Урок - лекція

Тема уроку. Перпендикулярність прямих і площин у просторі.Мета уроку: - ознайомити учнів з перпендикулярністю прямих і площин у просторі;

- довести теореми :про перпендикулярність прямої і площині;про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим;

- довести теореми, що виражають властивості прямої і площини перпендикулярних між собою;

- розвивати вміння будувати ланцюжок логічних тверджень, робити висновок, систематизувати новий навчальний матеріал;

- виховувати охайність, формувати вміння працювати з навчальною літературою.

Обладнання: стереометричний набір,таблиці, мультимедійні засобиТип уроку : засвоєння нових знань Хід урокуІ. Актуалізація опорних знань учнів. Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорили при перпендикулярність прямих.- Які прямі називаються перпендикулярними?- Скільки прямих перпендикулярних до даної прямої,через точку на цій

прямій , можна провести?- Як розміщені дві прямі перпендикулярні до даної прямої?ІІ. Мотивація навчальної діяльності. У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпендику-лярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин. На цьому уроці ми займемося послідовним вивченням цих трьох відношень.ІІІ. Повідомлення теми і мети уроку.IV. Сприйняття й осмислення нового матеріалу

1. Означення перпендикулярних прямих у просторі Почнемо з випадку перпендикулярності прямих у просторі.Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.Розв'язування задач1. Назвіть в оточенні моделі прямих, які перпендикулярні між собою.2. Дано зображення куба АВСDA 1B 1C 1D 1 . Укажіть ребра куба, які перпендикулярні до прямої АА1.

2. Теорема про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим

Питання до класу: що можна стверджувати про взаємне розташування прямих а1 і b1 , які перетинаються і а1 ІІ а, b1ІІb, а⊥ b ? Учні висувають гіпотезу, що а1 ⊥ b1. Для ілюстрації цього твердження використовується каркасна модель куба або прямокутного паралелепіпеда.Далі формулюємо теорему:Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.Доведення цієї теореми проводить учитель. Запис доведення теореми виконується на дошці і в зошитах учнів.

Дано: а ⊥b , а⊂α , b⊂α , а1 ІІ а, b1ІІb а1⊂α 1, b1⊂α 1 ; а1 і b1перетинаються (рис. 1). Довести: а1 ⊥b1

ДоведенняНомер п \п

Твердження Аргумент

1 а і b лежать в α , а1 і b1 , лежать вα 1 .

С3

2 α ІІ α1 Теорема 2.43 Нехай точка С — точка

перетину а і b, точка С1 — точка перетину а1 і b1

Означення

4 АА1 ІІ СС1, ВВ1 ІІ СС1 Теорема 2.15 А1А2 ІІ ВВ1 Теорема 2.26 САА1С1 і СВВ1С1 —

паралелограми, отже, АС = А1С1 , ВС = В1С1

АС ІІ А1С1 ; АА1 ІІ СС1,СВ ІІ С1В1 , ВВ1 ІІ СС1

7 АВВІА1 — паралелограм, отже, АВ = А1С1

АВ ІІ А1В1 , АА1 ІІ ВВ1

8 ∆АВС = ∆А1В1С1 , отже,< А1В1С1 = <ACB=90° , тоді а1 ⊥b1

Третя ознака рівності трикутників

3. Означення перпендикулярності прямої і площини

Уявлення про пряму перпендикулярну до площини дають вертикально поставлені стовпи — вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, яка проходить через основу стовпи і лежить у площині землі. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає

цю площину та перпендикулярна до будь - якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину. На рис. пряма с перпендикулярна до площини α .

Пишуть: c⊥b . З означення випливає, що с ⊥ а , с ⊥b .

Розв'язування задач1. Укажіть в оточуючому просторі моделі прямих і площин, які пер-

пендикулярні.2. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини, то

вона не перпендикулярна ні до жодної прямої, яка лежить в цій площині?

3. Що означає твердження: пряма не перпендикулярна до площини?

4. Ознака перпендикулярності прямої і площини Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це питання має практичне значення, наприклад, при установці щогл, колон тощо, які потрібно поставити прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину даної прямої і площини, а досить перевірити перпендикулярність лише до двох прямих, які лежать у площині і проходять через точку перетину прямої і площини. Це випливає з теореми, що виражає ознаку перпендикулярності прямої і площини.Теорема.Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.Далі колективно розбирається доведення сформульованої теоремиза заготовленим рисунком і умовою теореми. Запис робиться на дошці і в зошитах учнів.

Дано: а ⊥ с , а ⊥ Ь , b⊂с, с⊂ а а ; а, b, с перетинаються в точці А; х⊂ α . До ве сти: а⊥ х

ДоведенняДодаткові побудови: проводимо пряму в площині α , яка перетинає прямі b, х, с в точках В, X, С, та відкладаємо на прямій а ААІ = АА2.

Номер Твердження п/п

Аргументи

1 ∆A 1СА2 — рівнобедрений АС — висота за умовою та медіана за побудовою

2 ∆А1ВА2 — рівнобедрений АВ — висота за умовою та медіана за побудовою

3 ∆A 1СВ = ∆А2СВ За третьою ознакою рівності трикутників (А 1В = А2В із п. 2; А 1С = А2C із п. 1; СВ — спільна)

4 <А1ВХ = <А2ВХ Із п. 3

5 ∆А1ВХ = ∆А2ВХ За першою ознакою рівності три-кутників (< A1ВХ =<A 2ВХ із п. 4; А 1В = ВХ2 із п. 3; ВХ — спільна)

6 А,Х = А2Х Із п. 57 ∆АІХА2 — рівнобедрений А1Х = А2Х8 ХА — медіана є висотою: ХА ⊥ А1А2

∆А1ХА2 — рівнобедрений

5. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собоюТеорема 1.

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.Д о в е д е н н я

Нехай а1ІІа2 і а1 ⊥α . Доведемо, що α ⊥а2. Точки А1 і А2 — точки перетину а1 і а2 з площиною α .У площині α через точку А2 проведемо довільну пряму х2, а через точку А1 – пряму х1 таку, що х1ІІ х2. Оскільки а1ІІа2, х1ІІ х2 і а1 ⊥ х1, то за теоремою 3.1 а2 ⊥ х2 . Оскільки х2 вибрана довільно в площині α , то а2 ⊥α .Теорема 2.

Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площині , то прямі паралельні. Д о в е д е н н яНехай а ⊥α , b⊥ α . Доведемо, що а || b. Припустимо, що а не паралельно до b. Тоді через точку С прямої b

проведемо b1, паралельну а. Оскільки а ⊥α , то b1⊥α за доведеною теоремою, а за умовою b⊥ α . Якщо точки А і В — точки перетину прямих b1 і b з площиноюα , то з припущення випливає, що в трикутнику <А = <В = 90° , що не може бути. Отже, а ІІ b .

V. Підсумок уроку. Відстань від точки S до кожної із вершин прямокутника АВСD однакова (рис. 1), точка О — точка перетину діагоналей АС і ВD прямокутника АВСD. Укажіть, які з поданих нижче тверджень правильні, а які — неправильні:

а) пряма SO перпендикулярна до прямої ВD;б) пряма SO не перпендикулярна до прямої АС;в)пряма SО не перпендикулярна до площини АВС;г) пряма АС обов'язково перпендикулярна до площини ВDS;д) якщо АВ = 6 см; ВС = 8 см і АS = 13 см, то SО = 12 см.

Рис.1

VI. Домашнє завдання.Вивчити новий матеріал за підручником: §2(п.п.14-17), ознайомитись самостійно з п.16, скласти короткий конспект.Підготуватися до семінару (який відбудеться через 2 уроки) за планом.

1. Означення перпендикулярних прямих у просторі (довести теоремупро прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим).

2. Ознака перпендикулярності прямої і площини.3. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Практичне заняттяТема уроку: Розв’язування задач Мета: формувати вміння учнів застосовувати знання про перпендикулярність прямої і площини до розв’язування задач; розвивати математичне мислення; виховувати культуру математичного запису та культуру математичної мови.Обладнання: стереометричний набір, моделі кубаТип уроку: комбінований Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання. 1. Перевірити складені вдома короткі конспекти з теми (візуально). 2. Два учні на дошці схематично відтворюють конспект : - Дано пряму а і точку А поза нею. Провести через точку А площину , перпендикулярно до прямої а.

- Дано пряму а і точку А на ній . Провести площину , яка проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а .

3 . Математичний диктант(після написання диктанта , учні виконують взаємоперевірку)

Рис.1 Рис.2

Дано: МА⊥АВ, МА ⊥ АС ; <ВАС = 90° ; АF — медіана трикутника АВС; варіант 1 (рис. 1) — АВ = 5 см, АС = 12 см; варіант 2 (рис. 2) — АВ = 8 см, АС = 6 см. 1) Яке взаємне розміщення прямої МА і площини АВС? (2 бали) 2) Яке взаємне розміщення прямої МА і прямої АF? (2 бали) 3) Чи правильно, що АF⊥ ВС ? (2 бали) 4) Знайдіть довжину гіпотенузи ВС. (2 бали) 5) Знайдіть довжину медіани АF. (2 бали)6) Знайдіть довжину відрізка МА, якщо МF = 7 см. (2 бали) Відповідь. Варіант 1. 1) МА ⊥(АВС); 2) МА ⊥ АF ; 3) ні; 4) 13 см; 5) 6,5 см; 6) √6.75 см.Варіант 2. 1) МА ⊥(АВС); 2) МА ⊥АF ; 3) ні; 4) 10 см; 5) 5 см; 6) 2√6 см.

ІІ. Мотивація навчально – пізнавальної діяльності учнів і повідомлення теми і мети уроку ІІІ. Закріплення та осмислення знань учнів Розв'язування задач(Клас поділено на дві групи. Кожна група розв’язує по чотири задачі, після чого виконує звіт ) Завдання для І групи учнів1.Діагоналі двох прямокутників відповідно паралельні. Чи паралельні відповідні сторони цих прямокутників?(Відповідь. Так.)

2. Дано зображення куба АВСDA 1B 1C 1D 1 (рис. 3). Точки М, N, Р, К — точки перетину діагоналей граней АВВ1А1 , СDD1C1 і АВСD відповідно. Довести, що МN ⊥ РК .

3.Промені ОВ, ОС, ОD попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка ВС, якщо ОD = а, DС = b, DB= c.(Відповідь. √b2+c2−2a2)

4 . У трикутнику АВС <С = 900, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медіана. Через вершину С проведено пряму СК , яка перпендикулярна до площини трикутника АВС , причому СК = 12 см. Знайдіть КМ.(Відповідь. 13 см.)

Завдання для ІІ групи учнів1 . АВСD – ромб, його сторони відповідно паралельні до сторін чотирикутника А1В1С1D1 . Чи перпендикулярні діагоналі чотирикутника А1В1С1D1 ?(Відповідь. Не обов’язково .)

2. Дано куб АВСDA 1B 1C 1D 1 . Через точку М, що належить ребру АA1, в грані АА1DD1, проведіть пряму МN так, щоб < МОD1 = 90° , де точка О — точка перетину прямих МN і АD1 . Розв'язанняПроведемо в квадраті А1АDD1 діагоналі АD1 і А1D (АD1 ІІ А1D) (рис. 4). Через точку М ребра АА1 в грані АDD1A1 проведемо пряму МN ІІ А1D. За теоремою 3.1 МN ⊥ АD1 , оскільки <A1OD1 = 90° .

Рис. 3 Рис. 4

3 . У прямокутному паралелепіпеді АВСD А1В1С1D1 АВ = b, А1В = а, АD =с. Знайдіть А1D.(Відповідь. √а2−b2+c2)

4 . Пряма СD перпендикулярна до площини правильного трикутника АВС. Через центр цього трикутника проведена пряма ОК, паралельна до прямої СD. Відомо, що АВ = 16√3 см, ОК = 12 см, СD = 16 см. Знайдіть відстань від точок D і К до вершин А і В трикутника.(Відповідь. КА = КВ = 20 см; DА = DВ = 32 см. )ІІІ . Підсумок уроку Відстань від точки S до вершин прямокутного трикутника АВС(<С= 900) однакова (рис. 5), точка О — середина гіпотенузи АВ. Укажіть, які з поданих нижче тверджень правильні, а які — неправильні:

а) пряма СО не може бути перпендикулярна до площини SАВ;б) Пряма СО обов'язково перпендикулярна до прямої SО;в) пряма SО обов'язково перпендикулярна до площини АВС; г) якщо АС = 6 см, ВС = 8 см і СS = 13 см, то SО = 12 см.

IV. Домашнє завдання Розв’язати задачі домашньої контрольної роботи

1. До площини правильного трикутника АВС проведено перпендикуляр SА. АМ — медіана трикутника АВС. Які прямі перпендикулярні до ВС?

2. Дано АВСD — ромб, МА перпендикулярна до площини АВD. Довести: МО⊥ВD, О — точка перетину діагоналей ромба.

3. Дано <АВС = 900 , К∈ АС, FK ⊥α . Провести з точки F перпендикуляр на пряму АВ.

4. Дано квадрат зі стороною 20√2см. Деяка точка простору знаходиться на відстані 25 см від кожної вершини квадрата. Знайдіть відстань від цієї точки до пло-щини квадрата.

5. Дано трикутник зі сторонами 26 см, 28 см, ЗО см. Точка D віддалена від усіх сторін трикутника на 17 см і проектується у внутрішню точку трикутника. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.

6. У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює α , а бічні сторони — а. Поза площиною трикутника дано точку, яка віддалена від усіх його вершин на b. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.

Урок – консультація (аукціон)Тема уроку: Розв'язування задач.Мета уроку: у цікавій формі повторити тему, показати практичне застосування знань, умінь, навичок;розвивати математичне мислення; виховувати почуття відповідальності.Обладнання: гонг, дерев’яний молоток, секундомір, таблиціТип уроку: урок комплексного застосування знань, умінь і навичок Хід урокуІ.Актуалізація опорних знаньЛот 1.Перевірка «акціонерних товариств» на «сплатоздатність», тобто підготовленість учнів із даної теми. ІЛот представляє собою п’ять питань від кожної групи(учні готують самостійно), на які треба дати відповідь «так» чи «ні» (якщо на питання ніхто не дає правильної відповіді, то відповідає і пояснює один із купців). Члени «акціонерних товариств», відповідаючи «так», піднімають руки, відповідаючи «ні», — не піднімають. «Президенти» ведуть облік правильних відповідей у сусідніх «товариствах», до яких ; вони переходять перед початком лоту. Підрахунок кількості правильних відповідей та середнього балу за зібраними картками виконує перший «купець» і звіт передає «банкіру».ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів.ІІІ. Повідомлення теми, мети і завдань урокуІV. Усвідомлення учнями змісту роботи Умови проведення аукціону «Товаром» на уроці-аукціоні є знання учнів. «Товар» на аукціоні називають «лот», той хто продає — «купець». Ведучий — учитель. Урок потребує невеликої попередньої підготовки. Призначаються три «купці», які готують «лоти» (розв’язання задач трьох рівнів складності із домашньої контрольної роботи), «банкір», який відповідає за підготовку класу та звітну таблицю результатів. Це повинні бути учні, які добре встигають з предмета. Решта учнів розбиваються на групи — «акціонерні товариства», серед них призначається «президент».«Президенти» (керівники груп) повинні підготувати перелік питань з яких виникли запитання в своїх «акціонерних товариствах».Кожен учень повинен підготувати запитання, які виникли під час розв’язання домашньої контрольної роботи. Оцінку відповідей учнів дають «купці». Максимальна оцінка за задачу середнього рівня — 2 бали, за завдання достатнього рівня — З бали, за завдання високого рівня — 6 балів. «Банкір» визначає середній бал по кожному «акціонерному товариству» і заносить у звітну таблицю результати. Потім по черзі надає слово «купцям» для представлення завдань.V.- VI. Самостійне виконання учнями завдання під контролем і з допомогою вчителя та звіт учнів про способи і результати виконаної роботи.Лот 2. (№ 1, середній рівень)Кожному «акціонерному товариству» потрібно було розв’язати задачі із домашньої контрольної роботи. Один – із членів «товариства» пояснює розв'язання біля

дошки. За правильне доповнення або виправлення друге «товариство» може отримати 1 бал.У цьому лоті дається задача середнього рівня.Оцінює відповіді другий «купець» і передає «банкіру» результати.ЗадачаДо площини правильного трикутника АВС проведено перпендикуляр SА. АМ — медіана трикутника АВС. Які прямі перпендикулярні до ВС?

Лот З. (№ 2, середній рівень) ЗадачаДано АВСD — ромб, МА перпендикулярна до площини АВD. Довести: МО⊥ВD, О — точка перетину діагоналей ромба.Лот № 4. (№ 1, достатній рівень) ЗадачаДано <АВС = 900 , К∈ АС, FK ⊥α . Провести з точки F перпендикуляр на пряму АВ.

Лот № 5. (№ 2, достатній рівень) Задача Дано квадрат зі стороною 20√2см. Деяка точка простору знаходиться на відстані 25 см від кожної вершини квадрата. Знайдіть відстань від цієї точки до площини квадрата.Лот № 6. (№ 1, високий рівень)Задача Дано трикутник зі сторонами 26 см, 28 см, ЗО см. Точка D віддалена від усіх сторін трикутника на 17 см і проектується у внутрішню точку трикутника. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.Лот № 7. (№ 2, високий рівень)Задача У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює α , а бічні сторони — а. Поза площиною трикутника дано точку, яка віддалена від усіх його вершин на b. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.VII. Підсумок уроку. Ведучий повідомляє, що весь товар проданий, аукціон закривається. «Банкір» закінчує облік балів і повідомляє результати аукціону. VIII. Домашнє завдання Підготуватися до виступу на семінарі.

Урок – семінарТема уроку: Перпендикулярність прямих і площин у просторі ( розв’язування задач)Мета уроку: узагальнити і систематизувати знання учнів з теми, набути вмінь та навичок доводити твердження; розвивати логічне мислення учнів у процесі доведення тверджень, вчити послідовно та чітко висловлювати свої думки та впевнено їх захищати; виховувати культуру математичної мовиОбладнання: таблиці «Перпендикулярність прямих і площини»; стереометричний набір; роздатковий матеріал; мультимедійні засоби.Тип уроку: узагальнення і систематизація знань, вмінь і навичок учнів. Хід урокуІ. Мотивація навчальної діяльності учнів і повідомлення теми ,завдання і плану уроку. Девіз уроку : Математика – це мова плюс міркування, це наче й логіка разом. Математика – знаряддя для міркування. Р. Фейнман План семінару

1. Означення перпендикулярних прямих у просторі (довести теоремупро прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим).

2. Ознака перпендикулярності прямої і площини.3. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою.

(учні перед початком уроку розбиваються на 3 групи. На перерві кожна група отримує одне із питань семінару, захист якого робитиме на уроці)

ІІ. Узагальнення вивченого матеріалу.1. Гімнастика розуму

(усне опитування з використанням таблиць, моделей)І група- Які прямі в просторі називаються перпендикулярними?- Сформулюйте означення прямої перпендикулярної до площини.- Чи завжди через дану точку можна провести площину, перпендикулярну

до даної прямої?- Як розташовані прямі перпендикулярні до площини?- Сформулюйте теорему за малюнком

ІІ група

- Чи визначають площину дві перпендикулярні площини? Чому?- Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої до площини.- Скільки прямих , перпендикулярних до даної площини , можна провести

через дану точку?- Як розташовані пряма і площина, якщо площина, паралельна до даної

площини, перпендикулярна до даної прямої?- Сформулюйте теорему за малюнком

ІІІ група

- Як розташовані дві прямі, які перетинаються і відповідно паралельні перпендикулярним прямим?

- Що означає пряма перпендикулярна до площини?- Чи завжди через дану точку можна провести пряму, перпендикулярну до

даної площини?- Як розташовані в просторі площини, які перпендикулярні до прямої?- Сформулюйте теорему за малюнком

2. Історична екскурсія(невеликі реферати, повідомлення з історії математики по даній темі)

3. Серйозне математичне повідомлення.Робота груп за планом семінару. Формулювання і доведення теорем(індивідуально , в парі ). Кожна група проводить захист одержаного плану семінару, інші учні груп доповнюють, ставлять додаткові запитання. Робота кожної групи оцінюється вчителем.

4. Захист творчих робіт.

Проект «Перпендикулярність прямих і площин у просторі»

ІІІ. Підсумок уроку. Оцінка роботи кожної групи. Назвати найважливіші поняття теми «Перпендикулярність прямих і площин» (відповіді учнів)ІV. Домашнє завдання. Підготуватися до контрольно – залікового уроку. Розв’язати задачі .1. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Точка М знаходиться поза

площиною ромба і віддалена від усіх його сторін на 8 см. Знайти відстань від точки М до площини ромба.

2. Який із малюнків слід використати при розв’язуванні задачі: Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b. Точка простору рівновіддалена від усіх вершин трикутника і знаходиться на відстані сВід його площини. Знайти відстані від цієї точки до вершин трикутника.

Контрольно – заліковий урок

Тема уроку: Контрольна робота ( тест)

Мета уроку: перевірити навчальні досягнення учнів з теми «Перпендикулярність прямої і площини»; розвивати вміння використовувати набуті знання до розв’язування вправ; виховувати культуру математичного запису. Обладнання: тексти тестів Тип уроку: урок перевірки , оцінки й корекції знань, умінь і навичок Хід урокуІ. Мотивація навчальної діяльності учнів і повідомлення теми і завдань УрокуІІ. Перевірка знань учнями матеріалу. Тест

Варіант 1

І рівень 1. Дано зображення куба АВСDАІВ1СІD1 (рис. 1). Укажіть пряму, яка

перпендикулярна до прямої АА1 і проходить через точку C (1 бал) а)АВ; б) АС; в) АD; г) АІС1. 2. Відомо, що різні прямі а і b перпендикулярні до площини α (рис. 2). Як розміщені прямі а і b? (1 бал) а) Перетинаються; в) паралельні; б) мимобіжні; г) перпендикулярні. Рис. 1

3 Відрізок SВ перпендикулярний до площини прямокутника АВСD (рис. 3). Знайдіть відстань між точками S і D, якщо SВ = 4 см, ВD = 3 см. (1 бал) а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см; г) 7 см.

II рівень

1. Точка S лежить поза площиною трикутника АВС, причому < SАС = 90°, <САВ = 90° (рис. 4). Які з вказаних тверджень правильні? (1 бал) Рис. 2

а) Пряма SА перпендикулярна до площини АВС; б) пряма АВ перпендикулярна до площини SАС; в) пряма АС перпендикулярна до площини SАВ; г) пряма ВС перпендикулярна до площини АSС.

2. Точки А, В, С лежать на прямій, перпендикулярній до площини α , а точки А,М, N лежать у площині α(рис. 5). Які з вказаних кутів прямі? (1 бал) рис.3

а) <МАВ ; б) <МСА ; в)<САN ; г) <NВА .3. У просторі дано пряму а і точку А поза нею. Скільки існує прямих, перпендикулярних до прямої а і які проходять через точку А? (1 бал) а) Жодної; б) безліч; в) одна; г)визначити неможливо.III рівень

1. Прямі АВ і СD перпендикулярні до деякої Рис.4 площини і перетинають їїв точках В і D відповідно. Знайдіть АС, якщо АВ = 9 см, СВ = 15 см,ВD = 8 см і відрізок АС не перетинає даної площини. (2 бали)а) 8 см; б) 9 см; в) 10 см; г) 15 см.

2. Через вершину В квадрата АВСD проведено пряму ВS, перпендикулярну до його площини. Які з наведених тверджень правильні? (2 бали)

а)Пряма SD перпендикулярна до площини АВС; б) пряма АD перпендикулярна до площини АSВ; в) пряма СD перпендикулярна до площини ВSС; г) пряма ВD перпендикулярна до площини SВС. Рис. 5

3. Через точку О перетину діагоналей прямокутника АВСD проведено перпендикуляр МО. Знайдіть МО, якщо АВ = 6 см, ВС = 8 см, МА = 13 см. (2 бали)

а) 10 см ; б) 11 см; в) 12 см; г) визначити неможливо.

IV рівень

1. Дано паралелограм АВСD і площину α , яка його не перетинає. Через вершини паралелограма проведено прямі, перпендикулярні до

площини і які перетинають площину відповідно в точках А1 , В1,С1 ,D1 . Знайдіть довжину відрізка DD1 , якщо АА1 = 3 см, ВВ1 = 4 см, СС1 = 5 см. (З бали) а) 2 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 5 см. 2. Прямі АВ, АС і АD попарно перпендикулярні. Знайти площу трикутника ВСD, якщо АВ = √18 см, АС =√18 см, АD = √7см. (З бали) а) 25 см2; б) 16 см2; в) 15 см2; г) 12 см2.

3 Побудовано переріз куба АВСDА1В1СІD1 площиною, що проходить через точки В1 і D1 і середину ребра СD. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а. (З бали)

a) a2 (√5 +√3 ); б) a2 (2√5 +√2 ); в)a2 (2√5 +3√2 ); г)a2 √5 ;

Варіант 2І рівень

1. Дано зображення прямокутного паралелепіпеда АВСDА1В1СІD1 (рис. 1). Укажіть площину, яка перпендикулярна до прямої АА1,і проходить через точку А. (1 бал) а) DСС1; б) А1ВІС1; в) ВСD; г) ВСС1 . 2. Як розташовані площина α і пряма b, якщо α ⊥а, а || b Рис. 1 (рис. 2) (І бал) а) не перетинаються; б) паралельні; в) перпендикулярні; г) визначити неможливо 3. Відрізок SА перпендикулярний до площини трикутника АВС (рис. 3). Знайдіть відстань від точки А до точки С, якщо SА = 3 см, SС = 5 см. (1 бал) а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см; г) 6 см. Рис. 2

II рівень1. Точка S лежить поза площиною ромба АВСD, причому SВ ⊥ ВС, SВ ⊥ АВ,

<ВАD = 30° (рис. 4). Які з вказаних тверджень правильні? (1 бал) а)Пряма SВ перпендикулярна до площини АDС; б)пряма АВ перпендикулярна до площини SВС; в)пряма ВС перпендикулярна до площини АВS; г)пряма SВ перпендикулярна до прямої ВD.2. <АВС = 90°, точка М лежить поза площиною АВС, МА = МВ = МС. З точки М проведено відрізок ОМ, який перпендикулярний до площини АВС, точка О лежить у площині АВС (рис. 5). Які з вказаних тверджень правильні? (1 бал) Рис. 3 а)Точка О лежить усередині трикутника АВС; б) точка О лежить поза трикутником АВС; в) точка О лежить на відрізку АС, причому АО не дорівнює ОС; г) точка О лежить на гіпотенузі АС, причому АО дорівнює ОС.3 У просторі дано пряму а і точку А на ній. Скільки існує прямих, перпендикулярних до прямої а, які проходять Рис. 4 через точку А? (1 бал) a) Жодної; б) безліч; в) тільки одна; г) визначити неможливо.

Рис. 5

III рівень1. Прямі АВ і СD перпендикулярні до деякої площини і перетинають її

в точках В і D відповідно. Знайдіть ВD, якщо АВ = 6 см, СD = 9 см,AС = 5 см і відрізок АС не перетинає даної площини. (2 бaли)a) І см; б) 2 см; в) 3 см; г) 4 см. .

2. Через точку О перетину діагоналей прямокутника АВСD проведено перпендикуляр МО до площини АВС. Які з наведених тверджень правильні? (2 бали)

a) Пряма МО перпендикулярна до прямої AС;. б) пряма МО перпендикулярна до площини ВСD; в) пряма АС перпендикулярна до площини МАВ; г)пряма АС обов’язково перпендикулярна до площини МВD. 3. Через вершину B квадрата АВСd проведено пряму BS, перпендикулярну до його площини. Знайдіть відстань від точки S до вершини А квадрата АВСD, якщо АС = 2 см, SВ = 1 см. (2 бали)а) √2 см; б) 1 см; в) √3 см; г) 2 см.

IV рівень 1. Точка О — точка перетину медіан трикутника АВС, а — площина, яка не перетинає трикутник АВС. Через точки А, В, С, D проведено прямі, перпендикулярні до площини α , які перетинають площину відповідно в точках А1, В1 , С, , D1. Знайдіть довжину відрізка ОО1, якщо АА1 = 1 см, ВВ1 = 2 см, СС1 = 3 см. (З бали) а) 1 см; б) 2 см; в) 3 см; г) 1,5 см.

2. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА1В1СІD1, в якому AD = 13 см, DС = 5 см, СС1 = √11 см. Знайдіть площу трикутника АDС1. (З бали) , а) 25 см2; б) 36 см2; в) 72 см2; г) 18 см2.

3. У кубі АВСDА1В1С1D1 побудовано переріз площиною, що проходитьчерез точки А, С, К, де К — середина ребра С1D1. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює а. (З бали)

а) 2а; б)а√52 ; в) 3а√22 ; г) 3а√22 + а√5

ІІІ. Збір виконаних завдань та оцінка їх. Відповіді до тестових завдань

ІV. Підсумок уроку.

Рівень ; . ■ ■ ■

Номер завдання

Варіант І Ґ'^Ш

Варіант ІІІ 1 б в

2 в в3 в б

II 1 в а, г2 а, в г3 в б

III 1 в г2 б, в а, б3 в в

IV 1 в б2 г б3 в г