ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΘΕΜΑ: ΕΜΠΟΔΙΑ ΚΑΙ ΛΑΘΗ ΚΑΤA ΤΗΝ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΤΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΑΠOΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

gperiklidakis.wdfiles.com

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ

Σύμφωνα με το Γ. Τρούλη Σύμφωνα με το Γ. Τρούλη (1992) (1992) « αλγόριθμος είναι « αλγόριθμος είναι μια σειρά κανόνων ορισμένη με ακρίβεια, που μια σειρά κανόνων ορισμένη με ακρίβεια, που δείχνει πως θα επιτύχουμε καθορισμένες δείχνει πως θα επιτύχουμε καθορισμένες πληροφορίες εξόδου με βάση δοσμένες πληροφορίες πληροφορίες εξόδου με βάση δοσμένες πληροφορίες εισόδου ύστερα από ένα καταληκτικό αριθμό εισόδου ύστερα από ένα καταληκτικό αριθμό πράξεων».πράξεων».

Παραδείγματα αλγορίθμων είναι τα συγκεκριμένα Παραδείγματα αλγορίθμων είναι τα συγκεκριμένα βήματα που ακολουθούνται κατά την εκτέλεση των βήματα που ακολουθούνται κατά την εκτέλεση των τεσσάρων πράξεων με ακέραιους, κλασματικούς ή τεσσάρων πράξεων με ακέραιους, κλασματικούς ή δεκαδικούς αριθμούς.δεκαδικούς αριθμούς.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

• Όταν μιλάμε για τις αριθμητικές ή υπολογιστικές Όταν μιλάμε για τις αριθμητικές ή υπολογιστικές ικανότητες θα πρέπει να κάνουμε διάκριση μεταξύ των ικανότητες θα πρέπει να κάνουμε διάκριση μεταξύ των απλών πράξεων και των πιο σύνθετων διαδικασιών που απλών πράξεων και των πιο σύνθετων διαδικασιών που ονομάζονται αλγόριθμοι.ονομάζονται αλγόριθμοι.

• Απλές πράξεις μπορεί να θεωρηθούν οι πίνακες της Απλές πράξεις μπορεί να θεωρηθούν οι πίνακες της προπαίδειας που οι μαθητές καταβάλλουν πολλές φορές προπαίδειας που οι μαθητές καταβάλλουν πολλές φορές μεγάλες προσπάθειες για να τις απομνημονεύσουν. Ενώ μεγάλες προσπάθειες για να τις απομνημονεύσουν. Ενώ με τον όρο αλγόριθμο ονομάζουμε όλες εκείνες τις με τον όρο αλγόριθμο ονομάζουμε όλες εκείνες τις μηχανικές διαδικασίες, στις οποίες εκτελούνται κατά μηχανικές διαδικασίες, στις οποίες εκτελούνται κατά σειρά διάφορα προκαθορισμένα και απαιτούμενα σειρά διάφορα προκαθορισμένα και απαιτούμενα βήματα.βήματα.

• Απαραίτητη προϋπόθεση για να εκτελεστεί όμως ένας Απαραίτητη προϋπόθεση για να εκτελεστεί όμως ένας αλγόριθμος μιας αριθμητικής πράξης είναι η γνώση των αλγόριθμος μιας αριθμητικής πράξης είναι η γνώση των επιμέρους απλών πράξεων.επιμέρους απλών πράξεων.

Π.χ ο μαθητής έχει να εκτελέσει τον ακόλουθο αλγόριθμο:Π.χ ο μαθητής έχει να εκτελέσει τον ακόλουθο αλγόριθμο: 507507 χ 32χ 32 10141014 +1521+1521 16.22416.224 Εάν δεν γνωρίζει τις απλές πράξεις, όπως είναι η προπαίδεια Εάν δεν γνωρίζει τις απλές πράξεις, όπως είναι η προπαίδεια

ή η πράξη της πρόσθεσης δεν θα μπορεί να εκτελέσει και να ή η πράξη της πρόσθεσης δεν θα μπορεί να εκτελέσει και να επιλύσει ορθά και τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού.επιλύσει ορθά και τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού.

• Εύλογα προκύπτει ότι οι απλές πράξεις εμπεριέχονται στους Εύλογα προκύπτει ότι οι απλές πράξεις εμπεριέχονται στους αλγόριθμους των αντίστοιχων πράξεων.αλγόριθμους των αντίστοιχων πράξεων.

• Αυτό σημαίνει ότι οποιαδήποτε λάθη πραγματοποιούνται στις Αυτό σημαίνει ότι οποιαδήποτε λάθη πραγματοποιούνται στις απλές πράξεις, θα συμβαίνουν αντίστοιχα τα ίδια και στην απλές πράξεις, θα συμβαίνουν αντίστοιχα τα ίδια και στην προσπάθεια των μαθητών να εκτελέσουν κάποιο αλγόριθμο. προσπάθεια των μαθητών να εκτελέσουν κάποιο αλγόριθμο. Για παράδειγμα δεν μπορεί ένας μαθητής με μαθησιακές Για παράδειγμα δεν μπορεί ένας μαθητής με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά να επιλύσει έναν αλγόριθμο του δυσκολίες στα μαθηματικά να επιλύσει έναν αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού μεταξύ 2 πολυψήφιων αριθμών χωρίς πολλαπλασιασμού μεταξύ 2 πολυψήφιων αριθμών χωρίς πρώτα να γνωρίζει και να έχει αυτοματοποιήσει την πρώτα να γνωρίζει και να έχει αυτοματοποιήσει την προπαίδεια.προπαίδεια.

3.4 ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΤΗΣ 3.4 ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΡΑΞΕΩΝΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΡΑΞΕΩΝ

Προκειμένου να τεθεί εξαρχής σε σωστές βάσεις η Προκειμένου να τεθεί εξαρχής σε σωστές βάσεις η εκτέλεση πράξεων, είναι απαραίτητο να αποκτηθούν εκτέλεση πράξεων, είναι απαραίτητο να αποκτηθούν προηγουμένως από το παιδί κάποιες βασικές προηγουμένως από το παιδί κάποιες βασικές δεξιότητες. Στις δεξιότητες αυτές ανήκουν:δεξιότητες. Στις δεξιότητες αυτές ανήκουν:

α) Η αρχική εκτίμηση και ο τελικός έλεγχος του α) Η αρχική εκτίμηση και ο τελικός έλεγχος του αποτελέσματος.αποτελέσματος.

β) Η σωστή διάκριση συμβόλων και η σύνδεσή τους με β) Η σωστή διάκριση συμβόλων και η σύνδεσή τους με το σχετικό λεξιλόγιο.το σχετικό λεξιλόγιο.

γ) Η αναγνώριση των Β.Α.Δ. μέσα σε σύνθετες γ) Η αναγνώριση των Β.Α.Δ. μέσα σε σύνθετες πράξεις.πράξεις.

δ) Η άμεση σύνδεση της συμβολικής μορφής της δ) Η άμεση σύνδεση της συμβολικής μορφής της πράξης με τις ενέργειες πάνω στα αντικείμενα.πράξης με τις ενέργειες πάνω στα αντικείμενα.

(Αγαλιώτης,2000)(Αγαλιώτης,2000)

4.2 ΤΥΧΑΙΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΛΑΘΗ4.2 ΤΥΧΑΙΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΛΑΘΗ

• Ένα λάθος ονομάζεται Ένα λάθος ονομάζεται συστηματικόσυστηματικό, όταν , όταν παρατηρείται κατ’ επανάληψη μια λανθασμένη παρατηρείται κατ’ επανάληψη μια λανθασμένη απάντηση σε έναν αλγοριθμικό υπολογισμό και απάντηση σε έναν αλγοριθμικό υπολογισμό και πίσω από την απάντηση μπορεί να αναγνωριστεί πίσω από την απάντηση μπορεί να αναγνωριστεί ένα συγκεκριμένο σχήμα συλλογιστικό. Για να ένα συγκεκριμένο σχήμα συλλογιστικό. Για να χαρακτηριστεί ένα λάθος συστηματικό, θα πρέπει χαρακτηριστεί ένα λάθος συστηματικό, θα πρέπει να εμφανίζεται με συχνότητα 3 στα 5 (60%). να εμφανίζεται με συχνότητα 3 στα 5 (60%).

• Τα συστηματικά λάθη πρέπει να τα διαχωρίσουμε Τα συστηματικά λάθη πρέπει να τα διαχωρίσουμε από τααπό τα τυχαία λάθητυχαία λάθη. Τα τυχαία λάθη δε δίνουν . Τα τυχαία λάθη δε δίνουν ενδείξεις για επαναλαμβανόμενο λανθασμένο ενδείξεις για επαναλαμβανόμενο λανθασμένο συλλογισμό ή διαδικασία και δεν μπορούμε να τα συλλογισμό ή διαδικασία και δεν μπορούμε να τα εξηγήσουμε εύκολα, γιατί δε φαίνονται σ’ αυτά οι εξηγήσουμε εύκολα, γιατί δε φαίνονται σ’ αυτά οι λανθασμένες διαδικασίες που χρησιμοποιήθηκαν. λανθασμένες διαδικασίες που χρησιμοποιήθηκαν. Επίσης, δεν εμφανίζονται με μεγάλη συχνότητα Επίσης, δεν εμφανίζονται με μεγάλη συχνότητα όπως τα συστηματικά λάθη.όπως τα συστηματικά λάθη.

4.3 ΑΙΤΙΕΣ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ4.3 ΑΙΤΙΕΣ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ Τα λάθη των μαθητών μπορούν να αποδοθούν σε μία Τα λάθη των μαθητών μπορούν να αποδοθούν σε μία

ποικιλία παραγόντων που μπορεί να οφείλονται:ποικιλία παραγόντων που μπορεί να οφείλονται:

Είτε στη μη απόκτηση κάποιας σειράς ενεργειών από Είτε στη μη απόκτηση κάποιας σειράς ενεργειών από το μαθητή είτε στην αδυναμία κατανόησης της το μαθητή είτε στην αδυναμία κατανόησης της έννοιας της πράξης.έννοιας της πράξης.

Οι μαθητές συχνά υπεργενικεύουν, Οι μαθητές συχνά υπεργενικεύουν, υπεραπλουστεύουν ή υπερειδικεύουν τις ήδη υπεραπλουστεύουν ή υπερειδικεύουν τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις τους με βάση προηγούμενες υπάρχουσες γνώσεις τους με βάση προηγούμενες εμπειρίες για να καλύψουν νέες απαιτήσεις.εμπειρίες για να καλύψουν νέες απαιτήσεις.

Στη μη κατάκτηση προϋποτιθέμενων γνώσεων και Στη μη κατάκτηση προϋποτιθέμενων γνώσεων και στην ατυχή χρήση κανόνων.στην ατυχή χρήση κανόνων.

Στην ελλιπή κατανόηση του δεκαδικού συστήματος Στην ελλιπή κατανόηση του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης (έννοια θεσιακής αξίας).αρίθμησης (έννοια θεσιακής αξίας).

Στην δυσκολία που αφορούν την σωστή αντίληψη και Στην δυσκολία που αφορούν την σωστή αντίληψη και διάκριση μέσα στο χώρο της διάταξης και της διάκριση μέσα στο χώρο της διάταξης και της μορφής των αριθμών και των πραξιακών συμβόλων.μορφής των αριθμών και των πραξιακών συμβόλων.

Στην ανεπαρκή γνώση των Β.Α.Δ. (π.χ. προπαίδεια).Στην ανεπαρκή γνώση των Β.Α.Δ. (π.χ. προπαίδεια). Στην χρήση χρονοβόρων στρατηγικών για την Στην χρήση χρονοβόρων στρατηγικών για την

εύρεση των Β.Α.Δ., πράγμα το οποίο αυξάνει τον εύρεση των Β.Α.Δ., πράγμα το οποίο αυξάνει τον κίνδυνο του λάθους.κίνδυνο του λάθους.

Στην ανεπαρκή ή ακατάλληλη διδασκαλία.Στην ανεπαρκή ή ακατάλληλη διδασκαλία. Στη δομή, στη διάρθρωση και στο περιεχόμενο των Στη δομή, στη διάρθρωση και στο περιεχόμενο των

σχολικών εγχειριδίων.σχολικών εγχειριδίων. Στις ενέργειες των παιδιών που προσπαθούν να Στις ενέργειες των παιδιών που προσπαθούν να

καλύψουν κενά μάθησης κυρίως μέσω της χρήσης καλύψουν κενά μάθησης κυρίως μέσω της χρήσης εννοιών και κανόνων που είχαν οδηγήσει σε σωστά εννοιών και κανόνων που είχαν οδηγήσει σε σωστά αποτελέσματα σε άλλες περιπτώσεις.αποτελέσματα σε άλλες περιπτώσεις.

ΔΙΑΧΕΙΡΔΙΑΧΕΙΡΙΙΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ Τι μπορούμε να επιτύχουμε κάνοντας χρήση των Τι μπορούμε να επιτύχουμε κάνοντας χρήση των

λαθών;λαθών;

Η διαδικασία του να ψάξει ο μαθητής, να εξηγήσει και να Η διαδικασία του να ψάξει ο μαθητής, να εξηγήσει και να διορθώσει το λάθος του ή το λάθος κάποιου άλλου διορθώσει το λάθος του ή το λάθος κάποιου άλλου μπορεί να οδηγήσει στην αυτοεξήγηση.μπορεί να οδηγήσει στην αυτοεξήγηση.

Τα λάθη σε δουλεμένα παραδείγματα μπορούν να Τα λάθη σε δουλεμένα παραδείγματα μπορούν να παρακινήσουν τους μαθητές για ερευνητική μάθηση.παρακινήσουν τους μαθητές για ερευνητική μάθηση.

Χρησιμοποιώντας την αποτυχία ενός αλγόριθμου Χρησιμοποιώντας την αποτυχία ενός αλγόριθμου δημιουργικά μπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη της δημιουργικά μπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη της κριτικής σκέψης.κριτικής σκέψης.

Οι μαθητές θα πρέπει να εκπαιδευτούν στο σκεπτικό μίας Οι μαθητές θα πρέπει να εκπαιδευτούν στο σκεπτικό μίας λύσης και να βρίσκουν τη λογική που οδηγεί στη λύση.λύσης και να βρίσκουν τη λογική που οδηγεί στη λύση.

Η ανακάλυψη και η διόρθωση ενός λάθους είναι κάτι Η ανακάλυψη και η διόρθωση ενός λάθους είναι κάτι παρόμοιο με τον ρόλο του δασκάλου, κάτι που από μόνο παρόμοιο με τον ρόλο του δασκάλου, κάτι που από μόνο του αποτελεί αποτελεσματική στρατηγική μάθησης. του αποτελεί αποτελεσματική στρατηγική μάθησης.

Μία εστίαση στα λάθη μπορεί να είναι ενεργητική για Μία εστίαση στα λάθη μπορεί να είναι ενεργητική για τους μαθητές σε μεταγνωστικό επίπεδο.τους μαθητές σε μεταγνωστικό επίπεδο.

5. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ 5. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ

Ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού παρουσιάζει Ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες, καθώς μεταξύ άλλων απαιτεί:αρκετές δυσκολίες, καθώς μεταξύ άλλων απαιτεί: Άριστη γνώση των βασικών αριθμητικών δεδομένων Άριστη γνώση των βασικών αριθμητικών δεδομένων

του πολλαπλασιασμού (σε επίπεδο αυτοματισμού)του πολλαπλασιασμού (σε επίπεδο αυτοματισμού) Γνώση των βασικών αριθμητικών δεδομένων και του Γνώση των βασικών αριθμητικών δεδομένων και του

αλγορίθμου της πρόσθεσηςαλγορίθμου της πρόσθεσης Εναλλαγή πολλαπλασιασμών και προσθέσεωνΕναλλαγή πολλαπλασιασμών και προσθέσεων Μνημονική συγκράτηση διψήφιων αριθμώνΜνημονική συγκράτηση διψήφιων αριθμών Μεταφορά διαφόρων αριθμών (συνήθως Μεταφορά διαφόρων αριθμών (συνήθως

μεγαλύτερων του 1) από στήλη σε στήλη μεγαλύτερων του 1) από στήλη σε στήλη (κρατούμενα)(κρατούμενα)

Ιδιαίτερη προσοχή κατά την τοποθέτηση των Ιδιαίτερη προσοχή κατά την τοποθέτηση των ψηφίων στο χώροψηφίων στο χώρο

(Αγαλιώτης,2000, Φιλίππου & Χρίστου(Αγαλιώτης,2000, Φιλίππου & Χρίστου,,1995)1995)

ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΤΟΥ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΤΟΥ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ Άγνοια αλγορίθμουΆγνοια αλγορίθμου

Πλήρης άγνοια όλων των αλγορίθμων του πολλαπλασιασμούΠλήρης άγνοια όλων των αλγορίθμων του πολλαπλασιασμού Άγνοια του αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού διψήφιων και Άγνοια του αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού διψήφιων και

τριψήφιων αριθμώντριψήφιων αριθμών Άγνοια αλγορίθμου και χρησιμοποίηση διαδοχικών Άγνοια αλγορίθμου και χρησιμοποίηση διαδοχικών

προσθέσεωνπροσθέσεων

Λάθη ελαττωματικού αλγορίθμου και παραβίαση της Λάθη ελαττωματικού αλγορίθμου και παραβίαση της θεσιακής αξίας θεσιακής αξίας Παράλειψη στηλών κατά τον πολλαπλασιασμό Παράλειψη στηλών κατά τον πολλαπλασιασμό

o Μονάδες επί μονάδες και αυτούσιες οι Μονάδες επί μονάδες και αυτούσιες οι δεκάδεςo Μονάδες επί μονάδες και μηδέν στη στήλη των Μονάδες επί μονάδες και μηδέν στη στήλη των δεκάδων

Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο επί Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο επί δεκάδες Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν δεκάδες επί Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν δεκάδες επί δεκάδες

Πολλαπλασιασμός σε ανεξάρτητες Πολλαπλασιασμός σε ανεξάρτητες στήλες Τα μερικά γινόμενα στη Τα μερικά γινόμενα στη σειρά Το δεύτερο μερικό γινόμενο δε μετακινείται μια θέση Το δεύτερο μερικό γινόμενο δε μετακινείται μια θέση

αριστερά

Για παράδειγμα ένα συχνό λάθος που κάνουν οι μαθητές Για παράδειγμα ένα συχνό λάθος που κάνουν οι μαθητές όσον αφορά την θεσιακή αξία των αριθμών είναι:όσον αφορά την θεσιακή αξία των αριθμών είναι:

24 2424 24 Χ Χ 13 Χ 1313 Χ 13 72 72 αντί αντί 7272 ++ 24 + 2424 + 24 96 31296 312

Άλλη πράξηΆλλη πράξη Πρόσθεση αντί Πρόσθεση αντί πολλαπλασιασμού Μισή πρόσθεση μισός πολλαπλασιασμόςΜισή πρόσθεση μισός πολλαπλασιασμός

o Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν δεκάδεςo Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν μονάδες Μονάδες επί μονάδες και κρατούμενο συν μονάδες

συν δεκάδες συν συν δεκάδες συν εκατοντάδες

Π.χ. 5 12Π.χ. 5 12 Χ 7 Χ 7Χ 7 Χ 7 12 2412 24

Λάθος στη σειρά των βημάτων του αλγορίθμου Λάθος στη σειρά των βημάτων του αλγορίθμου Πρώτα προσθέτει τα κρατούμενα στις δεκάδες Πρώτα προσθέτει τα κρατούμενα στις δεκάδες

και ύστερα και ύστερα πολλαπλασιάζει

Λάθη με τα κρατούμεναΛάθη με τα κρατούμενα Κρατά τις μονάδες και γράφει τις Κρατά τις μονάδες και γράφει τις δεκάδες Γράφει και κρατά τις Γράφει και κρατά τις μονάδες Αγνοεί τα κρατούμεναΑγνοεί τα κρατούμενα Όλοι οι πολλαπλασιασμοί έχουν κρατούμενο έναΌλοι οι πολλαπλασιασμοί έχουν κρατούμενο ένα Τα κρατούμενα δεν προστίθενται σε στήλη όπου Τα κρατούμενα δεν προστίθενται σε στήλη όπου

το γινόμενο είναι μηδέν, αλλά μεταφέρονται στην το γινόμενο είναι μηδέν, αλλά μεταφέρονται στην επόμενηεπόμενη

Συνδυασμός λαθώνΣυνδυασμός λαθών Κρατά τις μονάδες, γράφει τις δεκάδες και Κρατά τις μονάδες, γράφει τις δεκάδες και

προσθέτει κρατούμενο και δεκάδες προσθέτει κρατούμενο και δεκάδες πολλαπλασιαστέου πολλαπλασιαστέου

Αγνοεί τα κρατούμενα και παραλείπει στήλες κατά Αγνοεί τα κρατούμενα και παραλείπει στήλες κατά τον πολλαπλασιασμό τον πολλαπλασιασμό

Πολλαπλασιάζει μονάδες, πολλαπλασιάζει δεκάδες Πολλαπλασιάζει μονάδες, πολλαπλασιάζει δεκάδες και στο δεύτερο γινόμενο προσθέτει τις μονάδες και στο δεύτερο γινόμενο προσθέτει τις μονάδες του προηγούμενου γινομένουτου προηγούμενου γινομένου

Πολλαπλασιάζει μονάδες, κρατά μονάδες Πολλαπλασιάζει μονάδες, κρατά μονάδες γινομένου και γράφει δεκάδες και προσθέτει γινομένου και γράφει δεκάδες και προσθέτει κρατούμενα με δεκάδες τελεστώνκρατούμενα με δεκάδες τελεστών

Αρχικά πρόσθεση αντί πολλαπλασιασμού και μετά Αρχικά πρόσθεση αντί πολλαπλασιασμού και μετά κρατούμενο επί δεκάδες πολλαπλασιαστέουκρατούμενο επί δεκάδες πολλαπλασιαστέου

(Αγαλιώτης, 1997)(Αγαλιώτης, 1997)

• Σύμφωνα με μία έρευνα, η Σύμφωνα με μία έρευνα, η CoxCox κατηγοριοποίησε τα κατηγοριοποίησε τα συστηματικά λάθη που πραγματοποιούνται στον συστηματικά λάθη που πραγματοποιούνται στον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού και διαπίστωσε ότι αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού και διαπίστωσε ότι αυτά ανήκουν σε 8 διαφορετικές κατηγορίες.αυτά ανήκουν σε 8 διαφορετικές κατηγορίες.

Κατάταξη των συστηματικών λαθών στον αλγόριθμου Κατάταξη των συστηματικών λαθών στον αλγόριθμου του πολλ/σμού σύμφωνα με την φύση της του πολλ/σμού σύμφωνα με την φύση της

δυσλειτουργίας τους.δυσλειτουργίας τους.ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΛΑΘΩΝΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΛΑΘΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝΈννοια του πολλαπλασιασμούΈννοια του πολλαπλασιασμού 1919Επιμέρους γινόμεναΕπιμέρους γινόμενα 1313Πολλαπλασιαστική διαδικασία Πολλαπλασιαστική διαδικασία με τα κρατούμεναμε τα κρατούμενα

1010

Προσθετική διαδικασία με τα Προσθετική διαδικασία με τα κρατούμενακρατούμενα

77

ΚρατούμεναΚρατούμενα 66Πολλαπλασιασμός με το μηδένΠολλαπλασιασμός με το μηδέν 66Εκτελείται άλλη πράξηΕκτελείται άλλη πράξη 44

Αντιστροφή των ψηφίωνΑντιστροφή των ψηφίων 22ΣΥΝΟΛΟΣΥΝΟΛΟ 6767

Παρακάτω θα παρουσιάσουμε κάποια από τα πιο συνηθισμένα Παρακάτω θα παρουσιάσουμε κάποια από τα πιο συνηθισμένα συστηματικά λάθη του πολλαπλασιασμού σύμφωνα με την συστηματικά λάθη του πολλαπλασιασμού σύμφωνα με την CoxCox (1975). (1975).

Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος πολλαπλασιαστέος, χωρίς Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος πολλαπλασιαστέος, χωρίς κρατούμενα.κρατούμενα.

Π.χ. 34 45 232Π.χ. 34 45 232 Χ 2 Χ 1 Χ 2Χ 2 Χ 1 Χ 2 38 45 23438 45 234 Γίνεται σωστά ο πολλαπλασιασμός μόνο στη στήλη των μονάδων, Γίνεται σωστά ο πολλαπλασιασμός μόνο στη στήλη των μονάδων,

ενώ οι δεκάδες και οι εκατοντάδες μένουν αυτούσιες. Με αυτή τη ενώ οι δεκάδες και οι εκατοντάδες μένουν αυτούσιες. Με αυτή τη λανθασμένη διαδικασία μπορεί μερικές φορές το αποτέλεσμα να είναι λανθασμένη διαδικασία μπορεί μερικές φορές το αποτέλεσμα να είναι σωστό όπως είναι στο 2σωστό όπως είναι στο 2οο παράδειγμα. παράδειγμα.

α) Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος και τριψήφιος α) Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος και τριψήφιος πολλαπλασιαστέος που περιέχει μηδενικά στα ενδιάμεσα ή τα πολλαπλασιαστέος που περιέχει μηδενικά στα ενδιάμεσα ή τα τελευταία, χωρίς κρατούμενα.τελευταία, χωρίς κρατούμενα.

Π.χ. 30 200 401Π.χ. 30 200 401 Χ 4 Χ 5 Χ 4Χ 4 Χ 5 Χ 4 124 1055 444124 1055 444 Γίνεται λανθασμένος πολλαπλασιασμός με το 0: νΧ0 = νΓίνεται λανθασμένος πολλαπλασιασμός με το 0: νΧ0 = ν

β) Διψήφιος πολλαπλασιαστής, τριψήφιος πολλαπλασιαστέος που β) Διψήφιος πολλαπλασιαστής, τριψήφιος πολλαπλασιαστέος που περιέχει ενδιάμεσα μηδενικά ψηφία, με κρατούμενα.περιέχει ενδιάμεσα μηδενικά ψηφία, με κρατούμενα.

Π.χ. 507 705Π.χ. 507 705 Χ 32 Χ 42Χ 32 Χ 42 1034 14301034 1430 + 1551 +2860+ 1551 +2860 16544 3003016544 30030 Γίνεται λανθασμένος ο πολλαπλασιασμός με το 0 υπολογίζοντας Γίνεται λανθασμένος ο πολλαπλασιασμός με το 0 υπολογίζοντας

όμως κανονικά τα κρατούμενα.όμως κανονικά τα κρατούμενα.

Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος πολλαπλασιαστέος, Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, διψήφιος πολλαπλασιαστέος, κρατούμενα στη στήλη των δεκάδων.κρατούμενα στη στήλη των δεκάδων.

1 1 21 1 2

α) 26 48 27 α) 26 48 27 Χ Χ 3 Χ 2 Χ 4 3 Χ 2 Χ 4 28 46 48 28 46 48

Ο πολλαπλασιασμός γίνεται σωστά στη στήλη των μονάδων. Το Ο πολλαπλασιασμός γίνεται σωστά στη στήλη των μονάδων. Το κρατούμενο πολλαπλασιάζεται με τις δεκάδες και το γινόμενο κρατούμενο πολλαπλασιάζεται με τις δεκάδες και το γινόμενο τους τοποθετείται στη στήλη των δεκάδων της απάντησης, αντί τους τοποθετείται στη στήλη των δεκάδων της απάντησης, αντί να γίνει πολλαπλασιασμός με τον πολλαπλασιαστή και να να γίνει πολλαπλασιασμός με τον πολλαπλασιαστή και να προστεθεί στη συνέχεια και το κρατούμενο.προστεθεί στη συνέχεια και το κρατούμενο.

1 1 21 1 2

β) β) 26 48 2726 48 27 Χ Χ 3 Χ 2 Χ 43 Χ 2 Χ 4 98 106 98 106 168168 Ο πολλαπλασιασμός γίνεται σωστά στη στήλη των Ο πολλαπλασιασμός γίνεται σωστά στη στήλη των

μονάδων, αλλά το κρατούμενο προστίθεται στο ψηφίο μονάδων, αλλά το κρατούμενο προστίθεται στο ψηφίο των δεκάδων, προτού γίνει ο πολλ/σμός με το άθροισμα.των δεκάδων, προτού γίνει ο πολλ/σμός με το άθροισμα.

π.χ. για το 26 Χ 3 γίνεται 6Χ3=18, το 1 προστίθεται με π.χ. για το 26 Χ 3 γίνεται 6Χ3=18, το 1 προστίθεται με το 2 (1+2=3) και πολλαπλασιάζεται με το 3.το 2 (1+2=3) και πολλαπλασιάζεται με το 3.

Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, τριψήφιος και Μονοψήφιος πολλαπλασιαστής, τριψήφιος και τετραψήφιος πολλαπλασιαστέος, το κρατούμενο πάει τετραψήφιος πολλαπλασιαστέος, το κρατούμενο πάει στο μηδέν.στο μηδέν.

α) 904 5070 α) 904 5070 χ 3 Χ 8χ 3 Χ 8 2742 4013602742 401360Προστίθενται τα κρατούμενα στον πολλαπλασιαστή.Προστίθενται τα κρατούμενα στον πολλαπλασιαστή.

ββ) 904 5070) 904 5070 Χ 3 Χ 8Χ 3 Χ 8 2732 440602732 44060 Πολλαπλασιάζεται ο πολλαπλασιαστής με το ψηφίο Πολλαπλασιάζεται ο πολλαπλασιαστής με το ψηφίο

των κρατουμένων.των κρατουμένων.

Διψήφιος πολλαπλασιαστής με μηδέν στη στήλη των Διψήφιος πολλαπλασιαστής με μηδέν στη στήλη των μονάδων, διψήφιος και τριψήφιος πολλαπλασιαστέος, μονάδων, διψήφιος και τριψήφιος πολλαπλασιαστέος, με και χωρίς κρατούμενα.με και χωρίς κρατούμενα.

336 67 149336 67 149 Χ 20 Χ 20 Χ 40Χ 20 Χ 20 Χ 40 366 127 169366 127 169 Πολλαπλασιάζονται τα ψηφία του πολλαπλασιαστέου Πολλαπλασιάζονται τα ψηφία του πολλαπλασιαστέου

με τα ψηφία του πολλαπλασιαστή που βρίσκονται με τα ψηφία του πολλαπλασιαστή που βρίσκονται ακριβώς από κάτω τους. Ο πολλαπλασιασμός με το 0 ακριβώς από κάτω τους. Ο πολλαπλασιασμός με το 0 μπορεί να είναι σωστός ή να περιέχει το λάθος νΧ0=ν.μπορεί να είναι σωστός ή να περιέχει το λάθος νΧ0=ν.

5.2 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ 5.2 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ

Α) Αδυναμία απόκτησης σχέσεων μεταξύ υλικών ενεργειών Α) Αδυναμία απόκτησης σχέσεων μεταξύ υλικών ενεργειών και αλγοριθμικών βημάτων.και αλγοριθμικών βημάτων.

Σημαντικό ρόλο παίζει η ασαφής αντίληψη του μαθητή ως Σημαντικό ρόλο παίζει η ασαφής αντίληψη του μαθητή ως προς το τι αντιπροσωπεύουν οι αριθμοί.προς το τι αντιπροσωπεύουν οι αριθμοί.

Χρήσιμες θεωρούνται οι πραξιακές και εικονιστικές Χρήσιμες θεωρούνται οι πραξιακές και εικονιστικές αναπαραστάσεις που εμφανίζουν τη λειτουργία κάθε αναπαραστάσεις που εμφανίζουν τη λειτουργία κάθε τελεστή.τελεστή.

5 Χ 17

10 7

123 4 5

5 x 17=5 x(10+7)= (5 x 10) + (5 x 7)=50+35=85

Β) Οι κατάλληλες αναπαραστάσεις παίζουν Β) Οι κατάλληλες αναπαραστάσεις παίζουν

σημαντικό ρόλο και κατά την τεκμηρίωση σημαντικό ρόλο και κατά την τεκμηρίωση της αντιμεταθετικής ιδιότητας.της αντιμεταθετικής ιδιότητας.

17 Χ 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5

17 x 5= (10 x 5)+(7 x 5)=50 + 35=85

Γ) Ένα άλλο στοιχείο που επηρεάζει σημαντικά την κατανόηση του Γ) Ένα άλλο στοιχείο που επηρεάζει σημαντικά την κατανόηση του αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού είναι η κατάλληλη αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού είναι η κατάλληλη ενεργοποίηση της έννοιας της θεσιακής αξίας.ενεργοποίηση της έννοιας της θεσιακής αξίας.

Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός 45 Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός 45 xx 23 μπορεί να 23 μπορεί να απεικονιστεί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα προκειμένου απεικονιστεί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα προκειμένου να αποσαφηνιστούν οι σχέσεις μεταξύ των αριθμών και οι να αποσαφηνιστούν οι σχέσεις μεταξύ των αριθμών και οι απαιτούμενοι πολλαπλασιασμοί.απαιτούμενοι πολλαπλασιασμοί.

40x20 40 540x20 40 5

20 5x2020 5x20

3 5x33 5x3 40x340x3

(800) (100)

(120) (15)

Όταν ο μαθητής πρέπει να οδηγηθεί στη χρήση του Όταν ο μαθητής πρέπει να οδηγηθεί στη χρήση του τυπικού αλγορίθμου, αλλά αντιμετωπίζει δυσκολίες τυπικού αλγορίθμου, αλλά αντιμετωπίζει δυσκολίες με τη χρήση των ψηφίων που μεταφέρονται: με τη χρήση των ψηφίων που μεταφέρονται:

3838 38 38 x 7 x 7x 7 x 7 55 6 26 6 26 5566

5.3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΝ 5.3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ

Για τις περιπτώσεις των παιδιών που δυσκολεύονται με Για τις περιπτώσεις των παιδιών που δυσκολεύονται με το χειρισμό των κρατούμενων προτείνεται ο αλγόριθμος το χειρισμό των κρατούμενων προτείνεται ο αλγόριθμος της «κλιμακωτής σημείωσης γινομένου». της «κλιμακωτής σημείωσης γινομένου».

9 538 9 538 Χ 7 Χ 6Χ 7 Χ 6 6 3146 314 3 + 0883 + 088 32283228

Τα γινόμενα, δηλαδή, γράφονται σε δύο επίπεδα, επάνω οι Τα γινόμενα, δηλαδή, γράφονται σε δύο επίπεδα, επάνω οι δεκάδες και κάτω δεξιά οι μονάδες (στην ανάλογη δεκάδες και κάτω δεξιά οι μονάδες (στην ανάλογη στήλη) και στη συνέχεια γίνονται οι προσθέσεις. στήλη) και στη συνέχεια γίνονται οι προσθέσεις.

Ένας άλλος ενδιαφέρον αλγόριθμος που μπορεί να Ένας άλλος ενδιαφέρον αλγόριθμος που μπορεί να βοηθήσει πολλά παιδιά, είναι ο γνωστός «πολλαπλασιασμός βοηθήσει πολλά παιδιά, είναι ο γνωστός «πολλαπλασιασμός με πλέγμα». Για παράδειγμα στον πολλαπλασιασμό 76με πλέγμα». Για παράδειγμα στον πολλαπλασιασμό 76x45x45

7 67 6 3 43 4 4 54 5

2 02 0 ((Αγαλιώτης,2000)Αγαλιώτης,2000)

2 2

8 4

3 3

5 0

Μάθηση Β.Α.Δ. με τη χρήση της τεχνικής των Μάθηση Β.Α.Δ. με τη χρήση της τεχνικής των δακτύλωνδακτύλων

Κινέζικος πολλαπλασιασμόςΚινέζικος πολλαπλασιασμός

6. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ6. Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ Ο αλγόριθμος της διαίρεσης είναι αναμφισβήτητα ο Ο αλγόριθμος της διαίρεσης είναι αναμφισβήτητα ο

δυσκολότερος από τους αλγόριθμους, καθώς:δυσκολότερος από τους αλγόριθμους, καθώς: Στηρίζεται σε μία ακολουθία πέντε ενεργειών (διαίρεση, Στηρίζεται σε μία ακολουθία πέντε ενεργειών (διαίρεση,

πολλαπλασιασμός, αφαίρεση, σύγκριση διαιρέτη και πολλαπλασιασμός, αφαίρεση, σύγκριση διαιρέτη και υπολοίπου, «κατέβασμα» επόμενου ψηφίου) που συνιστούν υπολοίπου, «κατέβασμα» επόμενου ψηφίου) που συνιστούν σημαντικό μνημονικό βάρος.σημαντικό μνημονικό βάρος.

Έχει ιδιαίτερες απαιτήσεις χωρικής αντίληψης Έχει ιδιαίτερες απαιτήσεις χωρικής αντίληψης (εναλλασσόμενες κατευθύνσεις αριθμών αριστερά-δεξιά (εναλλασσόμενες κατευθύνσεις αριθμών αριστερά-δεξιά και πάνω-κάτω)και πάνω-κάτω)

Συνήθως επενδύεται λεκτικά με μια σειρά τυποποιημένων Συνήθως επενδύεται λεκτικά με μια σειρά τυποποιημένων εκφράσεων που δεν εξηγούν καθόλου την ουσία της εκφράσεων που δεν εξηγούν καθόλου την ουσία της πράξης, με αποτέλεσμα απλώς να αυξάνεται η σύγχυση.πράξης, με αποτέλεσμα απλώς να αυξάνεται η σύγχυση.

Αποτελεί έκφραση μιας έννοιας με διπλή υπόσταση Αποτελεί έκφραση μιας έννοιας με διπλή υπόσταση (διαίρεση μερισμού-διαίρεση μέτρησης), γεγονός που (διαίρεση μερισμού-διαίρεση μέτρησης), γεγονός που δυσκολεύει την κατανόηση.δυσκολεύει την κατανόηση.

(Αγαλιώτης, 2000) (Αγαλιώτης, 2000)

6.1 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ 6.1 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ

ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ Οι ιδιαιτερότητες της διαίρεσης που αναφέραμε Οι ιδιαιτερότητες της διαίρεσης που αναφέραμε

οδηγούν σε αποτυχίες και λάθη κατά την εκτέλεση οδηγούν σε αποτυχίες και λάθη κατά την εκτέλεση της πράξης, κυρίως μεταξύ των μαθητών με Μ.Δ. στα της πράξης, κυρίως μεταξύ των μαθητών με Μ.Δ. στα μαθηματικά, λόγω των ποικίλων γνωστικών μαθηματικά, λόγω των ποικίλων γνωστικών αδυναμιών που τους χαρακτηρίζουν. Εξέχουσα θέση αδυναμιών που τους χαρακτηρίζουν. Εξέχουσα θέση μεταξύ αυτών των λαθών είναι αυτά που αφορούν:μεταξύ αυτών των λαθών είναι αυτά που αφορούν: Πλήρης άγνοια του αλγόριθμουΠλήρης άγνοια του αλγόριθμου

Χρησιμοποιούν τον διαιρετέο χωριστά Χρησιμοποιούν τον διαιρετέο χωριστά κατά ψηφίο και όχι ως ολόκληρο αριθμόκατά ψηφίο και όχι ως ολόκληρο αριθμό

Π.χ. Π.χ. 7575 5 75 55 75 5 1111 αντίαντί -5 -5 15 15 2525 -25-25 0000 Παραλείψεις ως προς την εκτέλεση των Παραλείψεις ως προς την εκτέλεση των

επόμενων πράξεων, της αφαίρεσης, του επόμενων πράξεων, της αφαίρεσης, του πολλ/σμού και το σχηματισμό του πολλ/σμού και το σχηματισμό του επόμενου μερικού υπολοίπου.επόμενου μερικού υπολοίπου.

Χρησιμοποιούν λάθος πράξη για τον προσδιορισμό του μερικού Χρησιμοποιούν λάθος πράξη για τον προσδιορισμό του μερικού υπολοίπου.υπολοίπου.

Μη πραγματοποίηση διαίρεσης σε μία από τις στήλες του Μη πραγματοποίηση διαίρεσης σε μία από τις στήλες του διαιρετέου.διαιρετέου.

Αδυναμία στο να θεωρηθεί το υπόλοιπο ως μέρος της Αδυναμία στο να θεωρηθεί το υπόλοιπο ως μέρος της διαδικασίας της διαίρεσηςδιαδικασίας της διαίρεσης..

Η μη κατανόηση βασικών στοιχείων του αλγόριθμου, όπως η Η μη κατανόηση βασικών στοιχείων του αλγόριθμου, όπως η αποδοχή υπόλοιπων μεγαλύτερων του διαιρέτη.αποδοχή υπόλοιπων μεγαλύτερων του διαιρέτη.

π.χ. 435 6π.χ. 435 6 - 36 6- 36 6 7575 Δυσκολίες με το χειρισμό του μηδενός στο διαιρετέο.Δυσκολίες με το χειρισμό του μηδενός στο διαιρετέο. π.χ. 1205 5π.χ. 1205 5 -10 25-10 25 2525 - 25- 25 00Δεν υπολογίζουν καθόλου το μηδέν.Δεν υπολογίζουν καθόλου το μηδέν.

Λανθασμένα αποτελέσματα λόγω ελλείψεων στον πολλ/σμό Λανθασμένα αποτελέσματα λόγω ελλείψεων στον πολλ/σμό και στην αφαίρεση.και στην αφαίρεση.

Κατάταξη των συστηματικών λαθών στον Κατάταξη των συστηματικών λαθών στον αλγόριθμου της διαίρεσης σύμφωνα με την φύση της αλγόριθμου της διαίρεσης σύμφωνα με την φύση της

δυσλειτουργίας τους.δυσλειτουργίας τους.ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΛΑΘΩΝΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΛΑΘΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΘΩΝ

Έννοια της διαίρεσηςΈννοια της διαίρεσης 2121Προσεγγιστικός υπολογισμόςΠροσεγγιστικός υπολογισμός 99Επιμέρους πηλίκαΕπιμέρους πηλίκα 55

ΥπόλοιπαΥπόλοιπα 55

Μηδενικό στο πηλίκοΜηδενικό στο πηλίκο 55Λάθη στον πολλαπλασιασμό ή Λάθη στον πολλαπλασιασμό ή στην αφαίρεσηστην αφαίρεση

44

Μηδέν στον διαιρέτηΜηδέν στον διαιρέτη 22Επιμέρους διαιρέτεςΕπιμέρους διαιρέτες 22

ΣΥΝΟΛΟΣΥΝΟΛΟ 5353

Παρακάτω θα παρουσιάσουμε κάποια από τα πιο Παρακάτω θα παρουσιάσουμε κάποια από τα πιο συνηθισμένα συστηματικά λάθη της διαίρεσης σύμφωνα με συνηθισμένα συστηματικά λάθη της διαίρεσης σύμφωνα με την την CoxCox (1975). (1975).

Μονοψήφιος διαιρέτης, διψήφιος διαιρετέος, χωρίς Μονοψήφιος διαιρέτης, διψήφιος διαιρετέος, χωρίς υπόλοιπο.υπόλοιπο.

38 2 64 4 38 2 64 4 14 11 14 11 Κάθε ψηφίο του διαιρετέου διαιρείται χωριστά από το Κάθε ψηφίο του διαιρετέου διαιρείται χωριστά από το

διαιρέτη χωρίς να πραγματοποιηθεί ο ακόλουθος πολλ/σμός, διαιρέτη χωρίς να πραγματοποιηθεί ο ακόλουθος πολλ/σμός, η αφαίρεση και να σχηματιστεί το επόμενο μερικό υπόλοιπο.η αφαίρεση και να σχηματιστεί το επόμενο μερικό υπόλοιπο.

Μονοψήφιος διαιρέτης, τριψήφιος διαιρετέος με μηδέν, με ή Μονοψήφιος διαιρέτης, τριψήφιος διαιρετέος με μηδέν, με ή χωρίς υπόλοιπο.χωρίς υπόλοιπο.

α) 807 5 α) 807 5 902 3902 3 101 30101 30 Διαιρείται κάθε ψηφίο του διαιρετέου χωριστά χωρίς να Διαιρείται κάθε ψηφίο του διαιρετέου χωριστά χωρίς να

πραγματοποιείται πολλ/σμός, αφαίρεση ή σχηματισμό πραγματοποιείται πολλ/σμός, αφαίρεση ή σχηματισμό κανενός νέου διαιρετέουκανενός νέου διαιρετέου..

Μονοψήφιος διαιρέτης, τριψήφιος διαιρετέος που δημιουργεί Μονοψήφιος διαιρέτης, τριψήφιος διαιρετέος που δημιουργεί μηδέν στη στήλη των δεκάδων του πηλίκου, με ή χωρίς μηδέν στη στήλη των δεκάδων του πηλίκου, με ή χωρίς υπόλοιπο.υπόλοιπο.

α) 324 3 324 3α) 324 3 324 3 -3 18 -3 18 -3 108 -3 108 024 024 αντί αντί 024 024 -24 -24 -24 -24 0 00 0

Το λάθος αυτό προέρχεται από το ότι δεν τοποθετήθηκε το 0 στη θέση των δεκάδων του πηλίκου. Αυτό το λάθος δημιουργείται όταν κατεβαίνει ένα ψηφίο του διαιρετέου και ο διαιρέτης είναι πολύ μεγάλος για να το διαιρέσει. Τότε ξεχνιέται το 0 που πρέπει να τεθεί στο πηλίκο και πραγματοποιείται η επόμενη διαίρεση.

β) 618 2 618 2β) 618 2 618 2 -6 304 - 6 309-6 304 - 6 309 08 08 αντί αντί 018018 - 8 -18- 8 -18 0 0 0 0

Στην περίπτωση αυτή ο μαθητής τοποθετεί το 0 Στην περίπτωση αυτή ο μαθητής τοποθετεί το 0 στο πηλίκο. Στη συνέχεια όμως δεν παίρνει ως στο πηλίκο. Στη συνέχεια όμως δεν παίρνει ως μερικό υπόλοιπο τον αριθμό που σχηματίζεται από μερικό υπόλοιπο τον αριθμό που σχηματίζεται από τα 2 τελευταία ψηφία, δηλ το 18 αλλά παίρνει μόνο τα 2 τελευταία ψηφία, δηλ το 18 αλλά παίρνει μόνο το τελευταίο ψηφίο, δηλ το 8.το τελευταίο ψηφίο, δηλ το 8.

Διψήφιος διαιρέτης, τετραψήφιος διαιρετέος που Διψήφιος διαιρέτης, τετραψήφιος διαιρετέος που δημιουργεί 0 στο πηλίκο, με υπόλοιπο.δημιουργεί 0 στο πηλίκο, με υπόλοιπο.

Π.χ. 3325 16Π.χ. 3325 16 -32 27-32 27 125 125 -112-112 1313 Το παιδί δε βάζει το 0 στο πηλίκο όταν η διαίρεση Το παιδί δε βάζει το 0 στο πηλίκο όταν η διαίρεση

δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Έτσι λείπει ένα δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Έτσι λείπει ένα μηδέν στη θέση των δεκάδων του πηλίκου.μηδέν στη θέση των δεκάδων του πηλίκου.

6.2 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΗ 6.2 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΛΑΘΩΝ ΣΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗΔΙΑΙΡΕΣΗ• Κάθε εκπαιδευτικός θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη του Κάθε εκπαιδευτικός θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη του

κάποια στοιχεία-στόχους προκειμένου να είναι σε θέση κάποια στοιχεία-στόχους προκειμένου να είναι σε θέση να αντιμετωπίζει τα λάθη των μαθητών κατά την να αντιμετωπίζει τα λάθη των μαθητών κατά την εκτέλεση της πράξης της διαίρεσηςεκτέλεση της πράξης της διαίρεσης::

1) η διασαφήνιση την έννοια της πράξης1) η διασαφήνιση την έννοια της πράξης 2) η αποκατάσταση μίας ξεκάθαρης σχέσης ανάμεσα στα 2) η αποκατάσταση μίας ξεκάθαρης σχέσης ανάμεσα στα

αλγοριθμικά βήματα, αλλά και στη λεκτική περιγραφή αλγοριθμικά βήματα, αλλά και στη λεκτική περιγραφή που τα συνοδεύειπου τα συνοδεύει

3) να βασίζεται σε καθημερινές και βιώσιμες 3) να βασίζεται σε καθημερινές και βιώσιμες καταστάσεις, ακόμα και με την χρήση υλικών καταστάσεις, ακόμα και με την χρήση υλικών αντικειμένων όπως είναι τα ξυλάκια, κάρτες κ.τ.λ.αντικειμένων όπως είναι τα ξυλάκια, κάρτες κ.τ.λ.

• Η παρουσίαση της διαίρεσης με σαφή και λεπτομερειακό Η παρουσίαση της διαίρεσης με σαφή και λεπτομερειακό τρόπο πιθανότητα θα διασφαλίσει την κατανόηση των τρόπο πιθανότητα θα διασφαλίσει την κατανόηση των αλγοριθμικών βημάτων και θα αποτρέψει την δημιουργία αλγοριθμικών βημάτων και θα αποτρέψει την δημιουργία λαθών.λαθών.

Ωστόσο υπάρχουν συγκεκριμένα σημεία και βήματα του Ωστόσο υπάρχουν συγκεκριμένα σημεία και βήματα του αλγόριθμου της διαίρεσης που συχνά δημιουργούν δυσκολίες αλγόριθμου της διαίρεσης που συχνά δημιουργούν δυσκολίες στους μαθητές.στους μαθητές.

Ένα τέτοιο σημείο που έχει και ως συνέπεια το αποτέλεσμα Ένα τέτοιο σημείο που έχει και ως συνέπεια το αποτέλεσμα να είναι λάθος, είναι η παράλειψη του μηδενός από το πηλίκο να είναι λάθος, είναι η παράλειψη του μηδενός από το πηλίκο όταν ο διαιρέτης δεν «χωράει» στο ενεργό τμήμα του όταν ο διαιρέτης δεν «χωράει» στο ενεργό τμήμα του διαιρετέου.διαιρετέου.

Π.χ. 1236 4Π.χ. 1236 4 -12 39-12 39 036036 -36-36 00• Για να εκτελεστεί σωστά μία τέτοια διαίρεση, πρέπει ο Για να εκτελεστεί σωστά μία τέτοια διαίρεση, πρέπει ο

μαθητής να έχει κατανοήσει ότι μετά την 1μαθητής να έχει κατανοήσει ότι μετά την 1ηη αφαίρεση (12-12) αφαίρεση (12-12) και το «κατέβασμα» του επόμενου ψηφίου του διαιρετέου, και το «κατέβασμα» του επόμενου ψηφίου του διαιρετέου, δηλαδή το 3 γίνεται μία νέα διαίρεση (3:4), η οποία όμως δεν δηλαδή το 3 γίνεται μία νέα διαίρεση (3:4), η οποία όμως δεν είναι δυνατή και αυτό σηματοδοτείται ως 0 στο πηλίκο.είναι δυνατή και αυτό σηματοδοτείται ως 0 στο πηλίκο.

• Εάν αυτό δεν μπορεί να κατανοηθεί από τον μαθητή και Εάν αυτό δεν μπορεί να κατανοηθεί από τον μαθητή και προκειμένου να υπάρξει μία έμμεση αντιμετώπιση του προκειμένου να υπάρξει μία έμμεση αντιμετώπιση του προβλήματος, προτείνονται 2 εκδοχές:προβλήματος, προτείνονται 2 εκδοχές:

• 11ηη εκδοχή: εκδοχή: Να ασκηθεί ο μαθητής σε μία αρχική εκτίμηση Να ασκηθεί ο μαθητής σε μία αρχική εκτίμηση του αποτελέσματος, με παραστάσεις του τύπουτου αποτελέσματος, με παραστάσεις του τύπου

οι οποίες λεκτικά αναφέρονται ως εξής: « Με ποιον οι οποίες λεκτικά αναφέρονται ως εξής: « Με ποιον αριθμό θα πολλαπλασιάσω το 4 για να βρω το 1236 ή αριθμό θα πολλαπλασιάσω το 4 για να βρω το 1236 ή έναν μικρότερο αριθμό που θα είναι πολύ κοντά στο έναν μικρότερο αριθμό που θα είναι πολύ κοντά στο 1236;». Ο μαθητής αρχίζει να αναζητά πολλαπλάσια του 1236;». Ο μαθητής αρχίζει να αναζητά πολλαπλάσια του 10 για να τα τοποθετήσει στη θέση του άγνωστου 10 για να τα τοποθετήσει στη θέση του άγνωστου αριθμού και ασκείται γι’ αυτό με ακολουθίες πράξεων αριθμού και ασκείται γι’ αυτό με ακολουθίες πράξεων όπως οι παρακάτω:όπως οι παρακάτω:

Διαμέσου, λοιπόν, της αρχικής εκτίμησης προσεγγίζεται ο Διαμέσου, λοιπόν, της αρχικής εκτίμησης προσεγγίζεται ο

ζητούμενος αριθμός.ζητούμενος αριθμός.

(;) Χ 4 = ή < 1236(;) Χ 4 = ή < 1236

4Χ3=12 4Χ3=12

4Χ30=120 40Χ3=120

4Χ300=1200 400Χ3=1200

• 22ηη εκδοχή: εκδοχή: Να υποδειχθεί στο μαθητή ότι στις διαιρέσεις Να υποδειχθεί στο μαθητή ότι στις διαιρέσεις με με μονοψήφιο διαιρέτημονοψήφιο διαιρέτη, όταν ο διαιρέτης «χωράει» στο , όταν ο διαιρέτης «χωράει» στο πρώτο ψηφίο του διαιρετέου, τότε το πρώτο ψηφίο του διαιρετέου, τότε το πηλίκο πηλίκο έχει τον ίδιο έχει τον ίδιο αριθμό ψηφίων με το διαιρετέο. Όταν όμως ο διαιρέτης αριθμό ψηφίων με το διαιρετέο. Όταν όμως ο διαιρέτης δεν «χωράει», τότε το πηλίκο έχει ένα ψηφίο λιγότερο από δεν «χωράει», τότε το πηλίκο έχει ένα ψηφίο λιγότερο από το διαιρετέο.το διαιρετέο.

• Αυτή η επισήμανση έχει μηχανιστικό χαρακτήρα και δεν Αυτή η επισήμανση έχει μηχανιστικό χαρακτήρα και δεν προσφέρει πάντα ακριβείς πληροφορίες για το μέγεθος προσφέρει πάντα ακριβείς πληροφορίες για το μέγεθος του πηλίκου, αλλά μπορεί να θεωρηθεί ένα είδος «πρώτων του πηλίκου, αλλά μπορεί να θεωρηθεί ένα είδος «πρώτων βοηθειών». Π.χ. στη διαίρεση 1236:4=309.βοηθειών». Π.χ. στη διαίρεση 1236:4=309.

• Στην περίπτωση Στην περίπτωση διψήφιου διαιρέτηδιψήφιου διαιρέτη τα πράγματα είναι πιο τα πράγματα είναι πιο περίπλοκα. Όταν η διαίρεση μεταξύ των δύο πρώτων περίπλοκα. Όταν η διαίρεση μεταξύ των δύο πρώτων ψηφίων του διαιρετέου και του διαιρέτη είναι δυνατή, τότε ψηφίων του διαιρετέου και του διαιρέτη είναι δυνατή, τότε το πηλίκο έχει ένα ψηφίο λιγότερο από το διαιρετέο. (π.χ. το πηλίκο έχει ένα ψηφίο λιγότερο από το διαιρετέο. (π.χ. 884 : 23 = 34)884 : 23 = 34)

Όταν η αρχική διαίρεση δεν είναι δυνατή, τότε το πηλίκο Όταν η αρχική διαίρεση δεν είναι δυνατή, τότε το πηλίκο έχει 2 ψηφία λιγότερα από το διαιρετέο. (π.χ. 3375 : 35 = έχει 2 ψηφία λιγότερα από το διαιρετέο. (π.χ. 3375 : 35 = 96)96)

Ένα άλλο σημείο που συχνά προβληματίζει τους μαθητές Ένα άλλο σημείο που συχνά προβληματίζει τους μαθητές είναι η εύρεση του πηλίκου, ιδιαίτερα όταν υπάρχει είναι η εύρεση του πηλίκου, ιδιαίτερα όταν υπάρχει υπόλοιπο. Για τις περιπτώσεις αυτές οι υπόλοιπο. Για τις περιπτώσεις αυτές οι N. Bley & C. N. Bley & C. ThornotonThornoton (1995) προτείνουν την εξής βοηθητική διάταξη: (1995) προτείνουν την εξής βοηθητική διάταξη:

34 8 32 8 45 7 42 34 8 32 8 45 7 42 77

44 66

Σκοπός της διάταξης αυτής είναι να βοηθήσει το Σκοπός της διάταξης αυτής είναι να βοηθήσει το μαθητή να αξιοποιήσει τις γνώσεις του στα Β.Α.Δ. μαθητή να αξιοποιήσει τις γνώσεις του στα Β.Α.Δ. διαίρεσης και πολλαπλασιασμού για να βρει το διαίρεσης και πολλαπλασιασμού για να βρει το ζητούμενο πηλίκο. Μαθαίνει λοιπόν να αναζητά ζητούμενο πηλίκο. Μαθαίνει λοιπόν να αναζητά έναν αριθμό που είναι λίγο μικρότερος από το έναν αριθμό που είναι λίγο μικρότερος από το διαιρετέο και ταυτόχρονα πολλαπλάσιο του διαιρετέο και ταυτόχρονα πολλαπλάσιο του διαιρέτη, δηλαδή 34-32, 45-42.διαιρέτη, δηλαδή 34-32, 45-42.

6.3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗ 6.3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗΔΙΑΙΡΕΣΗ

Τα κυριότερα πλεονεκτήματα των εναλλακτικών αλγόριθμων είναι τρία.Τα κυριότερα πλεονεκτήματα των εναλλακτικών αλγόριθμων είναι τρία.

η ταχύτητα η οικονομία ιδιαίτερα βοηθητικοί η ταχύτητα η οικονομία ιδιαίτερα βοηθητικοί χώρου χώρου στα παιδιά με Μ.Δ. στα παιδιά με Μ.Δ. • Κάποιους από αυτούς τους αλγόριθμους στην διαίρεση είναι:Κάποιους από αυτούς τους αλγόριθμους στην διαίρεση είναι:

Όταν το παιδί δυσκολεύεται με την ύπαρξη του μηδενός στο πηλίκο.Όταν το παιδί δυσκολεύεται με την ύπαρξη του μηδενός στο πηλίκο. Ιδιαίτερα βοηθητικός μπορεί να αποδειχθεί ο εναλλακτικός αλγόριθμος Ιδιαίτερα βοηθητικός μπορεί να αποδειχθεί ο εναλλακτικός αλγόριθμος «των μερικών πηλίκων».«των μερικών πηλίκων». Πιο συγκεκριμένα ξεκινάμε με στόχο την Πιο συγκεκριμένα ξεκινάμε με στόχο την εύρεση του μεγαλύτερου πολλαπλάσιου του 10, που πολλαπλασιαζόμενο εύρεση του μεγαλύτερου πολλαπλάσιου του 10, που πολλαπλασιαζόμενο με το διαιρέτη θα μας δώσει έναν αριθμό όσο το δυνατόν πιο κοντά στο με το διαιρέτη θα μας δώσει έναν αριθμό όσο το δυνατόν πιο κοντά στο διαιρετέο. διαιρετέο.

Π.χ. 18282 6Π.χ. 18282 6 -18000 3000-18000 3000 282 40282 40 -240 -240 + + 7 7 42 304742 3047 - 42- 42 00

• Για τα παιδιά που δυσκολεύονται στην κατανόηση του αλγόριθμου Για τα παιδιά που δυσκολεύονται στην κατανόηση του αλγόριθμου αυτού, υπάρχει και μία ακόμη εναλλακτική λύση που αφορά την αυτού, υπάρχει και μία ακόμη εναλλακτική λύση που αφορά την συγκεκριμένη κατηγορία διαίρεσης και μπορεί να παρουσιαστεί με μία συγκεκριμένη κατηγορία διαίρεσης και μπορεί να παρουσιαστεί με μία πιο μηχανιστική «εξήγηση». Πιο συγκεκριμένα τα παιδιά εκτελούν τον πιο μηχανιστική «εξήγηση». Πιο συγκεκριμένα τα παιδιά εκτελούν τον αλγόριθμο με τον κλασικό τρόπο, δηλαδή στο παράδειγμα μας αρχίζουν αλγόριθμο με τον κλασικό τρόπο, δηλαδή στο παράδειγμα μας αρχίζουν με το γνωστό «ένα ψηφίο έχει ο διαιρέτης, ένα χωρίζουμε και στα με το γνωστό «ένα ψηφίο έχει ο διαιρέτης, ένα χωρίζουμε και στα αριστερά του διαιρετέου, το 6 στο 1 δεν χωράει, τονίζουμε και το 2αριστερά του διαιρετέου, το 6 στο 1 δεν χωράει, τονίζουμε και το 2οο ψηφίο, το 6 στο 18 χωράει 3 φορές…», αλλά μαθαίνουν να προσθέτουν ψηφίο, το 6 στο 18 χωράει 3 φορές…», αλλά μαθαίνουν να προσθέτουν στο 1στο 1οο μερικό γινόμενο (18) τόσα μηδενικά όσα ψηφία έχει ακόμη ο μερικό γινόμενο (18) τόσα μηδενικά όσα ψηφία έχει ακόμη ο διαιρετέος (3). Στη συνέχεια εκτελούνται οι αφαιρέσεις μέχρις ότου διαιρετέος (3). Στη συνέχεια εκτελούνται οι αφαιρέσεις μέχρις ότου φτάσουν στο τελικό πηλίκο.φτάσουν στο τελικό πηλίκο.

Όταν το παιδί δυσκολεύεται με την ακριβή εύρεση του πηλίκου, κυρίως Όταν το παιδί δυσκολεύεται με την ακριβή εύρεση του πηλίκου, κυρίως στην περίπτωση διαιρέτη με περισσότερα του ενός ψηφίαστην περίπτωση διαιρέτη με περισσότερα του ενός ψηφία, μπορεί να , μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο εναλλακτικός αλγόριθμος χρησιμοποιηθεί ο εναλλακτικός αλγόριθμος «των σταδιακών «των σταδιακών προσεγγίσεων».προσεγγίσεων».

Π.χ. 9487 15Π.χ. 9487 15 -60 4 2 2-60 4 2 2 34 + 2 134 + 2 1 -30 6 3 2-30 6 3 2 4848 -- 3030 1818 -15-15 3737 -30-30 77