уроки геометрії

Уроки геометрії

9 клас

№№ 1 - 16

Урок № 1

Тема уроку: Означення синуса, косинуса і тангенса кута від 0о до 180

о.

Мета уроку: Дати учням поняття про синус, косинус і тангенс кута від 0о до

180о. Навчити учнів знаходити косинуса і тангенса кута від 0

о до 180

о та

розв’язувати задачі на застосування набутих знань.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Обладнання: таблиця.

Хід уроку

І. Актуалізація знань учнів.

1. Побудувати прямокутний ∆АВС з гіпотенузою АВ.

2. Як називаються сторони прямокутного трикутника?

3. Що називається синусом, косинусом, тангенсом гострого кута α?

4. Побудуйте в координатній площині точки з координатами: (3;4), (- 2;2),

(-4;-2), (4; -1).

5. Побудуйте ∆АВС, якщо А(0;0), В(5

4;

5

3), С( )0;

5

3. Знайдіть довжину

гіпотенузи АВ. Побудуйте коло, радіус якого дорівнює ОА. [ОA = 1].

А

0 В

ІІ. Вивчення нового матеріалу

1 Слово вчителя.

Досі ми розглядали синус, косинус і тангенс гострого кута як відношення

відповідних сторін прямокутного трикутника. Дамо означення їх для будь-

якого кута від 0° до 180°. Для цього використаємо систему координат XOY. З

курсу алгебри ви вже знаєте, як визначають координати точки, які знаки

мають координати точок у різних її чвертях.

2. Завдання класу

У системі координат ху:

1) побудуйте півколо у верхній півплощині з центром на початку

координат і радіусом R=1.

Зауваження вчителя: півколо з центром у початку координат і радіусом

R = 1 називається одиничним.

3. Пояснення вчителя.

Будемо відкладати кути від додатної півосі ОХ проти руху

годинникової стрілки. Нехай АОВ = α - гострий і точка В, кінець ра-

діуса ОВ, має координати х і у. Проведемо ВК ОХ

У прямокутному трикутнику ОВК гіпотенуза ОВ = 1, а катети дорів-

нюють координатам х і у точки В. Значення sin α, cos α і tg α виразимо

через координати точки В: sin α = 1

у = у, cos α =

1

х = х, tg α =

х

у. За цими

формулами можна визначити синус, косинус і тангенс тупого кута.

Отже, sinα дорівнює ординаті кінця радіуса одиничного півкола, який

утворює з додатною піввіссю ОХ кут α, cos α — абсцисі кінця радіуса, а tg α

— відношенню зазначених ординати й абсциси: sin α = 1

у = у, cos α =

1

х = х,

tg α = х

у. (0

о α 180

о).

4. Учні за допомогою вчителя дають визначення синуса, косинуса,

тангенса кута α (0о α 180

о):

Косинусом і синусом кута α (0о α 180

о) називають відповідно

абсцису і ординату точки одиничного півкола, яка відповідає куту α.

Тангенсом кута α (0о α 180

о і α 90

о) називається відношення

ординати до абсциси.

Проблемне запитання до учнів: Чому для tg α кут α = 90° вилучається?

[Тому що tg α = х

у і tg 90

о =

0

1 а на нуль ділити не можна.]

5. Знайдемо значення sin a, cos a i tg a для кутів 0°, 90° і 180°.

Кутам 0°, 90° і 180° відповідають відповідно точки А(1;0), В(0;1), С(-1;0).

Розглянемо радіуси ОА,

Тоді sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0; cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = - 1;

tg0°0, tg 180° = 0.

Запитання до учнів: Чому sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0; cos 0° = 1,

cos 90° = 0, cos 180° = - 1; tg0°0, tg 180° = 0? Поясніть.

ІІІ. Застосування набутих знань

1. Вправа. Користуючись одиничним півколом, побудувати кут, синус якого

дорівнює 2

1.

Розв’язок

Побудуємо одиничне півколо з центром в початку координат.

Позначимо на осі ОУ точку С(0;2

1). Через точку С проведемо пряму l || ОХ.

Вона перетне одиничне півколо в точках В і В1, ординати яких дорівнюють 2

1

. Сполучимо точки В і В1 з початком координат. Дістанемо два кути ВОА і

В1ОА, синуси яких дорівнюють 2

1.

Проблемне запитання: Скільки градусів має кут ВОА?

2.Вправа. Накресліть систему координат, узявши за одиницю довжини 10 см.

Проведіть у І і II чвертях одиничне півколо з центром у початку координат.

1) За допомогою транспортира позначте на одиничному півколі точки А, В,

С, D, Е так, щоб кути між радіусами ОА, ОВ, ОС, OD, OE і додатною піввіссю

ОХ дорівнювали відповідно 35°, 70°, 115°, 130°, 165°.

2) За допомогою лінійки знайдіть координати точок А, В, С, D, Є.

3) Знайдіть значення синуса, косинуса і тангенса для кутів 35°, 70°, 115°,

130°, 165°. Заповніть таблицю.

α 35° 70° 115° 130° 165°

sin α

cos α

tg α

Проблемне запитання: Як знайти точніше значення sin 35°, cos 35°, tg 35°?

3. Вправа. Який знак мають sin α, cos α і tg α, якщо: 1) 0° < α < 90°;

2) 90° < α < 180°? Поясніть відповідь.

Накресліть у зошиті таблицю.

α 0° < α < 90° 90°< α <180°

sin α

cos α

tg α

У таблиці поставте знак «+», якщо sin α, cos α або tg α додатний, і

знак «—», якщо від'ємний.

4. Вправа. Обчисліть:

1) 3 cos 0° - 2 sin 90°; 2) 4 sin 0° - 5 cos 180°;

3) 6 sin 90° - 3 tg 180°; 4) 8 sin 180° + 2 cos 90°.

5. Вправа. Знайдіть sin a, якщо:

1)cosα = - 1; 2) cosα = 0; 3)cosα = 1.

Знайдіть cosα, якщо: 1)sinα =1; 2) sin α = 0.

ІV. Підсумок уроку

1. Дайте означення синуса, косинуса і тангенса для довільного кута від 0° до 180°.

2. Для якого кута тангенс не існує і чому?

3. Чому синуси тупих кутів додатні, а косинуси і тангенси — від'ємні?

4. Назвіть значення синуса і косинуса для кутів 0°, 90°, 180°.

V. Домашнє завдання

§ 1 (до с.7), № 1(1), № 5.

Урок № 2

Тема уроку: Означення синуса, косинуса і тангенса кута від 0о до 180

о.

Мета уроку: Закріпити знання учнів про синус, косинус і тангенс кута від 0о

до 180о. Довести рівності sin (180

o – α) = sin α, cos (180

o – α) = - cos α,

tg (180o – α) = - tg α , дати поняття про тригонометричні функції. Вчити

розв’язувати задачі на застосування набутих знань.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.


Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Експрес – опитування.

- Яке півколо називають одиничним?

- Поясніть, у якому випадку кажуть, що куту а відповідає точка М

одиничного півкола.

- Що називають синусом кута α, де 0° < α < 180°?

- Що називають косинусом кута α, де 0° < α < 180°?

- Чому дорівнює sin0°? cos 0°? sin90°? cos90°? sin180°? cos180°?

- У яких межах знаходяться значення sin α, якщо 0° < α < 180°?

- У яких межах знаходяться значення cos α, якщо 0° < α < 180°?

- Яким числом, додатним чи від'ємним, є синус гострого

кута? синус тупого кута? косинус гострого кута? косинус тупого кута?

- Яким кутом є кут α, якщо cos α < 0?

2. Вправа № 1. (учень з місця пояснює розв’язування вправи).

Накресліть одиничне півколо, узявши за одиничний відрізок п'ять клітинок

зошита. Побудуйте кут, вершиною якого є початок координат, а однією зі сторін

— додатна піввісь х, косинус якого дорівнює 5

1.

Відповідь: 78о.

3. Вправа № 5 (учень з місця пояснює розв’язування вправи і називає відповіді).

1) 4 cos 90o + 2 cos 180

o = 4 ∙ 0 + 2 ∙ 1 = 2.

2) cos 0o - cos 180

o + sin 90

o = 1 – 1 + 1 = 1.

ІІ. Пояснення нового матеріалу

1 Слово вчителя.

Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого кута а

sin (90° - α) = cos α, cos (90° - α) = sin α.

Проблемне запитання.

Чи будуть справедливими ці формули для α = 0°, і для α = 90° ?

2. Тепер доведемо, що для будь-якого кута α , 0° < α < 180° , sin (180° - α)

= sin α; cos(180°- α) = -cos α;

Доведення

Нехай кутам α і 180° - α, де α 0°, α 90° і α 180°, відповідають точки

М (x1 у1) і N (х2; у2) одиничного півкола.

Прямокутні трикутники 0ММ1 і ONNl рівні за гіпотенузою і гострим кутом (ON

= ОМ = 1, M0M1 = NON1 = α). Звідси у2 = у 1 і х2 = -x1.. Але косинусом і

синусом кута α (0° α 180°) називають відповідно абсцису х і ординату у

точки одиничного півкола, яка відповідає куту α. Отже, sin(180о - α) = siп α,

cos (180° - α) = - cos α.

Проблемне запитання.

Чи будуть справедливими формули sin(180о - α) = siп α, cos (180° - α) =

= - cos α, для α = 0°, α = 90°, α = 180о ?

3. Вчитель вводить означення тангенса кута α.

Тангенсом кута α, де 0° α 180° і α 90°, називають відношення

cos

sin, тобто tg α =

cos

sin. (Оскільки cos 90° = 0, то tg α не визначений для α =

= 90о).

Доведемо, що tg(180°- α) = - tg α ( α 9 0 ° )

Д о в е д е н н я

tg(180° - α) = )180cos(

)180sin(

o

o

=

cos

sin

= - tgα.

4. Введення поняття тригонометричної функції.

Очевидно, що кожному куту α (0° α 180°) відповідає єдина точка

одиничного півкола. Отже, кожному куту α відповідає єдине число, яке є

значенням синуса (косинуса, тангенса для α = 90°). Тому залежність значень

синуса (косинуса, тангенса) від величини кута є функціональною.

Функції f (α) = sin α, g(α) = cos α, h(α) = tg α, які відповідають цим

функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями

кута α.

ІІІ. Закріплення нових знань, умінь, навичок

Запитання до класу.

• Доведіть, що синус тупого кута додатний, а косинус — від'ємний. [Якщо кут

180°- α тупий, то точка, що відповідає цьому куту має додатну ординату і

від'ємну абсцису, тому sin (180°- α) > 0 , а cos (l80°- α) < 0.]

• Який знак має тангенс тупого кута?

• Для якого кута α sin α = 0 ? cos α = 0?

• Знайдіть sin 120°.

Розв’язування задач.

1. Вправа № 2 (усно).

2. Вправа № 6.

Чому дорівнює синус кута, якщо його косинус дорівнює: 1) 1; 2) 0?

Розв’язок

1) Нехай cos α = 1, то α = 0о. sin 0

о = 0.

2) Нехай cos α = 0, то α =90о. sin 90

о = 1.

• Вправа № 8.

[sin 135о = sin 45

о =

2

2; cos 135

о = - cos 45

о = -

2

2; tg 135

о = tg 45

о = 1.]

3. Вправа № 11. Розв’язують по варіантах, та пояснюють розв’язок.

Знайти:

1) cos α, якщо sin α = 5

3 і 0° α 90°.

Розв’язок

sin2α + cos

2α = 1, то cos

2α = 1 - sin

2α = 1 -

2

5

3

= 1 -

25

9=

25

16

Так як 0° α 90°, то cos α = 5

4.


1 і 90° α 180°.

Розв’язок

sin2α + cos

2α = 1, то cos

2α = 1 - sin

2α = 1 -

2

3

1

= 1 -

9

1=

9

8

Так як 90° α 180°, то cos α = - 9

8 = -

3

22 .


3.

Розв’язок

sin2α + cos

2α = 1, то cos

2α = 1 - sin

2α = 1 -

2

4

3

= 1 -

16

3=

16

13

cos α = - 16

13 = -

4

13 або cos α =

4

13.

4. Вправа № 14. Порівняти з нулем значення виразу:

1) sin 110о cos 140

о = sin 90

о ∙ (- cos 40

о) < 0.

2) sin 80о cos 100

о cos 148

о = sin 80

о ∙ ( - cos 80

о) ∙ ( - cos 32

о) > 0.

3) ) sin 128о cos

2 130

о tg 92

o = sin 52

о cos

2 50

о

о

о

92cos

92sin= sin 52

о cos

2 50

о

о

о

88cos

88sin

<

< 0.

5. Вправа № 17. Знайти значення виразу:

1) 2 sin 120° + 4 cos 150° - 2 tg l35°;

2) cos 120° - 8 sin2 150° + 3 cos 90° cos 162°;

3) cos 180° (sin 135° tg60° - cos l35°)2.

Розв’язок

1) 2 sin 120° + 4 cos 150° - 2 tgl35° = 2 sin 60° - 4 cos 30° + 2 tg 45° = 2 ∙ 2

3 -

- 4 ∙ 2

3 + 2 = - 2

2

3 + 2 = - 3 + 2;

2) cos 120° - 8 sin2 150° + 3 cos 90° cos 162° = - cos 60° - 8 sin

2 30° -

- 3 cos 90° cos 18° = - 2

1 - 8 ∙

4

1 - 3 ∙ 0 = -

2

1 - 2 = - 2

2

1.

3) cos 180° (sin 135° tg60° - cos l35°)2 = - 1 ∙ ((sin 135° tg60°)

2 –

- 2 sin 135° tg60° ∙cos l35° + (cos l35°)2) = -1 ∙ ((sin 45° tg60°)

2 +

+ 2 sin 45° tg60° ∙ cos 45° + (cos 45°)2 )= -1 ∙ ((

2

2∙ 3 )

2 + 2

2

2∙ 3 ∙

2

2 +

+ (2

2)

2 )= -

4

6 - 3 -

4

2 = - 2 - 3 .

ІV. Підсумок уроку

1. Чому дорівнює sin (180° - α), cos (180° - α)?

2. Як пов'язані між собою синус і косинус одного й того самого кута?

3. Що називають тангенсом кута α, де 0° ≤ α ≤ 180° і α 90°?

4. Чому tg α не визначений для α = 90°?

5. Яку загальну назву мають функції f (α) = sin α, g (α) = cos α

і h (α) = tg α?


§ 1 ( зап. 1 – 14), № 9, № 12.

Урок № 3

Тема уроку: Теорема косинусів.

Мета уроку: Вивчити теорему косинусів і наслідок із неї, вчити учнів

застосовувати теорему косинусів під час розв’язування задач.

Тип уроку: формування знань.

Обладнання: таблиця «Розв 'язування прямокутного трикутника».

Хід уроку

І. Актуалізація знань учнів

1. Перед вивченням нового матеріалу класу можна запропонувати

повторити вивчений матеріал за таблицею «Розв’язування прямокутних

трикутників».

2. Запитання до классу

• За якими елементами прямокутного трикутника (кутами, сторонами)

можна знайти решту його елементів?

• Як знайти катет прямокутного трикутника за гіпотенузою і кутом?

• Як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника за катетом і кутом?

• Скільки основних елементів визначають прямокутний трикутник?

2. Вправа. Розв’язати прямокутний трикутник АВС, якщо А = 60о,

гіпотенуза АВ = 3 3 см.


Починаючи вивчати розділ «Розв'язування трикутників», корисно

розкрити його зміст і показати, наскільки учні вже знайомі з цим питанням.

Із цією метою вчитель проводить бесіду.

Трикутник є однією з основних геометричних фігур. Багато відомих

фігур (паралелограм, трапеція і, взагалі, довільний многокутник) можна

розбити на трикутники. В будь - якому трикутнику є шість основних

елементів: 3 сторони і 3 кути. У розділі ^Розв'язування трикутників»

ставиться запитання про те, як, знаючи одні з основних елементів, знайти

інші. З таким формулюванням питання зустрічаються, коли мають

справу з розв'язуванням прямокутних трикутників.

Запитання до класу

• Скільки елементів потрібно знати в

довільному трикутнику і які

саме, щоб знайти решту?

Учні повинні відповісти, що слід

задати дві сторони і кут між ними; одну

сторону і два прилеглі до неї кути; три

сторони. За цими даними можна побудувати єдиний трикутник.

• Запропонуйте способи розв'язування задачі.

Задача У трикутнику ABC АВ = 2 см , BAC = 60° , АС = 3 см. Знайти довжину

сторони ВС.

Може бути запропоновано кілька способів розв'язування: побудувати

трикутник ABC за даними елементами і виміряти довжину сторони ВС;

провести в трикутнику ABC висоту з вершини В і розглянути утворені

прямокутні трикутники; нарешті, хтось із учнів, імовірно, запропонує для

обчислення сторони ВС використати формулу, одержану на початку уроку

(відповідні записи залишилися на дошці).

Учитель зазначає, що найбільш раціональне розв'язання — використати

рівність ВС2 = AC

2 + AB

2-2AC AB cos A , що виражає залежність сторони

трикутника від двох інших сторін і кута між ними. Це твердження одержує

назву теореми косинусів. Формулюється зміст теореми.

Дається історична довідка. Теорему вперше довів учений-математик

аль-Буріні (973-1048 pp.). Учитель пояснює, що за допомогою цієї

теореми й теореми синусів, яку буде доведено на наступних уроках,

можна буде повністю розв'язати поставлену в цій темі задачу: за трьома

основними елементами трикутника, серед яких обов'язково має бути

щонайменше один лінійний, знайти решту.

На дошці записуються тема уроку, умова теореми.

Теорема 2.1 (теорема косинусів). Квадрат сторони

трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус

подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.

Доведення.

Розглянемо трикутник ABC. Доведемо, наприклад, що

ВС2 = АВ

2 + АС

2 - 2АВ -АС • cosA. Можливі три випадки:

1) кут А — гострий;

2) кут А — тупий;

3) кут А — прямий.

• Розглянемо перший випадок. Якщо А < 90°, тоді хоча б один з

кутів В і С є гострим. Нехай, наприклад, Z С < 90°. Проведемо висоту

BD.

З ∆ ABD отримуємо: BD = АВ ∙ sinA, AD = АВ ∙ cosA. З ∆BDC

отримуємо: ВС2 = BD

2 + CD

2 = BD

2 + (AC – AD)

2 = АВ

2 ∙ sin

2 A + (AC

–АВ - cos A)2 = AB

2-sin

2 A + AC

2 - 2AC-AB-cosA+AB

2-cos

2A =

= AB2 ∙ (sin

2 A + cos

2 A) + AC

2 - 2AC -AB ∙ cosA =

= AB2 + AC

2 - 2AB -AC ∙ cos A.

Записувати доведення недоцільно, оскільки його можна вивчити за

підручником. Після доведення теореми, зробивши відповідні позначки для

сторін і кутів, корисно записати рівності, що випливають із теореми

косинусів: a2 = b

2 + c

2 - 2bc cosa , b

2 = a

2 + c

2-2ac cosβ, с

2 = а

2 + b

2 - 2ab cos .

Випадки, коли кут А — гострий, кут А — тупий, учні розглядають

дома самостійно.

ІІІ. Закріплення нових знань і вмінь

1. Вправа. За даними , наведеними на малюнках, знайти х.

1) х2 = ( 2 )

2 +3

2 – 2 ∙ 3 ∙ 2 cos 45

о = 11 – 6 = 5.

х = 5 .

2) ( 12 )2 = 16 + 25 – 40 ∙ cos х;

40 ∙ cos х = 16 + 25 – 21;

40 ∙ cos х = 20;

cos х = 2

1;

х = 60о.


Знайти невідому сторону трикутника АВС, якщо:

1) АВ = 5 см, ВС = 8 см, В = 60о.

Р о з в ' я з о к

АС2 = АВ

2 + ВС

2 - 2АВ ∙ВС cosВ = 5

2 + 8

2 – 2 ∙5 ∙8 cos60

о = 89 – 80 ∙

2

1 = 49.

АС = 49 = 7 (см).

2. Задача. У ∆АВС АВ = 6 см, АС : ВС = 2 : 3 , C = 60° . Знайдіть АС і ВС.


За теоремою косинусів АВ2 = АС

2 + ВС

2 - 2АС ∙ ВС cos60° . Нехай х —

коефіцієнт пропорційності (х > 0). Тоді АС = 2х , ВС = 3х . Маємо 36 =

4х2+9х

2-2 ∙ 2 ∙ 3х

2

1. Звідси 36 = 13х

2 - 6х

2 = 7х

2, 36 = 7х

2,

х2 =

7

36, х =

7

6.

Отже, АС = 7

6 ∙ 2 =

7

12 (см), ВС =

7

6 ∙ 3 =

7

18 (см).

ІV. Домашнє завдання

§ 2 (до т. 2.2), № 29.

Урок № 4

Тема уроку: Теорема косинусів та наслідки з неї.

Мета уроку: Вивчити наслідки з теореми косинусів, вчити учнів

застосовувати теорему косинусів та наслідки з неї під час розв’язування

задач.

Тип уроку: Закріплення та вдосконалення знань.


Хід уроку


1. Перевірити наявність домашнього завдання

Вправа № 29.

1) EF2 = 16 + 12 – 2 ∙ 4 ∙ 2 3 ∙ cos 30

о = 28 - 16 3 ∙

2

3 = 28 – 24 = 4.

EF = 4 = 2 (см).

2) DE2 = 9 + 25 – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 120

о = 34 + 30 ∙

2

1 = 45

DE = 54 = 3 5 (см).

2. Самостійна робота

Вправа. Дано дві сторони трикутника АВС і кут між ними. Знайти третю

сторону, якщо АВ = 12 см, АС = 8 см, А = 60о.

Розв’язок

Третю сторону знаходимо за т. косинусів: ВС2 = 144 + 64 – 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ 0,5 =

112. ВС = 112 10,6 (см).

3. За результатами домашнього завдання і самостійної роботи, кращим учням

виставити оцінки.

ІІ. Актуалізація знань учнів

1. Повторити означення порівняння чисел.

Число а більше від числа b, якщо різниця a – b > 0; число а менше від

числа b, якщо різниця a – b < 0;

2. Вправа. Сторони трикутника a, b, с, протилежні їм кути ,, . Чому

дорівнює за т. косинусів cos ?

cos = ab

cba

2

222

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

1. Доведення теореми 2.2 (наслідок 1).

Сторони трикутника дорівнюють . Доведіть, що коли а2 + b

2>с

2, то

кут, протилежний стороні с, гострий. Коли а +b2 < с

2 то кут,

протилежний стороні с, тупий.

Дано: ∆АВС. ВС = а, АС = b; АВ = с.

Довести: 1) якщо а2 + b

2 > с

2, то C < 90°;

2) якщо а2 + b

2 < c

2, то C > 90°.

Доведення

За теоремою косинусів

АВ2=АС

2+ВС

2 – 2AC ∙BCcosC.

Звідси cosC = ab

cba

2

222 .

Розглянемо цей дріб, а, b —- додатні числа.

1) Якщо а2 + b

2 > с

2, то cos С > 0, отже, C < 90°, тобто гострий.

2) Якщо а2 + b

2 < с

2, то cos C < 0, отже, C > 90°, тобто тупий, що й треба

було довести.

2. Наслідок 2.

Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі

квадратів усіх його сторін.

Дано: ABCD – паралелограм,

АВ = CD = а, ВС = AD =b.

Довести: BD2 + АС

2 = 2а

2 + 2b

2.

Доведення

Нехай BAD = а, тоді ADC = 180° - α.

З ∆ ABD за теоремою косинусів BD2 = а

2 + b

2 - 2ab cosα. (1)

З ∆ ACD за теоремою косинусів АС2 = а

2 + b

г - 2abcos(180° - α) або

АС2 = а

2 + b

2 + 2ab cosα. (2)

Додавши рівності (1) і (2), отримаємо BD2 + АС

2 = 2а

2 + 2b

2.

ІІІ. Закріплення знань та умінь учнів


Встановити, гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник,

сторони якого дорівнюють:

1) 5 см, 7 см, 9 см.

Розв’язок

Нехай сторони трикутника АВС дорівнюють відповідно АВ = 5 см, ВС =

=7 см, АС = 9 см. АС – найбільша сторона. Якщо АС2 < АВ

2 + ВС

2, то В –

гострий. Якщо АС2 > АВ

2 + ВС

2, то В – тупий. Якщо АС

2 = АВ

2 + ВС

2, то

В – прямий..

Перевіримо це: АС2 = 81, АВ

2 + ВС

2 = 25 + 49 = 74. Отже, АС

2 > АВ

2 + ВС

2,

то В – тупий.

2) Нехай сторони трикутника АВС дорівнюють відповідно АВ = 5 см, ВС =

=12 см, АС = 13 см. АС – найбільша сторона.

АС2 = 169, АВ

2 + ВС

2 = 25 + 144 = 169. Отже, АС

2 = АВ

2 + ВС

2, то В –

прямий.

3) Нехай сторони трикутника АВС дорівнюють відповідно АВ = 10 см, ВС =

=15 см, АС = 18 см. АС – найбільша сторона.

АС2 = 324, АВ

2 + ВС

2 = 100 + 225 = 325. Отже, АС

2 < АВ

2 + ВС

2, то В –

гострий.

2. Вправа. Дано сторони паралелограма а і b і один з кутів α. Знайдіть діагоналі

паралелограма.

Дано: ABCD — паралелограм;

АВ = а, AD = b,

Знайти: АС і BD.

Розв’язок

1) З ∆ABD за теоремою косинусів маємо: BD2=AB

2 + AD

2 –

- 2АВ ∙AD cos BAD.

BD = cos222 abba .

2) Враховуючи, що ABC = 180° — α (властивість кутів паралелограма,

прилеглих до однієї сторони), з ∆АВС за теоремою косинусів знайдемо АС.

АС2 =АВ

2 + ВС

2 - 2АВ∙ВС cos (180° - α). Але cos (180° - α ) = - cos α, то , AC

2 =

= AB2 + BC

2 + 2AB ∙ BC ∙ cos α, AC = cos222 abba .

Відповідь: BD = cos222 abba . AC = cos222 abba .


Сторони паралелограма дорівнюють 2 2 см і 5 см, а один з кутів дорівнює

45о. Знайти діагоналі паралелограма.

Розв’язок

Нехай d1 i d2 - діагоналі паралелограма. Спираючись на розв’язану вище

задачу, маємо, що d1 = 45cos52225)22( 22 =

= 2

25242564 = 69 (см)

d2 = 45cos52225)22( 22 =2

25242564 = 109 (см).

ІV. Підсумок уроку 1. Сформулюйте теорему косинусів.

2. Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами а, b

і с, де c — його найбільша сторона, якщо:

1) а2 + b

2 > с

2,

2) а2 + b

2 < с

2,

3) а2 + b

2 = с

2

3. Як пов'язані між собою діагоналі і сторони паралелограма?

V. Домашнє завдання § 2, зап. 1 – 3. № 31, № 34. (№ 37).

Урок № 5

Тема уроку: Розв 'язування задач із використанням теореми косинусів і

наслідків з неї.

Мета уроку: закріпити навички використання теореми косинусів для

розв'язування задач; перевірити засвоєння теми.

Тип уроку: закріплення та вдосконалення знань.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання й актуалізація знань учнів 1. Перевірити наявність домашнього завдання та розв’язок задач.


Сторони трикутника дорівнюють 18 см, 5 см, 7 см. Знайти середній за

величиною кут трикутника.

Розв’язок

Дано: ∆АВС, АВ = 18 см, ВС =

=5 см, АС = 7 см.

Знайти середній за величиною кут

Розв’язок

Середній за величиною кут буде лежати проти середньої за величиною

сторони. Так як середня за величиною сторона ВС, то середній за величиною

кут А.

CosA = 1872

57)18( 222

=

242

42=

2

1. A = 45

o.

Вправа № 34. Довести, що трикутник зі сторонами 8 см, 15 см, 17 см є

прямокутним. [Знайти найбільший кут, або застосувати теорему Піфагора]


На стороні АВ рівностороннього трикутника ABC позначено точку D

так, що AD : DB = 2 : 1 . Знайдіть відрізок CD, якщо АВ = 6 см.

Дано: ∆АВС - рівносторонній, АD : DB = 2 : 1,

AB = 6 см.

Знайти CD.

Розв’язок

Так як АD : DB = 2 : 1 і AB = 6 см, то AD = 4 см. А = 60о, тому що в

рівностороннього трикутника всі кути рівні і дорівнюють по 60о. За т.

косинусів CD2 = AD

2 + AC

2 – 2AD ∙ AC cosA = 16 + 36 – 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙

2

1 = 28.

CD = 2 7 (см).

Запитання до розв'язання домашніх задач

1) До задачі № 31.

Проти якої сторони трикутника буде лежати середній за величиною кут?

2) До задачі № 34.

Чи можна за допомогою т. Піфагора розв’язати задачу?

Бліц – опитування

1. Сформулюйте теорему косинусів.

2. Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами а, b

і с, де c — його найбільша сторона, якщо:

1) а2 + b

2 > с

2,

2) а2 + b

2 < с

2,

3) а2 + b

2 = с

2

3. Як пов'язані між собою діагоналі і сторони паралелограма?

ІІ. Перевірка засвоєння учнями теми

Самостійна робота

Варіант І.

1. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 5 см, а кут між ними – 60о.

Знайти третю сторону трикутника.

2. У паралелограмі різниця сторін дорівнює 2 см, а діагоналі відповідно

дорівнюють 2 і 6 см. Знайдіть сторони паралелограма.

Варіант ІІ.

1. Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 6 см, а кут між ними – 120о.

Знайти третю сторону трикутника.

2. У паралелограмі різниця діагоналей дорівнює 3 см, а сторони

відповідно дорівнюють 1 см і 0,5 3 см. Знайдіть діагоналі паралело-

грама.

Розв’язування задач


Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 60°, відносяться як

5 : 8, а третя сторона дорівнює 21 см. Знайдіть невідомі сторони

трикутника.

Дано: ∆АВС, АВ : АС = 5 : 8, А = 60о,

ВС = 21 см.

Знайти АВ і АС.

Розв’язок

Нехай АВ = 5х см, АС = 8х см. Застосуємо т. косинусів: ВС2 = АВ

2 + АС

2

– 2АВ ∙ АСcosA.

441 = 25х2 + 64х

2 – 2 ∙ 5х ∙ 8х ∙

2

1;

89х2 – 40х

2 = 441;

х2 = 9.

АВ = 45 см, АС = 72 см.

Вправа № 48 Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 120°,

відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр

дорівнює 30 см.

Дано: ∆АВС, АВ : АС = 5 : 3,

А = 120о, Р∆АВС = 30 см.

Знайти сторони трикутника .

Розв’язок

Нехай АВ = 5х см, АС = 3х см. За т. косинусів знайдемо ВС.

ВС2 = 25х

2 + 9х

2 – 2 ∙ 5х ∙ 3х ∙ cos120

o = 25х

2 + 9х

2 + 15х

2 = 49х

2. ВС = 7х.

Рівняння: 5х + 3х + 7х = 30,

15х = 30,

х = 2.

АВ = 10 см, АС = 6 см, ВС = 14 см.

ІІІ Домашнє завдання

§ 2, № 46, 47.

Урок № 6

Тема уроку: Теорема синусів.

Мета уроку: Домогтися засвоєння учнями змісту й доведення теореми

синусів і використання її для розв'язування задач.

Тип уроку: Формування знань.

Обладнання: Таблиця.

Хід уроку


1. Два учня біля дошки розв’язують домашні вправи.


Дві сторони трикутника відносяться як 1 : 2 3 і утворюють кут у

30°. Третя сторона трикутника дорівнює 2 7 см. Знайти невідомі

сторони трикутника.

Дано: ∆АВС, ВС : АС = 1 : 2 3 ,

С = 30о, АВ = 2 7 см.

Знайти: АВ, АС.

Розв’язок

Нехай ВС = х см, АС = 2х 3 см. Застосуємо т. косинусів:

(2 7 )2 = х

2 + (2х 3 )

2 – 2 ∙ х ∙ 2х 3 ∙ cos30

o.

х2 + 12х

2 – 4х

23 ∙

2

3 = 28;

7х2 = 28; х = 4 = 2.

ВС = 2 см, АС = 4 3 см.


Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут у 120°, дорівнює

8 см, а довжина третьої сторони становить 7 см. Знайдіть невідомі

сторони трикутника.

Розв’язок

Нехай одна з двох сторін трикутника дорівнює х см, то друга буде

дорівнювати – (8 – х) см. Скористаємося т. косинусів і складемо

рівняння: х2 + (8 – х)

2 + 2х ∙ (8 – х) ∙

2

1 = 49;

х2 + 64 – 16х + х

2 + 8х – х

2 – 49 = 0;

х2 - 8х + 15 = 0.

D = 64 – 60 = 4. х1 = 2

28 = 3, х2 =

2

28 = 5.

Відповідь: Невідомі сторони трикутника дорівнюють 3 см і 5 см.

2. З рештою учнів проводиться бліц – опитування:

1) Сформулюйте теорему косинусів.

2) Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами а,

b і с, де c — його найбільша сторона, якщо:

1) а2 + b

2 > с

2,

2) а2 + b

2 < с

2,

3) а2 + b

2 = с

2

3) Як пов'язані між собою діагоналі і сторони паралелограма?

ІІ. Актуалізація знань учнів

Запитання до учнів:

• Який кут називається вписаним?

• Чому дорівнює сума двох протилежних кутів чотирикутника, вписаного

в коло?

Завдання класу

• Задача 2.

Дано: ab = mn (a, b, m, n — числа, відмінні від нуля). Складіть із цих чисел

пропорцію. Чи завжди задача має розв'язок?

IІI. Мотивація практичної необхідності розгляду теореми синусів

Учням пропонується намітити хід розв'язування задач.

Задача 1. Як знайти довжину сторони ВС у трикутнику ABC, якщо

АВ = 3 см, АС = 4см, ВАС = 30о.

Задача 2. Як знайти довжину сторони ВС у трикутнику ABC, якщо

АВ = 2 см, A = 45° , C = 30° ?

IV. Вивчення нового матеріалу

Учитель підкреслює, що розв'язання другої задачі, яке ґрунтується на

побудові висоти, є нераціональним. Цю задачу можна розв'язати простіше,

якщо знати теорему, що називається теоремою синусів, Уперше довів цю

теорему видатний азербайджанський учений Насіреддін Тусі (1201—1274

pp.). Формулюється теорема синусів. Уточнюється, яка рівність випливає з

виразу «сторони пропорційні синусам протилежних кутів». На дошці й у

зошитах записується тема уроку, умова теореми, виконуються відповідні

малюнки.

Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні до синусів

протилежних кутів.

Доведення.

Нехай ABC — трикутник із сторонами а, b, c і протилежними кутами

α, β, Доведемо, що sinsinsin

cba

Опустимо з вершини С висоту CD. З прямокутного трикутника ACD, якщо

кут а гострий, дістаємо:

CD= b sin α . Якщо кут а тупий, то CD = b sin (180° — а) = b sin α.

Аналогічно з трикутника BCD дістаємо: CD = a sin β.

Отже, a sin β = b sin α. Звідси sinsin

ba

Аналогічно доведемо рівність sinsin

cb

Дома учням пропонується розглянути доведення теорему синусів за

підручником.

V. Закріплення нових знань і вмінь учнів

1. Вправа. Довести, що радіус описаного кола трикутника можна

обчислити за формулою R = sin2

a, де а – сторона трикутника, α –

протилежний їй кут.


Проведемо діаметр BD. За властивістю кутів, вписаних у коло, кут

при вершині D прямокутного трикутника BCD дорівнює або α, якщо

точки А і D лежать з одного боку від прямої ВС, або 180° — α, якщо

вони лежать з різних боків від прямої ВС. У першому випадку ВС =

= BD sin α, у другому ВС = BD sin (180° — α). Оскільки sin (180° — α) =

= sin α, то для будь-якого випадку

а = 2R sin а. Тобто R = sin2

a, що й треба було довести.

2. Вправа № 78. Знайдіть сторону ВС трикутника ABC, зображеного на

рисунку 17 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

Розв’язок

За т. синусів A

BC

B

АС

sinsin ; ВС =

2

2

24∙

2

3 = 4 3 (см).

3. Вправа № 79. Знайдіть кут А трикутника ABC, зображеного на рисунку

18 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

Розв’язок

A

BC

С

АВ

sinsin ;

Asin

6

2

2

26 ; sinA = 6 ∙ 6

262

2

=

2

1. A = 30

o.

4. Розв’язати вправу № 84 або № 89 (в залежності від часу і ступеня

засвоєння знань)

Вправа № 84. Для знаходження відстані від точки А до дзвіниці В, яка

розташована на іншому березі річки (рис. 19), за допомогою віх, рулетки і

приладу для вимірювання кутів (теодоліту) позначили на місцевості точку С

таку, що ВАС = 42°, АСВ = 64°, АС = 20 м. Як знайти відстань від А до В?

Знайдіть цю відстань.

Розв’язок

Знайдемо кут В. В = 180о – 45

о – 64

о = 71

о.

В

АC

С

АВ

sinsin ;

71sin

20

64sin

АВ; АВ =

71sin

64sin20 =

946,0

899,020 = 19,0 (м).

Вправа № 89. У трикутнику DEF відомо, що DE = 8 см, sin.F = 0,16.

Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника DEF.

Нехай R – радіус кола, описаного навколо

∆ DEF. R = F

DE

sin2 =

16,02

8

= 25 (см).

VI. Підсумок уроку

1.Сформулюйте теорему синусів.

2.Як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника зі стороною а і

протилежним цій стороні кутом α?

VII. Домашнє завдання

§ 3, № 81, № 83, (№ 90).

Урок № 7

Тема уроку: Теорема синусів. Розв’язування вправ.

Мета уроку: Вчити учнів розв’язувати задачі з використанням теорем

синусів і косинусів та наслідків з них.

Тип уроку: Удосконалення знань, умінь і навичок.

Обладнання: Таблиця.

Хід уроку


1. Два учня біля дошки готують розв’язання домашніх вправ

№ 81, № 83; третій – доводить теорему синусів.

Вправа № 81. У трикутнику АВС відомо, що АВ = 12 см, ВС = 10 см,

sinA = 0,2. Знайти синус кута С трикутника.

Розв’язок

Згідно т. синусів A

BC

C

АВ

sinsin ;

2,0

10

sin

12

C; sinC =

10

2,012 = 0, 24.

Вправа № 83. У трикутнику МКР відомо, що КР = 8 см, К = 106о, Р = 32

о.

Знайти невідомі сторони трикутника.

Розв’язок

Знайдемо кут М. М = 180о – 106

о – 32

о = 42

о.

Згідно т. синусів Р

КМ

М

КР

sinsin ;

32sin42sin

8 КМ ; КМ =

42sin

32sin8 =

669,0

530,08 =

= 6,3 (см);

Р

КМ

К

МР

sinsin ;

32sin

3,6

84sin

МР; МР =

530,0

995,03,6 = 12 (см).


Нехай R – радіус кола, описаного навколо

∆ МКР. Так як R = М

КР

sin2, то КР = R ∙ 2sinM =

= 5 ∙ 2 ∙ 0,7 = 7 (см).

Запитання до класу

- Як знайти градусні міри кутів А, С, В в задачі № 81?

ІІІ. Удосконалення знань, умінь і навичок


Знайдіть кут А трикутника ABC, якщо:

1) АС = 2 см, ВС = 1 см, В = 135°.

Розв’язок


BC

B

АС

sinsin ; sinA =

AC

BВС sin =

2

135sin1 =

2

45sin1 = =

2

707,0= 0,354 ; А = 21

о.

Так як ВС < АС, то А < В, а, отже, А гострий.

Задача має один розв’язок.

2) АС = 2 см, ВС = 3 см, В = 45°.

Розв’язок


BC

B

АС

sinsin ; sinA =

AC

BВС sin =

2

45sin3 =

2

3.

Оскільки АС < ВС, то В < А і А може бути як гострим, так і тупим.

Отже, А = 60о або А = 120

о.

Задача має два розв’язки.

2. Вправа № 93. За рисунком 20 знайдіть AD, якщо CD = a.

Розв’язок

СВА = 90о - , то СВD = 90

o – ( ).

∆СВD – прямокутний з гіпотенузою BD. BD = CBD

а

sin =

))(90sin( а

=

=)cos(

a.

В ∆ ABD за т. синусів маємо sinsin

ADBD ; AD =

sin)cos(

sin

a.

3. Вправа № 97. Доведіть, що бісектриса трикутника поділяє його сторону

на відрізки, довжини яких обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї

сторони кутів.

Дано; ∆ АВС, ВD – бісектриса.

Довести: A

C

СD

АD

sin

sin

Доведення

Згідно т. синусів ABD

AD

A

BD

sinsin ;

CBD

CD

C

BD

sinsin . Знайдемо BD з кожної

пропорції:

BD = ABD

AAD

sin

sin; BD =

CBD

CCD

sin

sin. Отже,

ABD

AAD

sin

sin =

CBD

CCD

sin

sin. Так як ВD –

бісектриса, то sinABD = sinCBD і AD ∙ sinA = CD ∙ sinC. Звідси, A

C

CD

AD

sin

sin .

4. Вправа № 104. (Спочатку повторити, як доводилася дана задача в 8 кл.,

т. 19, с. 102).

Доведіть, користуючись теоремою синусів, що бісектриса трикутника

поділяє його сторону на відрізки, довжини яких пропорційні прилеглим

сторонам.

Дано; ∆ АВС, ВL – бісектриса.

Довести: ВС

АВ

СL

АL .

Доведення

Згідно т. синусів ALB

AB

ABL

AL

sinsin i

BLC

BC

CBL

CL

sinsin . SinALB =

AL

ABLAB sin i

sinBLC = CL

CBLBC sin. Кути ALB i CLB – суміжні і CLB = 180

o - ALB, то

sin CLB = sin (180o - ALB) = sinALB.

Отже, AL

ABLAB sin =

CL

CBLBC sin. ABL = CBL, то sinABL = sinCBL. Тоді

AL

AB =

CL

BC , що й треба було довести.

ІІІ. Домашнє завдання.

Повт. § 2, 3. № 94, 96.

УРОК № 8

Тема. Контроль навчальних досягнень учнів. Контрольна робота №1 за

темою «Розв’язування трикутників»

Мета. перевірити рівень засвоєння програмних знань, умінь з теми.

Тип уроку. Урок контролю навчальних досягнень учнів.

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Оцінювання знань і вмінь учнів

Контрольна робота

Варіант 1

1. Обчислити: а) 2 ∙ sin30˚ + cos180˚;

б) 4 ∙ cos45˚ - 2 ∙ tg0˚.

2. Визначити вид трикутника, сторони якого дорівнюють 6см, 8см, 11см.

3. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 1 см, а кут між ними становить

135°. Знайдіть третю сторону.

4. У трикутнику дано дві сторони і кут, протилежний до однієї із сторін.

Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника, якщо: а = 12, b = 5,

α = 120°;

Варіант 2

1. Обчислити: а) 2 ∙ cos30˚ - tg60˚;

б) 4 ∙ sin45˚ - 2 ∙ tg180˚.

2. Визначити вид трикутника, сторони якого дорівнюють 6см, 8см, 10см.

3. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 2 см, а кут між ними

становить 60°. Знайдіть третю сторону.

4. У трикутнику дано дві сторони і кут, протилежний до однієї із сторін.

Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника, якщо а = 34, b = 12,

α = 164°.

Урок № 9

Тема уроку: Розв'язування трикутників.

Мета уроку: навчити учнів розв'язувати задачі з даної теми (задача 1).

Тип уроку: формування та вдосконалення знань.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання та актуалізація знань учнів

1. Сформулювати співвідношення між сторонами і кутами прямокутного

трикутника.

1) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус

кута, протилежного цьому катету;

2) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на косинус

кута, прилеглого до цього катета.

3) Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку другого катета на

тангенс кута, протилежного першому катету.

4) Катет прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення другого

катета на тангенс кута, прилеглого до першого катета.

5) Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення катета

на синус протилежного йому кута.

6) Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення катета

на косинус прилеглого до нього кута.

2. За готовими малюнками на дошці учні пояснюють розв’ язок вправи № 115.

Розв'яжіть прямокутний трикутник:

1) за двома катетами а = 7 см і b = 35 см;

c2 = a

2 + b

2 = 49 + 1225 = 1274.

c 35,7.

tgA = 35

70,2; А 11

о, В = 79

о.

2) за гіпотенузою с = 17 см і катетом а = 8 см;

sinA = 17

8 0,471; А 28

о, В 62

о.

АС = 17 ∙ sin62o 17 ∙ 0,883 15,0.

3) за гіпотенузою с = 4 см і гострим кутом = 50°;

ВС = 4 ∙ sin50o 4 ∙ 0,766 3,0.

B = 40o, AC = 4 ∙ sin40

o = 4 ∙0,643 2,6.

4) за катетом а = 8 см і протилежним кутом = 42°.

AB = 42sin

8 =

669,0

8 12

B = 48o, AC = 12 ∙ sin48

o = 12 ∙ 0,743 8,9.

ІІ. Формування мети уроку

Учитель зазначає, що на цьому уроці буде систематизовано знання учнів із

теми «Розв'язування трикутників»; виділено основні типи задач,

розглянуто розв'язування перших двох задач цих типів. Наголошує ще раз,

що розв'язати прямокутний трикутник означає знайти його невідомі

сторони і кути за відомими сторонами і кутами . Підкреслює, що

розв'язування цих задач ґрунтується на теоремі Піфагора й означеннях

понять sin , cos , tg , де — гострий кут прямокутного трикутника.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Колективно намічаються умови чотирьох основних задач на

розв'язування довільних трикутників. На відкидній дошці заздалегідь із

невидимого для класу боку підготовлено відповідні записи та рисунок

трикутника :

Задача 1. Дано: а, , .

Знайти: b, с, .

Задача 2. Дано: а, b, .

Знайти: с, , .

Задача 3. Дано: а, b, с.

Знайти: , , .

Задача 3. Дано: a, b, .


Зазначається, що розв'язання цих задач ґрунтується на використанні

теорем синусів і косинусів, теореми про суму кутів трикутника і наслідку з

теореми синусів.

Корисно звернути увагу учнів на те, що розв'язок задач 1, 2, 3 в § 4 є

єдиним (це випливає з ознак рівності трикутників).

Розв'язування трикутника за стороною і двома кутами

Дано: а, , .


Розв’язок

1) а = 180о – ( + );

2) sinsin

ba , отже, b=

sin

sina

3) sinsin

ca , отже, c=

sin

sina

Задача має єдиний розв'язок, якщо < 180° . Корисно звернути увагу

учнів на такі деталі: знаходження сторони b доцільно розпочати з обчислен-

ня значення sin

a, а потім одержаний результат помножити на sin ;

для знаходження значення сторони с краще скористатися рівністю

sinsin

ca а не

sinsin

cb , тому що, по-перше, можна скористатися

знайденим значенням відношення sin

a, по-друге, значення b знайдено

наближено, а значення а дано.

ІV. Закріплення нових знань і вмінь учнів


Розв’язати трикутник за стороною і двома кутами:

1) Дано: а = 10 см, 85,20


Розв’язок

1) а = 180о – (20

о +85

о) = 75

о.

2) sinsin

ba ;

20sin75sin

10 b , отже, b=

75sin

20sin10=

966,0

342,010 = 3,54.

3) sinsin

ca ,

85sin75sin

10 ñ , отже, c=

75sin

85sin10 =

966,0

996,010 = 10,3.

2) Дано: b = 16 см, 110,40 .

Знайти: а, с, .

Розв’язок

1) = 180о – (40

о +110

о) = 30

о.

2) sinsin

ba ;

110sin

16

40sin

à, отже, а=

110sin

40sin16=

70sin

40sin16=

940,0

643,016 =

= 10,9.

3) sin

b=

sin

c; с =

sin

sinb =

110sin

30sin16 =

940,0

5,016 = 8,5

IV. Повторення вивченого матеріалу

Вправа № 128. Бісектриса кута В паралелограма ABCD перетинає його сторону

AD у точці М, а продовження сторони CD за точку D — у точці К. Знайдіть

довжину відрізка DK, якщо AM = 8 см, а периметр паралелограма дорівнює

50 см.

Дано: АВСD – паралелограм,

ВМ – бісектриса, ВМ СD = К,

АМ = 8 см, РАВСD = 50 см.

Знайти DК.

Розв’язок

1) ВМ – бісектриса, то АВМ = МВС. АМВ = МВС як внутрішні

різносторонні. Тоді АМВ = АВМ і ∆ АВМ рівнобедрений з основою ВМ.

Звідси АМ = АВ = 8 см.

2) АВ = СD = 8 см як протилежні сторони паралелограма. АD = 172

1650

(см).

МD = AD – AM = 17 – 8 = 9 (см)

3) АМВ = КМD як вертикальні, АВМ = МКD як внутрішні

різносторонні, то КМD = МКD і ∆ МКD рівнобедрений з основою МК. Отже,

МD = KD = 9 (см).

Відповідь: KD = 9 см.


§ 4 (приклад 1), № 117.

Урок № 10

Тема уроку: Розв'язування трикутників (продовження).

Мета уроку: Навчити учнів розв'язувати задачі з даної теми (задача 2).

Тип уроку: Формування та вдосконалення знань.

Хід уроку

І. Актуалізація знань учнів

Перед вивченням нового матеріалу корисно ще раз нагадати, що

sin(l80° - α) = sinα. Отже, якщо в трикутнику потрібно знайти кут, знаючи

його синус, і невідомо, у яких межах міститься градусна міра цього кута (від

0° до 90° чи від 90° до 180°), то задача має два розв'язки: кут може бути як

гострим, так і тупим. Для закріплення цього висновку можна запропонувати

виконати вправи.

Завдання класу

• Сторони трикутника — а, b, с, протилежні їм кути — , , .

Знайдіть кут , якщо:

1) sin =2

1;

2) sin = 2

1 , — тупий кут;

3) sin = 2

1, a с [ може бути гострим або тупим кутом].

II. Вивчення нового матеріалу

Варіанти розв'язання задачі 2 аналізуються колективно. Кожна з

пропозицій обговорюється. Наприклад, як краще знаходити шукані кути —

за теоремою синусів чи за теоремою косинусів. З'ясовується, що за теоремою

синусів обчислення є простішим.

Який із кутів потрібно знайти раніше — чи ? Якщо кут тупий, то

байдуже, який із цих кутів знаходити раніше, тому що кути і будуть

гострими і даному значенню синуса відповідатиме одне значення кута; якщо

кут гострий, то доцільно спочатку знайти той із кутів, який буде гострим,

тобто той, що лежить проти меншої з двох даних сторін.

На дошці й у зошитах робляться записи розв'язання задачі 2.

Розв 'язування трикутника за двома сторонами і кутом між ними

Задача 2. Дано: а, b, .


Розв'язання

1) с2 = a

2 + b

2 - 2ab cos , отже, c = cos222 abbà .

2) Якщо — гострий кут, то знаходимо менший із невідомих кутів.

Нехай а < b. Тоді sinsin

ca , отже, sin =

c

a sin. Звідси знаходимо гострий

кут ;

.

3) = 180°- ( + ). Задача завжди має єдиний розв'язок.

ІІІ. Закріплення нових знань і вмінь

Вправа № 118. Розв'яжіть трикутник за двома сторонами і кутом між

ними:

1) b = 18 см, с = 22 см, = 76°;

Знайти: а, , .

Розв'язання

a2 = c

2 + b

2 – 2cb cos , отже, a = cos222 сbbс = 76cos792324484

242,0792808 192808 = 616 24,8.

sinsin

ba ,

sin

18

76sin

8,24

, sin =

8,24

970,018 0,704. 44

o..

= 180°- (76о +44

о) = 60

о.

2) а = 20 см, b = 15 см, = 104°.


Розв'язок

c2 = a

2 + b

2 – 2ab cos , отже, c = cos222 abba = 104cos600225400 =

= 76cos600625 242,0600625 145625 = 700 27,7.

a2 = c

2 + b

2 – 2cb cos , cos =

bc

acb

2

222 =

831

400700225 0,632.

a 51o.

= 180°- (51о +104

о) = 25

о.

IV. Повторення вивченого матеріалу Задача. Діагоналі паралелограма дорівнюють 35 м і 55 м, одна зі

сторін більша від іншої на 5 м. Знайдіть периметр паралелограма.

Поки учні намічають хід розв'язування задачі, учитель перевіряє

наявність в учнів розв'язання домашніх задач і пропонує відповісти на

запитання.

Домашні вправи


Розв'яжіть трикутник за стороною і двома кутами:

1) b = 9 см, = 35°, = 70°;

Знайдемо а, с, .

Розв’язок

= 180о – ( + ) = 180

о – (35

о+70

о) = 75

о.

sinsin

ba , отже, а =

sin

sinb=

75sin

35sin9

966,0

574,09 5,3.

sinsin

ca , отже, c =

sin

sina =

35sin

70sin3,5

574,0

940,03,5 8,7.

Запитання до класу: чи можна знайти сторону с за допомогою т. косинусів?

2) с = 14 см, = 132°, = 24°.

Знайдемо a, b,

Розв’язок

= 180о – ( + ) = 180

о – (132

о+24

о) = 24

о.

= , то a = c = 14 см. sinsin

ba ;

132sin24sin

14 b .

b =

24sin

48sin14=

407,0

743,014 26.

Запитання до класу: чи можна знайти сторону b за допомогою т. косинусів?

Два учні біля дошки знаходять сторону с із задачі 1 і сторону b із задачі 2 за

допомогою т. косинусів (якщо буде час).

Розв'язок задачі на повторення.

Розв'язок

Нехай сторони паралелограма дорівнюють х см і (х + 50) см.

cosBAD = )5(2

35)5( 222

хх

хх, cos(180

o - BAD) = - cosBAD.

- cosBAD = )5(2

55)5( 222

хх

хх, cosBAD =

)5(2

)5(55 222

хх

хх.

Рівняння

)5(2

)5(55 222

хх

хх =

)5(2

35)5( 222

хх

хх

552 – х

2 –х

2 – 10х – 25 = х

2 + х

2 + 10х + 25 – 35

2;

– х2 –х

2 – 10х – х

2 –х

2 – 10х + 3025 – 25 – 25 + 1225 = 0;

- 4х2 – 20х + 4200 = 0;

х2 + 5х – 1050 = 0;

D = 25+ 4 ∙ 1050 = 4225.

х1 = 2

655 = - 35; х2 =

2

655 = 30.

Відповідь: сторони паралелограма дорівнюють 30 см і 35 см.


§ 4 (задача 2), № 119.

Урок № 11

Тема уроку: Розв'язування трикутників (продовження).

Мета уроку: Навчити учнів розв 'язувати трикутники за трьома сторонами (за-

дача 4).

Тип уроку: Формування знань, умінь, навичок.

Хід уроку

І. Вивчення нового матеріалу Розв'язання задачі 4, як і попередньої, обговорюється колективно.

Наприклад, який кут доцільно знаходити першим. З'ясовується, що кут,

який лежить проти більшої сторони, слід знаходити першим, тому що в

цьому разі інші кути будуть гострими, а отже, знайденому значенню

синуса відповідатиме тільки один гострий кут.

Можливий і інший варіант розв'язування задачі.

1) Обчислюється косинус будь-якого кута трикутника.

2) За теоремою синусів знаходиться синус меншого з двох інших

кутів (цей кут є гострим).

На дошці й у зошитах робляться записи розв'язання задачі 4.

Розв'язування трикутника за трьома сторонами

Дано: а, b, с.

Знайти: α, β, γ.

Р о з в ' я з о к ,

Знаходимо найбільший із кутів трикутника (інші кути гострі).

1) Нехай a — найбільша зі сторін. Якщо а2 < b

2+ c

2, то найбільший кут α –

гострий і трикутник гострокутний. Тоді cos α = bc

acb

2

222 . Звідси

знаходимо кут α .

sinsin

ba , sin β =

a

b sin. Звідси знаходимо гострий кут β.

γ = 180° - (α + β).

2) Нехай a — найбільша зі сторін. Якщо а2 > b

2+ c


тупий. Тоді знаходимо будь – який з гострих кутів, наприклад

β. cos β = ac

bca

2

222 . Звідси знаходимо гострий кут β.

sin

c =

sin

b, отже, sinγ =

b

с sin. Звідси знаходимо гострий кут γ.

II. Закріплення нових знань і вмінь учнів 1. Вправа № 120. Розв'язати трикутник за трьома сторонами:

1) a = 4 см, b = 5 см, с = 7 см.



а) с = 7 см — найбільша зі сторін. Якщо с2 42

+ 52

і найбільший

кут γ – тупий.

б) cos α = bc

acb

2

222 =

70

164925 =

70

58 0,829; α 34

о.

в) cos β = ac

bca

2

222 =

56

254916 =

56

40 0,714; β 44

о.

г) γ = 180о - 34

о - 44

о = 102

о.

2) a = 26 см, b = 19 см, с = 42 см.



а) с = 42 см — найбільша зі сторін. Якщо с2 2 62

+ 1 92

і найбільший кут γ – тупий.

б) cos α = bc

acb

2

222 =

1596

6761764361 =

1596

1449 0,908; α 25

о.

в) cos β = ac

bca

2

222 =

2184

3611764676 =

2184

2079 0,952; β 18

о.

г) γ = 180о - 25

о - 18

о = 137

о.

III. Перевірка домашнього завдання

Викликані до дошки учні пояснюють розв'язання задач № 119 (1) і

№ 119 (2).

Розв 'язування трикутника за двома сторонами і кутом між ними:

1) Дано: а = 8 см, с = 6 см, β = 15о.

Знайти: b, α, γ.

Запитання до задачі:

- Який кут найбільший?

- Як перевірити, гострий він чи тупий?

Розв'язок

b2 = a

2 +c

2 – 2ac cosβ , отже, b = cos222 añca = 15cos963664

966,096100 92100 = 8 2,8 (см).

а = 8 см — найбільша зі сторін. Якщо а2 2 , 82

+ 62

і найбільший кут α – тупий.

α = 180о . А тому спочатку знайдемо гострий кут γ.

sin

c =

sin

b, отже, sinγ =

b

с sin =

8,2

15sin6

= 8,2

259,06 0,555; γ 34

о.

α = 180о - 15

о - 34

о = 131

о.

2) Дано: b = 7 см, с = 5 см, α = 145о.

Знайти: a, β, γ.

Розв'язок

a2 = c

2 + b

2 – 2cb cos , отже, a = cos222 сbbс = 35cos702549

819,07074 3,5774 = 3,131 11.

sinsin

ас ,

145sin

11

sin

5

=

35sin

11

sin

5

. sinγ=

11

574,05 0,261. γ 15

o..

β = 180°- (145о +15

о) = 20

о.

Запитання до задачі:

- Який кут більший γ чи β?

- Чи є серед них тупий (крім )?

ІV. Домашнє завдання

§ 4 (задача 3), № 121.

Урок № 12

Тема уроку: Розв'язування трикутників.

Мета уроку: Навчити учнів розв'язувати трикутники за двома сторонами і

кутом, який лежить проти однієї з даних сторін (задача 3).

Тип уроку: Формування та вдосконалення знань, умінь, навичок.

Обладнання уроку: таблиця «Розв’язування трикутника за двома сторонами і

кутом»

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання та актуалізація знань учнів

1. Перевірити наявність домашніх робіт, а якість виконання перевірити разом із

самостійною роботою, яка буде проведена в кінці уроку.

2. Математичний диктант

а) Якщо в ∆АВС відомі дві сторони b і с та кут між ними А, то третя

сторона дорівнює... .

б) Якщо в трикутнику відома сторона а і два прилеглі до неї кути В і С, то дві

інші сторони можна знайти так: ....

в) У трикутнику ABC АВ = 4 см, ВС = 5 см, АС = 6 см. Найбільший кут у

∆АВС — це кут ... .

г) У трикутнику проти сторони а лежить кут α. Тоді радіус R

кола, описаного навколо трикутника, можна знайти за формулою: .... ,

Після виконання завдань математичного диктанту учні обмінюються

роботами та звіряють ті відповіді, що дістали, з відповідями, записаними

раніше вчителем на відкидній дошці. Кращі роботи можна оцінити.

ІІ. Вивчення нового матеріалу В усіх попередніх випадках розв'язування трикутників учні заздалегідь

знали, що задачі, які вони розглядають, за певних умов мають єдиний

розв'язок, тому що вони вже були знайомі з геометричним розв'язуванням

цих задач, тобто з побудовою трикутників за стороною і двома прилеглими до

неї кутами; за двома сторонами і кутом між ними; за трьома сторонами.

Однак із побудовою трикутника за двома сторонами і кутом, що лежить проти

однієї з них, вони ще не знайомі. Тому, щоб полегшити засвоєння аналітичного

способу розв'язування цієї задачі, слід розпочати з геометричного

розв'язання.

Пропонується побудувати трикутник ABC за двома сторонами (ВС = а, АС

= b) і кутом, що лежить проти однієї з них (A = ). Намічається хід

побудови.

1) Будуємо A , що дорівнює даному куту ;

2) відкладаємо на одній з його сторін відрізок АС, що дорівнює відрізку b;

3) проводимо коло з центром у точці С і радіусом а. Підкреслюється, що

коло може: а) не перетинати; б) дотикатися; в) перетинати в одній точці;

г) перетинати в двох точках другу сторону кута.

В и с н о в о к . Задача може не мати розв'язків; мати один розв'язок;

мати два розв'язки.

Вивішується схема 7. Учитель ілюструє можливі випадки розв'язання

цієї задачі, а потім переходить до розв'язування задачі аналітичним

способом, використовуючи відповідні записи схеми. Намічається план

розв'язання.

1) За теоремою синусів знаходимо sinβ = a

b sin . Якщо sinβ > 1, то

задача не має розв'язків. Якщо sinβ = 1, то β = 90° . Якщо 0 < sin β < 1,

то розв'язок залежить від того, яка з даних сторін є більшою.

а) Якщо а>b, кут β гострий;

б) якщо а < b, кут β гострий або тупий, тобто умову задачі задовольняють

два кути β (β1 та β2), β1, знаходимо за схемою 7, а β2 — як різницю

180° - β1 .

2) Знаходимо кут .

3) Знаходимо за теоремою синусів сторону с.

Таблиця

Розв'язування трикутників за двома сторонами і кутом

Геометричний спосіб

Аналітичний спосіб

1. sin

à =

sin

b, отже, sinβ =

a

b sin(знаходимо β) 7

sin β >1 sin β = 1 0 < sin β < 1

β = 90о

2. γ = 90о – α

3. с = bcosα

а>b а β, отже , β –

гострий кут

2. γ = 180о –

- (α + β)

3. c=

sin

sina

Існують два кути:

β1 – гострий

і β2 – тупий (180° - β1)

2. γ1 = 180о –

- (α + β1)

3. c1=

sin

sin 1a

2. γ2 = 180о –

- (α + β2)

3. c2=

sin

sin 2a

Немає

розв’язків

Один

розв’язок

Один

розв’язок

Два розв’язки

ІІІ. Закріплення та систематизація нових знань і вмінь учнів

1. Вправа № 123. Розв’язати трикутник за двома сторонами і кутом, який

лежить проти однієї з даних сторін:

1. а = 7 см, b = 11 см, β = 46о.

Знайти: с, γ, α.

Розв’язок

1) 1. sin

а =

sin

b, отже, sinα =

b

а sin =

11

46sin7 =

11

719,07 0, 458 ;

0 < sin α < 1 і b > a, то α – гострий, тобто α 27о.

2) γ = 180о - (α + β) = 180

о - (46

о + 27

о) = 107

о.

3) c=

sin

sina =

27sin

107sin7 =

27sin

73sin7 =

454,0

956,07 = 15 (см).

2. b = 15 см, с = 17 см, β = 32о.

Знайти: а, γ, α.

1) sinsin

cb , отже, sinγ =

b

с sin =

15

32sin17

= 15

530,017 = 0,600. 0 < sin γ < 1

і b < c, то існують два кути γ1 – гострий і γ2 – тупий (180° - γ1).

γ1 = 37о і γ2 = 143

о. Тоді α1 = 180

о – 32

о – 37

о = 111

о, α2 = 180

о – 32

о – 143

о

= 5о.

2) sinsin 1

1 ba ; а1 =

sin

sin 1b =

32sin

111sin15 =

32sin

69sin15 =

530,0

934,015 = 26 (см).

sinsin 2

2 ba ; а2 =

sin

sin 2b =

32sin

5sin15 =

530,0

087,015 = 2,5 (см).

2. Самостійна робота

Варіант І

У трикутнику а = 20, b = 40 , α = 23° . Знайдіть β, γ, с.

[ sinsin

ba , отже, sinβ =

a

b sin=

20

23sin40

20

391,040 = 0,782. β 52

o.

γ = 180o - 23° - 52

o = 105

o.

sinsin

ca , отже, c=

sin

sina =

23sin

85sin20

391,0

996,020 51. ]

Варіант II

У трикутнику с = 5, b = 20, γ = 37° . Знайдіть β , α, а.

[sin

b

sin

c ;

sin

2037sin

5 ; sin =

5

602,020 2,408 > 1, що неможливо.

Задача не має розв’язку. ]

IV. Завдання додому. Повторити § 2 – 4, № 124.

Урок № 13

Тема уроку: Формули для знаходження площі трикутника

Мета уроку: Вивчити формули для знаходження площі трикутника (Герона,

за двома сторонами і кутом між ними), вчити застосовувати дані формули

для знаходження площі трикутника.


Обладнання: Таблиця «Площа трикутника»

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань учнів

Учні самостійно повторюють, які формули для обчислення площі

трикутника були вивчені у 8 класі. На дошці запитання:

- Чому дорівнює площа трикутника?

- Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?

Потім класу пропонується задача.

Задача № 131. На стороні АС трикутника АВС позначено точку D так, що

ADB = . Довести, що площа трикутника АВС

S = sin2

1BDАС .

Дано: ∆АВС, ADB = .

Довести: S∆АВС = sin2

1BDАС .

Доведення

Побудуємо ВН АС. S∆АВС = BНАС 2

1. Знайдемо ВН. ∆ВНD

прямокутний. ВН = ВDsinα. Підставимо в формулу площі трикутника

S∆АВС = BНАС 2

1 знайдене значення ВН. Маємо S∆АВС = sin

2

1BDАС , що й

треба було довести.


1. Вчитель формулює теорему: площа трикутника дорівнює половині

добутку двох будь-яких його сторін на синус кута між ними.

Мал. 1 Мал. 2

Нехай ABC — даний трикутник. Доведемо, що S∆ = 2

1АВ ∙ АС ∙ sin A.

Проведемо у трикутнику ABC висоту BD. Маємо: S∆ = 2

1АС ∙ BD.

З прямокутного трикутника ABD: BD = АВ ∙ sin α, якщо кут α — гострий

(мал. 1 ), і BD = АВ ∙ sin (180° — α), якщо кут а — тупий (мал. 2). Оскільки

sin (180° — α) = sin α, то для будь-якого випадку BD = АВ ∙ sin α і

S∆ = 2

1АВ ∙ АС ∙ sin A

Отже, площа трикутника S∆ = 2

1АВ ∙ АС ∙ sin A, що й треба було

довести.

Проблемне запитання:

Чи справджується дана формула S∆ = 2

1АВ ∙ АС ∙ sin A для

прямокутного трикутника, де АВ і АС – катети? [Нагадати дітям, що

sin 90o = 1.]

Приклад 1. Знайти площу трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють

2 см і 3 см, а кут між ними 30о.

Приклад 2. Знайти площу прямокутного трикутника, якщо його катети

дорівнюють 4 см і 7 см.

2. Виведення формули Герона.

Формулу для знаходження площі трикутника за трьома сторонами вивів

давньогрецький учений Герон Александрійський, який жив у І ст. н. є.

На дошці записано умова задачі:

Д а н о: а, b, с — сторони ∆АВС .

З н а й т и : S∆ABC .

Пропонується намітити план розв'язання.

Доцільно розглянути кілька способів розв'язання задачі.

Спосіб 1(один із способів)

1) За теоремою косинусів знаходимо cosγ .

2) 3 рівності sin2γ + cos

2γ = l знаходимо sinγ .

3) За формулою S∆ = 2

1ab sin γ знаходимо площу трикутника.

Учитель пропонує учням прокоментувати розв'язання цієї задачі, яке наведене

в підручнику.

1. Маємо S∆ = 2

1ab sin γ.

2. За теоремою косинусів с2 = а

2 + b

2 - 2abcos γ .

Звідси cos γ = ab

cba

2

222

3 . sin2γ = l - cos

2 γ = (l - cos γ)( l + cos γ) =

ab

cbaab

2

2 222 ∙

ab

cbaab

2

2 222 =

= ab

bac

2

)( 22 ∙

ab

cba

2

)( 22 =

224

1

ba(c – a + b)( c + a – b)(a + b – c)( a + b + c).

4. Беручи до уваги, що a + b + c = 2p, a + b - c = 2p - 2c, a+ c - b =

= 2p - 2b , c - a + b = 2p - 2a , де р — півпериметр трикутника, маємо:

sin2γ =

224

1

ba∙ 2р ∙ (2р – 2с) ∙ (2р – 2b) ∙ ( 2р – 2а) =

224

1

ba∙ 2р ∙ 2(р – с) ∙ 2(р – b) ∙ 2( р – а) =

= 224

1

ba16 р (р – с) ∙ (р – b) ∙ ( р – а) =

22

4

ba р (р – с) ∙ (р – b) ∙ ( р – а).

sinγ = ab

2c) - b)(р -a)(р - р(р .

5. S∆ = 2

1ab sin γ =

2

1ab

ab

2c) - b)(р -a)(р - р(р = c) - b)(р -a)(р - р(р .

Приклад 1. (№ 138 (1)) Знайти площу трикутника за трьома сторонами:

a = 13, b = 14, c = 15.

Розв’язок

р = 2

151413 = 21. S∆ АВС = c) - b)(р -a)(р - р(р = )1521)(1421)(1321(21 =

67821 = 84 (кв. од. )

ІІІ. Закріплення нових знань і умінь учнів

1. Вправа. Доведіть, що площу S паралелограма можна обчислити за

формулою S = ab sinα, де а і b — сусідні сторони паралелограма, α— кут

між

ними.

Доведення розглянути за підручником (с. 39).

2. № 146. Знайти площу паралелограма за його сторонами а і b та кутом α між ними,

якщо: a = 25 см, b = 9 см, α = 45о.

Розв’язок

S = absinα = 25 ∙ 9 ∙ 2

2 = 45 (см

2).

3. Вправа № 140 Знайти найменшу висоту трикутника зі сторонами 13 см,

20 см, 21 см.

Розв’язок

1) S∆ = ))()(( cрbрарр . р = 2

212013 = 27 (см).

S∆ = )2127)(2027)(1327(27 = 671427 = 126 (см2).

2) Оскільки найменша висота в трикутнику відповідає найбільшій стороні,

то S∆ = àh2

1, де a – найбільша сторона, h – найменша висота.

126 = 2

1 ∙ 21 ∙ h . h =

21

2126 = 12 (см).

Відповідь: найменша висота трикутника 12 см.

ІV. Домашнє завдання § 5 (т. 5.1 – 5.2), задача 2 (с. 40); № 133 (1),

№ 139 (1), (№141).

Урок № 14

Тема уроку: Формули для знаходження площі трикутника

Мета уроку: Вивчити формули для знаходження площі трикутника

через радіус описаного і вписаного кіл, вчити застосовувати дані

формули для знаходження площі трикутника.


Обладнання: Таблиця «Площа трикутника»

Хід уроку


Самоперевірка за зразком.

Зошити в учнів закриті. Діти розглядають зразок розв'язання і

коментують його. Після цього вони відкривають зошити, і кожен

учень, перевіряючи свою роботу, підкреслює помилки простим ол-

івцем і виставляє оцінку. Вчитель додатково виставляє оцінку за якість

перевірки і за роботу над помилками.

Зразок розв'язання домашньої роботи на дошці.

1. Вправа № 133 (1).

Дано: ∆DEF, DE = 7 см, DF = 8 см, 60о.

Знайти: S∆DEF.

Розв’язок

S∆DEF = 2

1DE ∙ DFsinD =

2

17 ∙ 8sin60

o =

2

17 ∙ 8 ∙

2

3 = 14 3 (см).

2. Вправа № 139 (1).

Розв’язок

S∆ = ))()(( cрbрарр . р = 2

17109 = 18 (см).

S∆ = )1718)(1018)(918(18 = 18918 = 36 (см2).

2. Вправа № 141.

Розв’язок

1. S∆ = ))()(( cрbрарр . р = 2

302511 = 33 (см).

S∆ = )3033)(2533)(1133(33 = 382233 = 132 (см2).

2. Оскільки найбільша висота в трикутнику відповідає найменшій

стороні,

то S∆ = аh2


132 = 2

1 ∙ 11 ∙ h . h =

11

2132 = 24 (см).


Слово вчителя. Доведемо ще кілька теорем та виведемо формули, для

знаходження площі трикутника, описаного многокутника.

T є о p e м a 5.3. Площу S трикутника ABC можна обчислити за

формулою S = R

abc

4 , де a,b,c — сторони трикутника, R — радіус

описаного кола трикутника ABC.

Доведення.

Маємо: S∆ = 2

1bc sin a.

Із леми пункту 3 випливає, що sin α = R

а

2. Тоді S∆ =

2

1bc sin a =

= 2

1bc

R

а

2 =

R

abc

4.

Зауважимо, що доведена теорема дає змогу знаходити радіус

описаного кола трикутника за формулою R = S

abc

4.

T є оре м a 5.4. Площа трикутника дорівнює добутку його

півпериметра на радіус вписаного кола.

Доведення.

На рисунку зображено трикутник ABC, у який вписано коло радіуса r.

Доведемо, що S = pr. де S — площа даного трикутника, р — його

півпериметр.

Нехай точка О — центр вписаного кола, яке дотикається до сторін

трикутника ABC у точках М, N і Р. Площа трикутника ABC дорівнює

сумі площ трикутників АОВ, ВОС, СОА, Це зручно записати в такій

формі:

S = SAOB

+ SBOC

+ SCOA.

Проведемо радіуси в точки дотику. Отримуємо: ОМ AB, ON BC,

OP СА. Звідси:

SAOB = ABrАВОМ 2

1

2

1;

SBOC = BCrВCОN 2

1

2

1;

SCOA = AСrАСОР 2

1

2

1.

Отже, S = ABr 2

1 + BCr

2

1+ AСr

2

1 = r ∙

2

ACBCAB = pr.

ІІІ. Закріплення нових знань і вмінь учнів

1 Впрова № 142. Периметр трикутника дорівнює 32 см, а радіус

вписаного кола – 1,5 см. Знайти площу трикутника.

Розв’язок

S = pr, де S — площа даного трикутника, р — його півпериметр.

р = 2

32 = 16 (см). S = 16 ∙ 1,5 = 24 (см

2).

2. Вправа № 144 (1). Знайти радіуси вписаного і описаного кіл

трикутника зі сторонами:

1) 5 см, 5 см, 6 см.

Розв’язок

R = S

abc

4. r =

p

S . S = ))()(( cрbрарр . р =

2

655 = 8 (см).

S = )68)(58)(58(8 = 2338 = 12 (см2).

R = 124

655

= 3

8

1 (см). r =

8

12 = 1

2

1 (см).

3. Вправа № 158. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює

R, а два кути дорівнюють α і β. Знайти площу трикутника.

Дано: ∆АВС, А = α, В = β, R –

радіус описаного кола.

Знайти: S - площу трикутника.

Розв’язок

АВ = 2Rsinβ, BC = 2Rsinα. ABC = 180o – (α + β)

S = 2

12Rsinβ ∙ 2Rsinα ∙ sinABC =

2

12Rsinβ ∙ 2Rsinα ∙ sin(α + β) =

= 2R2 sinβsinα ∙ sin(α + β).

IV.Підсумок уроку

1. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо дві його сто

рони і кут між ними?

2. Запишіть формулу Герона для обчислення площі трикутника.

3. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо три його сто

рони і радіус описаного кола?

4. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо три його сто

рони і радіус вписаного кола?'

5. Як можна знайти радіус описаного кола трикутника, якщо відо

мо площу трикутника і його сторони?

6. Як можна знайти радіус вписаного кола трикутника, якщо відо

мо площу трикутника і його сторони?

7. Чому дорівнює площа описаного многокутника?

V. Домашнє завдання § 5, № 143, № 145, (№ 147).

Урок № 15

Тема уроку: Розв’язування трикутників Мета уроку: Підготувати учнів до контрольної роботи з теми «Розв’язування трикутників» Тип уроку: Повторення і систематизація знань Обладнання: Таблиція «Формули для знаходження площі трикутника»

Хід уроку

І. Повторення вивченого матеріалу

Математична вікторина

Завдання вікторини – повторити і закріпити теоретичний матеріал.

Дошка розділена на три частини за числом рядів у класі. На кожній частині

вчитель виставляє бали за правильну відповідь.

На дошці таблиця «Формули для обчислення площі трикутника», яка

допоможе учням під час відповідей.

Запитання до команд:

1. Назвати правильне твердження:

1) косинус гострого кута більший за косинус тупого кута;

2) існує кут, синус і косинус якого рівні;

3) існує кут, синус і косинус якого дорівнюють нулю;

4) косинус кута трикутника може дорівнювати від'ємному числу;

5) синус кута трикутника може дорівнювати від'ємному числу;

6) косинус кута трикутника може дорівнювати нулю;

7) синус кута трикутника може дорівнювати нулю;

8) косинус кута трикутника може дорівнювати -1;

9) синус кута трикутника може дорівнювати 1;

10) синус кута, відмінного від прямого, менший від синуса прямого кута;

11) косинус розгорнутого кута менший від косинуса кута, відмінного від

розгорнутого;

12) синуси суміжних кутів рівні;

13) косинуси нерівних суміжних кутів є протилежними числами;

14) якщо косинуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;

15) якщо синуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;

16) тангенс гострого кута більший за тангенс тупого кута?

2. Сформулюйте теорему косинусів

3. Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами a, b,

с, де а – його найбільша сторона, якщо:

1) a2 b2 + c

2;

3) a2 =

b

2 + c

2?

4. Сформулюйте теорему синусів

5. Як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника зі стороною а і

протилежним цій стороні кутом α?

6. Що означає розв’язати трикутник?

7. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо дві його сторони і кут

між ними?

8.Запишіть формулу Герона для обчислення площі трикутника.

9. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо три його сторони і

радіус описаного кола?

10. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо три його сторони і

радіус вписаного кола?

11. Як можна знайти радіус описаного кола трикутника, якщо відомо площу

трикутника і його сторони?

12. Як можна знайти радіус вписаного кола трикутника, якщо відомо площу

трикутника і його сторони?

13. Чому дорівнює площа описаного многокутника?

Розв’язування задач.

На даному етапі уроку роботу слід організувати так, щоб розв'язати

якомога більше задач. Тому пропоновані задачі потрібно розв'язувати частково

усно, частково на чернетці з подальшим обговоренням розв'язання біля дошки.

У задачах 1-2 учням пропонується тільки намітити хід розв'язування за

малюнками, зробленими заздалегідь на дошці.

1° Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 4 2 см, а кут між ними —

135°. Знайдіть невідому сторону трикутника.

Розв’язок

Нехай a = 6 см, b = 4 2 і кут між ними γ = 135о. Тоді за т. косинусів

знайдемо невідому сторону трикутника с. с2 = а

2 + b

2 – 2abcosγ = 36 + 32 +

48 2 cos45о = 36 + 32 + 48 2

2

1 = 116.

c = 2 29 (см).

2. Знайти площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 8 см і 25 см, а

кут між ними – 45о.

Розв’язок

S = 2

1∙ 8 ∙ 25

2

2 =

4

80 = 20 (см

2 ).

3. Сторона трикутника дорівнює 8 см, а кути, прилеглі до неї, мають градус-

ні міри 17о і 75

о. Знайти третій кут і решту сторін трикутника.

Розв’язок

В = 180о – (17

о + 75

о) = 88

о. Згідно т. синусів:

A

BC

B

АС

sinsin ;

17sin88sin

8 BC ; ВС

999,0

292,08 2,3 (см).

С

АB

B

АС

sinsin ;

75sin88sin

8 АB ; АВ

999,0

966,08 7,7 (см).

4. Знайти найменшу висоту трикутника зі сторонами 4 см, 5 см, 7 см.

Розв’язок

1) S∆ = ))()(( cрbрарр . р = 2

754 = 8 (см).

S∆ = )78)(58)(48(8 = 1348 = 4 6 (см2).


то S∆ = àh2


4 6 = 2

1 ∙ 7 ∙ h . h =

7

264 =

7

68 (см).

Відповідь: найменша висота трикутника 7

68 см.

5. Одна сторона трикутника на 10 см менша за другу, а кут між ними дорів-

нює 60°. Знайдіть периметр трикутника, якщо довжина третьої сторони


Розв’язок

Нехай перша сторона трикутника дорівнює х см, то друга буде дорівнювати

– (х + 10) см. Рівняння

х2 + (х + 10)

2 – 2х(х + 10)

2

1 = 196;

х2 + х

2 + 20х + 100 - х

2 – 10х = 196;

х2 + 10х – 96 = 0.

D = 100 + 4 ∙ 96 = 100 + 384 = 484.

х1 = 2

2210 =

2

32 = - 16. х2 =

2

2210 =

2

12 = 6.

-16 не задовольняє умову задачі. Отже, перша сторона трикутника дорівнює

6 см, то друга буде дорівнювати – (6 + 10) = 16 (см).

Р = 6 см + 14 см + 16 см = 36 см.

ІІ. Домашнє завдання Повт. § 1 – 5, № 123(2), № 157.

Урок № 16

Тема уроку: Контрольна робота.

Мета уроку: Перевірити засвоєння учнями вивченого матеріалу з теми

«Розв’язування трикутників».

Тип уроку: Перевірка знань умінь і навичок учнів.

Обладнання: Картки з текстами завдань контрольної роботи.

Хід уроку

І. Організація класу.

1) Перевірити готовність учнів до виконання контрольної роботи.

2) Принцип оцінювання контрольної роботи.

Виконання першої частини завдання (роботи позначені по) максимально

оцінюється у шість балів. Правильно розв'язані задачі рівня п• додають ще 4

бали, тобто учень має можливість отримати відмінну оцінку 10 балів. Якщо

учневі вдалося ще розв'язати задачу п••, то він отримує оцінку 12 балів.

ІІ. Контрольна робота

Варіант І

1° Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між ними — 60°.

Знайдіть невідому сторону трикутника.

2°. Знайти площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 8 см і 5 см, а


3•. Сторона трикутника дорівнює 7 см, а кути, прилеглі до неї, мають градус-



4•. Знайти найменшу висоту трикутника зі сторонами 5 см, 5 см, 6 см.

5••. Одна сторона трикутника на 8 см менша за другу, а кут між ними дорів-



1° Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між ними — 60°.

Знайдіть невідому сторону трикутника.

Розв’язок

Нехай a = 6 см, b = 8 і кут між ними γ = 60о. Тоді за т. косинусів знайдемо

невідому сторону трикутника с. с2 = а

2 + b

2 – 2abcosγ = 36 + 64 - 96 cos60

о =

36 + 64 – 48 = 52.

c = 52 = 2 13 (см).

2°. Знайти площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 8 см і 5 см, а


Розв’язок

S = 2

1∙ 8 ∙ 5 ∙

2

1 =

4

40 = 10 (см

2 ).




Розв’язок

В = 180о – (27

о + 65

о) = 88


A

BC

B

АС

sinsin ;

27sin88sin

8 BC ; ВС

999,0

454,08 3,6 (см).

С

АB

B

АС

sinsin ;

65sin88sin

8 АB ; АВ

999,0

906,08 7,3 (см).

4•. Знайти найменшу висоту трикутника зі сторонами 5 см, 5 см, 6 см.

Розв’язок

1) S∆ = ))()(( cрbрарр . р = 2

655 = 8 (см).

S∆ = )68)(58)(58(8 = 2338 = 12 (см2).


то S∆ = аh2


12 = 2

1 ∙ 6 ∙ h . h =

6

24 = 4 (см).

Відповідь: найменша висота трикутника 4 см.




Розв’язок



х2 + (х + 8)

2 + 2х(х + 8)

2

1 = 784;

х2 + х

2 + 16х + 64 + х

2 + 8х = 784;

3х2 + 24х – 720 = 0.

х2 + 8х – 240 = 0.

D = 64 + 4 ∙ 240 = 64 + 960 = 1024.

х1 = 2

328 =

2

40 = - 20. х2 =

2

328 =

2

24 = 12.



Р = 12 см + 20 см + 28 см = 60 см.

Варіант ІІ

1° Дві сторони трикутника дорівнюють 10 см і 12 см, а кут між ними —


2°. Знайти площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 см і 6 3 см, а





4•. Знайти найбільшу висоту трикутника зі сторонами 5 см, 5 см, 6 см.




1° Дві сторони трикутника дорівнюють 10 см і 12 см, а кут між ними —


Розв’язок

Нехай a = 10 см, b = 12 і кут між ними γ = 120о. Тоді за т. косинусів

знайдемо невідому сторону трикутника с. с2 = а

2 + b

2 – 2abcosγ = 100 + 144 +

+ 240 cos120о = 100 + 144 + 120 = 364.

c = 364 19,0 (см).

2°. Знайти площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 см і 6 3 см,

а кут між ними – 60о.

Розв’язок

S = 2

1∙ 7 ∙ 36 ∙

2

3 =

4

126 = 31,5 (см

2 ).




Розв’язок

В = 180о – (37

о + 55

о) = 88


A

BC

B

АС

sinsin ;

37sin88sin

6 BC ; ВС

999,0

602,06 3,6 (см).

С

АB

B

АС

sinsin ;

55sin88sin

8 АB ; АВ

999,0

819,08 6,6 (см).

4•. Знайти найбільшу висоту трикутника зі сторонами 5 см, 5 см, 6 см.

Розв’язок

1) S∆ = ))()(( cрbрарр . р = 2

655 = 8 (см).

S∆ = )68)(58)(58(8 = 2338 = 12 (см2).

2) Оскільки найбільша висота в трикутнику відповідає найменшій стороні,

то S∆ = аh2

1, де a – найменша сторона, h – найбільша висота.

12 = 2

1 ∙ 5 ∙ h . h =

5

24 = 4,8 (см).

Відповідь: найбільша висота трикутника 4,8 см.




Розв’язок



х2 + (х + 3)

2 – 2х(х + 3)

2

1 = 49;

х2 + х

2 + 6х + 9 - х

2 – 3х = 49;

х2 + 3х – 40 = 0.

D = 9 + 4 ∙ 40 = 9 + 160 = 169.

х1 = 2

133 =

2

16 = - 8. х2 =

2

133 =

2

10 = 5.



Р = 5 см + 8 см + 7 см = 20 см.

Education

уроки геометрії