آموزش محاسبات عددی - بخش یکم

MATLABمحاسبات عددی به کمک نرم افزار

:مدرساشکان تاشک

درجه و رشته تحصیلیمخابرات گرایش سیستم و مدرس دانشگاه-دکترای مهندسی برق

عددیمحاسبات MATLABبه کمک

faradars.org/fvmth102

فرادرس

FaraDars.org

مقدمه و معرفي دوره آموزشي » MATLABمحاسبات عددي به كمك نرم افزار «

1

سوابق محاسبات عددي •بروز و ظهور ماشين حساب ها و رايانه هاي پيشرفته•

مثل ابر رايانه هاهامحدوديت هاي سخت افزاري حتي براي ابررايانه •كاربردهاي محاسبات عددي براي رشته هاي مختلف•

فني و مهندسي و حتي علوم پايه

عدديمحاسبات MATLABبه كمك


فرادرس

FaraDars.org

خطاها و اشتباهاتخطاي داده شامل انواع خطاها و محاسبات مرتبط با آنها -:: منابع خطا -1قوانين گرد كردن -2ارقام با معني -3معيارهاي سنجش خطا و محاسبه آنها -4مفاهيم پايه: براي كاربرد محاسبات عددي Matlabمعرفي برنامه -5

فصل دوم فصل سوم فصل چهارم فصل پنجم

دوره آموزشيسرفصل هاي اصلي» MATLABمحاسبات عددي به كمك نرم افزار «



فرادرس

FaraDars.org

خطي معادالت هاي دستگاه حل مقدمه -) MATLAB برنامه همراه به( تكراري غير هاي رهيافت -1

ناقص گوس روش- پيووتينگ يا قياسي نسبي محوريت با گوس - LU تجزيه روش -

) MATLAB برنامه همراه به( تكراري هاي رهيافت-2 ژاكوبي روش- سيدال-گوس روش -





فرادرس

FaraDars.org

برازش و يابي درون ها تفاوت و تعاريف -1) MATLAB برنامه همراه به( يابي درون هاي روش انواع -2

الگرانژ روش- نيوتن پيشرونده شونده تقسيم هاي تفاضل روش -

)MATLAB برنامه همراه به( ها اسپالين -3) MATLAB برنامه همراه به( برازش -4





فرادرس

FaraDars.org

عددي گيري انتگرال و گيري مشتق) MATLAB برنامه همراه به( عددي گيري مشتق هاي روش -1

تيلور بسط- مستقيم و تكراري هاي روش -

) MATLAB برنامه همراه به( )يكنواخت بندي بازه با( كوتز – نيوتن روش به عددي هاي گيري انتگرال -2 اي ذوزنقه قاعده روش - 3/1 سيمپسون روش -





فرادرس

FaraDars.org

معمولي ديفرانسيل معادالت حل) MATLAB برنامه همراه به( فرمول بر مبتني هاي روش -1

)اول ي مرتبه تيلور بسط( اويلر-1 از باالتر هاي مرتبه تيلور هاي بسط - مياني ي نقطه -

4 و 2 مراتب كوتاي– رانگ - ) MATLAB برنامه همراه به( تكراري هاي روش -2





فرادرس

FaraDars.org





غيرخطي معادالت عددي يابي ريشهيابي ريشه مسأله مقدمه -1

خطي غير معادالت يابي ريشه براي عددي هاي رهيافت انواع -) MATLAB برنامه همراه به( بسته يا محدود دامنه عددي يابي ريشه هاي روش -2

Bisectionيا كردن نصف روش -Regula يا خطا موقعيت يا نابجايي روش - Falsi يا False Position

) MATLAB برنامه همراه به( باز يا محدود دامنه عددي يابي ريشه هاي روش -3)Secant( سكانت روش -يافته تعميم و ساده )Newton-Raphson( رافسون-نيوتون روش -)Fixed-Point( ثابت نقطه روش -

)Matlab برنامه همراه به( نيوتون روش به غيرخطي معادالت هاي دستگاه حل -4

فرادرس

FaraDars.org

منابع

1

»MATLABمحاسبات عددي پيشرفته توسط نرم افزار «كتاب •:كتاب هاي زبان اصلي در اين حوزه مثل•

– “An Introduction to Numerical Methods and Matlab Programming forEngineers”

– “An Introduction to Numerical Methods: A MATLAB Approach”

:كتاب هاي فارسي و ترجمه شده از قبيل•رويشينوشته آقايان دكتر مسعود نيكوكار و دكتر محمد تقي د» محاسبات عددي«–



فرادرس

FaraDars.org

لاوفصل عناوين

اشتباهات و خطاها :اول فصل :خطا منابع -1

داده خطاي - مدل خطاي - كردن گرد خطاي مثل :اعداد نمايش خطاي و حسابي اعمال خطاي - برش خطاي مثل :روش خطاي - كردن گرد و برش خطاهاي بر غلبه هاي راه -

كردن گرد قوانين -2

معني با ارقام -3شده هنجار شناور مميز فرمت با حقيقي اعداد - تفاضل و جمع در معني با ارقام - تقسيم و ضرب در معني با ارقام -

آنها محاسبه و خطا سنجش معيارهاي -4آنها ميان تمايز ضرورت و نسبي خطاي مطلق، خطاي - نسبي خطاي درصد - اصلي عمل چهار طي خطا انباشتگي - حسابي اعمال در نسبي خطاي محاسبه - متغيره چند و تك توابع ارزيابي در خطا محاسبه -

عددي محاسبات كاربرد براي Matlab برنامه معرفي -5پايه مفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

)ادامه(منابع خطا -1

.روش خطاي - .اعداد نمايش خطاي - .حسابي اعمال خطاي - .مدل خطاي - .داده خطاي -

مي همسئل مدل تعيين به مختلف هاي رشته در كه كساني و دارد بستگي مسئله نوع به داده خطاي و مدل خطاي ،مذكور خطاهاي ميان از .هستند آن مسئول پردازند

.باشند مي مربوط عددي محاسبات به ديگر خطاي نوع سه

6

خطاها و اشتباهات: فصل اول عدديمحاسبات MATLABبه كمك


فرادرس

FaraDars.org

خطاها و اشتباهات: فصل اولخطا منابع -1

.آيد مي پيش مسئله مفروضات و ها داده گيري اندازه در اغلب :داده خطاي - رياضي مدل تعيين جهت ها كردن صرفنظر و ها نويسي ساده شامل :مدل خطاي - انتخاب كه است رقم نامتناهي تعداد داراي عمل حاصل گاهي گيرد مي صورت عدد 2 روي كه عملي محاسبات در :حسابي اعمال خطاي -

.شود مي خطا اين سبب آن از متناهي تعداد عمل خطاي اعشار ارقام تمامي از كردن صرفنظر با .دارد اعشار رقم نامتناهي تعداد به …0.33333333 كسر يا تقسيم حاصل :مثال

.شود مي شناخته كردن گرد خطاي به خطا اين .دهد مي رخ حسابي بسط قامار از متناهي تعداد انتخاب لذا .نيست پذير امكان رقم نامتناهي تعداد با اعداد اكثر دودويي يا اعشاري نمايش :اعداد نمايش خطاي -

.شود مي خطا اين موجب عدد يك افزاري سخت هاي محدوديت خاطر به آن ارقام از متناهي تعداد ذخيره كه است اعشاري ارقام نامتناهي تعداد داراي π همان يا پي عدد :مثال.شود مي نمايش خطاي به منجر

زمان ،روش نوع به بستگي تركيب اين دقت لذا دهند؛ مي بدست را جواب از تقريبي و اند تكراري عددي هاي روش كه آنجا از :روش خطاي - .است برش خطاي خطاها، نوع اين نام .دارد آن توقف مرحله و

5



فرادرس

FaraDars.org

سطب مثل .باشند مي افزاري سخت هاي محدوديت خاطر به اساسي هاي فرمول در رياضي هاي تقريب از ناشي كه خطاهايي:زير تعريف با تيلور

:است روبرو فرمول قرار به تيلور بسط براي برش خطاي فرمول

13

: خطامنابع -1)Truncation Error(خطاي برش -

خطاها و اشتباهات: فصل اول

n!

1 ! n>N



فرادرس

FaraDars.org

:است روبرو فرمول قرار به لوران مك بسط براي برش خطاي فرمول14

: خطامنابع -1)Truncation Error(خطاي برش -


n!

1 ! 0n>N



فرادرس

FaraDars.org

.هستند تقريبي اعداد معموالً مي شوند استفاده محاسبات در كه اعدادي علت به نيز وتردركامپي اعداد نمايش .است گرفته انجام قبالً كه هستند محاسباتي نتيجه ي يا اندازه گيريها نتيجه ي اعداد اين

اعداد بخواهيم اگر مثال عنوان به .مي آورد بوجود را مضاعفي خطاي آن حافظه محدوديت و عدد و هستند اعشار ارقام از نامتناهي تعداد داراي كه …0.33333333

رايانه حافظهدر را ميباشد دودوئي درسيستم ارقام از نامتناهي تعداد داراي كه 2.0)=0011001001100110011.0…(2 هستند، معيني (bits) بيتهاي تعداد داراي كه (words) ييكلمه ها صورت به كامپيوتر حافظه ي آنجائيكه از كنيم ذخيره شرح به يمشخص قانون طبق اعداد اين بلكه كرد، رايانه وارد نامتناهي ارقام تعداد با نمي توان را فوق اعداد است، شده تشكيل:باشند مي بيان قابل كلي دسته دو قالب در خود خطاها اين .مي شوند ذخيره رايانه در آموزش اين مطالب ادامه

دهند مي رخ عمده دليل دو به :)Rounding( كردن گرد خطاي:بزرگ بسيار عدد يك با كوچك بسيار عدد يك ـ تفريق يا جمع )الف

:يكديگر به نزديك بسيار عدد دو تفريق )ب15

: منابع خطا -1)Round-off Error(خطاي گرد كردن -


2000.0 + 0.001 = 2000.001 for 8 bit systems =255.0039For 16 bit systems = 2000.001

12.123457 -12.1234569= 0.000001 for 8 bit systems =0.0039For 16 bit systems = .0000015



فرادرس

FaraDars.org

:از عبارتند برش و كردن گرد از حاصل خطاهاي بر غلبه هاي حل راه•1- Double Precision

.بيتي 8بيتي به جاي 16مثل استفاده از پردازشگر .دادن تعداد بيتها يا بايتهاي بيشتر جهت ذخيره سازي اعداداختصاص -2- Grouping

تايي را 100تايي، يك حلقه 10000مثالً به جاي يك حلقه تكرار . توحلقه تو در مثل جايگزيني يك حلقه طوالني با دو -).10000=100×100(بار تكرار كنيم 100

3- Taylor Expansion.مي شودهاي كوچك ∆ كاهش خطاي گرد كردن براي باعث -

4- Changing definition of variable = )تغيير متغيرهاي تعريف شده( 2xt :استفاده شود tاز 2x-eدر 2xبه جاي . ديفرانسيلتغيير متغيرها در حل معادالت مثل -

5- Rewriting equation to avoid subtraction = )جهت پرهيز از عمل تفريق(بازنويسي فرمول ها و معادالت .بازنويسي شود x+(-y)به فرم x-yمنفي؛ يعني عمل مثل جايگزيني به جاي تفريق از جمع عددي مثبت با عددي -

16

: منابع خطا -1راه هاي غلبه بر خطاها -



فرادرس

FaraDars.org

17

قوانين گرد كردن -2خطاها و اشتباهات: فصل اول

زير موارد به توجه با .مي گذاريم كنار را آن از بعد ارقام تمام و اعشار ام n+1 رقم اعشار، رقم nتا عدد يك كردن گرد رايب :مي آيد بدست شده گرد عدد

-n اگر -1 رقم كه است موقعي حالت، اين ( .كنيم مي اضافه واحد يك امn رقم به آنگاه ؛شده گذاشته كنار عدد < 5.0×10

n+1رقم يا ،باشد 5 از بزرگتر ام n+1كردن گرد حاصل مثالً )دنباش داشته وجود صفر مخالف ارقامي آن از بعد و 5 برابر ام = كردن گرد حاصل هست نيز صفر مخالف رقمي آن از بعد و بوده 5 مساوي بزرگتر سوم رقم :اعشار رقم دو با 0.3456

0.35 .-nاگر -2

رقم كه آمد خواهد پيش وقتي حالت اين( .نمي دهيم تغيير را امn رقم آنگاه ؛شده گذاشته كنار عدد >5.0×10n+1است 5 كوچكتراز سوم رقم :اعشار رقم دو با 24.3429- كردن گرد حاصل مثالً )باشد 5 از كوچكتر شده داده عدد ام

. 24.34- = كردن گرد حاصل-n اگر -3

:داشت خواهيم آنگاه ؛باشد نداشته وجود صفر مخالف ارقامي آن از بعد و شده گذاشته كنار عدد = 5.0×10 سوم رقم :اعشار رقم دو با 0.345- كردن گرد حاصل مثالً .نمي دهيم تغيير را امn رقم ,باشد زوج امn رقم اگر .الف

. 0.34- = كردن گرد حاصل زوج دوم رقم و است 5 مساوي با 0.675 كردن گرد حاصل مثالً .كنيم مي زوج آن به واحد يك كردن اضافه با را امn رقم ,باشد فرد امn رقم اگر .ب . 0.68 = كردن گرد حاصل فرد دوم رقم و است 5 مساوي سوم رقم :اعشار رقم دو



فرادرس

FaraDars.org

18

نماد با را آن كه كردن گرد از حاصل خطاي شود، گرد اعشار رقم n تا شده ذكر قانون طبق x مفروض عدد اگر :نتيجه)x(nRound كند مي صدق زير نامساوي در دهيم، مي نشان:

:است شده داده نشان آنها كردن گرد از پس عدد تقريبي مقدار و اعداد كردن گرد خطاي زير جدول در -مثال

)ادامه(قوانين گرد كردن -2خطاها و اشتباهات: فصل اول عدديمحاسبات

MATLABبه كمك faradars.org/fvmth102

فرادرس

FaraDars.org

19

)significant digits(ارقام با معني -3خطاها و اشتباهات: فصل اول

كار و سر اندازه گيري با كه علومي ويژه به علوم بعضي در ولي .هستند برابر 2.5000 و 2.500 ،2.50 اعداد رياضيات، در• نتيجه ي فوق اعداد اگر .نمي آيند حساب به هم مساوي اعدادي چنين آنها، نظاير و شيمي و فيزيك مانند دارند،

اندازه دقت 2.500عدد و سانتيمتر حد تا را گيري اندازه دقت 2.50 عدد هستند، متر حسب بر طول يك اندازه گيري هاي در دقت نوعي معرف اعداد اين جلوي در شده درج صفرهاي ديگر عبارت به .مي دهد نشان ميلي متر حد تا را گيري در اساسي هايابزار از يكي معني با ارقام كه مي گيريم نتيجه شده گفته موارد به توجه با بنابراين .هستند گيري اندازه ارقام عدادت .ميدهد نشان را اندازه گيري دقت و درستي معني، با ارقام تعداد و بوده استفاده مورد اعداد دقت ميزان تعيين حاسبهم آن در رفته بكار هاي داده از يك هر در معني با ارقام تعداد به بستگي محاسبه، يك نهائي نتيجه در بامعني

.است شده بيان متفاوت صورت دو به معني با ارقام تشخيص چگونگي قسمت دراين .دارد



فرادرس

FaraDars.org

20

)ادامه(ارقام با معني -3خطاها و اشتباهات: فصل اول

:معني با ارقام مورد در چند نكاتي هستند بامعني آنها دربين شده درج صفرهاي وكليه صفر مخالف ارقام كليه ديگر عبارت به 9 الي 1 ارقام.

رد كه آيند مي حساب به معني با ارقام موقعي عدد اين در موجود صفرهاي ،باشد اعشار نقطه داراي شده داده عدد اگر . باشد داشته وجود صفر مخالف رقمي آنها چپ سمت از مكاني

كرد ظرن اظهار نميتوان آن درانتهاي شده درج صفرهاي نبودن يا بودن معني دار مورد در باشد، اعشار نقطه فاقد عددي اگر .دهيم نشان زير شرح به شده هنجار يا شده نرمال شناور مميز صورت به را آن اينكه مگر



فرادرس

FaraDars.org

21

:ارقام با معني -3اعداد حقيقي به صورت مميز شناور هنجار شده -


مميز صورت به عدد آن نمايش )مانتيس(اصلي قسمت ارقام تعداد با است برابر حقيقي عدد يك بامعني ارقام تعداد :تعريف ده وانت چپ سمت كه ارقام كليه دهيم نشان شده نرمال شناور مميز صورت به را عددي وقتي بنابراين .هنجارشده شناور

.هستند معني با شوند اعشارظاهر نقطه راست سمت و )نما(



فرادرس

FaraDars.org

22

:ارقام با معني -3چند مثال: شدهاعداد حقيقي به صورت مميز شناور هنجار -



فرادرس

FaraDars.org

23

:ارقام با معني -3چند مثال ديگر: شدهاعداد حقيقي به صورت مميز شناور هنجار -


؟رقم با معني استچند داراي 8200عدد -1مثال ه با معني هستند، ولي در مورد صفرهاي آخر عدد نميتوانيم اظهار نظر كنيم مگر اينك 2و 8در عدد داده شده ارقام .جواب

. عدد داده شده را به صورت مميز شناور هنجار شده نشان دهيم.رقم با معني است 4آنگاه عدد داده شده داراي 8200=0.8200×10+4اگر • .استرقم با معني 3آنگاه عدد داده شده داراي 8200=0.820×10+4اگر • .با معني استرقم 2آنگاه عدد داده شده داراي 8200=0.82×10+4اگر •

.را تا چهار رقم بامعني گرد كرده حداكثر خطاي گردكردن را بدست آوريد …π =3.14159عدد -2مثال بعد عدد تقريبي مقدار . = 0.314159π…×10+1را به صورت مميزسيار نشان دهيم خواهيم داشت πاگرعدد . جواب

. و بازه خطا طبق فرمول برابر است با 3.142ازگردكردن برابر است با 0.5×10-3: در نتيجه حداكثر مقدار خطا خواهد شد

33 105.0)( Round



فرادرس

FaraDars.org

24

:ارقام با معني -3ارقام با معني در جمع و تفاضل اعداد -


در تهرف بكار اعداد اعشار ارقام تعداد كمترين با بايستي عمل حاصل در اعشار ارقام تعداد باهم كميتها تفريق يا جمع در .باشد برابر محاسبه

. است كه داراي يك رقم است 1.1كمترين رقم اعشار مربوط به عدد ، 7.7087 = 0.9387 + 1.1 + 5.67 جمعدر -1مثال .7.7پس جواب برابر است با . در جواب نهائي هم بايد فقط يك رقم اعشار منظور كنيمبنابراين

بنابراين جواب . داراي يك رقم وكمترين تعداد ارقام اعشار است 2.1عدد 20.69= 2.1+ 14.83+ 3.76در جمع -2مثال .20.7پس حاصل جمع برابر است با . نهائي هم بايد داراي يك رقم اعشار باشد



فرادرس

FaraDars.org

25

:ارقام با معني -3ارقام با معني در ضرب و تقسيم اعداد -


ته در محاسبه در ضرب و تقسيم اعداد، تعداد ارقام با معني در حاصل عمل بايستي با كمترين تعداد ارقام با معني اعداد بكار رف. برابر باشد

× ضربدر -مثال 85.75 = 5946.50525 22.37× بقيه كميتها و رقم با معني 3داراي 3.10مالحظه ميكنيد كه عدد 3.10پس جواب . دبنابراين با توجه به قانون گفته شده جواب نهائي هم بايد داراي سه رقم با معني باش. رقم با معني هستند 4داراي

.5950نهائي برابر است با 22.37 × 3.10 × 85.75=5946.50525 normalized floating point 0.594650525 ×10+4

Rounding with 3 significant digits 0.595 and max(round3(x))=0.5 ×10-3 ×10+4= 0.5×10+1=5.شود ادهد نشان شناور مميز صورت به نهائي جواب بايستي داردكه وجود مواردي : تذكر

3.0ضرب حاصل محاسبه براي ،مثل عنوان به × معني با رقم 4داراي 800.0 عدد و معني با رقم 2 داراي 3.0 عدد كه 800.0 شناور مميز صورت به بايستي نهائي جواب پس . 0.3×0.800=0.2400 اما .باشد معني با رقم 2داراي بايد حاصلضرب است24.0×410 :شود ادهد نشان



فرادرس

FaraDars.org

26

:معيارهاي سنجش خطا -4)Absolute Error(خطاي مطلق -


absE =| | =خطاي مطلق مقدار بدست آمده –واقعي مدار mxEabs

= اگرعدد -مثال 2.1514 x ميگيريم نتيجه كنيم گرد بامعني رقم تاسه را m = : با برابراست مطلق خطاي و 2.15

:بود خواهد روبرو قرار به نيز كردن گرد خطاي بازه

0014.015.21514.2 absE

22 105.0)( xRound



فرادرس

FaraDars.org

27

:معيارهاي سنجش خطا -4)Relative Error(خطاي نسبي -


اندازه ي به مطلق خطاي مثال، عنوان به .برد پي نيز آن واقعي اثرات به مطلق خطاي مقدار از آگاهي با نمي توان موارد اغلب در تونپيس يك طراحي در خطا مقدار همين لي و رسد مي نظر به اغماض قابل شهر دو بين فاصله ي محاسبه ي در متر 0.01 .نيست پذيرفته عنوان هيچ به ماشين سيلندر يك درون طول گيري دراندازه و مطلق سانتيمرخطاي يك سانتيمتر 10واقعي طول به ميله اي گيري اندازه در اگر ديگر، اي نمونه براي

رهردود مطلق خطاي مقدار آنگاه .باشيم داشته مطلق خطاي سانتيمتر يك نيز سانتيمتر 500 يا متر 5 واقعي طول به اطاقي بجاي گرا بنابراين .است آمده عمل به بيشتري دقت مراتب به اطاق طول گيري دراندازه كه است واضح ولي است يكي مورد

اطاق براي 1/500 و ميله براي 1/10 كه شود محاسبه نسبي خطاي همان يا طول واحد در مطلق خطاي مقدار مطلق، خطاي .پذيراست امكان سادگي به دقت تشخيص آيد، مي بدست

| | مقدار بدست آمده –مقدار واقعي |مقدار واقعي |

x

EE absrel =



فرادرس

FaraDars.org

28

:معيارهاي سنجش خطا -4درصد خطاي نسبي يا خطاي درصد -


= عدد -مثال 2.1514 x كنيد؟ محاسبه را نسبي خطاي درصد رده،ك گرد اعشار رقم دو تا را

.جواب

=| |مقدار بدست آمده –مقدار واقعي

|مقدار واقعي|يا درصد خطاي نسبي صدخطاي در 100×



فرادرس

FaraDars.org

29

:معيارهاي سنجش خطا -4حد باالي خطاي مطلق -


را مطلق خطاي واقعي مقدار ،تقريبي اندازه و دقيق اندازه ي تفاضل از بتوانيم تا نيست معلوم كميت يك دقيق اندازه ي معموالً خطاي يباال حد را تحقيقي عدد دهنده نشان تقريبي عدد دقت ميزان حداكثر عملي، منظورهاي به بنابراين .كنيم محاسبه .گويند مطلقx آن طول كه مستطيل شكل به است زميني -مثال = 800 mآن عرض و،y = 300 mاست.

:است مطلوب باشد 0.02 برابر گيري اندازه وسيله نسبي خطاي اگر .زمين عرض و طول گيري اندازه در مطلق خطاي -الف

و زمين مساحت همان يا S محاسبه در خطا صد در و نسبي ، مطلق خطاي -ب

ولط مقدار باال مثال در.مي شود استفاده گيريها اندازه مقدار بزرگترين از محاسباتي، عمل يك خطاي محاسبه در :توجه.است شده استفاده 16+800 و 6+300 از مساحت محاسبه در .است 3006 آن عرض مقدار و 80016 مستطيل



فرادرس

FaraDars.org

30

:معيارهاي سنجش خطا -4اصليعمل انباشتگي خطا طي چهار -


هم اب را آ نها مطلق خطاي است كافي تقريبي عدد چند جمع حاصل خطاي محاسبه براي :جمع عمل در خطا محاسبه .الف:كنيم جمع

cm 10 :از عبارتند شده گيري اندازه كميت سه -مثال cm 0.5 ، 1 cm 15 cm 8 و cm 0.7 cm. كميت سه اين جمع حاصل مطلق خطاي و جمع حاصل تقريبي مقدار است مطلوب.شود همحاسب ممكن خطاي بزرگترين بايستي كنيد، پيدا محاسبه يك در را خطائي كه شود مي گفته وقتي :تذكر10 :جمع حاصل تقريبي مقدار -حل + 15 + 8 = 33 cm

10) :جمع حاصل مقدار بزرگترين + 0.5) + (15 +1) + (8 + 0.7) = 35.2 cmcm 2.2=|33-35.2|: خطاي مطلق

بدست را مطلق خطاي مي توان نيز كميت هر در خطا يك به يك مجموع محاسبه ي و باال در شده گفته تذكر از استفاده با .آورد

cm 0.5 + 1 + 0.7 = 2.2

)()()()()()()()( bEaEbEaEbyaxbayx absabsabsabs



فرادرس

FaraDars.org

31



تك به كت مطلق خطاي است كافي تقريبي عدد چند تفاضل حاصل خطاي محاسبه براي :تفريق عمل در خطا محاسبه .ب:كنيم جمع باهم آنهارا

cm (12 :از عبارتند شده اندازه گيري كميت دو-مثال ) و (1 8 0.5) cm .آوريد بدست را تفاضل عمل خطاي و شده داده كميت دو تفاضل تقريبي مقدار12 با است برابر انتظار مورد شده محاسبه تفاضل مقدار .جواب - 8 = به ممكن حالت چهار با خطا، محاسبه با رابطه در و 413 :داريم كار و سر زير شرح cm - 8.5 cm = 4.5 cm (12+1) – (8+0.5)

11 cm - 8.5 cm = 2.5 cm (12–1) – (8+0.5) 13 cm - 7.5 cm = 5.5 cm (12+1) – (8–0.5)

11 cm - 7.5 cm = 3.5 cm (12–1) – (8–0.5) و (7.5) مقدار كمترين شونده كسر عدد آن در كه است 5.5 مقدار تفاضل عمل از حاصل عدد بزرگترين كه ميكنيد مالحظه

از فوق قانون طبق .cm5.1|=4-5.5=|absE :با است برابر تفاضل عمل مطلق خطاي .دارد را )13( مقدار بزرگترين اولي عددcm5.1=5.0+1=absE :آيد مي بدست نيز اعداد يك به يك مطلق خطاي مجموع

)()()()()()()()( bEaEbEaEbyaxbayx absabsabsabs



فرادرس

FaraDars.org

32



:ضرب عمل در خطا محاسبه .پ

cm (12 :از عبارتند شده گيري اندازه كميت دو -مثال 0.0005) x yو = = ( 8 0.0005) cm. مقدار است مطلوب .ضرب عمل خطاي و عدد دو حاصلضرب تقريبيa با برابرند ترتيب به y و x تقريبي مقادير -حل = b و 12 = 8

.2cm96=812=ba :انتظار مورد حاصلضرب مقدار :مطلق خطاي و )2cm01.96=)0005.0+12()0005.0+8 :حاصلضرب مقدار حداكثر

:داشت خواهيم كنيم حل هم حاصلضرب خطاي محاسبه ي به مربوط فرمول از استفاده با

)()()()(

)()()()(

))(())((

aEbbEaaEbbEa

abbEaEaEbbEaab

abbEbaEaabxy

absabsabsabs

absabsabsabs

absabs

01.09601.96 absE

01.00005.080005.012)( baEabs

0)()( bEaE absabs

0



فرادرس

FaraDars.org

33



:تقسيم عمل در خطا محاسبه .ت

از طاخ محاسبه ي براي و گردد ضرب عمل به منجر تقسيم عمل كه كرد عمل گونه اي به تقسيم عمل در توان مي :تذكر.نمود استفاده ضرب عمل در خطا محاسبه ي به مربوط فرمولهاي

22

)()(

))(1(

)()(

)()()(

)()(

bbEaaEb

bbEb

baEabE

bEbbbaEababEab

ba

bEbaEa

ba

yx

absabs

abs

absabs

abs

absabs

abs

abs

0)(

bbEabs0



فرادرس

FaraDars.org

34

:معيارهاي سنجش خطا -4محاسبة خطاي نسبي در اعمال حسابي -


ليك تعريف از استفاده با بنابراين داريم، اختيار در اصلي عمل چهار در را مطلق خطاهاي انتشار براي الزم فرمولهاي چون چهار در زني را نسبي خطاي به مربوط هاي فرمول توانيم مي جانبي مالحظات از بعضي و تقسيم عمل يك با ، نسبي خطاي:آوريم بدست زير طبق اصلي عمل



فرادرس

FaraDars.org

35

:معيارهاي سنجش خطا -4محاسبة خطا در ارزيابي توابع يك متغيّره -



فرادرس

FaraDars.org

36

:معيارهاي سنجش خطا -4محاسبة خطا در ارزيابي توابع يك متغيّره -



فرادرس

FaraDars.org

37

:معيارهاي سنجش خطا -4متغيّرهچند محاسبة خطا در ارزيابي توابع -



فرادرس

FaraDars.org

38

:معيارهاي سنجش خطا -4متغيّرهچند محاسبة خطا در ارزيابي توابع -



فرادرس

FaraDars.org

39

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5پايهمفاهيم -


• Matrices• Functions• Condition and loop codes and statements• Presentation codes...



فرادرس

FaraDars.org

40

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5Matlabبرخي توابع مفيد در : پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

41

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5برخي توابع رياضياتي مهم : پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

42

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5برخي توابع رياضياتي مهم : پايهمفاهيم -

خطاها و اشتباهات: فصل اوليبراي توابع رياضيات Matlabفرم نام توابع رياضياتي

abs(x)قدرمطلقsqrt(x)ريشه دوم

xeexp(x)و 2، لگاريتم هاي در مبناي )lnهمان (لگاريتم طبيعي

10log(x) ، Log2(x) و log10(x)

sin(x) , cos(x), tan(x) , cot(x)مثلثاتيتوابع

,π(asin(x) , acos(x) , atan(x)-و πبين ( مثلثاتي معكوستوابع atan2(x,y)

round(x)به نزديك ترين عدد صحيح xگرد كننده fix(x)ربه نزديك ترين عدد صحيح در جهت صف xگرد كننده

x مبناي يا ماژول در x بر y تقسيم مانده باقي محاسبهmod(-1,4):مثال.)مقسوم با عالمت هم خروجي( 3

mod(x,y)

خروجي يعني( y موافق عالمت با تقسيم، مانده باقيmod(-1,4) :مثال .)عليه مقسوم با عالمت هم -1

rem(x,y)

t/n[t,n] = rat(x)به صورت xنزديك ترين كسر متعارفي به به صورت مجموعي از عدد صحيح و كسر xنمايش

rat(x)متعارفي

factorial(x)محاسبه فاكتوريلceil(x)و floor(x)جزء صحيح رو به پايين و رو به باالgcd(x,y)بزرگترين مقسوم عليه مشتركlcm(x,y)كوچكترين مضرب مشترك



فرادرس

FaraDars.org

43

عدديمحاسبات كاربرد براي Matlabبرنامه معرفي -5if-else-elseif-endدستور دستورات شرطي : پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

44

عدديمحاسبات كاربرد براي Matlabبرنامه معرفي -5switch-case-endدستور دستورات شرطي : پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

45

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5forدستور حلقه دستورات حلقه : پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

46

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5whileدستور حلقه دستورات حلقه : پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

47

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5)command windowدر محيط (دستورات نمايش نتايج بر روي نمايشگر : پايهمفاهيم -


•disp(‘strings’) نمايش يك پيام رشته اي

disp: num2str(x)براي نمايش محتواي متغيرهاي عددي در دستور •

•fprintf(‘%f,\n’,x) براي نمايش مقدار يك متغير در البالي يك متن

•Str=sprintf(‘%f,\n’,x) هم نمايش محتواي متغير در متن و هم ذخيره سازي آن به عنوان متغير رشته اي



فرادرس

FaraDars.org

48

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5Matlabتعريف توابع در : پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

49

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5)ادامه(انواع توابع : پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

50

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5انواع ديگر توابع : پايهمفاهيم -


Function( دار دستگيره توابع- Handle( از خاص اي دسته فراخواندن يا ساختن براي كه است ابزاري شود، مي مشخص )@( عالمت با كه تابع دستگيره

.شود مي استفاده توابع>> a = @(x,y)(x^2-sin(1/y)) a(2,1/pi) = 4

Function( تابع تابعِ- of function( روش از كي هر به متلب در شده تعريف توابع ساير تا باشند مي اين براي متلب، افزار نرم در توابع از دسته اين .feval و fplot، fzero، fminbnd از عبارتند توابع اين از برخي .كنند اجرا را قبل شده داده توضيح هاي

>> F1 = @(x)tanh(x-pi)*(x+3); fplot(F1,[-5 3]);inline تابع-

:باشد مي دهي مقدار قابل feval تابع تابعِ با .دارد كاربرد اي رشته يا و سمبوليك متغيرهاي و توابع براي>> F2= inline(‘2*x-10’); feval(F2,2) ans = -6



فرادرس

FaraDars.org

51

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5برخي توابع براي كار با چند جمله اي ها: پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

52

كاربرد محاسبات عدديبراي Matlabبرنامه معرفي -5برخي توابع براي كار با چند جمله اي ها: پايهمفاهيم -



فرادرس

FaraDars.org

53

اساليد ها بر مبناي نكات مطرح شده در فرادرساين » MATLABافزارمحاسبات عددي پيشرفته به كمك نرم آموزش «

.شده استتهيه

.براي كسب اطالعات بيشتر در مورد اين آموزش به لينك زير مراجعه نماييد




فرادرس

FaraDars.org

Education

آموزش محاسبات عددی - بخش یکم