Правильні Правильні многокутникмногокутник

ии

Правильні многокутники

Означення. Многокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні.

Правильний восьмикутник

Правильний шестикутник

Правильний чотирикутник

Правильний трикутник

http://sajt-vchitelya-matematiki33.webnode.com.ua/

Правильні многокутники

Які з поданих фігур є правильними многокутниками

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Вписані і описані правильні

многокутники • Многокутник

називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на деякому колі.

• Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до деякого кола.

Вписані і описані правильні многокутники

Будь-який правильний

многокутник єодночасно вписаним іописаним, причомуцентри його

описаногоі вписаного кілзбігаються.

R

r

О

Формули для радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників

Кількість сторін

Радіус

3n 4n 6n

no

naR180sin2

3

33aR 2

24аR 6aR

no

n

tg

ar1802

6

33ar 2

4аr 2

36ar

Задача• Виразіть сторону правильного n-кутника

через радіус R описаного навколо нього і радіус r вписаного в нього кола. Обчисліть , якщо n=3,4,6.

na

na

R r

r3

326a4a3ana n

Ro180

sin2

2R

R

3Rn

rtgo1802

32r

r2

R rrR,na

Алгоритм побудови правильного шестикутника

• 1) Побудувати коло довільного радіуса.

• 2) Від довільної точки М кола потрібно послідовно відкласти хорди, які дорівнюють радіусу.

• 3) З'єднати послідовно

точки – це вершини правильного шестикутника.

М

Алгоритм побудови правильного трикутника

• 1) Побудувати коло довільного радіуса.

• 2) Від довільної точки М кола послідовно відкласти хорди, які дорівнюють радіусу.

• 3) З'єднати послідовно точки – це вершини

правильного шестикутника.

• 4) Сполучити через одну вершини правильного шестикутника, отримаємо правильний трикутник.

М

Алгоритм побудови правильного чотирикутника

• Для побудови правильного чотирикутника достатньо в колі провести два перпендикулярні діаметри АС і ВD.

• Чотирикутник АВСD- квадрат.

C A

D

B

Стародавні вчені, які вміли будувати будь-який із правильних n-кутників, де n=3,4,5,6.8,10,намагалися розв'язати цю задачу і для n=7,9. Їм це не вдалося. І лише у кінці XVIII ст. 19-річний студент Геттінгенського університету, в майбутньому видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаусс повністю розв'язав питання про побудову правильних многокутників циркулем і лінійкою – це було його перше відкриття. Він довів, що за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати правильний 17-кутник. Взагалі він довів, що поділити колона n рівних частин, або, що те саме, побудувати правильний n-кутник, задопомогою циркуля і лінійки можна лише тоді, коли n є просте число видуn= , де k- ціле додатне число або нуль, наприклад: n=3,5,17,257,65537.При цьому очевидно, що коли побудовано правильний n-кутник, то легкопобудувати і правильний 2n-кутник.

Гаусс дуже пишався своїм першим відкриттям, і рисунок правильногосімнадцятикутника звелів викарбувати на своїй могильній плиті.

122

- довжина дугиR- радіус колаn° - градусна міра відповідного центрального кута

Довжина дуги

D - діаметрC= D

C - довжина колаR – радіус кола

С=2 RДовжина кола

ПозначенняФормулаНазва формули

R

О

n°О

l

180Rnl

Довжина кола. Довжина дуги

n > 180o

Sсегм - площа кругового сегмента

- площа трикутника

n < 180oПлоща кругового сегмента

Sкр.с. - площа кругового сектораn° - градусна міра відповідного центрального кута

Площа кругового сектора

D - діаметр

S – площа круга R – радіус круга

Площа круга

360

2

.nRS скр

2RS 2

4DS

О

R

n°

SSкр.с.сегмS

SSкр.с.сегмS

S1 2

1

2n°

n°

Задача

У дворі нашої школи є клумба квадратної форми. Навесні ми будемо садити квіти на нашу клумбу. Спочатку ми будемо садити конвалії по колу, яке можна вписати в квадратну клумбу. Потім тюльпани - в формі квадрата, який вписаний в коло. Скільки саджанців конвалій і цибулин тюльпанів потрібно посадити, якщо розміри клумби 6х6 квадратних метрів? Садити квіти потрібно через кожні 20 см.

Розв’язання

Оскільки коло вписане в квадрат, то радіус кола дорівнює половині сторони квадрата.

м1918.8433.142CR23

СмrR

Знайдемо кількість конвалій, потрібних для посадки. 19:0,2=95( шт )Сторона вписаного квадрата буде дорівнювати м. Периметр цього квадрата дорівнює

Обчислимо кількість цибулин тюльпанів, необхідних для посадки 16,8 : 0,2 = 84 (шт)

23)(8.16212423 м

Відповідь: 95 конвалій; 84 цибулини тюльпанів

Задача

В кондитерському цеху зробили круглий торт радіусом 18 см. Для пакування є два види коробок: квадратної форми і форми правильного шестикутника.

В яку коробку помістимо торт, якщо сторона квадратної коробки 36 см, а шестикутної – 20 см ?

Розв’язання

Оскільки радіус торта дорівнює 18 см, то для розв’язання задачі потрібно перевірити радіуси вписаних кіл для двох видів коробок.

Сторона квадратної коробки дорівнює 36 см, отже, радіус вписаного кола дорівнює 18 см. Таким чином, торт поміститься в квадратну коробку.

Перевіримо другу коробку. Трикутник АОВ прямокутний, .о 60,30АОВ , 18cмA0,90 оo АВОA

О

BA

За співвідношеннями між сторонами і кутами прямокутного трикутника маємо: :

смtgAB

AOBtgAOAB

o 363

3183018

Сторона коробки дорівнює Порівняємо сторони обох коробок.

Таким чином, торт не поміститься в коробку форми правильного шестикутника.

см312362

20 312

1. Сторони, кути і вершини многокутника?2. Многокутник з рівними сторонами і кутами?3. Геометрична фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки.4. Частина круга, обмежена хордою і відповідною їй дугою?5. Багатогранник, всі сторони якого дотикаються до кола, називається…6. Частина центрального кута кола, яку обмежує відповідна дуга цього кола.7. Внутрішня частина площини, що обмежена колом, називається…8. Кут, вершина якого знаходиться в центрі кола.9. Багатогранник, у якого всі його вершини лежать на колі, називається…10. Сума довжини сторін многокутника.11. Многокутник, який знаходиться в одній півплощині відносно прямої, що містить будь – яку сторону, називається…

Кросворд

Список використаних джерел1. Апостолова Г.В. Геометрія: 9: дворівн. підруч. для

загальноосвіт. навч. закл./ Г.В. Апостолова. – К. : Генеза, 2009. – 304с. : іл.

2. О.С. Істер, Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9кл./ О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко.- К.: Центр навч.- метод. л-ри, 2011.-112с.:іл.

3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: Підруч. для 9 кл. шкіл з поглибл. вивченням математики.- Х.:Гімназія, 2009.-272с.: іл.

4. О.Г. Черватюк, Г.Д. Шиманська, Елементи цікавої математики на уроках математики, видавництво “Радянська школа”, Київ – 1968. -188с.

5. http://dpravda.org/6. http://www.topledi.com/7. http://www.guolit.com/8. http://stroimat.com.ua/