Розв’язування задач практично мистецтво… Навчитись його можна тільки беручи приклад з кращих зразків та практикуючись.

Д.Пойа 2009

Елементи комбінаторики у 5 класі

Теоретичні відомості

Основний прийом у задачах на підрахування кількості різних комбінацій елементів скінченної множини – встановлення взаємно однозначної відповідності між множинами, заданими за допомогою різних умов.

Кількість перестановок (впорядкування) даної множини,

що містить n елементів, дорівнює nnn )1(...321.! Задачі даного типу пов’язані з підрахунком елементів у

деякій множині або кількості способів виконання тих чи інших операцій.

Задача 1. Скількома способами можна розмістити 6 осіб за столом, біля якого поставлено 6 стільців?

Розв’язання. Першу особу можна розмістити 6

способами, другу –5 способами, бо один стілець уже зайнятий, третю – 4 способами, бо 2 стільці зайняті, четверту – 3 способами, п’яту – 2 способами, шосту -1 способом.

Усього способів: 720123456 Примітка. На рівні 11 класу учні будуть обчислювати число перестановок:

66 P ! = 720123456

Задача 2. Скільки існує двоцифрових чисел, обидві цифри яких різні?

Розв'язання. Запис довільного двоцифрового числа

можна здійснити послідовним записом двох його цифр. Зрозуміло, що першою може бути записана будь-яка з десяти цифр, відмінна від нуля. Тоді другою можна записати будь-яку з решти дев'яти цифр, крім уже записаної першої цифри. Отже, для кожної з дев'яти можливостей запису першої цифри існує по 9 можливостей запису другої. Таким чином дістаємо 8199 двоцифрових чисел, обидві цифри яких різні.

Звернемо увагу читачів, що задачу 2 можна було б розв'язати і

простіше. Справді, легко підрахувати, що всіх двоцифрових чисел 90. З них лише 9 чисел 11, 22, ... , 99 мають обидві однакові цифри. Отже, у 90 – 9 = 8І обидві цифри різні.

Відповідь:81

Задачі з логічним навантаженням Теоретичні відомості

Логіка – наука про форми та закони правильного умовиводу, або наука про доведення. У логіці та

математиці ми обмежуємося тим, що вважаємо будь-яке висловлення істинним або хибним. При доведенні

починають з припущення про істинність висловлення і за допомогою послідовності істинних висловлювань

переконуються в істинності висновку.

ПН ВТ СР ЧТ ПТ СБ НД

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31

Відповідь: 13.

Задача 3.В одному місяці три середи випадають на парні числа. Якого числа в цьому місяці була друга неділя?

Розв’язання. Оленка - ? 18 грн. Сашко - ? 12 грн. Наталка - ? 10 грн. Михайлик - ?

Відповідь: 16 гривень.

Задача 4. Оленка і Сашко разом мають 18 гривень, Сашко і Наталка – 12 гривень, Наталка і Михайлик – 10 гривень. Скільки гривень мають Оленка і Михайлик?

Задача 5. У п’ятому класі вчаться троє друзів:

Михайлик, Дмитрик та Сашко. Один ходить у

футбольну секцію, другий – у басейн, а третій – у

секцію боксу. У футболіста немає ні брата, ні сестри,

він наймолодший з друзів. Михайлик старший за

боксера і товаришує із сестрою Дмитрика. Яким видом

спорту займається кожний з друзів?

Розв’язання. У футболіста немає ні брата, ні сестри, він наймолодший. Михайлик старший за боксера, а значить він не наймолодший, тому він не футболіст. Дмитрик має сестру, тому і він не футболіст. Значить, футболіст – Сашко. Михайлик старший за боксера, а значить він сам не боксер. Отже, Михайлик ходить у басейн. Тоді Дмитрик – боксер.

Відповідь: Михайлик ходить у басейн, Дмитрик – у

секцію боксу, Сашко – у футбольну секцію.

Подільність чисел

Подільність чисел – це складова вчення про натуральне

число. Ми стоїмо перед проблемою охоллення безлічі ознак

подільності, а саме– пошуком якогось загального правила

подільності. І, якщо б удалося наблизитися до роз’вязання

цієї проблеми, то можна було б вирішити й іншу,

поставлену ще стародавніми греками про закономірність

розподілу простих чисел у натуральному ряді. Оскільки

порушене питання надто розлоге, ми можемо зупинитися

лише на деякій ділянці подільності.

Розв’язок.

S1=1+2+3+…+98+99

S2=99+98+…+3+2+1

9900991002 S

S=4950 Відповідь: не можна.

Задача 1. Є 99 відрізків, довжини яких дорівнюють: 1,2,3,…,99. Чи можна скласти з них квадрат?

Вказівка: За умовою задачі nba 3610 , де

90 a , 90 b n - натуральне число.

Тоді 1000a+100+b=36n => b=0 або b=4 або b=8.

Оскільки число ba10 ділиться на 9, то а+b+1=9 або а+b+1=18.

Якщо b=0, то а+1=9 => а=8.

Якщо b=4, то а+4+1=9 => а=4.

Якщо b=8, то а+8+1=18 => а=9.

Відповідь: 8100, 4104, 9108.

.

Задача 2. До числа 10 справа та зліва приписали по одній цифрі так, щоб отримане число було кратним 36. Знайти це число.

Вказівка: За умовою задачі nba 4513 , де 91 a ,

90 b , n - натуральне число.

Оскільки, число ba13 ділиться на 5, то b=0 або b=5.

Аналогічно, число ba13 ділиться на 9.

Тому а+b+1+3=9 або а+b+1+3=18.

Якщо b=0, то а+4=9 => а=5, а якщо

b=5, то а+5+4=18 => а=9.

Відповідь: 5130, 9135.

.

Задача 3. До числа 13 справа та зліва приписали по одній цифрі так, щоб отримане число було кратне 45. Знайти це число.

Задача 3. Довести, що исло 2006102006 ділиться націло

на 9.

Вказівка: Сума цифр заданого числа 1+2+6=9. Тому задане число ділиться на 9.

Часто при розв’язуванні нестандартних задач (чи різних головомок) зручно зображати об’єкти точками, а зв’язки між цими об’єктами – лініями або стрілочками.

Такий спосіб зображення ситуацій називають графом.

УМОВА:Господиня принесла на базар кошик яблук. Першому покупцеві вона продала половину всіх яблук і ще 1 яблуко, другому – половину остачі і ще 1 яблуко, третьому – половину нової остачі і ще 1 яблуко тощо. Останньому – шостому покупцеві – вона також продала половину яблук, що залишилися, і ще 1 яблуко. Після цього виявилося, що господиня продала всі свої яблука . Скільки яблук вона принесла для продажу?

7-й клас

Розв’язання.Складемо граф (рис.1):

Під час розв’язування виконуємо обернені дії:

Відповідь: 126 яблук.

:2 -1 :2 :2 :2 :2 :2-1 -1 -1 -1 -1

2

+1 2

+1 +1 +1 +1 +12

2

2

2

ЗадачаПрямокутник розбитий на 16 різних прямокутників, у яких невідомі довжини сторін. Відома площа шістьох малих прямокутників, які утворилися внаслідок розбиття, їх площі наведені на рисунку. Знайти площі кожного з чотирьох маленьких прямокутників розташованих у нижньому ряду, якщо площа всього великого прямокутника складає 168 кв.од. Відповідь обгрунтувати.

3. Знаходження площ прямокутників четвертого нижнього ряду.

2. Застосування цієї властивості для знаходження площ усіх прямокутників трьох рядів.

1. Виведення властивості площ прямокутника,

розбитого на чотири прямокутника

1. Розглянемо прямокутник, який розбитий на чотири прямокутники: а, в , х, у.

Тоді S1 =ax, S2 = bx,

S3 = ay, S4 =by. Тому маємо рівність

S1S4=S2S3

a b

x S1 S2

y S3 S4

Висновок: Якщо знаємо площу трьох з чотирьох наведених прямокутників, то можна знайти площу четвертого.

3. Знаходження площ прямокутників четвертого нижнього ряду.

1. Виведення властивості площ прямокутника, розбитого на чотири прямокутника2. Застосування цієї

властивості для знаходження площ усіх прямокутників

трьох рядів.

Виходячи з умови задачі бачимо, що можна обчислити площі усіх прямокутників. Окрім тих, які розташовані у нижньому рядку. Зверху до низу їх площі такі:- верхній ряд: 2, 4, 8, 10.- другий ряд: 4, 8, 16, 20. третій ряд: 5, 10, 20, 25.

2 48 16

20 25

1. Виведення властивості площ прямокутника, розбитого на чотири прямокутника2. Застосування цієї властивості для знаходження площ усіх прямокутників трьох рядів.3. Знаходження площ

прямокутників четвертого нижнього

ряду.

Позначимо площу лівого через х, тоді площі прямокутників нижнього ряду є х, 2х, 4х, 5х.Площа великого прямокутника: 132+12х, що за умовою становить 168.Маємо рівняння: 132+12х=168.12х=168-132,12х=36,х=3.Відповідні площі прямокутників нижнього ряду мають такі площі: 3, 6, 12, 15. Відповідь: 3, 6, 12, 15.

У супермаркеті введені знижки. За купівлю товарів на суму від 300 грн, покупець отримує знижку 4%, а при покупці товарів від 600 грн, він отримує знижку 10%. На яку найбільшу суму (з точністю до копійок) зможе придбати товарів покупець, якщо у нього у кишені:а) 594 грн;б) 534 грн.?

Розв’язання:Нехай покупець

набере товарів на сум х грн. Якщо ця сума х≥600 грн., то він повинен буде сплатити на 10% менше. Якщо ця

сума х≥300 грн, то сплатить на 4%

менше.

Розв’язання задачі проведемо заповненням таблиці:

Знижки у супер-

маркеті

На х грн. можна придбати товарів на

сумуСума, яку

має покупець у кишені

Скла-даємо нерів-ність

Найбільша сума за придбання

товарів

у % у грн. у % у грн. у % у грн.

4від

300,00 96 0,96х 534 0,96х≤534   556,25

10від

600,00 90 0,90х 594 0,9х≤594   660

Знайти усі натуральні числа m, n, які задовольняють рівність mn2=2009(n+1).

1. Доведемо, що числа n і (n+1) взаємно прості.2. Розгляд умов, що випливають із рівності mn2=2009(n+1).

3. Розклад числа 2009 на прості множники та знаходження числа n.4. Знаходження числа m.

Розв’язання:

1. Покажемо, що n і (n+1) взаємно прості.

Якби у них був спільний дільник d>1, то n=k1*d, n+1=k2*d.

Тоді 1=(n+1)-n=d(k2-k1), тобто d є дільником 1, що суперечить нашому припущенню.

2. Таким чином для заданої рівності mn2=2009(n+1) повинні виконуватися такі умови: m повинно ділитися на (n+1), а 2009 на n2 .

Знайти усі натуральні числа m, n, які задовольняють рівність mn2=2009(n+1).

1. Доведемо, що числа n і (n+1) взаємно прості.2. Розгляд умов, що випливають із рівності mn2=2009(n+1).

3. Розклад числа 2009 на прості множники та знаходження числа n.

4. Знаходження числа m.

Розв’язання:

3. Оскільки 2009=72 *41, то можливі випадки n=1 або n=7.

Розглянемо обидва випадки.

При n=1 маємо m=2009(1+1)=2009*2=4018.

При n=7 маємо 49m=2009(7+1)=2009*8, звідки m=2009*8/49=328.

Тоді рівняння має два розв’язки (1;4018), (7;328).

Цифри і системи числення Теоретичні відомості 8 клас

У задачах, де йдеться про цифри в десятковому записі натурального

числа 011

1 10...1010 aaaaN nn

nn

(цей запис іноді позначають 011... aaaa nn ) використовуються різні міркування: подільність чисел, алгебраїчні перетворення, оцінки. Зокрема, допомагають ознаки подільності на 3 і на 9, а також

таке її уточнення: число 011... aaaaN nn дає при діленні на 9 (на 3) таку ж остачу як і сума його цифр 011 ... aaaa nn (різниця

011

1011 )110(...)110()110()...( aaaaaaaaN nn

nnnn

очевидно ділиться на 9). Іноді буває зручним запис натурального числа N в системі числення з основою р:

,011

1 ... apapapaN nn

nn

де ),...,2,1(,0, nipaa ii — «цифри» цієї системи числення.

Розв’язок.

6223223)223()223(2121721217 22

Відповідь: 6.

Задача.1 Довести, що число 2121721217 натуральне.

Вказівка. Перепишемо задану рівність у вигляді

1312

3121

)1(2)1(3kykx

kykx

yx, де k– довільне ціле

число. Відповідь: 13,12 kykx , де k–довільне ціле число.

Задача.2 Знайти всі цілі x та y , які задовольняють рівність 123 yx .

Вказівка. 12)8)(1()2)(2(10 yxyxyx

Далі перебором знаходимо, що

4831

6821

yx

абоyx

або

2861

3841

yx

абоyx

Відповідь:12, 24, 35, 56.

Задача.3 Знйти усі двоцифрові натуральні числа, які дорівнюють добутку цифр числа, збільшених на 2.

Вказівка. Вираз )1)(1)(1)(1( 227 nnnnnnnnn

ділиться на 7, оскільки при підстановці

17,7 knkn , 37,27 knkn отримуємо,

що один з множників виразу ділиться на 7.

Тому вираз nn 7 ділиться на 7.

Відповідь: nn 7 ділиться на 7.

Задача.4 Довести, що nn 7 ділиться на 7, де

n – натуральне число, яке більше 2.

Деякі нестандартні методи розв’язування рівнянь 10 клас

Розглянемо рівняння виду 0)( xf . Якщо вираз )(xf

можна розкласти на множники )(...)()( 21 xfxfxf n , то

початкове рівняння можна замінити сукупністю рівнянь

0)(,...,0)(,0)( 21 xfxfxf n корені кожного з яких, якщо

вони належать області визначення функції )(xf , є також і

кореням и початкового рівняння.

.

Задача 1 Розв’язати рівняння 82)2( 44 xx Розв’язання. Покладемо 1xy . Тоді задане рівняння запишеться у вигляді

82)1()1( 44 yy . Після піднесення до степенів та очевидних спрощень дістанемо біквадратне рівняння

0406 24 yy ,звідки 42 y та 102 y . Отже, 2,2 21 yy .

Тоді ,11 x та 32 x . Відповідь: x=1, x=-3

Задача .9 Розв’язати рівняння .2)3()1( 44 xx Вказівка. Нехай 2xy .Тоді

2006

2146414642)1()1(24

23423444

xyyy

yyyyyyyyyy

Відповідь: x=2.

Задача 3. Розв’язати рівняння 0sin4

12

2 yx

x .

Розв’язання. 01sin1sin)21(sin

41 2

22 yy

xxy

xx ,

причому рівність досягається лише при

01sin,021

yx

x .

Звідси знаходимо nyx 22

,2

1 де

n – довільнеціле число.

Відповідь: nyx 2

2,

21

Задача 5 При яких значеннях параметра a рівняння 12cos 2 aaxe x має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Оскільки функція xe x cos є парною, то разом із розв’язком 0x даного рівняння його розв’язком буде також і число 0x . Тому єдиним може бути лише розв’язок 0x . Підставляючи його в рівняння, ожержимо 120 2 aa , звідки 1a . При цьому значенні a рівняння набирає вигляду

0cos xe x . Оскільки при 1,0 xex , а 1cos x , то при a=1 число x=0 - справді єдиний розв'язок. Відповідь: x=0 при a=1.

Задача 6. Розв'язати у простих числах рівняння 12 22 yx .

Розв'язання. Зрозуміло, що х повинно бути непарним числом, тобто х = 2k +1. Якщо у = 2m + 1, то

11)22(4)12(2)12(2 222222 mmkkmkyx . Отже, у повинно бути парним (і простим). Тому у = 2. Легко пересвідчитись, що тоді х = 3 . Отже, х = 3 , у = 2 – єдиний розв'язок заданого рів-няння у простих числах. Відповідь: x=3,y=2.

Задача 7. Знайти всі натуральні числа х, у, що є розв'язками рівняння 2553 yxxy . Розв'язання. Задане рівняння можна записати у вигляді (х + 5)(у – 3) =10 . Оскільки при натуральних х : х + 5 > 5, а єдиним дільником числа 10, більшим за 5, є число 10, то х + 5 = 10 , у –3 = 1 . Отже, маємо єдиний розв'язок x = 5, у = 4 . Відповідь: x=5,y=4.

Задача 4. Зозв’язати рівняння xxaa

Розв’язання .Позначимо yxa . Тоді xya . Підносячи обидві частини одержаних рівностей до квадрата, одержимо таку систему

рівнянь

2

2

xya

yxa

. Віднімаючи від першого рівняння системи друге, знайдемо:

22 xyyx , звідки 0 yx або 1 xy . Враховуючи, що 0,0 yx , з першої з цих рівностей знаходимо 0yx , що

можливо лише при 0a . Далі, з другої рівності, маємо: 1xy . Підставляючи це значення в друге рівняння системи, дістанемо

21 xxa . Оскільки 0x , то при 1a одержуємо розв’язок

2341

ax . При інших a , відмінних від нуля, задане рівняння не має

дійсних коренів. Зауважимо, що, позбуваючись радикалів піднесенням до квадрата, дане

рівняння можна звести до рівняння четвертого степеня, яке є квадратним відносно параметра a .

Задача.12. Знайти всі цілі розв’язки рівняння

13715 yx . Розв’яжемо рівняння відносно y:

7122

xxy

Очевидно, що y буде цілим числом, якщо kx 71 , де k– ціле число. Тому Zkkykx ,415,17 – усі цілі розв’язки рівняння. Відповідь: Zkkk ),415;17( .

У трикутнику АВС точки D, E, F належать сторонам АВ, ВС і СА відповідно. Обчислити площу трикутника, утвореного прямими CD, BF, AE, якщо AD=⅓AB, BE=⅓BC, CF=⅓CA і площа трикутника АВС дорівнює S.

11-й клас

CACFCAFBCBEBCE

ABADABDSSABC ABC

31,,

31,

31,,,

У

Нехай шукану площу KLR позначимо – S1 Сполучимо точки В і К відрізком; Складемо відношення площ CKB і AKC

ATBQ

ATKC

BQKC

AKCSCKBS

2121

Де KCATKCBQ , Розглянемо ATDBQD і Ці ATDBQD (за двома кутами)

Тоді 12

3132

AB

AB

ADBD

ATBQ

Отже 12

AKCSCKBS

Розглянемо AKCAKB

CMBN

CMAK

BNAK

AKCSAKBS

2121

Оскільки CMEBNE

21

3231

BC

BC

CEBE

CMBN

Отже, 21

AKCSAKBS

Тоді 21,2

AKCSAKBS

AKCSCKBS

Додамо до обох частин 1.

Одержимо 27

2131

212

AKCSAKCSAKBSCKBS

SAKCSAKCSS

72

27

і Такий розгляд приведений відносно AKC можна провести і відносно BRCALB і

Одержимо SBRCSSALBS72,

72

Звідси SSSSSALBS71

76

723

Відповідь: SKLRS71

Розв’язати рівняння

xx

x22

2

3 log1

log

Нехай ax 2log , тоді ax 2

Дане рівняння тоді буде мати вигляд a

xx

2

2

3 1log

звідки a

xx 3

1 2

2

.Скористаємося заміною

ax 2

aa

a 3)2(1

)2(2

2

, )41(34 aaa , 3

1 aaaa 4334

aa 41)34(

Бачимо, що при а= –1 рівність правильна.

Розв’язати рівняння Графічно розв’язуючи рівняння

aa 41)34(

Побудуємо графіки функцій ay )

34( і

ay 41

Отже, а = –1, 212 1 x

Відповідь: 21

x

Знайдіть знак числа

5,0)08...20sin(2008

Розв’язання: Доведемо, що 2818008...20

2008

k , де k– непарне число.

Справді, 200720072008

1098...19980...192808...20

Число 2007

98...19 ділиться на 9 і на 2, а отже і на 18. Крім того, це число не ділиться на 4.

Таким чином, k 1898...19

2007 , де k–непарне число.

Твердження доведено. За формулою зведення маємо:

030sin28sin30sin)28180sin(5,0)08...20sin(2008

k

Знайти найбільше значення функції

)cos()(sin)cos()(sin 22 yxyxyxyxz , якщо

1sinsin 22 yx Розв’язання . Замінимо sin2(x+y)=1–cos2(x-y) z = (1–cos2(x+y))cos(x–y)+(1–cos2(x-y)) cos(x+y) = cos(x–y)– cos2(x+y)cos(x–y)+cos(x+y)– –cos2(x–y)cos(x+y)=(cos(x–y)+cos(x+y))–cos(x+y)cos(x–y)(cos(x+y)+cos(x–y))= розкладемо на множники =(cos(x+y)+cos(x–y))(1–cos(x+y)cos(x–y))= Примінимо до першого множника формули перетворення суми на добуток, а до другого навпаки добуток на суму, одержимо

yxxyyx

xyyxxyyx

coscos2)sin(sincoscos2

)sin2sin2(coscos)2cos212cos

211(coscos2

22

22

Застосовуємо нерівність Коші Отже , 1max Z Відповідь: 1.