геометрические паркеты

Геометрические паркеты

Вперед

Руководитель: учитель математики Сафронов Роман Александрович

Выполнили: ученицы 9 класса Кхием Алиса Рахимбекова Роксана

Содержание Цели проекта Что такое геометрический паркет? Правильные паркеты Какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость? Полуправильные паркеты Паркет из неправильных равных многоугольников Какими неправильными многоугольниками можно заполнить плоскость? Геометрические паркеты в жизни Примеры геометрических паркетов Геометрические паркеты в искусстве Картины Эшера «Всадники», «Летящие птицы», «Ящерицы» Серебряная пагода Наш проект Вывод Ссылки

ВпередНазад

Цели проектаРазвитие умений и навыков

исследовательской работы;Расширение теоретической базы,

аналитический обзор литературы по теме;Изучить геометрические приёмы

составления паркетов;Знакомство с практическим применением

геометрических паркетов.

Назад ВпередСодержание

Введение Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов. Задачи: 1. Изучить литературу о паркетах. 2. Найти исторический материал. 3. Научиться решать задачи. Выдвигаю гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество. Объект исследования - паркеты. Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и

анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии.


Что такое геометрический

паркет? В математике паркетом называется такое заполнениеплоскости многоугольниками, при котором любые двамногоугольника либо имеют общую сторону, либо имеютобщую вершину, либо не имеют общих точек.

СодержаниеНазад Вперед

Правильные паркеты Паркет называется правильным, если он состоит из

правильных многоугольников (многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны) и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. Примеры правильных паркетов дают заполнения плоскости квадратами, равносторонними треугольниками, правильными шестиугольниками.


Какими правильными многоугольниками можно

заполнить плоскость?Докажем, что не всеми равными правильнымимногоугольниками можно заполнить плоскость.Действительно, углы правильного n - угольника равны180°(n- 2)/n. Заполним таблицу, состоящую изуглов a правильных n-угольников.

N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a 60° 90° 108° 120° 1284/7° 135° 140° 144° 1473/11° 150°


Какими правильными многоугольниками можно

заполнить плоскость?Если в одной вершине паркета сходится m правильных n -

угольников, то должно выполняться равенство

откуда

Возможными допустимыми значениями n являются 3, 4 и6. Значит, можно получить паркеты, составленные изправильных треугольников, квадратов или правильныхшестиугольников. При остальныхзначениях n число m оказывается дробным.


Полуправильные паркеты

Паркет называется полуправильным, если он состоит изправильных многоугольников (возможно с разным числомсторон), одинаково расположенных вокруг каждойвершины.


Паркет из

неправильных равных многоугольников

Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.


Какими неправильными многоугольниками можно

заполнить плоскость?Пусть дан четырехугольник АВСD (рис.1).Рассмотрим центрально симметричный ему четырехугольник относительно серединыстороны АВ. Исходный четырехугольник АВСDобозначим цифрой 1, а симметричный –цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразимсимметрично относительно серединыего стороны ВС. Полученныйчетырехугольник обозначим цифрой 3и отразим его симметричноотносительно середины его стороныCD. Полученный четырехугольникобозначим цифрой 4.

Рис. 1


Какими неправильными многоугольниками можно

заполнить плоскость?Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают кобщей вершине углами А, В, С и D. А таккак сумма углов четырехугольника равна360° , то эти четырехугольники заполнятчасть плоскости вокруг общей вершины.Такое же построение можно провестивокруг каждой новой вершины, что и дастискомое заполнение плоскости.четырехугольники, закрашенные однимцветом (рис. 1), получаются друг издруга параллельным переносом.

Рис. 1


Геометрические паркеты в жизни

С паркетами мы встречаемся и в повседневнойжизни. Тетрадный лист в клеточку представляетсобой простейший паркет. Элементом паркетаздесь является квадрат. Можно придумать

множество различных паркетов.


Примеры геометрических

паркетов


Геометрические паркеты в искусстве

Заполнение плоскости может быть произведено не толькомногоугольниками, но и фигурами более сложного вида.Повторяющиеся равные фигуры являются основойсоставления орнаментов, с давних времен привлекавших ксебе внимание людей. Знаменитый голландский художникМариус Эшер (1898-1972) посвятил орнаментам несколькосвоих картин.


«Всадники», «Летящие птицы», «Ящерицы»

Назад Содержание Вперед

Серебряная пагода Серебряная пагода - официальный буддийский храм

короля Камбоджи в Пномпене. Главной особенностью пагоды является пол, инкрустированный более чем пятью тысячами серебряных плит (блоков) весом более 6 тонн. Пол имеет вид квадратного геометрического паркета.


Наш проектИзучив геометрические паркеты

из правильных многоугольников, мы решили рассчитать площадь школьной площадки для волейбола.

Ширина поля – 14 целых плиток и 1 неполная

Длина поля – 26 целых плиток и 1 неполная


Плитка имеет форму правильного четырехугольника, то есть квадрата, со стороной 50 см. Кроме того, имеется неполная плитка в виде прямоугольника со сторонами 50 см и 10 см.

50 см

50 см

50 см

10 см


Вначале найдем длину (d) и ширину (k) площадки. Для этого надо сторону плитки умножить на количество плиток в длину и в ширину. Не забывайте, что есть и неполная плитка.

Длина площадки = d = (50 см x 26 пл.) + (10 см x 1 пл.) = 1300 см + 10 см = 1400 см = 14 м

Ширина площадки = k = (50 см x 14 пл.) + (10 см x 1 пл.) = 700 см + 10 см = 800 см = 8 м

Из этого следует, что площадка прямоугольная.Далее, находим площадь площадки по формуле нахождения площади

прямоугольника (S).Площадь площадки = S = длина x ширина = d x k = 14 м x 8 м = 112 м²Теперь нам известна площадь площадки для волейбола, а значит в

будущем мы сможем найти наиболее рациональный способ ее заполнения правильными (или неправильными) паркетами и переделать ее, убрав неполную плитку.


Если принять длину плитки за a, а ширину за b. То в длину получается плиток, а в ширину плиток. Если и целые числа. Общее количество плиток получается , где S1 площадь плитки.

Теперь нам известно как определить количество плиток для волейбольной площадки, а значит, в будущем мы сможем найти наиболее рациональный способ ее заполнения правильными (или неправильными) паркетами и переделать ее, убрав неполную плитку.

1SS

dakd

Назад Содержание Вперед

ВыводМы подробно изучили паркеты, поняли

принципы их построения, а самое главное, узнали много нового. Паркетов великое множество, но мы считаем, что паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен, т.е. если он составлен из правильных многоугольников.


Ссылки1. Паркет (геометрия) -https://ru.wikipedia.org/wiki/Паркет_(геометрия)2. Паркеты – http://geometry-and-art.ru/parquett.html3. Математические мозаики – http://log-in.ru/articles/matematicheskie-mozaiki/4. ПАРКЕТЫ - http://geometry2006.narod.ru/Lecture/Parkety/Parkety.htm5. Исследовательская работа Геометрические паркеты -

http://newfound.ru/shkolniku/11-klass/issledovatelskaia-rabota-geometricheskie-parkety/

6. Серебряная пагода -https://ru.wikipedia.org/wiki/Серебряная_пагода7. Журнал //Квант. 1979. - № 2. - С.9; 1980. - № 2. - С.25; 1986 - № 8 - С 3* 1987. - № 6.

- С.27; 1987. - № 11. - С.21; 1989. - № 11. - С.57.8. Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;9. Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. - 1999. - № 2. - С.32.10. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.- Наука, 1966, с. 100.11. Смирнова И.М. В мире многогранников. - М.: Просвещение, 1995.12. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Паркеты и их иллюстрации в графическом

редакторе "Paint" //Математика в школе. - 2000. - № 8. - С.54.


КонецСпасибо за внимание!

СодержаниеНазад

Education

геометрические паркеты