ηόηε 2 2 22 θαη αληηζηξόθσο .

29) Αλ Γ είλαη κέζν ηεο θάζεηεο πιεπξάο ΑΓ ελόο

νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ( 090

) θαη Δ ε

πξνβνιή ηνπ ζηελ ΒΓ , ηόηε λα απνδείμεηε όηη : 2 2 2 . ηε ζπλερεία δηαηάμηε θαηά

αύμνπζα ζεηξά κήθνπο ηα ηκήκαηα ΓΒ , ΔΒ , ΔΓ .


30) ε ακβιπγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε γσλία

ακβιεία θέξνπκε ην ύςνο ΑΓ . Λα απνδείμεηε

όηη 2 2 2 2 .

31) Έζησ ζεκείν Γ ηεο θάζεηεο πιεπξάο ΑΒ ελόο

νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε γσλία

νξζή .

Λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 .

32) ε ηξίγσλν ΑΒΓ έρνπκε 090

θαη 3

4a

a .

Λα βξεζνύλ νη γσλίεο

θαη

.

33) Αλ νη κε παξάιιειεο πιεπξέο ελόο ηξαπεδίνπ

είλαη θάζεηεο , λα απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα

ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ δηαγσλίσλ ηνπ είλαη ίζν κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ βάζεώλ ηνπ .

34) ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθή ην Α ,

έρνπκε 4 cm θαη 7 cm . Λα

ππνινγίζεηε ηα ύςε ΑΓ θαη ΒΘ .

35) ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( )

θέξνπκε ην ύςνο ηνπ ΒΔ . Λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 2 23 2a .


36) ε ηζνζθειέο ηξαπέδην ΘΙΚΛ λα δεηρζεί όηη 2 2 .

37) ε έλα ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ ηζρύεη

2 2 . Λα ππνινγίζεηε ηελ πιεπξά

ΑΒ θαη ηελ δηαγώλην ΑΓ .

38) Θεσξνύκε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

)

θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ . Αλ Δ , Ε είλαη νη πξνβνιέο ηνπ Γ πάλσ ζηηο ΑΒ , ΑΓ αληίζηνηρα , λα

απνδείμεηε όηη :

α. 3

3

β. 3

(ύλζεηα Θέκαηα 1 ειίδα 186)

39) Οξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) είλαη

πεξηγεγξακκέλν ζε θύθιν , R . Αλ 16

cm θαη ε αθηίλα 4R cm , λα ππνινγηζηνύλ νη πιεπξέο ΒΓ , ΑΓ .

40) Ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη ύςνο ΑΖ . Αλ

ηζρύεη 12 cm , λα ππνινγηζηεί ε πιεπξά θαη ην ύςνο ηνπ .

41) Γίλνληαη δπν θύθινη , R θαη , πνπ

εθάπηνληαη εμσηεξηθά ζην Α . Αλ ΒΓ είλαη ην θνηλό εμσηεξηθό εθαπηόκελν ηκήκα ηνπ θαη

, ν θύθινο πνπ εθάπηεηαη ζηνπο , R ,

, θαη ζηελ ΒΓ , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 R β. 1 1 1

R


42) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη : 2 2 2a , λα

δείμεηε όηη ην ηξίγσλν κε πιεπξέο 5a , 5 , 5

είλαη νξζνγώλην ηξίγσλν .

43) Γίλεηαη θύθινο κε δηάκεηξν ΑΒ θαη έζησ ΑΓ

ηπραία ρνξδή ηνπ . Λα δεηρζεί όηη ε ΑΓ είλαη

κέζε αλάινγνο ηεο δηακέηξνπ ΑΒ θαη ηεο πξνβνιήο ηεο πάλσ ζηε δηάκεηξν ΑΒ .

44) ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε νξζή ηελ γσλία

ε 3

4 . Αλ ΑΓ είλαη ην ύςνο ηνπ

ηξηγώλνπ , λα δείμεηε όηη 9

16 .

45) Θεσξνύκε ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε 090

. Αλ

Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ΒΓ , ΑΓ αληίζηνηρα θαη Θ ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΚ κε ηελ ΒΓ λα

απνδείμεηε όηη : α. Σν ΑΒΘΓ είλαη νξζνγώλην .

β. 2 2 24 .



- 5 -

46) Ζ πεξίκεηξνο ελόο ξόκβνπ είλαη 84 cm . Λα

ππνινγηζηνύλ νη δηαγώληνη ηνπ , αλ γλσξίδνπκε

όηη ε κηα είλαη ηα 3

5 ηεο άιιεο .

47) ην ηξαπέδην ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο Λ θαη Κ είλαη ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ΑΓ θαη ΒΓ

αληίζηνηρα . Αλ ΓΔ είλαη ε πξνβνιή ηεο ΑΒ πάλσ

ζηελ ΓΓ λα απνδείμεηε όηη :

α. 2

β. 2 2 24

48) ’ έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ε βάζε ηνπ ΒΓ θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ έρνπλ ην ίδην κήθνο 8 cm .

Λα ππνινγηζηεί ε αθηίλα R ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ ηνπ θύθινπ .

49) Έζησ Γ ηπραίν ζεκείν ζηελ ππνηείλνπζα

νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηνπ δηπιαλνύ

ζρήκαηνο. Ζ θάζεηε ζην Γ ηέκλεη ηελ ΑΒ ζην Δ θαη ηελ πξνέθηαζε ηεο ΑΓ ζην Ε . Αλ Θ ζεκείν

ηεο ΓΕ ηέηνην ώζηε ε γσλία 090

, λα

δείμεηε όηη :

α. 2

β. 2

50) ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ γηα ηηο γσλίεο

θαη

ηζρύεη όηη 2

. Λα δεηρζεί όηη 2

23

.

51) ηελ πξνέθηαζε ηεο πιεπξάο ΑΒ ηζνζθεινύο

ηξηγώλνπ ΑΒΓ ( ) παίξλνπκε . Φέξλνπκε ην ύςνο ΓΔ . Αλ ηζρύεη 4 , λα

δείμεηε όηη 2 2 23

2 .

52) Γίλεηαη θύθινο , R θαη ρνξδή ΑΒ θάζεηε ζε

κηα αθηίλα ΟΓ ζε ζεκείν Γ . Αλ a , λα


α. 2 4( )( )R a R a

β. 2 2 ( )R R a

53) Αλ ΑΓ , ΒΔ , ΓΕ είλαη ηα ύςε νμπγσλίνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 2 2 .

54) Έζησ εζσηεξηθό ζεκείν ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Γ

, Δ θαη Ε νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο πιεπξέο ΒΓ , ΓΑ

θαη ΑΒ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 2 2 .

(θεώρημα Carnot)

55) ε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ λα απνδείμεηε

όηη 22 a .


56) Θεσξνύκε ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ εγγξάςηκν ζε θύθιν θαη πεξηγξάςηκν ζε άιιν θύθιν . Αλ Δ , Ε

, Ζ θαη Θ είλαη ηα ζεκεία επαθήο ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα κε ηελ εγγεγξακκέλε

πεξηθέξεηα , λα βξεζεί ην κήθνο ηνπ ΘΔ σο

ζπλάξηεζε ησλ ηξηώλ κεθώλ ΔΕ , ΕΖ θαη ΖΘ .

57) Γίλεηαη νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη

ζεκείν Ρ ζην εζσηεξηθό ηνπ . Φέξλνληαο ηηο ΡΑ ,

ΡΒ , ΡΓ θαη ΡΓ λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 .

58) Θεσξνύκε θύθιν , R , κηα δηάκεηξό ηνπ

ΑΒ θαη κηα ρνξδή ηνπ ΓΓ πνπ ηέκλεη ηελ ΑΒ ζην Δ θαη ζρεκαηίδεη κε απηή γσλία 450 . Λα

απνδείμεηε όηη 2 2 22R .


59) Θεσξνύκε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ , κε γσλία

νξζή , θαη εμσηεξηθά απηνύ ηα ηεηξάγσλα

ΑΒΓΔ θαη ΑΓΕΖ . Αλ Κ είλαη ην κέζν ηεο ΓΕ , λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΚΒΓ είλαη νξζνγώλην

θαη ηζνζθειέο .


- 6 -

60) Γίλεηαη ηεηαξηνθύθιην ΟΑΒ (όπνπ Ο ην θέληξν

ηνπ θύθινπ) . Κε δηάκεηξν ηελ ΟΑ γξάθνπκε εκηθύθιην κέζα ζην ηεηαξηνθύθιην . Γξάθνπκε

αθόκε θύθιν πνπ εθάπηεηαη ζην εκηθύθιην , ζην ηεηαξηνθύθιην θαη ζηελ ΟΒ . Λα βξεζεί ε αθηίλα

ηνπ θύθινπ .

61) Γίλνληαη δπν θύθινη , R θαη , πνπ

εθάπηνληαη εμσηεξηθά θαη ην θνηλό εμσηεξηθό

εθαπηόκελν ηκήκα ηνπο ΑΒ . Γξάθνπκε θύθιν

πνπ εθάπηεηαη ζηνπο , R θαη , θαη

ζηελ ΑΒ . Αλ x είλαη ε αθηίλα ηνπ , λα

απνδεηρζεί όηη 2 2 2

1 1 1 1 1 12

xR x Rx R

.

62) ε νμπγώλην ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ

( ) θέξνπκε ην ύςνο ΓΓ . Λα απνδεηρζεί

όηη 2 2 .

63) ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) είλαη

020

. Λα δεηρζεί όηη 3 3 23a a .

64) Γίλεηαη ηεηαξηνθύθιην ΟΑΒ (όπνπ Ο ην θέληξν

ηνπ θύθινπ) . Από ζεκείν ηνπ ηόμνπ ΑΒ

θέξνπκε ηε Γ θάζεηε ζηελ ΟΑ . Αλ Δ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηεο Γ κε ηελ δηρνηόκν ΟΕ ηεο

γσλίαο

, λα απνδείμεηε όηη 2 2 2R

όπνπ R ε αθηίλα ηνπ θύθινπ .

65) Γίλεηαη θύθινο , θαη νη εθαπηόκελεο 1

θαη 2 ζηα άθξα ηεο δηακέηξνπ ηνπ . Αλ κηα

ηξίηε εθαπηνκέλε ζε ζεκείν Κ ηνπ θύθινπ

ηέκλεη ηηο 1 θαη

2 ζε ζεκεία Γ θαη Γ αληίζηνηρα

, λα απνδείμεηε όηη ην γηλόκελν είλαη ζηαζεξό (αλεμάξηεην ηνπ Κ) .

66) ε ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) ε

δηαγώληνο ηνπ ΒΓ είλαη θάζεηε ζηελ ΑΓ . Αλ ην ύςνο ηνπ ηξαπεδίνπ ηζνύηαη κε 4 θαη νη βάζεηο

ηνπ δηαθέξνπλ θαηά 4 λα ππνινγηζηεί ε πεξίκεηξνο ηνπ .

67) Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα θ θαη ζηαζεξό

ζεκείν Ο . Λα απνδείμεηε όηη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΒ πνπ έρνπλ ηα άθξα ηνπο ζηηο

πιεπξέο νξζήο γσλίαο xOy

θαη γηα ηα νπνία

ηζρύεη ε ζρέζε 2 2 2

1 1 1

εθάπηνληαη

ελόο ζηαζεξνύ θύθινπ , .

68) Από ζεκείν Α εθηόο θύθινπ , θέξνπκε

ην εθαπηόκελν ηκήκα ΑΣ . Αλ Κ είλαη ην κέζν

ηνπ ΑΣ , λα απνδείμεηε όηη 2 2 24 3 .

69) ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε γσλία 090

θέξνπκε ην

ύςνο ΑΓ . Αλ ηζρύεη : 2 , λα

απνδεηρζεί όηη ην ηξίγσλν απηό είλαη νξζνγώλην.

70) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ην ύςνο ΑΓ είλαη κέζε αλάινγνο ησλ ΒΓ , ΓΓ θαη ην Γ βξίζθεηαη κεηαμύ

ησλ Β θαη Γ , λα απνδεηρζεί όηη ε γσλία 090

.

71) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη a

a

, λα

απνδεηρζεί όηη ην ηξίγσλν απηό είλαη νξζνγώλην ζην Α .

72) ε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) λα

δεηρζεί όηη γηα θάζε θπζηθό αξηζκό v κε 2v

ηζρύεη v v va .

73) ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ νξίδνπκε ζηε βάζε

ΒΓ ηα ζεκεία Γ , Δ ηέηνηα ώζηε . Λα απνδεηρζεί όηη ην ΑΔ είλαη κέζε αλάινγνο

κηαο από ηηο ίζεο πιεπξέο ηνπ ηζνζθεινύο θαη ηνπ

ηκήκαηνο ΓΔ .

74) Γίλεηαη ξόκβνο ΑΒΓΓ θαη ζεκείν Θ ζηελ

δηαγώλην ΑΓ . Λα δεηρζεί όηη 2 2 .

75) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ θαη Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Έζησ Δ ηπραίν ζεκείν ηνπ

ηκήκαηνο ΟΓ . Φέξνπκε από ην Β ηελ θάζεηε

ζηελ ΑΔ πνπ ηέκλεη ηε ΑΟ ζην Ε . Λα δεηρζεί όηη: α. θαη

β. 2 2

γ. 2 2 22

76) ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη 0120

. Ζ δηρνηόκνο

ηνπ ΑΔ έρεη κήθνο 10 cm . Αλ ΑΓ είλαη ην ύςνο

ηνπ , λα ππνινγηζζεί ην κήθνο ηνπ ΑΓ .

77) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) θαη ζεκείν Δ

ζηελ ΑΒ , ηέηνην ώζηε νη ΓΔ θαη ΓΔ λα είλαη

δηρνηόκνη ησλ γσληώλ ηνπ Γ θαη Γ . Αλ 15 ,

13 θαη ε απόζηαζε ησλ βάζεσλ ηνπ

ηξαπεδίνπ είλαη 12 , λα ππνινγηζζνύλ νη πιεπξέο

ηνπ.


- 7 -

78) Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ κε ηηο γσλίεο

,

ηέηνηεο ώζηε 090

. Αλ R είλαη ε αθηίλα

ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ , λα

απνδεηρζεί όηη 2 2 24R . (Ψευδοορθογώνιο ηρίγωνο)

79) Έλα νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) έρεη

ύςνο 12 θαη 25 . Ο θύθινο δηακέηξνπ

ΑΓ ηέκλεη ηηο ΑΒ , ΑΓ ζηα ζεκεία Κ , Λ

αληίζηνηρα . Λα ππνινγηζηνύλ ηα ηκήκαηα ΑΚ , ΑΛ , ΒΚ θαη ΓΛ .

§2. γενίκευςη

του πυθαγορείου

θεωρήματοσ

80) Λα βξείηε ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ (σο πξνο ηηο

γσλίεο ηνπ) ηνπ νπνίνπ νη πιεπξέο , , a

είλαη αλάινγεο πξνο ηνπο αξηζκνύο 4 , 5 , 6

αληίζηνηρα . Αλ ΑΓ είλαη ε πξνβνιή ηεο πιεπξάο πάλσ ζηελ πιεπξά , λα δείμεηε όηη

30

a .

81) Έλα ηξίγσλν έρεη πιεπξέο κε κήθε 2 , 1 3 ,

6 . Λα δείμεηε όηη ε γσλία πνπ βξίζθεηαη

απέλαληη από ηελ πιεπξά κε κήθνο 6 είλαη 600.

82) Λα βξεζεί ην είδνο ησλ γσληώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ

όηαλ :

α. 2 2 23a

β. 2 2 2a

γ. 2 2 22a

(Δξσηήζεηο Θαηαλόεζεο 2 ειίδα 194)

83) Δλόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ

είλαη 5 cm , 3 cm θαη 7 cm . α. Λα πξνζδηνξηζηεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ σο πξνο ηηο

γσλίεο ηνπ .

β. Λα ππνινγηζηεί ζε κνίξεο ε γσλία πνπ βξίζθεηαη απέλαληη από ηελ κεγαιύηεξε πιεπξά ηνπ .

84) ηε βάζε ΒΓ ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε

11 παίξλνπκε ζεκείν Γ , ηέηνην ώζηε λα είλαη 3 θαη 7 . Λα ππνινγίζεηε ην

ΑΓ .

85) Λα εμεηάζεηε αλ ππάξρεη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 6a , 5 , 4 , όπνπ ζεηηθή

παξάκεηξνο . Λα εμεηαζζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ σο πξνο ηηο γσλίεο ηνπ .


86) Λα απνδείμεηε όηη ζε θάζε ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε βάζεηο ΑΒ , ΓΓ ηζρύεη όηη

2 2 2 2 2 .


87) Αλ , , 2 2 είλαη ηα κήθε ησλ

πιεπξώλ ελόο ηξηγώλνπ , λα ππνινγίζεηε ζε

κνίξεο ηελ γσλία πνπ βξίζθεηαη απέλαληη από

ηελ πιεπξά πνπ έρεη κήθνο 2 2 .

88) ε ηξίγσλν ΑΒΓ ε γσλία 0120

. Αλ ΒΓ είλαη

ην ύςνο ηνπ , ηόηε λα δείμεηε όηη :

α. 2

β. 2 2 2a

89) Οη πιεπξέο ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη: 3 ,

5 , 7 .

α. Λα δείμεηε όηη ε γσλία

είλαη ακβιεία .

β. Λα ππνινγίζεηε ηελ πξνβνιή ΒΓ ηεο πιεπξάο ΑΒ

πάλσ ζηε ΒΓ .

γ. Λα ππνινγίζεηε ηελ γσλία

.

90) Γηα ηηο βάζεηο ΑΒ θαη ΓΓ ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ

έρνπκε όηη 2 . Λα δείμεηε όηη 2 2 2 2 2 .

91) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη 2 2a a ,

λα ππνινγίζεηε ηελ γσλία

.

92) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θαη ηε γσλία

ακβιεία . Λα απνδείμεηε όηη 2 2 , όπνπ Γ ε πξνβνιή ηνπ Β πάλσ ζηε ΑΓ.

93) Αλ ΒΒ΄ , ΓΓ΄ είλαη ηα ύςε ελόο νμπγσλίνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα απνδείμεηε όηη 2a .



- 8 -

94) Λα ππνινγηζηεί ε κεγαιύηεξε γσλία ελόο

ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ηνπ νπνίνπ ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ζπλδένληαη κε ηηο ζρέζεηο 2a θαη

7a .

95) Λα βξεζεί ην είδνο ηεο γσλίαο πνπ βξίζθεηαη απέλαληη από ηελ κεγαιύηεξε πιεπξά ελόο

ηξηγώλνπ ΑΒΓ , όηαλ :

α. 5a , 12

, 13

β. 4a , 6

, 6

γ. 5a , 5

, 7

96)

1.96 Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ σο πξνο ηηο

γσλίεο ηνπ , αλ νη πιεπξέο ηνπ είλαη :

α. 3a , 4 , 6 β. a ,

2

,

3

2


) . Λα

βξείηε ην είδνο ηνπ ηξίγσλνπ πνπ έρεη πιεπξέο: α. 4a a , 4 , 4 β. a a , ,

( 0 )

98) Τπάξρεη ηξίγσλν κε κήθε πιεπξώλ 6a ,

5 θαη 4 ; Αλ λαη , λα ππνινγηζζνύλ ηα

ύςε ηνπ .

99) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ.

α. Αλ ε γσλία 0150

, λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 3a .

β. Λα δηαηππώζεηε θαη λα απνδείμεηε ηνλ αληίζηξνθν

ηζρπξηζκό .


) .

Πξνεθηείλνπκε ηελ πιεπξά ΑΓ θαηά .

Λα απνδείμεηε όηη 2 2 .


101) Λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη νμπγώλην

ηξίγσλν ΑΒΓ κε κήθε πιεπξώλ 7a , 5 ,

4 2 θαη λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ ύςνπο

ΑΓ .

102) ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) θέξνπκε παξάιιειν ηεο ΒΓ πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ

θαη ΑΓ ζηα Γ θαη Δ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε

όηη 2 2 . (Απνδεηθηηθέο Αζθήζεηο 5 ειίδα 194)

103) Λα ππνινγίζεηε ην x έηζη , ώζηε νη

παξαζηάζεηο 2 1x x , 2 1x , 2 1x λα

απνηεινύλ κήθε πιεπξώλ ηξηγώλνπ . ηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ γσλία πνπ βξίζθεηαη

απέλαληη από ηελ κεγαιύηεξε πιεπξά ηνπ

ηξηγώλνπ .

1.104 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) κε

πιεπξέο a , , . Τπάξρεη ηξίγσλν κε πιεπξέο 5a ,

4 , 3 ;


104) Λα βξείηε ην πιήζνο θαη ην είδνο ησλ

ηξηγώλσλ ΑΒΓ σο πξνο ηηο γσλίεο ηνπο ,πνπ κπνξνύλ λα θαηαζθεπαζηνύλ από ηέζζεξα

δεδνκέλα επζύγξακκα ηκήκαηα κε κήθε

5a cm , 3 cm , 4 cm , 2 cm .

105) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε γσλία 090

θαη

2 . Αλ ΒΓ είλαη ύςνο , λα απνδείμεηε όηη 2 25 2 .

106) Λα απνδείμεηε όηη ζε θάζε νμπγώλην

ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη 2 2 2 28a , όπνπ

ε αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ

ηξηγώλνπ.

107) ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη 2 3 θαη γσλία

060

. Λα απνδείμεηε όηη 2 24 7 .

108) Γίλεηαη θύθινο , θαη κηα δηάκεηξνο

ηνπ ΑΒ . ρεκαηίδνπκε έλα ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε

ηελ ρνξδή ΓΓ λα είλαη παξάιιειε ζηελ ΑΒ θαη

έζησ όηη ε γσλία

. Λα βξεζεί

ζπλαξηήζεη ησλ , ην κήθνο ηεο ΒΓ θαη ην

ύςνο ηνπ ηξαπεδίνπ.

109) Λα ππνινγηζηνύλ νη γσλίεο

παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ αλ ηζρύεη 2 2 4 4 .

110) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( )

θαη 030

. Λα απνδείμεηε όηη 2 3a .


111) Σα κήθε ησλ πιεπξώλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ

είλαη 8a , 6 , 5 .

α. Λα απνδεηρζεί όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ακβιπγώλην.


- 9 -

β. Λα ππνινγίζεηε ηηο πξνβνιέο ηεο πιεπξάο ΑΒ ζηηο

πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ .

112) Γίλεηαη θύθινο δηακέηξνπ ΑΒ θαη κηα ρνξδή ηνπ / / . Αλ Κ είλαη ηπραίν ζεκείν ηεο ΑΒ ,

λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 .



κε 2 3a θαη 030

. Λα ππνινγηζζεί ην

κήθνο ησλ ίζσλ πιεπξώλ ηνπ .

114) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΓ δηρνηόκνο.

Φέξλνπκε . Λα δεηρζεί όηη 2 2 2 2 .

115) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ,

13 , 060

θαη 3 , όπνπ ε

αθηίλα ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ. Λα βξεζνύλ

νη πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ.

116) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε

5 . Πξνεθηείλνπκε ηελ ΒΓ θαηά

ηκήκα . Αλ 4 5 , λα ππνινγίζεηε

ηε πιεπξά ΒΓ .

§3. θεωρήματα

διαμέςων

117) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , 8

θαη γσλία 060

. Λα ππνινγίζεηε ηα κήθε ηεο

πιεπξάο ΑΒ θαη ηεο δηακέζνπ ΑΚ .

118) ε έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρνπκε 6 , 4

θαη 4a . Λα ππνινγίζεηε ηελ πιεπξά a θαη

ηελ πξνβνιή ηεο δηακέζνπ a ζηελ πιεπξά a .

119) ε ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ πιεπξάο a

πξνεθηείλνπκε ηελ ΒΓ θαηά επζύγξακκν ηκήκα a . Λα ππνινγηζηεί ην κήθνο ηνπ

επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΓ ζπλαξηήζεη ηνπ a .

120) ε ηξίγσλν ΑΒΓ έρνπκε 7 , 6 θαη

72a . Λα ππνινγηζζνύλ:

α. ε πιεπξά a ,

β. ε πξνβνιή ηεο δηακέζνπ a ζηε ΒΓ .


121) Λα απνδείμεηε όηη ζε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ

ηζρύεη 2

2

4a

a .


122) Λα απνδεηρζεί όηη ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ δηαγσλίσλ παξαιιεινγξάκκνπ

ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ

πιεπξώλ .

123) Γίλεηαη θύθινο , R , κηα δηάκεηξόο ηνπ

ΑΒ θαη έζησ Γ , Γ ηα κέζα ησλ ΟΑ θαη ΟΒ

αληίζηνηρα . Αλ 2 2 5 , όπνπ Κ ηπραίν

ζεκείν ηνπ θύθινπ , λα ππνινγηζζεί ε αθηίλα R . (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 3 ειίδα 198)

124) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν , R θαη έζησ Θ ην βαξύθεληξό ηνπ .

Λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 2 2 2 2 23( )

4a

β. 2 2 2 2 2 21( )

3a


125) ε ηξίγσλν ΑΒΓ ζεσξνύκε ηελ δηάκεζν ΑΚ . Αλ είλαη 10 , 20 , x θαη

2x , λα βξείηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ΑΚ

θαη ΒΓ θαη θαηόπηλ ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ σο

πξνο ηηο γσλίεο ηνπ .

126) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 060

, 5 ,

3 . Λα ππνινγηζζεί ε δηάκεζόο ηνπ a .

(Απνδεηθηηθέο Αζθήζεηο 1 ζει. 198)

127) Λα απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ

ηεηξαγώλσλ ησλ πιεπξώλ ελόο ηεηξαπιεύξνπ είλαη κεγαιύηεξν ή ίζν από ην άζξνηζκα ησλ

ηεηξαγώλσλ ησλ δηαγσλίσλ ηνπ .


- 10 -

128) α. Αλ ΑΒΓΓ νξζνγώλην θαη Κ ηπραίν ζεκείν

λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 .

β. Αλ ΑΒΓΓ ηεηξάγσλν θαη Κ ηπραίν ζεκείν ζην

εζσηεξηθό ηνπ , ώζηε 1 , 2 θαη

3 , λα βξεζεί ε πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ.


129) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη 2 2 22a , λα

απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάκεζνπο ηνπ ηξηγώλνπ

ηζρύνπλ νη ηζόηεηεο :

α. 2 2 22

β. 3

2

a

a

130) Αλ Κ , Λ είλαη ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ΑΓ ,

ΒΓ ελόο ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ , λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 2 2 24

(Θεώρημα Euler)


131) Αλ ηα ζεκεία Γ θαη Δ δηαηξνύλ ηελ

ππνηείλνπζα ΒΓ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζε ηξία ίζα επζύγξακκα ηκήκαηα , λα απνδείμεηε

όηη:

α. 2 2 25

9


β. 2 2 2 22

3

132) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ αλ έρεη

δηάκεζνπο κε κήθε 3 , 4 , 5 .

133) ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε θαη νξζόθεληξν Ζ λα δείμεηε όηη

2 2 2 2 .

134) ε ηξίγσλν ΑΒΓ λα απνδείμεηε όηη αλ

ηόηε .

135) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη 2 2 2 aa

λα ππνινγηζζεί ε γσλία

.


136) Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηε δηάκεζν ηνπ ΑΚ . Παίξλνπκε ην κέζν Ι ηνπ ΒΚ θαη ην κέζν Λ

ηνπ ΚΓ. Αλ είλαη , , a ,

v θαη , λα απνδείμηε όηη 2

2 2 2 2 3

8

av .

137) ε ηξίγσλν ΑΒΓ παίξλνπκε ζηε βάζε ηνπ ΒΓ

ηα ζεκεία Γ θαη Δ ηέηνηα ώζηε .

Λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 22 3 6 .

138) Αλ 2 2 25 , λα απνδείμεηε όηη ην

ηξίγσλν κε δηάκεζνπο a , , είλαη

νξζνγώλην .


) λα

δεηρζεί όηη:

α. 2 2 2 28a

β. 2 2 25

140) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ νη δηάκεζνη θαη

ηέκλνληαη θάζεηα λα δείμεηε όηη:

α. 2 2 25a

β. αλ ΑΓ ύςνο θαη Ζ ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ

, ηόηε 22a .

(Γεληθέο Αζθήζεηο 5 ειίδα 204)

141) Αλ a , , , είλαη δηαδνρηθέο πιεπξέο

ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ κε a , , λα

απνδείμεηε όηη ε δηαθνξά 2 2 2 2( ) ( )a

ηζνύηαη κε ην δηπιάζην ηεο κηαο δηαγσλίνπ επί ηελ πξνβνιή ηεο άιιεο πάλσ ζε απηή .

142) Γηα θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ λα απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 216( ) 9( )a a a a .

143) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ΑΒ = ΑΓ .

Πξνεθηείλνπκε ηελ πιεπξά ΒΓ θαηά επζύγξακκν

ηκήκα . Λα απνδείμεηε όηη 2 2 22 .

144) Αλ Α , Β , Γ , Γ είλαη ηέζζεξα ηπραία ζεκεία ηνπ επηπέδνπ , λα απνδεηρζεί όηη

2 2 2 2 αλ ΑΒ θάζεηε ζηε ΓΓ .

145) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , κε θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα .

Αλ Ο ην κέζν ηνπ ΚΛ , λα απνδείμεηε όηη 2 2

2

.



- 11 -

146) Γίλεηαη θύθινο κε θέληξν Θ θαη αθηίλα R .

Κέζα ζηνλ θύθιν παίξλνπκε ζηαζεξό ζεκείν Α θαη θαηαζθεπάδνπκε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε

ππνηείλνπζα ηελ ρνξδή ΒΓ . Αλ Κ είλαη ην κέζν ηεο κεηαβιεηήο ηεο ππνηείλνπζαο ΒΓ θαη Γ ην

κέζν ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΘΑ , λα δείμεηε

όηη :

α. 2 2 2R

β. ΚΓ = ζηαζεξό

147) Κε θέληξν ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ

παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ γξάθνπκε θύθιν ηπραίαο αθηίλαο . Αλ Ρ είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ

λα δείμεηε όηη : 2 2 2 2 = ζηαζεξό

(αλεμάξηεην ηνπ ζεκείνπ Ρ) .

148) ε εκηθύθιην δηακέηξνπ 2a ζεσξνύκε

ηπραίν ζεκείν Κ . Υσξίδνπκε ηε δηάκεηξν ΑΒ ζε

ηξία ίζα ηκήκαηα . Λα απνδείμεηε

όηη ην άζξνηζκα 2 2 2 2 είλαη ζηαζεξό.


149) Γίλεηαη ξόκβνο ΑΒΓΓ πιεπξάο a , Ο ην

θέληξν ηνπ θαη θύθινο , a , 0 . Αλ γηα

ηπραίν ζεκείν Κ ηνπ θύθινπ ηζρύεη 2 2 2 2 218a , λα βξεζεί ν

πξαγκαηηθόο αξηζκόο. (ύλζεηα Θέκαηα 4 ειίδα 199)


) .

Φέξλνπκε ηελ δηάκεζν ΑΚ θαη πξνο ηελ ΑΚ ζην

ζεκείν Κ θάζεηε επζεία πνπ ηέκλεη ηελ ΑΓ ζην

. Λα απνδείμεηε όηη 2 2 22 .

151) Αλ Κ ηπραίν ζεκείν ηνπ ύςνπο ΑΓ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα απνδεηρζεί όηη 2 2 2 2 .

152) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ε δηάκεζνο ηνπ ΑΚ.

ηελ πξνέθηαζε ηεο ΒΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ ,

ηέηνην ώζηε , 2

a . Λα απνδείμεηε όηη

2 2 2 23 3 a .

153) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ θαη Δ ζην

ίδην επίπεδν γηα ηα νπνία ηζρύεη 3 , 4

, 5 , 5 , 4 , 10 θαη

14 . Λα βξεζνύλ ηα κήθε ησλ ηκεκάησλ ΑΓ θαη ΑΔ .

154) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ηζόπιεπξα

ηξίγσλα ΒΓΓ , ΒΓΔ εθαηέξσζελ ηεο ΒΓ. Λα απνδεηρζεί

όηη 2 2 2 2 2 .

Πνηα ζρέζε πξέπεη λα επαιεζεύνπλ ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ώζηε λα ηζρύεη ;

155) Αλ ΒΓ θαη ΓΔ είλαη νη δηάκεζνη ηνπ ηξηγώλνπ

ΑΒΓ , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 2 2 2 2

β. 2 2 2 23( )

4

156) Γίλεηαη θύθινο δηακέηξνπ 2R θαη ε

εγγεγξακκέλε γσλία 030

. Πξνεθηείλνπκε

ηελ ΙΑ θαηά ηκήκα . Θεσξνύκε Κ ην

κέζν ηεο ΑΓ θαη όπνπ Λ ην ζεκείν

ηνκήο ηεο ΓΒ κε ηνλ θύθιν . Λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 3R

β. 7

2

R


) κε

θέξνπκε ην ύςνο ΑΓ θαη ηε δηάκεζν

ΑΚ . Αλ Δ είλαη ην ζεκείν επαθήο ηεο

ππνηείλνπζαο ΒΓ κε ηνλ εγγεγξακκέλν θύθιν ηνπ ηξηγώλνπ , λα απνδείμεηε όηη :

α. , όπνπ ε εκηπεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ

β. a

γ. 2

158) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη : 2

λα

απνδείμεηε όηη 2a .

159) Γίλνληαη δπν νκόθεληξνη θύθινη , R θαη

, r κε R r . Δπζεία δηέξρεηαη από ην

θέληξν Ο θαη ηέκλεη ηνπο θύθινπο θαηά ζεηξά

ζηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Γ . Αλ Κ είλαη ζεκείν

ηνπ θύθινπ , R θαη Θ είλαη ζεκείν ηνπ

θύθινπ , r , λα απνδείμεηε όηη

2 2 2 2 .

160) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε

θαη Γ έλα ζεκείν ηεο ΒΓ . Λα απνδείμεηε όηη 2 2 .


- 12 -

161) Γίλεηαη ξόκβνο ΑΒΓΓ πιεπξάο a , κε

δηαγώλην a . Έζησ ηπραίν ζεκείν Ρ . Λα

απνδείμεηε όηη 2 2 2 2 2( ) ( )a


162) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΚ ε δηάκεζόο ηνπ .

Από ην ζεκείν Κ θέξνπκε επζεία θάζεηε πξνο ηελ ΑΒ , πνπ ηελ ηέκλεη ζην ζεκείν Γ . Λα

απνδείμεηε όηη 2 2 23 4 .

163) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ ηπραίν ζεκείν

ηεο βάζεο ΒΓ , ηέηνην ώζηε x , θαη

v .

α. Λα απνδείμεηε όηη 2 2 2( )v a x v .

β. Λα γξάςεηε ην ζεώξεκα πνπ πξνθύπηεη από ηελ ζρέζε ηνπ εξσηήκαηνο (α) ζέηνληαο v .

164) ε ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θέξνπκε επζεία

παξάιιειε ζηε ΒΓ , πνπ δηέξρεηαη από ην

θέληξν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ . Αλ Ρ ηπραίν ζεκείν ηεο επζείαο , λα

απνδείμεηε όηη 2 2 22 .

165) Γίλεηαη θύθινο , R θαη δύν δηάκεηξνί

ηνπ ΑΒ θαη ΓΓ . Αλ γηα έλα ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηζρύεη 15 , 20 θαη

24 λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ΓΚ .

166) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη λα

απνδεηρζεί όηη :

α. 2 2 25a

β. 2 2 2

167) ε ηξίγσλν ΑΒΓ δίλεηαη όηη : 2 2 22a .

Κε βάζε ηε ΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εθαηέξσζελ δπν ηζόπιεπξα ηξίγσλα ΒΓΓ θαη ΒΔΓ . Λα δεηρζεί όηη

090

.

168) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη G ην βαξύθεληξό

ηνπ . Αλ 1G , 2G θαη 3G , λα

ππνινγηζζνύλ νη πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

169) Αλ ζε ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) ηζρύεη 2 2 2 2 λα δεηρζεί όηη ην

ηξαπέδην είλαη ηζνζθειέο .


θαη 050

.

Λα δεηρζεί όηη 2 ( )a .

171) ε ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) Κ

είλαη ην κέζν ηεο πιεπξάο ηνπ ΑΓ . Λα δεηρζεί

όηη: 2 2 22( ) .

§4. τέμνουςεσ

κύκλου

172) Λα εμεγήζεηε γηαηί ε επζεία πνπ δηέξρεηαη

από ηα θνηλά ζεκεία δπν ηεκλνκέλσλ θύθισλ

δηρνηνκεί ηα θνηλά εθαπηόκελα επζύγξακκα ηκήκαηα απηώλ .


173) ην δηπιαλό ζρήκα ηα εθαπηόκελα

επζύγξακκα ηκήκαηα ΚΓ θαη ΚΓ είλαη ίζα ; Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζε ζαο .

174) Γπν θύθινη 1 1, R θαη 2 2, R ηέκλνληαη

ζηα ζεκεία Α θαη Β . Λα απνδείμεηε όηη ηα

εθαπηόκελα ηκήκαηα , πνπ γξάθνληαη από ηπραίν ζεκείν ηεο πξνέθηαζεο ηνπ ΑΒ πξνο ηνπο

δπν θύθινπο είλαη ίζα.


- 13 -

175) ην δηπιαλό ζρήκα , όπνπ ην ηξίγσλν ΑΒΓ

είλαη νξζνγώλην ζην Α , λα εμεγήζεηε γηαηί ε δύλακε ηνπ ζεκείνπ Γ σο πξνο ηνλ θύθιν

δηακέηξνπ ΑΒ είλαη ίζε κε 2 2 .

176) Αλ έλα ζεκείν έρεη δύλακε 2R , 0

σο πξνο έλα θύθιν , R , ηόηε λα βξεζεί ε

ζέζε ηνπ ζεκείνπ σο πξνο ηνλ θύθιν απηό .

177) ε θύθιν αθηίλαο 15R cm παίξλνπκε

ζεκείν Γ πνπ απέρεη από ην θέληξν 10 cm . Κηα ρνξδή ΑΒ δηέξρεηαη από ην Γ θαη είλαη 3 .

Λα βξεζεί ην κήθνο ηεο ρνξδήο .

178) Γίλεηαη θύθινο , 6 θαη ζεκείν Α , ώζηε

14 cm . Αλ από ην ζεκείν Α θέξνπκε

ηέκλνπζα ΑΒΓ πνπ ηέκλεη ηνλ θύθιν θαηά ρνξδή 6 cm , λα ππνινγίζεηε ην ΑΒ .


179) Γίλεηαη θύθινο , 24 θαη έλα ζεκείν Ρ ,

ώζηε 12 . Αλ ΑΒ είλαη ρνξδή πνπ δηέξρεηαη

από ην Ρ κε 42 , λα ππνινγίζεηε ηα ΡΑ , ΡΒ .

180) Θπξηό ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ είλαη

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν . Αλ ηα ΑΒ θαη ΓΓ

ηέκλνληαη ζην Ρ θαη 9 cm , 10 cm ,

15 cm , λα ππνινγηζηεί ε πιεπξά ΓΓ θαη ε

εθαπηνκέλε Ρ ηνπ θύθινπ .

181) Από ζεκείν Ρ εθηόο ηνπ θύθινπ θέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε ΡΑ θαη ηελ ηέκλνπζα ΡΒΓ ηνπ

θύθινπ . Λα δεηρζεί όηη : α. Σν ηξίγσλν ΡΑΒ είλαη όκνην κε ην ηξίγσλν ΡΓΑ .

β. 2

2

.

182) ε νμπγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ θέξλνπκε ηα ύςε

ΑΓ , ΒΔ πνπ ηέκλνληαη ζην Ζ . Λα δεηρζεί όηη : α. Σν ηεηξάπιεπξν ΑΔΓΒ είλαη εγγξάςηκν ζε θύθιν .

β. 2 .

183) Θεσξνύκε θύθιν , R θαη ηηο ρνξδέο ηνπ

ΑΒ , ΓΓ πνπ ηέκλνληαη ζην Ρ . Αλ ηζρύεη

λα απνδείμεηε όηη νη ρνξδέο ΑΒ , ΓΓ

είλαη ίζεο .


184) Σεηξάγσλν ΑΒΓΓ πιεπξάο α είλαη

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R . Αλ Δ είλαη ην

κέζν ηεο ΑΓ θαη ε ΒΔ πξνεθηεηλόκελε ηέκλεη ηνλ

θύθιν ζην Ε , λα απνδείμεηε όηη :

α. 5

2

a

β. 5


185) Από ζεκείν Α εθηόο θύθινπ , R

θέξνπκε ηέκλνπζα ΑΒΓ θαη εθαπηόκελν ηκήκα

ΑΓ . Αλ ε δηρνηόκνο ηεο γσλίαο

ηέκλεη ηηο ΒΓ , ΓΓ ζηα Δ θαη Ε αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη

.


186) Αλ ε δηάκεζνο ΑΚ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέκλεη ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθιν ζην Δ , λα απνδείμεηε όηη

α. 2

4

β. 2 2 2


187) Κε πιεπξά ηε ρνξδή 1 θύθινπ ,

θαηαζθεπάδνπκε ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ πνπ ε πιεπξά ηνπ ΒΓ δελ έρεη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ θύθινπ .

Αλ γηα ην εθαπηόκελν ηκήκα ΓΘ έρνπκε 2 , λα ππνινγίζεηε ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ .

188) Κε πιεπξά ηελ ρνξδή a θύθινπ

, R θαηαζθεπάδσ ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ πνπ ε

πιεπξά ηνπ ΒΓ δελ έρεη ζεκείν εζσηεξηθό ηνπ

θύθινπ . Αλ ην εθαπηόκελν ηκήκα ηνπ θύθινπ είλαη 2a , λα βξείηε ην R .

189) Γίλεηαη ηξίγσλν ΘΙΚ ( ) , ε

δηάκεζόο ηνπ ΘΛ θαη ε πξνβνιή ηνπ Θ ζηε ΙΚ.

α. Αλ γηα ην ηξίγσλν ηζρύεη ε ζρέζε

2 2 2 , λα απνδείμεηε όηη 090

.

β. Αλ 2 2 32 θαη 030

, λα βξείηε ηελ

( , )R

, όπνπ R ε αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ ζην

ηξίγσλν ΙΘΚ θύθινπ .


- 14 -

190) Γπν θύθινη ιέγνληαη νξζνγώληνη ή όηη

ηέκλνληαη θάζεηα , όηαλ ε γσλία ησλ εθαπηόκελώλ ηνπο ζ’ έλα από ηα ζεκεία ηνκήο

ηνπο είλαη νξζή. Λα απνδείμεηε όηη : α. Αλαγθαία θαη ηθαλή ζπλζήθε γηα λα ηέκλνληαη δπν

θύθινη θάζεηα είλαη ην ηεηξάγσλν ηεο δηαθέληξνπ ηνπο

λα είλαη ίζν κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ αθηηλώλ ηνπο .

β. Αλαγθαία θαη ηθαλή ζπλζήθε γηα λα είλαη δπν θύθινη

1 1, R θαη 2 2, R νξζνγώληνη είλαη : ε δύλακε ηνπ

θέληξνπ Ο1 σο πξνο ηνλ θύθιν Ο2 λα ηζνύηαη κε ην

ηεηξάγσλν ηεο αθηίλαο ηνπ Ο1 , δειαδή 1

2 2

2

( , ) 1R R

.

191) Θεσξνύκε θύθιν , R , κηα ζηαζεξή

δηάκεηξν ηνπ ΑΒ θαη κηα ζηαζεξή επζεία

θάζεηε ζηε ΑΒ . Αλ ε επζεία ηέκλεη ηπραία

ρνξδή ΑΓ ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν , λα απνδείμεηε όηη ζηαζεξό.

192) Θεσξνύκε κηα γσλία xOy

θαη δπν ζεκεία Α

, Β ηεο πιεπξάο x . Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκεία Γ

, Γ ηεο πιεπξάο y ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύεη

.

193) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 2 22a . Αλ ε

δηάκεζνο ΑΚ ηέκλεη ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθιν

ζην Γ λα απνδείμεηε όηη 3

6

a .


194) Θεσξνύκε θύθιν , R , κηα δηάκεηξν

απηνύ ΑΒ θαη έλα ζεκείν Ρ ζηελ πξνέθηαζε ηεο

ΒΑ . Φέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε ΡΓ θαη ηελ θάζεηε ζην Ρ πξνο ηελ ΑΒ πνπ ηέκλεη ηελ ΒΓ

ζην Γ . Λα απνδείμεηε όηη 2 2 .

195) Θεσξνύκε θύθιν , R , κηα δηάκεηξν

απηνύ ΑΒ . Γξάθνπκε κηα ρνξδή ΓΓ ηνπ θύθινπ πνπ ηέκλεη ηελ ΑΒ ζην ζεκείν Δ έηζη ώζηε ε

γσλία 045

. Λα απνδείμεηε όηη 2 22 R , όπνπ Ε ε πξνβνιή ηνπ Ο

ζηελ ΓΓ .

196) Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία πνπ ηζαπέρνπλ

απ’ ην θέληξν ηνπ θύθινπ , έρνπλ ηελ ίδηα δύλακε σο πξνο ηνλ θύθιν απηό .

197) Θεσξνύκε θύθιν , R , κηα δηάκεηξό ηνπ

ΑΒ θαη ηα ζεκεία Γ θαη Γ ηεο ΑΒ ηέηνηα ώζηε . Αλ Ρ είλαη ηπραίν ζεκείν ηνπ θύθινπ

, R θαη Δ , Ε νη ηνκέο ησλ ΡΓ θαη ΡΓ αληηζηνίρσο

κε ηνλ θύθιν , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 2R

θαη 2 2R

( R )

β.

ζηαζεξό

198) Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθιν . Ζ δηάκεζνο ηνπ

ηξηγώλνπ ΑΚ πξνεθηεηλόκελε ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην ζεκείν Δ .

α. Λα ππνινγίζεηε ην γηλόκελν ζπλαξηήζεη

ηνπ a .

β. Λα ππνινγίζεηε ην γηλόκελν ζπλαξηήζεη

ησλ , θαη ηνπ a .

199) πν θύθινη , , ,2


εζσηεξηθά ζην Α . Από έλα ζεκείν Β ηνπ κηθξνύ

θύθινπ , θέξλνπκε κηα ρνξδή ΓΓ ηνπ κεγάινπ .

Λα δεηρζεί όηη 2 .

200) Αλ δπν θύθινη εθάπηνληαη εμσηεξηθά , λα

απνδείμεηε όηη θάζε ζεκείν Κ ηεο θνηλήο

εζσηεξηθήο εθαπηνκέλεο ηνπο έρεη ίζεο δπλάκεηο σο πξνο ηνπο δπν θύθινπο .

201) ε θύθιν , R είλαη εγγεγξακκέλν

ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ ( ) . Από ην Α

θέξλνπκε ηπρνύζα επζεία ε νπνία ηέκλεη ηελ ΒΓ ζην Γ θαη ηνλ θύθιν ζην Δ . Λα δείμεηε όηη:

α. 2

β. Ο θύθινο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Β , Γ , Δ εθάπηεηαη ζηελ ΑΒ .

202) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Ω

ζηε βάζε ΒΓ . Αλ νη πεξηγεγξακκέλνη θύθινη ησλ ηξηγώλσλ ΑΒΩ θαη ΑΓΩ ηέκλνπλ ηηο πιεπξέο ΑΓ

θαη ΑΒ ζηα ζεκεία Θ θαη Ι , λα απνδείμεηε όηη ην

άζξνηζκα είλαη ζηαζεξό (αλεμάξηεην ηνπ Ω) .

203) Γίλεηαη θύθινο , R θαη επζεία πνπ

δελ ηέκλεη ηνλ θύθιν . Από ζεκείν Κ ηεο

θέξνπκε ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα ΚΑ , ΚΒ θαη . Αλ ε ΑΒ ηέκλεη ηελ ΟΓ ζην Λ , λα

απνδείμεηε όηη 2R .



- 15 -


) ,

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R θαη ην ύςνο ηνπ

ΑΓ . Αλ κεηαβιεηή επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην

Γ ηέκλεη ην ύςνο ζην Κ θαη ηνλ θύθιν ζην Ζ λα

απνδείμεηε όηη 2 .


205) Ζ πξνέθηαζε ηεο δηακέζνπ ΑΚ ηξηγώλνπ

ΑΒΓ ηέκλεη ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ ζην

ζεκείν Γ . Λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΓΚ , ζπλαξηήζεη ησλ

πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ.

206) Έλα ζεκείν Α απέρεη απόζηαζε 2

R από ην

θέληξν ελόο θύθινπ αθηίλαο R . Κηα ρνξδή ΒΓ

ηνπ θύθινπ δηέξρεηαη από ην Α ζε ιόγν 1

2. Λα

βξεζεί ην κήθνο ηεο ρνξδήο απηήο.

207) ε θύθιν , R ζεσξνύκε κηα ρνξδή

a θαη εθηόο ηνπ θύθινπ θέξνπκε ηελ

εκηεπζεία x θάζεηε ζηελ ΑΒ . Δπί ηεο x

ζεσξνύκε ην επζύγξακκν ηκήκα a θαη

θέξνπκε έλα εθαπηόκελν επζύγξακκν ηκήκα ΓΓ

ζηνλ θύθιν . Αλ ηζρύεη 2a , λα εθθξάζεηε

ηελ αθηίλα R ζπλαξηήζεη ηνπ a .

208) Θεσξνύκε δπν ηεκλόκελνπο θύθινπο θαη

έλα ζεκείν Α ηεο θνηλήο ηνπο ρνξδήο ΒΓ . Από ην Α θέξνπκε δπν επζείεο , από ηηο νπνίεο ε πξώηε

ηέκλεη ηνλ θύθιν ζηα ζεκεία Γ , Δ θαη ε δεύηεξε ηνλ άιιν ζηα ζεκεία Ε , Ζ . Λα

απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε , Ζ είλαη

θνξπθέο εγγξάςηκνπ ζε θύθιν ηεηξάπιεπξνπ.

209) Λα απνδείμεηε όηη αλ ηξεηο θύθινη ηέκλνληαη αλά δπν , ηόηε νη θνηλέο ρνξδέο ηνπο δηέξρνληαη

από ην ίδην ζεκείν.

210) Αλ ε δηρνηόκνο ΑΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέκλεη ηνλ

πεξηγεγξακκέλν θύθιν ζην Δ θαη είλαη 2 , λα απνδείμεηε όηη 2 22 .


211) Γίλεηαη ξόκβνο ΑΒΓΓ θαη ζεκείν Ρ ηεο

επζείαο ΑΓ . Λα απνδείμεηε όηη:

α. αλ ην ζεκείν Ρ αλήθεη ζηε δηαγώλην ΑΓ , ηόηε 2 2 .

β. αλ ην ζεκείν Ρ βξίζθεηαη ζηελ πξνέθηαζε ηεο

δηαγσλίνπ ΑΓ , ηόηε 2 2 .

212) Αλ Ζ είλαη ην νξζόθεληξν νμπγσλίνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα ππνινγηζζεί ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΖ ζπλαξηήζεη ησλ ζπλαξηήζεη ησλ

πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ.

213) Έζησ θύθινο , , δπν ηπραία ζηαζεξά

ζεκεία Α θαη Β θαη κεηαβιεηή ηέκλνπζα ΑΚΛ .

Λα απνδείμεηε όηη ν θύθινο πνπ δηέξρεηαη από ηα Κ , Λ

θαη Β δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν .


2 . Αλ Κ

είλαη ην βαξύθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα απνδείμεηε όηη ν πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΚ εθάπηεηαη ηεο ΒΓ ζην Β . (ύλζεηα Θέκαηα 3 ειίδα 204)

215) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , ε δηρνηόκνο ηνπ ΑΓ ,

ε δηάκεζόο ηνπ ΑΚ θαη ν πεξηγεγξακκέλνο

θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΓΚ . Αλ Δ , Ε είλαη

ηα ζεκεία ηνκήο ησλ ΑΒ θαη ΑΓ κε ηνλ θύθιν

αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη .


216) Έζησ δπν νκόθεληξνη θύθινη 1C θαη

2C κε

αθηίλεο R θαη αληίζηνηρα , όπνπ R . Από

έλα ζηαζεξό ζεκείν Ρ ηνπ 2C θέξνπκε ηπραία

ρνξδή ΡΑ ηνπ 2C θαη ζεσξώ ηελ ρνξδή ΒΓ ηνπ

1C πνπ είλαη θάζεηε ζηε ΡΑ ζην ζεκείν Ρ . Λα

δείμεηε όηη είλαη ζηαζεξά ηα αζξνίζκαηα 2 2 2 θαη 2 2 2 .

217) Γίλεηαη θύθινο , 6 . ε έλα ζεκείν ηνπ

Α θέξνπκε ηελ εθαπηνκέλε . Λα βξεζεί ζηελ

ζεκείν Ρ ώζηε , αλ από ην Ρ θέξσ κηα

ηέκλνπζα ηνπ θύθινπ , πνπ πεξλάεη από ην

θέληξν ηνπ , ην ηκήκα πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ

θύθινπ λα ηζνύηαη κε 1

2 .

218) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090 )

κε 030

. Θύθινο , R ρνξδήο ΒΓ ηέκλεη ηηο

ΑΒ , ΑΓ ζηα ζεκεία Θ , Ι αληίζηνηρα . Αλ Γ είλαη

ε πξνβνιή ηνπ Α πάλσ ζηελ ΒΓ θαη ,8

R

,

ηόηε:

α. Λα εθθξάζεηε ηα ηκήκαηα ΑΒ , ΒΓ ζπλαξηήζεη ηνπ

ΒΓ . β. Λα ππνινγίζεηε ην ύςνο ΑΓ θαη ηελ ρνξδή ΒΓ .

γ. Αλ 3 θαη 2 3 , λα ππνινγίζεηε ην ΑΘ .


- 16 -

219) Γίλεηαη θύθινο , R , κηα δηάκεηξόο ηνπ

ΑΒ , έλα ζεκείν Δ ζπκκεηξηθό ηνπ Β σο πξνο ην Α θαη ζεκείν Γ εθηόο ηνπ θύθινπ ηέηνην , ώζηε

3R θαη 2R . Αλ ΓΓΒ ηέκλνπζα ηνπ

θύθινπ κε ηελ πξνέθηαζε ηεο ΓΑ λα ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην ζεκείν Ε .

α. Λα δείμεηε όηη 2 6R .

β. Λα δείμεηε όηη 19 6

24

R .

γ. Λα ππνινγίζεηε ην ηκήκα ΒΕ .

220) Γίλεηαη θύθινο , θαη ζηαζεξό ζεκείν

Α εθηόο απηνύ . Έζησ ΒΓ ηπραία δηάκεηξνο ηνπ

θύθινπ . Λα δεηρζεί όηη ν θύθινο πεξλάεη

από ζηαζεξό ζεκείν.

§5. ςύνθετα

θέματα

221) ε νξζνγώλην ΑΒΓ ( 090

) , παίξλνπκε

ηπραίν ζεκείν Κ ζηε ΒΓ θαη θέξνπκε ΚΘ θάζεηε ζηελ ΑΒ θαη ηε ΚΖ θάζεηε ζηελ ΑΓ . Λα

απνδείμεηε όηη .

222) ε έλα ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε θέληξν Ο , παίξλνπκε ζηελ ΟΓ έλα ζεκείν Κ ηέηνην ώζηε

1

2 θαη ζηελ ΟΓ έλα ζεκείν Λ ηέηνην

ώζηε 1

4 . Λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν

ΚΛΒ είλαη νξζνγώλην ζην Κ .

223) Λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ επζπγξάκκνπ

ηκήκαηνο πνπ ελώλεη ηα κέζα ησλ βάζεσλ ελόο ηξαπεδίνπ σο ζπλάξηεζε ησλ πιεπξώλ ηνπ .

224) Γηα ην νξζνγώλην ΑΒΓΓ , είλαη γλσζηό όηη

2a , θαη 2a . Γξάθνπκε εκηθύθιην

κε δηάκεηξν ΑΒ , ην νπνίν ηέκλεη ηελ δηαγώλην

ΑΓ ζην ζεκείν Κ . Λα απνδεηρζεί όηη ην ζεκείν Κ είλαη ην θέληξν βάξνπο ηνπ ηξηγώλνπ ΒΓΓ .

225) Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν , . Φέξνπκε ηε δηάκεηξν ΑΚ θαη

από ην Κ ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ , πνπ ηέκλεη ηηο πξνεθηάζεηο ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ

ζηα ζεκεία Γ θαη Δ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη:

α. 2 2 2 2 β. .

226) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Αλ ΑΓ είλαη ε

δηρνηόκνο ηεο γσλίαο

, λα απνδείμεηε όηη 2 .


227) Θεσξνύκε θύθιν , δηακέηξνπ ΑΒ θαη

ηνλ θύθιν δηακέηξνπ ΟΑ . Από έλα ζεκείν Γ ηνπ

ηκήκαηνο ΟΑ θέξνπκε ηελ θάζεηε ζηελ ΑΒ , ε

νπνία ηέκλεη ηνλ θύθιν κε ηελ κηθξόηεξε αθηίλα ζην ζεκείν Γ θαη ηνλ θύθιν κε ηελ κεγαιύηεξε

αθηίλα ζην ζεκείν Δ . Λα απνδείμεηε όηη ηα ηκήκαηα ΑΓ θαη ΑΔ είλαη αζύκκεηξα .

(Σημείωζη : Γπν ηκήκαηα κε κήθε a , ιέγνληαη

αζύκκεηξα , όηαλ ην πειίθν a

είλαη άξξεηνο

αξηζκόο).

228) Αλ Κ είλαη ην κέζν ηεο πιεπξάο ΒΓ

νμπγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη ΒΓ ην ύςνο ηνπ ,

λα απνδείμεηε όηη 2 2 .


229) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη πεξηθέξεηα

(θύθινο) πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο ηνπ ΑΒ , ΒΓ θαη ΓΑ ζηα ζεκεία Γ θαη Γ΄ , Δ θαη Δ΄ , Ε θαη Ε΄

αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη :

1

.

(θεώρημα Carnot) .

230) ε ηξίγσλν ΑΒΓ ζεσξνύκε ηνλ

εγγεγξακκέλν θύθιν , θαη ηνλ

πεξηγεγξακκέλν θύθιν , R . Λα απνδείμεηε

όηη 2 ( 2 )R R . (θεώρημα Euler)

231) Αλ Γ είλαη ηπραίν ζεκείν ηεο πιεπξάο ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα απνδεηρζεί όηη :

α. 2 2 2 .

(θεώρημα Stewart ) β. Λα δηαηππώζεηε ην ζεώξεκα Stewart όηαλ ην ΑΒΓ

είλαη ηζνζθειέο ( ) . (Γεληθέο Αζθήζεηο 4 ειίδα 204)


- 17 -

232) ε θύθιν , R ζεσξνύκε δπν ρνξδέο ΑΒ

θαη ΑΓ κε κήθε a θαη αληίζηνηρα . Λα

ππνινγίζεηε ην κήθνο ηεο ρνξδήο ΒΓ ζπλαξηήζεη ησλ a , θαη R .

(πρόβλημα ηων ηριών χορδών)

233) Αλ Θ είλαη ην βαξύθεληξν ελόο ηξηγώλνπ

ΑΒΓ θαη Κ έλα νπνηνδήπνηε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ

, λα απνδεηρζεί όηη

2 2 2 2 2 2 213 ( )

3a .

(θεώρημα Leibnitz)

234) Λα απνδείμεηε όηη ε δύλακε ηνπ

βαξύθεληξνπ G ηξηγώλνπ ΑΒΓ σο πξνο ηνλ

πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ , R δίλεηαη από

ηνλ ηύπν 2 2 2

( , )

1( )

9

G

R a .

235) Αλ ΑΒΓΓ ηεηξάπιεπξν θαη Δ , Ε , Ζ , Θ είλαη

ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ , ΓΑ

αληίζηνηρα , λα απνδεηρζεί όηη 2 2 2 22( ) .

236) ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη Θ ην βαξύθεληξν θαη ε

γσλία 060

. Λα απνδεηρζεί όηη 2 2 24 5a .

237) Θεσξνύκε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ θαη

έζησ Γ ε πξνβνιή ηνπ Α ζηελ ππνηείλνπζα ΒΓ .

Αλ R , 1R θαη

2R είλαη νη αθηίλεο ησλ

πεξηγεγξακκέλσλ θύθισλ ησλ ηξηγώλσλ ΑΒΓ , ΑΒΓ θαη ΑΓΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη :

α. 1 2R R R ,

β. ππάξρεη ηξίγσλν κε πιεπξέο R , 1R θαη

2R θαη είλαη

νξζνγώλην .

238) ε νμπγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ θέξνπκε ηελ

δηάκεζν ΑΚ . Αλ Γ είλαη ε πξνβνιή ηνπ Κ πάλσ ζηελ ΑΒ λα απνδείμεηε όηη

2 2 23 4 .


239) Γίλεηαη θύθινο , R κηα αθηίλα ΟΑ θαη

ρνξδή ΒΓ παξάιιειε πξνο ηελ ΟΑ . Λα

απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα 2 2 είλαη

ζηαζεξό.


240) Γίλεηαη θύθινο , R κηα δηάκεηξόο ηνπ

ΑΒ θαη Γ , Γ ηα κέζα ησλ ΟΑ , ΟΒ αληίζηνηρα . Αλ κηα ρνξδή ΔΖ πνπ δηέξρεηαη από ην Γ είλαη

13

2R , λα απνδείμεηε όηη 090

.


241) Γίλεηαη θύθινο , R , ζεκείν Α ηέηνην

ώζηε 2R . Φέξλνπκε ηελ ηέκλνπζα ΑΒΓ

ηνπ θύθινπ ώζηε .

α. Λα απνδείμεηε όηη 6R .

β. Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΓ . γ. Λα ππνινγίζεηε ηελ πξνβνιή ηεο ΟΓ πάλσ ζηελ

ΟΑ.

242) Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ ζην νπνίν ηζρύεη 2 2 22a . Φέξνπκε ηα ύςε ΒΓ , ΓΔ θαη ηε

δηάκεζν ΑΚ θαη έζησ Ε ην κέζν ηεο . Λα

απνδείμεηε όηη:

α. 090

β. 2

2

a

θαη

3

2

a

γ. 4

a

θαη

4

a

δ. 3

2

a

ε. Σα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά . ζη. Αλ Θ είλαη ην βαξύθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ηόηε

νη πεξηγεγξακκέλνη θύθινη ησλ ηξηγώλσλ ΘΑΒ θαη ΘΑΓ εθάπηνληαη ηεο ΒΓ .

243) Έζησ νμπγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 3a

θαη ΑΓ , ΓΕ ηα ύςε ηνπ . Αλ Ζ είλαη ην

νξζόθεληξό ηνπ κε 6 , λα απνδείμεηε

όηη :

α. 6

β. 2 2 26

γ. 3a

- 18 -

2015-2016

εμβαδά

Ασκήσεις



εμβαδά κεφάλαιο 10

- 19 -

§1. εμβαδόν

βαςικών ςχημάτων

1) Αλ Κ ηπραίν ζεκείν ηεο πιεπξάο 10

ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ , ηόηε λα απνδείμεηε όηη

50 .


2) Λα βξεζεί ην ύςνο a ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ πνπ

αληηζηνηρεί ζηελ πιεπξά 10a θαη έρεη εκβαδόλ

20 .

3) Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ νξζνγσλίνπ

ηξηγώλνπ ( 090

) , όηαλ θαη

10 .

4) Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ

σο ζπλάξηεζε ηνπ ζε θαζεκία από ηηο

παξαθάησ πεξηπηώζεηο : α. θαη

β. 090

, θαη 4 3a

5) ην εζσηεξηθό ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ πιεπξάο 4a

θαηαζθεπάδνπκε ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΓΕ . Λα

ππνινγηζζεί ην εκβαδόλ ησλ ΑΒΓΓ , ΑΓΕ , ΑΒΕ θαη ΒΕΓ.


6) Έλα παξαιιειόγξακκν έρεη πεξίκεηξν 48 θαη ην έλα ύςνο ηνπ είλαη ηξηπιάζην ηνπ αιινύ . Λα

ππνινγίζεηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ .

7) Έλα παξαιιειόγξακκν έρεη πεξίκεηξν a θαη ην

έλα ύςνο ηνπ είλαη δηπιάζην ηνπ άιινπ . Λα

ππνινγίζεηε ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ .

8) Λα δείμεηε όηη έλα ηξίγσλν ΑΒΓ , ηνπ νπνίνπ ην

εκβαδόλ ηζνύηαη κε 1

2aa , όπνπ a ε δηάκεζνο

από ηελ θνξπθή Α , είλαη ηζνζθειέο ή

ηζόπιεπξν.

9) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 6 , 8 θαη

060

. Λα βξεζνύλ:

α. ην ύςνο

β. ην εκβαδόλ

γ. ην ύςνο a


10) Λα δείμεηε όηη έλα ηξίγσλν ΑΒΓ , ηνπ νπνίνπ

ην εκβαδόλ ηζνύηαη κε 1

2aa , όπνπ

a ε


, είλαη ηζνζθειέο ή

ηζόπιεπξν .

11) Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζηηο

εμήο πεξηπηώζεηο :

α. a , 2a θαη 0150

β. 090

, θαη a

γ. θαη a

δ. 090

, θαη 2

3a

12) Έλα νξζνγώλην έρεη πεξίκεηξν 14 θαη δηαγώλην

5 . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ . (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 4 ειίδα 217)

13) Λα δείμεηε όηη αλ έλα ηεηξάγσλν πιεπξάο α θαη

έλα ηζόπιεπξν ηξίγσλν πιεπξάο έρνπλ ηελ

ίδηα πεξίκεηξν , ηόηε ην εκβαδόλ ηνπ

ηεηξαγώλνπ ηζνύηαη κε 2 9

16 .

14) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 10

θαη αληίζηνηρν πξνο απηήλ ύςνο 5 . Πάλσ

ζηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε αληίζηνηρα , ώζηε .

α. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ΑΒΓΓ .

β. Αθνύ πξώηα ζπγθξίλεηε ηα εκβαδά ησλ ηξαπεδίσλ ΑΔΕΒ θαη ΔΕΓΓ λα βξείηε ην εκβαδόλ θαζελόο από

απηά. (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 5 ειίδα 217)

15) Γίλεηαη θπξηό ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 3 5

, 6 , 8 , 10 θαη 9 .

α. Λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ είλαη

νξζνγώλην ηξαπέδην . β. Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ .

Οκνίσο γηα ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε 4 , 3 ,

2 10 , 7 θαη 5 .


- 20 -

16) Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ

( / / ) ζηηο εμήο πεξηπηώζεηο :

α. 090

, 060

θαη 10

β. 4 , 10 θαη 5

17) Αλ είλαη ζεκείν κηαο πιεπξάο

παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ , λα απνδείμεηε όηη

.


18) Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ξόκβνπ ΑΒΓΓ ζηηο

εμήο πεξηπηώζεηο : α. 10 θαη 16

β. 5 θαη 8

ε θάζε πεξίπησζε λα ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ απέλαληη πιεπξώλ ηνπ ξόκβνπ .

19) Γίλεηαη έλα παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . Λα

απνδεηρζεί όηη , γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ηεο

πιεπξάο ΑΒ , ην ηξίγσλν ΚΓΓ έρεη ζηαζεξό εκβαδόλ.

20) Αλ νη δηάκεζνη ΑΓ θαη ΒΔ ηξηγώλνπ ΑΒΓ

ηέκλνληαη ζην Θ λα απνδείμεηε όηη :

α.

β.

γ.


21) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) . Αλ Κ θαη Λ

είλαη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΑΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη

1

4 .

22) Αλ ε πιεπξά ελόο ηεηξαγώλνπ απμεζεί θαηά

4 m , ην εκβαδόλ ηνπ απμάλεηαη θαηά 136 m2 . Λα βξεζεί ε πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ απηνύ .

23) Σν εκβαδόλ ελόο ηεηξαγώλνπ είλαη 256 cm2 .

Αλ ειαηηώζνπκε ηελ πιεπξά ηνπ θαηά 10 cm ,

θαηά πόζα cm2 ειαηηώλεηαη ην εκβαδόλ ηνπ .

24) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) . Αλ Κ ην

κέζν ηεο πιεπξάο ηνπ ΑΒ , λα απνδείμεηε όηη

2 .


25) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ , Δ , Ε ηα κέζα

ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη

α.

β. 1

4

26) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ην βαξύθεληξό ηνπ Θ.

Από ζεκείν ηεο δηακέζνπ ΑΓ θέξνπκε ηηο θάζεηεο Δ , Ε ζηηο ΑΓ , ΑΒ αληίζηνηρα. Λα

απνδείμεηε όηη:

α.

β.

γ. 1

3


27) Λα δείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηπρόληνο ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ ηζνύηαη κε ην γηλόκελν ηεο

κηαο δηαγσλίνπ ηνπ ΑΓ επί ην εκηάζξνηζκα ησλ

απνζηάζεσλ ΓΔ , ΕΒ ησλ δπν άιισλ θνξπθώλ από ηελ δηαγώλην απηή .

28) Λα απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ελόο ηξαπεδίνπ

είλαη ίζν κε ην γηλόκελν ηεο κηαο από ηηο κε παξάιιειεο πιεπξέο ηνπ επί ηελ απόζηαζε ηνπ

κέζνπ ηεο άιιεο από απηή . (Απνδεηθηηθέο Αζθήζεηο 5 ειίδα 217)

29) Από έλα ζεκείν Δ ηεο δηαγσλίνπ ΒΓ

παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θέξλνπκε παξάιιειεο

πξνο ηηο πιεπξέο ηνπ . Λα δείμεηε όηη ηα παξαιιειόγξακκα πνπ βξίζθνληαη εθαηέξσζελ

ηεο ΒΓ είλαη ηζνδύλακα . (Γνώμοναρ τος Αναξίμανδπος)


0120

. Κε πιεπξέο ηηο ΑΒ θαη ΑΓ

θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηα

ηεηξάγσλα ΑΒΓΔ θαη ΑΓΕΘ αληίζηνηρα . Σόηε : α. λα ππνινγίζεηε ην ηκήκα ΔΘ ,

β. λα απνδείμεηε όηη ηα Γ , Δ , Θ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη γ. λα απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηεο πνιπγσληθήο

επηθάλεηαο ΒΓΕΘΔΓ είλαη 5 3 .


31) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη από ην κέζν Θ ηεο δηαγσλίνπ ΒΓ θέξλνπκε ηπραία

επζεία ΔΕ πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΓΓ ζηα Δ θαη Ε

αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη .


- 21 -

32) Από ηηο θνξπθέο ελόο ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ

θέξλνπκε παξάιιειεο πξνο ηηο δηαγώληνύο ηνπ . Λα δείμεηε όηη ην πεξηγεγξακκέλν ζην

ηεηξάπιεπξν παξαιιειόγξακκν ΖΕΔΘ έρεη εκβαδόλ δηπιάζην από ην εκβαδόλ ηνπ

ηεηξαπιεύξνπ .

33) Αλ είλαη ε γσλία ησλ δηαγσλίσλ ΑΓ θαη ΒΓ

θπξηνύ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ , λα απνδείμεηε όηη

1

2 .


34) Λα δείμεηε όηη ζε ξόκβν , ηνπ νπνίνπ ην εκβαδόλ είλαη ίζν κε ην εκηγηλόκελν κηαο

δηαγσλίνπ επί ηελ πιεπξά ηνπ , κηα γσλία ηνπ

είλαη 600 .

35) Σξαπεδίνπ ΑΒΓΓ νη κε παξάιιειεο πιεπξέο ΑΓ

θαη ΒΓ ηέκλνληαη ζην Θ . Λα δείμεηε όηη ηα

ηξίγσλα ΘΑΓ θαη ΘΒΓ είλαη ηζνδύλακα .

36) ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξλνπκε ηηο δηακέζνπο ΑΚ ,

ΒΛ θαη ΓΡ πνπ ηέκλνληαη ζην Θ . Λα δεηρζεί όηη

ηα έμη ηξίγσλα πνπ ζρεκαηίδνληαη είλαη ηζνδύλακα .

37) Θεσξνύκε θπξηό ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ . ηηο

πξνεθηάζεηο ησλ εκηεπζεηώλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ

παίξλνπκε αληίζηνηρα ηα ζεκεία Ε , Ζ , Θ θαη Η , ώζηε , , θαη

. Λα απνδείμεηε όηη :

α.

β. 2

γ. 5


38) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , Κ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη

πάλσ ζηε ΒΓ θη απ’ ηα δπν κέξε ηνπ Κ ηα ζεκεία Γ θαη Δ , ηέηνηα ώζηε .

Φέξλνπκε ηελ / / πνπ ηέκλεη ηελ ΑΓ ζην

Ε. Ζ ΒΕ ηέκλεη ηελ ΑΔ ζην Ο . Λα απνδεηρζεί όηη

.

39) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ην ύςνο απηνύ ΑΓ .

Φέξλνπκε από ην Γ παξάιιειεο ησλ ΑΒ θαη ΑΓ πνπ ηέκλνπλ ηηο ΑΓ θαη ΑΒ ζηα ζεκεία Ε θαη Δ

αληίζηνηρα . Αλ Θ θαη Ι είλαη ηα κέζα ησλ ΒΓ θαη

ΓΓ , λα δείμεηε όηη 2 .

40) ε ηξίγσλν ΑΒΓ παίξλνπκε ην κέζν Κ ηεο

δηακέζνπ ΑΓ , ην κέζν Λ ηνπ ΓΚ θαη ην κέζν Ρ

ηνπ ΒΛ . Λα απνδείμεηε όηη 1

8 .


41) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) . Από ην

κέζν Δ ηεο πιεπξάο ΒΓ θέξνπκε ηελ παξάιιειε πξνο ηελ ΑΓ , ε νπνία ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΓΓ ζηα

ζεκεία Ε θαη Ζ αληίζηνηρα . Δπίζεο , ε ΓΔ ηέκλεη

ηελ πξνέθηαζε ηεο ΑΒ ζην ζεκείν Θ . Λα απνδείμεηε όηη ην ηξαπέδην ΑΒΓΓ , ην

παξαιιειόγξακκν ΑΕΖΓ θαη ην ηξίγσλν ΑΘΓ είλαη ηζνδύλακα.

42) Από ζηαζεξό ζεκείν Ο ηεο δηρνηόκνπ

νξζήο γσλίαο xAy

θέξλνπκε ηπραία επζεία πνπ

ηέκλεη ηελ x ζην Β θαη ηελ y ζην Γ . Λα

δεηρζεί όηη ην άζξνηζκα 1 1

είλαη ζηαζεξό.

43) Ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ έρεη βάζεηο a θαη 3a

θαη ύςνο 2a θαη Θ , Ι είλαη ηα κέζα ησλ

δηαγσλίσλ ηνπ . α. Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΘΙ .

β. Λα δείμεηε όηη .

44) Ζ πεξίκεηξνο ελόο ξόκβνπ είλαη 48 θαη ε

απόζηαζε ησλ δπν απέλαληη πιεπξώλ ηνπ είλαη 5 . Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ξόκβνπ .

45) Έλα ηξαπέδην ΑΒΓΓ έρεη βάζεηο a θαη

3

2a , ελώ ην ύςνο ηνπ είλαη

5

6a . Λα

ππνινγίζεηε σο ζπλάξηεζε ηνπ a ηα εκβαδά

ησλ ηξηγώλσλ ζηα νπνία ρσξίδεηαη ην ηξαπέδην

από ηηο δηαγσλίνπο ηνπ .

46) ηηο πιεπξέο ΒΓ θαη ΓΓ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ

πιεπξάο α παίξλνπκε ηα ζεκεία Ε θαη Ζ

αληίζηνηρα , ώζηε 4

a .

α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ηκήκαηα ΑΕ θαη ΒΖ ηέκλνληαη θάζεηα ζε ζεκείν Θ .

β. Λα ππνινγηζζνύλ ηα κήθε ησλ ηκεκάησλ : ΑΘ , ΑΖ

θαη ΘΖ . γ. Λα ππνινγηζζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ

ΑΘΖΓ. (ύλζεηα Θέκαηα 3 ειίδα 218)


- 22 -

47) ’ έλα παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ ζπλδένπκε ηελ

θνξπθή Α κε ηα κέζα Θ , Ι ησλ πιεπξώλ ΓΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη

1

2 .

48) Γίλεηαη έλα παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ

Ο ζεκείν ηεο δηαγσλίνπ ηνπ ΑΓ . Λα δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΟΒ θαη ΑΟΓ είλαη ηζνδύλακα .

49) Έζησ ηξαπέδην ΑΒΓΓ , π ην ύςνο από ην Α θαη

ΖΘ ε δηάκεζόο ηνπ . Φέξλνπκε επζύγξακκν ηκήκα πνπ δηέξρεηαη από ην κέζν Κ ηεο ΖΘ θαη

ηέκλεη ηηο ΑΒ , ΓΓ ζηα ζεκεία Ε , Δ αληίζηνηρα .

Λα δείμεηε όηη :

α.

β.

50) Σξαπέδην ΑΒΓΓ νη βάζεηο είλαη a ,

( a ) θαη ην ύςνο ηνπ . Φέξλνπκε

ηελ δηάκεζν ΔΕ πνπ ηέκλεη ηηο δηαγώληεο ΑΓ θαη ΒΓ ζηα Θ θαη Ζ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη :

α. ( )

4

a

β.

51) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε βάζεηο ΑΒ θαη ΓΓ θαη ύςνο ΓΕ . Λα δείμεηε όηη ην εκβαδόλ

ηνπ ηξαπεδίνπ απηνύ είλαη δηπιάζην ηνπ εκβαδνύ

ηνπ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΓΕ .

52) Λα ππνινγηζηνύλ νη πιεπξέο ελόο ηζνζθεινύο

ηξαπεδίνπ , αλ γλσξίδνπκε όηη ε πεξίκεηξόο ηνπ

είλαη 60 m , ην εκβαδόλ ηνπ 160 m2 θαη ην ύςνο ηνπ 8 m .

53) Λα δείμεηε όηη ζε θάζε ηζόπιεπξν ηξίγσλν

ηζρύεη 2 2 2 3 3 .

54) Λα δεηρζεί όηη δπν ηξίγσλα πνπ έρνπλ θνηλή

θνξπθή έλα ηπραίν ζεκείν ηεο πεξηκέηξνπ ελόο παξαιιεινγξάκκνπ θαη βάζεηο ηηο δηαγώληέο ηνπ

, έρνπλ ζηαζεξό άζξνηζκα εκβαδώλ .

55) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη ζεκείν Ο ζην εζσηεξηθό ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . Λα


α.

β.


56) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ κε δηαζηάζεηο a

θαη . Φέξλνπκε ηελ ΟΚ , όπνπ Ο ην

ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ θαη Κ ην κέζν ηεο πιεπξάο ΓΓ .

α. Λα ππνινγηζηνύλ νη πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ ΚΟΒ ζπλαξηήζεη ησλ a , .

β. Γείμηε όηη ηα ηξίγσλα ΚΟΒ θαη ΚΟΓ είλαη ηζνδύλακα.

γ. Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ΚΟΒ ζπλαξηήζεη

ησλ a , .

57) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ύςνο , γσλία

060

θαη γσλία 045

. Λα ππνινγίζεηε

ζπλαξηήζεη ηνπ :

α. Σηο πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ . β. Σν εκβαδόλ ηνπ .

γ. Σα ύςε πξνο ηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ .

58) Αλ ην άζξνηζκα ησλ δηαγσλίσλ ελόο ξόκβνπ

είλαη 14 dm θαη ε πεξίκεηξόο ηνπ είλαη 20 dm , λα βξεζνύλ :

α. ην εκβαδόλ ηνπ θαη β. ην ύςνο ηνπ ξόκβνπ από ηελ θνξπθή Α .

59) ε έλα παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ παίξλνπκε δπν

ηπραία ζεκεία Δ θαη Θ επί ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . Οη επζείεο ΓΔ θαη ΑΘ ηέκλνληαη

ζην Ε θαη νη επζείεο ΓΔ θαη ΒΘ ηέκλνληαη ζην Ζ .

Λα δείμεηε όηη :

α.

β.

60) ην παξαθάησ ζρήκα ην ΑΒΓΓ είλαη ηεηξάγσλν

θαη .

α. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ΑΒΓΓ ζπλαξηήζεη ησλ a

, .

β. Ση ζρήκα είλαη ην ΔΕΖΘ ;

γ. Λα βξείηε ηα εκβαδά ησλ ηξηγώλσλ ΑΕΔ , ΔΓΘ , ΖΒΕ

θαη ηνπ ζρήκαηνο ΔΕΖΘ ζπλαξηήζεη ησλ a , .

δ. Χξεζηκνπνηώληαο ηηο απαληήζεηο ησλ εξσηεκάησλ (α) , (γ) , πνην βαζηθό πνιύ γλσζηό γεσκεηξηθό

ζεώξεκα κπνξείηε λα απνδείμεηε ;


- 23 -

61) Έλα παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ έρεη κηα γσλία

ηνπ 5– πιάζηα κηαο άιιεο θαη ηελ πεξίκεηξό ηνπ 12– πιάζηα κηαο πιεπξάο . Αλ ην εκβαδόλ ηνπ είλαη 40

cm2 , ππνινγηζζνύλ νη πιεπξέο ηνπ θαη ηα ύςε ηνπ .

62) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε πιεπξέο a , , θαη

θύθινο , πνπ έρεη ην θέληξν ηνπ ζηελ

πιεπξά ΒΓ θαη εθάπηεηαη ζηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ. Λα δείμεηε όηη ( ) 2 .

63) Αλ ΑΒΓΓ θαη ΘΙΚΛ είλαη ξόκβνο πιεπξάο a θαη

ηεηξάγσλν πιεπξάο a αληίζηνηρα , λα



64) Σεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ είλαη πεξηγεγξακκέλν ζε

θύθιν , . Λα δεηρζεί όηη

.

65) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε Γ κέζν ηεο δηακέζνπ

ΑΚ , Δ κέζν ηνπ ΓΓ θαη Ε ην κέζν ηνπ ΒΔ . Λα

απνδείμεηε όηη 1

16 .

66) ην παξαθάησ ζρήκα έρνπκε ην

παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη κηα επζεία πνπ

δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α . Σα Β΄ , Γ΄ θαη Γ΄

είλαη πξνβνιέο ησλ ζεκείσλ Β , Γ θαη Γ ζηελ επζεία αληίζηνηρα . Σν ζεκείν Κ είλαη ηπραίν

πάλσ ζηελ επζεία . Λα απνδείμεηε όηη :

α.

β.

67) ηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ

πιεπξάο α παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε

αληίζηνηρα , ώζηε λα είλαη 2

3a . Λα

απνδείμεηε όηη ε ΑΕ είλαη θάζεηε ζηελ ΓΔ θαη λα ππνινγίζεηε ηα εκβαδά ησλ ηεζζάξσλ ρσξίσλ

ζηα νπνία ρσξίδεηαη ην ηεηξάγσλν.

68) Γπν θύθινη , R θαη , , κε R ,

εθάπηνληαη εμσηεξηθά θαη έζησ ΑΒ ην θνηλό εθαπηόκελν ηκήκα . Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ

ηνπ ΑΒΙΘ σο ζπλάξηεζε ησλ αθηηλώλ R θαη

ησλ δπν θύθισλ .

69) Αλ 1 είλαη ην εκβαδόλ ελόο νξζνγσλίνπ κε

δηαζηάζεηο a θαη θαη 2 είλαη ην εκβαδόλ

ελόο κε νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ κε πιεπξέο a θαη , λα δείμεηε όηη :

1 2 .

70) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε εκβαδόλ

32 . Αλ Θ θαη Ι είλαη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ

ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα , λα βξείηε ηα εκβαδά ησλ ηξηγώλσλ ΑΓΓ , ΑΒΙ , ΒΓΘ θαη ΒΘΙ .

71) ε έλα ηξίγσλν ΑΒΓ κε 4 13 ε δηάκεζνο

ΑΚ είλαη θάζεηε ζηελ ΑΒ θαη ηζρύεη 2

3 .

Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ ΒΓ .

72) Αλ Κ είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ελόο

παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ , λα δείμεηε όηη

.

73) Αλ Κ είλαη εμσηεξηθό ζεκείν ελόο

παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ , λα δείμεηε όηη

.

74) Λα ρσξίζεηε έλα παξαιιειόγξακκν ζε ηξία ηζνδύλακα ρσξία κε επζείεο πνπ δηέξρνληαη από

ηε κηα θνξπθή ηνπ .

75) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ ηνπ νπνίνπ ε κηθξή βάζε , ε κεγάιε βάζε θαη ην ύςνο

είλαη αλάινγα πξνο ηνπο αξηζκνύο 1 , 2 , 3 .

Αλ ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ είλαη 9 3 , λα

βξείηε ηα , , .

76) Κε ππνηείλνπζεο ηηο θάζεηεο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ ελόο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε

2 θαηαζθεπάδνπκε νξζνγώληα θαη

ηζνζθειή ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΑΓΕ εθηόο απηνύ .

α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Α θαη Ε είλαη ζπλεπζεηαθά .

β. Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΒΓΕΓ σο ζπλάξηεζε ηνπ .


- 24 -

77) Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ελόο νξζνγσλίνπ

ηνπ νπνίνπ νη δηαζηάζεηο είλαη αλάινγεο ησλ αξηζκώλ 3 θαη 4 θαη ε πεξίκεηξνο ηνπ είλαη 42 .

78) Οη θύθινη , 2 θαη , , ηνπ δηπιαλνύ

ζρήκαηνο εθάπηνληαη εμσηεξηθά θαη ηα θνηλά εθαπηόκελα ηκήκαηα ΑΒ θαη ΓΓ ηέκλνληαη ζην

ζεκείν Κ . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΘΒΚΓ .

79) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . Από ηελ

θνξπθή Β θέξνπκε κηα επζεία ε πνπ ηέκλεη ηελ πιεπξά ΓΓ ζην ζεκείν Κ θαη ηελ πξνέθηαζε ηεο

πιεπξάο ΑΓ ζην ζεκείν Λ . Λα απνδείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΓΛΚ θαη ΑΓΚ είλαη ηζνδύλακα .

80) Λα απνδείμεηε όηη νη απνζηάζεηο ηνπ κέζνπ

κηαο πιεπξάο ηξηγώλνπ από ηηο άιιεο δπν πιεπξέο ηνπ είλαη αληηζηξόθσο αλάινγεο πξνο

ηηο πιεπξέο απηέο .

81) Λα απνδεηρζεί όηη , αλ ελώζνπκε ην

βαξύθεληξν ελόο ηξηγώλνπ κε ηηο θνξπθέο ηνπ , ηόηε ην ηξίγσλν ρσξίδεηαη ζε ηξία ηζνδύλακα

ηξίγσλα .

82) Γίλεηαη θύθινο , 2 . ηελ πξνέθηαζε ηεο

δηακέηξνπ ΑΒ , πξνο ην Α , παίξλνπκε ηκήκα

. Από ην Κ θέξλνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ Κ . Λα ππνινγηζζνύλ:

α. ε απόζηαζε Θ ηνπ ζεκείνπ από ην ΑΒ , β. ε απόζηαζε ΚΛ ηνπ ζεκείνπ Κ από ην Β ,

γ. ε πξνβνιή Γ ηεο Λ πάλσ ζηελ Κ .

83) ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε γσλία 030

θαη 2 aa

έρνπκε 9 . Λα ππνινγηζηνύλ ηα κήθε

ησλ πιεπξώλ θαη ησλ πςώλ .

84) Λα απνδεηρζεί όηη ην άζξνηζκα ησλ

απνζηάζεσλ θάζε εζσηεξηθνύ ζεκείνπ Κ από ηηο πιεπξέο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ίζν κε

ην ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ .

§2. άλλοι τύποι

για το εμβαδόν

τριγώνου

85) ε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ είλαη 18 ,

20 θαη 34 . Λα βξείηε ην εκβαδόλ

ηνπ.


86) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) κε 25

, 11 , 13 θαη 15 . Λα βξείηε ην

εκβαδόλ ηνπ θαη ην ύςνο ηνπ .



060

. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ .


88) Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζηηο

παξαθάησ πεξηπηώζεηο :

α. a , 045

θαη 030

β. a θαη 045


) κε

6 θαη 8 . Λα βξείηε :

α. ην εκβαδόλ ,

β. ην ύςνο a ,

γ. ηελ αθηίλα ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ.


90) Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη 1 2 , 2 θαη

2

4

. Λα ππνινγηζηεί ε γσλία

θαη ε

πιεπξά a .


- 25 -

91) Οη δηαγώληεο ΑΓ θαη ΒΓ θπξηνύ ηεηξαπιεύξνπ

ΑΒΓΓ είλαη ίζεο θαη είλαη κηα από ηηο γσλίεο

πνπ ζρεκαηίδνπλ απηέο .

α. Λα απνδείμεηε όηη 21

2a , όπνπ

a .

β. Πόηε είλαη κέγηζηε ε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην

εκβαδόλ θαη πόηε ζπκβαίλεη απηό ;

92) Λα απνδείμεηε όηη απ’ όια ηα θπξηά ηεηξάπιεπξα κε ίζεο δηαγώληνπο , κέγηζην

εκβαδόλ έρεη απηό πνπ νη δηαγώληνί ηνπ είλαη

θάζεηεο .

93) Ο θύθινο , x εθάπηεηαη ηεο πιεπξάο ΒΓ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη ησλ πξνεθηάζεσλ ησλ ΑΒ θαη ΑΓ . Λα ππνινγίζεηε ηελ αθηίλα x ζπλαξηήζεη

ησλ πιεπξώλ a , , ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

94) Σα κήθε ησλ πιεπξώλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 10a , 12 θαη 14 . Λα ππνινγίζεηε ην

εκβαδόλ , ηα ύςε θαη ηηο αθηίλεο ηνπ

εγγεγξακκέλνπ θαη ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ

ηνπ ηξηγώλνπ .

95) Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη a λα

απνδείμεηε όηη 090

.


96) Αλ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε πιεπξέο a , , λα απνδείμεηε όηη :

α. 0( ) 90a

.

β. 0( ) 90a

.

γ. 0( ) 90a

.


97) Αλ δπν ηξίγσλα ΑΒΓ θαη Α΄Β΄Γ΄ είλαη

εγγεγξακκέλα ζηνλ ίδην θύθιν λα απνδείμεηε όηη

( )

( )

a

a

.


98) Γηα ηηο πιεπξέο a , θαη ελόο ηξηγώλνπ

ΑΒΓ ηζρύεη ε ζρέζε 2a . Λα απνδείμεηε

όηη 6R a (όπνπ R θαη νη αθηίλεο ηνπ

πεξηγεγξακκέλνπ θαη εγγεγξακκέλνπ θύθινπ

αληίζηνηρα) .

99) Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη γσλία 060

, 12 ,

3a θαη είλαη ηζνδύλακν κε ηζόπιεπξν ηξίγσλν.

Λα ππνινγηζηεί ε πιεπξά ηνπ ηζόπιεπξνπ

ηξηγώλνπ .

100) ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε 090

θέξνπκε ηα

ύςε ΒΕ θαη ΓΖ . Λα απνδείμεηε όηη

2 .


101) ε νξζνγώλην ΑΒΓΓ είλαη 2

4

.

Λα βξεζνύλ νη γσλίεο ησλ πιεπξώλ κε ηηο

δηαγώληνύο ηνπ.

102) Όηαλ νη δηαγώληεο ελόο θπξηνύ

ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ ζρεκαηίδνπλ γσλία 030

, λα δείμεηε όηη ηζρύεη :

α. 1

4

β. 1

4 .

103) ην εζσηεξηθό ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε έλα ζεκείν Θ ηέηνην ώζηε λα είλαη νη

γσλίεο 0120

θαη 2 cm ,

6 cm , 10 cm . Λα ππνινγηζηνύλ ηα

εκβαδά ησλ ηξηγώλσλ ΘΒΓ θαη ΑΒΓ .

104) Λα απνδεηρζεί όηη ζε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ

ηζρύνπλ νη ζρέζεηο :

α. 1 1 1 1


β. 1 1 1 1

γ. 6


- 26 -

105) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ εγγξάςηκν ζε

θύθιν . Αλ ζέζνπκε a , ,

θαη λα απνδείμεηε όηη a

a

.

(Θεώπημα Πτολεμαίος) (ύλζεηα Θέκαηα 3 ειίδα 221)

106) Έζησ (ε αθηίλα ηνπ θύθινπ πνπ

εθάπηεηαη ηεο πιεπξάο ΒΓ θαη ησλ πξνεθηάζεσλ

ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ) , ,

νη αθηίλεο ησλ παπεγγεγπαμμένων

κύκλων ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . Λα απνδείμεηε όηη

( ) ( ) ( )aa .


107) α. Γίλεηαη γσλία xOy

θαη ζηαζεξό ζεκείν Θ

ζην εζσηεξηθό απηήο . Από ην Θ θέξνπκε κεηαβιεηή επζεία πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο x

, y ζηα ζεκεία Κ , Λ αληίζηνηρα . Λα

απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα 1 1

( ) ( )

είλαη ζηαζεξό. β. Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ , ζεκείν Θ ζην εζσηεξηθό

ηνπ θαη ηα ηκήκαηα ΑΑ΄ , ΒΒ΄ , θαη ΓΓ΄ πνπ δηέξρνληαη από ην Θ . Αλ

1 , 2 , … ,

6 είλαη αληίζηνηρα ηα

εκβαδά ησλ ηξηγώλσλ ΑΘΓ΄ , ΒΘΓ΄, ΒΑ΄Θ , ΓΘΑ΄ ,

ΓΘΒ΄ θαη ΑΘΒ΄ , λα απνδείμεηε όηη

1 3 5 2 4 6

1 1 1 1 1 1

.


§3. λόγοσ εμβαδών

ομοίων τριγώνων

108) Λα βξεζεί ν ιόγνο ηνπ εκβαδνύ ηνπ

ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ πξνο ην εκβαδόλ ηνπ

ηεηξαγώλνπ ΑΓΘΙ .

109) Λα βξεζεί ν ιόγνο ηνπ εκβαδνύ ελόο

ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ πιεπξάο a πξνο ην

εκβαδόλ ελόο ηεηξαγώλνπ πιεπξάο 4 3

2a .

110) Γπν ηξίγσλα ΑΒΓ θαη Α΄Β΄Γ΄ έρνπλ a a

θαη 3

2a a . Αλ ην εκβαδόλ ηνπ ΑΒΓ είλαη 30

m2 , λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ Α΄Β΄Γ΄. (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 1 ειίδα 224)

111) Έζησ ΑΒΓ έλα ηζόπιεπξν ηξίγσλν πιεπξάο

a θαη ΘΙΚ ηξίγσλν κε γσλία 0120

. Λα

απνδείμεηε όηη 2( )

( )

a

.

112) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε εκβαδόλ

20 m2 . Αλ Κ ζεκείν ζηελ πξνέθηαζε ηεο ΑΒ

ηέηνην ώζηε 2 , λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΒΚΓ.


113) Από ηελ θνξπθή Β ηξηγώλνπ ΑΒΓ θέξλνπκε κηα νπνηαδήπνηε επζεία πνπ λα ζπλαληά ηελ

πξνέθηαζε ηεο ΓΑ , πξνο ην κέξνο ηνπ Α ζε έλα

ζεκείν Β΄ , θαζώο θαη ηελ / / πνπ

ζπλαληά ηελ πξνέθηαζε ηεο ΒΑ ζην Γ΄ . Λα

απνδεηρζεί όηη ηα ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΑΒ΄Γ΄ είλαη ηζνδύλακα.

114) Πξνεθηείλνπκε ηηο πιεπξέο ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ αληηζηνίρσο θαηά ηκήκαηα , θαη . Λα δείμεηε

όηη :

α. 2

β. 7

115) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ θαη Ε

ησλ πξνεθηάζεσλ ησλ ΒΑ θαη ΓΑ αληίζηνηρα , πξνο ην Α , ώζηε θαη . Αλ ην

εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 30 m2 , λα

βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ΑΓΕ . (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 3 ειίδα 224)

116) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , ηα ζεκεία Γ θαη Ε

ζηελ ΑΒ ηέηνηα ώζηε 1

3 , ηα ζεκεία

Δ θαη Η ζηελ ΑΓ ηέηνηα ώζηε 1

4 , θαη

Ζ θαη Θ ζηελ ΒΓ ηέηνηα ώζηε 1

6a .

Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ εμαγώλνπ ΕΓΔΗΘΖ

ζπλαξηήζεη ηνπ εκβαδνύ ηνπ ΑΒΓ .


- 27 -

117) ε έλα νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) ,

ζεσξνύκε ην κέζν Κ ηεο πιεπξάο ΑΒ θαη ζεκείν

Λ ηεο πιεπξάο ΑΓ , ηέηνην ώζηε 1

3 . Λα

δεηρζεί όηη 1

3 .

118) Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη εκβαδόλ 75 m2 . Έζησ Γ ζεκείν ηεο πιεπξάο ΒΓ θαη Κ ζεκείν ηνπ

ΑΓ ηέηνην , ώζηε 3

2

. Από ην Κ θέξνπκε

παξάιιειν πξνο ηελ πιεπξά ΒΓ , πνπ ηέκλεη ηηο

ΑΒ θαη ΑΓ ζηα Δ θαη Ε αληίζηνηρα . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ ΒΔΕΓ .


119) Γπν ηξίγσλα ΑΒΓ θαη Α΄Β΄Γ΄ έρνπλ

θαη 0180

. Λα απνδείμεηε όηη a a .


120) ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξλνπκε παξάιιειε ζηελ

πιεπξά ΒΓ πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ ζηα ζεκεία Γ θαη Δ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη

2

.


κε 6 θαη γσλία 0120

.

α. Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

β. Αλ Δ ζεκείν ηεο ΑΓ , ηέηνην ώζηε 1

2 θαη ΑΓ

ην ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ

ηξηγώλνπ ΓΔΓ .

122) Γίλεηαη ΑΒΓ θαη εζσηεξηθό ηνπ ζεκείν Ρ . Αλ

νη ΑΡ , ΒΡ θαη ΓΡ ηέκλνπλ ηηο ΒΓ , ΑΓ θαη ΑΒ ζηα

Γ , Δ , Ε αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη :

α.

β. 1

γ. 2


123) ην παξαθάησ ζρήκα , ΑΚ είλαη δηάκεζνο ,

Θ ην κέζν ηεο θαη ΘΙ παξάιιειε ζηε ΒΓ . Λα ππνινγηζζεί ην εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ

ρσξίνπ ζπλαξηήζεη ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

124) Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη , θαη

γσλία 030

. Δπί ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ θαη

έμσ από ην ηξίγσλν θαηαζθεπάδνπκε ηα

ηεηξάγσλα ΑΒΓΔ , ΑΓΕΘ θαη θέξλνπκε ηελ ΔΘ .

α. Λα δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΑΔΘ θαη ΑΒΓ είλαη ηζνδύλακα .

β. Λα ππνινγηζζεί ην εκβαδόλ ηνπ ΒΓΕΘΔΓ .

125) Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) .

Θαηαζθεπάδσ επί ησλ ηξηώλ πιεπξώλ θαη εθηόο

ηνπ ηξηγώλνπ ηεηξάγσλα ΒΓΓΔ , ΓΑΘΗ , ΑΒΘΙ . Αλ γλσξίδνπκε ηηο πιεπξέο ηνπ νξζνγσλίνπ

ηξηγώλνπ , , a , λα

ππνινγηζζνύλ :

α. Σα εκβαδά , , θαη

β. Σν εκβαδόλ ηνπ εμαγώλνπ ΓΔΘΙΘΗ .


) αλ ΑΓ

είλαη ην ύςνο ηνπ , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 2a

β. 2 2a

γ. 2 2

127) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 0, 90

θαη ην

ύςνο ηνπ ΑΓ . ην εκηεπίπεδν ( , ) θέξνπκε

x θαη y . Πάλσ ζηηο x , y

παίξλνπκε αληίζηνηρα ηα ζεκεία Δ θαη Ε , ώζηε λα είλαη 2 . Αλ Κ , Λ είλαη ηα κέζα

ησλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη

( ) ( ) ( ) .



- 28 -

128) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2 , ΑΓ κηα

δηρνηόκνο ηνπ θαη ΒΚ κηα δηάκεζόο ηνπ . Λα

δείμεηε όηη :

α.

1

2

.

β.

1

3

.

129) Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη 17a , 8 ,

15 .

α. Λα δείμεηε όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην .

β. Αλ ΑΓ είλαη ην ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , λα

ππνινγίζεηε ην ιόγν

.

130) Γίλεηαη θύθινο θέληξνπ Ο θαη δπν θάζεηεο

ρνξδέο ΑΒ θαη ΓΓ . Λα απνδείμεηε όηη

.


131) Έλα ηξίγσλν έρεη εκβαδόλ 90 cm2 . Από έλα

ζεκείν Κ ηνπ ύςνπο ΑΓ , πνπ ην δηαηξεί ζε δπν ηκήκαηα ΑΚ , ΚΓ κε ιόγν 2 , θέξλνπκε

παξάιιειε πξνο ηε ΒΓ πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΑΓ ζηα ζεκεία Δ θαη Ε αληίζηνηρα. Λα ππνινγίζεηε

ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΔΕ .

132) Δλόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ πξνεθηείλνπκε ηηο πιεπξέο ηνπ θαη ζηηο

πξνεθηάζεηο παίξλνπκε ηκήκαηα , , , .

α. Λα δείμεηε όηη ην Α΄Β΄Γ΄Γ΄ είλαη

παξαιιειόγξακκν. β. Λα εθθξαζηεί ην εκβαδόλ ηνπ Α΄Β΄Γ΄Γ΄ ,

ζπλαξηήζεη ηνπ εκβαδνύ Δ ηνπ ΑΒΓΓ .

133) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ , πνπ έρεη βάζεηο 70 , 20 θαη κε παξάιιειεο πιεπξέο

40 θαη 30 .

α. Λα απνδεηρζεί όηη νη ΒΓ θαη ΑΓ είλαη θάζεηεο .

β. Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ .

134) Γπν ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ είλαη ηζνδύλακα

θαη έρνπλ 052

θαη 36 , 25

θαη . Λα ππνινγηζηεί ε ΓΔ .

135) Γπν ηξίγσλα ΑΒΓ θαη ΓΔΕ είλαη όκνηα . Αλ νη

αλάινγεο πιεπξέο είλαη νη ΑΒ θαη ΓΔ κε 3 θαη 27 cm2 . Λα βξείηε ην

εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΓΔΕ .

136) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Δπζεία παξάιιειε

πξνο ηελ ΒΓ , ηέκλεη ηελ ΑΒ ζην Γ θαη ηελ ΑΓ ζην Δ . Λα απνδείμεηε όηη

2

.


137) Πξνεθηείλνπκε ηηο πιεπξέο ΒΓ , ΓΑ θαη ΑΒ

ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαηά a , 1

2 ,

1

3 . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ΓΔΕ σο

ζπλάξηεζε ησλ a , θαη .

138) Αλ Κ είλαη ην έγθεληξν ελόο νξζνγσλίνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ κε ππνηείλνπζα ΒΓ , λα δεηρζεί όηη .

139) Πάλσ ζηηο πιεπξέο θπξηνύ ηεηξαπιεύξνπ

ΑΒΓΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά απηνύ ηα ηεηξάγσλα ΑΒΔΕ , ΒΓΖΘ , ΓΓΗΘ θαη ΑΓΙΚ . Λα



140) Αλ Δ είλαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ

ηόηε 090

.

141) Αλ Κ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ

ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ κε βάζεηο ΑΒ θαη ΓΓ , λα

απνδεηρζεί όηη .

142) Θεσξνύκε ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη έζησ Ο

ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ 1 ,

2

, 3 θαη

4 είλαη ηα εκβαδά ησλ ηξηγώλσλ ΑΟΒ ,

ΒΟΓ , ΓΟΓ θαη ΓΟΑ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε

όηη 1 3 2 4 . Αλ ππνζέζνπκε όηη ε ΑΓ

είλαη παξάιιειε πξνο ηελ ΒΓ , ηόηε λα απνδείμεηε όηη

α. 1 3

β. 2

1 2 4

γ. 1

1

4 , όπνπ


143) Θεσξνύκε ηα ζεκεία Γ θαη Δ ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη

1

3 θαη

1

4 . Λα απνδεηρζεί όηη

1

12 .


- 29 -

144) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . ηηο πιεπξέο ηνπ ΑΒ ,

ΒΓ , ΓΑ παίξλνπκε αληίζηνηρα ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε ηέηνηα ώζηε :

α. 1

2 ,

1

3 ,

1

4

β. 2

3 ,

1

4 ,

1

2

γ. , , , 0 1 .

Αλ γλσξίδνπκε όηη , λα ππνινγίζεηε γηα

θάζε πεξίπησζε ηα εκβαδά ησλ ηξηγώλσλ ΓΒΔ , ΔΕΓ , ΑΓΕ , ΓΔΕ .

Γηα ηελ πεξίπησζε ( γ ) επηπιένλ , λα βξεζεί ν αξηζκόο , ώζηε ην ηξίγσλν ΓΔΕ λα έρεη ην ειάρηζην δπλαηό

εκβαδόλ .

145) ηηο πιεπξέο ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ζεκεία Κ , Ι , Θ αληίζηνηρα , ώζηε

1

4 ,

1

3 ,

1

2 .

Φέξλνπκε εθαπηνκέλε επζεία ζηνλ

πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζην

ζεκείν Α . Αλ θαη 7 , ηόηε :

α. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

β. Λα δείμεηε όηη 2

4R

, όπνπ R ε αθηίλα

ηνπ θύθινπ ηεο ππόζεζεο . γ. Αλ ΒΒ΄ ύςνο ηνπ ΑΒΓ , λα δείμεηε όηη

2

.

146) α. Αο είλαη ΑΓ , ΒΔ , ΓΕ ηα ύςε νμπγσλίνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Ζ ην νξζόθεληξό ηνπ . Λα

απνδεηρζεί όηη 1

.

β. Αλ ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ακβιπγώλην κε 090

,

λα απνδεηρζεί όηη 1

.

147) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη νη δηάκεζνη ηνπ ΑΓ θαη ΒΔ. Φέξλνπκε ηελ ΓΖ παξάιιειε θαη ίζε κε

ηελ ΒΔ . Λα απνδεηρζεί όηη

3

4

.

148) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Από έλα ζεκείν Ο

εζσηεξηθό ηνπ ΑΒΓ θέξλνπκε θάζεηεο ζηηο πιεπξέο ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ θαη πάλσ ζ’ απηέο

παίξλνπκε ηκήκαηα , ,

αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη ηζρύεη :

α.

β. 3 .

149) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Πξνεθηείλνπκε ηηο

δηακέζνπο ΑΓ , ΒΔ θαη ΓΕ ηνπ ηξηγώλνπ πξνο ην κέξνο ησλ Γ , Δ θαη Ε αληίζηνηρα θαη παίξλνπκε

επζύγξακκα ηκήκαηα , θαη

. Λα απνδείμεηε όηη :

α. ηα ζεκεία Θ , Α θαη Θ είλαη ζπλεπζεηαθά ,

β. ηα ζεκεία Θ , Β θαη Ζ όπσο θαη ηα Ζ , Γ θαη Θ είλαη ζπλεπζεηαθά ,

γ. 4 .

150) Από εζσηεξηθό ζεκείν ηξηγώλνπ ΑΒΓ θέξνπκε παξάιιειεο πξνο ηηο πιεπξέο ηνπ . Αλ

1 , 2 ,

3 είλαη ηα εκβαδά ησλ ηξηώλ

ηξηγώλσλ πνπ ζρεκαηίδνληαη λα απνδείμεηε όηη :

α. θαζέλα από ηα ηξίγσλα εκβαδώλ 1 ,

2 , 3 είλαη

όκνην κε ην ΑΒΓ

β. 1 2 3 , όπνπ


151) Αλ ζην παξαθάησ ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη

/ / , / / θαη / / θαζώο θαη

9 , 1 θαη 16 , λα

ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

152) Θεσξνύκε ηνλ θύθιν , R θαη δπν

θάζεηεο ρνξδέο ηνπ ΑΒ θαη ΓΓ . Λα απνδεηρζεί

όηη .

153) Σα ύςε ΑΓ , ΒΔ θαη ΓΕ νμπγσλίνπ ηξηγώλνπ

ΑΒΓ ηέκλνπλ ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ ηξηγώλνπ ζηα ζεκεία Ζ , Θ θαη Θ αληίζηνηρα . Λα


α. , θαη , όπνπ Ο ην

ζεκείν ηνκήο ησλ πςώλ .

β. 1

.

154) Γίλεηαη θπξηό ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη ηπραίν ζεκείν Ο ζην εζσηεξηθό ηνπ . Φέξλνπκε ΟΑ΄ ,

ΟΒ΄ , ΟΓ΄ θαη ΟΓ΄ θάζεηεο ζηηο ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη

ΑΓ αληίζηνηρα , ηέηνηεο ώζηε ,

, θαη . Λα δεηρζεί

όηη 2 .


- 30 -

155) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ , Δ , Ε ηπραία

ζεκεία ζηηο πιεπξέο ηνπ ΒΓ , ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη

a

.

156) Γίλεηαη ην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη από

ηελ θνξπθή ηνπ Α δηέξρεηαη κηα επζεία ε πνπ ηέκλεη ηηο πξνεθηάζεηο ησλ ΒΓ , ΓΓ ζηα ζεκεία Δ

, Ε αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη

1 1 2

.

157) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη νη δηρνηόκνη ηνπ ΑΓ

, θαη ΒΔ πνπ ηέκλνληαη ζην Η . Λα δεηρζεί όηη

.

158) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ ( a ) . ηελ ΑΒ

παίξλνπκε , ζηελ ΑΓ παίξλνπκε

θαη ζηελ ΒΓ ηκήκα , ζηελ ΒΑ ηκήκα

a , ζηελ ΓΑ ηκήκα a θαη ζηε ΓΒ

ηκήκα . Αλ , 1 ,

2 , 3 ηα εκβαδά

ησλ ηξηγώλσλ ΑΒΓ , ΑΖΘ , ΒΗΓ θαη ΕΓΔ , λα

δεηρζεί όηη 1 2 3

1 1 1 1

.

159) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΓΓ ε δηάκεζόο ηνπ. Αλ Δ ζεκείν ηεο ΓΓ ώζηε 3 θαη ε ΑΔ

ηέκλεη ηελ ΒΓ ζην Ζ , λα δεηρζεί όηη :

α. 1

5

β. 9

40

160) Αλ Κ είλαη ηπραίν εμσηεξηθό ζεκείν ηνπ

πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη νη επζείεο ΚΑ , ΚΒ θαη ΚΓ ηέκλνπλ ηνλ

παξαπάλσ θύθιν ζηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε

αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη

.

161) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη νη δηάκεζνί ηνπ ΑΓ

θαη ΒΔ πνπ ηέκλνληαη ζην Θ . Αλ ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 120 m2 , λα

ππνινγηζζνύλ ηα εκβαδά ησλ ηξηγώλσλ ΘΔΑ θαη ΘΓΔ .

162) ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξνπκε ηηο δηρνηόκνπο ΑΓ

, ΒΔ θαη ΓΕ . Λα απνδείμεηε όηη:

α. 2

( ) ( ) ( )

a

a a

β. 1

4


163) Λα ππνινγηζζνύλ νη γσλίεο ηξηγώλνπ ΑΒΓ

ζην νπνίν ηζρύεη 2 21

4a .


)

θέξνπκε από ην κέζν Γ ηεο ΑΒ ηελ ΓΔ θάζεηε ζηε ΒΓ . Λα εθθξαζζεί ην εκβαδόλ ηνπ

ηξηγώλνπ ΒΓΔ ζπλαξηήζεη ηνπ εκβαδνύ ηνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ , αλ ε γσλία 030

.

165) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε γσλία 030

. Αλ

ν θύθινο δηακέηξνπ ΒΓ ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΑΓ ζηα

Γ θαη Δ αληίζηνηρα , λα δείμεηε όηη :

3

4 .

§4. ςύνθετα

θέματα

166) Θεσξνύκε ηξαπέδην ΑΒΓΓ ( / / ) κε

20 , 10 θαη 12 . Αλ Κ είλαη

ην κέζν ηεο πιεπξάο ΑΒ θαη ΓΔ έλα ύςνο ηνπ ηξαπεδίνπ , λα ππνινγηζζνύλ : ην επζύγξακκν

ηκήκα ΚΔ , ε δηαγώληνο ΑΓ θαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ .

167) ε ηξίγσλν ΑΒΓ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Γ θαη

Δ ηεο πιεπξάο ΒΓ , γηα ηα νπνία γηα ηηο γσλίεο

ηζρύεη

. Λα απνδείμεηε όηη 2

2

.


- 31 -

168) Ηζνζθειέο νμπγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε

5 είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν

25,

8

.

α. Λα βξεζεί ε βάζε ΒΓ ηνπ ηξηγώλνπ .

β. Λα ππνινγηζζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . γ. Πξνεθηείλνπκε ηελ ΑΒ πξνο ην κέξνο ηνπ Β θαηά

ηκήκα . Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΒΓΓ .


θαη 2 .

Κε πιεπξέο , θαηαζθεπάδνπκε έμσ από ην

ηξίγσλν ηα ηεηξάγσλα ΑΓΕΖ θαη ΑΒΓΔ . Αλ ην

εμάγσλν ΓΒΓΕΖΔ έρεη εκβαδόλ 92

5 2 , ηόηε :

α. Λα δείμεηε όηη .

β. Λα ππνινγίζεηε ηα κήθε ησλ ηκεκάησλ , .

γ. Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ησλ ηξηγώλσλ ΓΓΖ θαη ΔΒΕ .

170) Θεσξνύκε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ

( 090

) θαη ηξία πνιύγσλα 1 ,

2 θαη 3

όκνηα κεηαμύ ηνπο , πνπ έρνπλ σο νκόινγεο

πιεπξέο ηηο ΒΓ , ΓΑ θαη ΑΒ αληίζηνηρα . Λα

απνδείμεηε όηη 2 3 1 , όπνπ 1 ,

2 θαη 3 ηα εκβαδά ηνπο.


171) Αλ Κ είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηξηγώλνπ ΑΒΓ

κε , λα απνδείμεηε όηη

ην Κ είλαη ην βαξύθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

172) Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ νξζηθνύ ηξηγώλνπ ελόο νμπγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ

ζπλαξηήζεη ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

173) Θεσξνύκε ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Γ ηεο

πιεπξάο ηνπ ΒΓ , ώζηε 2 4

, 0 .

Λα απνδείμεηε όηη: α. 2 4

β. 1

4

γ. 3

4


174) ε ηξίγσλν ΑΒΓ λα δεηρζεί όηη :

1 1 1 1 1 1( )( ) ( )( )a

a

aa

175) ε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ λα δεηρζεί όηη

4a R .

(Θεώπημα Bobillier)

176) ε ηξίγσλν ΑΒΓ κε εζσηεξηθή δηρνηόκν

a , ν θύθινο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία

Α , Β , Γ εθάπηεηαη ζηε πιεπξά ΑΓ .

α. Λα απνδεηρζεί όηη 2 ( )a θαη a .

β. Αλ ν ιόγνο ησλ εκβαδώλ ησλ ηξηγώλσλ ΑΒΓ θαη

ΑΓΓ είλαη 1

2 , λα ππνινγηζηνύλ νη πιεπξέο ηνπ

ηξηγώλνπ σο ζπλάξηεζε ηνπ κήθνπο ηεο δηρνηόκνπ a

177) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 3 , ΑΓ κηα

δηρνηόκνο ηνπ θαη ΒΔ κηα δηάκεζόο ηνπ . Λα


α. 1

3

β.

γ. 1

8


178) ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξνπκε ηελ δηρνηόκν xy

ηεο γσλίαο

. Πξνβάιινπκε ηελ ΒΓ ζηελ xy

θαηά ην ηκήκα Β΄Γ΄ . Λα απνδεηρζεί όηη :

1

2 , όπνπ ΑΓ ε εζσηεξηθή

δηρνηόκνο .


) λα

δεηρζεί ε ζρέζε 2 1 1

.


) ν

εγγεγξακκέλνο θύθινο , εθάπηεηαη ηεο ΒΓ

ζην Κ . Λα δεηρζεί όηη .

181) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ πιεπξάο a .

Φέξλνπκε ηελ εμσηεξηθή δηρνηόκν x θαη ηελ

ΑΚ θάζεηε ζηε x . Λα δεηρζεί όηη

2 3

8

a θαη λα βξείηε ην ύςνο

ΓΖ ηνπ ηξηγώλνπ ΒΓΚ .

182) ε ηξίγσλν ΑΒΓ λα δεηρζνύλ νη ζρέζεηο :

α. 2 2 4a a R

β. 2 2 2 2 22 2 8a R


- 32 -

183) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ν εγγεγξακκέλνο

θύθινο πνπ εθάπηεηαη ζηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε ησλ πιεπξώλ ΒΓ , ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα . Αλ Θ ,

Ι θαη Ρ είλαη ηα αληηδηακεηξηθά ησλ Γ , Δ θαη Ε

αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη

2 .

184) Έζησ ν θύθινο , R θαη ζεκείν Α ηέηνην

ώζηε 2R . Έζησ επίζεο ε ηέκλνπζα ΑΒΓ

ηνπ θύθινπ , R έηζη ώζηε . Λα

ππνινγηζζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΓ .

185) ε ηξίγσλν ΑΒΓ θαηαζθεπάδνπκε κε βάζεηο ΑΒ θαη ΑΓ εμσηεξηθά ηα παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΔ

θαη ΑΓΕΘ . Οη ΔΓ θαη ΘΕ ηέκλνληαη ζην Ζ .

Φέξλνπκε ηελ ΖΑ πνπ ηέκλεη ηε ΒΓ ζην Κ . Πξνεθηείλνπκε ηελ ΑΚ θαηά ηκήκα

θαη θαηαζθεπάδνπκε ηπραίν παξαιιειόγξακκν

ΒΓΘΙ , ώζηε ε ΘΙ λα πεξλάεη από ην Λ . Λα

δεηρζεί όηη .

(Θεώπημα Πάππος *)

* 1. Σν ζεώξεκα απνδίδεηαη ζπρλά ζην Crairaut , ελώ

αλήθεη ζηνλ Πάππν . 2. Σν ζεώξεκα απηό απνηειεί γελίθεπζε ηνπ

Ππζαγόξεηνπ Θεσξήκαηνο . Αλ δειαδή ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηα παξαιιειόγξακκα ηεηξάγσλα ,

ηόηε ην ηεηξάγσλν ηεο ππνηείλνπζαο ηζνύηαη κε ην

άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ δπν θάζεησλ πιεπξώλ ηνπ .

186) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Ρ ζην

εζσηεξηθό ηνπ . Αλ 1 ,

1 , 1 νη ηνκέο ησλ

ΡΑ , ΡΒ θαη ΡΓ κε ηηο ΒΓ , ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα ,

λα δεηρζεί όηη 1 1 1

1 1 1

1

.

(Θεώπημα Ceva)

187) α. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη εζσηεξηθό ηνπ

ζεκείν Κ . Αλ ε ΑΚ ηέκλεη ηελ ΒΓ ζην Γ , λα απνδείμεηε όηη:

i.

ii.

β. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη εζσηεξηθό ηνπ ζεκείν Κ . Αλ νη επζείεο ΑΚ , ΒΚ θαη ΓΚ ηέκλνπλ ηηο πιεπξέο ΒΓ , ΓΑ

θαη ΑΒ ζηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε αληίζηνηρα λα απνδεηρζεί

όηη

.

(Θεώπημα Van Aubel)


188) Αλ ε επζεία ηέκλεη ηνπο θνξείο ησλ

πιεπξώλ ηξηγώλνπ , ηόηε ην γηλόκελν ηξηώλ ηκεκάησλ πνπ δελ έρνπλ ηα ίδηα άθξα ηζνύηαη κε

ην γηλόκελν ησλ ηξηώλ άιισλ ηκεκάησλ . (Θεώπημα Μενελάος)

189) Σξεηο επζείεο ΑΑ1 , ΒΒ1 , θαη ΓΓ1 ζε ηξίγσλν

ΑΒΓ πεξλνύλ από ην ίδην ζεκείν Ο . Λα δεηρζεί

όηη 1 1 1

1 1 1

1

.

(Θεώπημα Georgonne)

- 33 -

2015-2016

μέτρηση κύκλου

Ασκήσεις



μέτρηση κύκλου κεφάλαιο 11

- 34 -

§1. κανονικά

πολύγωνα

1) Λα βξεζεί ην κέηξν ηεο γσλίαο v , γηα :

α. θαλνληθό πεληάγσλν β. θαλνληθό δεθάγσλν

2) Λα βξείηε ην θαλνληθό v – γσλν , πνπ ε κηα

γσλία ηνπ είλαη ίζε κε :

α. 600 β. 1200 γ. 1500

3) Λα βξείηε ην θαλνληθό v – γσλν , πνπ ε

θεληξηθή ηνπ γσλία είλαη :

α. 300 β. 600 γ. 450

4) Λα δεηρζεί όηη αλ ε γσλία ελόο v – γώλνπ είλαη

δηπιάζηα ηεο θεληξηθήο γσλίαο ηνπ , ηόηε ην

πνιύγσλν είλαη θαλνληθό εμάγσλν .

5) Λα βξεζνύλ ε γσλία θαη ε θεληξηθή γσλία ελόο

θαλνληθνύ πεληαγώλνπ , εμαγώλνπ , δεθαγώλνπ

θαη δσδεθαγώλνπ. (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 1 ειίδα 237)

6) Αλ ε γσλία ελόο θαλνληθνύ πνιπγώλνπ είλαη

1080 , ηόηε λα δεηρζεί όηη ην πιήζνο ησλ πιεπξώλ ηνπ είλαη 5 .


7) ε δπν θαλνληθά δεθάγσλα ν ιόγνο ησλ

πιεπξώλ ηνπο είλαη 1

3 . Λα βξείηε ην ιόγν

ησλ απνζηεκάησλ , ησλ αθηηλώλ , ησλ πεξηκέηξσλ θαη ησλ εκβαδώλ ηνπο .

8) ε δπν θαλνληθά πεληάγσλα ν ιόγνο ησλ

πιεπξώλ ηνπο είλαη 2 . Πνηνο είλαη ν ιόγνο

ησλ απνζηεκάησλ , ησλ αθηηλώλ , ησλ

πεξηκέηξσλ θαη ησλ εκβαδώλ ηνπο ; (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 3 ειίδα 237)

9) Σα πιήζε 1v θαη 2v ησλ πιεπξώλ δπν θαλνληθώλ

πνιπγώλσλ είλαη αληίζηνηρα ξίδεο ησλ

εμηζώζεσλ 3 24 10 12 0v v v θαη 5 2 11v v .

Λα απνδείμεηε όηη ηα πνιύγσλα απηά είλαη όκνηα .

10) Σα πιήζε 1v θαη

2v ησλ πιεπξώλ δπν

θαλνληθώλ πνιπγώλσλ είλαη αληίζηνηρα ξίδεο ησλ

εμηζώζεσλ 3 23 7 15 0v v v θαη

2 9 4v v . Λα απνδείμεηε όηη ηα πνιύγσλα

απηά είλαη όκνηα . (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 4 ειίδα 237)

11) Ο ιόγνο ησλ απνζηεκάησλ δπν θαλνληθώλ

νθηαγώλσλ είλαη 3

4 . Λα ππνινγηζηνύλ ν ιόγνο

ησλ πεξηκέηξσλ ηνπο θαη ν ιόγνο ησλ εκβαδώλ ηνπο.

12) Λα απνδείμεηε όηη ην κόλν θαλνληθό πνιύγσλν

κε γσλία νμεία είλαη ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν . (Αζθήζεηο Δκπέδσζεο 5 ειίδα 237)

13) Τπάξρεη θαλνληθό πνιύγσλν εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν αθηίλαο R ηνπ νπνίνπ ε θεληξηθή γσλία

είλαη 160 ; Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο .

14) Αλ έλα θαλνληθό v – γσλν θαη έλα θαλνληθό

– γσλν ( v ) είλαη εγγεγξακκέλα ζηνλ ίδην

θύθιν , λα απνδείμεηε όηη :

α. 2 2 2 24( )v va a

β. v va a


15) α. Αλ ε γσλία ελόο θαλνληθνύ πνιπγώλνπ είλαη

1350 , λα βξεζεί ην πιήζνο ησλ πιεπξώλ ηνπ .

β. Λα απνδείμεηε όηη δελ ππάξρεη θαλνληθό πνιύγσλν κε γσλία 1300 .

16) Λα απνδείμεηε όηη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ελόο

θαλνληθνύ εμαγώλνπ είλαη θνξπθέο επίζεο θαλνληθνύ εμαγώλνπ .

17) Θαλνληθνύ πνιπγώλνπ , ε αθηίλα είλαη

8R cm θαη ην απόζηεκα ηνπ είλαη 4 3a cm.

Λα ππνινγηζηνύλ : α. Ζ πιεπξά ηνπ .

β. Ζ θεληξηθή γσλία ζε κνίξεο .

γ. Σν πιήζνο v ησλ πιεπξώλ ηνπ .

18) Λα απνδεηρζεί όηη ε θεληξηθή γσλία ελόο θαλνληθνύ v – γσλνπ είλαη ίζε κε ηελ

εμσηεξηθή ηνπ γσλία .


- 35 -

19) ε θύθιν αθηίλαο R εγγξάθνπκε θαλνληθό

πνιύγσλν , κε θεληξηθή γσλία ίζε κε ηα 4

3 κηαο

νξζήο .

α. Πνην είλαη ην πιήζνο ησλ πιεπξώλ ηνπ θαλνληθνύ απηνύ πνιπγώλνπ ;

β. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ πνιπγώλνπ απηνύ (ζπλαξηήζεη ηνπ R ) .

20) Θεσξνύκε έλα θαλνληθό πεληάγσλν ΑΒΓΓΔ

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R . Λα απνδείμεηε

όηη: α. θάζε δηαγώληνο ρσξίδεη ην πεληάγσλν ζε έλα

ηζνζθειέο ηξαπέδην θαη έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν ,

β. ε δηρνηόκνο ηεο γσλίαο

είλαη θάζεηε ζηελ

πιεπξά ΑΔ , γ. δπν δηαγώληνη πνπ δελ έρνπλ θνηλό άθξν

ζρεκαηίδνπλ κε δπν πιεπξέο ηνπ πεληαγώλνπ ξόκβν

δ. αλ Ζ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΓ κε ηελ ΒΓ , ηόηε 2 .


21) Αλ έλα πνιύγσλν είλαη εγγξάςηκν θαη

πεξηγξάςηκν ζε δπν νκόθεληξνπο θύθινπο , λα απνδείμεηε όηη είλαη θαλνληθό.


22) Έλα θαλνληθό v – γσλν , εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν , , έρεη πιεπξά v θαη απόζηεκα

va

Λα απνδείμεηε όηη ε πιεπξά v ηνπ

πεξηγεγξακκέλνπ ζηνλ θύθιν θαλνληθνύ v –

γσλνπ δίλεηαη από ηνλ ηύπν v

v

va

ελώ ην

εκβαδόλ ηνπ από ηνλ ηύπν 21

2

v

v

va

.

23) Αλ Α , Β , Γ , Γ είλαη δηαδνρηθέο θνξπθέο ελόο

θαλνληθνύ v – γσλνπ ( 4v ) , λα απνδείμεηε όηη 2 2 .


24) Έζησ θαλνληθό v – γσλν ΑΒΓΓ… Αλ ΒΔ ε

δηρνηόκνο ηεο γσλίαο ΓΒΓ θαη γσλία 0135

, λα βξεζεί ην πιήζνο ησλ πιεπξώλ ηνπ πνιπγώλνπ .

25) Λα απνδεηρζεί όηη θάζε θαλνληθό v – γσλν έρεη

v άμνλεο ζπκκεηξίαο. (Λα δηαθξίλεηαη

πεξηπηώζεηο v άξηηνο θαη v πεξηηηόο)

26) Αλ 2v είλαη ην εκβαδόλ ελόο θαλνληθνύ 2v –

γσλνπ ( 4v ) , εγγεγξακκέλνπ ζε θύθιν

, R , λα απνδείμεηε όηη 2

1

2v vP R , όπνπ

vP ε πεξίκεηξνο ηνπ θαλνληθνύ v – γσλνπ

αθηίλαο R . (Απνδεηθηηθέο Αζθήζεηο 4 ειίδα 237)

27) α. Λα απνδείμεηε όηη ην πιήζνο ησλ δηαγσλίσλ

ελόο θπξηνύ πνιπγώλνπ κε v πιεπξέο ( 3v )

δίλεηαη από ηνλ ηύπν 1

( 3)2

v v v .

β. Έλα θαλνληθό πνιύγσλν κε v πιεπξέο είλαη

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν θαη έρεη ζπλνιηθά 54 δηαγώληεο.

Αλ ην εκβαδόλ απηνύ ηνπ πνιπγώλνπ είλαη 12 cm2 , λα

βξείηε ην κήθνο ηεο αθηίλαο ηνπ θύθινπ .

28) Αλ a , , είλαη ηα εκβαδά θαλνληθώλ

v – γσλσλ πνπ έρνπλ πιεπξέο ίζεο αληίζηνηρα

κε ηηο πιεπξέο a , , νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ

ΑΒΓ ( 090

) , λα απνδείμεηε όηη a .


29) Αλ έλα θαλνληθό v – γσλν είλαη

πεξηγεγξακκέλν ζε θύθιν , θαη

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R θαη va είλαη ην

απόζηεκα θαλνληθνύ v – γσλνπ εγγεγξακκέλνπ

ζηνλ θύθιν , R , λα δείμεηε όηη 2

vRa .

30) Έζησ θαλνληθό v – γσλν θαη ζεκείν ζην

εζσηεξηθό ηνπ . Αλ 1d ,

2d , … , vd είλαη νη

απνζηάζεηο ηνπ από ηηο πιεπξέο ηνπ v –

γσλνπ , λα απνδείμεηε όηη 1 2 ... v vd d d v a .



- 36 -

§2. εγγραφή βαςικών

κανονικών πολυγώνων

ςε κύκλο

31) Λα ππνινγίζεηε σο ζπλάξηεζε ηνπ R ην

εκβαδόλ ελόο ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ , ελόο

ηεηξαγώλνπ θαη ελόο θαλνληθνύ εμαγώλνπ πνπ

είλαη εγγεγξακκέλα ζε θύθιν , R .


32) Σν απόζηεκα ελόο θαλνληθνύ εμαγώλνπ είλαη

3 3 cm . Λα βξεζεί ε πιεπξά ηνπ θαη ην

εκβαδόλ ηνπ .

33) Έλα θαλνληθό πνιύγσλν έρεη αθηίλα 100R

cm θαη απόζηεκα 50 3va cm . Λα βξείηε ηελ

πιεπξά ηνπ v θαη ην εκβαδόλ ηνπ

v .

34) Έλα θαλνληθό πνιύγσλν έρεη αθηίλα 10R cm

θαη πιεπξά 10 2v cm . Λα βξείηε ην

απόζηεκά ηνπ va θαη ην εκβαδόλ ηνπ

v .

35) Θαλνληθό πνιύγσλν έρεη αθηίλα 10R cm θαη

απόζηεκα 5 3va cm . Λα βξεζεί ε πιεπξά

ηνπ v θαη ην εκβαδόλ ηνπ

v .


36) Θαλνληθό πνιύγσλν έρεη αθηίλα 8R cm θαη

πιεπξά 8 2v cm . Λα βξεζεί ην απόζηεκά

ηνπ va θαη ην εκβαδόλ ηνπ

v .


37) ε θύθιν , R κε 10R cm παίξλνπκε

δηαδνρηθά ηα ηόμα 0120

, 090

θαη

060

. Λα ππνινγίζεηε ηηο πιεπξέο θαη ην

εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ .

38) ε θύθιν , R ζεσξνύκε δπν παξάιιειεο

ρνξδέο 4 θαη

6 . Λα απνδείμεηε όηη

ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην θαη λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ζπλαξηήζεη

ηεο αθηίλαο R .

39) Αλ είλαη 3 6 96 cm λα βξείηε :

α. Σελ αθηίλα R ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ β. Σα απνζηήκαηα

3a , 6a .

40) Αλ 3 6 6 6 3 λα βξείηε :

α. Σελ αθηίλα R ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ β. Σα απνζηήκαηα

3a , 6a .

41) Αλ έλα θαλνληθό εμάγσλν , ηεηξάγσλν ,

ηζόπιεπξν ηξίγσλν έρνπλ ηελ ίδηα αθηίλα , λα

δείμεηε όηη 2 2 2

3 6 4 0 .

42) ε θύθιν αθηίλαο 3R cm είλαη

πεξηγεγξακκέλν ηζόπιεπξν ηξίγσλν . Λα ππνινγηζηνύλ ε πιεπξά ηνπ θαη ην εκβαδόλ ηνπ.

43) Σεηξάγσλν ΑΒΓΓ είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν

, R θαη ε εκηπεξίκεηξόο ηνπ είλαη 80 cm . Λα

ππνινγηζηνύλ : α. Ζ αθηίλα R ηνπ θύθινπ .

β. Σν απόζηεκα θαη ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ .

44) Γπν θαλνληθά εμάγσλα έρνπλ κηα πιεπξά θνηλή

κήθνπο (ηα εμάγσλα δελ ηαπηίδνληαη) . Λα

ππνινγίζεηε ηελ απόζηαζε ησλ θέληξσλ ηνπο ζπλαξηήζεη ηνπ .

45) Σν άζξνηζκα ησλ γσληώλ ελόο θαλνληθνύ v – γώλνπ είλαη 8 νξζέο θαη ην εκβαδόλ ηνπ

είλαη 24 3 cm2 . Λα βξείηε ηελ αθηίλα ηνπ

πνιπγώλνπ .

46) ε θύθιν αθηίλαο R ην ΑΒΓΓ είλαη εγγεγξακκέλν ηεηξάγσλν θαη ην Α΄Β΄Γ΄Γ΄ είλαη

πεξηγεγξακκέλν ηεηξάγσλν . α. Λα εθθξαζηνύλ νη πιεπξέο 4 θαη 4 ησλ δπν

ηεηξαγώλσλ ζπλαξηήζεη ηεο αθηίλαο R .

β. Λα βξεζεί ν ιόγνο ησλ εκβαδώλ ηνπο

.

47) Γίλεηαη έλαο θύθινο , R θαη δηαδνρηθά ηα

ζεκεία Α , Β θαη Γ , ώζηε λα είλαη 2R ,

3R . Λα βξεζνύλ ηα κέηξα ησλ ηόμσλ

,

,

.


- 37 -

48) ε θύθιν , R θαη εθαηέξσζελ ηνπ θέληξνπ

ηνπ ζεσξνύκε δπν παξάιιειεο ρνξδέο ηνπ ΑΒ

θαη ΓΓ κε R θαη 2R . Λα

ππνινγίζεηε σο ζπλάξηεζε ηνπ R ηηο κε

παξάιιειεο πιεπξέο ηνπ ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ , ην ύςνο ηνπ θαη ην εκβαδόλ ηνπ .

49) Σν άζξνηζκα ησλ γσληώλ ελόο θαλνληθνύ

πνιπγώλνπ είλαη 8 νξζέο θαη ην εκβαδόλ ηνπ

6 3 cm2 . Λα βξεζεί ε αθηίλα ηνπ.


50) ε θύθιν , R θαη πξνο ην ίδην κέξνο ηνπ

θέληξνπ ηνπ ζεσξνύκε δπν παξάιιειεο ρνξδέο

ηνπ ΑΒ θαη ΓΓ κε R θαη 3R . Λα

ππνινγίζεηε σο ζπλάξηεζε ηνπ R ηηο κε

παξάιιειεο πιεπξέο ηνπ ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ , ην

ύςνο ηνπ θαη ην εκβαδόλ ηνπ .

51) ε θύθιν αθηίλαο 3R cm εγγξάθνληαη

ηζόπιεπξν ηξίγσλν θαη θαλνληθό εμάγσλν . Λα ππνινγηζηνύλ :

α. Σν εκβαδόλ ηνπ θαλνληθνύ εμαγώλνπ ΑΒΓΓΔΕ .

β. Σν εκβαδόλ ησλ ηξηώλ γξακκνζθηαζκέλσλ κεξώλ .

52) ε θύθιν , R εγγξάθνπκε ηζόπιεπξν

ηξίγσλν ΑΒΓ θαη κέζα ζην ηξίγσλν ηνλ εγγεγξακκέλν ηνπ θύθιν . Λα βξεζεί ε πιεπξά

ηνπ ηεηξαγώλνπ πνπ είλαη εγγεγξακκέλν ζηνλ

δεύηεξν θύθιν .

53) α. Λα ππνινγίζεηε ηελ πιεπξά 5 θαη ην

απόζηεκα 5a ελόο θαλνληθνύ πεληαγώλνπ

εγγεγξακκέλνπ ζε θύθιν , R σο ζπλάξηεζε

ηνπ R .

β. Λα απνδείμεηε όηη 2 2 2

5 6 10 , όπνπ 5 , 6 θαη

10 είλαη νη πιεπξέο θαλνληθώλ πνιπγώλσλ

εγγεγξακκέλσλ ζηνλ ίδην θύθιν .

54) Έλα θαλνληθό δσδεθάγσλν έρεη αθηίλα 2 cm

θαη εκβαδόλ 12 cm 2 . Λα ππνινγηζηεί ην κήθνο ηεο πιεπξάο θαη ηνπ απνζηήκαηόο ηνπ.

55) Λα ππνινγηζηνύλ σο ζπλάξηεζε ηνπ R ε

πιεπξά 12 θαη ην απόζηεκα

12a ελόο θαλνληθνύ

12–γσλνπ εγγεγξακκέλνπ ζε θύθιν , R


56) Λα ππνινγίζεηε σο ζπλάξηεζε ηνπ R ην

εκβαδόλ ελόο θαλνληθνύ δσδεθαγώλνπ , ρσξίο

λα ππνινγίζεηε πξνεγνπκέλσο ηελ πιεπξά θαη ην απόζηεκα ηνπ .


57) Λα ππνινγίζεηε σο ζπλάξηεζε ηνπ R ηελ πιεπξά θαη ην απόζηεκα ελόο θαλνληθνύ

νθηαγώλνπ εγγεγξακκέλνπ ζε θύθιν , R .

58) Σεηξάγσλν ΑΒΓΓ είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν

, R . Γλσξίδνληαο όηη 12 cm , λα

ππνινγηζηεί ε αθηίλα ηνπ θύθινπ .

59) Γίλεηε θύθινο , R θαη ρνξδή ηνπ 6 .

Πάλσ ζε ηπραία επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην

θέληξν ηνπ θαη εθαηέξσζελ ηνπ Ο παίξλνπκε

ζεκεία Α , Β , ώζηε 3a . Αλ Κ ην

κέζν ηεο ΓΓ , λα απνδείμεηε όηη 2 2 2

4 .


60) Γίλεηε θύθινο , R θαη ην εγγεγξακκέλν

ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ . Πξνεθηείλνπκε ηελ πιεπξά ΑΒ θαη πάλσ ζηελ πξνέθηαζε παίξλνπκε ηκήκα . Λα δείμεηε όηη :

α. . β. Σν επζύγξακκν ηκήκα ΔΓ είλαη εθαπηόκελν ηνπ

θύθινπ , R ζην ζεκείν Γ .

γ. Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΓΔ (ζπλαξηήζεη ηνπ R ) .

61) Έλα θαλνληθό εμάγσλν είλαη εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν αθηίλαο R . Έμσ από ην εμάγσλν θαηαζθεπάδνπκε ηεηξάγσλα κε πιεπξέο ηηο

πιεπξέο ηνπ εμαγώλνπ . α. Λα απνδείμεηε όηη νη θνξπθέο ησλ ηεηξαγώλσλ ,

πνπ δελ είλαη θνξπθέο ηνπ εμαγώλνπ , ζρεκαηίδνπλ

θαλνληθό δσδεθάγσλν . β. Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ δσδεθαγώλνπ

ζπλαξηήζεη ηεο αθηίλαο R .


- 38 -

62) Γίλνληαη δπν θαλνληθά εμάγσλα , ην έλα

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R θαη ην άιιν

πεξηγεγξακκέλν ζηνλ ίδην θύθιν . Λα απνδείμεηε όηη :

α. ν ιόγνο ησλ πεξηκέηξσλ ηνπο είλαη ίζνο κε 3

2 .

β. ν ιόγνο ησλ εκβαδώλ ηνπο είλαη ίζνο κε 3

4 .

63) Λα απνδεηρζεί όηη νη δηαγώληνη θαλνληθνύ εμαγώλνπ , όηαλ ηέκλνληαη , ζρεκαηίδνπλ επίζεο

θαλνληθό εμάγσλν.

64) Από ζεκείν Α εθηόο θύθινπ , R θέξνπκε

ηελ ηέκλνπζα ΑΒΓ , ηέηνηα ώζηε . Αλ

3R , λα απνδείμεηε όηη 6 θαη ζηελ

ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΓ σο ζπλάξηεζε ηνπ R .

65) Γίλεηαη θαλνληθό πεληάγσλν ΑΒΓΓΔ . Ζ


ηέκλεη ηελ ΒΓ ζην Ε.

Λα δεηρζεί όηη ε γσλία 090

.

66) Από ην ζεκείν Α εθηόο θύθινπ , R

θέξνπκε ηέκλνπζα ΑΒΓ , ώζηε . Αλ

7R λα απνδείμεηε όηη 3 θαη ζηελ

ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ

ηξηγώλνπ ΑΟΓ .


67) ε θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ ελώλνπκε ηελ

θνξπθή Α κε ην κέζν Ζ ηεο πιεπξάο ΓΓ . Λα

βξεζεί ην εκβαδόλ θαζελόο απ’ ηα δπν ηκήκαηα ζηα νπνία δηαηξείηαη ην εμάγσλν .

68) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν , R θαη ην κέζν Δ ηεο ΒΓ . Αλ Κ είλαη

ε ηνκή ηεο ΑΔ κε ηνλ θύθιν , λ’ απνδεηρηεί όηη 5 .

69) Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 090

) , ν

πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ , R θαη ην

ύςνο ηνπ ΑΖ . Αλ 3

4a , λα ππνινγηζηνύλ νη

πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζπλαξηήζεη ηνπ .

70) Σν εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ ηνπ

εγγεγξακκέλνπ ζε θύθιν , R είλαη θαηά

8 3 3 κεγαιύηεξν ηνπ εκβαδνύ ηνπ

εγγεγξακκέλνπ ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ . Λα βξεζεί ε αθηίλα ηνπ θύθινπ θαη ηα εκβαδά ησλ

πνιπγώλσλ.

71) Οη ηνκέο ησλ δηαγσλίσλ ΑΓ , ΓΔ , ΔΑ , ΒΓ , ΓΕ

θαη ΕΒ θαλνληθνύ εμαγώλνπ ΑΒΓΓΔΕ πιεπξάο a

είλαη θνξπθέο αιινύ θαλνληθνύ εμαγώλνπ . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ απηνύ ηνπ εμαγώλνπ .

72) Γίλεηαη θύθινο , R θαη ην εγγεγξακκέλν ζε

απηόλ εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ . Αλ ην θαλνληθό

δσδεθάγσλν ΖΘΗΘ… είλαη εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν , θαη έρεη ηελ ίδηα πεξίκεηξν κε ην

θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ λα βξείηε ηελ αθηίλα

, ηελ πιεπξά 12 θαη ην απόζηεκα

12a σο

ζπλάξηεζε ηνπ R .

73) Γίλεηαη έλα θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R . Αλ Κ είλαη ην

κέζν ηεο πιεπξάο ΒΓ θαη ε επζεία ΑΚ ηέκλεη ηνλ

θύθιν ζην ζεκείν Θ , λα δείμεηε όηη 7 .

74) ε θύθιν , R ζεσξνύκε δηαδνρηθά ηα

ζεκεία Α , Β θαη Γ κε 6 , 3 θαη Κ ην

κέζν ηεο ΑΒ . Ζ πξνέθηαζε ηεο ΓΚ ηέκλεη ην

ηόμν

ζην Γ . Λα ππνινγίζεηε ην επζύγξακκν ηκήκα ΚΓ σο ζπλάξηεζε ηεο

αθηίλαο R .

75) Γίλεηαη θαλνληθό δεθάγσλν ΑΒΓ…Θ

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R . Λα απνδείμεηε

όηη :

α. Ζ ρνξδή ΓΘ είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ , R θαη

άμνλαο ζπκκεηξίαο ηνπ 10–γώλνπ .

β. ( 5 1)

2

R .


- 39 -

§3. μήκοσ κύκλου

76) Γπν ηόμα

θαη

ελόο θύθινπ , R

έρνπλ κέηξα 180 θαη 4

rad αληίζηνηρα . Αλ ην

ηόμν

έρεη κήθνο , λα ππνινγίζεηε ην

κήθνο ηνπ ηόμνπ

.

77) Έλα ηόμν 500 θύθινπ , R έρεη ηξηπιάζην

κήθνο από έλα ηόμν 1000 θύθινπ , . Λα

απνδείμεηε όηη 6R .

78) Πάλσ ζε κηα επζεία ε παίξλνπκε δηαδνρηθά ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ θαη Δ . Αλ

1L , 2L ,

3L , 4L

θαη L είλαη ηα κήθε ησλ θύθισλ κε δηακέηξνπο

ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ , ΓΔ θαη ΑΔ αληίζηνηρα , λα

απνδείμεηε όηη 1 2 3 4L L L L L .

79) Πάλσ ζε κηα επζεία παίξλνπκε δηαδνρηθά ηα

ζεκεία 1 ,

2 , … , v ( 2v ) . Λα

απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ κεθώλ ησλ

θύθισλ κε αθηίλεο 1 2 , 2 3 , … , 1v v

είλαη ίζν κε ην κήθνο ηνπ θύθινπ κε αθηίλα

1 v .

80) Λα βξείηε ην κήθνο ηνπ ηόμνπ θύθινπ αθηίλαο R κε ρνξδή

3 .

81) Σν κήθνο ελόο ηόμνπ ζε θύθιν αθηίλαο 20R

cm είλαη 5 cm . Λα βξείηε πνζώλ κνηξώλ

είλαη ην ηόμν απηό .

82) Λα βξείηε ην κήθνο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ

ζε θαλνληθό εμάγσλν πιεπξάο 10 cm .


83) Λα βξείηε ην κήθνο ηνπ ηόμνπ πνπ αληηζηνηρεί

ζηελ πιεπξά θαλνληθνύ 10–γσλνπ

εγγεγξακκέλνπ ζε θύθιν αθηίλαο 20R cm .

84) Λα βξεζεί ην κήθνο ηνπ ηόμνπ πνπ αληηζηνηρεί

ζηελ πιεπξά θαλνληθνύ 10–γσλνπ εγγεγξακκέλνπ ζε θύθιν αθηίλαο 5 cm .


85) Λα βξείηε ην κήθνο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θαη ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ

ΑΒΓ κε πιεπξέο 6 cm θαη 5 cm.

86) Λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θαη ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ :

α. ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ πιεπξάο 10a cm ,

β. νξζνγώλην ηξίγσλν κε θάζεηεο πιεπξέο κήθνπο 6

cm θαη 8 cm ε θαζεκία . γ. ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ κε βάζε 12 cm θαη ίζεο

πιεπξέο 10 cm .

87) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε πιεπξέο 26a cm ,

28 cm , 30 cm θαη εκβαδόλ 336 cm 2

Λα βξείηε ην κήθνο :

α. ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ , β. ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ .

88) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 13a cm , 14 cm

θαη 15 cm . Λα βξεζεί ην κήθνο :

α. ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ,

β. ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ .


89) Γπν θάζεηεο ρνξδέο ΑΒ θαη ΑΓ ελόο θύθινπ

, R έρνπλ κήθε 3 cm θαη 4 cm αληίζηνηρα .

Λα βξείηε ην κήθνο ηνπ θύθινπ .

90) ε θύθιν , R ζεσξνύκε δηαδνρηθέο ρνξδέο

ΑΒ , 2R θαη 3R . Αλ ην απόζηεκα

πνπ αληηζηνηρεί ζηε ρνξδή ΑΒ είλαη ίζν κε 3

2

R

λα ππνινγίζεηε ηα κήθε ησλ ηόμσλ

,

,

,

θαη

.

91) ε θύθιν , R ζεσξνύκε δηάκεηξν ΑΒ θαη

ηηο ρνξδέο 3 cm θαη 3 3 cm . Λα

βξείηε : α. ηελ αθηίλα θαη ην κήθνο ηνπ θύθινπ ,

β. ηα κήθε ησλ ηόμσλ

θαη

.


- 40 -

92) Κε θέληξα ηηο θνξπθέο ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ

πιεπξάο a γξάθνπκε ηέζζεξηο θύθινπο κε

αθηίλα 1

3a . Λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ

θύθινπ πνπ εθάπηεηαη εμσηεξηθά ζηνπο ηέζζεξηο

πξνεγνύκελνπο θύθινπο σο ζπλάξηεζε ηνπ a .

93) Γπν θύθινη , R θαη ,2

R


εζσηεξηθά ζην ζεκείν Α . Από ην θέληξν Θ

θέξνπκε κηα εκηεπζεία x , ε νπνία ηέκλεη ηνλ

κηθξό θύθιν ζην ζεκείν Β θαη ην κεγάιν ζην

ζεκείν Γ . Λα ζπγθξίλεηαη ηα κήθε ησλ ηόμσλ

θαη

.

94) Κε δηάκεηξν ηελ πιεπξά a ηζόπιεπξνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ γξάθνπκε εκηθύθιην , πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο ΑΒ , ΑΓ ζηα ζεκεία Γ , Δ αληίζηνηρα.

Λα βξείηε ην κήθνο ηνπ ηόμνπ

σο ζπλάξηεζε ηνπ a .

95) Θεσξνύκε ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηνλ

εγγεγξακκέλν θύθιν ηνπ , . Γξάθνπκε

ηξεηο θύθινπο πνπ ν θαζέλαο εθάπηεηαη ηνπ

θύθινπ , θαη δπν πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ

(βιέπε ζρήκα) . Λα απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ κεθώλ απηώλ ησλ ηξηώλ θύθισλ ηζνύηαη κε

ην κήθνο ηνπ θύθινπ , .

96) Γίλεηαη εκηθύθιην , R δηακέηξνπ ΑΒ . Κε

δηακέηξνπο ηηο ΑΟ θαη ΟΒ γξάθνπκε ζην

εζσηεξηθό ηνπ πξώηνπ εκηθύθιηα . Λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ θύθινπ ν νπνίνο

εθάπηεηαη ησλ ηξηώλ απηώλ εκηθπθιίσλ , σο ζπλάξηεζε ηνπ R .


97) Γίλεηαη ηεηαξηνθύθιην ( )

. Κε δηάκεηξν

ηελ ΑΟ γξάθνπκε ζην εζσηεξηθό ηνπ

ηεηαξηνθπθιίνπ , εκηθύθιην θαη ζηελ ζπλερεία

γξάθνπκε θύθιν πνπ εθάπηεηαη ζην

εκηθύθιην , ζηελ πιεπξά ΟΒ θαη ζην ηόμν

.

Λα απνδείμεηε όηη ην κήθνο ηνπ θύθινπ

ηζνύηαη κε ην κήθνο ηνπ ηόμνπ

.


98) Κε θέληξν ηελ θνξπθή Α ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ

ΑΒΓ πιεπξάο a γξάθνπκε θύθιν κε αθηίλα 3

3

a

, πνπ ηέκλεη ηελ πιεπξά ΑΒ ζην ζεκείν Γ . α. Λα απνδείμεηε όηη ην θέληξν βάξνπο Θ ηνπ ηξηγώλνπ

ΑΒΓ είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ 3

,3

a

.

β. Λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηνπ ηόμνπ

.

99) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ πιεπξάο a . Κε

θέληξα ηηο θνξπθέο Α θαη Β θαη αθηίλα a

γξάθνπκε δπν ηεηαξηνθύθιηα κέζα ζην

ηεηξάγσλν πνπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Δ . Λα ππνινγηζηεί ε πεξίκεηξνο ηνπ θακππιόγξακκνπ

ηξηγώλνπ ΓΔΓ .

100) Γπν θύθινη κε αθηίλεο R θαη 3R

εθάπηνληαη εμσηεξηθά ζην ζεκείν Α . Αλ ΒΓ είλαη

κηα θνηλή εμσηεξηθή εθαπηνκέλε ησλ θύθισλ , λα ππνινγίζεηε ηελ πεξίκεηξν ηνπ

κηθηόγξακκνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ σο ζπλάξηεζε ηεο

αθηίλαο R .

101) Έζησ ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ πιεπξάο a

θαη Θ , Ι θαη Κ ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ , ΓΑ θαη

ΑΒ αληίζηνηρα . Δμσηεξηθά ηνπ ηξηγώλνπ γξάθνπκε εκηθύθιηα κε δηακέηξνπο ΑΚ θαη ΑΙ .

Κε θέληξα ηα ζεκεία Β θαη Γ γξάθνπκε ηα θπξηά

ηόμα ΚΘ θαη ΘΙ (βιέπε ζρήκα) . Λα ππνινγίζεηε ηελ πεξίκεηξν ηνπ «θαξδηνεηδνύο» ρσξίνπ πνπ

ζρεκαηίδνπλ ηα παξαπάλσ εκηθύθιηα θαη ηα θπξηά ηόμα ΚΘ θαη ΘΙ σο ζπλάξηεζε ηνπ a .


- 41 -

§4. εμβαδόν

κυκλικού δίςκου

102) Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ , ηνπ

νπνίνπ ε δηάκεηξνο είλαη 4 3 cm .

103) Θπθιηθόο ηνκέαο γσλίαο 450 έρεη εκβαδόλ 2a . Λα βξεζεί ε αθηίλα ηνπ θύθινπ ηνπ .

104) Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ

δαθηπιίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηνπο θύθινπο κε

αθηίλεο 1 4 5R cm θαη 2 6 5R cm .

105) Θπθιηθόο ηνκέαο γσλίαο 600 έρεη εκβαδόλ

ίζν κε ην εκβαδόλ ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ πιεπξάο 2 cm . Λα βξείηε ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ

ηνπ.

106) Θπθιηθόο ηνκέαο έρεη αθηίλα 3R cm θαη

εκβαδόλ 9

4

cm 2 . Λα βξεζεί ην κέηξν ηεο

γσλίαο ηνπ θαη ε πεξίκεηξόο ηνπ .

107) ε θύθιν κε αθηίλα 6R cm εγγξάθνπκε

ηεηξάγσλν θαη ζην ηεηξάγσλν εγγξάθνπκε λέν θύθιν . Λα ππνινγηζηνύλ :

α. Σν εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ . β. Ο ιόγνο ησλ εκβαδώλ ησλ δπν θύθισλ .

108) ε θύθιν αθηίλαο R είλαη εγγεγξακκέλν

θαλνληθό εμάγσλν . Λα βξεζνύλ : α. Σν εκβαδόλ ηνπ εμαγώλνπ (ζπλαξηήζεη ηνπ R ) .

β. Σν εκβαδόλ ηνπ κέξνπο ηνπ θύθινπ πνπ βξίζθεηαη

έμσ από ην εμάγσλν .

109) Θύθινο είλαη εγγεγξακκέλνο ζε ηεηξάγσλν

πιεπξάο a . Λα ππνινγίζεηε :

α. Σν εκβαδόλ ηνπ θύθινπ (ζπλαξηήζεη ηνπ a ) .

β. Σν εκβαδόλ ηνπ κέξνπο ηνπ ηεηξαγώλνπ πνπ βξίζθεηαη έμσ από ηνλ θύθιν .

110) Θύθινο αθηίλαο R δηαηξείηαη ζε δπν θπθιηθά

ηκήκαηα από ηελ πιεπξά ΑΒ ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ πνπ είλαη εγγεγξακκέλν ζε απηό . Λα

ππνινγηζηνύλ : α. Σν κήθνο ηνπ κηθξόηεξνπ ηόμνπ ΑΒ .

β. Σν εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα ΑΟΒ .

111) ε θύθιν αθηίλαο R ε ρνξδή ΑΒ αληηζηνηρεί

ζηελ πιεπξά 4 εγγεγξακκέλνπ ηεηξαγώλνπ θαη

ρσξίδεη ηνλ θύθιν ζε δπν ηκήκαηα . Λα βξεζνύλ:

α. Σν εκβαδόλ ηνπ κηθξόηεξνπ θπθιηθνύ ηκήκαηνο ηνπ θύθινπ .

β. Σν εκβαδόλ ηνπ κεγαιύηεξνπ θπθιηθνύ ηκήκαηνο .

112) Γπν νκόθεληξνη θύθινη έρνπλ αθηίλεο 1R θαη

2R , αλάινγεο ησλ αξηζκώλ 2 θαη 5 αληίζηνηρα .

Αλ ε δηαθνξά ηνπο είλαη θαη 2 1 12R R cm , λα

βξείηε:

α. Σηο αθηίλεο 1R θαη

2R .

β. Σν εκβαδόλ ησλ δπν θύθισλ ρσξηζηά . γ. Σν εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ δαθηπιίνπ .

113) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R . Αλ νη θάζεηεο

πιεπξέο ηνπ είλαη 5 cm θαη 7 cm αληίζηνηρα , λα

βξείηε :

α. Σν κήθνο L ηνπ θύθινπ . β. Σν εκβαδόλ ηνπ θύθινπ .

114) ε θύθιν αθηίλαο 8 cm είλαη εγγεγξακκέλν

θαλνληθό εμάγσλν . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ησλ ρσξίσλ πνπ βξίζθνληαη κεηαμύ ηνπ θύθινπ θαη

ηνπ εμαγώλνπ .

115) ε ηεηξάγσλν πιεπξάο 2a εγγξάθνπκε θαη

πεξηγξάθνπκε δπν θύθινπο . Λα ππνινγηζηνύλ :

α. Σν εκβαδόλ ηνπ εζσηεξηθνύ θύθινπ . β. Ο ιόγνο ησλ εκβαδώλ ησλ δπν θύθισλ .

116) Λα δεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ , πνπ

έρεη δηάκεηξν ηελ ππνηείλνπζα νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ είλαη ίζν κε ην άζξνηζκα ησλ εκβαδώλ

ησλ δπν άιισλ θύθισλ , πνπ έρνπλ δηακέηξνπο

ηηο θάζεηεο πιεπξέο ηνπ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ .

117) Θύθινο κε αθηίλα R είλαη εγγεγξακκέλνο

ζε ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ . Κε θέληξν ηελ θνξπθή Α

ηνπ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ θαη αθηίλα ηελ δηαγώλην ηνπ ΑΓ γξάθνπκε θύθιν . Λα ππνινγηζηνύλ :

α. Σν εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ αλ είλαη γλσζηή ε αθηίλα R .

β. Ο ιόγνο ησλ εκβαδώλ ησλ δπν θύθισλ .


- 42 -

118) Γίλεηαη θύθινο κε δηάκεηξν 6a .

Γηαηξνύκε ηελ δηάκεηξν ΑΒ ζε ηξία ίζα ηκήκαηα . Κε δηακέηξνπο ηηο ΑΓ , ΓΓ θαη

ΓΒ γξάθνπκε ηξεηο ίζνπο θύθινπο . Λα ππνινγηζζνύλ :

α. Σν εκβαδόλ ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ηελ ΑΒ .

β. Σν εκβαδόλ θαζελόο ησλ ηξηώλ ίζσλ θύθισλ . γ. Σνλ ιόγν ηνπ αζξνίζκαηνο ησλ εκβαδώλ ησλ ηξηώλ

ίζσλ θύθισλ πξνο ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ , .

δ. Σν εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ρσξίνπ πνπ βξίζθεηαη έμσ από ηνπο ηξεηο θύθινπο.

119) ην παξαθάησ ζρήκα έρεη ζρεδηαζηεί έλα

εκηθύθιην δηακέηξνπ 2R θαη εμσηεξηθά ηνπ

ηα ίζα εκηθύθιηα κε δηακέηξνπο ΟΑ , ΑΓ , ΓΓ θαη ΓΒ . Αλ

1( ) , 2( ) ,

3( ) είλαη ηα εκβαδά ησλ

ηξηώλ ζρεκαηηδόκελσλ κελίζθσλ θαη ( ) ην

εκβαδόλ ηνπ εκηθπθιίνπ , λα απνδείμεηε όηη

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .


120) Γίλεηαη θαλνληθό εμάγσλν πεξηγεγξακκέλν ζε θύθιν αθηίλαο 3R cm . Λα ππνινγίζεηε ηελ

πιεπξά , ην απόζηεκα θαη ην εκβαδόλ ηνπ εμαγώλνπ θαζώο θαη ηα εκβαδά ησλ ηκεκάησλ

πνπ βξίζθνληαη αλάκεζα ζηνλ θύθιν θαη ην εμάγσλν .

121) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ πιεπξάο

3 9 cm εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , αθηίλαο R .

Λα ππνινγηζηνύλ : α. Σν κήθνο ηνπ θύθινπ .

β. Σν εκβαδόλ ησλ ηξηώλ θπθιηθώλ ηκεκάησλ πνπ

βξίζθνληαη έμσ από ην ηξίγσλν .

122) ε θύθιν , ζεσξνύκε δπν θάζεηεο

αθηίλεο ΟΑ θαη ΟΒ . Κε δηάκεηξν ηελ ΑΒ γξάθνπκε εθηόο ηνπ θύθινπ εκηθύθιην. Λα

ππνινγηζηνύλ :

α. Σν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ . β. Σν εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ κελίζθνπ.

123) Κε δηάκεηξν ηελ πιεπξά a

ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γξάθνπκε εκηθύθιην

πνπ ηέκλεη ηηο πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ ζηα ζεκεία Γ θαη Δ .

α. Λα δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΒΟΓ θαη ΓΟΔ είλαη

ηζόπιεπξα . β. Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα

( )

.

γ. Λα ππνινγηζζνύλ ηα εκβαδά ησλ δπν γξακκνζθηαζκέλσλ θπθιηθώλ ηκεκάησλ.

124) Λα δεηρζεί όηη ν ιόγνο ησλ εκβαδώλ ηνπ

εγγεγξακκέλνπ πξνο ην πεξηγεγξακκέλν

ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ ζηνλ θύθιν , R είλαη

1

4.


- 43 -

125) Σξεηο ίζνη θύθινη αθηίλαο R εθάπηνληαη

εμσηεξηθά αλά δπν ζηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα βξείηε ηελ πεξίκεηξν θαη ην εκβαδόλ ηνπ

θακππιόγξακκνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ σο ζπλάξηεζε ηνπ R .


126) Γίλεηαη θύθινο , R θαη δπν ρνξδέο ηνπ

3 θαη 6 πξνο ην ίδην κέξνο ηνπ Ο .

Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

127) Σα κήθε ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη

2a , 5

2 θαη 3 . Λα ππνινγίζεηε ην

εκβαδόλ θαη ην κήθνο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θαη

ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ

απηνύ .

128) Έλα ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη 6 ,

2 3 θαη γσλία 0105

. Λα βξεζεί ε

αθηίλα ηνπ θύθινπ πνπ έρεη ην ίδην εκβαδόλ κε

ην ηξίγσλν ΑΒΓ .

129) Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα 4 cm . Κε θέληξα ηα Α , Β θαη αθηίλα 4 cm γξάθνπκε δπν

θπθιηθνύο δίζθνπο . Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηεο θνηλήο επηθάλεηαο ησλ δπν θπθιηθώλ δίζθσλ .

130) Δπάλσ ζηηο πιεπξέο θαλνληθνύ εμαγώλνπ

θαη εθηόο απηνύ θαηαζθεπάδνπκε ηζόπιεπξα ηξίγσλα . Λα απνδεηρζεί όηη νη θνξπθέο ησλ

ηξηγώλσλ πνπ δελ είλαη θνξπθέο ηνπ εμαγώλνπ ,

ζρεκαηίδνπλ θαλνληθό εμάγσλν , ηνπ νπνίνπ δεηείηαη ην εκβαδόλ . Θαηόπηλ λα βξεζνύλ ηα

εκβαδά ησλ κηθηόγξακκσλ ηξηγώλσλ πνπ ζρεκαηίδνληαη .

131) Λα απνδεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ

δαθηπιίνπ είλαη ίζν κε ην εκβαδόλ θύθινπ , ν νπνίνο έρεη δηάκεηξν κηα ρνξδή ηνπ κεγαιύηεξνπ

θύθινπ , ε νπνία εθάπηεηαη ζην κηθξόηεξν .

132) Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ πνπ είλαη

εγγεγξακκέλνο ζε θπθιηθό ηνκέα αθηίλαο R θαη γσλίαο :

α. 600 (Απνδεηθηηθέο Αζθήζεηο 5 ειίδα 251) β. 1200

γ. 900

133) Γίλεηαη θύθινο , R θαη ζην εζσηεξηθό

ηνπ δπν ίζνη θύθινη ,3

R

θαη ,3

R

πνπ

εθάπηνληαη κεηαμύ ηνπο ζην ζεκείν Α , θαη ηνπ

θύθινπ , R ζηα ζεκεία Β θαη Γ αληίζηνηρα .

Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ θακππιόγξακκνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

134) Γίλεηαη θύθινο , R θαη δπν αθηίλεο ηνπ

ΟΑ θαη ΟΒ πνπ ζρεκαηίδνπλ γσλία 600 . ην Β θέξλνπκε ηελ εθαπηόκελε x θαη από ην Α ηελ

ΑΓ θάζεηε ζηε x . Λα ππνινγηζηεί ην εκβαδόλ

ηνπ κηθηόγξακκνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

135) Κε θέληξα ηηο θνξπθέο ηζόπιεπξνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ πιεπξάο a θαη αθηίλα 2

a

γξάθνπκε κέζα ζε απηό ηα ηόμα

,

,

. Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ εγγεγξακκέλνπ

θύθινπ ζην θακππιόγξακκν ηξίγσλν ΔΖΕ .

136) Γπν ίζνη θύθινη , θαη ,

ηέκλνληαη εμσηεξηθά ζην ζεκείν Γ . Κε δηάκεηξν

ην θνηλό εθαπηόκελν ηκήκα ηνπο ΑΒ , γξάθνπκε εκηθύθιην εθηόο ησλ θύθισλ . Λα δείμεηε όηη ην

ΑΒΙΘ είλαη νξζνγώλην κε εκβαδόλ ίζν κε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ην

εκηθύθιην

θαη ηα θπξηνγώληα ηόμα

θαη

.


- 44 -

137) Θαλνληθό εμάγσλν είλαη εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν , R . Κε θέληξν ηελ θνξπθή Α θαη

αθηίλα R γξάθνπκε ηόμν

κέζα ζην εμάγσλν. Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ

ζρεκαηηδόκελνπ κηθηόγξακκνπ πεληαγώλνπ.

138) ε θύθιν , R θέξνπκε δπν δηακέηξνπο

ΑΒ θαη ΓΓ έηζη , ώζηε λα είλαη θάζεηεο κεηαμύ

ηνπο . Κε θέληξν ην Α θαη αθηίλα ΑΓ γξάθνπκε

ηόμν

. Λα απνδεηρζεί όηη ν κελίζθνο πνπ

ζρεκαηίδεηαη είλαη ηζνδύλακνο κε ην ηξίγσλν ΑΓΓ .

139) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε πιεπξά a . Κε

θέληξν Α θαη αθηίλα a γξάθνπκε κέζα ζην

ηεηξάγσλν ηόμν πνπ πεξηέρεηαη κεηαμύ ησλ

θνξπθώλ Β θαη Γ . ην κηθηόγξακκν ηξίγσλν

ΒΓΓ εγγξάθνπκε θύθιν , x . Λα ππνινγηζζεί

ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ απηνύ.

140) Γίλεηαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν

ΑΟΒ ( 090

) . Κε δηακέηξνπο ΟΑ θαη ΟΒ

γξάθνπκε εκηθύθιηα πνπ ηέκλνληαη ζην Γ .

α. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. β. Λα βξεζεί ην εκβαδόλ Δ ηνπ θνηλνύ ηκήκαηνο ησλ

δπν παξαπάλσ εκηθπθιίσλ ζπλαξηήζεη ηεο πιεπξάο a .

γ. Αλ

ην θπξηνγώλην ηόμν ηνπ θύθινπ , ,

λα δείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ κέξνπο πνπ

πεξηιακβάλεηαη κεηαμύ ησλ ηξηώλ ηόμσλ είλαη ίζν κε ην εκβαδόλ ηνπ ( β ) εξσηήκαηνο .

141) Γίλεηαη ηεηαξηνθύθιην

κε αθηίλα R .

Κε θέληξν Α θαη αθηίλα R γξάθνπκε ηόμν , ην

νπνίν ηέκλεη ην ηόμν

ζην ζεκείν Γ . Λα

βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ ηξηγώλνπ ΟΒΓ .

142) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε πιεπξά 2a . Κε

δηακέηξνπο ηηο πιεπξέο ηνπ γξάθνπκε εκηθύθιηα

κέζα ζην ηεηξάγσλν . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ

θακππιόγξακκνπ ζηαπξνύ πνπ ζρεκαηίδεηαη.

143) Ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη εγγεγξακκέλν

ζε θύθιν , R . Κε θέληξν ηηο θνξπθέο ηνπ

θαη αθηίλα R γξάθνπκε κέζα ζηνλ θύθιν ηόμα .

Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ζρεκαηηδόκελνπ

ηξηθπιιηνύ .


- 45 -

144) Γίλεηαη θύθινο δηακέηξνπ ΑΒ θαη ζεκεία Γ ,

Γ ηεο ΑΒ ηέηνηα ώζηε . ην

έλα από ηα δπν εκηεπίπεδα , πνπ νξίδεη ε ΑΒ ,

γξάθνπκε ηα εκηθύθιηα κε δηακέηξνπο ΑΓ , ΑΟ θαη ΑΓ , θαη ζην άιιν εκηεπίπεδν ηα εκηθύθιηα κε

δηακέηξνπο ΒΓ , ΒΟ θαη ΒΓ . Σα ηόμα ησλ εκηθύθιησλ ΑΓ , ΓΒ νξίδνπλ κηα γξακκή όπσο θαη

ησλ εκηθπθιίσλ ΑΟ , ΟΒ θαη ΑΓ , ΒΓ . Λα δεηρζεί

όηη νη ηξεηο απηέο γξακκέο ρσξίδνπλ ηνλ θύθιν ζε ηέζζεξα ηζνδύλακα θακππιόγξακκα ρσξία .

145) Γίλεηαη θύθινο , R θαη νη εθαπηόκελεο

ηνπ ΑΒ , ΑΓ από ζεκείν Α ηέηνην ώζηε 2R .

Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ θνηλνύ ηκήκαηνο ησλ

θύθισλ , R θαη , .

146) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ πιεπξάο a θαη ηα

ηόμα

θαη

ησλ θύθισλ , a θαη , a

αληίζηνηρα . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ κέξνπο ηνπ ηεηξαγώλνπ .



. Αλ ηα ζεκεία

Γ , Γ ηζαπέρνπλ από ην κέζν ηνπ ηόμνπ

, λα δείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ ζρήκαηνο πνπ

νξίδεηαη από ην ηόμν

ηελ αθηίλα ΟΑ θαη ηηο θάζεηεο ΓΘ , ΓΙ ζηελ ΟΑ , είλαη ίζν κε ην

εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα Ο

.


αθηίλαο R .

ηελ ΟΒ παίξλνπκε ηκήκα 3

2

R θαη

θέξλνπκε θάζεηε ζην Γ πνπ ηέκλεη ην ηόμν

ζην ζεκείν Γ . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ ηξηγώλνπ ΓΒΓ.

149) Κε θέληξν ηπραίν ζεκείν Α ελόο θύθινπ

, R θαη αθηίλα 2R γξάθνπκε έλαλ άιιν

θύθιν C . Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ

θνηλνύ κέξνπο ησλ δπν θπθιηθώλ δίζθσλ .

150) Γπν ίζνη θύθινη αθηίλαο R έρνπλ δηάθεληξν

ίζε κε 2R . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ θνηλνύ

ηνπο κέξνπο .


151) ε έλα ηεηξάγσλν εγγεγξακκέλν ζε θύθιν

, R γξάθνληαη ηέζζεξηο ίζνη θύθινη πνπ

εθάπηνληαη κεηαμύ ηνπο εμσηεξηθώο θαη εθάπηνληαη ησλ πιεπξώλ ηνπ ηεηξαγώλνπ . Λα

βξεζεί ν ιόγνο ηνπ αζξνίζκαηνο ησλ εκβαδώλ

ησλ ηεζζάξσλ θύθισλ πξνο ην εκβαδόλ ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ, ζην ηεηξάγσλν , θύθιν .

152) Λα δεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ηεηξαγώλνπ

εγγεγξακκέλνπ ζε εκηθύθιην είλαη ηα 2

5 ηνπ

εγγεγξακκέλνπ ηεηξαγώλνπ ζε θύθιν .

153) Γίλεηαη θύθινο , R θαη δηάκεηξνο ΒΓ .

Πξνο ην ίδην κέξνο ηεο ΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία

Γ θαη Ζ ηνπ θύθινπ , ώζηε 6 ,

12 .

Αλ νη ρνξδέο ΒΖ θαη ΓΓ ηέκλνληαη ζην Α , ηόηε : α.

4 .

β. (1 3)a , όπνπ a , νη πιεπξέο ηνπ

ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

γ. λα ππνινγηζηεί ην 12 ζπλαξηήζεη ηνπ R .

154) Ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ πιεπξάο a είλαη

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R . Αλ ην εκβαδόλ

ηνπ κε θνηλνύ κέξνπο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ

, R θαη ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη 4 3 3

, λα ππνινγηζηνύλ ηα a , R .


- 46 -

155) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε

ππνηείλνπζα a θαη εκβαδόλ 2 .

α. Λα ππνινγηζηεί ε αθηίλα ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ

, ηνπ ΑΒΓ ζπλαξηήζεη ησλ a , .

β. Αλ Γ , Δ , Ε ηα ζεκεία ζηα νπνία ν θύθινο ,

εθάπηεηαη ηηο πιεπξέο ΒΓ , ΓΑ , ΑΒ αληίζηνηρα , λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ νξίδεηαη από ηελ

ρνξδή ΔΕ θαη ην ηόμν

.


)

θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ . Αλ 2 3 θαη 2 .

α. Λα ππνινγίζεηε ηα ηκήκαηα ΒΓ , ΑΓ , ΒΓ θαη ΓΓ . β. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ησλ θπθιηθώλ ηνκέσλ κε

θέληξα Β , Γ θαη αθηίλεο ΒΓ , ΓΓ αληίζηνηρα .

γ. Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ην ηξίγσλν θαη

ηνπο παξαπάλσ θπθιηθνύο ηνκείο .


)

θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ . Αλ 2 3 θαη 2 .

α. Λα ππνινγίζεηε ηα ηκήκαηα ΒΓ , ΑΓ , ΒΓ θαη ΓΓ .

β. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ησλ θπθιηθώλ ηνκέσλ κε

θέληξα Β , Γ θαη αθηίλεο ΒΓ , ΓΓ αληίζηνηρα . γ. Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ

ηεηξαπιεύξνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ην ηξίγσλν θαη ηνπο παξαπάλσ θπθιηθνύο ηνκείο .

158) Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε 090

, 060

θαη 4 cm . Κε θέληξν Β θαη

αθηίλα ΑΒ γξάθνπκε ηόμν πνπ ηέκλεη ηελ ΒΓ ζην Κ . Κε θέληξν ην Γ θαη αθηίλα ΓΚ γξάθνπκε

ηόμν πνπ ηέκλεη ηελ ΑΓ ζην Λ . Λα ππνινγηζηεί ε

πεξίκεηξνο θαη ην εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ην ηκήκα ΑΛ θαη

ηα ηόμα

θαη

.

159) Θεσξνύκε δπν αθηίλεο ΘΑ θαη ΘΒ ελόο

θύθινπ , έηζη , ώζηε 0120

. Κε

θέληξν ην ζεκείν Α θαη αθηίλα ξ γξάθνπκε

θύθιν ν νπνίνο ηέκλεη ην έιαζζνλ ηόμν

ζην ζεκείν Γ . Λα ππνινγίζεηε ηελ πεξίκεηξν θαη ην

εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ ηξηγώλνπ ΘΒΓ .

160) Γίλεηαη θύθινο , R θαη ηπραίν ζεκείν

ηνπ Α . Κε θέληξν ην Α θαη αθηίλα ηελ πιεπξά

ηζόπιεπξνπ ηξηγώλνπ εγγεγξακκέλνπ ζε απηόλ γξάθνπκε θύθιν C . Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ

ηνπ θνηλνύ κέξνπο ησλ δπν θπθιηθώλ δίζθσλ .

161) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΟΘΑΒ κε

2 2a . Γξάθνπκε ηνπο θύθινπο

, a θαη , a , νη νπνίνη εθάπηνληαη

εμσηεξηθά ζην κέζν Γ ηεο πιεπξάο ΟΘ .

Δμσηεξηθά ησλ θύθισλ , a θαη , a

γξάθνπκε εκηθύθιην δηακέηξνπ ΑΒ . Λα απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ηνπ

παξαιιεινγξάκκνπ ηζνύηαη κε ην εκβαδόλ ηνπ

ρσξίνπ πνπ βξίζθεηαη κεηαμύ ηνπ εκηθπθιίνπ θαη ησλ δπν θύθισλ .

162) Γίλεηαη θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ αθηίλαο

R . Γξάθνπκε ηνπο θύθινπο , R , , R ,

, R νη νπνίνη ηέκλνληαη ζρεκαηίδνληαο έλα

ηξηθύιιη . Λα βξείηε ηελ πεξίκεηξν θαη ην

εκβαδόλ ηνπ ηξηθπιιηνύ .

163) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ εγγεγξακκέλν ζε

θύθιν , R θαη ηα εκηθύθιηα κε δηακέηξνπο ηηο

πιεπξέο ηνπ ηεηξαγώλνπ , ηα νπνία βξίζθνληαη

έμσ από απηό . Λα απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ εκβαδώλ ησλ ηεζζάξσλ κελίζθσλ πνπ

ζρεκαηίδνληαη είλαη ίζν κε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ .


- 47 -

164) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε πιεπξά

6a cm θαη πέληε ίζνη θύθινη κέζα ζε απηό. Λα

βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ πνπ

απνκέλεη , αλ νη θύθινη αθαηξεζνύλ.

165) ην δηπιαλό ζρήκα θαίλεηαη θαλνληθό

εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ εγγεγξακκέλν ζε θύθιν

, R θαη έμη εκηθύθιηα κε δηακέηξνπο ηηο

πιεπξέο ηνπ . Έηζη ζρεκαηίδνληαη έμη κελίζθνη , θαζέλαο από ηνπο νπνίνπο έρεη εκβαδόλ . Λα

απνδείμεηε όηη ην άζξνηζκα ησλ εκβαδώλ ησλ

έμη κελίζθσλ θαη ελόο θύθινπ δηακέηξνπ R ηζνύηαη κε ην εκβαδόλ ηνπ εμαγώλνπ .

166) Θεσξνύκε θύθιν , R κε δηάκεηξν ΑΒ

θαη Ρ έλα ζεκείν ηεο ΑΒ κεηαμύ ησλ Α θαη Β . Κε δηακέηξνπο ηηο ΑΡ θαη ΡΒ θαη εθαηέξσζελ ηεο ΑΒ

γξάθνπκε ηα εκηθύθιηα C1 θαη C2 . Λα

πξνζδηνξηζηεί ε ζέζε ηνπ ζεκείνπ Ρ , αλ ν

θύθινο , R δηαηξείηαη από ηελ γξακκή ησλ C1

θαη C2 ζε 2 κέξε κε ιόγν εκβαδώλ 1

3 .

167) Γίλεηαη εκηθύθιην δηακέηξνπ 2a θαη ηα

ζεκεία Γ , Γ ηεο ΑΒ ηέηνηα , ώζηε a .

Γξάθνπκε ηα εκηθύθιηα δηακέηξσλ ΑΓ , ΒΓ θαη

ΓΓ ώζηε ηα δπν πξώηα λα βξίζθνληαη ζην εζσηεξηθό ηνπ αξρηθνύ εκηθπθιίνπ θαη ην ηξίην

ζην εμσηεξηθό ηνπ . Αλ ε θάζεηε ζηελ ΑΒ ζην

κέζνλ ηεο Ο ηέκλεη ην εκηθύθιην δηακέηξνπ ΑΒ ζην Θ θαη ην εκηθύθιην δηακέηξνπ ΓΓ ζην Ι , λα

δεηρζεί όηη ην εκβαδόλ , πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ησλ ηεζζάξσλ εκηθπθιίσλ , είλαη ίζν κε ην

εκβαδόλ ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ηελ ΘΙ .

168) ε θύθιν , R θαη πξνο ην ίδην κέξνο ηνπ

θέληξνπ θέξνπκε δπν παξάιιειεο ρνξδέο

4 θαη 3 . Λα ππνινγίζεηε ην

εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ ΑΒΓΓ θαη ην

εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ ΑΒΓΓ.

§5. ςύνθετα

θέματα

169) Γπν θύθινη κε αθηίλεο θαη 3

εθάπηνληαη εμσηεξηθά ζην Α . Αλ ΒΓ είλαη κηα θνηλή εμσηεξηθή εθαπηνκέλε ηνπο , λα

ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ εγγεγξακκέλνπ θαη

ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ.

170) Θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ είλαη

εγγεγξακκέλν ζε θύθιν , R θαη έζησ Θ , Ι ,

Κ , Λ , Ρ , ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ .

α. Λα απνδείμεηε όηη ην ΘΙΚΛΡ είλαη θαλνληθό εμάγσλν κε θέληξν ην Ο .

β. Λα απνδείμεηε όηη 3

4 .

γ. Λα βξεζεί , σο ζπλάξηεζε ηνπ R , ην κήθνο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ ζην ΘΙΚΛΡ .


171) Δλα πνιύγσλν είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν θαη έρεη ηηο γσλίεο ηνπ ίζεο . Λα απνδεηρζεί όηη :

α. Αλ έρεη άξηην πιήζνο πιεπξώλ , ηόηε αλά δπν νη

πιεπξέο ηνπ πνιπγώλνπ είλαη ίζεο . β. Αλ έρεη πεξηηηό πιήζνο πιεπξώλ , ηόηε ην πνιύγσλν

είλαη θαλνληθό .

172) Λα απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ ελόο

θαλνληθνύ 2v – γώλνπ , πνπ είλαη εγγεγξακκέλν

ζε θύθιν , R , είλαη κέζν αλάινγν ησλ

εκβαδώλ ησλ δπν θαλνληθώλ v – γώλσλ , από

ηα νπνία ην έλα είλαη εγγεγξακκέλν θαη ην άιιν

είλαη πεξηγεγξακκέλν ζηνλ θύθιν , R .


- 48 -

173) Γίλεηαη θύθινο , R θαη κηα ρνξδή ηνπ

ΑΒ κήθνπο v ( 3v ) . Θύθινο , κε

3

3

R ηέκλεη ηηο αθηίλεο ΑΟ θαη ΒΟ ζηα

ζεκεία Α΄ θαη Β΄ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη

: α. Σν εκβαδόλ Δ ηνπ κηθηόγξακκνπ ηεηξαπιεύξνπ

ΑΒΒ΄Α΄ (κε δπν ηόμα σο πιεπξέο ηνπ) είλαη δηπιάζην

από ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα

.

β. 23 2v R .

174) Έζησ θύθινο , R θαη κηα ρνξδή ηνπ

v . Αλ ν θύθινο 4, a ηέκλεη ηηο αθηίλεο

ΟΑ θαη ΟΒ ζηα Α΄ θαη Β΄ αληίζηνηρα , λα

απνδείμεηε όηη : α. ην εκβαδόλ ε ηνπ κηθηόγξακκνπ ηεηξαπιεύξνπ

ΑΒΒ΄Α΄ (κε δπν πιεπξέο ηόμα) ηζνύηαη κε ην εκβαδόλ

ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα

η

β. 22v R .


175) Λα ππνινγίζεηε ηνλ ιόγν ησλ εκβαδώλ ησλ

δπν θπθιηθώλ ηκεκάησλ , ζηα νπνία δηαηξείηαη

έλαο θύθινο , R από κηα ρνξδή πνπ είλαη

κεζνθάζεηε κηαο αθηίλαο ηνπ .

176) Γίλεηαη εκηθύθιην δηακέηξνπ ΑΒ θαη δπν

νπνηαδήπνηε ζεκεία Γ , Γ ηεο ΑΒ . Γξάθνπκε ηα

εκηθύθιηα δηακέηξσλ ΑΓ , ΒΓ κέζα ζην αξρηθό εκηθύθιην θαη ην εκηθύθιην δηακέηξνπ ΓΓ έμσ

από απηό . Λα απνδεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη θαη από ηα ηέζζεξα

εκηθύθιηα , ηζνύηαη κε ην εκβαδόλ ηνπ θύθινπ πνπ έρεη δηάκεηξν ηε κέζε αλάινγν ησλ ΑΓ θαη

ΒΓ.

177) Γίλεηαη θύθινο , 4 θαη δπν θάζεηνη

δηάκεηξνη ΑΒ θαη ΓΓ . Κε δηακέηξνπο ηηο ΟΑ , ΟΒ

,

ΟΓ , ΟΓ γξάθνπκε θύθινπο . Λα ππνινγηζηεί : α. Σν εκβαδόλ ησλ θνηλώλ ηκεκάησλ ησλ ηεζζάξσλ

θύθισλ , αλά δπν . β. Σν εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ

θύθινπ , 4 θαη ησλ ηεζζάξσλ εζσηεξηθώλ θύθισλ.

178) Οξζνγώλην ηξίγσλν έρεη θάζεηεο πιεπξέο 9 θαη 12 . ην ηξίγσλν απηό

εγγξάθνπκε θύθιν , . Λα βξεζεί ην

εκβαδόλ ηνπ θύθινπ απηνύ .

179) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ , κε πιεπξά 6 cm .

Κε θέληξα ηηο θνξπθέο ηνπ ηεηξαγώλνπ θαη αθηίλα ην κηζό ηεο δηαγσλίνπ ηνπ , γξάθνπκε

ηόμα πνπ βξίζθνληαη ζην εζσηεξηθό ηνπ ηεηξαγώλνπ , ηα νπνία ηέκλνπλ ηηο πιεπξέο ηνπ

ηεηξαγώλνπ ζε νθηώ ζεκεία.

α. Λα απνδεηρζεί όηη ηα ζεκεία απηά είλαη θνξπθέο θαλνληθνύ νθηαγώλνπ.

β. Λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ κέξνπο πνπ είλαη γξακκνζθηαζκέλν κέζα ζην ηεηξάγσλν.

180) Λα απνδεηρζεί γεσκεηξηθά (ρσξίο πξάμεηο)

όηη 5 10 6

1( )

2a .

181) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ κε πιεπξά

a . Κε θέληξα ηηο θνξπθέο ηνπ θαη αθηίλα a

γξάθνπκε ηξία ηόμα πνπ πεξηέρνληαη κεηαμύ ησλ

άιισλ θνξπθώλ . ην θακππιόγξακκν ηξίγσλν ΑΒΓ εγγξάθνπκε θύθιν . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ

ηνπ θύθινπ απηνύ .

182) ην εζσηεξηθό ηεηξαγώλνπ γξάθνπκε

ηέζζεξηο ίζνπο θύθινπο πνπ εθάπηνληαη κεηαμύ

ηνπο εμσηεξηθά θαη εθάπηνληαη ησλ πιεπξώλ ηνπ ηεηξαγώλνπ . Λα ππνινγηζζεί , σο

ζπλάξηεζε ηεο πιεπξάο α ηνπ ηεηξαγώλνπ ην

εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηνπο ηέζζεξηο θύθινπο .


183) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ κε πιεπξά

a . Γξάθνπκε ηξία ηόμα πνπ πεξλνύλ αλά έλα

από ηηο θνξπθέο ηνπ θαη από ην θέληξν ηνπ ηξηγώλνπ . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ

ηξηθπιιηνύ πνπ ζρεκαηίδεηαη .

184) ε ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη γλσζηά ηα ζηνηρεία

ηνπ 0105

, 045

θαη a . Κε θέληξα

ηηο θνξπθέο Β , Γ θαη αθηίλεο θαη

αληίζηνηρα γξάθνπκε ηόμα

θαη

(ηα Δ θαη

Ε αλήθνπλ ζηε ΒΓ) . Λα ππνινγηζζνύλ ηα εκβαδά ησλ ηξηώλ ηκεκάησλ , ζηα νπνία ην

ηξίγσλν δηαηξείηαη από ηα ηόμα απηά .


- 49 -

185) Θαλνληθνύ εμαγώλνπ ΑΒΓΓΔΕ νη πιεπξέο ΑΒ

, ΓΓ ηέκλνληαη ζην Ο . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΓ ζπλαξηήζεη ηεο αθηίλαο R

ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ ζην εμάγσλν θύθινπ .

186) Σξίγσλν ΘΙΚ είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν

, R , θαη 2 2 , ,

, όπνπ θαη γλσζηά κήθε . Λα

ππνινγηζζνύλ ηα εκβαδά ησλ θπθιηθώλ ηκεκάησλ ζηα νπνία ε ΙΘ ρσξίδεη ηνλ θύθιν .

3.205 Λα απνδεηρζεί :

α. όηη ηα απνζηήκαηα 3a θαη

6a θαλνληθνύ ηξηγώλνπ

θαη εμαγώλνπ πνπ είλαη εγγεγξακκέλα ζηνλ ίδην θύθιν

αθηίλαο R είλαη κεηαμύ ηνπο θάζεηα (βιέπε παξαθάησ ζρήκα) .

β. όηη ηα ηξίγσλα ΑΟΒ θαη ΒΟΓ είλαη ηζνδύλακα .

187) Λα απνδεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ηεο

θπθιηθήο ζηεθάλεο πνπ ζρεκαηίδεηαη κεηαμύ ησλ

δπν θύθισλ αθηηλώλ R θαη ( R ) , ηζνύηαη

κε 2

2

4( )

.


αθηίλαο

R θαη ην εκηθύθιην δηακέηξνπ ΟΑ θαη

θέληξνπ Θ ζην εζσηεξηθό ηνπ ηεηαξηνθπθιίνπ .

Από ην Θ θέξνπκε ηελ θάζεηε ζηελ ΟΑ , πνπ ηέκλεη ην εκηθύθιην ζην ζεκείν Γ θαη ην

ηεηαξηνθύθιην ζην ζεκείν Γ . Λα ππνινγίζεηε ην

εκβαδόλ ηνπ κηθηόγξακκνπ ηεηξαπιεύξνπ ΟΒΓΓ

(νη πιεπξέο

θαη

είλαη ηόμα) .

189) Θεσξνύκε ηεηαξηνθύθιην ηόμνπ

ελόο

θύθινπ , R κε R θαη έλα ηπραίν

ζεκείν Γ πάλσ ζηελ αθηίλα ΑΟ . Κηα κεηαβιεηή εκηεπζεία y θάζεηε ζηελ ΑΟ ηέκλεη ην

ηεηαξηνθύθιην ζην ζεκείν . Πάλσ ζηελ y

παίξλνπκε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2 2

, θαη ζηελ πξνέθηαζε ηεο εκηεπζείαο ΑΟ πξνο ην

Ο παίξλνπκε ζεκείν Γ ηέηνην ώζηε 2 .

α. Λα απνδείμεηε όηη 090

.

β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ . γ. Λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ

πεξηθιείεηαη από απηόλ ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν θαη ηελ επζεία ΟΑ .

190) Θεσξνύκε εκηθύθιην δηακέηξνπ ΑΒ θαη

ζεκείν ηεο Γ . Κεηαβιεηή εκηεπζεία x θάζεηε

ζηελ ΑΒ ηέκλεη ην εκηθύθιην ζην ζεκείν .

Πάλσ ζηελ x παίξλνπκε ζεκείν Κ , ώζηε λα

ηζρύεη 2 22 θαη θέξνπκε επζεία θάζεηε

ζηελ ΑΚ ζην Κ , πνπ ηέκλεη ηελ πξνέθηαζε ηεο

ΑΒ ζην Γ . Σόηε α. λα απνδείμεηε όηη 2 ,

β. λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ ζεκείνπ Κ , θαζώο ε εκηεπζεία x κεηαβάιιεηαη ,

γ. λα απνδείμεηε όηη ην κήθνο ηεο γξακκήο πνπ γξάθεη ην Κ ηζνύηαη κε ην κήθνο ηνπ εκηθπθιίνπ δηακέηξνπ ΑΒ


191) Γίλεηαη εκηθύθιην δηακέηξνπ ΒΓ θαη αθηίλαο

R . Έζησ Γ ηπραίν ζεκείν ηνπ

εκηθπθιίνπ θαη Α ζεκείν απηνύ ηέηνην , ώζηε λα

ηζρύεη γηα ηα ηόμα

= 1

2

. Αλ W θαη Q

είλαη ηα εκβαδά ησλ θπθιηθώλ ηκεκάησλ ησλ ρνξδώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα θαη S ην εκβαδόλ

ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα πνπ αληηζηνηρεί ζην ηόμν

, ηόηε λα απνδείμεηε 1

22

Q W S R ,

όπνπ ύςνο ηνπ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ .

192) Γίλεηαη εκηθύθιην θέληξνπ Ο θαη δηακέηξνπ

4 . Φέξνπκε κηα ρνξδή ηνπ 2 2 θαη

κηα ρνξδή ηνπ 2 ηέηνηα , ώζηε ην ζεκείν Ι

λα κελ είλαη εζσηεξηθό ηνπ ηόμνπ

. α. Λα απνδείμεηε όηη ε ρνξδή ΙΒ είλαη πιεπξά

θαλνληθνύ δσδεθαγώλνπ . β. Έζησ ΟΓ , ΟΓ , ΟΔ νη απνζηάζεηο ηνπ Ο από ηηο

ρνξδέο ΑΘ , ΘΙ , ΙΒ αληίζηνηρα . Λα βξείηε ηελ

κεγαιύηεξε από απηή θαη λα ππνινγίζεηε ην κήθνο ηεο.


- 50 -

193) Γίλεηαη εκηθύθιην δηακέηξνπ 2R ,

ηπραίν ζεκείν ηνπ Γ θαη ην κέζν Α ηνπ ηόμνπ

.

α. Αλ 1 ,

2 είλαη ηα εκβαδά ησλ θπθιηθώλ ηκεκάησλ

ησλ ρνξδώλ ΑΓ , ΑΒ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη

1 2 ( )

.

β. Λα απνδείμεηε όηη ν κέγηζηνο θύθινο πνπ

εγγξάθεηαη ζην θπθιηθό ηκήκα ρνξδήο ΑΓ (δειαδή βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θπθιηθνύ ηκήκαηνο θαη

εθάπηεηαη ζην ηόμν θαη ζηελ ρνξδή) , είλαη απηόο πνπ

εθάπηεηαη ζην κέζν ηεο ρνξδήο ΑΓ. γ. Έζησ

1 , 2 ηα εκβαδά ησλ κέγηζησλ θύθισλ ησλ

εγγεγξακκέλσλ ζηα θπθιηθά ηκήκαηα ρνξδώλ ΑΓ , ΑΒ

αληίζηνηρα

i. Λα απνδείμεηε όηη 2

1 24

R .

ii. Αλ 0120

, λα απνδείμεηε όηη 2

1 2(7 4 3)8

R .


194) Σξίγσλν ΑΒΓ είλαη εγγεγξακκέλν ζε θύθιν

, 1 . Ζ γσλία

βαίλεη ζε ηόμν κήθνπο

2

3

R . Αλ 4 , 5 , λα βξεζεί ην

κήθνο ηεο πιεπξάο ΒΓ θαη ην εκβαδόλ ηνπ

θύθινπ .

195) Γπν ίζνη θύθινη κε θέληξα Ο θαη Ο΄

αληίζηνηρα εθάπηνληαη εμσηεξηθά ζην Α . Φέξνπκε δπν αθηίλεο ΟΒ θαη Ο΄Β΄ παξάιιειεο

κεηαμύ ηνπο θαη ζην ίδην εκηεπίπεδν σο πξνο ηελ ΟΟ΄ . Θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά από ηνπο δπν

θύθινπο ην εκηθύθιην δηακέηξνπ ΒΒ΄ . Λα απνδείμεηε όηη :

α. ( ) ( )

, όπνπ Α΄ ην αληηδηακεηξηθό ηνπ Α

ζηνλ Ο ΄.

β. ( ) ( ) ( )

.

γ. ( ) ( ) ( )

, όπνπ Θ ην κέζν ηνπ

ΒΒ΄ . δ. ην εκβαδόλ ε ηνπ θακππιόγξακκνπ ζρήκαηνο κε

πιεπξέο ηα ηόμα

,

θαη

είλαη ίζν κε ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΟΒΒ΄Ο΄ . Αλ ηα Β ,

Β΄ θηλνύληαη πάλσ ζηνπο θύθινπο , ώζηε νη αθηίλεο ΟΒ

θαη Ο΄Β΄ λα δηαηεξνύλ ηηο αξρηθέο ηδηόηεηεο , ζε πνηα ζέζε ησλ Β , Β΄ ην εκβαδόλ γίλεηαη κέγηζην .


196) Έζησ θύθινο , 1 . Θεσξνύκε ην

ηεηαξηνθύθιην

ηνπ θύθινπ θαη ηα εζσηεξηθά ηνπ ζεκεία Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε

030

.

α. Λα ππνινγηζζνύλ νη ρνξδέο ΑΒ θαη ΑΓ .

β. Πξνεθηείλσ ηελ ΑΓ ε νπνία ηέκλεη ηελ δηάκεηξν ΙΘ ζην Γ . Λα ππνινγίζεηε ην ηκήκα ΓΓ .

Education

Σημειώσεις Β Λυκείου Γεωμετρία