Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова

Структуры и алгоритмы обработки данных

Лекция: Деревья

Николай Гребенщиков, www.grebenshikov.ru

Дерево - конечное множество T одного или более узлов соследующими свойствами:

1. ∃ один выделенный узел, а именно - корень даннго дереваT .

2. остальные узлы распределены среди m ≥ 0 непересека-ющихся множеств T1, . . . , Tm, и каждое из этих множествявляется деревом (деревья T1, . . . , Tm называются подде-ревьями).

Дерево - ориентированный, ацикличный, связный граф.

1

Дерево используется для представления иерархических свя-зей типа “Один ко многим”.

Что можно представить в виде дерева?

2

Способы изображения

{A, {B, {H} , {J}} , {C, {D} , {E, {G}} , {F}}}

3

Способы изображения

a− b ∗ (c/d + e/f)

4

Нотация

КореньРодительРебёнокПредкиПотомкиБратья

5

Бинарное дерево - конечно множество узлов, которое мо-жет быть либо пустым, либо состоять из корня с двумя дру-гими бинарными поддеревьями

6

Обход дерева - метод исследования дерева, при которомкаждый узел песещается ровно один раз.

• Прямой порядок: корень, все поддеревья начиная с само-го левого

• Обратный порядок

• Центрированный порядок (только для бинарного дерева)

7

АТД Дерево

1 interface Action<T> {2 void doAction(T o);3 }4

5 interface Tree<T> {6 T getData();7 void setData(T o);8 Tree<T> getLeftMostChild();9 Tree<T> getRightMostChild();10 Tree<T> getLeftSibling();11 void setLeftSibling(Tree<T> sibling);12 Tree<T> getRightSibling();13 void setRightSibling(Tree<T> sibling);14 Tree<T> getParent();

8

15 void setParent(Tree<T> parent);16 void insertChildAsRightMost(Tree<T> child);17 void preOrder(Action<T> a);18 void postOrder(Action<T> a);19 void levelPreOrder(Action<T> a);20 void descendantsPreOrder(Action<T> a);21 void parentsFromRoot(Action<T> a);22 }

Прямой обход

1 public void preOrder(Action<T> a) {2 a.doAction(data);3 Tree<T> child = leftMostChild;4 while(null != child) {5 child.preOrder(a);6 child = child.getRightSibling();7 }8 }

9

Класс действия для прохода

1 class PrintData implements Action<Integer> {2 public void doAction(Integer data) {3 try {4 wr.write(data + "␣");5 } catch (Exception e) {}6 }7 }

10

Представление деревьев с помощью массивов

A:1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 1 2 2 5 5 5 3 3

A[i]=j ⇒ j родитель i ; A[i]=0 ⇒ i корень11

Представление деревьев с помощью указателей

12

Реализация деревьев с помощью указателей

1 class PointerTree<T> implements Tree<T> {2 private T data;3 private Tree<T> parent;4 private Tree<T> leftMostChild;5 private Tree<T> rightMostChild;6 private Tree<T> leftSibling;7 private Tree<T> rightSibling;8 ...9 }

13

АТД Бинарное дерево

1 interface BinaryTree<T> {2 T getData();3 void setData(T o);4

5 BinaryTree<T> getParent();6 void setParent(BinaryTree<T> parent);7

8 void setLeft(BinaryTree<T> value);9 BinaryTree<T> getLeft();10

11 void setRight(BinaryTree<T> value);12 BinaryTree<T> getRight();13 }

14

Представление бинарных деревьев с помощью масси-вов

A:1 2 3 4 5 6 7a b c d e f g

A[i] является родителем для A[2*i] и A[2*i+1], где A[2*i] иA[2*i+1] левый и правый ребенок соответственно.

15

Реализация бинарных деревьев с помощью указателей

1 class BinaryTreeImpl<T> implements BinaryTree<T> {2 BinaryTree<T> parent;3 BinaryTree<T> left;4 BinaryTree<T> right;5 T data;6 }

16

Применение бинарных деревьев: кодирование и сжатие

Символ Код №1 Код №2a 000 000b 001 11c 010 01d 011 001e 100 10

bcd ⇒ 001 010 011 (Код №1) ⇒ 11 01 001 (Код №2)

17

Префиксный код в теории кодирования — код со словом пе-ременной длины, имеющий такое свойство: если в код входитслово a, то для любой непустой строки b слова ab в коде несуществует. Хотя префиксный код состоит из слов разнойдлины, эти слова можно записывать без разделительногосимвола.

Идея сжатия: использовать для чаще встречающихся сим-волов(слов) кодовые слова меньшей длинны, чем для режевстречающихся.

В задаче построения префиксного кода для символов опре-деленной строки даны символы строки и их вероятность.

Как построить?18

Алгоритм Хаффмана

19

Алгоритм Хаффмана

1. Пока ∃ >1 дерева в лесу

2. i = идекс дерева с наименьшим весом, j = идекс деревасо вторым наименьшим весом

3. Создаем новый узел с левым сыном i и правым сыном j

4. Заменяем в лесу i-е дерево новым деревом и ставим емувес как сумму весов i-го и j-го деревьев

5. Удаляем j-е дерево

20

Реализация леса для алгоритма Хаффмана

1 class HaffmanTree extends BinaryTreeImpl<String> {2 public double weight;3

4 public HaffmanTree(String str, double weight) {5 super(str);6 this.weight = weight;7 }8 }9

10 HaffmanTree[] forest = new HaffmanTree[MAX_COUNT];11 int forestLength = 0;

21

Основной цикл алгоритма Хаффмана

1 length=forestLength;2 while (length > 1) {3 swapInForest(getIndexWithMinWeight(), length-1);4 forestLength--;5 int min = getIndexWithMinWeight();6 HaffmanTree newTree = new HaffmanTree(7 forest[min].getData()+forest[length].getData(),8 forest[min].weight + forest[length].weight);9 newTree.setLeft(forest[min]);10 newTree.setRight(forest[length]);11 forest[min] = newTree;12 }

22

Список литературы

• Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Структуры данных иалгоритмы. - М. : Издательский дом “Вильямс”, 2000.сс.77-102.

• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгорит-мы: построение и анализ, 2-е издание. - М. : Издатель-ский дом “Вильямс”, 2007. сс.274-281, 459-467.

• Кнут Д, Искусство программирования, том 1. Основныеалгоритмы, 3-е изд. - М. : Издательский дома “Вильямс”,2000. сс.352-475.

23