СТАРШИЕ РАЗМЕРНОСТИ Сделал Маляренко Илья

Старшие размерно

сти

Старшие размерности или пространства старших размерностей — термин, используемый в топологии многообразий для многообразий размерности 5.В старших размерностях работают важные технические приёмы, связанные с трюком Уитни (например теорема об h-кобордизме), которые значительно упрощают теорию.В противоположность, топология многообразий размерности 3 и 4 значительно сложнее. В частности, обобщённая гипотеза Пуанкаре была доказана сначала в старших размерностях, потом в размерности 4 и только в 2002 году — в размерности 3.Частный случай пространства большой размерности — N-мерное евклидово пространство.Разме́рность — количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта, или количество степеней свободы системы.

Существует несколько различных подходов к определению размерности, например

Размерность векторного пространстваКомбинаторная размерность множества определяется на основании его комбинаторных свойств и может быть произвольным неотрицательным числом.Более общие определения даны в теории размерностиРазмерность Лебега, или топологическая размерность.Хаусдорфова размерность метрического пространства.Размерность Минковского допускает обобщение на фракталы, при этом их размерность может быть произвольным неотрицательным числом.

МНОГОМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА

Теодор Калуца впервые предложил ввести в математическую физику пятое измерение, послужившее основой для Теории Калуцы—Клейна. Эта теория — одна из теорий гравитации, модель, позволяющая объединить два фундаментальных физических взаимодействия: гравитацию и электромагнетизм — была впервые опубликована в 1921 году математиком Теодором Калуцей, который расширил пространство Минковского до 5-мерного пространства и получил из уравнений общей теории относительности классические уравнения Максвелла.

В теории струн используются трёхмерные (имеющие вещественную размерность 6) многообразия Калаби — Яу, выступающие как слой компактификации пространства-времени, так что каждой точке четырёхмерного пространства-времени соответствует пространство Калаби — Яу.

На сегодняшний день множество ученых физиков-теоретиков по всему миру исследуют вопрос многомерности пространства. В середине 1990-х Эдвард Виттен и другие физики-теоретики обнаружили веские доказательства того, что различные суперструнные теории представляют собой различные предельные случаи неразработанной пока 11-мерной М-теории.

Существует множество чисто практических применений теории многомерности пространства. Например, задача об упаковке шаров в n-мерном пространстве стала ключевым звеном в разработке радио-кодирующих устройств.

Естественным развитием идеи многомерного пространства является концепция бесконечномерного пространства (Гильбертово пространство).

3-сфера 3-сфера — в математике, является многомерным аналогом сферы. Она состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как обычная сфера (или 2-сфера) с двумерной поверхностью, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера является объектом с тремя измерениями, являя собой форму границы шара в четырёх измерениях.

3-сфера также называется «гломус» или гиперсферой, хотя термин «гиперсфера» в общем случае обозначает любую n-сферу для n ≥ 3.

N-Куб Изображение (двумерная проекция)

Название Точек(0)

Отрезков(1)

Квадратов(2)

Кубов(3)

Тессерактов(4)

Пентерактов(5)

Хексерактов(6)

Хептерактов(7)

Октерактов(8)

Энтенерактов(9)

Декерактов(10)

0 . Точка 1

1 Отрезок 2 1

2 Квадрат 4 4 1

3 Куб 8 12 6 1

4 Тессеракт 16 32 24 8 1

5 Пентеракт 32 80 80 40 10 1

6 Хексеракт 64 192 240 160 60 12 1

7 Хептеракт 128 448 672 560 280 84 14 1

8 Октеракт 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1

9 Энтенеракт 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1

10 Декеракт 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

Четырёхмерное пространство

Стереографическая проекция тора Клиффорда: множество точек (cos(a), sin(a), cos(b), sin(b)), который является подмножеством 3-сферы.

Четырёхмерное пространство (обозначения: «4D», ) — в математике абстрактное понятие, производимое путём обобщения правил трёхмерного пространства. Оно изучалось математиками и философами на протяжении почти двух столетий как ради простого интереса, так и ради возможностей, которые это понятие открывает в математике и смежных областях.Алгебраически оно получено путём применения правил векторов и координатной геометрии к пространству с четырьмяизмерениями. В частности, вектор с четырьмя компонентами может быть использован для представления позиции в четырёхмерном пространстве. Это Евклидово пространство, поэтому имеет метрику и норму, и таким образом все измерения рассматриваются одинаково: дополнительное измерение неотличимо от трёх других.В современной физике пространство и время объединены в единый четырёхмерный континуум, называемый пространством Минковского, метрика которого рассматривает временное измерение иначе, чем пространственные измерения. Таким образом, пространство Минковского является псевдоевклидовым, а не евклидовым.

Правильные многомерные многогранникиВсего существует 6 правильных четырёхмерных многогранников:

Во всех пространствах размерности n > 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр (гипероктаэдр) и n-мерный куб (гиперкуб).

ТессерактСогласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853—1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом (греч. τετρα — четыре) — четырёхмерным кубом.

Тессеракт (от др.-греч. τέσσερες ἀκτῖνες — четыре луча) — четырёхмерный гиперкуб — куб в четырёхмерном пространстве.

Диаграмма Шлегеля для тессеракта. Изображена проекция (перспектива) четырёхмерного куба на трёхмерное пространство

Развёртка тессеракта

Развёртка тессеракта

Поверхность тессеракта может быть развёрнута в восемь кубов (аналогично тому, как поверхность куба может быть развёрнута в шесть квадратов). Существует 261 различная развёртка тессеракта. Развёртки тессеракта могут быть подсчитаны нанесением на граф соединённых углов.

Тессеракт в культуре•У Эдвине А. «Новая Равнина Абботта», гиперкуб выступает рассказчиком.•В одном эпизоде «Приключений Джимми Нейтрона» «мальчик-гений» Джимми изобретает четырёхмерный гиперкуб, идентичный фолдбоксу из романа «Дорога славы» (1963) Роберта Хайнлайна.•Роберт Э. Хайнлайн упоминал гиперкубы, по крайней мере, в трёх научно-фантастических рассказах. В «Доме четырёх измерений» («Дом, который построил Тил», 1940) он описал дом, построенный как развёртка тессеракта, а затем вследствие землетрясения «сложившийся» в четвёртом измерении и ставший «реальным» тессерактом.•В романе «Дорога славы» Хайнлайна описана гиперразмерная шкатулка, которая была изнутри больше, чем снаружи.•Рассказ Генри Каттнера «Все тенали бороговы» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.•В романе Алекса Гарленда (1999), термин «тессеракт» используется для трёхмерной развёртки четырёхмерного гиперкуба, а не гиперкуба непосредственно. Это метафора, призванная показать, что познающая система должна быть шире познаваемой.•Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных трёхмерных проекций одного «гиперкуба».

фильм «Куб 2: Гиперкуб»

Тессеракт в культуре•Кресты на некоторых христианских храмах и монастырях Египта напоминают развертку тессеракта.•Картина «Распятие на кресте» (Corpus Hypercubus) Сальвадора Дали (1954).•Комиксы «Nextwave comic book» изображают средство передвижения, включающее в себя 5 зон тессеракта.•В альбоме Voivod Nothingface одна из композиций названа «В моём гиперкубе».•В романе Энтони Пирса «Маршрут Куба» одна из орбитальных лун Международной ассоциации развития называется тессерактом, который был сжат в 3 измерения.•В сериале «Школа „Чёрная дыра“» в третьем сезоне есть серия «Тессеракт». Лукас нажимает на секретную кнопку, и школа начинает «складываться, как математический тессеракт».•Термин «тессеракт» и производный от него термин «тессировать» встречается в повести Мадлен Л’Энгл «Складка времени».•TesseracT — название британской джент группы.•В серии фильмов Кинематографическая вселенная Marvel Тессеракт — это ключевой элемент сюжета, космический артефакт в форме гиперкуба.•В рассказе Роберта Шекли «Мисс Мышка и четвертое измерение» писатель-эзотерик, знакомец автора, пытается увидеть тессеракт, часами глядя на сконструированный им прибор: шар на ножке с воткнутыми в него стержнями, на которые насажены кубы, обклеенные всеми подряд эзотерическими символами. В рассказе упоминается труд Хинтона.•В инди-игре Fez Дот — компаньон главного героя — является тессерактом.

Дот в игре Fez

«Распятие на кресте» Сальвадор Дали (1954)

«Первый мститель» Камень бесконечности

Тессеракт в культуре•Во вселенной Warhammer 40000 некроны используют технологию «карманных измерений», чтобы заключать осколки К’Тан в тессерактовые лабиринты — бесконечный лабиринт-тюрьму•В аниме Евангелион 3.33: Ты (не) исправишь Ева-01 была заключена в развёрнутый тессеракт на орбите Земли.•В серии «Настоящий ты» из мультфильма «Время приключений» в виде 4-мерного мыльного пузыря•В фантастическом рассказе Марка Клифтона «На ленте Мёбиуса» дети-вундеркинды путешествуют через пространство и время, используя модели ленты Мёбиуса, бутылки Клейна и тессеракта.•В 11-й серии аниме «Space Dandy» показана подруга главного героя Катрин, которая является тессерактом.•Свое видение тессеракта представил режиссер Кристофер Нолан в фильме Интерстеллар. Главный герой фильма оказывается в нем, что бы повлиять на пространственно-временные связи и тем самым спасти человечество.•Сюжет фильма Мстители сосредоточен на использовании куба «Тессеракт» как неиссякаемого источника космической энергии, для открытия портала в другое «измерение» с целью осуществления плана по захвату мира (в обмен на Тессеракт — читаури предоставят Локи армию для захвата Земли).•В комиксе «Дэдпул уничтожает Вселенную Marvel» главный герой при помощи суперзлодея Аркады использует тессаракт, чтобы поймать Китти Прайд: ее способности не смогли ей помочь выйти из куба.•Телесериал «Андромеда» использует тессеракт-генераторы как устройство заговора. Они прежде всего предназначены, чтобы управлять пространством и временем.

Евангелион 3.33: Ты (не) исправишь Время приключений 4-мерный мыльный пузырь Мстители

ПРОЕКЦИИНА ДВУМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Данная структура сложна для воображения, но возможно спроектировать тессеракт в двумерные или трёхмерные пространства. Кроме того, проецирование на плоскость позволяет легко понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения в пределах тессеракта, но которые иллюстрируют структуру связи вершин, как в следующих примерах:

Первая картинка показывает, как тессеракт

получен в результате комбинирования двух кубов. Схема подобна

построению куба от двух квадратов

Вторая картинка иллюстрирует тот факт, что все рёбра

тессеракта имеют одинаковую длину. Она примечательна тем,

что все восемь кубов имеют одинаковый вид.

Третья картинка демонстрирует тессеракт в изометрии,

относительно точки построения. Это изображение представляет

интерес при использовании тессеракта как основания для топологической сети, чтобы

связать многократные процессоры в параллельных вычислениях.

ПРОЕКЦИИНА ТРЁХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Одна из проекций тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта.

Шесть усечённых пирамид по краям тессеракта — это изображения равных шести кубов. Однако эти кубы для тессеракта — как квадраты (грани) для куба. Но на самом деле тессеракт можно разделить на бесконечное количество кубов, как куб — на бесконечное количество квадратов, или квадрат — на бесконечное число отрезков.Ещё одна интересная проекция тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой ромбододекаэдр с проведёнными четырьмя его диагоналями, соединяющими пары противоположных вершин при больших углах ромбов. При этом 14 из 16 вершин тессеракта проецируются в 14 вершин ромбододекаэдра, а проекции 2 оставшихся совпадают в его центре. В такой проекции на трёхмерное пространство сохраняются равенство и параллельность всех одномерных, двухмерных и трёхмерных сторон.

Вращающаяся модель тессеракта. Эта

модель показывает грани тессеракта —

равные кубы

ПРОЕКЦИИСТЕРЕОПАРА

Стереопара тессеракта изображается как две проекции на трёхмерное пространство. Такое изображение тессеракта разрабатывалось с целью представить глубину, как четвёртое измерение. Стереопара рассматривается так, чтобы каждый глаз видел только одно из этих изображений, возникает стереоскопическая картина, воспроизводящая глубину тессеракта.

О П И С А Н И Е

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.

В одномерном «пространстве» — на линии — выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат — стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат — четыре вершины, куб — восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.

Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.

О П И С А Н И Е

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями — боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» — трёхмерные грани — будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру — развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один — грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного — конечной «гиперграни».Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.