алгебра підручник для 7 класу авт. бевз г. п. бевз в. г

АЛГЕБРА

Г. П. Бевз, В. Г. Бевз

Підручник для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів

Київ2015

УДКББК

Бевз Г. П. Алгебра : підруч. для 7 класу загальноосвіт.

навч. закл. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. — К.: Видавництво «Відродження», 2015. — 288 с.

3

Зміст

Дорогі семикласники! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ1 § 1. Вирази зі змінними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 2. Тотожні вирази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 § 3. Вирази зі степенями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 § 4. Властивості степенів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 § 5. Одночлени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Завдання для самостійної роботи . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Готуємося до тематичного оцінювання . . . . . . . . . . . 44 § 6. Многочлени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 § 7. Додавання і віднімання многочленів . . . . . . . . . . . 53 § 8. Множення многочлена на одночлен. . . . . . . . . . . . 60 § 9. Множення многочленів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Завдання для самостійної роботи . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Історичні відомості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Головне в розділі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Запитання для самоперевірки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Готуємося до тематичного оцінювання . . . . . . . . . . . 78

Розділ 2. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВНА МНОЖНИКИ

§ 10. Винесення спільного множника за дужки . . . . . 81 § 11. Спосіб групування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 § 12. Квадрат двочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 § 13. Різниця квадратів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Завдання для самостійної роботи . . . . . . . . . . . . . . . 109 Готуємося до тематичного оцінювання . . . . . . . . . . 110 § 14. Використання формул скороченого множення . 112 § 15. Різниця і сума кубів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 § 16. Застосування різних способів

розкладання многочленів на множники . . . . . . 126 Завдання для самостійної роботи . . . . . . . . . . . . . . . 134 Історичні відомості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Головне в розділі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Запитання для самоперевірки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Готуємося до тематичного оцінювання . . . . . . . . . . 138

РОЗДІЛ

1Алгебру можна роз глядати

як мову особливої властивості.М. В. Остроградський

ЦІЛІ ВИРАЗИ

РОЗДІЛ

2У математиків існує своя мова —

це формули.С. В. Ковалевська

РОЗКЛАДАННЯ МНОГО-ЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ

4

Розділ 3. ФУНКЦІЇ § 17. Що таке функція? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

§ 18. Графік функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 § 19. Лінійна функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Завдання для самостійної роботи . . . . . . . . . . . . . . . 170 Історичні відомості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Головне в розділі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Запитання для самоперевірки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Готуємося до тематичного оцінювання . . . . . . . . . . 174

Розділ 4. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ § 20. Загальні відомості про рівняння . . . . . . . . . . . . 177

§ 21. Лінійні рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 § 22. Розв’язування задач за допомогою рівнянь . . . 191 § 23. Рівняння з двома змінними . . . . . . . . . . . . . . . . 202 § 24. Графік лінійного рівняння з двома змінними . . 208 § 25. Системи рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 § 26. Спосіб підстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 § 27. Спосіб додавання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 § 28. Розв’язування задач складанням

системи рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Завдання для самостійної роботи . . . . . . . . . . . . . . . 243 Історичні відомості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Головне в розділі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Запитання для самоперевірки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Готуємося до тематичного оцінювання . . . . . . . . . . 248

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯЦілі вирази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Розкладання многочленів на множники . . . . . . . . . . 254Функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Рівняння і системи рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Задачі підвищеної складності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Відомості з курсу математики 5—6 класів . . . . . . . . . 263Відповіді та вказівки до вправ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Предметний покажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

РОЗДІЛ

3Немає жодної галузі людського

знання, ку ди не входили б поняття профункції та їх графічне зображення.

К. Ф. Лебединцев

ФУНКЦІЇ

РОЗДІЛ

4Система — сукупність

визначених елементів, між якими існує закономірний зв’язок чи взаємодія.

Із філософського словника

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯТА ЇХ СИСТЕМИ

5

Дорогі семикласники!

А л г е б р а — частина математики, яка разом з арифме-тикою та геометрією належить до найдавніших складових цієї науки. У попередніх класах на уроках матема тики ви опановували переважно знання з арифметики, засвоювали розширені відомості про числа та дії над ними. Тепер по-чинаєте ви вчати алгебру.

Знання алгебри необхідні не тільки тому, що вона дає найкращі методи розв’язування найважчих задач, а й тому, що в ній формується математична мова, яка вико-ристовується фахівцями різних галузей науки і техніки. Алгебра досить багата за змістом і дуже потрібна. Ви вивчатимете її до за кінчення школи, а дехто — й у вищих навчальних закладах.

Розпочати опанування курсу шкільної алгебри вам до-поможе цей підручник. Читаючи теоретичний матеріал, основну увагу звертайте на слова, надруковані курсивом. Це математичні терміни. Треба зрозуміти, що ці слова означають, і запам’ятати їх. Виділені жирним шрифтом речення — це правила або інші важливі математичні твердження. Їх треба пам’ятати й уміти застосовувати.

Кожен параграф підручника містить рубрику «Хочете знати ще більше?», у якій пропонуються додаткові відо-мості для учнів, котрі особливо цікавляться математикою. Відповідайте на запитання рубрики «Перевірте себе», і ви зможете закріп ити, узагальнити й систематизувати здо-буті знання, уміння та навички, одержані під час вивчен-ня теми. У рубриці «Виконаємо разом!» наведено зразки розв’язання найважливіших видів вправ. Пропонуємо ознайомитися з цими прикладами, перш ніж виконувати

домашні завдання (їх позначено ). Підручник містить вправи різних рівнів складності — від

усних до досить важких. Номери останніх позначено зіроч-кою (*), і пропонуються вони тим учням, які згодом навча-тимуться у класах з поглибленим вивченням математики. Добре підготуватися до тематичного оцінювання й отримати високі навчальні результати вам допоможуть матеріали відповідної рубрики. «Історичні відомості» сприятимуть розширенню кругозору кожного учня.

Бажаємо успіхів у навчанні!

РОЗДІЛ

1Алгебру можна роз глядати

як мову особливої властивості.М. В. Остроградський


7

§1. ВИРАЗИ ЗІ ЗМІННИМИ

Розглянемо, наприклад, рівняння:2

3(х – 5) + 3х = 17 – 2х.

Ліва і права його частини — вирази:2

3(х – 5) + 3х і 17 – 2х.

Кожен із цих виразів містить одну змінну х. А бувають вирази з двома, трьома і більшою кількістю змінних. Напри-клад, вираз 2ах + сх2 містить три змінні: а, с і х.

У математиці вирази зі змінними відіграють дуже важливу роль. Математична мова — це мова виразів. Невипадково знач-на частина шкільного курсу алгебри присвя чена ви вченню виразів.

Бувають вирази і без змінних, наприклад:

97 ⋅ 17, 3

5− : 45;

0,2 3 15:7

2(3,5 1,8)

⋅ −−

.

Такі вирази називають числовими.

В и р а з и в м а т е м а т и ц і відіграють приблизно таку саму роль, як слова в мові або як окремі цеглини в будинку. Математична мова — це мова виразів. Щоб опанувати її, треба навчитися оперувати матема-тичними виразами, розуміти їх зміст, умі ти записувати в зручному вигляді. Існують різні види математичних виразів.

У цьому розділі ви дізнаєтеся про:

• вирази зі змінними;

• вирази зі степенями;

• одночлени;

• многочлени;

• дії над многочленами.

Р о з д і л 18

Отже, вирази бувають числові та зі змінними (мал. 1). Далі ми розглядатимемо переважно вирази зі змінними.

ВИРАЗИ

ЧИСЛОВІ ЗІ ЗМІННИМИ

Мал. 1

Кожний числовий вираз (який не містить ділення на 0) має одне значення. А вираз зі змінними при різних значеннях цих змінних може набувати різних значень.

Для прикладу знайдемо значення виразу 3а + 5, якщо а дорівнює 1, 2, 3 і –4.

Якщо а = 1, то 3а + 5 = 3 ⋅ 1 + 5 = 8;якщо а = 2, то 3а + 5 = 3 ⋅ 2 + 5 = 11; якщо а = 3, то 3а + 5 = 3 ⋅ 3 + 5 = 14;якщо а = –4, то 3а + 5 = 3 ⋅ (–4) + 5 = –7.

Результати обчислень запишемо в таблицю.

а 1 2 3 –4

3а + 5 8 11 14 –7

Якщо вираз містить кілька змінних, наприклад 2а – 3x, то для знаходження його значення слід мати або надавати зна-чення для кожної змінної. Наприклад, якщо а = 7 і х = 5, то 2а – 3x = 2 ⋅ 7 – 3 ⋅ 5 = –1.

Якщо вираз не містить ніяких інших дій, крім дода вання, віднімання, множення, піднесення до степеня і ділення, його називають раціональним виразом. Прикла ди раціональних виразів:

2х + n, –2

3(х – 5),

2

a ca c

−+

, а + 1

x c+.

Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною, називають цілим. Два перші з наведених вище виразів — цілі, інші — дробові. У цьому розділі ми розгляда-тимемо тільки цілі вирази.

ЦІЛІ ВИРАЗИ 9

Вирази а + b, а – b, а ⋅ b, а : b — відповідно сума, різниця, добу ток і частка змінних а і b. Читають їх і так: «сума чисел а і b», «різниця чисел а і b» і т. д.

Математичними виразами вважають також окремі числа або змінні, наприклад: 2, 0, х, –а. А записи, що містять знаки рівності або нерівності, наприклад: 2 + 3 = 5, х < 5, — не вирази.

Хочете знати ще більше?

Раніше ви розрізняли числові вирази і буквені вирази, однак у сучасній математиці буквами позначають не тільки невідомі числа. Наприклад, буква π позначає відношення довжини кола до його діаметра; його наближене значення дорівнює 3,14. Тому вираз π + 2,5, хоч і містить букву π, є числовим виразом. Згодом ви озна-йомитеся з виразами f(х), P4, 2

5C , sinπ та багатьма іншими, які

містять букви, але не такі, замість яких можна підставляти числа. Тому далі ті букви, замість яких можна підставляти різні числа, ми назива-тимемо змінними, розуміючи, що їх значення можуть змінюватися. А вирази, які містять такі змінні, називатимемо виразами зі змінними.

Словом вираз в українській мові часто називають і висловлення (наприклад, крилатий вираз), і вияв настрою (вираз обличчя) тощо. У математиці цим словом коротко називають математичний вираз. А математичний вираз — це написані в якомуAнебудь зрозумілому порядку математичні символи, включаючи числа, букви, знаки дій, дужки, знаки відсотків, модуля тощо. Наприклад, старшокласники, крім інших, розглядають і такі вирази:

0 0

0

( ) ( )lim

x

f x x f xx∆ →

+ ∆ −∆

, 9

1

2

n

n=

∑ , 0

2a

x dx∫ .

Що вони означають, ви згодом дізнаєтесь.

1. Наведіть приклад числового виразу.2. Наведіть приклади виразів зі змінною, із двома змінними.3. Які вирази називають раціональними?4. Які вирази називають цілими?5. Наведіть приклад виразу з модулями.

Виконаємо разом!

1. Напишіть у вигляді виразу число, яке має:а) а сотень, b десятків і с одиниць; б) т тисяч і п десятків.✔ Р о з в ’ я з а н н я. а) 100а + 10b + с; б) 1000m + 10n.

Перевірте себе


2. Відомо, що a + b = 35. Знайдіть значення виразу 7а + 7 + 7b.✔ Р о з в ’ я з а н н я. Скористаємось переставним, сполуч-

ним і розподільним законами:7а + 7 + 7b = 7а + 7b + 7 = = (7а + 7b) + 7 = 7(а + b) + 7 = = 7 ⋅ 35 + 7 = 252.

3. Знайдіть периметр многокутника, зображеного на малюнку 2, якщо AB = а, BC = b, DE = с.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. Оскільки СD + ЕF + KР = AB, то

AB + ВС + СD + DЕ + ЕF + FK+ KР + РА = 2AВ + 2ВС + 2FK = = 2а + 2b + 2с.

Виконайте усно

1. Прочитайте вираз:

а) т + п; б) т – х; в) 1 + с; г) 2ах; ґ) 1

2(x + y); д)

2

3(х – 2).

2. Який із записів є виразом: а) 2ах – х2; б) а + b = b + а; в) 3х + 5 = 7; г) 2(3 – 0,7) – 3,5?

3. Який із виразів — числовий, а який — зі змінними: а) 37х – 2,4; б) 2,5; в) 48 – 3,7(2 – 3,5); г) 24 %?

4. Довжини сторін прямокутника — а і b. Що означа ють вирази: аb; 2(а + b); а + b?

Рівень А5. Запишіть у вигляді числового виразу: а) суму чисел 5 і 7; б) різницю чисел 8 і –3; в) добуток чисел 15 і –4; г) відношення чисел 12 і 4.

Знайдіть значення виразу (6—8).

6. а) 2

5⋅ 3

4 + 2,5; б) 2,7 –

3

10 ⋅ 7; в) 2

1

3 –

2

5 ⋅ 5

6.

7. а) 30,5 : 0,5 – 1976 : 32,5; б) 3,85 ⋅ 5 1

7 + 69,25 : 27,7.

8. а) 2 5

1,75: 13 8

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⋅ 16; б)

75 11 :2,5

8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

: 0,0625.

9. Напишіть суму, різницю, добуток і частку виразу: а) 2 і c; б) 2х і с – х.

Мал. 2


10. Напишіть: а) суму чисел а і x; б) добуток чисел k і n; в) півдобуток чисел c і d; г) півсуму чисел x і y; ґ) піврізницю чисел a і x; д) подвоєний добуток а і x.

11. Знайдіть значення виразу: а) 0,5x – 3, якщо x = 10; б) x + 9,7, якщо x = –10; в) x(x + 2), якщо x = 0,5; г) 3x(5 – x), якщо x = –2,5.

12. Знайдіть значення виразу: а) а + с – 3, якщо а = 2 і с = 7,5;

б) 2x – 3z + 1, якщо х = 1 і z = 1

3;

в) 2ху (x – y), якщо x = 2 і у = 5;

г) 3а (x + y – 4), якщо а = 1

3, х = 7 і у = 5.

13. Заповніть таблицю.

n –2 –1 0 1 2 3 4 5

5 – 2n


а 3 4 5 6 7 8 9

п 0 1 –1 2 –2 3 –3

2а + 5п

15. Для яких значень х значення виразів дорівнюють одне одному:

а) 2х + 5х і 2(х + 5); б) 1 + 3(х – 5) і (1 + 3х) – 5х?

16. Напишіть у вигляді виразу число, яке має: а) а десятків і 6 одиниць; б) 5 десятків і b одиниць; в) т десятків і п одиниць; г) а сотень і с одиниць.

Рівень Б17. Знайдіть суму і різницю значень виразів: а) 65 ⋅ 27 і 35 ⋅ 27; б) 3,6 ⋅ 103 і 2,4 ⋅ 103.


18. Запишіть у вигляді виразу: а) подвоєний добуток чисел 74 і 0,5; б) піврізницю чисел 38 і 7,6; в) добуток суми чисел 35 і 12 на їх різницю.

Знайдіть значення виразу (19—22).

19. а) 2,37 + 4,23 – 13,7 ⋅ 0,1; б) 8,21 ⋅ 3,14 – 8,11 ⋅ 3,14; в) (2,75 – 0,65 : 2,6) ⋅ 4 – 1; г) 5 – (0,8 + 15,15 : 7,5).

20. а) 3,18 – (0,13 + 4,27 : 1,4); б) 5,9 – (6,3 : 3,5 – 5,6);

в) 1 1 2 1

12 :5 10 15 15

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠; г)

2 3 1 2 31

5 10 20 3 4⎛ ⎞− + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

21. а) 2 2 4

1 : 1 53 3 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠; б)

7 1 3 1 1: 5:

8 2 4 3 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

22. а) 1

7,344 : 0,36 16 :5 0,5 0,2 0,08;4

⎛ ⎞+ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

б) 1 2

0,02 0,5 7,904 : 0,38 21:10 .2 9

⎛ ⎞⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠


а –2 0 3 5 5 6 10 –10

b 1 3 0 7 –2 2 7 –7

2а(а – b)


x

3х + 8 23 38 41 68 8 2 1 0

25. Для яких значень х дорівнюють одне одному зна чення виразів:

а) 3(х + 1) – 7 і 2х – 9; б) 8 – 2(3 – х) і 5 – 3(3 – 2х); в) 0,5x + 2(7 – х) і 1,5х – 5(х + 2);

г) 2

3х –

7

9 + 5 і х –

1

6(2 – 6x)?

26. Напишіть у вигляді виразу число, яке має: а) а одиниць, b десятків і с сотень; б) а одиниць, с сотень і d тисяч;


в) а одиниць, п десятих і т сотих; г) с десятків, а одиниць, п десятих і т сотих.

27*. Складіть формулу числа: а) кратного 5; б) кратного 5 і парного; в) кратного 5 і непарного; г) кратного 5 і 3 одночасно.

28*. Визначте периметри многокутників, зображених на малюнках 3—5.

Мал. 3 Мал. 4 Мал. 5

29. Відомо, що х – у = 12. Знайдіть значення виразу:

а) 1

3(x – y); б) 4y – 4x; в)

6

9

y x− −; г)

4( ) 8

15

x y y+ −.

30. Відомо, що а = –5, b – с = 4. Знайдіть значення виразу:

а) 3а + 2b – 2с; б) 10

ac ab−; в)

3 ( 1)

75

a b c− +; г)

6 6 6

5 4

c b a− +− .

31. Трицифрове число має а сотень, b десятків і с одиниць. За-пишіть у вигляді виразу суму даного числа і числа, запи-саного тими самими цифрами, але в зворотному порядку.

32. Розв’яжіть рівняння: а) (2х + 3) + (4х – 8) = 37; б) 5 – 3z – (3 – 4z) = 42; в) 0,7 + х – (–0,7 + 4х) = –37; г) –7,2 – (3,6 – 4,5x) = 2,7x.

33. Переможці інтерактивного конкурсу отримали для своїх шкіл 120 нетбуків. Скільки нетбуків дісталося кожній школі, якщо за перше місце вручили удвічі більше нет-буків, ніж за друге?

34. Довжини сторін трикутника пропорційні числам 9, 10 і 11. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см.

35. Знайдіть суму всіх дільників числа: а) 8; б) 18; в) 28; г) 38.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ


§ 2. ТОТОЖНІ ВИРАЗИ

Два вирази, відповідні значення яких рівні при будь9яких значеннях змінних, називають т о т о ж н о р і в н и м и, або т о т о ж н и м и .

Наприклад, тотожно рівними є вирази 5а + 8а і 13а, бо при кожному значенні змінної а ці вирази мають рівні значення (за розподільним законом множення). Тотожно рівними є також вирази 7х – 2х і 5х, с + 2с + 3с і 6с.

Два тотожно рівні вирази, сполучені знаком рів ності, утво-рюють тотожність.

Наприклад,5а + 8а = 13а, 2(х – 3) = 2х – 6.

Тотожністю є кожна рівність, що виражає зако ни дій:

а + b = b + а, а + (b + с) = (а + b) + с, аb = bа, а(bс) = (аb)с, а(b + с) = аb + ас.

Тотожностями також прийнято вважати правильні чи слові рівності, наприклад 32 + 42 = 52, 1 + 3 + 5 + 7 = 42. Однак ми говоритимемо тільки про тотожності зі змінними.

Заміну даного виразу іншим, тотожним йому, нази вають т о т о ж н и м п е р е т в о р е н н я м в и р а з у .

Кожна рівність — це твердження, яке може бути правиль-ним або неправильним. Говорячи «тотожність», розуміють, що вона правильна. Щоб переконатися в цьому, її доводять, як у геометрії теореми. Щоб довести правильність (істин ність) числової тотожності, наприклад 32 + 42 = 52, досить обчислити її ліву і праву частини і показати, що вони рівні:

32 + 42 = 9 + 16 = 25 і 52 = 25, отже, 32 + 42 = 52.

Тотожності, які містять змінні, найчастіше доводять, по-силаючись на закони дій і на вже відомі правила зведення подібних доданків, розкриття дужок тощо. Щоб довести тотожність, як правило, перетворюють одну з її частин (ліву або праву) так, щоб одержати іншу її частину.

!


Приклад 1. Доведіть тотожність:

9х – 18 + 3(1 – 2х) = 3х – 15.Д о в е д е н н я. Спростимо ліву частину тотожності.9х – 18 + 3(1 – 2х) = 9х – 18 + 3 – 6х = 9х – 6х – 18 + 3 = 3х – 15.Ліва частина доводжуваної рівності тотожно дорівнює

правій. Отже, тотожність доведено.Інколи для доведення тотожності доцільно перетворити

кожну з її частин.Приклад 2. Доведіть тотожність:

а – 3(3 + а) = 4(1 – а) – (13 – 2а).Д о в е д е н н я. Спростимо кожну частину тотожності.

а – 3(3 + а) = а – 9 – 3а = –2а – 9,4(1 – а) – (13 – 2а) = 4 – 4а – 13 + 2а = –2а – 9.

Права й ліва частини тотожності дорівнюють одному і тому самому виразу –2а – 9. Тотожність доведено.

Існують й інші способи доведення тотожностей. З ними ви ознайомитеся пізніше.


Кажучи, що якийсь вираз тотожний, обов’язково слід зазначити, якому саме виразу він тотожний. Ідеться про відношення тотожності двох виразів (як про відношення перпендикулярності прямих, від-ношення рівності кутів тощо).

Відношення тотожності виразів має такі в л а с т и в о с т і:1) кожний вираз тотожний самому собі;2) якщо вираз A тотожний виразу B, то й вираз B тотожний ви ра зу A;3) якщо вираз A тотожний виразу B, а вираз B тотожний виразу

С, то й вираз A тотожний виразу С.Подібні властивості мають також відношення рівності чисел або

фігур, паралельності прямих тощо.Якщо в тотожності замість змінної скрізь написати один і той

самий вираз, дістанемо нову тотожність. На приклад, якщо в то-тожності 4(а – 2) + 8 = 4а змінну а замінити виразом z + 3, то дістанемо рівність 4(z + 1) + 8 = 4(z + 3), яка також є тотожністю.

1. Які два вирази називають тотожно рівними?2. Що таке тотожність?3. Що таке «тотожне перетворення виразу»?4. Чи кожна рівність є тотожністю?




1. Доведіть тотожність 2а + 6 = 6 – 4(а – 5) + 2(3a – 10). ✔ Д о в е д е н н я. 6 – 4(а – 5) + 2(3а – 10) = 6 – 4а + 20 +

+ 6а – 20 = 2а + 6. Права частина рівності тотожно дорівнює лівій, тому ця рівність — тотожність.2. Чи завжди правильна рівність |а2|= а2?

✔ Р о з в ’ я з а н н я. Яким би не було значення а, значення виразу а2 додатне або дорівнює нулю. Модуль невід’ємного числа дорівнює цьому самому числу. Отже, рівність |а2|= а2 правильна для кожного значення а.


36. Чи тотожні вирази: а) 2а + а і 3а; б) х + 2х – 3х і 0; в) 8с – 3с і 5с; г) 4а + π і 5аπ; ґ) 7ху – 2х і 5у; д) –3с + 9 і 9 – 3с?

37. Які з виразів: 2х – у, у – 2х + 3, 4(у – 2х), –у + 2х тотожні виразу 2х – у?

Рівень А38. Чи тотожні вирази: а) р2р і р3; б) х + х2 + х3 + х4 і х5; в) а – с і с – а; г) –а2 і (–а)2; ґ) ах + ах + ах і 3ах; д) х – 2а і –2а + х?

39. Порівняйте відповідні значення виразів х2 і х, як що х = –1, х = 0 і х = 1. Чи тотожні ці вирази?

40. Запишіть у вигляді тотожності твердження: а) сума двох взаємно протилежних чисел дорівнює нулю; б) добуток двох взаємно обернених чисел дорівнює 1; в) добуток двох чисел дорівнює добутку протилежних

до них чисел.

Спростіть вираз (41—42).

41. а) 2с + 3с – 5; б) 3х – 4х + х; в) 12n – 17 – 2n; г) 19с – 3с + 8; ґ) 63 – 23р + 32р; д) 4х + 65 – 10х.

42. а) –4ас + 3а – 7а; б) 9 – 23х + 40x; в) –4 – 12 + 8ас.

Доведіть тотожність (43—45).

43. а) 5х + 3х + х = 9х; б) 5х – 3х – х = х; в) т + 2т + 3т = 6т.

44. а) 2х + 3х = х + 4х; б) –а + 7а = 7а – а; в) 5 – 2а – 3 = 2 – 2а.


45. а) 7х – 5х + х = 3х; б) 5х – 9х = 2х – 6х; в) а = 2а + 4а – 5а.

46. Запишіть у вигляді тотожності твердження: а) квадрати протилежних чисел — рівні; б) куби протилежних чисел — протилежні числа; в) квадрат будьRякого числа дорівнює квадрату модуля цього числа; г) модуль куба будьRякого числа дорівнює кубу модуля цього числа.

47. Складіть усі можливі тотожності з виразів: –p ⋅ р; –р ⋅ (–р); р2; –р2; –(–p)2; (–1)2 ⋅ р2.


48. а) 19x – 4(х + 5); б) 7(2 – 3x) + 21; в) 2,5 + 5(а – 1,5); г) 0,1x + 3(1 – х); ґ) –3(2у + 1) + 4; д) –2 – (7а – 5).

49. а) 35 + 7(х – 1); б) 2(с – 3) – 5(2 – 4с); в) –(9 – 2х) + 4х; г) –4 + 4(5 – х); ґ) –2(х + 5) + 3(х – 7); д) –13 – 3(5 – 6х).

50. а) 12(х +2) – (2х – 4); б) 1,5(5 – 2х) + 5(1,1 + х); в) –3(a – 2) + 7(2а – 1); г) 0,2(х + 2) – 3(2х – 0,4).


51. а) 3с –3(c –1) = 3; б) 2xy + 2(3 – xy) = 6; в) 15х = 9 – 3(3 – 5х); г) 1 – 2х = 5 – 2(х + 2).

52. а) 8х = 6 + 2(4х – 3); б) 5(2х + у) = 10(х + y) – 5y; в) 7 = 12х – (–7 + 12х); г) 3с – 3(1 + с – х) = 3х – 3.

53. Спростіть вираз і знайдіть його значення: а) 12(а – 3) + 3(а + 12), якщо а = 0,2; б) х2(2 – х) – 2(х2 – 3), якщо х = –0,3.

54. У тотожності 2х – 3х = 5х замініть змінну х ви разом а – b. Чи є утворена рівність тотожністю?

Рівень БСпростіть вираз (55—57).

55. а) 2x + 4 + 2(x + 4) + 4(x – 8); б) –(5a – c + 2) + 3a – c + 2; в) 0,5(a + b + c) – 0,5(a – b + c) – 0,5(a + b – c).

56. а) 5(12а – 23х) – 8(6x – 13a); б) –6(ас – 4) + 3(7 – 2ас).

57. а) 2(х2 – 3) – 4(17 – 4х2); б) 4(х2 – 3) – х(4х – 5); в) с(3 – 2с) + 3(с – 2с2); г) 2у – 3 – 2(а + у – 1).



58. а) 2(х – 3) – 5(х – 4) = 14 – 3x; б) 3(2a – 1) – 2(3a – 1) = –1; в) 5(0,5 + 2x) – 5(1,1 – x) = 15x – 3; г) 9(x – 1) – 3(2x – 3) = 3x.

59. а) 9х – 4(x + 5) – 1 = 7(х – 3) – 2x; б) –2(2a + 5) = 5(2a – 9) – 7(2a – 5).

60. а) 3(a + c + x) – 2(a + c – x) – (a – c + x) = 2(c + 2x); б) 2x + 2 = 2(x2 + x + 1) – (x2 – x + 1) – (x2 + x – 1); в) n – (1 – (n – (1 – n))) = 3n – 2.

61. Чи тотожні вирази: а) 1 – (1 – (1 – c)) і 1 – с; б) 0,5(x + y) – 0,5(x – y) – y і 0; в) a – b + 1 – 2(b + 1) і 2(a – b – 1) – (a + b – 1)?


x –2 –1 0 1 2

х5 – 5х3 + 5х

Чи тотожні вирази х5 – 5х3 + 5х і х?

63. Складіть усі можливі тотожності з виразів: а) ас(–х), ах(–с), сх(–а); б) асх, а(–с)(–х), (–a)(–c)x, (–a)(–х)c.


а –2 –1 0 1 2 3 4 5

2(х2 – 4) + 6

2х2 – 2

Чи тотожні вирази 2(х2 – 4) + 6 і 2х2 – 2?


а 0 1 2 3 4 5 100 100 000

|a| + 1

|a + 1|

Чи правильна тотожність |a| + 1 = |a + 1|?


66. Чи є тотожністю рівність: а) |х + 3| = х + 3; б) |х2 + 5| = х2 + 5; в) |a – b| ⋅ |b – a| = (a – b)2; г) |х – y| = х – y; ґ) |a + b| = |a| + |b|; д) |x| – |y| = |y| – |x|?

67. Замініть у тотожності х2 – 2 = 2(х2 – 1) – х2 змінну хвиразом: а) с + 3; б) ac – 1; в) х + 5.

68. У тотожності 5х + 3x = 8х замініть змінну x виразом a2 – ac + c2. Чи є тотожністю одержана рівність?

69. Довжина прямокутника дорівнює а см, а ширина — на c см менша. Запишіть у вигляді виразу периметр пря-мокутника.

70. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а см, а бічна сторона — на 2 см довша. Чому дорівнює периметр три-кутника?

71. Із 150 випускників економічного коледжу 10 % було на-правлено на роботу в банки, 20 % — у заклади торгівлі, а 30 % продовжили навчання в університеті. Скільки випускників ще не працевлаштовано?

72. Укажіть координати точок, відмічених на малюнку 6. Знайдіть координати середини кожної зі сторін трикут-ника АВС.

Мал. 6

73. Розв’яжіть рівняння: а) 31(2 – х) = 93; б) 15(1 – 2х) = 45; в) 8,5(3 – 4x) = 17; г) 4,7(3 – 5х) = 94; ґ) 44 = 4(2 + 3х); д) 26 = 2(10 – 3x).



§ 3. ВИРАЗИ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

В алгебрі часто доводиться мати справу з виразами, що містять степені чисел чи змінних.

С т е п е н е м називають добуток кількох рів них множників.

Наприклад,

3 ⋅ 3 — другий степінь (або квадрат) числа 3;ххх — третій степінь (або куб) змінної х;сссссс — шостий степінь змінної с.

Ці степені позначають: 3 ⋅ 3 = 32, ххх = х3, сссссс = с6.Піднести число 2 до десятого степеня — це означає пере-

множити десять двійок:

210 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2.

Отже, 210 = 1024. Тут 2 — основа степеня, 10 — показник степеня, а 1024, або 210, — десятий степінь числа 2.

Число, яке підносять до степеня, називають о с н о в о ю с т е п е н я. Число, яке показує, до якого степеня підносять основу, називають п о к а з н и к о м с т е п е н я.

• аn — степінь;• а — основа степеня;• n — показник степеня.

Степені а2 і а3 називають квадратом і кубом тому, що для знаходження площі квадрата довжину його сторони підносять до другого степеня, а для знаходження об’єму куба довжину його ребра підносять до третього степеня.

Першим степенем будьRякого числа домовилися вва жати саме це число: а1 — те саме, що й а. Показник сте пеня 1 не прийнято писати.


а1 = a,

разів

... ,n

n

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

де n — натуральне число, n ≠ 1. Основою степеня може бути і дробове число, і від’ємне.

Наприклад,4

2 2 2 2 2 16,

3 3 3 3 3 81⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠(–0,2)3 = (–0,2) ⋅ (–0,2) ⋅ (–0,2) = –0,008.

Щоб піднести до степеня від’ємне число, тре ба під-нести до такого самого степеня модуль цього числа і перед результатом поставити знак «плюс», якщо показник степеня парний, або «мінус», — якщо показник степеня непарний.

Якщо а ≥ 0, то аn ≥ 0.

Якщо а < 0, то а2n > 0 і а2n–1 < 0.

Не плутайте слова «степінь» і «ступінь». Додавання і від німання вважаються діями першого ступеня, множення і ділення — другого ступеня, піднесення до степеня — дія третього ступеня. Обчислюючи значення виразу, спочат ку виконують дії вищого ступеня, потім — нижчого. Дії одного й того самого ступеня виконують у тому поряд ку, в якому вони записані. Але коли вираз містить ділення на добуток, то спочатку знаходять значення добутку. Наприклад якщо x = 7, y = 5, то 70 : xy = 70 : 35 = 2. Якщо вираз містить дужки, спочатку знаходять значення виразу в дужках.

Приклад. Знайдіть значення виразу

5а2 + 27 : (а – 1)3, якщо а = –2.Р о з в ’ я з а н н я . Підставимо замість а його значення –2

та виконаємо дії відповідно до їх ступеня.П е р ш и й с п о с і б . 5 ⋅ (–2)2 + 27 : (–3)3 = 5 ⋅ 4 + 27 : (–27) =

= 20 – 1 = 19.Д р у г и й с п о с і б . (–2)2 = 4, (–3)3 = –27, 5 ⋅ 4 = 20,

27 : (–27) = –1. Отже, 5 ⋅ (–2)2 + 27 ⋅ (–3)3 = 20 – 1 = 19.За допомогою калькулятора можна підносити число до

степеня, помноживши це число на себе кілька разів. Напри-клад, п’ятий степінь числа 3,7 можна обчис лити за такою програмою:

!


3,7 × 3,7 × 3,7 × 3,7 × 3,7 =

або коротше:

3,7 × = = = = .

Калькулятори, які мають клавіші F і yx , да ють змогу спростити обчислення — 20Rй степінь числа 1,2 можна об-числювати за такою програмою: 1,2 F yx 20 = .

У математиці, фізиці, астрономії, біології та інших науках часто використовуються степені числа 10 для запису чисел у стандартному вигляді.

БудьRяке число А, більше за 10, можна записати у ви гляді A = а ⋅ 10n, де 1 ≤ a < 10 і n — натуральне число. Такий запис числа А називається стандартним, а показник п називають порядком числа A.

Наприклад, в астрономії за одиницю довжини приймається 1 парсек (скорочено — пк).

1 пк ≈ 30 800 000 000 000 км = 3,08 ⋅ 1013 км.


Ви вже знаєте, як записувати в стандартному вигляді великі числа. Щоб записати в стандартному вигляді малі додатні числа, наприклад, швидкість руху равлика (0,000003 м/с), використовують степені числа 10 із цілими від’ємними показниками. Покажемо, як слід розуміти степені числа 10 із цілим показником:

1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 || || || || || || || ||

103 102 101 100 10–1 10–2 10–3 10–4.А взагалі вважають, що 10–n, де n — число натуральне, позначає

десятковий дріб 0,0000...01 з n десятковими знаками.Наприклад, 10–5 = 0,00001, 10–10 = 0,0000000001.Використовуючи степені числа 10 із цілим показником, у

стандарт ному вигляді можна записати будьAяке число:

А = а ⋅ 10n, де 1 ≤ а < 10 і n — ціле число.

Швидкість руху равлика в стандартному вигляді записують так:

0,000003 м/с = 3 ⋅ 10–6м/с.

Якщо число А велике, його порядок — додатне число, а якщо до-датне число А дуже мале, то його порядок — від’ємне число.


1. Що таке степінь числа?2. Що таке квадрат числа, куб числа?3. Що таке основа степеня, показник степеня?4. Як інакше називають другий і третій степені?5. Чи одне й те саме означають слова степінь і сту пінь?6. Що таке стандартний вигляд числа? А порядок числа?


1. Запишіть число 6,7 ⋅ 108 без показника степеня.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. 6,7 ⋅ 108 = 6,7 ⋅ 100 000 000 = 670 000 000.

2. Запишіть число 2 000 000 000 в стандартному вигляді.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. 2 000 000 000 = 2 ⋅ 1 000 000 000 = 2 ⋅ 109.

3. Знайдіть значення виразу: 3x2 – 2x3, якщо x = –0,2.✔ Р о з в ’ я з а н н я. Якщо х = –0,2, то 3 ⋅ (–0,2)2 – 2 ⋅ (–0,2)3 == 3 ⋅ 0,04 – 2 ⋅ (–0,008) = 0,12 + 0,016 = 0,136.

4. Доведіть, що:а) 11111 + 11111 ділиться на 2;б) 1010 + 1020 + 1030 ділиться на 3.✔ Д о в е д е н н я. а) Останні цифри чисел 11111 і 11111 —

одиниці, а тому остання цифра суми цих чисел — двійка. Отже, число 11111 + 11111 ділиться на 2.

б) Кожний із доданків — це число, яке можна записати у вигляді одиниці з наступними нулями. Сума цифр трьох та-ких чисел дорівнює трьом, тому самå число ділиться на три.5. Скільки коренів має рівняння х5 = 0; х5 = 1; х4 = 1?

✔ Р о з в ’ я з а н н я. Рівняння х5 = 0 має тільки один корінь: х = 0, оскільки 05 = 0 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 0 = 0, і не існує такого числа х, відмінного від 0, щоб виконувалась рівність ххххх = 0.

Так само можна переконатися, що рівняння х5 = 1 має тільки один корінь х = 1, а рівняння х4 = 1 має два корені: х = 1 і х = –1.6. Запишіть у стандартному вигляді число:

а) 0,00000005; б) 0,00123.✔ Р о з в ’ я з а н н я. а) 0,00000005 = 5 · 10–8; б) 0,00123 = 1,23 · 10–3.




74. Знайдіть квадрати чисел: 9; 10; 11; 20; 30; 40; 500; 0,2; 0,03.

75. Знайдіть куби чисел:

1; 2; 3; 10; 100; 0,1; 0,01; 1

3− ;

11

2− ;

2

3;

1

4.

76. Знайдіть четвертий степінь чисел:

1, 2, 3, –1, –2, –3, 1

2,

1

3,

2

3,

1

2− ,

3

2− ,

11

2− .

77. Прочитайте вираз: а) a2 + b2; б) (a + b)2; в) (х + у)3; г) a2 – b2; ґ) (a – b)2.

78. Розв’яжіть рівняння: а) x7 = 0; б) x8 = 0; в) 15x6 = 0; г) x8 = 1; ґ) x3 = 1.

Рівень АОбчисліть (79—82).

79. a) 52, 25, 103, 1003, 252; б) (0,2)3, (0,3)2, (0,04)3; в) 1,22, 2,32, 3,13, 1,0072; г) (–2)4, (–13)2, (–2)5; ґ) (–3)4, –(34), –34, (–0,5)2, –0,52, (–1)150, (–1)105.

80. а) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62; б) 32 – 42 + 52 – 62 + 72; в) (–2)2 + (–2)3 + (–2)4 + (–2)5 + (–2)6.

81. а) (0,3)3 ⋅ 104; б) 11, 2 : 102; в) 2400 ⋅ (0,1)4; г) (–0,1)5 : ( 0,01)2; ґ) –0,24 ⋅ (–1)15; д) (–1)12 : ( 0,5)3.

82. а) 2 ⋅ 62; б) 3

12

4⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) 5 ⋅ 2

3

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) –32 ⋅ 2; ґ) (5,6 – 4,5)3 : 0,1.

83. Стародавня єгипетська задача. У се ми людей по сім кі шок, кожна кішка з’їдає по сім мишей, кожна миша з’їдає по сім колосків, із кожного колоска може вирости по сім мірок ячменю. Які числа цього ряду та їх сума?

84. Чи правильна рівність:

а) 32 + 42 = 52; б) 152 + 162 = 172; в) 352 + 362 = 372; г) 33 + 32 = 62; ґ) 43 + 62 = 102; д) 972 – 962 = 97 + 96?


85. Доведіть, що:

а) 102 + 112 + 122= 132 + 142; б) 13 + 23 + 33 + ... + 93 = 452.

86. Обчисліть площу квадрата, сторона якого дорівнює: а) 3 см; б) 10 м; в) 8,5 км.

87. Подайте число у вигляді степеня з показником, більшим за 1, і найменшою за модулем основою:

а) 125; б) –32; в) 2401; г) 243;

ґ) 0,729; д) 0,4096; е) 8

27− ; є)

462

625.

88. Знайдіть значення виразу: а) (–7)2 – (–1)9 ⋅ 34; б) (0,02 + 0,28)4 ⋅ 105;

в) 63 – 2

2 14 6

5 4⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) (–1)24 : 6

1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ (–3)5;

ґ) (5,6 – 4,5)3 : 0,1; д) (0,32 + 0,42) – 0,52.

89. Знайдіть значення виразу:

а) 3а4 – 2а2, якщо а = –3; б) 5с3 – 2с2 + с, якщо с = 0,5; в) п3 + (п – 3)2, якщо п = –2; г) (2m – 1)2 : m4, якщо т = –0,1.

Розв’яжіть рівняння (90—91).

90. а) 5x4 = 5; б) 4х2 = х2; в) 16(х + 5)2 = 0; г) –2х3 = 2.

91. а) x3 + 1 = 0; б) x6 – 1 = 0; в) 2x7 = 2; г) x3 – 6 = 2.

92. Запишіть у стандартному вигляді значення величин: швидкість світла — 300 000 км/с; маса Землі — 6 000 000 000 000 000 000 000 т; маса Місяця — 73 500 000 000 000 000 000 т; об’єм Землі — 1 083 000 000 000 км3.

93. Запишіть у стандартному вигляді числа: а) 20 000; б) 7 530 000; в) 10 500 000; г) 909 900 000;

ґ) 33 000; д) 105; е) 1 000 000 000; є) 12345,67.


94. Запишіть у звичайному вигляді числа:

а) 5,2 ⋅ 104; б) 1,31 ⋅ 103; в) 7,1 ⋅ 105; г) 4,44 ⋅ 102; ґ) 2,05 ⋅ 104; д) 3,125 ⋅ 106; е) 9 ⋅ 109; є) 6,75 ⋅ 105.

Рівень Б95. Чи правильна рівність: а) 22 + 22 + 62 + 102 = 122; б) 22 + 42 + 62 + 132 = 152; в) 22 + 62 + 82 + 252 = 272; г) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2?96. Обчисліть значення виразу: а) 3,24 ⋅ 102; б) (34+ 19)5; в) (0,875 + 0,53)10;

г) (–0,3)4 ⋅ 103; ґ) 3 2

2 3

3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; д) (44 – 35 – 13)12.

97. Спростіть вираз: а) (35 – 25)4; б) 4000 ⋅ 0,23; в) (0,33 – 0,017)6;

г) (–1,1)3 : 0,11; ґ) (27 – 53 – 4)15; д) 5 3

1 21

2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

98. Знайдіть значення виразу: а) (4х2 – у2)2 : (2x – у)2, якщо х = 0,6, у = –0,2; б) 2x5 + (x + 2y)3 + y2, якщо x = –2, y = 3; в) ((1 + b)2 – (a – 1)2)3– ( a + b)2, якщо a = 1,1, b = 0,1; г) (2т – п)2 – (4m2 + п2 – 4тп), якщо т = 1, 3, п = 2,5.

99. Заповніть таблиці.

а)

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

2х2

б)

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

(2х)2

100. Складіть таблицю значень виразу х4 – 3х3 + 2х2 для х, що дорівнює: –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.

101. Обчисліть, користуючись калькулятором: а) 3,45; б) 5,754 + 57; в) 47,2 ⋅ 2,843; г) 3,7 + 2,74.


102. Обчисліть і порівняйте: а) суму квадратів чисел 3 і 5 та квадрат їх суми; б) різницю квадратів чисел 10 і 6 та квадрат їх різниці.

103. Обчисліть і порівняйте: а) суму кубів чисел 3 і 2 та куб їх суми; б) різницю кубів чисел 5 і 2 та куб їх різниці.

104. На скільки: а) квадрат півсуми чисел 2, 3, 4 і 5 більший за півсуму їх квадратів; б) куб півсуми чисел 2, 3, 4 і 5 більший за півсуму їх кубів?

105. На картині художника М. П. БогдановаRБєльського «Усна лічба» зображено урок математики в школі XIX ст. Учитель запропонував школярам усно скоротити дріб

2 2 2 2 210 11 12 13 14

365

+ + + +.

Спробуйте виконати це завдання і ви.


106. Значення якого з трьох даних виразів найбільше, а якого — найменше:

а) 2 27 3

2

+,

7 3,

2

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

7 3

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

б) 2 27 5

2

−,

27 5

2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 2

7 5

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

в) 3 35 3

2

+,

35 3

2

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, 3 3

5 3

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

?

107. Доведіть, що рівняння не має розв’язків: а) х4 + 3 = 0; б) 3х2 + 8 = 0; в) (у – 3)2 + 1 = 0.


108. а) (x – 5)3 = 1; б) (х2 + 1)2 = 0; в) (х2 + 1)3 = 8; г) (2х – 3)5 = 1; ґ) (8 – 3z)3 = –1; д) (x4 + 3)2 =1.

109. а) 2(у2 – 1) = 0; б) 3(z4 – 1) = 0; в) 0,5(х3 + 2) = 1; г) 0,2(1 + z3) = 0,4; ґ) (х + 2)3 = –1; д) (5 – у)7 + 2 = 1.

110. Запишіть у стандартному вигляді числа: а) 287 287 000; 17 530 000; 220 500; 90,99; б) 0,0003; 0,235; 0,05; 0,0000000041;

в) 1

2;

1

20;

1

200;

3

5000;

73

500 000;

999

1 000 000 000.

111. Запишіть у звичайному вигляді числа:

а) 1,2 ⋅ 103; 3,47 ⋅ 105; 7,3 ⋅ 104; 14,23 ⋅ 105; б) 2 ⋅ 10–4; 1,1 ⋅ 10–3; 9 ⋅ 10–5; 6,75 ⋅ 10–6.

112*. Доведіть, що: а) 1012 + 2 ділиться на 3; б) 1 +1010 + 10100 ділиться на 3; в) 1015 + 8 ділиться на 9; г) 1010 –1 ділиться на 9.

113*. Доведіть, що для будьRякого натурального п значення дробу є натуральним числом:

а) 6 1

5

n −; б)

10 5

3

n +; в)

10 1

9

n −; г)

43 4

5

n +.

114*. Замініть букви цифрами так, щоб була правильною рівність:

а) куб = ее; б) степінь = еее.


115. Чи тотожні вирази: а) 2а + а + а і 4а; б) х + х + х і х3; в) 2b – 2a і –2(а – b); г) 5 + 5 + 5x i 15x; ґ) 3у + 2у + у – 6 і у; д) а3 – а і а2?

116. За якої умови правильна пропорція: a) 3 : x = x : 27; б) y : 4 = 16 : y2?

117. Якщо відкрити меншу лиш трубу — басейн наповниться водою за добу;

коли ж відкрити разом дві труби, він вщерть наповниться за чверть доби.

Як довго наповнявся б він водою одною тільки більшою трубою?

118. Бічна сторона рівнобедреного трикутника на 3 см довша за основу. Знайдіть їх довжини, якщо пе риметр трикутника: а) 54 см; б) 6 см; в) а см.

§4. ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНІВ

Далі розглянемо найважливіші тотожні перетворення ви-разів зі степенями. Почнемо з основної властивості сте пеня.

Яке б не було число а і натуральні показники степенів m і n, завжди

ат ⋅ an = а т + n.Д о в е д е н н я.

ат ⋅ an = разів разів ( ) разів

... ... ...m n m n

aa a aa a aa a+

⋅ = = ат+n.

Тотожність ат ⋅ ап = ат+п називають основною власти вістю степеня. З неї випливає, що при множенні степенів одного й того самого числа показники степенів додають, а основу лишають ту саму.


!


Наприклад,

32 ⋅ 35 = 37; 1,34 ⋅ 1,35 = 1,39; х3х5 = х8.

Яке б не було число а (а ≠ 0) і натуральні показники степеня т і п (т > п), завжди

ат: аn = ат–п.

Д о в е д е н н я. За правилом множення степенів

ат–n ⋅ an = ат–n+n = ат, тому ат : an = ат–n.

Щоб поділити степені з однаковими основами (за умови, що показник степеня діленого більший від показника степеня дільника), потрібно основу залишити без змін, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника.

Наприклад,

75 : 73 = 72; (–13)11 : (–13)7 = (–13)4.

Яке б не було число а і натуральні показники степеня т і п, завжди

(an)m

= anm. Д о в е д е н н я.

(an)m

= ...

разів

...

m

n n n n n n

m

a a a a + + +⋅ ⋅ ⋅ = = anm.

Щоб піднести степінь до степеня, потрібно показники степенів перемножити, а основу за лишити ту саму.

Наприклад,

(23)4 = 212; (0,72)5 = 0,710; (с7)3 = с21.

Для будьPяких чисел а і b та натурального по-казника степеня п

(ab)n = an ⋅ bn.Д о в е д е н н я.

(ab)n = разів

...n

ab ab ab⋅ ⋅ ⋅ = разів разів

... ...nn

aa a bb b⋅ = an ⋅ bn.

Отже,nPй степінь добутку дорівнює добутку nPх степенів

множників.

!

!

!


Наприклад,

(2 ⋅ 3)4 = 24⋅ 34; (3m)6 = 36m6.

Можна довести (спробуйте зробити це самостійно), що для будьRяких чисел а і b (b ≠ 0) і натурального показника степеня n правильна рівність:

n n

n

a a

b b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠.

Отже, за вказаних умов:

am ⋅ an = am+n; ат : an = ат–n; (an)m

= anm;

(ab)n = anbn; n n

n

a a

b b

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠.


Розглянуті властивості степенів з натуральними показниками можна поширити і на степені з цілими від’ємними показниками. Наприклад,

10–5 ⋅ 10–3 = 10–5 + (–3) = 10–8;(10–2)–3 = 106.

Використовуючи властивості степенів з цілими показниками, можна спростити виконання дій з будьAякими числами, записаними у стандарт ному вигляді. Знайдемо, для прикладу, добуток і частку чисел а і b, якщо а = 3,5 ⋅ 107, b = 4 ⋅10–3.

а ⋅ b = 3,5 ⋅ 107 ⋅ 4 ⋅10–3 = 3,5 ⋅ 4 ⋅ 107 ⋅ 10–3 = 14 ⋅ 104 = 1,4 ⋅ 105; а : b = (3,5 ⋅ 107) : (4 ⋅ 10–3) = (3,5 : 4) ⋅ (107 : 10–3) =

= 0,875 ⋅ 107–(–3) = 0,875 ⋅ 1010 = 8,75 ⋅ 109.

1. Сформулюйте основну властивість степенів.2. Сформулюйте правило піднесення до степеня добутку.3. Як підносити до степеня степінь?4. Як підносити до степеня дріб?


1. Обчисліть: а) 0,510 ⋅ 45; б) 0,28 ⋅ 56; в) 95 ⋅ 8

1

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. а) 0,510 ⋅ 45 = (0,52)5 ⋅ 45 = (0,25 ⋅ 4)5 = 15 = 1;

б) 0,28 ⋅ 56= 0,22 ⋅ 0,26 ⋅ 56 = 0,04 ⋅ (0,2 ⋅ 5)6 = 0,04 ⋅ 16 = 0,04;

!



в) 95 ⋅8

1

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 95 ⋅ 4

1

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9 ⋅ 94 ⋅ 4

1

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9 ⋅ 14 = 9.

В і д п о в і д ь. а) 1; б) 0,04; в) 9.

2. Розв’яжіть рівняння 2х2 ⋅ х = 2.✔ Р о з в ’ я з а н н я. Поділимо обидві частини рівняння

на 2 і подамо ліву частину у ви гляді степеня з основою х:

2х2 ⋅ х = 2, х2 ⋅ х = 1, х3 = 1, звідcи х = 1.

В і д п о в і д ь. х = 1.3. Запишіть у вигляді степеня вираз:

а) а5 ⋅ а3 ⋅ а ; б) (х – 2у)(х – 2у)2; в) 81 ⋅ 35 ⋅ 27.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. а) а5 ⋅ а3 ⋅ а = а5+3+1 = а9;

б) (х – 2у)(х – 2у)2 = (х – 2у)1+2 = (х – 2у)3;

в) 81 ⋅ 35 ⋅ 27 = 34 ⋅ 35 ⋅ 33 = 34+5+3 = 312.

В і д п о в і д ь. а) а9; б) (х – 2у)3; в) 312.4. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел

a = 1,2 ⋅ 105 і с = 2 ⋅ 104.

✔ Р о з в’яз а н н я. a + c = 1,2 ⋅ 105+ 2 ⋅ 104 == 12 ⋅ 104 + 2 ⋅ 104 = 14 ⋅ 104 = 1,4 ⋅ 105;a – c = 1,2 ⋅ 105– 2 ⋅ 104 = 12 ⋅ 104 – 2 ⋅ 104 = 10 ⋅ 104 = 105;a ⋅ c = 1,2 ⋅ 105 ⋅ 2 ⋅ 104 = 1,2 ⋅ 2 ⋅ 105 ⋅ 104 = 2,4 ⋅ 109;a : c = (1,2 ⋅ 105 ) : (2 ⋅ 104) = (1,2 : 2) ⋅ (105 : 104) = 0,6 ⋅ 10 = 6.

В і д п о в і д ь. 1,4 ⋅ 105; 105; 2,4 ⋅ 109; 6.



119. а) 35 ⋅ 37; б) 124 : 123; в) 4 3

1 1

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; г) (–4)2 ⋅ (–4)3.

120. а) х5 ⋅ х8; б) m3 ⋅ m7; в) f 4 : f; г) c3 ⋅ c4 ⋅ c5; ґ) z2 ⋅ z5 ⋅ z.

121. Подайте вираз у вигляді степеня:

а) 625; б) (x3)5; в) x2 ⋅ y2; г) 8 ⋅ 33; ґ) 64 ⋅ 49; д) x4 ⋅ y6.

122. Розв’яжіть рівняння: а) z3z = 0; б) 4х5х6 = 0; в) y5y2 = 1; г) xx3 = 1.


Рівень АПодайте добуток у вигляді степеня (123—124).

123. а) 313 ⋅ 36; б) 18 ⋅ 1814; в) (–11)5 ⋅ (–11)4;

г) 2 7

1 1

6 6⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; ґ) 10

2 21 1

3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; д) 9 16

2 2

5 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

е) 0,55 ⋅ 0,55; є) (–1,2) ⋅ (–1,2).

124. а) а5 ⋅ а3; б) x4 ⋅ x4; в) т ⋅ т8; г) х ⋅ х2 ⋅ х3; ґ) у7 ⋅ у ⋅ у7 ⋅ у; д) z ⋅ z2 ⋅ z3 ⋅ z5; e) (а + b)2 ⋅ (а + b)5; є) (х – у) ⋅ (х – у).

125. Спростіть вираз: а) 45 ⋅ 47; б) а7 ⋅ а4; в) x2 ⋅ x4 ⋅ x5; г) 0,25 ⋅ 0,23; ґ) c10 : c8; д) c8 ⋅ c3 ⋅ c; е) 138 : 137; є) n5 ⋅ n12; Ж) a5 ⋅ a7 ⋅ a4.

Виконайте піднесення до степеня (126—127).

126. а) ( )32a ; б) ( )23x ; в) ( )27y ; г) ( )65x− ; ґ) ( )( )43a− ;

д) ( )( )73b− ; е) ( )

345x⎛ ⎞⎝ ⎠ ; є) ( )33x− ; ж) ( )94a− ; з) ( )( )94

x− .

127. а) ( )38m ; б) ( )410x ; в) ( )5 na ; г) ( )8mz .

128. Знайдіть: а) другий, третій і четвертий степені числа 24; б) другий, третій і п’ятий степені числа (–2)3.

129. Додатне чи від’ємне значення виразу: а) (–5)21 : (–5)13; б) (–8)8 ⋅ (–8)10; в) (–3)5 ⋅ (–3)7 ⋅ (–3)4 ?

Порівняйте значення виразів (130—131).

130. а) (–2)3 ⋅ (–2)10 і (–2)8; б) (–3)7: (–3)5 і (–3)75; в) (–1)5 ⋅ (–10)35 і (–100)91; г) (–2,5)32 : (–7)31 і (–2,5) : (–7).

131. а) (–6)21 ⋅ (–6) і (–6)30; б) (–4)12 : (–4)7 і (–4)16; в) (–2)9 ⋅ (–2)15 і (–2)25; г) (–5)6 ⋅ (–5)5 і (–5)13.

132. Обчисліть значення виразу: а) 213 ⋅ 0,513; б) 0,518 ⋅ 218; в) 257 ⋅ 0,047; г) 533 ⋅ 0,233.

133. Знайдіть значення виразу: а) 27 ⋅ 57; б) 0,2510 ⋅ 410; в) (–8)11 ⋅ 0,12511;


г) 0,28 ⋅ 0,58; ґ) 66 ⋅ 6

1

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; д) 16 16

3 51

5 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

134. Чи має розв’язки рівняння: а) x2x4 = –1; б) x3x6 = –1; в) х7⋅ 0 = 0; г) 0 ⋅ х8 = 1?

135. Розв’яжіть рівняння: а) х8⋅ х7 = 1; б) у4 ⋅ у5 = –1; в) x2 ⋅ x2 = 1; г) z3 ⋅ z2 ⋅ z8 = –1.

136. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел: а) 2,4 ⋅ 105 i 3 ⋅ 105; б) 1,5 ⋅ 107 і 5 ⋅ 107; в) 6,4 ⋅ 104 і 3,2 ⋅ 104.

137. Виконайте дії: а) 2,5 ⋅ 105 + 3,3 ⋅ 105; б) 7,7 ⋅ 107 – 5 ⋅ 107; в) (6,4 ⋅ 104) : (3,2 ⋅ 104); г) (6,4 ⋅ 103) ⋅ (2 ⋅ 103).

Рівень БОбчисліть (138—140).

138. a) 0,512 ⋅ 213; б) 0,121 ⋅ 1020; в) 0,241 ⋅ (–0,5)40; г) 527 ⋅ 0,230; ґ) (–0,25)15 ⋅ 416; д) 431 ⋅ 0,2530.

139. a) 12 14

5 7

7 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; б) 715 ⋅ 16

1

7⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; в) 10 11

2 3

3 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

г) (–0,4)8 ⋅ 34 ⋅ (–2,5)8; ґ) 0,27 ⋅ 0,32 ⋅ 57; д) 2510 ⋅ 28 ⋅ 0,0410.

140. a) 520 ⋅ 0,218; б) 0,0412 ⋅ 2511; в) (–2,5)17 ⋅ (0,4)19;

г) 1026 ⋅ 0,128; ґ)35

1

8⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ (–8)37; д) (–1,25)22 ⋅ (–0,8)23.

Подайте у вигляді степеня добуток (141—143).

141. а) a5 ⋅ ( )72a ; б) ( ) ( )3 42 3x x⋅ ; в) y ⋅ ( )25y ⋅ y6;

г) ( )23 5b b⋅ ; ґ) ( )38x x⋅ ⋅ x3; д) ( ) ( )3 52 3a a− ⋅ ;

е) ( ) ( )56 4y y− ⋅ − ; є) ( )( ) ( )23 4

x x− ⋅ − ; ж) ( ) ( )( )53 34a a− ⋅ − .

142. а) a6x6; б) (–b)7y7; в) a3b3c3; г) (–1)9m9; ґ) 32x5;

д) 0,0081b2; е)10

1

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a10b10; є)1

27 x3y3; ж) 10 000

4mn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.


143. а) 56 ⋅ 125; б) 36 ⋅ 68; в) 210 ⋅ 64; г) 0,001 ⋅ 0,15;

ґ) (–0,3)15 ⋅ (–0,027); д) 0,4 ⋅ 0,16 ; е) 0,25 ⋅ 0,125;

є) 27 9

64 16⋅ ; ж)

16 8

625 125⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

144. Розв’яжіть рівняння: а) 3х2 ⋅ х5 + 3 = 0; б) –2у4 ⋅ у7 = 2;

в) 0,5х3 ⋅ x8 + 1 = 1,5; г) 41

3y ⋅ y7 + 2 =

12

3.

145. Замініть зірочку степенем так, щоб утворилась тотож-ність:

a) x6 ⋅ * = x15; б) a10 ⋅ * ⋅ a = a17; в) (*)5 = x20; г) (*)7 = –a21.146. Знайдіть таке значення змінної, при якому рівність буде

пра вильною:

а) 53 ⋅ 54 = 55+z; б) 3x ⋅ 35 = ( )23x

; в) ( )4

34x⎛ ⎞

⎝ ⎠ = 4x ⋅ 422;

г) ( )46x = ( )36

x; ґ) ( )867 = 712x; д) ( )52

x ⋅ 22 = ( )32

x ⋅ ( )4

2x .

147. Розв’яжіть рівняння: а) (2x)5 = –32; б) (3x)4 = 81; в) 12x5x3 = 0; г) (x9 ⋅ x4)3 = –1; ґ) (x7 ⋅ x11)5 = 1; д) (4(x + 2)2)8 = 0.

148. Користуючись тотожністю (ab)n = an ⋅ bn,

доведіть тотожність: а) (xyz)n = xn ⋅ yn ⋅ zn; б) (xyzt)n = xn ⋅ yn ⋅ zn ⋅ tn.

149. Доведіть тотожність: а) am ⋅ an ⋅ ak = am+n+k; б) ((an)m)k = anmk.

150. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел: а) 3 ⋅ 10–7 i 2 ⋅ 10–7; б) 4,5 ⋅ 1010 i 3 ⋅ 109; в) –6 ⋅ 1013 i 1,2 ⋅ 1012; г) 2,8 ⋅ 1019 i 7 ⋅ 1020.

151. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел: а) 1,4 ⋅ 10–6 i 7 ⋅ 10–6; б) 3,5 ⋅ 10–4 i 5 ⋅ 10–4.

152. Виконайте дії: а) 2,5 ⋅ 104 + 3,3 ⋅ 105; б) 7,7 ⋅ 107 – 5 ⋅ 105; в) 6,4 ⋅ 105 : (3,2 ⋅ 104); г) 5,5 ⋅ 107 + 8,3 ⋅ 106; ґ) 7,7 ⋅ 104 –7,1 ⋅ 106; д) 6,4 ⋅ 10–3 ⋅ 2 ⋅ 103.


153. Користуючись малюнком 7, виразіть квадрат довільного натурального числа n через суму n перших непар-них чисел.

154. Чи є тотожністю рівність: а) 3x + 5 = 3(x + 5); б) 3(x – 4) = 3x – 12; в) (2a – b)2 = (b – 2a)2; г) (2x – 3y)3 = (3y – 2x)3; ґ) (a + b) ⋅ 0 = a + b; д) y(x – x) = 0?

155. Добова потреба підлітка — 52—75 ккал на 1 кг маси тіла. Внаслідок інтенсивного росту та при збільшенні навантажень ця кількість кілокалорій може збільшува-тись на 1/6 частину. Виконайте відповідні підрахунки і встановіть кількість калорій, яка необхідна вам щоденно. Складіть тижневе меню, враховуючи, що їжа підлітка по-винна містити білки, жири й вуглеводи у співвідношенні 1:1:4, а при фізичних навантаженнях — 1:1:6

§5. ОДНОЧЛЕНИ

Найпростіші вирази — числа, змінні, їх степені й добут-ки — називають одночленами. Наприклад,

6, 7

12− , z, x5, 0,3a2x, 3a ⋅ 5c.

Якщо одночлен містить тільки один числовий множ ник, до того ж поставлений на перше місце, і якщо кож на змінна входить тільки до одного множника, такий од ночлен на-зивається одночленом стандартного вигляду. Такими є, наприклад, усі наведені вище одночлени, крім останнього. Одночлени 3a ⋅ 5c, 2x3x2, ab ⋅ 8 записано в нестандартному

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Мал. 7


ви гляді: перший містить два числові множники 3 і 5, дру-гий — два множники х3 і х2 з тією самою змінною х, у третьо му числовий множник 8 поставлений не на перше місце.

Користуючись переставним і сполучним законами множен-ня, кожний одночлен можна записати в стандартному ви гляді.

Наприклад,

3a ⋅ 5c = 3 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ c = 15ac,

0,5xy ⋅ 4y3 = 0,5 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ y ⋅ y3 = 2xy4,

4cx(–2cx3) = 4 ⋅ (–2) ⋅ c ⋅ c ⋅ x ⋅ x3 = –8c2x4.

Числовий множник одночлена, записаного в стандарт ному вигляді, називають коефіцієнтом цього одночлена. Напри-клад, коефіцієнти одночленів 15xz, –8,3a2, m3, –p дорівнюють відповідно 15, –8,3, 1 і –1. Коефіцієнти 1 і –1 не прийнято писати.

Зведення одночлена до стандартного вигляду полягає в множенні двох чи кількох одночленів.

Щоб перемножити одночлени, числові множники перемножують, а до буквених застосовують правило множення степенів з однаковими основами.

Якщо виникає потреба перемножити кілька одночле нів, то їх сполучають знаком множення, а утво рений таким способом одночлен зводять до стандартно го вигляду.

Наприклад, знайдемо добуток одночленів 5a2b i –0,2ab3.

5a2b ⋅ (–0,2ab3) = 5 ⋅ (–0,2)a2abb3 = –a3b4.

В одночлені –a3b4 сума показників змінних дорівнює 7. Цю суму називають степенем одночлена –a3b4. Степінь одночлена 5xy дорівнює 2.

Узагалі, степінь одночлена — це сума показників усіх змін-них, що входять до нього. Якщо одночлен — число, вважають, що його степінь дорівнює нулю.

Наприклад, одночлени 0,3, 53, (–2)5 мають нульовий сте-пінь.

Одночлени можна підносити до сте пенів. Для прикладу піднесемо до третього степеня одно член 2ах5.

(2ах5)3 = 2ах5 ⋅ 2ах5 ⋅ 2ах5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ x5 ⋅ x5 ⋅ x5 = = 8a3x15.

!


З тотожності (аb)n = аnbn випливає таке правило.

Щоб піднести до степеня одночлен, слід піднес ти до цього степеня кожний множник одночле на і знайдені степені перемножити.

Приклади. (3my2)4 = 34m4(y2)4 = 81m4y8,

( ) ( )4 4

4 42 3 2 3 8 121 1 1

3 3 81a x a x a x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠.


Одночлени, як і числа, можна додавати, віднімати, множити і ді-лити. Проте сума, різниця і частка двох одночленів не завжди є одно-членом. Наприклад, сума і різниця одночленів 6х і 2х дорівнюють відповідно одночленам 8х і 4х. Але сума і різниця одночленів 8ах і 4ау дорівнюють виразам 8ах + 4ау і 8aх – 4ау, а ці два ви-рази — не одночлени.

Частка одночленів 6с3 і 3с дорівнює одночлену 2с2 (оскільки 2с2 ⋅ 3с = 6с3). Але частка від ділення 12с на 6с3 — не одночлен.

1. Що таке одночлен?2. Що таке коефіцієнт одночлена?3. Коли говорять, що одночлен записаний у стандартному

вигляді?4. Як перемножити два одночлени?5. Як піднести до степеня одночлен?6. Що називають степенем одночлена?


1. Запишіть одночлен у стандартному вигляді:

а) ax2 ⋅ 25x3; б) –5a2n ⋅ 2a2n3; в) 2 32( 3 )

3xy x⋅ − .

✔ Р о з в ’ я з а н н я. а) ax2 ⋅ 25x3 = 25 ⋅ ax2 ⋅ x3 = 25ax5;б) –5a2n ⋅ 2a2n3 = –5 ⋅ 2 ⋅ a2 ⋅ a2 ⋅ n ⋅ n3 = –10a4n4;

в) 2 3 3 2 4 22 2( 3 ) ( 3) 2

3 3xy x x x y x y⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − .

В і д п о в і д ь. а) 25ax5; б) –10a4n4; в) –2x4y2.

!



2. Піднесіть до квадрата і куба одночлен –2xz3.✔ Р о з в ’ я з а н н я. (–2xz3)2 = (–2)2 ⋅ x2 ⋅ (z3)2 = 4x2z6;(–2xz3)3 = (–2)3 ⋅ x3 ⋅ (z3)3 = –8x3z9.В і д п о в і д ь . 4x2z6; –8x3z9.


156. Перемножте одночлени, щоб заповнити таблицю:

x 5x –0,1x 2x2

a

2a

–3ax

4a2

157. Який із виразів є одночленом:

а) 32

3abc ; б) (a + b)x; в) c2 ⋅ (–y2); г) –3,5; ґ) t125 : z?

Рівень А158. Випишіть одночлени стандартного вигляду:

а) 3mn2m4; б) –3xyz5; в) 3ab ⋅ 7c; г) 1

2c ; ґ)

12

2x

y⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

159. Запишіть одночлен у стандартному вигляді й під крес літь його коефіцієнт:

а) 2a ⋅ 3b; б) 12ax ⋅ a2; в) –5cz ⋅ cz; г) 0,3a ⋅ 2ab2;

ґ) 213

3mn n⋅ ; д) (–2ab) ⋅ (–3); е) a2 ⋅ 3bc ⋅ a3; є) –3 ⋅ (–5)xy;

ж) 2 31 11

3 2x x x⋅ ⋅ ; з) 2,5ax ⋅ (–0,4)x2.

160. Знайдіть коефіцієнт одночлена:

а) 2na3; б) xy2z3; в) –ab3c; г) 2 32

3a x⋅ ; ґ) –2xy ⋅ 3x2.

161. Обчисліть значення одночлена: а) 2а4b, якщо а = –1, b = 5; б) –х2у3, якщо х = 0,2, у = –3;

в) –0,5xc3, якщо х = –0,2, с = 1

2− .


Перемножте одночлени (162—163).

162. а) 2ab i 3a2c; б) 0,3xy2 i 21

3x y ; в) –am2 i 3m3p;

г) 0,2xy i –5xy; ґ) abcd i –ab2c3; д) 2

13

ax i 3

5z .

163. а) 3a3, 2a2z i 6az3; б) 2y, –3y2 i y3; в) 5 42

5x y i 35

7xy− .

164. Піднесіть до квадрата і до куба одночлен:

а) 2ax; б) –3a2; в) 5bc2; г) 0,2x3m; ґ) 5 21

2x c− ; д) 2 32

3a x− .


165. а) (3ax2)3; б) (x3y3)2; в) (–2ab)3; г) –3xy3 ⋅ 2xy2; ґ) (–2a2b)3.

166. а) 2a(3mc)2; б) 2 31( 2 )

8c xc− ; в) 3 42

( 3 )3

a ax− ;

г) (–2a2)3 ⋅ a3; ґ) ( )23 310,7

7y y− − ; д)

42 31

3pq p

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⋅ p3.

Рівень БЗапишіть у стандартному вигляді одночлен (167—168).

167. а) 2

2 5 15

a x a⎛ ⎞⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 3 25

5c cx

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠; в) 23

4 34

a axy x y⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

г) 0,8xyz ⋅ (–5y); ґ) 3 22( 6 )

3ac c− ; д) 2 3 3

55

a z z⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

168. а) 5 7

7 10xy xy

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠; б) 33 4

4 5acx ax

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

в) –3ax2 ⋅ 2a ⋅ (–5x3); г) –2cz3 ⋅ 3z ⋅ (–5cz); ґ) 214 ( )

2cz cx c− ⋅ ⋅ − .

169. Обчисліть значення одночлена: а) 0,5а5, якщо а = 2; б) 2с2х3, якщо с = 1,5, х = –10; в) –8xz5, якщо х = 0,1 і z = –2;

г) 2 42

3a c− , якщо

1

2a = і с = –3;

ґ) 3

3 213 11 (6 )

27 3xy xy

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠, якщо x = 3,

1

2y = ;

д) ( )34 3 21 ( 0,2 ) (50 )

4xy y z⋅ − ⋅ , якщо x = 0,2, y = 10, z = 0,06.


170. Перемножте одночлени:

а) –axyz, 2az2 i –3x; б) 5a2, 3xy3 i 32;

3axy−

в) 212

3ab− , 23

7ab− i 3b2; г) 22

13

an m− , –3an2 i –0,2a.

171. Заповніть порожні клітинки такими степенями змінної a, щоб добутки степенів у кожному рядку, у кожному стовпчику і в кожній діагоналі були тотожно рівними (мал. 8).

172. Піднесіть до куба одночлен:

а) 3cx; б) 2a2m; в) 0,5axy3; г) 2 32

3ab c− ;

ґ) 2 211

2c n p− ; д) 2 32

25

an c− .

173. Піднесіть до четвертого степеня одночлен:

а) 2an; б) 3x2; в) 0,1ax2; г) –0,1ac2; ґ) 22

3x y− ; д) 21

12

ab c− .


174. а ) ( )432 ;ac б ) ( )43ax− ; в ) ( )523an− ; г ) ( )320,2xy− ;

ґ) 4

22

3axy

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠.

175. а) x5 ⋅ ( )322 ;ax б) 3a2 ⋅ (2a2c); в) –x2 ⋅ (3x3y)3;

г) a ⋅ ( )222 ;cx ґ) c3 ⋅ ( )223 ;cx д) (–2a2x)2 ⋅ 1

2a .

176. а) (2ax2)2 ⋅ (ax)3; б) 3

3 2 1(3 )

3nz nzx

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠;

в) (–2x2y3)2 ⋅ (–5xy2)3; г) 3 2

2 32 31

3 5ax a x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠;

ґ) 3x2 ⋅ (–5x3y4)2; д) (–a6b3)7 ⋅ 6a3b4; е) 0,5mn4 ⋅ (–2m)5; є) (–0,1x2y)4 ⋅ 1000xy2.

177. Покажіть, що рівняння не має розв’язків: а) x4 ⋅ x8 + 3 = 0; б) 2x7 ⋅ x5 = –31; в) –8y4 ⋅ y8 = 64.

178. Розв’яжіть рівняння: а) (x3)4 ⋅ x ⋅ x2 = –1; б) (–x2)3 ⋅ x5 ⋅ (x3)3 = –1;

Мал. 8

a a3

a4 a2

1


в) (0,2x7 ⋅ x6)2 + 1,4 = (1,2)2; г) 2

5 3 42 1 7( )

3 3 9x x

⎛ ⎞− ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠;

ґ) z2 ⋅ z4 = z2 ⋅ z3; д) x4 ⋅ x5 = 8x6; е) x3 ⋅ x5 = x ⋅ x2.

179. Подайте вираз у вигляді квадрата одночлена:

а) 16a4b2; б) 0,36x8y12; в) 0,01a18b2c10;

г) 361m6n30; ґ) 26 149

25a b ; д) 16 22 416

49x y z .

180. Подайте вираз у вигляді куба одночлена: а) –8a6; б) 27x9y15; в) –0,001a3b12; г) 0,064x18y27;

ґ) 9 6 31

125a b c− ; д) 1 000 000y21x30.

181. Замініть зірочку одночленом так, щоб утворилася пра-виль на рівність:

а) * ⋅ 4 6 4 810,1

3x y x y= − ; б) –8a2b2 ⋅ * = 4a5b7;

в) 0,6a2b ⋅ * = 6a2b3; г) 5m2n3 ⋅ * = –m5n6.

182. Відомо, що 3х2у3 = 7. Знайдіть значення виразу:

а) 1,8x2y3; б) 5x2y3; в) –9x4y6; г) 6 936

7x y .

183. Відомо, що 2b2c = 5, (a2b)2 = 2. Знайдіть значення виразу:

a) (–2a2b2c)3 ⋅ (3ab2)2; б) (–0,5a2b4)2 ⋅ (2a2bc)3 ⋅ a2b.

184. Знайдіть: а) суму довжин усіх ребер куба, якщо вона більша за

периметр його гра ні на 18 см; б) площу поверхні та об’єм цього куба.

185. У саду росли яблуні та вишні, причому яблуні становили 40 % усіх дерев. Bишень було на 64 більше, ніж яблунь. Скільки дерев росло в саду? Cкільки серед них було вишень? Скільки — яблунь?

186. Розв’яжіть рівняння: а) 2x – 3(x + 1) = 0; б) 2x + 3 = 3(x +1) – x; в) 7(2x – 5) + 3 = 45; г) 9(x + 2) – 3x = 6(x + 3).



ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИВ а р і а н т I

1°. Обчисліть: а) 4

2

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 1,72 – 8 ⋅ 0,53.

2°. Піднесіть до квадрата вираз 0,3ах3.3•. Спростіть вираз: (–2ac2)2 ⋅ (0,5a2x)3.4•. Доведіть тотожність: 4(7x – 1) + 3x = 31x – 4.5••. Запишіть число 27 500 000 000 у стандартному вигляді.

В а р і а н т II


3

4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 2,12 – 8 ⋅ 0,54.

2°. Піднесіть до квадрата одночлен –5cz3.

3•. Спростіть вираз: 2

2 3 42(3 )

3am xm

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠.

4•. Доведіть тотожність: 5 – x + 3(3x –4) = 8x – 7.5••. Запишіть число 17 770 000 000 у стандартному вигляді.

В а р і а н т III


4

5⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 3,72 – 4 ⋅ 0,53.

2°. Піднесіть до куба одночлен –1,2ac2.3•. Спростіть вираз: (–0,5ac2)2 ⋅ (4a2x)3.4•. Доведіть тотожність: 5x –2(x – 4) = 3x + 8.5••. Запишіть число 350 000 000 000 у стандартному вигляді.

В а р і а н т IV


3

5⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 2

2 12,3 27

3⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2°. Піднесіть до куба одночлен –0,8x2y.3•. Спростіть вираз: (–0,4x3)2 ⋅ (–10ax2)3.4•. Доведіть тотожність: 9x – 2(2х + 6) = 5x – 12.5••. Запишіть число 98 790 000 000 у стандартному вигляді.


ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

Тестові завдання № 1

1. Подайте у вигляді степеня число 0,0009:

а) 0,33; б) 0,32; в) 0,032; г) 0,033.

2. Подайте у вигляді степеня одночлен 625x8:

а) (5x2)8; б) (5x2)4; в) (5x)4; г) (5х)8.

3. Який вираз тотожний виразу ах2:

а) a ⋅ x(–x); б) a ⋅ x + ax; в) a(–x)(–x); г) ax ⋅ ax?

4. При якому m справедлива рівність a16am = a32:

а) 14; б) 2; в) 1; г) 16?

5. При якому р справедлива рівність ( )3 pc = с12:

а) 1; б) 0; в) 2; г) 4?

6. Яке з рівнянь не має розв’язків:

а) x2 = x6; б) x ⋅ x3 = –1; в) 0 ⋅ x3 = 0; г) х5 ⋅ х3 = 1?

7. При якому значенні d вирази 9(х – 3) – 2(3x +5) і dх – 37 є тотожними:

а) –3; б) 3; в) –4; г) 4?

8. Запишіть суму квадратів чисел х і у:

а) x2 + y2; б) (х + у)2; в) 2х + 2у; г) х2 ⋅ у2.

9. Запишіть у стандартному вигляді число 24 000 000 000:

а) 24 ⋅ 109; б) 2,4 ⋅ 109; в) 2,4 ⋅ 1010; г) 0,24 ⋅ 1010.

10. Знайдіть значення виразу х4 – 3х2 + 4, якщо х = 2:

а) 6; б) 7; в) 8; г) 9.


Типові завдання до контрольної роботи № 1

1°. Піднесіть до степеня:

а) 53; б) (0,2)4; в) (–1)5.

2°. Знайдіть значення виразу:

а) 0,5a3 – 3,9, якщо а = 2; б) 3m2 – 82, якщо m = –5.

3°. Подайте у вигляді одночлена стандартного вигляду вираз:

а) 6ху ⋅ 0,5ax; б) a2 ⋅ 4a2x.

4°. Піднесіть до квадрата та куба одночлен:

а) –a3b2c5; б) 221 .

3m n

5•. Обчисліть:

а) 3

218

3⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

; б) 2,42 – 1,62; в) 4

3 5

15

3 5⋅.

6•. Спростіть вираз:

а) 3 21( 6 )

2ab a b

⎛ ⎞ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠; б) (–0,2m2n)2 ⋅ (–5mn2).

7•. Розв’яжіть рівняння:

а) 2x2 ⋅ x = 2; б) 4x3 ⋅ x2 = 0; в) 3x4 + 6 = 0.

8•. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел

2,5 ⋅ 1010 i 1,25 ⋅ 108.

9••. Чи є тотожністю рівність:

а) |x – y| = |y – x|; б) |x2| + 1 = |x2 + 1|?

10••. Доведіть, що для будьRякого натурального п зна-чення дробу є натуральним числом:

47 1

10

n −.


§6. МНОГОЧЛЕНИ

У математиці часто доводиться додавати чи віднімати одночлени. Наприклад, 7х + 2а — сума, а 7х – 2а — різниця одночленів 7х і 2а. Вираз 7х – 2а можна вважа ти також сумою одночленів 7х і –2а, бо 7х + (–2а) = 7х – 2а. Вираз 2x4 – 3x3 + x2 – 9x – 2 — сума одночленів 2х4, –3x3, x2, –9x i –2.

Суму кількох одночленів називають м н о г о -ч л е н о м.

Кожний доданок многочлена називають його членом. Напри-клад, многочлен 2ху – 5х + 6 містить три члени: 2ху, –5х і 6.

Якщо многочлен містить два доданки, його нази-вають д в о ч л е н о м , три — т р и ч л е н о м . Одночлен також вважають окремим видом многочлена.

Існують цілі вирази, які не є многочленами. Наприклад, вирази (а + b)2, 2a – (b + x)3 цілі, але не є

многочле нами. Зв’язки між згадуваними виразами ілюструє мал. 9.


МНОГОЧЛЕНИ НЕ МНОГОЧЛЕНИ

ОДНОЧЛЕНИ ДВОЧЛЕНИ ТРИЧЛЕНИ ІНШІ

Мал. 9

Многочлен може мати подібні члени, тобто такі додан ки, які відрізняються тільки коефіцієнтами або й зовсім не від-різняються. Наприклад, у тричлені 4х + 7х – 5 перші два члени — подібні. Звівши їх, дістанемо двочлен 11х – 5, який тотожно дорівнює даному тричлену.


Вважають, що многочлен записано в стандартному ви-гляді, якщо всі його члени — одночлени стандартного ви-гляду і серед них немає подібних.

Наприклад, серед многочленів

х3 – 2х2 + 3х + 7, аb + bс – са, 2ах – 3а ⋅ 5х + 8

два пер ші вирази — многочлени стандартного вигляду, а тре-тій — ні. На основі законів дій (див. с. 14) кожний многочлен можна подати в стан дартному вигляді, наприклад:

2ах – 3а ⋅ 5х + 8 = 2ах – 15ах + 8 = –13ах + 8.

Члени многочлена можна записувати в різній послідо в- ності. Здебільшого їх упорядковують за спадними показ-никами тієї чи іншої змінної. Наприклад, упорядкувавши многочлен 5ах2 + 6х3 – 4а2х + а4 за спаданням степенів змін-ної х, одержимо 6х3 + 5ах2 – 4а2х + а4. Найвищий по казник степеня змінної х дорівнює трьом, тому такий мно гочлен на зивають многочленом третього степеня віднос но х. Його можна впорядкувати і за спаданням степенів змінної а: а4 – 4а2х + 5ах2 + 6х3. Це многочлен четвертого степе ня відносно змінної а.


Чи є многочленом вираз (а + b)с? Іноді відповідають на це за-питання ствердно, бо, мовляв, згідно з розподільним законом мно-ження даний вираз тотожно дорівнює двочленові ас + bс, а отже і він є двочленом. Це неправильно. В алгебрі вирази прийнято називати відповідно до того, як вони записані, а не до того, як їх можна записати.

Розглянемо приклад. Вираз 8а можна подати у вигляді суми двох, трьох чи будьAякої іншої кількості доданків:

8а = 3а + 5а, 8а = а + 3а + 4а, 8а = а + а + а + а + 4а.

Якщо, виходячи з цього, вираз 8а називати і одночленом, і дво -членом, і тричленом тощо, то це буде дуже незручно. Тому в алгебрі домовилися вирази називати так, як вони записані, а не так, як їх можна записати, виконавши ті чи інші тотожні перетворення.

Отже, вираз (а + b)с не є ні одночленом, ні многочленом.


1. Що таке многочлен?2. Наведіть приклади двочлена, тричлена, чотиричлена.3. Які члени многочлена називають подібними?4. Чи можна одночлен вважати видом многочлена?5. Коли говорять, що многочлен записано в стандартному

вигляді?


1. Запишіть многочлен у стандартному вигляді:

а) 5х + 4х2 + 3х3 – 5х3 – 4х2 – 3х;б) 2аb + 3а2 ⋅ аb + 7аb2(–аb) + 3b.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. а) Зведемо подібні доданки і впорядку-ємо за степенями члени многочлена:

2 3 3 2 35 4 3 5 4 3 2 2 .x x x x x x x x+ + − − − = − +б) Зведемо до стандартного вигляду кожний одночлен за-

даного многочлена і впорядкуємо його члени за степенями змінної а:

2аb + 3а2 ⋅ аb + 7аb2(–аb) + 3b = 2аb + 3а3b – 7а2b3 + 3b == 3а3b – 7а2b3 + 2ab + 3b.

В і д п о в і д ь. а) –2х3+ 2х; б) 3а3b – 7а2b3 + 2ab + 3b.2. Обчисліть значення многочлена

5x5 – 3х4 + 4х3 + 7 + 2х4 – 4х3 + х4 – 4х5 + 2 , якщо х = 2.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. Зведемо многочлен до стандартного ви-гляду:

55 4 3 4 3 4 55 3 4 7 2 4 4 2 9.x x x x x x x x− + + + − + − + = +

Якщо х = 2, то х5 + 9 = 25 + 9 = 32 + 9 = 41.В і д п о в і д ь. 41.

3. Два велосипедисти одночасно виїхали з пунктів А і В назу-стріч один одному. Знайдіть відстань між А і В, якщо вони їхали зі швидкостями а км/год і b км/год і зустрілися через t год.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. 1Rй спосіб. За t год перший вело-сипедист проїхав аt км, а другий — bt км. Отже, вся від стань дорівнює (аt + bt) км або (a + b)t км.

2Rй с п о с і б. За 1 год велосипедисти наближалися на (а + b) км, до моменту зустрічі через t год вони проїхали (а + b)t км. Це і є шукана відстань.

В і д п о в і д ь. (а + b)t км.


∼∼∼ ∼∼∼

∼∼∼ ∼∼∼



187. Який із виразів є многочленом:

а) 2х – 3; б) 37ат2; в) х2 – 3x + 5

x; г) у(x – у); ґ) –21?

188. Сумою яких одночленів є многочлен: а) ах – сх2 + 3; б) –2х2 + 3х – 7; в) – m2 – n2;

г) 2с3 – 3с2 – 5с + 1; ґ) 1

5x3 – 2 + x4 + 3x?

189. Назвіть многочлен стандартного вигляду: а) 2х + 3а – 5; б) а2 – а + 5а + b; в) –х + 3ха – а + а2; г) m – m – п2; ґ) х3 + 3х2 – 3х + 7; д) –0,5а – 4а2 + 3а – 1.

190. Укажіть степінь многочлена відносно змінної х: а) 2ах – 3а + 5; б) х3 – х5 + 4х; в) 2х3у – 3х2y2 – 1; г) 0,1abх + 3,7х2 – аb; ґ) 3ах3 – bх; д) т3x5 – тx5; е) 0,7ах + 8а2х + 5; є) 3x – х3 + 27px; ж) y5 – a3y.

Рівень А191. Знайдіть суму одночленів: а) 3х і bх; б) 2аbс2 і 3abc2; в) 2 і x; г) 7ас і 3аx; ґ) –a2 і a2; д) 14x2y і –6ac2; е) 2а і 3b; є) –а і а2;

ж) 3с і –2у; з) –0,5 і 0,5x; и) –4х і 2х; і) q3 і –1

3q3.

192. Знайдіть різницю одночленів: а) 2а і 3х; б) –т і 5с; в) –4р і 2р; г) –4,7х і 5; ґ) –3а2х і –8а2х; д) а і –а.

193. Зведіть подібні члени: а) 4х2 + х – 5х2 – 12; б) –6аb + 2а2 + b2 – аb; в) 8а – 10аb + 3а; г) –0,5x2 – у2 + 2,2х2 + 0,8у;

ґ) 2а2b – b2а + 7ab2; д) 2

3xy3 –

3

5x3y – 1

1

3xy3 + 2x3y.

194. Виконайте зведення подібних членів:

а) 4х2 + 2х – 7х2 – 9х3 – 2х; б) 3а4 – 12 + 13a2 + 5 – а2 + 8а4; в) 27m5 – 17m3 – 7 + 10m3 – 30m5; г) y4 – 2y3 + 2 + 5y3 – 2y – 14 + 7y4.


195. Спростіть вираз: а) а – b + 3а + 2b2; б) 7x – y2 + 5ху – 2х ⋅ 3у; в) 37 – z3 + 3t – 35z3; г) х + х2 + х3 – 2х2 – х;

ґ) 1

2а +

1

3а ⋅ 3с – ас; д) –105р + 15q + 10р ⋅ 10,5.

196. Упoрядкуйте за спаданням степенів х многочлен: а) 3х4 – 5х2 – х3 – 2х; б) 1 – х2 – рх – qx3; в) ах + bх2 + сх3 + dх4; г) 1 – х4 + 3х3 + 2х2 + х.

197. Обчисліть значення многочлена: а) х2 – 5х + 6, якщо х = 2; б) 0,7х2 + 0,3х2, якщо х = 0,5; в) 2,8а – 1,8а2, якщо а = –0,2.

198. Обчисліть значення многочлена: а) т3 – n2, якщо т = 2, п = –3; б) s + 2t2 – 4, якщо s = 2,3, t = 0,5.

199. Визначте площу фігури, зображеної на малюнку 10, якщо кожний із чотирьох її отворів — квадрат, сторона якого дорівнює с.

200. Упорядкуйте многочлен за спаданням степенів а:

а) 3а2 – 3а + 5 – а3 + а4; б) 1 + а + а2 – а3 – а5; в) 5а5 – 5 + 2а + а3 – 3а2; г) 2ас – 3а2с + с2 – а3.

Рівень Б201. Обчисліть значення многочлена: а) х3 – 3х2 + 3х – 1, якщо х = 1,2; б) 2с3 – 5с2 – с + 7, якщо с = –2,1; в) 3а2 – 2ах – х2, якщо а = –0,4 і х = 1,2; г) 0,25n2 + 0,5m – т2, якщо п = 4,8 і т = 2,4.

202. Запишіть многочлен у стандартному вигляді: а) х3 – 2х2 + 3х – 5х2; б) 4х – 2х ⋅ 3у – 3y – 5ху; в) 2,3 – ас + а2с – 1,3; г) 2 – с2 + с3 – 2с3 + с3 ⋅ 5; ґ) 2а2 ⋅ 3а3 + 5а4 ⋅ (–2а); д) х ⋅ 2х2 + 2х ⋅ х2 – х2 ⋅ x2; е) 3а – 7а(–2а2)2 + а5 + a; є) (2х3)х + х(–2х)3 + х3(–x2).

Мал. 10


203. Запишіть многочлен у стандартному вигляді:

а) (2а2)3 + 4 ⋅ 3а5 – 5а – 9 – 3а6+ а; б) х2 + 2х3 – (3х)2 – 4х2 ⋅ х3 + 7 – 2х3; в) (–5х) ⋅ 2х – (х4)2 + 6х2 + 10 + х3 ⋅ 3х5 – 3х5.

204. Запишіть у вигляді многочлена число, яке має: а) a тисяч, b сотень, 0 десятків і с одиниць; б) а десятків тисяч, b сотень, с десятків і 0 одиниць.

205. Запишіть у вигляді двочлена число, яке від ділен ня на число т:

а) дає частку 43 і остачу 2; б) дає частку 5 і остачу r.

Запишіть у вигляді многочленів відповіді до задач (206—213).

206. У конкурсі «Левенятко» бере участь а учнів, а в конкурсі «кенгуру» — на b учнів більше. Скільки учнів бере участь в обох конкурсах разом?

207. Один кілограм картоплі коштує т грн, а один кілограм ка пусти — n грн. Скільки треба заплатити разом за 8 кг кар топлі й 4 кг капусти?

208. З куба, ребро якого дорівнює 3а, вирізали два прямокутні паралелепіпеди, як показано на малюнку 11. Знайдіть об’єм і площу поверхні многогранника, що залишився.

209. Книжка коштує а грн, а 10 зо-шитів — т грн. Скільки треба заплатити разом за 3 книжки і 5 зо шитів?

210. На машину навантажили т мішків пшениці, п мішків гречки й один мішок цукру. Знайдіть масу всьо го ван-тажу, якщо маса одного мішка пшениці — а кг, греч -ки — b кг, а цукру — 50 кг.

211. Перший поїзд їде зі швидкістю v1 км/год, а дру гий — v2 км/год. На скільки кілометрів вони наблизяться за півгодини, рухаючись назустріч один одному?

212. З міста до села виїхав один велосипедист, а через півгодини назустріч йому із села до міста — другий. Їхали вони зі швидкостями v1 км/год і v2 км/год відповідно і зустрілися через півгодини. Знайдіть відстань від міста до села.

Мал. 11


213. З міст А і В одночасно в одному напрямку виїхали авто-мобіль і мотоцикл. Їхали вони зі швидко стями v1 км/год і v2 км/год відповідно. Знайдіть відстань від А до В, якщо автомобіль наздогнав мотоцикл через 1,5 год.

214. Визначте периметри фігур, зображених на малюн ку 12.

Мал. 12

215. Визначте площі фігур, зображених на малюнку 13.

Мал. 13

216. Спростіть вираз: а) –44ху2 + 16у + х2у + 50ху2 – 16у – 7х2у; б) 8 – a2b2 – 4b2 + 23a6 + 5a2b2 – 30 + 4a6; в) 9a2 – 2ax3 + a4 – a2x3 + ax3 – a4 + 5ax3; г) –10abc + 2ab + 2bc + 2ac – 7abc – 6ac.

217. Обчисліть значення многочлена: а) 9х2 – 4х2 +15 – х5 + 7x2 – 8x5, якщо х = –7;

б) 2у10 – 10у3 – 3у10 – у4 + у10 + 6у3, якщо у = –5;

в) –6а3b2 + а2b3 – 10аb + 5а3b2 – а2b3, якщо а = 10, b = 0,9.

218. Обчисліть: а) 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210; б) (–1)2, (–1)3, (–1)4, ..., (–1)2n, (–1)2n+1; в) 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108; г) 0,12, 0,13, 0,14, 0,15, 0,22, 0,33, 0,44.



219. Дано вирази 3х і 5у. Запишіть: а) різницю їх ква дратів; б) квадрат їх різниці; в) суму їх квадратів; г) квадрат їх суми.

220. Пенсіонер одержав путівку до санаторію зі знижкою 90 % і заплатив за неї 360 грн. Яка вартість пу тівки?

§7. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

Щоб додати два многочлени, тобто знайти суму многочле-нів, достатньо сполучити їх знаком «плюс».

Наприклад, сумою многочленів а2 + ах + х3 і с2 + сх + хє многочлен а2 + ах + х3 + с2 + сх + х. Якщо в знайденій сумі є подібні члени, їх слід звести. Так само додають три і більше многочленів.

Приклад. Додайте многочлени

х2 + 2х + 4, 3х2 – 4 і 3 – 2х.

Р о з в ’ я з а н н я.

х2 + 2х + 4 + 3х2 – 4 + 3 – 2х = 4х2 + 3.

Додавання многочленів підпорядковується перестав-ному і сполучному законам: які б не були многочлени А, В і С, завжди

А + B = В + А і (А + В) + С = А + (B + С).

Щоб знайти різницю двох многочленів, треба від першого з них відняти другий.

Викону ючи таке завдання, після першого многочлена пишуть знак «мінус», а другий беруть у дужки.

Розкриваючи дужки, перед якими стоїть знак «мінус», знаки всіх членів, що були в цих дужках, змінюють на протилежні.

!


Приклад. Знайдіть різницю многочленів

ab + с – 4 і 2аb + с – 3.

Р о з в ’ я з а н н я. аb + с – 4 – (2аb + с – 3) = = аb + с – 4 – 2аb – с + 3 = –аb – 1.Отже, і сума, і різниця довільних многочленів — много-

члени.


Якою може бути сума двох двочленів? Вона може мати кілька чле-нів, дорівнювати якомуAнебудь числу, зокрема й нулю. Додайте, наприклад, до двочлена 4с – 5х послідовно двочлени с2 + 1, с2 + 5х, 5х – 7, 5х – 4с і переконайтеся в цьому.

Оскільки многочленами вважають і одно члени, і будьAякі числа, зокре-ма й нуль, то сума будьAяких многочленів є многочленом. Тому говорять, що в множині многочленів додавання і віднімання завжди можливе.

1. Як додають многочлени?2. Як віднімають від одного многочлена інший?3. Чи завжди сума кількох многочленів є многочленом?4. Сформулюйте правила розкриття дужок.5. Як ви розумієте твердження, що в множині многочленів

дії додавання і віднімання завжди можливі?


1. Знайдіть суму і різницю многочленів

х2 – 2х + 1 і 2х2 – х.

✔ Р о з в ’ я з а н н я. х2 – 2х + 1 + 2х2 – х = 3х2 – 3х + 1;

х2 – 2х + 1 – (2х2 – х) = х2 – 2х + 1 – 2х2 + х = –х2 – х + 1.

В і д п о в і д ь. 3х2 – 3х + 1 і –х2 – х + 1.2. Доведіть, що сума трьох послідовних натуральних чисел завжди ділиться на 3.

✔ Д о в е д е н н я. П е р ш и й с п о с і б . Позначимо довільне натуральне чис-

ло буквою п. Тоді наступні за ним натуральні числа будуть п + 1 і п + 2. Їх сума становитиме:

п + п + 1 + п + 2 = 3п + 3.



Числа 3 і 3n при кожному натуральному п діляться на 3. Отже, яке не було б натуральне число n, сума п + (п + 1) ++ (n + 2) завжди ділиться на 3. А це й вимагалось довести.

Д р у г и й с п о с і б. Якщо п — друге з трьох послідов них цілих чисел, то перше з них — п – 1, а третє — n + 1. Тоді (n – 1) + п + (n + 1) = 3п; число 3п ділиться на 3.

3. Доведіть, що різниця чисел abc і cba ділиться на 99.

Запис abc означає трицифрове число, яке має а сотень, b десятків і с одиниць.

✔ Д о в е д е н н я. Запишемо кожне з чисел у вигляді много-члена, знайдемо їх різницю і зведемо подібні доданки.

abc = 100а + 10b + с; cba = 100с + 10b + а.Тоді abc – cba = 100а + 10b + с – (100c + 10b + a) = = 100а + 10b + с – 100с – 10b – а = 99а – 99с = 99(а – с).

Отже, abc – cba ділиться на 99.


221. Знайдіть суму і різницю многочленів: а) 2х3 – с і 3с; б) 5ах – 4 і –4ах + 4; в) 0,5п – р2 і 2,5р2; г) –2у + с2 і с + 2у.

222. Знайдіть суму і різницю виразів: а) 0 і а + с + х; б) а і а + с + х; в) а + с і а + с – х.

Рівень А223. Додайте многочлени: а) 3a2 + 8a – 5 і –5а2 + 2а + 4; б) 12х3 – 7х і 4x2 + 3x – 2; в) –7а3b + 5аb2 – аb і 3а2b – 4аb + 2а3b; г) 6а2 – 4b2 + с2 + 2аb – 3bс і –10с2 – 6а2 – ас.

224. Знайдіть різницю многочленів: а) 2х3 – х2 – 3х + 7 і х3 – 3х + 17; б) 4х5 + х – 2х3 – 7 і х5 – х2 + 3х – 2; в) 8а2с – 7ас2 – а + с і 7а2с2 – а + 4.


225. а) 7х2 – 2х + (5 + 11x – 6x2); б) 8аb + 7b – (4аb + 7b – 3);


в) 1 – n + n2 – (3n2 – 2n + 5) – 7n; г) х2у + хy2 – (3x2y – 2ху2 – 7) + 2х2у.

226. а) 2а2 + 3а – 4 + (5а2 – а + 7); б) 6х3 + 8х – 5 – (4x2 + 8x – 5); в) 3z4 – 2z3 + 12z – 5 – (3z4 – 2z – 5); г) –5с3 – 2c + 3с2 – (1 – с – 2с2 – 4с3); ґ) (2х + у) + (3х – 4у) – (5х + 3у – 1); д) 8ас – (3а2 – 2с2 + 2ас) – (4а2 + 2с2).Обчисліть значення виразу (227—228).

227. а) с3 – 2с2 + 3с – 4 – (с3 – 3с2 – 5), якщо с = 2; б) 4x2 – (–2х3 + 4х2 – 5), якщо х = –3;

в) 2р – (1 – р2 – р3) – (2р + р2 – р3), якщо р = 2

3.

228. а) х3 – 3х2 + 3х – 1 – (3х – 3х2), якщо х = 3; б) 5а4 – 2а3 – (4а4 – 2а3 + 1), якщо а = –2; в) а2 – 2аb + b2 – (а – b – 3), якщо а = 5, b = 4; г) 2 + ху – х2 – (у2 – 2ху + 4), якщо х = 0,2, у = –0,5.

229. При якому значенні x значення многочленів х2 – 8x + 9 і х2 + 6х + 4 дорівнюють одне одному?

230. При якому значенні t значення тричлена t2 – 2t + 1 на 2 більше за значення двочлена t2 + 5?


231. а) 4x – 5 – (7х + 8) = 2; б) 9z + 17 – (4z – 5) = 38; в) 24 – (x2 + 8x – 17) = 5 – 5x – x2; г) 19 – (3x2 – 2x) – (6x – x2) = 7 – 2x2.

232. а) (5х2 + х3 – 7) – (2x3 – 5 + 4х2) = –(1 + х3); б) (х3 – 2x4 + 7) – (3x3 + 3 – 5х4) = 6 + 3х4; в) 0,5y – (4,3y + 2,7) + 0,3y = 46,3;

г) 1

3t +

2

5+

3 2

5 3t

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ = 2 – 3t;

ґ) –2,5х – (3,7 – 4,3х) = 1,7;

д) 2

5z = –

2

5z

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ +

3

5z + 8.


Рівень Б233. Знайдіть суму многочленів: а) п3 + 3n2 + 3n + 1 і 3 – 3n – n2 – 2n2 + n4; б) –5ху – 4х2 + у2 і у3 – 3х2 + 5хy – у2 – 2; в) 0,7с4 – 2,8с2 + 7 і 2,8с2 – 0,7с4 – 7;

г) 2

3х2 –

1

3х + 12 і

1

3х2 –

2

3х + х4 – 10;

ґ) 0,8х3 + 1,2х2 – 3, 4,5х2 – х – 0,3 і 0,2х3 – 1,2х2 + 3,3.

234. Знайдіть різницю многочленів: а) 2х2 + 3х + 1 і х3 + 3х; б) 9m3 + 2m + 5 і 4m3 – m + 6;

в) 1

2a + b2 і 3a –

1

2b2 – a2; г) –2хс2 і 0,25хс2 – 2х2;

ґ) –4а3b + 3а2b2 і 3а3 – b3 + 3а2b2 – 4аb3;

д) –2

3хy –

3

5х2у і 2

1

3хy – х2у – 2

1

2у2.

Спростіть вираз (235—237):

235. а) 1 – a + 3а2 + 4а3 + (–а2 – 3а3); б) x – 2ху + 3ху2 + (4ху3 + 2ху – 3х); в) (2аz – 3z2) + (–аz – z2) + (–5аz); г) 0,7а – 0,7а2 – 0,7 – (5,7а2 – 4,7а – 1,7); ґ) –4m2 – (m – n2) + (3m + 4m2) – 2n2.

236. а) 36сх2 + 18с2х – (13с2х – 16сх2 – х); б) –z3 + 3mz – 2 – (2 + z – 3mz);

в) 21

3az2 – 2 2 32 1 5

2 13 6 6

a z az z⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

г) х2 – х + с – (х2 + с) – (3с – 5 – х);

ґ) 21

2an – 3

1

2am –

15

2an

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ – 1,5an.

237. а) 1

2ax2 –

2

3a2x – 2ax2 – a2x +

1

3a2x;

б) 0,3m2n – 1,7mn2 – 0,2mn2 – 1,3m2n;

в) 3

4а +

2

3ax3 – 31 1

53 4

ax a⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠

;

г) 21

2ax2c + 1

1

3x2c – 2 24 5

3 2cx ax c

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠.


238. Периметр многокутника АВСDЕF дорівнює 2р, AВ = a, AF = c, EF = b. Знайдіть довжину кожної зі сторін BC, ЕD і DС (мал. 14).

239. Доведіть, що вираз при будьRяких значеннях змінної набуває додат-ного значення:

а) (х3 + 3х2 – 3х) + (х6 + 4х3 – 7х) – (5х3 – 10х – 5); б) –((2x3)2 – 7x9) – (5(x3)2 – (x3)3 – 5) + (10(x2)3 – (2x3)3.

240. Доведіть, що вираз при будьRяких значеннях змінноїна бу ває від’ємного значення:

а) (5х5 + 3х3 – 1) – (х8 + 4х5 – 8х3) – (х5 + 5х4 + 11х3); б) (4 – (3x5)3) – ((3x5)2 – (2x3)5) – ((x2)5 + 9 + 5x15).

241. Замініть зірочку многочленом так, щоб утворилась тотожність:

а) * – (8а3 – 2а2 + 7) = 3 – а2; б) * + (3х + 8) = –3х2 + 2х – 15; в) (2xy – 11x2 + 10y2) – * = 5x2 + 4y2 – 6.

242. Який многочлен слід додати до 2а3 – а2 – а + 3, щоб одержати:

а) 3а3 – 5а2 – а + 7; б) а2 – 6а + 13?

243. До якого многочлена слід додати 5х2 – x + 17, щоб одержати:

а) х3 – 8х2 + 3х + 9; б) –6x2 + 4x – 23?

244. Від якого многочлена слід відняти 9с2 – 6с + 2, щоб одержати:

а) 5c3 – 8c2 – 6с – 8; б) а3 – с2 + с + 2?

245. Який многочлен слід відняти від 6y3 – y2 + 3y – 1, щоб одержати:

а) у3 + 3y2 + 3y + 1; б) 2у4 + 3у2 + 3у – 2?

246. Доведіть тотожність: а) (3a2 + 2b2 + c2) – (3c2 + 2a2 – b2) + (–3b2 + 2с2 – а2) = 0; б) –z2 – (x2 + (y2 – (x2 + y2 + z2) + z2) + y2) – x2 = –x2 – y2 – z2; в) ab + bc + ac – (abc + ab – (abc – bc – (abc + ac))) = –abc; г) a3 – (b3 – (a2b – ab2)) – (–(–(a2b – ab2) + b3) – а3) = 2a3.

Мал. 14


247. Доведіть, що при будьRякому натуральному значенні п значення виразу:

а) (7n + 21) – (10 – 4n) кратне 11; б) 8n2 + 7n – 4 – (3n2 + 12n – 19) кратне 5; в) (12n – 5) – (5n – 9) при діленні на 7 дає в остачі 4.

248*. Подайте у вигляді многочлена число:

а) ;abc б) xyx ; в) abc + ;ac

г) xyz – ;xy ґ) abc + ;bca д) xyz – .zxy249*. Доведіть, що:

а) сума чисел ab , bc і ca кратна 11;

б) сума чисел xyz , yzx і zxy кратна 111;

в) різниця чисел 0a b і 0b a кратна 99;

г) різниця ( ab + ac + bc ) – ( ca + cb + ba ) кратна 18.250*. Доведіть, що: а) сума семи послідовних натуральних чисел завжди

ділиться на 7; б) сума чотирьох послідовних нату ральних чисел зав жди

при діленні на 4 дає в остачі 2; в) сума трьох послідовних пар-

них натуральних чисел завжди ділиться на 6;

г) сума трьох послідовних непарних натуральних чисел завжди ділиться на 3 і ніколи не ділиться на 6.

251*.Покажіть, що числа, розта-шовані так, як на малюнку 15, утворюють магічний квадрат при будьRяких значеннях змін-них а і с.

Обчисліть (252—253).

252. а) –1

4 +

3

4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

– 2

9 +

22

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

б) 1 1

2 8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ (–2)3 – 31

4 :

21

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.


Мал. 15


253. а) 6 – (–0,2) : 0,4 + 0,8 – 2,4 : 6;

б) –23

5 – 6 : (–1,5) + (3,2 – 0,2 ⋅ 6)2.

254. Неоднаково вродила на полі пшениця: на третині із гектара —

центнерів по тридцять, а на решті —

по півсотні зерна золотого. То ж по скільки в середньому взяли з поля того?

§ 8. МНОЖЕННЯ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН

Помножимо двочлен а + b на одночлен т. За роз подільним законом множення:

(а + b)т = ат + bт.Так само можна множити довільний многочлен а + b – с на т:

(а + b – с)т = ат + bт – ст.Кожна з цих рівностей — тотожність. Якщо в будьRяку з

них замість якоїRнебудь змінної написати один і той са мий вираз, то знову одержимо тотожність:

(2х + b)т = 2хт + bт,

(а + b – c) ⋅ 4а2 = а ⋅ 4а2 + b ⋅ 4а2– с ⋅ 4а2 = 4а3 + 4а2b – 4а2c.

Щоб помножити многочлен на одночлен, потрібно кожний член многочлена помножити на даний одно-член і результати додати.

За цим правилом можна також множити одночлен на мно-гочлен, бо множники можна міняти місцями.

Приклад.

2аx ⋅ (3x2 – х + 4) = 2ах ⋅ 3х2 – 2ах ⋅ х + 2аx ⋅ 4 = = 6аx3 – 2ах2 + 8аx.

!



Для додатних значень а, b, т рівність (а + b)т == ат + bт можна проілюструвати геометрично (мал. 16). Площа прямокутника з основою m і висо-тою а + b дорівнює сумі площ двох прямокутників, основи яких — а і b, а висота — т.

В алгебрі рівність (а + b)т = ат + bт вважа-ється правильною не тільки для додатних чисел а, b, m, а й для від’ємних, будьAяких інших чисел і навіть виразів. Зокрема, якщо замість змінної b підставити вираз –с або с – d, то матимемо:

(а – с)т = (а + (–с))т = ат + (–с)т = ат – ст, (а + с – d)т = (а + (с – d))т = ат + (с – d)т = ат + ст – dт.

Отже, (а – с)т = ат – ст, (а + с – d)т = ат + ст – dт. Кожна з цих рівностей — тотожність, тобто рівність правильна

для довільних чисел і виразів а, b, с, d, т.

1. Як помножити многочлен на одночлен?2. Наслідком якого закону є це правило?3. Сформулюйте розподільний закон множення.4. Чи правильна тотожність (а + b)с = с(а + b)? Чому?5. Чому дорівнює добуток різниці а – b на с?


1. Перемножте вирази 2а + 3b – с і 5xу.✔ Р о з в ’ я з а н н я. (2а + 3b – с) ⋅ 5ху = = 2а ⋅ 5ху + 3b ⋅ 5ху – с ⋅ 5xу = 10аху + 15bху – 5cxy.В і д п о в і д ь . 10аху + 15bху – 5cxy.

2. Розв’яжіть рівняння: (3x – 5) ⋅ 2x = 6x2 + 7.✔ Р о з в ’ я з а н н я. 3х ⋅ 2х – 5 ⋅ 2х = 6х2 + 7,6х2 – 10x = 6х2 + 7, –10x = 7, x = –0,7.В і д п о в і д ь . –0,7.

3. Один брат старший від іншого на 6 років, а 3 роки тому він був старший від брата у два рази. Скільки років кожному з них?

✔ Р о з в ’ я з а н н я. Якщо молодшому брату х років, то стар-шому (х + 6) років. Три роки тому молодший мав (х – 3) років,


Мал. 16

Education

алгебра підручник для 7 класу авт. бевз г. п. бевз в. г