انتگرال گیری عددیخطای

. ریدآوشما در پایان این آموزش می توانید درک مناسبی از روش های انتگرال گیری بدست . دپیشنهاد می شود قبل از مشاهده این آموزش، مروری بر مبحث انتگرال ها داشته باشی

روش های انتگرال گیری

خطای روش های انتگرال گیری عددی

)(12

)( 2 fhab

hET

خطای روش ذوزنقهba

خطای روش های انتگرال گیری عددی

)(12

)( 2 fhab

hET

2M)x(fmax bxa

ba

یک کران باال برای مشتق مرتبه دوم تابع فوق باشد M2اگر

خطای روش ذوزنقه

خطای روش های انتگرال گیری عددی

)(12

)( 2 fhab

hET

2M)x(fmax bxa

ba

2

2Mh12

)ab()h(ET

یک کران باال برای مشتق مرتبه دوم تابع فوق باشد M2اگر

خطای روش ذوزنقه

شما .در این ویدئو آموزشی به بررسی مبحث انتگرال گیری عددی در درس محاسبات عددی می پردازیم

نهاد می پیش. در پایان این آموزش می توانید درک مناسبی از خطای روش های انتگرال گیری بدست آورید. شود قبل از مشاهده این آموزش، مروری بر مبحث روش های انتگرال گیری عددی داشته باشید

هر یک از روش های انتگرال گیری معرفی شده تا کنون دارای خطایی می باشند که از طریق فرمول

𝑎 این خطا در روش ذوزنقه به ازای . هایی محاسبه و بررسی می گردد𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 از طریق فرمول

ET(h)محاسبه می گردد.

، روش ذوزنقه تنها برای توابع خطی دارای مقدار دقیق و بدون خطا می باشد، ET(h)با توجه به فرمول

یک کران باال برای مشتق M2اما در حالت کلی اگر . زیرا مقدار مشتق مرتبه دوم این توابع صفر است

نشان مرتبه دوم تابع رو به رو باشد، در اینصورت فرمول کلی روش ذوزنقه جهت محاسبه خطا به شکل.کران باالی مشتق مرتبه دوم استM2محدوده انتگرال گیری و a , bداده شده می باشد که در آن

قریبی ت: برای درک بهتر این مفهوم، مثال رو به رو را بررسی می کنیم، صورت سوال از این قرار است

0 پیدا کنید به صورتی که جواب به دست آمده برای hاز مقدار 1𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 ،با استفاده از روش ذوزنقه ،

باشد؟2−10دارای خطای کمتر از

. آیندابتدا نیاز است که مشتقات مرتبه اول و دوم را محاسبه نماییم که به صورت رو به رو به دست می

به دوم تابع پس از آنکه مشتقات مرتبه اول و دوم محاسبه گردید نیاز است که کران باالیی برای مشتق مرتf(x) ،تعیین نماییم، در نتیجه همانطور که می دانیمx≤ قرار دارد، لذا به محاسبه کران باال می 0≥1

.بدست می آید3پردازیم، که با معادل نویسی مشتق مرتبه دوم، کران باال برابر با

بدست آمده پس از آن که کران باال برای مشتق مرتبه دوم تابع مورد نظر محاسبه گردید، می بایست مقادیر

ه که همان خطای روش ذوزنقه است، جایگذاری کنیم، در حقیقت هر گاه بیان می گردد ک1را در فرمول

ا در این فرمول اپسیلون برابر است ب. استفاده می نماییم1خطا از مقداری مشخص کمتر گردد از فرمول .مقداری که خطا باید از آن کمتر باشد

بدست خواهد 0.2برابر با hبدست آمده در مرحله قبل مقدار M2و a , bدر ادامه با جایگذاری مقادیر

.آمد

، روش ES(h)با توجه به فرمول . استفاده می شودES(h)برای محاسبه خطای روش سیمپسون از فرمول

ق مرتبه سیمپسون برای توابع حداکثر مرتبه سه دارای جواب دقیق و بدون خطا می باشد زیرا مقدار مشتیک M4اما در حالت کلی اگر . خواهد بود0برابر ES(h)چهارم این توابع صفر است و در نتیجه مقدار

به باشد، در نتیجه با جایگزینی این کران باال به جای مشتق مرتfام، تابع 4کران باال برای مشتق مرتبه

.، فرمول کلی بدست می آید4

را طوری بدست آوریم hبطور مثال همانطور که در صورت مثال رو به رو مشخص است، می خواهیم

0 که مقدار

𝜋

2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 باشد؟ 5−10دارای خطای حداکثر

𝑥ام تابع 4ابتدا نیاز است مشتق مرتبه cos 𝑥پس از آن، نوبت به بررسی بازه ی . را بدست آوریم

𝑥انتگرال گیری می رسد، همانطور که می دانیم ≤ 𝜋

20 . است، لذا به محاسبه کران باال می پردازیم≥

.در نظر می گیریم1برای این کار، کران باالی قدر مطلق توابع مثلثاتی را برابر با

ام تابع محاسبه گردید، در ادامه 4پس از آنکه مشتقات تابع فوق و بعد از آن کران باال برای مشتق مرتبه

تر گردد به نکته بسیار مهم می پردازیم بدین شرح که هر گاه بیان می گردد که خطا از مقداری مشخص کم

اید از در این فرمول اپسیلون برابر است با مقداری که خطا ب. استفاده می نماییم1از فرمولی مانند فرمول آن کمتر باشد

، بازه ی انتگرال و کران باالی بدست آمده در مرحله قبل، مقدار a , bو در انتها با جایگذاری مقادیر

. برابر با مقدار رو به رو می شودhتقریبی

ن بصورت تقریبی محاسبه شد اما در روش سیمپسون بدیhهمانطور که تا مرحله قبل بررسی گردید مقدار

ن منظور برای ای. علت که مقدار خطا با دقت بیشتری محاسبه می گردد نیاز است که مسئله ادامه پیدا کنداختالف بازه b-aدر این فرمول . استفاده می گرددnاز فرمول نشان داده شده برای تعداد تقسیم بندی ها یا

.برابر است با مقداری که در مرحله قبل محاسبه گردید hانتگرال گیری می باشد و

برابر با مقدار رو hدر نظر گرفته و نهایتا مقدار 14از آنجا که این مقدار باید زوج بوده آن را برابر با

.به رو می شود

آموزش، می توانید متن و فیلم این رایگانجهت مشاهده :آدرس زیر مراجعه کنید به

http://minidars.ir/?p=406

مثال برای خطای روش ذوزنقه

0 پیدا کنید به صورتی که جواب به دست آمده برای hتقریبی از مقدار 1𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 با استفاده ،

باشد؟2−10روش ذوزنقه، دارای خطای کمتر از از

مثال برای خطای روش ذوزنقه

𝑓′ 𝑥 = sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 , 𝑓′′ 𝑥 = 2 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥

0 پیدا کنید به صورتی که جواب به دست آمده برای hتقریبی از مقدار 1𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 با استفاده ،

باشد؟2−10روش ذوزنقه، دارای خطای کمتر از از

:راه حل

𝑓′ 𝑥 = sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 , 𝑓′′ 𝑥 = 2 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥

≥xدانیم می 1≤0

𝑓′′ 𝑥 = |2 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 ≤ 2 cos 𝑥| + 𝑥 | sin 𝑥| ≤ 2 + 𝑥 ≤ 3

⇒ 𝑀2= 3

:می شود استفاده 1شماره گاه بیان می گردد که خطا از مقداری کمتر گردد از فرمول هر

22

12

)(Mh

ab-1

:راه حل

:می شود استفاده 1شماره گاه بیان می گردد که خطا از مقداری کمتر گردد از فرمول هر

22

12

)(Mh

ab

222

2

2 104

h3

12

hMh

12

ab

2/0h

-1

-2

:راه حل

)(fh180

)ab()h(ES )4(4

)( ba

خطای روش های انتگرال گیری عددی

سیمپسونخطای روش

M4 ام4کران باال برای مشتق مرتبه

)(fh180

)ab()h(ES )4(4

4)(max )4( Mxf

)( ba

خطای روش های انتگرال گیری عددی

سیمپسونخطای روش

)(fh180

)ab()h(ES )4(4

4)(max )4( Mxf

44

180

)()( Mh

abhES

)( ba

خطای روش های انتگرال گیری عددی

سیمپسونخطای روش

M4 ام4کران باال برای مشتق مرتبه

مثال خطای روش سیمپسون

h باشد؟5−10دارای خطای حداکثر را طوری بدست آورید که مقدار 0

𝜋2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

مثال خطای روش سیمپسون

h باشد؟5−10با خطای حداکثر را طوری بدست آورید که مقدار

xxxxfxxxxf

xxxxfxxxxf

cossin4)(,sincos3)(

cossin2)(,sincos)(

)4(

0

𝜋2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑥ام تابع 4مرتبه مشتق cos 𝑥:

راه حل

62

4xcosxxsin4xcosxxsin4)x(f )4(

xcosxxsin4)x(f,xsinxxcos3)x(f

xcosxxsin2)x(f,xsinxxcos)x(f

)4(

0 :دانیم که می همانطور ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

2

راه حل

نماییممی استفاده 1فرمول شمارهگاه بیان می گردد که خطا از مقداری کمتر گردد از هر

44

180

)(Mh

ab-1

راه حل

نماییممی استفاده 1فرمول شمارهگاه بیان می گردد که خطا از مقداری کمتر گردد از هر

44

180

)(Mh

ab

54

44 1060

6180

02

180

)(4

h

hMhab

-1

:جایگزینی مقادیر بدست آمده

1176/06

1/0

h

راه حل

:nفرمول تعداد تقسیم بندی ها یا

357/132

h

nabnh

راه حل

:nفرمول تعداد تقسیم بندی ها یا

357/132

h

nabnh

1122/028n

2h

می باشد14برابر با nزوج است بنابراین nاین روش در

آموزش، می توانید متن و فیلم این رایگانجهت مشاهده :آدرس زیر مراجعه کنید به

http://minidars.ir/?p=406

های انتگرال گیریروش

. ریدوشما در پایان این آموزش می توانید درک مناسبی از روش های انتگرال گیری بدست آ. دپیشنهاد می شود قبل از مشاهده این آموزش، مروری بر مبحث انتگرال ها داشته باشی

آموزش های دیگر مینی درس