آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش یکم

مهندسیآمار و احتمال

faradars.org/fvst9405



آمار و احتمال مهندسی

:مدرسآرمان ری بد

دانشجوی دکتری آمار

دانشگاه بیرجند

1

توصیفیآمار فرادرس

FaraDars.org





فهرست سرفصل ها

آمار توصیفی-فصل اول

تعریف آمار•تاریخچه و کاربردها–

توزیع فراوانی•

جداول فراوانی–

نمایش تصویری توزیع فراوانی–نمودار شاخه و برگ-نمودار فراوانی تجمعی-نمودارهای فراوانی و فراوانی نسبی •

2

فرادرس

FaraDars.org






شاخص های آمار توصیفی•

وافقیمیانگین ت-میانگین هندسی-میانگین وزنی-میانگین اصالح شده-شاخص های تمرکز میانگین حسابی–چندک ها-میانه•

نما•

شاخص پراکندگی–

ضریب تغییرات-انحراف معیار-واریانس-انحراف از میانگین-دامنه چندکی -دامنه تغییرات•شاخص های توزیع–

شاخص چولگی•

شاخص برجستگی•مقایسه و نمایش تصویری شاخص های آماری-نمودار جعبه ای–

3

فرادرس

FaraDars.org






احتمال-فصل دوماصول شمارش و روشهای آن–ترتیب و ترکیب–احتمال براساس فراوانی–امید ریاضی–فضای نمونه و پیشامد–محاسبه احتمال و شانس–

اصول احتمال•احتمال شرطی•پیشامدهای مستقل•قضیه بیز و قانون احتمال کل•محاسبه امید ریاضی•

4

فرادرس

FaraDars.org






توزیع های احتمال -فصل سوم

متغیر تصادفی پیوسته و گسسته-تکیه گاه متغیر تصادفی-متغیر تصادفی•تابع احتمال و توزیع احتمال•

احتمالمیانگین و واریانس یک توزیع •

چند توزیع مهم•

آنتوزیع یکنواخت و خصوصیات –توزیع دو جمله ای و خصوصیات آن–

توزیع فوق هندسی و خصوصیات آن–

توزیع پواسن و خصوصیات آن–توزیع چندجمله ای و خصوصیات آن–

قضیه چبیشف•

5

فرادرس

FaraDars.org






متغیر تصادفی پیوسته-فصل چهارمتوزیع متغیرهای تصادفی پیوسته•

(پیوسته)توزیع یکنواخت –توزیع نرمال و ویژگی های آن–محاسبات و استفاده از جدول–

کاربردها و تقریب توزیع دو جمله ای•نمونه گیری و توزیع های نمونه ای–فصل پنجم

جامعه آماری و نمونه آماری•(از جامعه متناهی و نامتناهی)نمونه تصادفی •توزیع نمونه ای•مرکزیقضیه حد •Fتوزیع -Tتوزیع -2توزیع کای •

توزیع میانگین و واریانس نمونه •

6

فرادرس

FaraDars.org






برآوردیابی -فصل ششم

برآوردگر و برآورد•برآوردگر نقطه ای•

خصوصیات مطلوب برآوردگرهای نقطه ای–

روش های برآوردیابی–

روش گشتاوری و روش حداکثر تابع درستنمایی•برآوردگر فاصله ای•

نسبت و واریانس–برآوردگر فاصله ای برای میانگین –خطای برآورد و تعیین حجم نمونه•

7

فرادرس

FaraDars.org






آزمون فرض–فصل هفتم

برآورد فاصله ای و آزمون فرض•فرض آماری و انواع آن •

خطای نوع اول و نوع دوم•

ناحیه بحرانی و احتمال خطای نوع اول•آزمون های مربوط به میانگین•

آزمون های مربوط به واریانس•

نسبتآزمون های مربوط به •

8

فرادرس

FaraDars.org






متغیرهدو تحلیل -هشتم فصل چگالی حاشیه ای-توزیع توام دو متغیر تصادفی•استقالل دو متغیر تصادفی•

آزمون های ضریب همبستگی-کوواریانس و ضریب همبستگی •

مربعاتحداقل رگرسیون و روش پارامترهای -رگرسیون –خط برگشت •

فاصله اطمینان و آزمون های مربوط به برآوردگر پارامترهای معادله رگرسیون-( خط برگشت)معادله خط رگرسیون •رگرسیونبرآورد ضرایب خط •

تحلیل داده های طبقه ای-فصل نهم

Goodness of Fit test-آزمون نیکویی برازش•

جدول توافقی و برآورد احتمال توام-آزمون استقالل دو متغیر طبقه ای•

آزمون هم توزیعی دو متغیر تصادفی•

9

فرادرس

FaraDars.org





فصل اول

تعریف علم آمار•اشیاءیاافرادبیندرمشخصموضوعیدربارهعددیاطالعاتتحلیلوتجزیهوتنظیمجمع آموری،برایروش هایی–

تعریف احتمال•.که میزان رخداد آن را پیش بینی کندپیشامدنسبت دادن عددی به یک –

:تاریخچه•سرشماری و بررسی شانس در بازی های شانسی–

کاربردها•تبدیل داده ها به اطالعات –تعیین احتمال رخداد پیشامدها، برمبنای آزمایش تصادفی–مشخص کردن نحوه توزیع احتمال داده های تصادفی–بینیپیش بینی و تعیین خطای پیش––...

10

فرادرس

FaraDars.org





آمار توصیفی

.تعیین و محاسبه جداول و معیارهایی که به کمک آن قادر به تشخیص خصوصیات داده های جمع آوری شده باشیم•

Frequency Table-جدول فراوانی–

Histogram-نمودار فراوانی–

Parameter-معیارها و شاخص ها–

11

فرادرس

FaraDars.org





متغیرهای و انواع آن

. داده ها جمع آوری شده تحت نام یک متغیر معرفی می شوند•

.مقادیر متغیر از شئی به شئی دیگر تغییر می کند•.متغیرها را با اسامی حروف بزرگ التین نشان می دهیم•

•X :میزان قدY :میزان وزنZ :مقدار سنW :نژادG :محل تولد

•X1 نشان دهنده مقدار متغیر برای شئی اول وX2 مقدار متغیرXبرای شئی دوم خواهد بود.

انواع متغیرها•

.مقدار متغیر از طریق اندازه گیری یا شمارش بدست می آید-متغیر با داده های عددی : متغیر کمی–

.مقدار متغیر از طریق تعیین کیفیت مشخص می شود-متغیر با داده های غیرعددی: متغیر کیفی–

12

فرادرس

FaraDars.org





طبقه بندی و توصیف هندسی داده ها

جدول فراوانی•

خالصه سازی داده های جمع آوری شده در قالب یک جدول به منظور استخراج اطالعات–قات و تعداد طب)شمارش تعداد داده های موجود در هر طبقه به منظور تعیین نقاط تمرکز و یا نمایش میزان پراکندگی –

(فراوانی ها

طبقه بندی به منظور نمایش داده های مشابه در یک طبقه و تعیین ویژگی طبقه ها–مرتب سازی داده ها–

نمودار فراوانی•نمایش اطالعات مربوط به جداول فراوانی به شکل هندسی و تصویری–

انتقال راحت تر و سریع تر اطالعات نهفته در داده ها به محقق–

نمایش الگو ها یا روندهای موجود در داده ها–

13

فرادرس

FaraDars.org





مراحل تشکیل جدول فراوانی

مرتب کردن داده ها -1(R-فاصله بین بزرگترین داده و کوچکترین داده)محاسبه دامنه تغییرات برای داده های کمی –

(K) مشخص کردن تعداد طبقات -2استفاده از اطالعات شخصی–فرمول تجربی-Sturgesاستفاده از فرمول –

برای داده های کمی-(L) تعیین طول طبقات -3محاسبه از طربق فرمول–

سازماندهی طبقات-4تعیین حدود طبقات–شمارش تعداد داده ها در هر طبقه–

14

K

RL

)log(3.31 nk فرادرس

FaraDars.org





ستون های جدول فراوانی

kتا 1از ( : i)شماره رده -1

برای داده های کمی-حدود طبقات-2

مقدار داده مربوط به طبقه یا وسط -(X)نماینده طبقات -3حدود طبقه برای داده های کمی

تعداد داده های مربوط به هر طبقه( : f)فراوانی طبقه -4

درصدی از داده ها که در طبقه قرار دارند ( : r)فراوانی نسبی -5

تعداد داده ها، از طبقه اول تا طبقه (: F)فراوانی تجمعی -6مربوطه

درصد از داده ها که از طبقه اول (: G)فراوانی نسبی تجمعی -7.تا طبقه مورد نظر قرار دارند

ولجدانتهایدرنسبیفراوانیوفراوانیستونبرای:نکتهربرابفراوانیستونجمع.می شودمحاسبهستون هاجمع

1اببرابرنسبیفراوانیستونجمعو(داده هاتعداد)nبا.بودخواهد

15n

fr

i

i

فرادرس

FaraDars.org





جدول فراوانی برای داده های کیفی

16

میزان عالقه به رشته رده

تحصیلی X

فراوانی f

فراوانی نسبیr

فراوانی تجمعی F

ی فراوانی نسبی تجمعG

110.05خیلی کم 1

340.2کم 2

7110.55متوسط 3

7180.9زیاد 4

2201خیلی زیاد 5

201جمع

فرادرس

FaraDars.org





جدول فراوانی برای داده های کمی

17

.این اعداد به دو رقم اعشار گرد شده اند. دانشجو جمع آوری شده است20داده های مربوط به معدل دیپلم •

بوده 11.505با توجه به گرد کردن تا دو رقم اعشار ممکن است 11.51معدل . )اختالف کمترین و بیشترین معدل را محاسبه می کنیم•.نمره است8بنابراین این فاصله برابر با .( بوده باشد19.505ممکن است براساس گرد کردن مقداری برابر با 19.5و بیشترین معدل

(2بر 8تقسیم . )خواهد شد4بنابراین تعداد طبقات برابر با ( اختیاری. )در نظر می گیریم2طول طبقات را برابر با •.کمترین مقدار معدل را حد پایین کران اول در نظر می گیریم•.کران باالی رده اول از جمع کران پایین با مقدار طول رده بدست می آید•.یرم و رده بندی را ادامه می دهیمگکران پایین رده دوم را با کران باالی رده اول یکسان در نظر می •

مشاهده 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

معدل دیپلم

17.45 18.66 19.5 14.5 17.8 14.75 18.6 15.5 17.78 11.51 14.5 15.4 18.6 17.5 14.8 13.3 14.4 15.3 16.7 فرادرس16.8

FaraDars.org





جدول فراوانی برای داده های کمی

نماینده ردهحدود ردهردهX

فراوانیf

یفراوانی نسبr

فراوانی تجمعF

عیفراوانی نسبی تجمG

1)13.51-11.51[12.5120.120.12)15.51-13.51[14.5180.4100.53)17.51-15.51[16.5140.2140.74]19.51-17.51[18.5160.3201

201

18

فرادرس

FaraDars.org





جدول فراوانی

19

.هر مشاهده باید در یک رده شمارش شود•

جمع ستون فراوانی باید با تعداد مشاهدات برابر باشد•

.برابر باشد1جمع ستون فراوانی نسبی باید با •

.مقدار ستون فراوانی تجمعی رده آخر با تعداد مشاهدات برابر است•

.برابر است1مقدار ستون فراوانی نسبی تجمعی رده آخر با •

فرادرس

FaraDars.org





جدول فراوانی

20

:مسئله•.جدول فراوانی را کامل کنید. دانش آموز است50جدول زیر مربوط به وزن •

G F r f X رده

0.06 30.5- 35.5

7 35.5-40.5

19

0.64

0.16

46

جمع

فرادرس

FaraDars.org





نمودارها

راارشگز،بیانترینسادهباوزمانکمترینصرفباخوانندگانکهشودمیباعثنویسیگزارشدرنمودارهاازاستفاده•

.باشندداشتهتوزیعازروشنتصویریوبفهمند

.نمایش و درک تصاویر نمودار بهتر از جدول بر بیننده اثر گذاشته و درک اعداد را راحت تر می کند•

21

فرادرس

FaraDars.org





مهم ترین نمودارهای داده های کیفی

ستونینمودار•

رده هابیندرفراوانیمقایسه–

دایره اینمودار•

رده هاکلجمعبهنسبترده هافراوانیمقایسه–

Pareto-پارتونمودار•

(فراوانیکمترینباردهتافراوانیبیشترینباردهاز)فراوانیترتیببهرده هافراوانیمقایسه–

22

فرادرس

FaraDars.org




نمودار دایره ای نمودار ستونی

23

0

1

2

3

4

5

6

7

8

خیلی کم کم متوسط زیاد خیلی زیاد

میزان عالقه

5%

15%

35%35%

10%خیلی کم کم متوسط زیاد خیلی زیاد

فرادرس

FaraDars.org






نمودار پارتو•

ترتیب رده ها براساس بیشترین فراوانی به کمترین فراوانی–نمودار خطی براساس فراوانی تجمعی به ترتیب از بیشترین تا کمترین فراوانی رده ها–

24

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

متوسط زیاد کم خیلی زیاد خیلی کم

یسب

ی نوان

راف

یوان

راف

فرادرس

FaraDars.org





مهم ترین نمودارهای داده های کمی

(هیستوگرام)فراوانینمودار•

فراوانیبرچند•

تجمعیفراوانیبرچند•

فراوانیمنحنی•

برگوشاخه•

ایجعبهنمودار•

25

فرادرس

FaraDars.org





Histogram-نمودار فراوانی

ودنموداریست در دستگاه مختصات که محور افقی آن با حدود رده ها و محور عمودی آن با فراوانی یا نسبی درجه بندی می ش•

26

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11.51-13.51 13.51-15.51 15.51-17.51 17.51-19.51

فرادرسمعدل

FaraDars.org





Polygon-نمودار چندبر فراوانی

.از اتصال نقاط فراوانی مربوط به هر نماینده رده در نمودار فراوانی به کمک خط مستقیم ایجاد می شود•

.نماینده هر رده در وسط قاعده مستطیل ها در نظر گرفته می شود•

27

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11.51-13.51 13.51-15.51 15.51-17.51 17.51-19.51

فرادرسمعدل

FaraDars.org





نمودار چندبر فراوانی تجمعی

.از اتصال نقاط فراوانی تجمعی مربوط به هر نماینده رده در نمودار فراوانی به کمک خط مستقیم ایجاد می شود•

28

0

5

10

15

20

25

11.51-13.51 13.51-15.51 15.51-17.51 17.51-19.51

فرادرس

FaraDars.org





منحنی فراوانی

.از اتصال نقاط فراوانی نمودار فراوانی به کمک خط منحنی ایجاد می شود•

29

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11.51-13.51 13.51-15.51 15.51-17.51 17.51-19.51

فرادرس

FaraDars.org





Stem and Leaf-نمودار شاخه و برگ

.برای تهیه این نمودار ، ارقام مشاهدات به سه بخش شاخه و برگ و تعداد هر گروه تقسیم می شود•

اولیهرقمچندیایکشاملشاخهراستستون•

.ماندهباقیارقامشاملبرگوسطستون•

.استعددهرفراوانیآخرستون•

60و59و54و49و47و46و46و46و41و41و35و34و25و24و22:استشدهرسمبرگوشاخهنمودارداده ها15برای•

.دهدمینشاندادههربرایرایکانرقمدومستونودهگاناولستون•

2| 2 4 5 (3)

3| 4 5 (2)

4| 1 1 6 6 6 7 9 (7)

5| 4 9 (2)

6| 0 (1)

30

فرادرس

FaraDars.org





محاسن نمودار شاخه و برگ

.هستندمشاهدهقابلوروندنمیبینازاصلیاعدادفراوانی،چندبرنمودارخالفبرنمودارایندر•

فراوانینموداریاچندبرفراوانیمانندداده هاتوزیعنمایش•

:توجه

رسمرانمودارسپسدرآورده،صحیحاعدادصورتبهراداده ها،10ازمناسبیمضربدرضربباابتدابودند،اعشاریداده هااگر.می کنند

31

فرادرس

FaraDars.org





شاخص های آماری

.اعداد و ارقامی که نشان دهنده ویژگی های داده های جمع آوری شده هستند•

Central-(پارامترهای مرکزی)شاخص های تمایل به مرکزی • Tendency

Dispersion-شاخص های پراکندگی•

Distribution-(شاخص های تقارن)شاخص های توزیع •

32

فرادرس

FaraDars.org





شاخص های تمرکز

.معیار و شاخص هایی که نشان دهنده نقطه تمرکز یا مرکز ثقل داده ها استMean-میانگین–

Arithmetic-میانگین حسابی• mean

Trimmed-میانگین اصالح شده• mean

Weighted mean-میانگین وزنی•

Geometric-میانگین هندسی• mean

Harmonic-میانگین توافقی• mean

Median-میانه–

Quintile-چندک ها–

Quartiles-چارک•

Deciles-دهک ها•

Percentiles-صدک ها•

Mode-نما–

33

فرادرس

FaraDars.org





میانگین حسابی-شاخص های تمرکز

داده های کمی•

•X1,X2,..,Xn

.همه مقادیر دارای اهمیت یکسانی در محاسبه میانگین هستند•

:مثال

10و4و3و2و1•

34

45

1043211

nX

X i

n

i

nX

X i

n

i

1 X i

n

i

Xn

1

فرادرس

FaraDars.org





میانگین حسابی-شاخص های تمرکز

:باتایی برابر با باشد، میانگین آمیخته این دو سری برابرnو میانگین یک سری تایی برابر باmمیانگین یک سری : مسئله•

:برابر خواهد بود باY=ax+bمیانگین مقادیر . اگر میانگین یک سری داده برابر با باشد•

35

)( nm

YnXm

X

XY

bXaY

فرادرس

FaraDars.org





میانگین اصالح شده-شاخص های تمرکز


•X1,X2,..,Xn

.درصدی از مقادیر که از همه بزرگتر و کوچکتر هستند از داده ها حذف شده از باقی میانگین حسابی گرفته می شود•

:مثالکوچکترین مقدار و بزرگترین )مقدار از حذف دو مقدار 38از میانگین حسابی % 5مقدار عددی، میانگین اصالح شده 40برای •

0/05x40=2. بدست می آید( مقدار

36

فرادرس

FaraDars.org





میانگین وزنی-شاخص های تمرکز


•X1,X2,..,Xn

.در محاسبه میانگین در نظر گرفته می شود( w)وزنی که نشان دهنده اهمیت یا نقش موثر xبرای هر مقدار •

.وزن ها عددی بین صفر و یک هستند•

1مجموع وزن ها برابر است با •

:مسئلهع در اینجا وزن هر نمره، تعداد واحد آن درس تقسیم بر جم. معدل نمرات یک ترم براساس میانگین وزنی محاسبه می شود•

.تعداد واحدها است

37

n

i

iiw XwX

1

فرادرس

FaraDars.org





میانگین هندسی-شاخص های تمرکز

(مقادیر مثبت)درصدی -داده های کمی•

•X1,X2,..,Xn

.همه مقادیر دارای اهمیت یکسانی در محاسبه میانگین هستند•

:مثال•

•0.1,0.2,0.3

38

nnXXXG .... 21

1817.03.02.01.0.... 321 n

nXXXG

فرادرس

FaraDars.org





میانگین هندسی-شاخص های تمرکز

رابطه بین میانگین حسابی و میانگین هندسی به صورت•

39

n

)(X

i

n

1i

i

n

1i

i

eG

)(X)(Xn

1(G)

ln

lnlnln فرادرس

FaraDars.org





میانگین توافقی-شاخص های تمرکز

(مقادیر مثبت)خازن ها و مقاومت ها -داده های کمی•

•X1,X2,..,Xn

:مثال

25و20و10•

40

xxxx i

n

in

n

...

nH

1111

121

79.15

25

1

20

1

10

1

3

1

1

xi

n

i

nH

فرادرس

FaraDars.org





میانگین توافقی-شاخص های تمرکز

رابطه بین میانگین حسابی و میانگین توافقی•

X1,X2,..,Xnمعکوس میانگین حسابی معکوس دنباله ای

41

1

1

1

1

21 1

1111

xn

x

n

...

H

n

ii

nxxx

فرادرس

FaraDars.org





رابطه بین میانگین ها

:اگر داده ها مثبت باشند•

میانگین حسابی>میانگین هندسی >میانگین توافقی –

:مسئله

5.56و میانگین توافقی برابر با 8.3و میانگین هندسی برابر با 10.5میانگین حسابی برابر با 20تا 1برای دنباله داده های از •

42

فرادرس

FaraDars.org





میانه-شاخص های تمرکز

(ترتیبی)و کیفی ( نسبی)داده های کمی •مرتب سازی داده ها از کم به زیاد•.مقداری که در وسط لیست مقادیر قرار دارد•

•X1,X2,..,Xn

:مثال25و20و50و30و10•(فردn=5)50و30و25و20و10مرتب سازی •

• m=X(5+1)/2 =X3 =25

43

knXX

knXm

nn

n

22)(

12

1)2/()2/(

2/)1(

فرادرس

FaraDars.org





چندک-شاخص های تمرکز

(ترتیبی)و کیفی ( نسبی)داده های کمی •مرتب سازی داده ها از کم به زیاد•P=q×(n+1). درصد داده ها کوچکتر از آن باشندpمقداری که •

.چندک مورد نظر خواهد بودX(q)مقدار •چندکهای معروف•

p=25%,50%,75%–چارک –

p=10%,20%,…90%-دهک–

p=1%,2%,…98%,99%-صدک–

.دهک پنجم و صدک پنجاهم است-میانه همان چارک دوم:مثال

x75=%9(1+11. )برابر با مقدار نهم از لیست مرتب شده مقادیر خواهد بود( چارک سوم)صدک هفتاد و پنجم 12و8و7و7و5و4و4و3و2و1و0X(9)=7

44

فرادرس

FaraDars.org





نما-شاخص های تمرکز

(ترتیبی و اسمی)و کیفی ( نسبی)داده های کمی •

مقداری با بیشترین تعداد تکرار •

:مثال4و12و6و2و3و4و4و1•

.4مقدار با بیشترین تکرار برابر است با •

ی اگر دو رده که در مجاور هم نیستند دارای فراوانی یکسانی باشند، داده ها را دو نمای. ممکن است داده ها دارای دو نما باشند•.می گوییم

45

فرادرس

FaraDars.org





شاخص های تمرکز براساس جدول فراوانی

.تعداد داده هاستnنشانگر تعداد رده و k. نشانگر تعداد فراوانی یا تکرار هر مقدار یا نماینده رده استfiدر جدول فراوانی •

: میانگین حسابی•

: میانگین هندسی•

:میانگین توافقی•

46

nX

Xif i

k

i

1

n f

k

ff kX...X.XG 21

21

xi

i

k

i

f

nH

1

فرادرس

FaraDars.org






:میانه

•L0.5کران پایین رده میانه است.•G0.5فراوانی تجمعی رده قبل از میانه

•f0.5فراوانی رده میانه

•wطول رده

.درصدی از داده ها است که از میانه کوچکتر هستند0.5در اینجا •

.به عنوان درصدی که مربوط به چندک استفاده کنیمpبرای محاسبه چندک کافی است از اندیس •

47

wf

Gn.Lm

.

..

50

5050

50

wf

GnpLQ

p

p

pp

فرادرس

FaraDars.org






:نما

•LMکران پایین رده نما است.•d1اختالف فراوانی نسبی رده نما با رده قبلی از آن

•d2اختالف فراوانی نسبی رده نما با رده بعد از آن

•wطول رده

48

wdd

dLM M

21

فرادرس1

FaraDars.org



جدول شاخص ها با توجه به نوع داده

49

ندارد

دارد

دارد

دادهنوع

شاخصمیانگینمیانهنما

ببدون ترتی)کیفی

(ترتیبی)کیفی

کمی

دارد

دارد

دارد

ندارد

ندارد

دارد

فرادرس

FaraDars.org





شاخص های پراکندگی

. معیاری که میزان پراکندگی داده ها را نشان می دهند

برای داده های کیفی، جدول فراوانی به عنوان شاخص یا معیار پراکندگی در نظر گرفته می شود•.برای داده های کمی، مقداری است که بزرگی آن نشان دهنده دوری مقادیر از یکدیگر است•

Range-( برد)دامنه تغییرات •

Interquartile–برد میان چارکی • Range

Variance-واریانس•

Standard-انحراف معیار• Deviation

50

فرادرس

FaraDars.org





دامنه تغییرات–شاخص پراکندگی


فاصله بین بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار•نشان دهنده حداکثر میزان پراکندگی•

X(n) بزرگترین مقدار وX(1)کوچکترین مقدار

.قادر به نمایش پراکندگی نسبت به یک نقطه تمرکز نیست•

:مثال•16و15و14و15و16و15و20و10و0•

R=20-0درنتیجه 0و کوچکترین مقدار 20بزرگترین مقدار •

51

)1()( XX nR فرادرس

FaraDars.org





دامنه میان چارکی–شاخص پراکندگی


فاصله بین چارک سوم و چارک اول •

Q3 چارک سوم وQ1 چارک اول

:مثال•

.است15.5چارک سوم برابر با 4.5چارک اول برابر با 20تا 0برای داده های بین •.خواهد بود11بنابران برد میان چارکی برابر با •

52

13 QQQ فرادرس

FaraDars.org





واریانس–شاخص پراکندگی

داده های کمی•متوسط مربع فاصله مقادیر از میانگین آن ها•

مثل سانتی متر مربع، گرم مربع. واحد اندازه گیری به صورت مربع در خواهد آمد•و اگر مثال واحد اندازه گیری این اعداد کیلوگرم باشد، . خواهد بود38.667برای مثال واریانس داده های از صفر تا بیست برابر با •

.واحد سنجش واریانس کیلوگرم مربع خواهد بود

:مسئله•aاگر این سری را در مقدار ثابت . جمع کنیم، واریانس تغییری نخواهد کردbاگر مقادیر یک سری داده را با یک عدد ثابت مثل •

.درخواهد آمدaضرب کنیم، واریانس به صورت حاصلضرب واریانس اولیه در مربع مقدار

53

n

iXVar

n

i

XX 1

2

)()( فرادرس

FaraDars.org





انحراف معیار–شاخص پراکندگی


جذر مقدار واریانس•

. واحد اندازه گیری، مانند واحد اندازه گیری داده ها خواهد بود•

.خواهد بود6.205برای مثال انحراف معیار داده های از صفر تا بیست برابر با •

:مسئله.شداگر داده های یک دنباله عددی را در مقدار ثابتی ضرب کنیم، مقدار انحراف معیار سری اولیه نیز در مقدار ثابت ضرب خواهد

54

)()( XVarXSD فرادرس

FaraDars.org





Distribution–تقارن -شاخص توزیع

شاخص انحراف از توزیع نرمال استاندارد•

Skewness–شاخص چولگی –

میزان عدم تقارن داده ها نسبت به توزیع نرمال استاندارد

Kurtosis-شاخص برجستگی–

میزان کشیدگی یا پخی داده ها نسبت به توزیع نرمال استاندارد

55

فرادرس

FaraDars.org





Skewness-چولگی -شاخص تقارن

ضریب چولگی

•b1 ضریب چولگی اول پیرسن(M نما)

•b2 ضریب چولگی دوم پیرسن(mمیانه)

•g ضریب گشتاوری چولگی(m3گشتاور مرکزی مرتبه سوم)

•mr گشتاور مرکزی مرتبهr

56n

r)n

iXiX(

rm

s

mg

S

)mX(b

S

)MX(b

1

3

33

2

1

فرادرس

FaraDars.org






ضریب چولگیمقدار ضریب چولگی برای منحنی نرمال استاندارد برابر صفر•

Right-چولگی به راست• Skewness

ضریب چولگی مثبت–.تمایل منحنی داده ها به سمت راست–وجود مقادیر بزرگ و بسیار بزرگ نسبت به بقیه داده ها–

Left–چولگی به چپ • Skewness

ضریب چولگی منفی–تمایل منحنی داده ها به سمت چپ–وجود مقادیر کوچک و بسیار کوچک نسبت به بقیه داده ها–

57

فرادرس

FaraDars.org






شیوه قرارگیری شاخص های مرکزی در منحنی چوله به راست•

میانگین>میانه >نما •

شیوه قرارگیری شاخص های مرکزی در منحنی چوله به چپ•

میانگین<میانه <نما •

58

فرادرس

FaraDars.org






:مسئلهضریب . سال است1.65سال و انحراف استاندارد 3.48و نیم سال و میانه 3باتری اتومبیل دارای میانگین 10طول عمر باتری

:چولگی دوم پیرسن برابر است با

.ولی منحنی فراوانی طول عمر باتری ها کمی چوله به راست است( درصد3حدود )پس چولگی کوچک . که مقداری مثبت است

:مسئله

.، ضریب چولگی تغییری نخواهد کردaبا ضرب مقادیر یک سری داده در مقدار ثابت

59

0360651

4835332 .

.

)..(b

فرادرس

FaraDars.org





Kurtosis-برجستگی-شاخص تقارن

ضریب کشیدگی

•m4گشتاور مرکزی مرتبه چهارم•s4 4انحراف استاندارد به توان

مقدار ضریب کشیدگی برای منحنی نرمال برابر صفر•

60

34

4 S

mk فرادرس

FaraDars.org






ضریب کشیدگی

کشیدگی •ضریب کشیدگی مثبت•تمرکز بیش از حد مقادیر حول میانگین•

پخی•ضریب کشیدگی منفی•

پراکندگی بیش از حد مقادیر حول میانگین•

61

کشیدگی

منحنی نرمال

پخی

34

4 S

mk فرادرس

FaraDars.org






:مسئلهخواهد بود، -1.75ضریب برجستگی برابر با . است9.23باتری برابر با 100در مسئله قبل گشتاور مرکزی مرتبه چهارم برای طول

.که نشان دهنده پخی در منحنی فراوانی نسبت به منحنی نرمال استاندارد است

:مسئله

.با ضرب یا جمع مقادیر یک دنباله داده، مقدار ضریب برجستگی تغییری نخواهد کرد

62

فرادرس

FaraDars.org





Box Plot-نمودار جعبه ای

این نمودار نشان دهنده چارکها و حداقل و حداکثر مشاهدات است و برای مقایسه دو یا چند جامعه آماری مورد استفاده قرار •.می گیرد

:روش رسم•پیدا کردن حداقل و حداکثر داده ها–پیدا کردن چارکهای اول ، دوم و سوم–در ابتدا و انتها با مقادیر حداکثر و حداقل–مستطیلی با ارتفاع فاصله چارک اول و سوم –.با خط افقی نمایش داده می شود( چارک دوم)در میان مستطیل مقدار میانه –

نمایش تقارن و عدم تقارن داده ها•نمایش داده های پرت•.فاصله داشته باشدQ3یا Q1داده پرت مقداری است که یک و نیم برابر دامنه میان چارکی از •Q3-Q1= دامنه میان چارکی •

63

فرادرس

FaraDars.org





Box Plot-نمودار جعبه ای

20تا 1نمودار جعبه برای دنباله اعداد از •

64

حداکثر

چارک سوم

حداقل

چارک اول

میانه= چارک دوم

فرادرس

FaraDars.org





این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« آموزش آمار و احتمال مهندسی»

.تهیه شده است

.برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به لینک زیر مراجعه نمایید


65

فرادرس

FaraDars.org

http://www.faradars.org/fvst9405

Education

آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش یکم