เจาะลึกการออกข้อสอบ Pat1 คณิตศาสตร์พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท

www.tutorferry.com T. 0998230343

1

PAT 1 คณตศาสตร

เจาะลกแนวขอสอบ PAT 1 พรอมเนอหาสรปสตรและทฤษฎ

1. เซต เนนเรองเพาเวอรเซต สบเซต ผลตางของเซต การหาจ านวนสมาชกของเซต 2. จ านวนจรง เรองอสมการคาสมบรณ อสมการพหนาม สมการพหนาม สมบตของ

โอเปอเรเตอร การหาคาโอเปอเรเตอรทก าหนด 3. ฟงกชน เรอง โดเมนของฟงกชน ฟงกชน 1-1 ฟงกชนคอมโพสท อนเวอรสของฟงกชน

ฟงกชนเวยนเกด 4. เมทรกซ เนนเรองการบวก ลบ คณ เมตรกซ det และอนเวอรสของเมตรกซมต 2x2 5. Expo & Log ออกการแกสมการและอสมการ Expo การแกสมการและอสมการ Log 6. จ านวนเชงซอน เนนเรองคาสมบรณ อนเวอรสและสงยคของจ านวนเชงซอน การบวกและ

คณจ านวนเชงซอน


2

7. เรขาคณตวเคราะห ออกเรองระยะหางระหวางจด 2 จด ความชนของเสนตรงระหวางจด 2 จด ระยะระหวางจดกบเสนตรง สมการเสนตรง เสนตรงทตงฉากกน พนทรปสามเหลยม

8. ฟงกชนตรโกณมต เรองเอกลกษณของตรโกณมต กฎ cosine ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต สตรมม 2 เทา สมการตรโกณมต

9. เวกเตอร เนนเรองเวกเตอรทขนานและตงฉากกน ขนาดของผลบวกและผลตางของเวกเตอร คาสมบรณของผลบวกและผลตางของเวกเตอร ผลคณแบบ dot

10. ล าดบและอนกรม เนนๆเรองล าดบเลขคณต ล าดบเรขาคณต ลมตของล าดบ อนกรมอนนต อนกรม 1 + 2 + ... + n

11. แคลคลส ออกเรองลมตของฟงกชน ความตอเนองของฟงกชน อนพนธ อนพนธฟงกชนคอมโพสท อนทเกรต อนทกรลจ ากดเขต ภาคตดกรวย ออกเรองวงร วงกลมไฮเพอรโบลา พาราโบลา

12. ก าหนดการเชงเสน เรองคาต าสดและสงสดของฟงกชนเปาหมาย 13. ตรรกศาสตร ออกเรองการหาคาความจรงของประพจน การหาคาความจรงของตวบง

ปรมาณ นเสธของตวบงปรมาณ สจนรนดร ปญหาเชงตรรกะ ออกเกยวกบปญหาเชาวนทางคณตศาสตร การหาคาตวเลขทหายไป จตรสกล เปนตน

14. ความนาจะเปน เนนเรองกฎการนบ การจดหม การเรยงสบเปลยน ยเนยนของเหตการณ 15. สถต ออกเรองคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขคณตรวม มธยฐาน ฐานนยม พสย คา

มาตรฐาน ความแปรปรวน สมประสทธการแปรผน สวนเบยงเบนมาตรฐาน ควอรไทล เปอรเซนไทล


3

เซต (เปอรเซนตจ านวนขอสอบ 3.75%)

สบเซต และเพาเวอรเซต A เปนสบเซตของ B เมอสมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย A B A ไมเปนสบเซตของ B เมอมสมาชกอยางนอย 1 ตว ของ A ไมเปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย A B ตวอยางเชน ถา 1,2A สบเซตของ A ม 4 สบเซต คอ , 1 , 2 , 1,2 ขอสงเกต 1. ถา n A เปนจ านวนสมาชกของ A แลวจ านวนสบเซตของ

2n A

A 2. เซตวางเปนสบเซตของทกเซต 3. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวมนเอง เพาเวอรเซต : เพาเวอรเซตของ A คอเซตทมสมาชกเปนสบเซตทงหมดของ A เขยนแทนดวย P ( A ) ตวอยางเชน 1,2A , 1 , 2 , 1, 2P A ขอสงเกต จ านวนสมาชกของ P A เทากบ

2n A หรอ

2n A

n P A การด าเนนการของเซต หมายถง การกระท าทจะเกดเซตใหม หรอ การสรางเซตใหมจากเซตทก าหนดให

1. ยเนยน : A B x x Aor B 2. อนเตอรเซกชน : A B x x A x B และ 3. คอมพลเมนต : A x x x A และ 4. ผลตาง : A B x x A x B และ

B A x x B x A และ

A B

A B


4

ทฤษฎของเซต 1. กฎการสลบท 1.1 A B B A 1.2 A B B A 2. กฎการเปลยนกลม 2.1 A B C A B C 2.2 A B C A B C 3. กฎการแจกแจง 3.1 A B C A B A C 3.2 A B C A B A C 4. กฎเดอมอรแกน

4.1 A B A B

4.2 A B A B 5. สมบตของผลตาง

A

A

A B

A B


5

5.1 U A A 5.2 /A B A A B A B 6. สมบตของเพาเวอรเซต 6.1 A B เมอ P A P B 6.2 P A P B P A B 6.3 P(A) P B = P(A B) จ ำนวนสมำชกของเซตจ ำกด

1. n A n A n U 2. n A B n A n B n A B 3. n A B n A n A B 4. n A B C n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)


6

จ ำนวนจรง (เปอรเซนตจ านวนขอสอบ 6.75%)

สมบตของจ ำนวนจรง ถา a , b และ c R 1. สมบตการเทากน 1.1 สมบตการสะทอน

a a 1.2 สมบตการสมมาตร ถา a b แลว b a 1.3 สมบตการถายทอด ถา a b และ b c แลว a c 1.4 สมบตการบวกดวยจ านวนทเทากน ถา a b แลว a c b c 1.5 สมบตการคณดวยจ านวนทเทากน ถา a b แลว ac bc

จ ำนวนจรง

จ ำนวนตรรกยะ

จ ำนวนเตม จ ำนวนตรรกยะทไมใชจ ำนวนเตม

ศนย จ ำนวนเตมลบ

จ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนนบ

จ ำนวนอตรรกยะ


7

2. สมบตการบวกและการคณ

สมบต กำรบวก กำรคณ 2.1 ปด a b R ab R 2.2 การสลบท a b b a ab ba 2.3 การเปลยนหม ( ) ( )a b c a b c ( ) ( )ab c a bc 2.4 การมเอกลกษณ มจ านวนจรง 0 เปนเอกลกษณ

การบวกซง 0 0a a a มจ านวนจรง 1 เปนเอกลกษณ การคณ ซง 1 1a a a

2.5 การมอนเวอรส มจ านวนจรง a เปนอนเวอรส การบวกของ a

( ) 0 ( )a a a a

มจ านวนจรง 1a หรอ 1

a เปน

อนเวอรสการคณของ a เมอ

0a 1 11a a a a 2.6 การแจกแจง ( )a b c ab ac

กำรน ำสมบตของจ ำนวนจรงไปแกสมกำร 1. การแยกตวประกอบ 1.1 สมการก าลง 2 ตวแปรเดยว ทอยในรป 2 0x bx c ท าไดโดยหา d และ e ท de c และ d e b ท าให 2 ( )( ) 0x bx c x d x e จะไดค าตอบของสมการคอ d และ e

1.2 สมการก าลง 2 ตวแปรเดยว ทอยในรป 2 0ax bx c หา , ,d e f และ g ท de c , fg a และ dg ef b ท าให 2 ( )( ) 0ax bx c fx d gx e

จะไดค าตอบของสมการคอ d

f และ e

g

2. การท าเปนก าลง 2 สมบรณ โดยใชแนวคดดงน 2 2 22 ( )x ax a x a 2 2 22 ( )x ax a x a 2 2 ( )( )x a x a x a

3. ใชสตร 2 4

2

b b acx

a

3.1 ถา 2 4 0b ac จะม 2 ค าตอบ


8

3.2 ถา 2 4 0b ac จะม 1 ค าตอบ 3.3 ถา 2 4 0b ac ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง 4. ทฤษฎเศษเหลอ และทฤษฎตวประกอบ ส าหรบแกสมการตวแปรเดยวทมก าลงสงกวา 2

ทฤษฎเศษเหลอ : เมอ 1

1 1 0( ) ...n n

n np x a x a x a x a

ถาหาร ( )p x ดวย x c จะเหลอเศษ ( )p c

ทฤษฎตวประกอบ : x c เปนตวประกอบของ ( )p x เมอ ( ) 0p c

สมบตกำรไมเทำกน สมบตไตรวภาค : ถา a และ b R แลว a b , a b และ a b จะเปนจรงเพยงอยางใด อยาง หนง สมบตการไมเทากน , ,a b c R 1. สมบตการถายทอด ถา a b และ b c แลว a c 2. สมบตการบวกดวยจ านวนเทากน ถา a b แลว a c b c 3. สมบตการคณดวยจ านวนเทากนทไมเปนศนย 3.1 ถา a b และ 0c แลว ac bc 3.2 ถา a b และ 0c แลว ac bc ชวงและกำรแกอสมกำร ชวง เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง และ a b 1. ชวงเปด ( , )a b หมายถง a x b 2. ชวงปด ,a b หมายถง a x b 3. ชวงครงเปดหรอชวงครงปด ,a b หมายถง a x b


9

4. ชวงครงเปด หรอ ชวงครงปด ,a b หมายถง a x b 5. ชวง ( , )a หมายถง x a 6. ชวง ,a หมายถง x a 7. ชวง ,a หมายถง x a 8. ชวง ,a หมายถง x a 9. ชวง , หมายถง x R การแกอสมการ มขนตอนดงน 1. จดอสมการใหอยในรป พหนาม หรอเศษสวนพหนาม ถาก าลงมากกวา 1 ใหแยกตวประกอบจนมก าลง เปน 1 และสมประสทธตวแปรเปนบวก ดงน 1.1 รปพหนาม 1 2 ... 0nx a x a x a

1.2 รปเศษสวนพหนาม

1 2

1 2

...0

...

n

n

x a x a x a

x b x b x b

ขอสงเกต เครองหมายอสมการอาจเปน , , , 2. กรณเศษสวนพหนาม 1.2 ใหหมายเหตไววา 1x b , 2b , ... , nb


10

3. พจนทเหมอนกนของเศษสวนใหด าเนนการโดยใชสมบตของเลขยกก าลง 4. ท าสวนใหหายไป โดยคณดวยพจนทเหมอนกนแตมก าลงเปนเลขคซงไมท าใหเครองหมายอสมการ เปลยน เชน คณดวย

2

1x b 5. เมออสมการอยในรปพหนาม 1.1 ถาเครองหมายอสมการเปน หรอ ใหหมายเหตไววา

1x a , 2a , ... , na แตตองไมตรงกบ 1b , 2b , ... , nb ทเปนตวสวน 6. เขยนเสนจ านวนระบต าแหนงของ 1a , 1b , 2a , 2b , ... , na , nb โดยเรยงจากนอยไปหามาก เฉพาะพจนทก าลงเปนเลขค 7. ใสเครองหมาย , - สลบกนไป โดยเรมจากชองขวาสดใหเปน + เสมอ

8. ถาเครองหมายอสมการเปน หรอ ใหเลอกชวง + ถาเครองหมายอสมการเปน หรอ ใหเลอกชวง - 9. น าค าตอบทไดจากขอ 8 มายเนยนกน และน าไปยเนยนกบขอ 5 โดยตดค าตอบทยกเวนในขอ 2 ออกไปดวย คาสมบรณ : คาสมบรณของ x หมายถงระยะจากจด 0 ถง x บนเสนจ านวน เขยนแทนดวย x สมบตของคาสมบรณ x , y R 1. x ถา 0x x 0 ถา 0x x ถา 0x จะเหนวา x มไดคาเดยว ซงมากกวาหรอเทากบ 0 x 0 1.1 x x ถา x 0 1.2 x x ถา x 0 2. x x 3. xy x y

4. x

y x

y ; 0y

- +

- - +

- +


11

5. x y y x 6. x y y x 7. 2

x 2x 8. x y x + y 9. x y x - y ถา 0a 10. ถา x a แลว x a หรอ x a 11. ถา x a แลว a x a 12. ถา x a แลว a x a 13. ถา x a แลว x a หรอ x a 14. ถา x a แลว x a หรอ x a

ถา 0a

15. ถา x a แลว เซตค าตอบ 16. ถา x a แลว เซตค าตอบ 17. ถา x a แลว เซตค าตอบ 18. ถา x a แลว x R 19. ถา x a แลว x R


12

ทฤษฎจ ำนวน

กำรหำรลงตว 1. ให a และ b เปนจ านวนเตม โดยท b 0 b หาร a ลงตว กตอเมอ มจ านวนเตม c ทท าให a = bc เรยก b วาเปน ตวหารของ a และเรยก a วาเปน พหคณของ b b a แทน b หาร a ลงตว b † a แทน b หาร a ไมลงตว 2. ให a , b และ c เปนจ านวนเตม โดยท a 0 และ b 0 ถา a b และ b c แลว a c 3. ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก ซง a b แลว a b 4. ถา a , b และ c เปนจ านวนเตม โดยท a b และ a c แลว a (bx + cy) เมอ x และ y เปนจ านวนเตมใด ๆ 5. จ านวนเตมบวก p เปนจ านวนเฉพาะ กตอเมอ p 1 และถาจ านวนเตม x หาร p ลงตว แลว x เปนสมาชกของ 1, 1, ,p p ขนตอนวธกำรหำร 1. ถา a และ b เปนจ านวนเตม โดยท b 0 แลวจะมจ านวนเตม q และ r ชดเดยว ซง a bq r โดย 0 r b เรยก q วา ผลหาร และ r วา เศษเหลอ 2. จ านวนเตม a เปนจ านวนค กตอเมอ สามารถเขยน a = 2k เมอ k เปนจ านวนเตม จ านวนเตม a เปนจ านวนค กตอเมอ สามารถเขยน a = 2k + 1 เมอ k เปนจ านวนเตม 3. ให b เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 จ านวนเตมบวก n ใด ๆ สามารถเขยนในรปการกระจาย ฐาน b ไดเปน 1

1 1 0...k k

k kn a b a b a b a

เมอ k เปนจ านวนเตม และ 0 1 1, ,..., ,k ka a a a เปนจ านวนเตมทไมเปนลบและนอยกวา b และ 0ka ตวหำรรวมมำก 1. ให a และ b เปนจ านวนเตม โดยท a และ b ไมเปนศนยพรอมกน จ านวนเตมบวก d ทมคา มากทสด ซง d a และ d b เรยกวาเปน ตวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ a และ b ใชสญลกษณ ( a , b ) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b


13

2. ก าหนดให a และ b เปนจ านวนเตมบวก โดยท b < a โดยใชขนตอนวธการหารไปเรอย ๆ

จะไดวา

1 1 1

1 2 2 2 1

1 2 3 3 3 2

2 1 1

1 1

;0

;0

;0

;0

0

k k k k k k

k k k

a bq r r b

b rq r r r

r r q r r r

r r q r r r

r r q

ดงนน kr ซงเปนเศษตวสดทายทไมใชศนยจะเปน ห.ร.ม. ของ a และ b 3. ผลจากขนตอนวธของยคลด ท าใหไดวา ถา d = ( a , b ) แลว จะมจ านวนเตม x และ y ทท าให d = ax + by 4. ให 1 2, ,..., na a a เปนจ านวนเตมบวกทไมเปนศนยพรอมกน จ านวนเตมบวก D ทมคามากทสด ซง 1 2, ,..., nD a D a D a เรยกวาเปน ตวหารรวมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 1 2, ,..., na a a ใชสญลกษณ 1 2, ,..., na a a แทน ห.ร.ม. ของ 1 2, ,..., na a a 5. 1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a 6. จ านวนเตม a และ b เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ กตอเมอ ( a , b ) = 1 7. a และ b เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ กตอเมอ มจ านวนเตม x และ y ทท าให ax + by = 1 8. ก าหนดจ านวนเตม a , b และจ านวนเฉพาะ p ถา p ab จะได p a หรอ p b ตวคณรวมนอย 1. ให a , b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย จ านวนเตมบวก c ทมคานอยทสด ซง a c และ b c เรยกวา ตวคณรวมนอย ( ค.ร.น. ) ของ a และ b ใชสญลกษณ [ a , b ] แทน ค.ร.น. ของ a และ b 2. ให 1 2, ,..., na a a เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย จ านวนเตมบวก C ทมคานอยทสด ซง 1 2, ,..., na C a C a C เรยกวา ตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ของ 1 2, ,..., na a a ใชสญลกษณ 1 2, ,..., na a a แทน ค.ร.น. ของ 1 2, ,..., na a a 3. 1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a

4. ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก แลว ab = ( a , b )[ a , b ]


14

ฟงกชน (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 7.5%)

คอนดบ (Ordered pairs) : คอนดบ (a , b) ม a เปนสมาชกตวหนา และ b เปนสมาชกตวหลง เมอสลบต าแหนงจะไดคอนดบใหมตางจากเดม ยกเวนกรณท a = b นนคอ

(a , b) = (c , d) กตอเมอ a = c และ b = d ผลคณคำรทเซยน (Cartesian product) : ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a , b) ทงหมด โดยท a A และ b B เขยนแทนดวย A B A B a,b a A b B และ ขอสรปเกยวกบผลคณคำรทเซยน 1. A B C (A B) A C 2. A B C A B A C 3. A B C A B A C 4. A B C A C B C 5. A B C A C B C 6. A B C A C B C 7. A B B A A B A B 8. A B B A A B A B 9. A B C D A C B D 10. A B C D A C B D 11. ถา A B และ C D แลว A C B D 12. ถา A,B แลว A B B A กตอเมอ A B 13. A B กตอเมอ A หรอ B 14. ถา A B A C และ A แลว B C 15. ถา A, B เปนเซตจ ากด แลว n(A B) n(A) n(B) 16. ถา A เปนเซตอนนต และ B แลว A B เปนเซตอนนต ควำมสมพนธ (Relations) : r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r A B ขอสงเกต

1. r เปนความสมพนธใน A เมอ r A A 2. ถา (a ,b) r หมายถง a มความสมพนธ r กบ b เขยนแทนดวย a r b

/


15

3. ถา (a , c) r หมายถง a ไมมความสมพนธ r กบ c เขยนแทนดวย a r c กราฟของความสมพนธ : ก าหนดให R เปนเซตของจ านวนจรง r เปนสบเซตของ R R กราฟของความสมพนธ r คอ เซตของจดในระนาบ โดยทแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r กราฟของความสมพนธอาจเปน จด เสน หรอ อาณาบรเวณ ถามเสนทบ แสดงวาทกจดบนเสนทบรวมอยในกราฟ แตถามเสนประ แสดงวาทกจดในแนวเสนประไมรวมอยในกราฟ โดเมน และ เรนจ ของความสมพนธ ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr

rD a A b B (a,b) rม ซง เรนจของ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr rR b B a A (a,b) r ม ซง ขอสงเกต rD A และ rR B

อนเวอรสของความสมพนธ : อนเวอรสของความสมพนธ r เขยนแทนดวย 1r โดยท 1r y, x x, y r

ขอสงเกต ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B จะไดวา 1. 1r จะเปนความสมพนธจาก B ไป A 2. 1 rr

D R และ 1 rrR D

3. กราฟของ r และ 1r มเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร

ฟงกชน (Function) : คอความสมพนธซงส าหรบคอนดบ 2 คใด ๆ ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลว สมาชกตวหลงตองเทากน

ฟงกชน f คอ ความสมพนธ ซงส าหรบ x, y และ z ใด ๆ ถา x, y f และ x, z f แลว y z

ถา x, y f และ x, z f แลว y z จะไดวา f ไมเปนฟงกชน

การพจารณาวาความสมพนธใดเปนฟงกชนหรอไม อาจพจารณาจากกราฟของความสมพนธ โดยลากเสนขนานแกน Y ถาไมมเสนใดตดกราฟมากกวา 1 จด ความสมพนธนนเปนฟงกชน แตถามเสนใดตดมากกวา 1 จด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน


16

ขอตกลงเกยวกบสญลกษณของฟงกชน

ในกรณทความสมพนธ f เปนฟงกชน เราจะเขยน y = f(x) แทน x, y f เรยกวา คาของฟงกชน f ท x หรอ เอฟเอกซ

f

f

D x x, y f

R y x, y f

ชนดของฟงกชน แบงออกเปน 2 ชนด คอ

1. ฟงกชนพชคณต (algebraic function) เปนฟงกชนทอยในรปตวแปรอสระและมเครองหมายในทางพชคณต เชน บวก ลบ คณ หาร กรณฑ คาสมบรณ และเลขยกก าลง (ในกรณทตวแปรอสระเปนเลขชก าลงจะไมจดอยในกลมน) ตวอยางเชน 1.1 ฟงกชนตรรกยะ เปนฟงกชนทอยในรปเศษสวนพหนาม

P(x)f (x)

Q(x)

เมอ P(x) และ Q(x) เปนฟงกชนพหนาม และ Q(x) 0

1.2 ฟงกชนพหนาม (polynomial function) n n 1 2

n n 1 2 1 0f (x) a x a x ....... a x a x a

โดยท n n 1 2 1 0a ,a ,......,a ,a a เปนคาคงตว

และ n เปนจ านวนเตมบวก หรอ ศนย ขอสงเกต ฟงกชนพหนาม เปนฟงกชนตรรกยะท Q x เทากบ 1 ส าหรบฟงกชนพหนามท

มก าลงนอยกวา 3 ไดแก ฟงกชนคงตว ฟงกชนเชงเสน และฟงกชนก าลงสอง

1.3 ฟงกชนคงตว (constant function) 0f (x) a เมอ 0a R ถาให 0a b จะไดวา f (x) b

x y = f(x)

f


17

มกราฟเปนเสนตรงทขนานแกน X มระยะตดแกน Y เทากบ b โดยตดแกน Y ทจด (o,b)

1.4 ฟงกชนเชงเสน (linear function) ไดแก ฟงกชนก าลง 1 (1a 0 ) และ ฟงกชนคงตว (

1a 0 ) 1 0f (x) a x a ;

1a 0 หรอ f (x) ax b ; a 0

- กราฟเปนเสนตรง มระยะตดแกน Y เทากบ b - ตดแกน Y ทจด 0, b

- ตดแกน X ทจด ( b,0

a

- ความชน = a - ถา a > 0 กราฟท ามมแหลมกบแกน X - ถา a < 0 กราฟท ามมปานกบแกน X

1.5 ฟงกชนเอกลกษณ (identity function) f(x) = x เปนฟงกชนเชงเสนท a = 1 และ b = 0 1.6 ฟงกชนก าลง 2 (quadratic function) 2f (x) ax bx c ; a 0

- กราฟเปนเสนโคง เรยกวา พาราโบลา - ถา a > 0 กราฟหงาย - ถา a < 0 กราฟคว า รปมาตรฐาน คอ 2f (x) a(x h) k ; a 0

- จะม จดวกกลบ หรอ จดยอดท (h,k) - ถา a > 0 เรยกวา จดต าสด โดยมคาต าสด = k - ถา a < 0 เรยกวา จดสงสด โดยมคาสงสด = k - เสนสมมาตร คอ เสนตรง x = h

รปทวไป คอ 2f x ax bx c ; 0a

จดเปนรปมาตรฐานโดยใชหลกก าลง 2 สมบรณ จะม จดวกกลบหรอจดยอดท 24

,2 4

b ac b

a a

คาต าสดหรอคาสงสด 2 24

2 4 4

b ac b bf c

a a a

จดวกกลบอาจเขยนเปน ,2 2

b bf

a a

เสนสมมาตร คอ เสนตรง 2

bx

a


18

1.7 ฟงกชนตรรกยะอน ๆ เชน 1.7.1 ฟงกชนก าลงสาม 3f x x

1.7.2 ฟงกชนสวนกลบ 1

f xx

; 0x

1.8 ฟงกชนอตรรกยะ เชน

1.8.1 ฟงกชนรากท 2 f x x ; 0x 1.8.2 ฟงกชนรากท 3 3f x x

1.9 ฟงกชนคาสมบรณ ( absolute value function) ตวอยำง เชน f x x a b

มกราฟเปนเสนตรง 2 เสน คอ f x x a b เมอ x a

และ f x a x b เมอ x a มเสนสมมาตร คอ เสนตรง x a และเสนสมมาตรผานจด ,a b

1.10 ฟงกชนขนบนได ( Step function) ตวอยำง เชน

3; 2

2; 2 1

1;1 3

2; 3

x

xf x

x

x

f x x x หมายถง จ านวนเตมทมากทสดทนอยกวาหรอเทากบ x 2. ฟงกชนอดศย (transcendental function) คอ ฟงกชนทไมใชฟงกชนพชคณต ไดแก 2.1 ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล (exponential function) หรอฟงกชนเลขชก าลง xf x a ; 0a และ 1a fD R และ fR R

- กราฟเปนเสนโคง ผานจด 0,1 เพราะ 0 1a


19

- ถา 1a เมอ x มคาเพมขน y จะมคาเพมขน (ฟงกชนเพม) - ถา 0 1 a เมอ x เพม y ลด (ฟงกชนลด) - 1 2

x xa a เมอ

1 2x x - ถา 0b และ 1b แลว x xa b และ a b เมอ 0x - 0xa เมอ 0a

2.2 ฟงกชนลอการทม เชน logaf x x ; 0a และ 1a

fD R และ fR R

2.3 ฟงกชนตรโกณมต เชน sinf x x

fD R และ 1,1fR

ฟงกชนอน ๆ ทนาสนใจ 1. ฟงกชนทเปนคาบ ( periodic function ) เชน f ( x + k ) = f ( x ) 2. ฟงกชนคและฟงกชนค ( even function and odd function ) f ( -x ) = f ( x ) ; even function f ( -x ) = -f ( x ) ; odd function 3. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด ถา 2 1x x แลว 2 1f x f x ; ฟงกชนเพม ถา 2 1x x แลว 2 1f x f x ; ฟงกชนลด

ลกษณะของฟงกชน แบงออกเปน 3 แบบ คอ

1. ฟงกชนหนงตอหนง (one-to-one function) คอ ฟงกชนทไมมสมาชกตวหลงของสองคอนดบใด ๆ เหมอนกน แตสมาชกตวหนาตางกน f เปนฟงกชนหนงตอหนง กตอเมอ ถา 1,x y f และ 2 ,x y f แลว 1 2x x การพจารณาวาฟงกชนใดเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม อาจพจารณาจากกราฟของฟงกชน โดยลากเสน ขนานแกน X ถาไมมเสนใดตดกราฟมากกวา 1 จด ฟงกชนนนเปนฟงกชนหนงตอหนง แตถามเสนใดตด มากกวา 1 จด ฟงกชนนนไมเปนฟงกชนหนงตอหนง ( many-to-one function )


20

2. ฟงกชนจาก A ( function from A ) f เปนฟงกชนจาก A ไป B หมายถง ฟงกชน f มโดเมนเทากบเซต A และมเรนจเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย :f A B โดยท fD A และ fR B 3. ฟงกชนทวถง ( onto function ) f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B หมายถง ฟงกชน f มโดเมนเทากบเซต A และมเรนจเทากบเซต B เขยนแทนดวย :

ontof A B โดยท fD A และ fR B

หมายเหต f เปนฟงกชนจาก A ไปไมทวถง B หมายถง ฟงกชน f มโดเมนเทากบเซต A และมเรนจ ไมเทากบเซต B เขยนแทนดวย :

ontof A B โดยท fD A และ fR B ( onto หมายถง ไมทวถง )

ขอสงเกต ถาก าหนดให f เปนฟงกชนจาก A ไป B เขยนแทนดวย :f A B สามารถจ าแนกลกษณะของฟงกชนได 4 ลกษณะ ดงน 1. f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย 1 1:

ontof A B

2. f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปไมทวถง B เขยนแทนดวย 1 1:onto

f A B 3. f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย 1: many

ontof A B

4. f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปไมทวถง B เขยนแทนดวย 1: many

ontof A B

ฟงกชนคอมโพสท ( composite function ) ให f และ g เปนฟงกชน โดยท f gR D ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g ซงเขยนแทนดวย สญลกษณ gof ส าหรบทก ๆ คาของ x ซงอยในโดเมนของ f และ f ( x ) อยในโดเมนของ g ( gof ) ( x ) = g ( f ( x ) )

gof fD D และ gof gR R ถา 1 1:

ontof A B และ 1 1:

ontog B C แลว 1 1:

ontogof A C


21

ฟงกชนอนเวอรส ( Inverse function ) ให f เปนฟงกชน 1f จะเปนฟงกชน กตอเมอ f เปนฟงกชนหนงตอหนง และเรยกฟงกชน 1f วา ฟงกชนอนเวอรส โดยท 1f y, x x, y f

ขอสงเกต ถา 1 1:onto

f A B จะไดวา 1. 1 11 :

ontof B A

2. 1 ffD R และ 1 ff

R D 3. กราฟของ f และ 1f มเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร

4. f กตอเมอ 1f 5. 1fof x x ; ฟงกชนเอกลกษณ 6. 1f of x x ; ฟงกชนเอกลกษณ

พชคณตของฟงกชน ( Algebra of function ) คอ การสรางฟงกชนใหม โดยน าฟงกชนเดม อยางนอย 2 ฟงกชนมา บวก ลบ คณ หาร ให f และ g เปนฟงกชนทม fD และ gD เปนโดเมนของ f และ g ตามล าดบ f g f gf g x, y y f x g x ;D D D

f g f gf g x, y y f x g x ;D D D

fg f gfg x, y y f x g x ;D D D

f f g

g

f xfx, y y ;D D D x g x 0

g g x

ขอสงเกต 1. f g f g fg f gD D D D D 2. 0f f g

g

D D D x g x

3. f g x f x g x 4. f g x f x g x 5. fg x f x g x

6.

f xfx

g g x

เมอ 0g x


22

ระบบสมกำรเชงเสนและเมทรกซ (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 4.25%)

เมทรกซ คอ ชดของจ านวน mn ตว m,n I ซงเขยนเรยงกน m แถว n หลก ภายในเครองหมายวงเลบ 11a 12a 1na แถวท 1 21a 22a 2na แถวท 2

m1a m2a mna แถวท m หลกท 1 หลกท 2 หลกท n

เรยก aij วาเปนสมาชก ( entry ) ในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ หรอเรยกวาเปนสมาชกในต าแหนงท ij ของเมทรกซ เมอ i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เรยกเมทรกซทม m แถว n หลก วาเปน mxn เมทรกซ และเรยก mxn วาเปนมตของเมทรกซ ซงอาจเขยนเมทรกซไดอกแบบ คอ

ij mxnA a หมายถง เมทรกซ A เปน m x n เมทรกซทมสมาชกในต าแหนงท ij เปน ija

เมอ i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n กำรเทำกนของเมทรกซ ให ij mxn

A a และ ij mxnB b A เทากบ B กตอเมอ ij ija b ส าหรบทก i 1,2,...,m และ

j 1,2,...,n เขยนแทนดวย A B ขอสงเกต A B เมอ 1. มมตตางกน 2. มมตเดยวกน แตมสมาชกทอยในต าแหนงเดยวกน ตางกนอยางนอย 1 ตว กำรบวกเมทรกซ ให ij mxn

A a และ ij mxnB b A บวกกบ B คอเมทรกซ ij mxn

c เมอ ij ij ijc a b

ส าหรบทก i 1,2,..,m และ j 1,2,...,n เขยนแทนดวย A B


23

ขอสงเกต เมทรกซ 2 เมทรกซบวกกนได เมอมมตเดยวกน โดยน าสมาชกทอยในต าแหนงเดยวกนมาบวกกน ถามตตางกนไมสามารถหาผลบวกได กำรคณเมทรกซดวยคำคงตว ให

ij mxnA a และ c เปนคาคงตว ผลคณของ c และ A คอ เมทรกซ

ij mxnb

เมอ bij = caij ส าหรบทก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เขยนแทนดวย cA ขอสงเกต 1. A B A 1 B A B เมอ A และ B มมตเดยวกน 2. ให ij ijmxn mxn

A a ,B b และ ,B เปนคาคงตว จะไดวา ij mxnA B c เมอ

ij ij ijc a b ส าหรบทก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n 3. เมทรกซทมมต m x n และสามารถทกต าแหนงเปนศนยเรยกวา เมทรกซศนย แทนดวย 0mxn หรอ 0 สมบตทเกยวของกบกำรบวกเมทรกซและกำรคณเมทรกซดวยคำคงตว ก าหนดให A,B,C,O มมต mxn และ c,d เปนคาคงตว 1. A B มมต mxn 2. สมบตการสลบท A B B A 3. สมบตการเปลยนหม A B C A B C 4. การมเอกลกษณการบวก A O A O A เมอ O เปนเอกลกษณการบวก 5. การมตวผกผนการบวก A A O A A เมอ A เปนตวผกผนการบวกของ A 6. c A B cA cB 7. c d A cA dA 8. cd A c dA 9. 1A A 10. 0A 0


24

กำรคณเมทรกซดวยเมทรกซ ถา

ij mxnA a และ

nxrijbB แลว A คณ B คอ เมทรกซ mxrijc เมอ

ij i1 1j i2 2 j in njc a b a b ... a b ส าหรบทก i 1,2,...,m และ j 1,2,..., r

11a 12a

1na 11b

12b 1rb

21a 22a 2na

21b 22b

2rb =

m1a m2a mna n1b n2b nrb

n

1k k1

k 1

a b

n

1k k2

k 1

a ,b

n

1k kr

k 1

a b

n

2k k1

k 1

a b

n

2k k2

k 1

a b

n

2k kr

k 1

a b

n

mk k1

k 1

a b

n

mk k2

k 1

a b

n

mk kr

k 1

a b

เมอ n

ik kj ij ij i2 2 j in nj

k 1

a b a b a b ... a b

ขอสงเกต 1. AB จะหาคาไดเมอ A มจ านวนหลกเทากบจ านวนแถวของ B เทานน 2. AB BA ( AB อาจจะเทากบ BA หรอไมเทากนกได ) 3. ถา A เปน nxn เมทรกซ

'A A 2A AA 3 2A AA


25

k k 1A AA เมอ k I และ k 1 เมทรกซเอกลกษณ ส าหรบจ านวนเตมบวก n ใด ๆ จะให

nxnjkn iI มสมาชกดงน l เมอ j k 0 เมอ j k

เรยก In วาเปนเมทรกซเอกลกษณ มต nxn อาจเขยนเปน I

ขอสงเกต 1. n nAI A I A

2. ถา AB A BA แลว B อาจจะเทากบ In หรอไมเทากบ In กได เมทรกซสลบเปลยน

ให ij mxnA a ถา

nxmijbB มสมบตวา bij = aji ทก 1,2,...,i n และ 1,2,...,j m แลว

เรยก B วาเปน เมทรกซสลบเปลยนของ A แทนดวย At

ขอสงเกต ถา A เปน mxn เมทรกซแลว At จะเปน nxm เมทรกซทมแถวท i เหมอนหลกท i ของ A ทก

1,2,...,i n สมบตทเกยวของกบกำรคณเมทรกซและเมทรกซสลบเปลยน ถา , ,ij ij ijmxn nxp pxq

A a B b C c แลว

1. A BC AB C 2. 0 0mxn mxnA 3. 0 0nxp mxpA 4. mI A A 5. nAI A 6. cA B A cB c AB เมอ c คอคาคงตว 7. A B D AB AD เมอ D เปน nxp เมทรกซ 8. A E B AB EB เมอ E เปน mxn เมทรกซ 9.

t t tA F A F เมอ F เปน mxn เมทรกซ 10.

t t tAB B A

11. t

tA A


26

12. t tcA cA เมอ c เปนคาคงตว

ขอสงเกต 1.

2 2 22A B A AB B 2. 2 2A B A B A B ทง 2 กรณจะเทากน เมอ AB BA ตวผกผนกำรคณของเมทรกซ ( อนเวอรสกำรคณ ) ให A เปน n xn เมทรกซ ถา B เปน n x n เมทรกซทมสมบต วา nAB BA I แลวจะเรยก B วาเปน ตวผกผนการคณของ A และเขยนแทน B ดวย A-1

ขอสงเกต 1. nI เปนเอกลกษณการคณในเซตของเมทรกซทมมต n x n 2. ในระบบจ านวนจรง เซต 0R สมาชกทกตวมตวผกผน การคณ แตในเมทรกซ อาจมเมทรกซทไมเทากบ onxn และไมมตวผกผนการคณ 3. a b ถา A และ 0ad bc c d

1 1 d bA

c aad bc

กำรหำตวผกผนกำรคณของเมทรกซ เมอ A เปน 2 x 2 เมทรกซ เราหา 1A ไดจากการสรางเมทรกซทมสมาชกของเมทรกซไดจากการแกระบบสมการเชงเสน 4 ตวแปรและประกอบดวย 4 สมการ ดงนนถา A เปน n x n เมทรกซ การหา 1A ตองแกระบบสมการเชงเสน 2n ตวแปร จ านวน 2n ตวแปร จ านวน 2n สมการซงจะไมสะดวกในทางปฏบต ดเทอรมแนนต ให 11xaA เรยก a วาเปนดเทอรมแนนตของ A ซง a จะเปนทงสมาชกและ ดเทอรมแนนตของ A ไมเนอรและตวประกอบรวมเกยว ให ij nxn

A a เมอ 2n ไมเนอรของ ija คอ ดเทอรมแนนตของเมทรกซทไดจากการตดแถวท i

และ หลกท j ของ A ออก เขยนแทนดวย ijM A


27

ตวอยำงเชน ถา 11 12

21 22

a aA

a a

จะไดวา

11 22M A a 12 21M A a 21 12M A a 22 11M A a ตวประกอบรวมเกยว ให ij nxn

A a เมอ 2n ตวประกอบรวมเกยวของ ija คอ ผลคณของ 1i j

และ ijM A

เขยนแทนดวย Cij(A) 1

i j

ij ijC A M A

ตวอยำงเชน ถา 11 12

21 22

a aA

a a

จะไดวา

1 1 2

11 11 22 221 1C A M A a a

1 2 3

12 12 21 211 1C A M A a a

2 1 3

21 21 12 121 1C A M A a a

2 2 4

22 22 11 111 1C A M A a a

กำรหำดเทอรมแนนต ของ n x n เมอ n 2

ให ij nxnA a เมอ 2n ดเทอรมแนนตของ A คอ 11 11 12 12 1 1... n na c A a c A a c A

เขยนแทนดวย det A 11 11 12 12 1 1det ... n nA a c A a c A a c A 11a 12a 1na หรอ det A 21a 22a 2na

1na 2na nna

ตวอยำงเชน ถา 1211

21 22

a aA

a a

จะไดวา

11 11 12 12det A a C A a C A 11 22 12 12a a a a 11 22 12 21a a a a


28

กำรหำดเทอรมแนนตของ n x n เมทรกซ เมอ n = 3 ถา

3 3ij xA a จะไดวา

11a 12a 13a det A 21a 22a 23a 31a 32a 33a 11 11 12 12 13 13a C A a C A a C A 11 11 12 12 13 13a M A a M A a M A

22 23 21 23 21 22

11 12 13

31 3232 33 31 33

a a a a a aa a a

a aa a a a

11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 32a a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a a a a a a a a a a ขอสงเกต เมอ

3 3ij xA a การหา det A ท าไดโดยน าหลกท 1 และ 2 ของ A มาเขยนตอจากหลกท 3 ดงน

a31a22a13 32 23 11a a a 33 21 12a a a 11a 12a 13a 11a 12a 21a 22a 23a 21a 22a 31a 32a 33a 31a 32a 11 22 33a a a 12 23 31a a a 13 21 32a a a ให h ผลบวกของผลคณในแนวเฉยงจากซายบนลงมาขวาลาง 11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a และ k ผลบวกของผลคณในแนวเฉยงจากซายลางขนไปขวาบน 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a

det A h k


29

สมบตของดเทอรมแนนต ก าหนดให

ij nxnA a เมอ 2n

1. 12 12det ...ij ij in inA a C A a C A a C A ทก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวท i) 2. 2 2det ...ij ij j j nj njA a C A a C A a C A ทก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวท j) 3. ถา A มสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอหลกใดหลกหนงเปนศนยทกตวแลว det 0A ( เปนผลของสมบตขอ 1 และ 2 ) 4. ถา B ไดจากการสลบแถว 2 แถวหรอสลบหลก 2 หลกของ A แลว det detB A 5. ถา A ม 2 แถวเหมอนกนหรอหลก 2 หลกเหมอนกนแลว det 0A (เปนผลของสมบตขอ 4 ) 6. det dettA A 7. ถา B เกดจากการคณสมาชกในแถวใดแถวหนงหรอหลกใดหลกหนงของ A ดวยคาคงตว c แลว det detB c A 8. ถา B ไดจาก A โดยสมาชกแถวท j ของ B ไดมาจากการคณแถวท i ของ A ดวยคาคงตว c และน าไป

บวกกบแถวท j ของ A เมอ i j แลว det detB A (สมบตขอนยงคงเปนจรงเมอเปลยนจากแถวเปนหลก ) 9. det detncA c A เมอ c เปนคาคงตว ( เปนผลของสมบตขอ 7 ) 10. det det detAB A B เมอ B เปน n x n เมทรกซ 11. det 1nI 12. ถา ij nxn

A a โดยท 0ija เมอ i j แลว 11 22det ... nnA a a a

13. ถา ij nxnB B โดยท 0ijb เมอ i j แลว 11 22det ... nnB b b b

14. ถา det 0A แลว

1 1det

detA

A

เมทรกซเอกฐำนและเมทรกซไมเอกฐำน ให A เปน n x n เมทรกซ A เปนเมทรกซเอกฐาน เมอ det 0A A เปนเมทรกซไมเอกฐาน เมอ det 0A เมทรกซผกพน

ให A เปน n x n เมทรกซ เมอ 2n เมทรกซผกพนของ A คอ t

ijC A แทนดวย adj A

t

ijadj A C A


30

สรปไดวำ 1. A det nadj A adj A A A I 2. A มตวผกผนการคณกตอเมอ A เปนเมทรกซไมเอกฐานและ det 0A จะไดวา

1 1

detA adj A

A

3. ถา det 0A และมมต nxn จะไดวา

1

det detn

adj A A

กำรใชเมทรกซแกระบบสมกำรเชงเสน ก าหนดระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และ n ตวแปร 11 1 12 2 1 1n na x a x a x b

22 221 1 2 2n na x a x a x b

1 1 2 2m m mn n ma x a x a x b สมการเมทรกซทสมพนธกบระบบสมการน คอ

11a 12a 1na x1 1b

21a 22a 2na x2 = 2b

1ma 2ma mna xn mb

A X B จะไดวา AX B ถา m = n และ det 0A แลวเราสามารถหาค าตอบของระบบไดจาก 1X A B


31

กฎของครำเมอร เมอก าหนดระบบสมการเชงเสนทม n สมการ และ n ตวแปรโดย AX = B เปนสมการเมทรกซทสมพนธกบระบบของสมการน 11a 12a 1na x1 1b ให A = 21a 22a 2na , X x2 , B = 2b

1na 2na nna xn nb ถา det 0A แลว ค าตอบของระบบสมการน คอ

1 2

1 2

det det det, ,...,

det det det

n

n

A A AX X X

A A A เ มอ iA คอ เมทรกซทไดจากการแทนหลกท i ของ A

ดวยหลกของ B ทก 1,2,...,i n เมทรกซแตงเตม ก าหนดระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และ n ตวแปร 11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b 21 1 22 2 2 2... n na x a x a x b

1 1 2 2 ...m m mn n ma x a x a x b เมทรกซแตงเตม ของระบบสมการน คอ 11a 12a 1na 1b 21a 22a 2na 2b

1ma 2ma mna mb กำรด ำเนนกำรตำมแถว ให A เปน m x n เมทรกซ เรยกการด าเนนการตอไปนวาเปนการด าเนนงานตามแถวกบ เมทรกซ A 1. สลบทแถว i และ j ของ A เขยนบนแทนดวย ijR 2. คณแถวท i ดวยคาคงตว 0c เขยนแทนดวย icR


32

3. เปลยนแถวท i ของ A โดยน าคาคงตว c คณแถวท j j i แลวน าไปบวกกบแถวท i เขยนแทน ดวย

i jR cR รปแบบขนบนไดแบบแถว ให A เปน m x n เมทรกซ เรากลาววา A มรปแบบขนบนไดแบบแถว เมอ A มสมบตตอไปน 1. ถา A มแถวทมสมาชกบางตวไมเทากบ 0 แลวสมาชกตวแรก ( จากซายไปขวา )ทไมใช 0 ตองเปน 1 เรยก 1 ตวนวาเปน 1 ตวน าในแถว 2. ถา A มแถวทมสมาชกทกตวในแถวเทากบ 0 แถวเหลานตองรวมกนอยต ากวาแถวทมสมาชกบางตวไมเทากบ 0 3. ถา ija เปน 1 ตวน าในแถวท i และ 1i k

a

เปน 1 ตวน าในแถวท i + 1 แลว j k ขอสงเกต 1. ถาเมทรกซ B ไดจากเมทรกซ A ในการด าเนนการตามแถวแลวจะกลาววา B สมมลแบบแถวกบ A แทนดวย

BA 2. A สมมล แบบแถวกบเมทรกซทมรปแบบขนบนไดแบบแถว 3. เมอก าหนดระบบสมการเชงเสนมาให มขนตอนหาค าตอบ ดงน 11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b

221 1 22 2 2... n na x a x a x b

an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn

3.1 สรางเมทรกซแตงเตม 11a 12a 1na 1b

21a 22a 2na 2b

1na 2na ann nb 3.2 ด าเนนการตามแถวเพอใหไดรปแบบขนบนไดแบบแถว 1 o o 1c o 1 0 2c

o o 1 nc


33

3.3 เมทรกซทได จาก 3.2 จะเปนเมทรกซแตงเตมของระบบสมการทมค าตอบชดเดยวกบระบบสมการทก าหนด จะไดวา 1 2 1 2, ,..., , ,..,n nx x x c c c 4. การด าเนนการตามแถว บอกไดวา ระบบสมการทก าหนดมค าตอบเดยว มความค าตอบเปนอนนต หรอไมมค าตอบ 4.1 มค าตอบเดยว ชน 1 0 0 0 1c 0 1 0 0 2c 0 0 1 0 3c 0 0 0 1 4c 1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,x x x x c c c c 4.2 มค าตอบเปนอนนต เชน 1 1 0 0 1c 0 0 1 0 2c 0 0 0 1 3c เซตค าตอบ คอ 1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3, , , ,x x x x lX X c x c X c อาจเขยนเปน 1 2 2 3 1 2 1, , ,x x c c lX X c หรอ 1 1 2 3 1,3 , ,c c c c lc R 4.3 ไมมค าตอบ เชน 1 1a 2a 3a 1c 0 0 1 b 2c 0 0 0 0 3c ถาแถวใดมสมาชกเปน 0 หมดทงแถว ระบบสมการนจะไมมค าตอบ กำรหำตวผกผนโดยกำรด ำเนนกำรตำมแถว ก าหนดให A เปน n x n เมทรกซ โดยท det 0A 11a 12a 1na A = 21a 22a 2na


34

1na an2 ann

1. เขยน nA I (เฉพาะสมาชก) 11a 12a 1na 1 0 0 nA I = 21a 22a 2na 0 1 0

1na an2 nna 0 0 1 2. ด าเนนการตามแถว จนได nI B 1 0 0 11b 12b 1nb nI B 0 1 0 12b 22b 2nb

0 0 1 1nb 2nb nnb จะไดวา B เปนตวผกผนการคณของ A 1B A


35

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และฟงกชนลอกำรทม (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 5.5%) เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนเตม ถา a R และ n I แลว 1. ...na a a a a a

na เรยกวา เลขยกก าลง a เรยกวา ฐาน n เรยกวา เลขชก าลง

2. 0 1a เมอ 0a

3. 1n

na

a

เมอ 0a

4. 1 n

na

a เมอ 0a

รำกท n ของจ ำนวนจรง รากท 2 : ถา ,a b R แลว b เปนรากท 2 ของ a เมอ 2b a คาหลกของรากท 2 ของ a แทนดวย a เรยกวา กรณฑ ท 2 ของ a 1. ถา 0a รากท 2 ของ a คอ a และ a 2. ถา 0a รากท 2 ของ a คอ 0 3. ถา 0a ไมมรากท 2 ของ a ทเปนจ านวนจรง สมบตของกรณฑท 2 ถา , 0a b 1. a b ab

2. a a

bb เมอ 0b

รากท n ของจ านวนจรง : ให n I และ 1n ถา ,a b R แลว b เปนรากท n ของ a เมอ nb a คาหลกของรากท n ของ a แทนดวย n a เรยกวา กรณฑท n ของ a เมอ n คอดชนของกรณฑ ขอสงเกต 1. ถา 2n จะเขยน แทน 2

2. 0 0n 3. 1 1n

4. n

n a a เมอ n a R

5. ถา 0a แลว 0n a

n ตว


36

6. ถา 0a และ 6.1 n เปนจ านวนค แลว 0n a 6.2 n เปนจ านวนค แลว n a ไมใชจ านวนจรง a เมอ 0a 7. n na a เมอ 0a และ n เปนจ านวนค a เมอ 0a และ n เปนจ านวนค สมบตของรากท n ถา n a , n b R 1. n n na b ab

2. , 0n

nn

a ab

bb

การหาผลบวกและผลตางของกรณฑ ท าไดเมอเปนจ านวนเดยวกน ในกรณฑทมดชนเทากน โดยใชสมบต การแจกแจงดงน 1. กรณฑท 2

a c b c a b c a c b c a b c

2. กรณฑท n n n na c b c a b c n n na c b c a b c

การหาผลคณและผลหารของกรณฑ ถาดชนของกรณฑตางกน ตองท าใหเทากนกอน แลวใชสมบตของราก ท n ถา b , d > 0 จะไดวา

n mmnm n(a b)(c d) (ac) b d

nm

mnmn

a b a b

c dc d ; 0c

เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ 1. ถา ,a R n I และ 1, nn a R

1

nna a 2. ถา a R , m และ n I โดย m

n เปนเศษสวนอยางต า และ 0n , n a R โดยเมอ 0m

แลว 0a

1

mm

mnn na a a

1m

nm mn na a a


37

สมบตของเลขยกก ำลง ถา ,m n เปนจ านวนตรรกยะ และ , , , m n n mna a b a R 1. m n m na xa a

2. m

m n

n

aa

a

0a

3. n

m mna a 4.

nn na xb ab

5. nn

n

a a

b b

0b

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ ฟงกชน ( ){ }, ; 0, 1xf x y RxR y a a a+= Î = > ¹

1. fD R= , fR R+= ( )0xa > 2. กราฟผานจด ( )0,1 เพราะ 0 1a = 3. ถา a > 1 เปนฟงกชนเพม และถา 0 < a < 1 เปนฟงกชนลด 4. กราฟไมตดแกน X แตเขาใกลแกน X หรอมแกน X เปนเสนก ากบแนวนอน 5. เปนฟงกชน 1 – 1 จาก R ไปทวถง R+ 1 1:

ontof R R- +¾ ¾®

6. โดยสมบตของฟงกชน 1 – 1 จะไดวา x ya a= กตอเมอ x = y

7. ถา 0b > , 1b ¹ , a b¹ และ x xa b= แลว 0x = 8. ถา 0x > , 0y > และ m , n Î +I

m

nx = y กตอเมอ x = n

my ฟงกชนลอกำรทม ฟงกชนลอการทม คอ ฟงกชน ( ){ }, log ; 0, 1af x y R xR y x a a+= Î = > ¹ 1. เปนฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล 2. fD R+= , fR R= 3. กราฟของ xy a= และ logay x= มเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร 4. yx a= สามารถเขยนในรป logay x= 5. กราฟผานจด ( )1,0 เพราะ log 1 0a = 6. ถา a > 1 เปนฟงกชนเพม และถา 0 < a < 1 เปนฟงกชนลด 7. กราฟไมตดแกน Y แตเขาใกลแกน Y หรอมแกน Y เปนเสนก ากบแนวตง


38

8. เปนฟงกชน 1 – 1 จาก R+ ไปทวถง R 1 1:

ontof R R-+ ¾ ¾®

9. โดยสมบตของฟงกชน 1 – 1 จะไดวา log loga ax y= กตอเมอ x = y 10. จาก logay x= กตอเมอ ya x= \ loga x

a x= และ log y

ay a=

สมบตของลอกำรทม เมอ , ,a M N R+Î ท 1a ¹ และ k RÎ 1. log log loga a aMN M N= +

2. log log loga a a

MM N

N= -

3. log logk

a aM k M= 4. log 1a a = 5. log 1 0a =

6. 1log logk aa

M Mk

=

7. 1log

logb

a

ab

=

8. loglog

log

cb

c

aa

b=

กำรหำคำลอกำรทม 1. ลอการทมสามญ หมายถง ลอการทมฐาน 10 เชน 10log 2 จะเขยนแทนดวย log 2 2. ถา 0 10nN N x= , 01 10N และ n I จะไดวา 0log logN n N= + N คอ แอนตลอการทมของ log N 3. ลอการทมธรรมชาต หรอลอการทมแบบเนเปยร หมายถง ลอการทมฐาน e ( 2.718)e » เชน log 2e จะเขยนแทนดวย ln 2

logln 2.3026log

log

xx x

e= » ; log 0.4343e »


39

จ ำนวนเชงซอน (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 4.5%)

จ ำนวนเชงซอน จ ำนวนจนตภำพ ( imaginary number )

ถา a R จะไดวา a ai เมอ 1i และ 2 1i ขอสงเกต ถา n I หรอศนย จะไดวา 1. 4 0 1ni i 2. 4 1 1ni i i 3. 4 2 2 1ni i 4. 4 3 3ni i i

จ ำนวนจรง

จ ำนวนตรรกยะ

จ ำนวนเตม จ ำนวนตรรกยะทไมใชจ ำนวนเตม

ศนย จ ำนวนเตมลบ

จ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนนบ

จ ำนวนอตรรกยะ

จ ำนวนเชงซอน

จ ำนวนจนตาำ


40

จ ำนวนเชงซอน ( complex number ) จ านวนเชงซอน คอ คอนดบ ( a , b ) เมอ ,a b R ถา z เปนจ านวนเชงซอน จะไดวา z = ( a , b ) = a + bi a คอ สวนจรง ( real part ) ของ z แทนดวย Re ( z ) b คอ สวนจนตภาพ ( imaginary part ) ของ z แทนดวย Im ( z ) เซตของจ านวนเชงซอน แทนดวย C ขอสงเกต 1. จ านวนจรง คอ จ านวนเชงซอนทมสวนจนตภาพเปน ศนย 2. จ านวนเชงซอนทมสวนจรงเปนศนย แตสวนจนตภาพไมเปนศนย เรยกวา จ านวนจนตภาพแท 3. ทงจ านวนจรงและจ านวนจนตภาพเปนสบเซตของจ านวนเชงซอน สมบตของจ ำนวนเชงซอน ก าหนดให , , , ,a b c d k R 1. สมบตการเทากน a + bi = c + di กตอเมอ a = c และ b = d 2. การบวกจ านวนเชงซอน ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i 3. การคณจ านวนเชงซอน 3.1 การคณจ านวนเชงซอนดวยจ านวนจรง k( a + bi ) = ka + kbi 3.2 การคณจ านวนเชงซอนดวยจ านวนจนตภาพ i i( a + bi ) = -b + ai 3.3 การคณจ านวนเชงซอนดวยจ านวนเชงซอน ( a + bi )( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc )i 4. สมบตการบวกและการคณจ านวนเชงซอน ถา z1 , z2 , z3 เปนจ านวนเชงซอน จะไดวา 4.1 สมบตการสลบท z1 + z2 = z2 + z1 และ z1z2 = z2z1 4.2 สมบตการเปลยนหม z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3 z1( z2z3 ) = ( z1z2 )z3 4.3 สมบตการแจกแจง z1( z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3


41

5. เอกลกษณการบวก ( a , b ) + ( 0 , 0 ) = ( a , b ) = ( 0 , 0 ) + ( a , b ) นนคอ ( 0 , 0 ) เปนเอกลกษณการบวกในระบบจ านวนเชงซอน 6. ตวผกผนการบวก ( อนเวอรสการบวก ) ถา z = ( a , b ) = a + bi ตวผกผนการบวกของ z คอ -z = -a - bi 7. การลบจ านวนเชงซอน z1 - z2 = z1 + ( -z2 ) การลบจ านวนเชงซอน คอ การบวกดวยตวผกผนการบวกของจ านวนเชงซอน 8. เอกลกษณการคณ ( a , b )( 1 , 0 ) = ( a , b ) = ( 1 , 0 )( a , b ) นนคอ ( 1 , 0 ) เปนเอกลกษณการคณในระบบจ านวนเชงซอน 9. ตวผกผนการคณ ( อนเวอรสการคณ ) ถา z = ( a , b ) = a + bi โดยท z ( 0 , 0 )

ตวผกผนการคณของ z คอ 12 2

a biz

a b

10. การหารจ านวนเชงซอน

1 11 2 1 2

2

zz z z z

z

การหารจ านวนเชงซอน คอ การคณดวยตวผกผนการคณของจ านวนเชงซอน สงยคของจ ำนวนเชงซอน ( conjugate ) ถา z = a + bi สงยคของ z แทนดวย z

z a bi a bi ขอสงเกต 2 2zz a b สมบตของสงยค

1. 1

Re( ) ( )2

z z z , 1

Im( ) ( )2

z z zi

2. z z

3. 1 1

( )z z เมอ (0,0)z

4. 1 2 1 2z z z z


42

5. 1 2 1 2z z z z 6. 1 2 1 2z z z z

7. 1 1

2 2

z zz z

เมอ 2 (0,0)z

การน าสงยคมาใชในการหารจ านวนเชงซอน ถา z1 = a + bi และ z2 = c + di โดยท 2 (0,0)z

1

2

12 2

2

z a bi a bi c diz c di c di c diz ac bd bc ad iz c d

รำกท 2 ของจ ำนวนเชงซอน

ถา z = a + bi และ 2 2c a b แลวรากท 2 ของ z คอ

2 2

c a c ai

เมอ 0b

2 2

c a c ai

เมอ b < 0

ขอสงเกต 1. ถา z = ( 0 , 0 ) รากท 2 ของ z จะมเพยงจ านวนเดยว คอ ( 0 , 0 ) 2. ถา z ( 0 , 0 ) รากท 2 ของ z จะม 2 จ านวนทแตกตางกน 3. ถา z = ( a , 0 )

รากท 2 ของ z = , 0

, 0

a a

a i a

4. ถา z = ( 0 , b )

รากท 2 ของ z =

, 02 2

, 02 2

b bi b

b bi b


43

กรำฟของจ ำนวนเชงซอน จ านวนเชงซอนอยในรปของคอนดบ ( a , b ) โดย a เปนสวนจรง และ b เปนสวน- จนตภาพ ซงแทนไดดวยจดบนระนาบในระบบแกนมมฉาก โดยแกนนอนเรยกวา แกนจรง แกนตงเรยกวา แกนจนตภาพ และระนาบทเกดจากแกนทง 2 เรยกวา ระนาบเชงซอน ให แกน X แทนแกนจรง และแกน Y แทนแกนจนตภาพ จ านวนเชงซอน 1 + 2i แทนไดดวยจด ( 1 , 2 ) หรอแทนดวยเวกเตอรทมจด ( 0 , 0 ) เปนจดเรมตน และจด ( 1 , 2 ) เปนจดสนสด

คำสมบรณ ( absolute value หรอ modulus ) ของจ ำนวนเชงซอน

ถา z = a + bi คาสมบรณของจ านวนเชงซอน z คอจ านวนจรง 2 2a b เขยนแทนดวย z หรอ a bi

2 2z a bi a b ขอสงเกต a bi คอระยะทางจากจดก าเนด ( 0 , 0 ) ถงจด ( a , b ) ในระนาบเชงซอน สมบตของคาสมบรณ 1. 22z zz z 2. z z z

3. 1 1z z เมอ z ( 0 , 0 )

4. 1 2 1 2z z z z

5. 11

2 2

zzz z เมอ z ( 0 , 0 )

-1

-1

0

Y

X

1 2 3 4

2

3

. ( 1 , 2 )

( 1 , 2 )


44

6. 1 2 1 2z z z z

7. 1 2 1 2z z z z

8. 2 2 2 21 2 1 2 1 22 2z z z z z z

9. 21 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z

10. 21 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z

ขอสงเกต 1. 1 2z z คอระยะทางระหวางจด z1 และ z2 ในระนาบเชงซอน 2. ถา z1 และ z2 เปนจ านวนเชงซอน r เปนจ านวนจรงบวก 2.1 1 1 2z C z z r คอเซตของจดทงหมดในระนาบเชงซอนทมระยะหางจาก z1 เทากบ r

ซงกคอเซตของจดทงหมดทอยบนเสนรอบวงของวงกลมทม z2 เปนจดศนยกลาง และมรศม r จ ำนวนเชงซอนในรปเชงขว ถา z = x + yi เราสามารถเขยนในรปเชงขวไดดงน z = r ( cos + isin ) การคณและการหารจ านวนเชงซอนในรปเชงขว ก าหนดให z = r ( cos + isin ) , z1 = r1 ( cos 1 + isin 1 ) , z2 = r2 ( cos 2 + isin 2 ) 1. sincos irz

2. sincos11

irz

3. 21212121 sincos irrzz

4. 2121

2

1

2

1 sincos ir

r

z

z

ทฤษฎบทของเดอมวร ถา z = r ( cos + isin ) และ In จะไดวา ninrz nn sincos รำกท n ของจ ำนวนเชงซอน ถา z = r ( cos + isin ) แลวรากท n ของ z แทนดวย zk

n

ki

n

krz n

k

2sin

2cos

เมอ k = 0 , 1 , 2 , … , n-1


45

เรขำคณตวเครำะห (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 3%)

เรขำคณต ระยะทางระหวางจดสองจด 1. ถา 1 1,0P x และ 2 2 ,0P x อยบนแกน X หรอถา 1 1,P x y และ 2 2 ,P x y ขนานแกน X 1 2 1 2PP x x 2. ถา 1 10,P y และ 2 20,P y อยบนแกน Y หรอถา 1 1,P x y และ 2 2,P x y ขนานแกน Y 1 2 1 2PP y y 3. ถา 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y เปนจดในระนาบแลว

2 2

1 2 1 2 1 2PP x x y y จดกงกลางระหวางจดสองจด ถา ,P x y เปนจดกงกลางระหวางจด 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y แลว

1 2

2

x xx

1 2

2

y yy

จดแบงระหวางจดสองจด ให 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y เปนจดในระนาบแลว ถา ,P x y เปนจดบนเสนตรง 1 2PP โดยท 1 2 1 2: :PP PP r r แลว

2 1 1 2

1 2

r x r xx

r r

2 1 1 2

1 2

r y r yy

r r

จดรวมมวล หรอจดตดกนของเสนมธยฐาน ให 1 1,A x y , 2 2,B x y และ 3 3,C x y เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC ถา ,P x y เปน จดรวมมวลของรปสามเหลยม ABC แลว

1 2 3

3

x x xx

1 2 3

3

y y yy

เสนมธยฐาน คอ เสนทลากจากจดยอดไปแบงครงฐาน


46

พนทของรปสามเหลยมใด ๆ ให 1 1,A x y , 2 2,B x y และ 3 3,C x y เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC

พนทของรปสามเหลยม ABC = 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2

1

2x y x y x y x y x y x y

พนทของรปสเหลยมใด ๆ ให 1 1,A x y , 2 2,B x y , 3 3,C x y และ 4 4,D x y เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD

พนทของรปสเหลยม ABCD = 1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 2 1 3 2 4 3

1

2x y x y x y x y x y x y x y x y

เสนตรง ความชนของเสนตรง ให L เปนเสนตรงทผานจด 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y โดยท 1 2x x m เปนความชนของเสนตรง L

1 2

1 2

y ym

x x

m > 0 เสนตรงท ามมแหลมกบแกน X m < 0 เสนตรงท ามมปานกบแกน X m = 0 เสนตรงขนานกบแกน X m หาคาไมได เสนตรงขนานกบแกน Y ถา เปนมมทเสนตรงท ากบแกน X แลว tanm เสนขนานและเสนตงฉาก ใหเสนตรง 1L และ 2L มความชน 1m และ 2m ตามล าดบ 1. 1 2//L L กตอเมอ 1 2m m 2. 1 2L L กตอเมอ 1 2 1m m มมระหวางเสนตรง ใหเสนตรง 1L และ 2L มความชน 1m และ 2m ตามล าดบ ถา เปนมมระหวางเสนตรง 1L และ 2L โดยท 0 90 แลว

1 2

1 2

tan1

m m

m m


47

สมการเสนตรง 1. เสนตรงขนานแกน X y = b ความชน = 0 ตดแกน Y ทจด ( 0 , b ) 2. เสนตรงขนานแกน Y x = a ไมมความชน ตดแกน X ทจด ( a , 0 ) 3. เสนตรงทไมขนานแกน X และไมขนานแกน Y 3.1 มความชนเทากบ m และผานจด 1 1x , y 1 1y y m x x ความสมพนธ คอ 1 1x, y RxR y y m x x

3.2 ผานจด 1 1x , y และ 2 2x , y

1 1 2

1 1 2

y y y y

x x x x

สมการเสนตรงในรปมาตรฐาน y mx c ความชน = m

ระยะตดแกน X = c

m , ระยะตดแกน Y = c

จดตดแกน X คอ c,0

m

, จดตดแกน Y คอ 0,c

สมการเสนตรงในรปทวไป Ax By C 0

ความชน = A

B

ระยะตดแกน X = C

A , ระยะตดแกน Y = C

B

จดตดแกน X คอ C,0

A

, จดตดแกน Y คอ C0,

B


48

สมการเสนตรงในรประยะตดแกน

x y1

a b

ความชน = b

a

ระยะตดแกน X = a , ระยะตดแกน Y = b จดตดแกน X คอ a,0 , จดตดแกน Y คอ 0, b ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด ระยะหางระหวางเสนตรง Ax By C 0 กบจด 1 1x , y คอ

1 1

2 2

Ax By Cd

A B

ระยะหางระหวางเสนตรง Ax By C 0 กบจดก าเนด คอ

2 2

Cd

A B

ระยะหางระหวางเสนตรงกบเสนตรง ระยะหางระหวางเสนตรง 1Ax By C 0 และ 2Ax By C 0 คอ

1 2

2 2

C Cd

A B

ภำคตดกรวย วงกลม คอ เซตของจดทงหมดในระนาบทหางจากจด ๆ หนงทตรงอยกบทเปนระยะคงตว จดทตรงอย กบทนเรยกวา จดศนยกลางของวงกลม และระยะทางคงตวดงกลาวเรยกวา รศมของวงกลม รปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม 1. 2 2 2x y r จดศนยกลาง ( 0 , 0 ) รศม r 2. 2 2x y 1 จดศนยกลาง ( 0 , 0 ) รศม 1 หนวย เรยกวา วงกลมหนงหนวย 3.

2 2 2x h y k r จดศนยกลาง ( h , k )


49

รศม r รปแบบทวไปของสมการวงกลม 2 2x y Dx Ey F 0

จดศนยกลาง D E,

2 2

รศม 2 21D E 4F

2

1. 2 2D E 4F 0 ; r > 0 , กราฟเปนรปวงกลม 2. 2 2D E 4F 0 ; r = 0 , กราฟเปนจด 1 จด 3. 2 2D E 4F 0 ; ไมมคา r , เปนวงกลมจนตภาพ เสนสมผสวงกลม ให 1 1P x , y เปนจดนอกวงกลม และ PQ เปนเสนสมผสวงกลมทจด Q 1. ใหสมการวงกลม คอ

2 2 2x h y k r 1.1 ความยาวเสนสมผสวงกลม คอ

2 2 2

1 1PQ x h y k r 1.2 สมการเสนสมผสวงกลม 2

1 1x h x h y k y k r 1.3 สมการเสนปกต หรอเสนทตงฉากกบเสนสมผส ณ จดสมผสบนวงกลมซงผานจด 1 1P x , y

1 1

1 1

y y y k

x x x h

2. ใหสมการวงกลม คอ 2 2x y Dx Ey F 0 2.1 ความยาวเสนสมผสวงกลม คอ 2 2

1 1 1 1PQ x y Dx Ey F 1.2 สมการเสนสมผสวงกลม 1 1 1 1D x x E y y 2 F xx yy 0 1.3 สมการเสนปกต หรอเสนทตงฉากกบเสนสมผส ณ จดสมผสบนวงกลมซงผานจด 1 1P x , y

1 1

1 1

y y 2y E

x x 2x D


50

วงร คอ เซตของจดทงหมดในระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆ ไปยงจด 1F และ

2F ทตรง อยกบทมคาคงตว โดยคาคงตวนมคามากกวาระยะหางระหวางจดทตรงอยกบททงสอง จดสองจดทตรง อยกบทน เรยกวา โฟกสของวงร 1. วงรทมจดศนยกลางอยทจดก าเนด และแกนเอกอยบนแกนพกด

สมการรปแบบมาตรฐาน 2 2

2 2

x y1

a b

2 2

2 2

x y1

b a

จดศนยกลาง 0,0 0,0 จดยอด ( จดปลายแกนเอก ) a,0 0, a จดปลายแกนโท 0, b b,0 แกนเอก อยบนแกน X ยาว 2a อยบนแกน Y ยาว 2a แกนโท อยบนแกน Y ยาว 2b อยบนแกน X ยาว 2b โฟกส c,0 0, c ระยะระหวางโฟกส 2c 2c 2. วงรทมจดศนยกลางอยท h, k


2 2

x h y k1

a b

2 2

2 2

x h y k1

b a

จดศนยกลาง h, k h, k จดยอด ( จดปลายแกนเอก ) h a,k h, k a จดปลายแกนโท h, k b h b, k แกนเอก ขนานแกน X ยาว 2a ขนานแกน Y ยาว 2a แกนโท ขนานแกน Y ยาว 2b ขนานแกน X ยาว 2b โฟกส h c, k h, k c ระยะระหวางโฟกส 2c 2c ขอสงเกต

1. ความเยองศนยกลาง ce

a ; 0 e 1

2. 2 2 2a b c ; a b 0 และ a c 0 3. เลตสเรกตม คอ สวนของเสนตรงทมจดปลายบนวงร ผานโฟกส และตงฉากกบแกนเอกของวงร

เลตสเรกตม = 22b

a


51

4. ผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆ บนวงรไปยงโฟกส เทากบ 2a พาราโบลา คอ เซตของจดทงหมดในระนาบซงหางจากจด F ทตรงอยกบทจดหนง และเสนตรง L ทตรงอยกบทเสนหนง เปนระยะทางเทากน จดทตรงอยกบทนเรยกวา โฟกส และเสนตรงทตรงอยกบ ทนเรยกวา เสนบงคบหรอไดเรกตรกซของพาราโบลา 1. พาราโบลาทมจดยอดอยทจดก าเนด สมการรปแบบมาตรฐาน 2x 4py 2y 4px แกนสมมาตร อยบนแกน Y อยบนแกน X จดยอด 0,0 0,0 โฟกส 0, p p,0 ไดเรกตรกซ y p x p เลตสเรกตม 4p 4p ลกษณะกราฟ p > 0 กราฟหงาย p > 0 กราฟเปดขวา p < 0 กราฟคว า p > 0 กราฟเปดซาย 2. พาราโบลาทมจดยอดอยทจด h, k สมการรปแบบมาตรฐาน

2x h 4p y k

2y k 4p x h

แกนสมมาตร ขนานแกน Y ขนานแกน X จดยอด h, k h, k โฟกส h, k p h p, k ไดเรกตรกซ y k p x h p เลตสเรกตม 4p 4p ลกษณะกราฟ p > 0 กราฟหงาย p > 0 กราฟเปดขวา p < 0 กราฟคว า p > 0 กราฟเปดซาย ขอสงเกต

1. ระยะทางจากจดยอดไปยงโฟกส และจากจดยอดไปยงไดเรกตรกซเทากน คอ เทากบ p 2. แกนของพาราโบลา คอ เสนตรงทลากผานจดยอดกบโฟกส 3. ความเยองศนยกลาง e = 1 4. เลตสเรกตม คอ คอรดทตงฉากกบแกนของพาราโบลาและผานโฟกสของพาราโบลา ( ชวยในการเขยนกราฟ )


52

ไฮเพอรโบลา คอ เซตของจดทงหมดในระนาบซงผลตางของระยะทางจากจดใด ๆ ไปยงจด 1F และ

2F ทตรงอยกบทมคาคงตว โดยคาคงตวนมคานอยกวาระยะหางระหวางจดคงททตรงอยกบททงสอง จดสอง จดทตรงอยกบทน เรยกวา โฟกสของไฮเพอรโบลา 1. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยทจดก าเนด และแกนตามขวางอยบนแกนพกด


2 2

x y1

a b

2 2

2 2

y x1

a b

จดศนยกลาง 0,0 0,0 จดยอด a,0 0, a แกนตามขวาง อยบนแกน X ยาว 2a อยบนแกน Y ยาว 2a แกนสงยค อยบนแกน Y ยาว 2b อยบนแกน X ยาว 2b

เสนก ากบ ( asymptote ) by x

a a

y xb

โฟกส c,0 0, c ระยะระหวางโฟกส 2c 2c 2. ไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางอยท h, k


2 2

x h y k1

a b

2 2

2 2

y k x h1

a b

จดศนยกลาง h, k h, k จดยอด h a, k h, k a แกนตามขวาง ขนานแกน X ยาว 2a ขนานแกน Y ยาว 2a แกนสงยค ขนานแกน Y ยาว 2b ขนานแกน X ยาว 2b

เสนก ากบ ( asymptote ) b

y k x ha

a

y k x hb

โฟกส h c, k h, k c ระยะระหวางโฟกส 2c 2c ขอสงเกต

1. ความเยองศนยกลาง ce

a ; e 1

2. 2 2 2c a b ; c a 0 และ c b 0 3. ผลตางของระยะทางจากจดใด ๆ บนไฮเพอรโบลาไปยงโฟกส เทากบ 2a


53

4. ไฮเพอรโบลาทมเสนก ากบตงฉากกน เรยกวา ไฮเพอรโบลามมฉาก ( a = b ) 5. รปสเหลยมมมฉากศนยกลาง ชวยในการเขยนกราฟ 6. เสนโคงแตละเสน เรยกวา กง ภาคตดกรวยลดรป รปทวไป คอ 2 2Ax Cy Dx Ey F 0 โดยท A และ C ไมเปน 0 พรอมกน และเปน ภาคตดกรวย

1. ถา A = C เปนรปวงกลม 2. ถา A และ C มเครองหมายเหมอนกน และ A C เปนรปวงร 3. ถา A หรอ C เปน 0 เปนรปพาราโบลา 4. ถา A และ C มเครองหมายตางกน เปนรปไฮเพอรโบลา 5. ถาไมเปนตามเงอนไขขอ 1 – 4 จะเปนภาคตดกรวยลดรป 5.1

2 2x h y k 0 ; จด 1 จด

5.2 2 2 2x h y k r , r 0 ; วงกลมจนตภาพ

5.3 2 2

2 2

x h y k0

a b

; จด 1 จด

5.4 2 2

2 2

x h y k1

a b

; วงรจนตภาพ

5.5 2 2

2 2

x h y k0

a b

; เสนตรง 2 เสนตดกน


54

ฟงกชนตรโกณมต (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 8.75%)

ฟงกชนไซน และโคไซน

( )

( )

f x

g y

เรยกฟงกชน f และ g วา ฟงกชนโคไซน ( cosine ) และ ฟงกชนไซน ( sine ) โดยเขยนแทนดวย

ขอสงเกต

1. คาของฟงกชนไซนและโคไซน มคาตงแต -1 ถง 1

1 cos 1

1 sin 1

2. คาของ คอเซตของจ านวนจรง หรอ R

โดเมนของฟงกชนไซนและโคไซน คอ เซตของจ านวนจรง เรนจของฟงกชนไซนและโคไซน มคาตงแต -1 ถง 1

3. คาของฟงกชนไซน และโคไซน ของจ านวนจรง และ

4. คาของฟงกชนไซน และโคไซน ของจ านวนจรง เมอ 2

เมอ n เปนจ านวนเตมบวก

และ 0 2

cos

sin

x

y

sin sin

cos cos

sin 2 sin

cos 2 cos

n

n


55

3. คาของฟงกชนไซน และโคไซน ในแตละควอดรนต

ฟงกชนตรโกณมต อนๆ

1. ฟงกชนแทนเจนต ( tangent ) หรอ tan

2. ฟงกชนซแคนต (secant ) หรอ sec

3. ฟงกชนโคซแคนต ( cosecant ) หรอ cosec

4. ฟงกชนโคแทนเจนต ( cotangent ) หรอ cot

จะไดวา sintan ; cos 0

cos

1sec ; cos 0

cos

1cos ec ; sin 0

sin

cos 1cot ; sin 0, tan 0

sin tan


1. โดเมนของฟงกชน tan และ sec คอ 2 1|

2

n

เมอ n I

2. โดเมนของฟงกชน cot และ cosec คอ | n เมอ n I

3. เรนจของฟงกชน tan และ cot คอ เซตของคาฟงกชน tan และ cot ตามล าดบ โดยท เซตดงกลาวคอ เซตของจ านวนจรง หรอจะไดวา tan และ cot

4. เรนจของฟงกชน sec และ cosec คอ เซตของคาฟงกชน sec และ cos ec ตามล าดบ โดยท

sec 1 หรอ sec 1

และ cosec 1 หรอ cos ec 1 5. 2 2sin cos 1

6. 2 2cosec cot 1

7. 2 2sec tan 1

x

y


56

คาของฟงกชนไซนและโคไซน เมอ 0 2 หรอ 0 360

( องศา ) ( เรเดยน ) sin cos tan

0 0 0 1 0

30

6

1

2 3

2

3

3

45

4

2

2

2

2

1

60

3

3

2

1

2 3

90

2

1 0 หาคาไมได

120 2

3

3

2

1

2 3

135 3

4

2

2

2

2

-1

150 5

6

1

2 3

2

3

3

180 0 -1 0

210 7

6

1

2 3

2

3

3

225 5

4

2

2

2

2

1

240 4

3

3

2

1

2 3

270 3

2

-1 0 หาคาไมได

300 5

3

3

2

1

2 3

315 7

4

2

2

2

2

-1

330 11

6

1

2 3

2

3

3

360 2 0 1 0


57

ฟงกชนตรโกณมตของมมของรปสามเหลยมมมฉาก

ดงนน sin

aA

c ( ขาม – ฉาก )

cosb

Ac

( ชด – ฉาก )

tana

Ab

( ขาม – ชด )

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

1. กราฟของ siny x เมอ 2 2x

2 3

2 2 2

3

2

2

-1

-0.5

0.5

1

A A C

a c

b

B

a คอ ดานตรงขามมม A

b คอ ดานตรงขามมม B

c คอ ดานตรงขามมม C


58

2. กราฟของฟงกชนโคไซน

cosy x เมอ 2 2x

ขอสงเกต เมอ 0n และ 0a

การหาเรนจ คาบ และแอมพลจด ของฟงกชนไซนและโคไซน สรปไดดงน

ฟงกชน คาบ แอมพลจด เรนจ ( ) sinf x x 2 1 [-1, 1]

( ) cosf x x 2 1 [-1, 1]

( ) sinf x nx 2

n

1 [-1, 1]

( ) cosf x nx 2

n

1 [-1, 1]

( ) sinf x a nx 2

n

a [-a, a]

2

n

a [-a, a]

ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจ านวนจรงหรอมม

1. cos cos cos sin sin

2. sin sin cos cos sin

3. tan tan

tan1 tan tan

2 3

2 2 2

3

2

2

-1

-0.5

0.5

1


59

ฟงกชนตรโกณมตอนๆ ทส าคญ ไดแก

1. 2sin cos sin sin

2. 2cos sin sin sin

3. 2cos cos cos cos

4. 2sin sin cos cos

5. sin sin 2sin cos2 2

6. sin sin 2cos sin2 2

7. cos cos 2cos2

2 2

2

2

cos2

8. cos cos 2sin sin2 2

9. sin 2 2sin cos

10. cos 2 cos sin

2cos 1

1 2sin

2

3

3

2 tan11. tan 2

1 tan

12. sin 3 3sin 4sin

13. cos3 4cos 3cos

3

2

2

3tan tan14. tan 3

1 3tan

1 cos15. sin

2 2

2

2

1 cos16. cos

2 2

1 cos17. tan

2 1 cos

ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต หรออนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชน โดเมน เรนจ

arcsiny x 1 1x 2 2

y

arccosy x 1 1x 0 y


60

กราฟของฟงกชน กบฟงกชนผกผนมดงน

1. กราฟของฟงกชน sine และ arcsine

sin ,2 2

y x x

arcsin , 1 1y x x

2. กราฟของฟงกชน cosine และ arccosine

cos , 0y x x

arccos , 1 1y x x

2 2

X

-1

1

Y

-1 1

X

2

2

Y

2

X

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-1 1

X

2

Y


61

กฏของไซนและโคไซน

กฏของโคไซน ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา , ,a b c เปนความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C

ตามล าดบ จะไดวา

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

กฏของไซน sin sin sinA B C

a b c

การหาระยะทางและความสง ฟงกชนตรโกณมต กฏของไซนและโคไซน รวมทงความรเกยวกบ มมกม มมเงย น ามาใชในการหา

ระยะทางและความสงได

มมเงย คอ มมทอยเหนอระดบสายตา

มมกม คอ มมทอยต ากวาระดบสายตา

วตถ

วตถ

ระดบสายตา


62

เวกเตอรในสำมมต (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 4%)

ระยะทางระหวางจด 2 จด ในปรภม 3 มต

ก าหนดให P1(X1,Y1,Z1) และ P2(X2,Y2,Z2) เปนจดใด ๆ ในปรภม 3 มต

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2PP x x y y z z

เวกเตอร ปรมาณเวกเตอร ใชบอกทงขนาดและทศทาง 1. เวกเตอรขนานกน เมอมทศทางเดยวกน หรอตรงขามกน 2. เวกเตอรเทากน เมอมขนาดเทากน และทศทางเดยวกน 3. นเสธของเวกเตอร เมอมขนาดเทากน แตทศตรงขามกน 4. เวกเตอรศนย คอ เวกเตอรทมขนาดเปนศนย เขยนแทนดวย 0 เวกเตอรในระบบพกดฉาก

บทนยำม เวกเตอรในระบบพกดฉำก 2 มต เวกเตอรในระบบพกดฉำก 3 มต 1. การเทากน

a c

b d

กตอเมอ a =c และ b = d

x u

y v

z w

กตอเมอ

x = u , y = v และ z = w 2. การบวกเวกเตอร

a c a c

b d b d

x u x u

y v y v

z w z w

3. การลบเวกเตอร

a c a c

b d b d

x u x u

y v y v

z w z w

4. เวกเตอรศนย

0

0

0

0

0

5. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

k a ka

b kb

kx kx

y ky

z kz


63

6. นเสธของเวกเตอร

นเสธของ a

b

คอ a

b

หรอ

a a

b b

นเสธของx

y

z

คอ x

y

z

หรอ x x

y y

z z

7. การขนานกน a

b

ขนานกบ c

d

กตอเมอ a = kc, b= kd

และ k 0 ( หรอ a c

b d )

ถา k > 0 จะมทศเดยวกน ถา k< 0 จะมทศตรงขามกน

x

y

z

ขนานกบ u

v

w

กตอเมอ x = ku , y = kv, z = kw และ k 0

ถา k > 0 ทศเดยวกน ถา k< 0 ทศตรงขามกน

*** a c

b d ถา a = c = 0 เวกเตอรขนานกนและขนานแกน Y

ถา b = d = 0 เวกเตอรขนานกนและขนานแกน X ขนาดของเวกเตอรใน 2,3 มต ถา 1 2PP เปน เวกเตอรใน 2 มต โดย P1 และ P2 มพกดเปน 1 1,x y แล 2 2,x y ตามล าดบ

1 2PP = 2 1

2 1

x x

y y

1 2PP =

2 2

2 1 2 1x x y y

ถา 1 2PP เปน เวกเตอรใน 3 มต โดย P1 และ P2 มพกดเปน 1 1 1, ,x y z แล 2 2 3, ,x y z ตามล าดบ

1 2PP = 2 1

2 1

2 1

x x

y y

z z

1 2PP =

2 2 2

2 1 2 1 2 1x x y y z z

หมายเหต 1. ถา 1 2PP = a

b

แลว 1 2PP = 2 2a b

2. ถา 1 2PP = a

b

c

แลว 1 2PP = 2 2 2a b c


64

เวกเตอร 1 หนวยใน 2 , 3 มต

1. ถา 0a

b

จะไดวา

2 2

1 a

ba b

เปนเวกเตอร 1 หนวย และมทศเดยวกบ a

b

2. ถา 0

a

b

c

จะไดวา 2 2 2

1

a b c

a

b

c

เปนเวกเตอร 1 หนวย และมทศเดยวกบ a

b

c


1. ถา 1 2PP 0 จะไดวา 1 2

1 2

PP

PP เปนเวกเตอร 1 หนวย และมทศเดยวกบ 1 2PP

2. 1

0

เปนเวกเตอร 1 หนวย มทศตามแกน X ไปทางขวา แทนดวย i

1

0

เปนเวกเตอร 1 หนวย มทศตามแกน Y ไปทางบน แทนดวย j

ถาเปนเวกเตอรใน 3 มต

1

0

0

i

,0

1

0

j

และ 0

0

1

= k

3. เขยนเวกเตอร ในรปของเวกเตอร 1 หนวย ,i j และ k

ถา U = a

b

= ai b j

และ ถา V = a

b

c

= ai b j ck

** 2 2ai b j a b

** 2 2 2ai b j ck a b c

โคไซน แสดงทศทำง

1. ถา a = 1

2

3

a

a

a

และ a 0 จะไดวา โคไซนแสดงทศทางของ a เทยบกบแกน X, Y และ Z คอ

1 2,a a

a a และ 3a

a ตามล าดบ

2. ถา 0U และ V O 2.1 U และ V จะมทศทางเดยวกน เมอมโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน 2.2 U และ V จะมทศทางตรงขามกน เมอมโคไซนแตละแกนเปนจ านวนตรงขามกน


65

ผลคณเชงสเกลาร 1. ถา 1 1u x i y j= + และ 2 2v x i y j= + แลว 1 2 1 2u v x x y y× = + 1.1 u v v u× = × 1.2 ( )u v w u v u w× + = × + ×

1.3 ( ) ( ) ( )a u v au v u av× = × = ×

1.4 0 0u× =

1.5 2

u u u× =

1.6 1i i j j k k× = × = × = 1.7 0i j j k k i× = × = × = 2. ถา q เปนมมระหวาง u และ v ซง 0 180q£ £ แลว cosu v u v q× =

3. 2

U V± = 2 2

2U V U V+ ± = 2 2

2 cosU V U V q+ ±

4. 2 2 2

U V U V เมอ U ตงฉากกบ V หรอ = 900

5. U V± £ U V+

5.1 U V U V+ = + เมอ 00q =

5.2 U V U V- = + เมอ 0180q =

6. ถา U , V 0 และ U ตงฉากกบ V แลว U V = 0 ขอสงเกต จาก U V = cosU V

และ 00 1800 จะไดวา U V > 0 เมอ 00 < 900 U V = 0 เมอ = 900 U V < 0 เมอ 900< 1800 และ U V มคามากทสดเมอ = 00 U V มคานอยทสดเมอ = 1800


66

ผลคณเชงเวกเตอร

จะหาผลคณเชงเวกเตอรไดใน 3 มต เทานน ถา U = 1 1 1x i y j z k และ V = 2 2 2x i y j z k ผลคณเชงเวกเตอรของ U และ V เขยนแทนดวย U V U V = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2y z z y i z x x z j x y y x k

= 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

y z x z x yi j k

y z x z x y

= 1 1 1

2 2 2

i j k

x y z

x y z

สมบตทส าคญของผลคณเชงเวกเตอร

ก าหนดให ,U V และ W เปนเวกเตอรใด ๆ และ a R 1. 0U U 2. U V V U

3. U V W U W V W

4. U V W U V U W

5. a U V aU V U aV

6. i j k 7. j k i 8. k i j 9. U V W W U V V W U U V W

10. U V W U W V V U V W V U

11. ถา ,U V และ W อยบนระนาบเดยวกน แลว 0U V W

12. ถา ,U V และ W มเวกเตอรทเทากน 2 เวกเตอร แลว 0U V W

มมระหวางเวกเตอร

ถา เปนมมระหวาง U และ V ซง 0 1800 และ , 0U V แลว sinU V U V


67

ขอสงเกต ถา U , 0V และไมขนานกน แลว U V ตงฉากกบ U และ V (กฎมอขวา)

การใชเวกเตอร หาพนทของรปสเหลยมดานขนาน

เปนมมระหวาง U กบ V สวนสง (h) ของสเหลยมดานขนาน เทากบ V sin เมอ V

มขนาน V

ฐานของสเหลยมดานขนาน เทากบ U

เมอ U มขนาน U

พนทของสเหลยมดานขนาน = sinU V = U V

การใชเวกเตอรหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน

ทรงสเหลยมดานขนาน ซงม U , V และ W เปนดานทง 3 เปนมมระหวาง U และ V W h เปนมมสงตรงทรงสเหลยมดานขนาน ซงเปนเสนทลากจากจดสนสดของ U มาตงฉากกบระนาบของ V และ W h = cosU

พนทฐานของทรงสเหลยมดานขนาน = V W

ปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน = cosU V W = U V W

h =


68

ล ำดบและอนกรม (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 12.5%)

ล ำดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซต 1,2,3,...,n หรอมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ล ำดบจ ำกด และล ำดบอนนต ล าดบจ ากด คอ ล าดบทมโดเมนเปนเซตจ ากด ; 1, 2,3,...,D n ล าดบอนนต คอ ล าดบทมโดเมนเปนเซตอนนต ; 1,2,3,..., ,...D n กำรหำพจนทวไปของล ำดบ การหาพจนทวไปของล าดบ กคอ การหาคาของ an นนเองซงท าได 2 วธ ดงน

1. ใชวธการสงเกต 2. ใชฟงกชนพหนาม ( ใชไดเฉพาะพจนทวไปอยในรปฟงกชนพหนาม )

2 3

1 1

1 2 1 2 31

2! 3!n

n n d n n n da a n d

ควำมสมพนธเวยนเกด หมายถง การก าหนดพจนเรมตนจ านวนหนง พรอมกบสตรการหาพจนถดไปจากพจน กอนหนา ตวอยางเชน 1 1a , 2 1a และ 1 2n n na a a เมอ 3n ล ำดบเลขคณต นยาม ล าดบเลขคณต คอ ล าดบทผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงตว และเรยกคาคงตวนวา ผลตางรวม เขยนแทนดวย d an = a1 + (n-1)d เปนพจนทวไปของล าดบเลขคณต ขอสงเกต ถา d = 0 จะได an = a1 นนคอทกพจนของล าดบมคาเทากน เรยกวา ล าดบคงตว เทคนคกำรสมมำตรส ำหรบกำรสมมตคำ ส ำหรบล ำดบเลขคณต

1. จ านวนพจนเปนเลขค ใหก าหนดพจนกลางเปน a ซงจะไดรปทวไปของล าดบ คอ … , a – 2d , a – d , a , a + d , a + 2d , … เชน ม 1 พจน a ม 3 พจน a – d , a , a + d ม 5 พจน a – 2d , a –d , a , a + d , a + 2d


69

2. จ านวนพจนเปนเลขค ใหก าหนดพจนกลางเปน a – d และ a + d ซงจะไดรปทวไปของล าดบ คอ … , a – 5d , a – 3d , a – d , a + d , a + 3d , a + 5d , … เชน ม 2 พจน a – d , a + d ม 4 พจน a – 3d , a –d , a + d , a + 3d ม 6 พจน a – 5d , a – 3d , a –d , a + d , a + 3d , a + 5d

ล ำดบเรขำคณต คอ ล าดบทอตราสวนของพจนท 1n ตอพจนท n มคาคงตว และเรยกคาคงตวนวา อตรำสวนรวม เขยนแทนดวย r 1

1

n

na a r เปนพจนทวไปของล าดบเรขาคณต ขอสงเกต ถา 1r จะได 1na a นนคอทกพจนของล าดบมคาเทากน เรยกวา ล าดบคงตว พจนแตละพจนของล าดบเรขาคณตจะไมเทากบ 0 เพราะจะหาคาอตราสวนรวมไมได ดงนน คา 0r ดงนนล าดบ 0,0,0,0,...,0,... เปนล าดบคงตว และเปนล าดบเลขคณตทมผลตางสวนรวมเปนศนย ( d = 0 ) แตไมเปนล าดบเรขาคณต

เทคนคกำรสมมำตรส ำหรบกำรสมมตคำ ส ำหรบล ำดบเรขำคณต

1. จ านวนพจนเปนเลขค ใหก าหนดพจนกลางเปน a ซงจะไดรปทวไปของล าดบ คอ

2

2..., , , , , ,...

a aa ar ar

r r

เชน ม 1 พจน a

ม 3 พจน , ,a

a arr

ม 5 พจน 2

2, , , ,

a aa ar ar

r r

2. จ านวนพจนเปนเลขค ใหก าหนดพจนกลางเปน ar และ ar ซงจะไดรปทวไปคอ

3 5

5 3..., , , , , , ,...

a a aar ar ar

r r r

เชน ม 2 พจน ,a

arr

ม 4 พจน 3

3, , ,

a aar ar

r r

ม 6 พจน 3 5

5 3, , , , ,

a a aar ar ar

r r r


70

อนกรม คอ ผลบวกของพจนทกพจนของล าดบ

1. เมอก าหนด 1 2 3, , ,..., na a a a เปนล าดบจ ากด ดงนน 1 2 3 ... na a a a เรยกวา อนกรมจ ำกด

เขยนแทนดวย 1

n

i

i

a

หรอ nS

ดงนน 1 2 3

1

...n

i n n

i

a a a a a S

2. เมอก าหนด 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เปนล าดบอนนต ดงนน 1 2 3 ... ...na a a a เรยกวา อนกรมอนนต

เขยนแทนดวย 1

i

i

a

หรอ S

ดงนน 1 2 3

1

... ...i n

i

a a a a a S

ขอสงเกต อนกรมจ ากด มาจาก ผลบวกของล าดบจ ากด อนกรมอนนต มาจาก ผลบวกของล าดบอนนต สญลกษณแทนกำรบวก (Summation)

1. 1

n

i

c cn

, เมอ c เปนคาคงท

2. 1 1

n n

i i

i i

ca c a

, เมอ c เปนคาคงท

3. 1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

กำรหำผลบวกยอย n พจนแรก

1.

1

11 2 3 ...

2

n

i

n ni n

2. 2 2 2 2 2

1

1 2 11 2 3 ...

6

n

i

n n ni n

3. 2 2

3 3 3 3 3

1 1

11 2 3 ...

2

n n

i i

n ni n i


71

อนกรมเลขคณต เมอก าหนด 1 1 1 1, , 2 ,..., ( 1)a a d a d a n d เปนล าดบเลขคณต ดงนน 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ]a a d a d a n d เปนอนกรมเลขคณต เขยนแทนดวย

nS

12 ( 1)2

n

nS a n d

หรอ 1( )2

n n

nS a a

อนกรมเรขำคณต เมอก าหนด 2 1

1 1 1 1, , ,..., na a r a r a r เปนล าดบเรขาคณต ดงนน 2 1

1 1 1 1... na a r a r a r เปนอนกรมเรขำคณต เขยนแทนดวย nS

1(1 ), 1

1

n

n

a rS r

r

หรอ 1 , 11

nn

a a rS r

r

ขอสงเกต อนกรมเลขคณต มาจาก ผลบวกของล าดบเลขคณต อนกรมเรขาคณต มาจาก ผลบวกของล าดบเรขาคณต

ล ำดบอนนต คอ ล าดบทมโดเมนเปนเซตอนนต ให 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เปนล าดบอนนต ถา n มคามากขนโดยไมมทสนสด และท าให na มคาเขาใกลหรอ เทากบจ านวนจรงเพยงจ านวนเดยว เรยกจ านวนจรงนนวา ลมตของล าดบ lim n

na L

ล าดบลเขา หรอล าดบคอนเวอรเจนต คอ ล าดบอนนตทมลมต ล าดบลออก หรอล าดบไดเวอรเจนต คอ ล าดบอนนตทไมมลมต หมำยเหต ล าดบแกวงกวด คอ ล าดบไดเวอรเจนต ตวอยางเชน 1

n

na มลกษณะของกราฟทขนและลงสลบกน โดยไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง


72

กำรหำลมตของล ำดบ ให c เปนคาคงตว , lim nn

a L

และ lim nn

b M

1. limn

c c

2. lim nn

ca cL

3. lim n nn

a b L M

4. lim n nn

a b LM

5. lim n

nn

a L

b M

เมอ 0M

6. lim 0n

n

c

d เมอ lim n

nd

หรอ

7.

limn

f n

g n

เมอ f n และ g n เปนฟงกชนพหนาม

7.1 ถา f n มดกรต ากวา g n แลว

lim 0n

f n

g n

7.2 ถา f n มดกรเทากบ g n แลว

limn

f n p

g n q

เมอ p และ q เปนสมประสทธของ

พจนทมดกรสงสดของ f n และ g n ตามล าดบ

7.3 ถา f n มดกรสงกวา g n แลว

limn

f n

g n

ไมสามารถหาลมตได

8. ถา na เปนล าดบอนนตซงแตละพจนมเครองหมายบวกและลบสลบกนแลว 8.1 ถา lim 0n

na

แลว na เปนล าดบคอนเวอรเจนต

8.2 ถา lim nn

a L

และ 0L แลว na เปนล าดบไดเวอรเจนต

9. ให r เปนจ านวนจรงบวกใด ๆ จะไดวา 9.1 lim r

nn

หาคาไมได

9.2 1lim 0

rn n

10. ให r เปนจ านวนจรงใด ๆ 10.1 ถา 1r แลว lim 0n

nr

10.2 ถา 1r แลว lim n

nr

หาคาไมได

11. ถา lim nn

a L

แลว

11.1 limm m

nn

a L

เมอ mL R

11.2 lim mmn

na L

เมอ m L R


73

อนกรมอนนต คอ ผลบวกของพจนทกพจนของล าดบอนนต ก าหนดให 1 2 3 ... ...na a a a เปนอนกรมอนนต

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 3 ...n n

S a

S a a

S a a a

S a a a a

เรยก nS วา ผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม เมอ n เปนจ านวนเตมบวก เรยกล าดบอนนต 1 2 3, , ,..., ,...nS S S S วา ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม ถา n มคามากขนโดยไมมทสนสด และท าให nS มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรงเพยงจ านวนเดยว เรยกจ านวนจรงนนวา ลมตของล าดบของผลบวกยอยของอนกรม lim n

nS S

อนกรมลเขา หรออนกรมคอนเวอรเจนต กตอเมอ ล าดบ nS เปนล าดบลเขา อนกรมลออก หรออนกรมไดเวอรเจนต กตอเมอ ล าดบ nS เปนล าดบลออก ขอสงเกต

1. อนกรมจ ากด เปนอนกรมลเขา 2. อนกรมอนนต

2.1 เปนอนกรมลเขา กตอเมอ nS เปนล าดบลเขา 2.2 เปนอนกรมลออก กตอเมอ nS เปนล าดบลออก

3. ให 1 1 1 1( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ] ...a a d a d a n d เปนอนกรมเลขคณตอนนต 3.1 เปนอนกรมลเขา กตอเมอ 1 0a และ 0d 3.2 เปนอนกรมลออก กตอเมอ 1 0a หรอ 0d 4. ให 2 1

1 1 1 1... ...na a r a r a r เปนอนกรมเรขาคณตอนนต

4.1 เปนอนกรมลเขา กตอเมอ 1r และผลบวกของอนกรม = 1

1

a

r

4.2 เปนอนกรมลออก กตอเมอ 1r


74

แคลคลส (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 9%)

ลมตของฟงกชน ส าหรบฟงกชน f ใด ๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง ถาคาของ f ( x ) เขาใกล จ านวนจรง L เมอ x มคาเขาใกล a จะเรยก L วาเปน ลมตของ f ท a

x alimf x L

แตถาไมมจ านวนจรง L จะไดวา x alimf x

หาคาไมได ( ไมมลมตท a )

ขอสงเกต 1. ถา f x เขาใกล 1L เมอ x เขาใกล a ทางดานซาย แลว 1

x alim f x L

( ลมตซาย )

2. ถา f x เขาใกล 2L เมอ x เขาใกล a ทางดานขวา แลว 2x alim f x L

( ลมตขวา )

3. ถา 1 2L L L แลว x alimf x L

( มลมต )

4. ถา 1 2L L แลว x alimf x

หาคาไมได ( ไมมลมตท a )

5. x alimf x L

กตอเมอ x a x alim f x L lim f x

ทฤษฎบทเกยวกบลมต เมอ a , c , L และ M R ถา f และ g เปนฟงกชน ทมโดเมน และเรนจ เปนสบเซตของ R โดยท

x alimf x L

และ x alimg x M

แลว

1. x alimc c

2. x alim x a

3. n n

x alim x a

4. x alimcf x cL

5. x alim f x g x L M

6. x alim f x g x LM

7.

x a

f x Llim

g x M

เมอ M 0

8. n n

x alim f x L

เมอ nL R

9. nn

x alim f x L

เมอ n L R

10. x alimp x p a

เมอ p x เปนฟงกชนพหนาม

11.

x a

p x p alim

q x q a เมอ p x และ q x เปนฟงกชนพหนาม โดยท q a 0


75

ความตอเนองของฟงกชน ให f เปนฟงกชนซงนยามบนชวงเปด a, b และ c a, b f เปนฟงกชนตอเนองท x c กตอเมอ 1. f c หาคาได 2.

x climf x

หาคาได

3. x climf x f c

ถาฟงกชน f ขาดสมบตขอใดขอหนงแลว f เปนฟงกชนไมตอเนองท x c ทฤษฎบทเกยวกบความตอเนอง ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองท x a แลว 1. f g เปนฟงกชนตอเนองท x a 2. f g เปนฟงกชนตอเนองท x a 3. fg เปนฟงกชนตอเนองท x a

4. f

g เปนฟงกชนตอเนองท x a เมอ g a 0

5. p x เปนฟงกชนตอเนองท x a เมอ p x เปนฟงกชนพหนาม

6.

p x

q x เปนฟงกชนตอเนองท x a เมอ p x , q x เปนฟงกชนพหนาม และ q a 0

ความตอเนองบนชวง

1. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง a, b กตอเมอ f ตอเนองททก ๆ จดในชวง a, b 2. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง a, b กตอเมอ

2.1 f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง a, b 2.2

x alim f x f a

2.3 x blim f x f b

3. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง a, b กตอเมอ 3.1 f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง a, b 3.2

x blim f x f b

4. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง a, b กตอเมอ 4.1 f เปนฟงกชนตอเนองททก ๆ จดในชวง a, b 4.2

x alim f x f a


76

ควำมชนของเสนโคง ถา y f x เปนสมการของเสนโคง เสนสมผสเสนโคงทจด P x, y ใด ๆ จะเปนเสนตรงทผาน จด P และมความชนดงน

ความชน = h 0

f x h f xlim

h

; ถาลมตหาคาได

อนพนธของฟงกชน

ถา y f x เปนฟงกชนท fD , fR R และ h 0

f x h f xlim

h

หาคาได แลว เรยกคา

ลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย f x

h 0

f x h f xf x lim

h


1. f x อาจแทนดวย y หรอ d

f xdx

หรอ dy

dx

2. ส าหรบ a ใด ๆ ทอยใน fD จะไดวา อนพนธของ f ท x = a คอ f a

h 0

f a h f af a lim

h

3. อนพนธของ f ท a หรอ f a คอ ความชนของเสนโคงทจด a, f a อตรำกำรเปลยนแปลง ถา y f x เปนฟงกชน และ fa D แลว อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x

เมอคาของ x เปลยนจาก a เปน a + h คอ y

x

f a h f ay

x h


1. y

x คอ ความชนระหวางจด a, f a และ a h, f a h

2. อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = a คอ dy

dx

h 0

f a h f adylim

dx h

3. อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะท x = a คอ อนพนธของฟงกชน f ท x = a หรอ ความชนของเสนโคงทจด x = a นนเอง 4. อตราการเปลยนแปลงเปนบวก เมอคา x เพม คา y เพม และเปนลบ เมอคา x เพม คา y ลด


77

กำรหำอนพนธของฟงกชนพชคณต ถา c เปนคาคงตว , nn n 1 n 1nn, x , x , x , x R , f และ g หาอนพนธไดท x แลว

1. d

c 0dx

2. dx1

dx

3. n n 1dx nx

dx

4. n

n n 1

d 1x

dx n x

5. d

f x g x f g x f x g xdx

6. d

f x g x f g x f x g xdx

7. d

c f x c f x c f xdx

8. d

f x g x f g x f x g x g x f xdx

9.

2

f x g x f x f x g xd fx

dx g x g g x

10.

2

f xd 1 1x

dx f x f f x

11. n n 1d

f x n f x f xdx

12.

n

n 1n

f xdf x

dx n f x


1. 1 2 n 1 2 nf f ... f x f x f x ... f x

2. 1 2 n 1 2 nf f ... f x f x f x ... f x

3. f g h x f x g x h x

4. f g h x f g x h x g h x f x h f x g x

5. 1 2 n 1 2 n 1 n 2 3 n 1f f ... f x f f ... f x f x f f ... f x f x

n 1 n 2 n 1... f f ... f x f x


78

อนพนธของฟงกชนประกอบ ( ฟงกชนคอมโพสท ) ถา f หาอนพนธไดท x และ g หาอนพนธไดท f ( x ) แลว gof หาอนพนธไดท x และ

gof x g f x f x ขอสงเกต ถาให u f x และ y gof x แลว y g f x g u

ดงนน dy d du dy du

g f x f x g udx du dx du dx

เรยก dy dy du

dx du dx วา กฎลกโซ

อนพนธของฟงกชนอมพลสท ( ฟงกชนแฝง หรอฟงกชนโดยปรยำย )

การหา dy

dx ของฟงกชนอมพลสท ท าไดโดยหาอนพนธของทก ๆ เทอมทง 2 ขางของสมการ

จากนนจงแกสมการหา dy

dx

อนพนธอนดบสง ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ f x เปนอนพนธของ f ท x ซงหาอนพนธได จะเรยก อนพนธของอนพนธของ f ท x หรออนพนธของ f ท x วาเปนอนพนธอนดบท 2 ของ f ท x เขยนแทนดวย f x

จาก d

f x f xdx

d

f x f xdx


1. f x อาจเขยนเปน y หรอ 2

2

df x

dx หรอ

2

2

d y

dx

2. d

f x f xdx

เรยกวา อนพนธอนดบท 3

4 df x f x

dx เรยกวา อนพนธอนดบท 4

n n 1d

f x f xdx

เรยกวา อนพนธอนดบท n


79

กำรประยกตของอนพนธ ฟงกชนเพม และฟงกชนลด ก าหนด f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R และ

fA D ส าหรบสมาชก 1x ,

2x ใด ๆ ใน A 1. ถา

1 2x x และ 1 2f x f x แลว f เปนฟงกชนเพม 2. ถา

1 2x x และ 1 2f x f x แลว f เปนฟงกชนลด ขอสงเกต ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง

fA D ส าหรบทก x ในชวง A 1. ถา f x 0 แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง A 2. ถา f x 0 แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง A

คาสงสดสมพทธ และคาต าสดสมพทธ ฟงกชน f มชวง fa,b D ซง c a, b ส าหรบทก x ใน a, b

1. ถา f c f x แลว f c เปนคาสงสดสมพทธ และ c, f c เปนจดสงสดสมพทธ 2. ถา f c f x แลว f c เปนคาต าสดสมพทธ และ c, f c เปนจดต าสดสมพทธ


1. ให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง a, b ซง c a, b และ f c หาคาได ถา f c เปน คาสงสดหรอต าสดสมพทธ แลว f c 0 2. คา c ทท าให f c 0 หรอหาคาไมได เรยกวา คาวกฤต 3. ให c เปนคาวกฤตของ f เมอ x มคาเพมขนรอบ ๆ c

3.1 ถา f x เปลยนจากบวกเปนลบ แลว f c เปนคาสงสดสมพทธ 3.2 ถา f x เปลยนจากลบเปนบวก แลว f c เปนคาต าสดสมพทธ

4. ให c เปนคาวกฤตของ f ซง f x 0 4.1 ถา f c 0 แลว f c เปนคาต าสดสมพทธ 4.2 ถา f c 0 แลว f c เปนคาสงสดสมพทธ 4.3 ถา f c 0 หรอหาคาไมได ใหกลบไปท าตามขอ 3

ขนตอนการหาคาสงสดและต าสดสมพทธ

1. หา f x 2. ให f x 0 แลวหาคา x ( คาวกฤต ) ใหคาวกฤต เทากบ c 3. พจารณาคาของ f x รอบ ๆ คาวกฤต


80

3.1 ถา x c แลว f x 0 และถา x c แลว f x 0 จะไดวา f c เปนคาสงสดสมพทธ ( f x เปลยนจากบวกเปนลบ ) 3.2 ถา x c แลว f x 0 และถา x c แลว f x 0 จะไดวา f c เปนคาต าสดสมพทธ ( f x เปลยนจากลบเปนบวก ) 3.3 ถา f x ไมเปลยนเครองหมายท x c หรอ x c จะไดวา ไมมคาสงสดหรอต าสด สมพทธ

วธท 2 1. หา f x 2. ให f x 0 แลวหาคา x ( คาวกฤต ) ใหคาวกฤต เทากบ c 3. หา f x แลวแทนคา x ดวย c เพอหาคา f c

3.1 ถา f c 0 แลว f c เปนคาสงสดสมพทธ 3.2 ถา f c 0 แลว f c เปนคาต าสดสมพทธ 3.3 ถา f c 0 หรอหาคาไมได สรปไมได ใหไปพจารณาวธแรก

คาสงสดสมบรณ และคาต าสดสมบรณ ส าหรบทก x ใน

fD 1. ถา f c f x และ f มคาสงสดสมบรณท x c 2. ถา f c f x และ f มคาต าสดสมบรณท x c

ขอสงเกต คาสงสดหรอต าสดสมพทธ อาจไมใชคาสงสดหรอต าสดสมบรณ ขนตอนการหาคาสงสดและต าสดสมบรณ ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [ a , b ] 1. หาคาวกฤตทงหมดในชวงปด [ a , b ] ; หาคา c 2. หาคาของฟงกชน ณ คาวกฤตทไดจากขอ 1 ; หาคา f ( c ) 3. หาคา f ( a ) และ f ( b ) 4. เปรยบเทยบคาของ f ( a ) , f ( b ) และ f ( c ) 4.1 คาทมากทสด เปนคาสงสดสมบรณ 4.2 คาทนอยทสด เปนคาต าสดสมบรณ


81

โจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาต าสด มหลกเกณฑทว ๆ ไปในการแกโจทยปญหาดงนคอ 1. ท าความเขาใจกบปญหาอยางละเอยดใหทราบแนนอนวาตองการหาคาสงสดหรอคาต าสดของอะไร ใหก าหนดสงนนเปน y หรอตวแปรอนตามความเหมาะสม และควรวาดรปประกอบ 2. สมมตให y เปนตวแปรทมการเปลยนแปลงในปญหา โดยทคา y จะมคามากหรอนอยขนอยกบ คา x 3. เขยน y ในรปตวแปร x

4. หาคา dy

dx

5. ให dy0

dx แลวแกสมการหาคา x ( ซงกคอคา c )

6. น าคาวกฤต ( c ) มาตรวจสอบวาท าให y มคาสงสดหรอต าสดหรอไม ปฏยำนพนธ การหาปฏยานพนธ เปนกระบวนการตรงขามกบการหาอนพนธ ฟงกชน F เปนปฏยานพนธหนงของ f ถา F x f x ส าหรบทกคาของ x ทอยใน

fD ขอสงเกต 1. ถา F เปนปฏยานพนธหนงของ f แลว ฟงกชน G ทนยามโดย G ( x ) = F ( x ) + c เมอ c เปนคาคงตว จะเปนปฏยานพนธของ f ดวย 2. ปฏยานพนธของฟงกชนเดยวกนจะแตกตางกนเพยงคาคงตวเทานน ปรพนธไมจ ำกดเขต รปทวไปของปฏยานพนธของฟงกชน f เขยนแทนดวย f x dx อานวา ปรพนธไมจ ากดเขตของ ฟงกชน f เทยบกบตวแปร x ดงนน ถา F x f x แลว f x dx F x c เมอ c เปนคาคงตว ขอสงเกต

1. ปรพนธไมจ ากดเขตของ f กคอ ปฏยานพนธของ f นนเอง 2. กระบวนการหา f x dx เรยกวา การหาปรพนธ 3. เครองหมาย เรยกวา ปรพนธ 4. f ( x ) เรยกวา ปรพทธ 5. dx เปนสญลกษณบอกวาการหาปรพนธนเทยบกบตวแปร x


82

สตรในการหาปรพนธไมจ ากดเขต k และ c เปนคาคงตว 1. kdx kx c

2. n 1

n xx dx c

n 1

เมอ n 1

3. kf x dx k f x dx 4. f x g x dx f x dx g x dx

5. ถา dy

f xdx

แลว y f x dx

ปรพนธจ ำกดเขต ก าหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [ a , b ] ถา F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f แลว

b

b

a

a

f x dx F b F a F x

พนททปดลอมดวยเสนโคง เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [ a , b ] และ A เปนพนททปดลอมดวยกราฟ f จาก x = a ถง x = b 1. ถา f x 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [ a , b ] และ A เปนพนทเหนอแกน X แลว

b

a

A f x dx

2. ถา f x 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [ a , b ] และ A เปนพนทใตแกน X แลว

b

a

A f x dx


83

ก ำหนดกำรเชงเสน (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 0.5%)

กรำฟของอสมกำรเชงเสน สามารถเขยนไดโดยใชเสนประ เสนทบ หรออาณาบรเวณ อสมการเชงเสน มรปแบบดงน คอ 1. Ax By C 0 2. Ax By C 0 3. Ax By C 0 4. Ax By C 0 5. Ax By C 0 วธการเขยนกราฟอสมการเชงเสน 1. เปลยนเครองหมายของอสมการใหอยในรปสมการ Ax By C 0 2. หาจดตดแกน X โดยให y = 0 แลวแกสมการหาคา x จะไดจดตดแกน X คอจด ( x , 0 ) 3. หาจดตดแกน Y โดยให x = 0 แลวแกสมการหาคา y จะไดจดตดแกน Y คอจด ( 0 , y ) 4. ลากเสนตรงใหผานจดตดแกน X และ แกน Y 5. ก าหนดอาณาบรเวณโดยพจารณาจากจดทดสอบ จดทดสอบ ใชในการทดสอบวา บรเวณใดเปนบรเวณทสอดคลองกบอสมการ โดยทวไปนยมใช จด ( 0 , 0 ) เปนจดทดสอบ ขอสงเกต สมการเสนตรงในรปทวไป Ax By C 0 จะมจดตดแกน X และ แกน Y คอ

จด CP ,0

A

และ CQ 0,

B

ตามล าดบ

กรำฟของระบบอสมกำรเชงเสน ระบบอสมการเชงเสน ประกอบดวย อสมการเชงเสนมากกวา 1 อสมการ ค าตอบของระบบอสมการ เชงเสน คอ คอนดบ ( x , y ) ทสอดคลองกบอสมการทงหมดของระบบอสมการ แทนไดดวยบรเวณ ทซอนทบกนของกราฟของอสมการทงหมด ขอสงเกต เพอใหกราฟมรายละเอยดทจะเปนประโยชนมากขน ควรหาและระบจดตดแกน X , แกน Y และจดตดกนของกราฟอสมการ


84

การหาจดตดกนของกราฟอสมการ 1. เปลยนระบบอสมการเชงเสนใหอยในรประบบสมการเชงเสน 2. หาจดตดกนโดยพจารณาทละ 2 สมการ โดยวธการหาค าตอบของระบบสมการเชงเสน

การหาค าตอบของระบบสมการเชงเสน ม 3 แนวทาง คอ

1. การก าจดตวแปรใดตวแปรหนงใหหมดไป 2. การแทนคาตวแปร 3. การเขยนตวแปรหนงในรปของตวแปรอกตวหนงทง 2 สมการ

การก าจดตวแปรใดตวแปรหนงใหหมดไป มขนตอนดงน คอ

1. ท าสมประสทธของตวแปรใดตวแปรหนงใหเทากนทง 2 สมการ 2. เมอสมประสทธของตวแปรใดตวแปรหนงเทากนแลว ใหน าสมการทง 2 มาลบกนเพอ ก าจดตวแปรนนออก ในกรณทสมประสทธมเครองหมายตางกน ใหน ามาบวกกน 3. แกสมการในขนตอนท 2 แลวจะไดคาตวแปรอกตวหนง 4. น าคาตวแปรทไดจากขนตอนท 3 ไปแทนคาในสมการตงตนสมการใดสมการหนง 5. แกสมการหาคาตวแปรทเหลอ 6. คาของตวแปรในขอ 3 และขอ 5 เปนค าตอบของระบบสมการเชงเสน

การแทนคาตวแปร มขนตอนดงน คอ

1. หาคาของตวแปรหนงในรปของอกตวแปรหนงจากสมการใดสมการหนง 2. น าคาของตวแปรทไดจากขนตอนท 1 ไปแทนคาในอกสมการหนง 3. แกสมการในขนตอนท 2 แลวจะไดคาตวแปรอกตวหนง 4. น าคาตวแปรทไดจากขนตอนท 3 ไปแทนคาในสมการตงตนสมการใดสมการหนง 5. แกสมการหาคาตวแปรทเหลอ 6. คาของตวแปรในขอ 3 และขอ 5 เปนค าตอบของระบบสมการเชงเสน การเขยนตวแปรหนงในรปของตวแปรอกตวหนงทง 2 สมการ มขนตอนดงน คอ 1. หาคาของตวแปรหนงในรปของอกตวแปรหนงจากทง 2 สมการ 2. ใชสมบตการเทากน ( สมการท 1 = สมการท 2 ) 3. แกสมการในขนตอนท 2 แลวจะไดคาตวแปรอกตวหนง 4. น าคาตวแปรทไดจากขนตอนท 3 ไปแทนคาในสมการตงตนสมการใดสมการหนง 5. แกสมการหาคาตวแปรทเหลอ 6. คาของตวแปรในขอ 3 และขอ 5 เปนค าตอบของระบบสมการเชงเสน


85

กำรแกปญหำก ำหนดกำรเชงเสนโดยวธกรำฟ มขนตอนดงน 1. สรางระบบอสมการจากสถานการณในปญหา อสมการทงหมด เรยกวา อสมการขอจ ากด 2. ก าหนดฟงกชนจดประสงคในรป P = Ax + By และตดสนวาตองการหาคาสงสดหรอคาต าสด 3. เขยนกราฟของอสมการขอจ ากด 4. เลอกอาณาบรเวณทเปนไปไดของค าตอบ เซตของจดทอยในบรเวณทแรเงารวมทงจดทเสนขอบ เรยกวา อาณาบรเวณทหาค าตอบได 5. หาพกดจดยอดของรปหลายเหลยมของอาณาบรเวณของค าตอบทเปนไปได ค าตอบทตองการจะ อยทจดมมของรปหลายเหลยมของอาณาบรเวณทหาค าตอบได 6. แทนตวแปรของฟงกชนจดประสงคดวยพกดของจดยอดตาง ๆ ในขอ 5 และพจารณาผลทสอด – คลองกบสงทตองการตามขอ 2 ดงนคอ

จดมม C x, y P Ax By 1 1 1C x , y

1 1Ax By 2 2 2C x , y

2 2Ax By

n n nC x , y

n nAx By


86

ตรรกศำสตร (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 3.75%)

ประพจน คอ ประโยคทเปนจรง หรอเทจ อยางใดอยางหนงเทานน อยในรปประโยคบอกเลาหรอ ประโยคปฏเสธ ขอสงเกต 1. ในตรรกศาสตร การเปนจรง หรอเทจ ของแตละประพจน เรยกวา คาความจรงของประพจน 2. ประโยคทไมอยในรปประโยคบอกเลา หรอปฏเสธ ไมเปนประพจน เชน ประโยคค าถาม ค าสง หาม ขอรอง ออนวอน อทาน ฯลฯ

กำรเชอมประพจน


1. แทนเครองหมาย และ 2. แทนเครองหมาย หรอ 3. แทนเครองหมาย ถา...แลว... 4. แทนเครองหมาย กตอเมอ 5. นเสธของประพจน p แทนดวย p 6. ประพจนทน ามาเชอมกนดวยตวเชอมตาง ๆ เรยกวา ประพจนยอย

กำรหำคำควำมจรงของประพจน ท าไดโดยใชแผนภาพ ในกรณทมตวเชอมตงแต 2 ตวขนไป มขนตอน ดงน คอ 1. หาคาความจรงของประพจนยอยในวงเลบกอน ถามหลายวงเลบ ใหท าจากวงเลบเลกไปยงวงเลบ - ใหญ ดงน คอ ... ... ... ... 2. ถาไมมวงเลบ ใหหาคาความจรงของตวเชอมตามล าดบ ดงน คอ ,

p q p q p q p q p q T T T T T T T F F T F F F T F T T F F F F F T T


87

กำรสรำงตำรำงคำควำมจรง ใชในกรณทประพจนยอย ยงไมไดก าหนดคาความจรง ถามประพจนเดยว พจารณาคาความจรง 2 กรณ ถาม 2 ประพจน พจารณาคาความจรง 4 กรณ ถาม 3 ประพจน พจารณาคาความจรง 8 กรณ

ถาม n ประพจน พจารณาคาความจรง n2 กรณ รปแบบของประพจนทสมมลกน หมายถง รปแบบของประพจน 2 รปแบบ ทมคาความจรงตรงกนกรณ ตอกรณ แทนดวย 1. p q q p 2. p q q p 3. p q q p 4. p q r p q r 5. p q r p q r 6. p q r p q r 7. p q r p q p r 8. p q r p q p r 9. p q p q q p 10. p q p q q p 11. p q p q 12. p q p q 13. p q p q 14. p p สจนรนดร หมายถง รปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ การตรวจสอบความเปนสจนรนดร ท าไดโดย 1. พจารณาคาความจรงของรปแบบของประพจน โดยสรางตารางคาความจรง 2. ถาเปนรปแบบของประพจนทเชอมดวย ถา...แลว... ใชวธการหาขอขดแยง ดงน คอ 2.1 สมมตใหรปแบบของประพจนเปนเทจ โดยให เหตเปนจรง และผลเปนเทจ 2.2 หาคาความจรงของประพจนยอย 2.2.1 ถามขอขดแยงกบทสมมตไว แสดงวา รปแบบของประพจนนนเปนสจนรนดร 2.2.2 ถาไมมขอขดแยงกบทสมมตไว แสดงวา รปแบบของประพจนนนไมเปนสจนรนดร


88

กำรอำงเหตผล คอ การอางวา เมอมขอความ 1 2 nP ,P ,...,P ชดหนง แลวสามารถสรปขอความ C ขอความหนงได ขอความ 1 2 nP ,P ,...,P เรยกวา เหตหรอสงทก าหนดให ขอความ C เรยกวา ผลหรอขอสรป เขยนเปนรปแบบไดดงน คอ 1 2 nP P ... P C ถารปแบบ 1 2 nP P ... P C เปนสจนรนดร แสดงวา การอางเหตผลน สมเหตสมผล ถารปแบบ 1 2 nP P ... P C ไมเปนสจนรนดร แสดงวา การอางเหตผลน ไมสมเหตสมผล การตรวจสอบความสมเหตสมผล ใชวธเดยวกบการตรวจสอบ สจนรนดร ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลา หรอประโยคปฏเสธทมตวแปร และเมอแทนคาของตวแปรดวยสมาชก ในเอกภพสมพทธแลวไดประพจน สญลกษณแทนประโยคเปดใด ๆ ทม x เปนตวแปร เขยนแทนดวย P x หรอ xP การเชอมประโยคเปดดวยตวเชอม , , , หรอ การเตม ท าไดเชนเดยวกบการเชอมประพจน ตวบงปรมำณ ม 2 แบบ คอ 1. ส าหรบ ... ทกตว แทนดวย เชน x หมายถง ส าหรบ x ทกตว 2. ส าหรบ ... บางตว แทนดวย เชน x หมายถง ส าหรบ x บางตว ขอความทมตวบงปรมาณ ประกอบดวย ตวบงปรมาณ และประโยคเปด เชน 2x x 2x 3 0 ขอสงเกต การเขยนสญลกษณแทนประโยคเปดทมตวบงปรมาณ เราจะตองเขยนเอกภพสมพทธก ากบ ไวเสมอ แตจะละไว เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจ านวนจรง หรอในกรณการศกษาเกยวกบเซต คำควำมจรงของประโยคทมตวบงปรมำณตวเดยว จะพจารณาจาก 1. ตวบงปรมาณ 2. ประโยคเปด 3. เอกภพสมพทธ ให P x แทนประโยคเปดทมตวแปร x 1. ประโยค x P x มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละ ตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนจรงทงหมด


89

2. ประโยค x P x มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกอยาง นอย 1 ตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจ 3. ประโยค x P x มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกอยาง นอย 1 ตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนจรง 4. ประโยค x P x มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละ ตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจทงหมด สมมลของประโยคทมตวบงปรมำณ รปแบบของประพจนทสมมลกน น ามาใชกบประโยคเปดทสมมล กนได เชน

รปแบบของประพจนทสมมลกน ประโยคเปดทสมมลกน

p q q p P x Q x Q x P x

p q p q P x Q x P x Q x p q p q P x Q x P x Q x

p q p q P x Q x P x Q x

ถาเตมตวบงปรมาณชนดเดยวกนไวขางหนา จะไดประพจนทสมมลกนดวย เชน 1. x P x Q x x Q x P x 2. x P x Q x x P x Q x 3. x P x Q x x P x Q x

4. x P x Q x x P x Q x

เนองจากประโยคทมตวบงปรมาณเปนประพจน ดงนน สามารถเทยบรปแบบทสมมลกบรปแบบของ ประพจนทสมมลกนได เชน 1. x P x x Q x x Q x x P x 2. x P x x Q x x P x x Q x 3. x P x x Q x x P x x Q x

4. x P x x Q x x P x x Q x

นเสธของประโยคทมตวบงปรมำณ จาก p นเสธของ คอ p ดงนน นเสธของประโยคเปด หรอประโยคทมตวบงปรมาณ คอ 1. นเสธของ P x คอ P x


90

2. นเสธของ x P x คอ x P x 3. นเสธของ x P x คอ x P x 4. นเสธของ x P x Q x คอ x P x Q x 5. นเสธของ x P x x Q x คอ x P x x Q x

ส าหรบนเสธของประโยคเปด หรอประโยคทมตวบงปรมาณ โดยเปรยบเทยบกบนเสธของประพจน เชน 1. จาก p q p q จะไดวา 1.1 นเสธของ p q คอ p q 1.2 นเสธของ P x Q x คอ P x Q x 1.3 นเสธของ x P x x Q x คอ x P x x Q x 2. จาก p q p q จะไดวา 2.1 นเสธของ p q คอ p q 2.2 นเสธของ P x Q x คอ P x Q x 2.3 นเสธของ x P x x Q x คอ x P x x Q x ขอสงเกต ประโยคเปดทเปนนเสธกน ถาเตมตวบงปรมาณชนดเดยวกนไวขางหนา ผลจะไมได ประพจนทเปนนเสธกน เชน นเสธของ P x คอ P x แต x P x กบ x P x ไมเปนนเสธกน รปแบบประพจนทสมมลกน และเปนนเสธกน 1. x P x x P x 2. x P x x P x ขอสงเกต 1. นเสธของ x P x สมมลกบ x P x 2. นเสธของ x P x สมมลกบ x P x


91

คำควำมจรงของประโยคทมตวบงปรมำณ 2 ตว ประโยคทมตวบงปรมาณ 2 ตว ม 8 รปแบบ คอ 1. x y P x, y 5. y x P x, y 2. x y P x, y 6. y x P x, y 3. x y P x, y 7. y x P x, y 4. x y P x, y 8. y x P x, y การพจารณาคาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณ 2 ตว 1. x y P x, y

1.1 มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวใน เอกภพสมพทธ แลวท าให P a,b เปนจรงเสมอ 1.2 มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b บางตวใน เอกภพสมพทธ แลวท าให P a,b เปนเทจ 2. x y P x, y 2.1 มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b บางตวใน เอกภพสมพทธ แลวท าให P a,b เปนจรง 2.2 มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวใน เอกภพสมพทธ แลวท าให P a,b เปนเทจ 3. x y P x, y 3.1 มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลว ท าใหประโยค y P a, y เปนจรง 3.2 มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวในเอกภพสมพทธ แลว ท าใหประโยค y P a, y เปนเทจ 4. x y P x, y 4.1 มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวในเอกภพสมพทธ แลว ท าใหประโยค y P a, y เปนจรง 4.2 มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลว ท าใหประโยค y P a, y เปนเทจ ขอสงเกต ส าหรบคาความจรงของรปแบบ 5 – 8 หาไดในท านองเดยวกนกบรปแบบ 1 - 4


92

ควำมนำจะเปน (เปอรเซนตจ านวนขอสอบ 6.25%)

หลกการนบ

1. หลกการบวก 2. หลกการคณ

หลกการบวก ถาการท างานหนงมวธการท า k วธ คอ วธท 1 ถง วธท k โดยท การท างานวธท 1 มวธท า 1n วธ การท างานวธท 2 มวธท า 2n วธ

การท างานวธท k มวธท า kn วธ และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลว จ านวนวธท างานนเทากบ 1 2 ... kn n n วธ หลกการคณ ถาการท างานอยางหนงประกอบดวยการท างาน k ขนตอน คอ ขนตอนท 1 ถง ขนตอนท k โดยท การท างานขนตอนท 1 มวธท า 1n วธ การท างานขนตอนท 2 มวธท า 2n วธ

การท างานขนตอนท k มวธท า kn วธ และวธการท างานแตละวธแตกตางกน แลว จ านวนวธท างานนเทากบ 1 2... kn n n วธ

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ


93

ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n คอ ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n เขยนแทนดวย n! n! = 1 x 2 x 3 x … x ( n – 1 ) x n หรอ n! = n x ( n – 1 ) x … x 3 x 2 x 1 n! = n x ( n – 1 )! 0! = 1 1! = 1

1. จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด เทากบ ,n nP วธ , !n nP n 2. จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงซงแตกตางกนทงหมด โดยจดเรยงคราวละ r สง 1 r n เทากบ ,n rP วธ

,

!

!n r

nP

n r

3. ถามสงของอย n สง ในจ านวนน ม 1n สงทเหมอนกนเปนกลมท 1 ม 2n สงทเหมอนกนเปนกลมท 2

ม kn สงทเหมอนกนเปนกลมท k โดยท 1 2 ... kn n n n

จ านวนวธเรยงสบเปลยนกลมของสงของ n สง เทากบ 1 2

!

! !... !k

n

n n n

วธเรยงสบเปลยนเชงเสน

แฟคทอเรยล


94

1. จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สง เทากบ 1 !n

2. จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สง และมองได 2 ดาน

เทากบ 1 !

2

n

1. จ านวนวธจดหมของสงของทแตกตางกน n สง โดยเลอกคราวละ r สง 0 r n เทากบ ,n rC หรอ n

r

,

!

! !n r

nC

n r r

2. n n

r n r 1. ถามสงของอย n สงซงแตกตางกนทงหมด ตองการแบงกลมเปน กลมละ 1n ชน จ านวน 1m กลม กลมละ 2n ชน จ านวน 2m กลม

กลมละ kn ชน จ านวน km กลม

จ านวนวธแบงกลมของสงของ n สง เทากบ 1 2

1 1 2 2

!

! ! ! !... ! !km m m

k k

n

n m n m n m

2. วธแบงสงของ n สงซงเหมอนกนทงหมด โดยแบงใหคน r คน 2.1 ถาไดรบทกคน จ านวนวธ เทากบ 1, 1n rC 2.2 ถาไมสนใจวาจะไดรบทกคน จ านวนวธ เทากบ 1, 1n rC

วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

วธจดหม

วธแบงกลม


95

ถา x , y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก แลว 1

0 1 ... ...n n n n n n n r r n n

r nx y x x y x y y ขอสงเกต 1. 0 1, ,..., ,...,n n n n

r n เรยกวา สมประสทธทวนาม

2. 0 1 ... 2n n n n

n 3. 0 1n n

n

4. 1

1

n n n

r r r

เมอ 0 r n 5. ใหพจนท r + 1 ของการกระจาย

nx y แทนดวย 1rT จะไดวา

1

n n r r

r rT x y

6. สมประสทธของ c dx y จากการกระจาย n

ax by เทากบ !

! !

c dna b

c d

การทดลองสม คอ การทดลองหรอการกระท าใด ๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไม สามารถบอกไดอยางถกตองแนนอนวาในแตละครงททดลอง ผลทเกดขนจะเปนอะไรในบรรดาผลลพธ ทอาจเปนไปไดเหลาน ปรภมตวอยาง หรอแซมเปลสเปซ คอ เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดจากการทดลองสม แตละ สมาชกของปรภมตวอยางหรอผลการทดลอง เรยกวา จดตวอยาง ( sample point or outcome ) เหตการณ คอ สบเซตของปรภมตวอยาง ขอสงเกต ให S เปนปรภมตวอยาง และให A และ B เปนเหตการณ 2 เหตการณ 1. ... ...A B x x A or x B 2. ... ...A B x x A and x B 3. ... ...A x x S but x A 4. ... ...A B x x A but x B 5. ถา A B แลว จะเรยกเหตการณ A และ B วา เหตการณทไมเกดรวมกน

ทฤษฎบททวนาม

ความนาจะเปน


96

ความนาจะเปนของเหตการณ ถา S แทนปรภมตวอยางของการทดลองสมอยางหนง ซงแตละจดตวอยางของการทดลองมโอกาส เกดขนเทา ๆ กน และ E แทนเหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E) ซง

n EP E

n S

เมอ n E แทนจ านวนสมาชกในเหตการณ E n S แทนจ านวนสมาชกในปรภมตวอยาง S สมบตของความนาจะเปน 1. ความนาจะเปนของเหตการณ E ใด ๆ จะมคาตงแต 0 ถง 1 เสมอ 0 1P E 0P E หมายความวา เหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย 1P E หมายความวา เหตการณ E จะเกดขนอยางแนนอน 2. ความนาจะเปนของปรภมตวอยาง S มคาเทากบ 1 นนคอ 1P S 3. ความนาจะเปนของเหตการณทเปนเซตวาง มคาเทากบ 0 นนคอ 0P กฎของความนาจะเปน ให S เปนปรภมตวอยาง ซงเปนเซตจ ากด และ A , B , C เปนเหตการณใด ๆ 1. P A B P A P B P A B 2. 1P A P A 3. P A B P A P A B 4. ถา A B แลว P A B P A P B 5. P A B P A B P B A P A B 6. P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C


97

สถต (เปอรเซนตจ ำนวนขอสอบ 8%)

กำรวดคำกลำงของขอมล ประกอบดวย 1. คาเฉลยเลขคณต 2. มธยฐาน 3. ฐานนยม 4. คาเฉลยเรขาคณต 5. คาเฉลยฮารมอนก 6. คากงกลางพสย คำเฉลยเลขคณต เหมาะทจะน ามาใชเปนคากลางของขอมล เมอขอมลนน ๆ ไมมคาใดคาหนงหรอ หรอหลาย ๆ คา ซงสงหรอต ากวาคาอน ๆ มาก คาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมไดแจกแจงความถ หาไดโดยตรงจากขอมลทมอยท งหมด โดยการหาร ผลรวมของขอมลทงหมดดวยจ านวนขอมล แทนดวย x

n

i

1 2 n i 1

xx x ... x

xn n

1 2 nx , x ,..., x คอ คาจากการสงเกต n คอ จ านวนตวอยาง สญลกษณแทนการบวก ใชแทนผลบวกของขอมล ix ทก ๆ คา จาก i = 1 ถง i = n

n

i 1 2 n

i 1

x x x ... x

สมบตของสญลกษณแทนการบวก ถา c เปนคาคงตวใด ๆ

1. 1

n

i

c nc

2. 1 1

n n

i i

i i

cx c x

3. 1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y x y

4. 1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y x y


98

คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก ใชในกรณทขอมลแตละคามความส าคญไมเทากน ถาให

1w เปนความถของคาจากการสงเกต 1x

2w เปนความถของคาจากการสงเกต 2x

nw เปนความถของคาจากการสงเกต nx

1 1 2 2 1

1 2

1

...

...

n

i i

n n i

n

ni

i

w xw x w x w x

xw w w

w

คาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถแลว ใชในกรณทมขอมลจ านวนมาก และไมมขอมลดบ แตละหนวย เชน ขอมลทรายงานจากทะเบยนตาง ๆ ในลกษณะทไดแจกแจงความถแลว ถาให 1f เปนความถของคาจากการสงเกต 1x 2f เปนความถของคาจากการสงเกต 2x

kf เปนความถของคาจากการสงเกต kx

1 1 2 2 1 1

1 2

1

...

...

k k

i i i i

k k i i

k

ki

i

f x f xf x f x f x

xf f f n

f

ขอสงเกต ในกรณทมการแจกแจงความถของขอมลเปนอนตรภาคชน จะไดวา ix เปนจดกงกลางของชนท i k เปนจ านวนอนตรภาคชน การหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทมการแจกแจงความถเปนอนตรภาคชนโดยใชคากงกลางสมมต

1 1

1

k k

i i i i

i i

k

i

i

f d f d

x a id a i a in

f

เมอ ii

x ad

i

id คอ คากงกลางสมมตของชนท i a คอ คากงกลางชนทมความถสงสด i คอ ความกวางของอนตรภาคชน

d คอ คาเฉลยสมมต


99

คาเฉลยเลขคณตรวม ใชในการวเคราะหขอมลของตวแปรเดยวกนจากตวอยางหลาย ๆ ชดทสมมาจาก ประชากรเดยวกน และหาคาเฉลยเลขคณตของตวอยางแตละชดไวแลว ถา 1 2, ,..., kx x x เปนคาเฉลยเลขคณตของ ขอมลชดท 1 , 2 , ... , k 2, ,...,i kn n n เปนจ านวนคาจากการสงเกตของ ขอมลชดท 1 , 2 , ... , k

1 1 2 2 1 1

1 2

1

...

...

k k

i i i i

k k i i

k

ki

i

n x n xn x n x n x

xn n n n

n

สมบตทส าคญของคาเฉลยเลขคณต

1. 1

n

i

i

x nx

2. 1

0n

i

i

x x

3. 2

1

n

i

i

x a

มคานอยทสดเมอ a x

4. min maxx x x 5. ถา i iy ax b แลว y ax b ขอสงเกต x และ n จะใชแทนคาเฉลยเลขคณตและจ านวนตวอยางซงเปนตวแทนของประชากร สวน และ N จะใชแทนคาเฉลยเลขคณตและจ านวนของประชากร มธยฐำน คอ คาทมต าแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด โดยเรยงล าดบขอมลจากคานอยทสดไปหาคา มากทสด เหมาะทจะน ามาใชในกรณทมขอมลคาใดคาหนงหรอหลาย ๆ คา ซงสงหรอต ากวาคาอน ๆ มาก แทนดวย Me ขนตอนการหามธยฐานของขอมลทไมไดแจกแจงความถ 1. เรยงขอมลจากนอยไปหามาก 2. หาต าแหนงของมธยฐาน

2.1 กรณทจ านวนขอมลเปนเลขค ต าแหนงของมธยฐาน คอ 1

2

n

2.2 กรณทจ านวนขอมลเปนเลขค ต าแหนงของมธยฐานจะอยระหวาง 2

n กบ 12

n

3. หาคาของมธยฐาน

3.1 กรณทจ านวนขอมลเปนเลขค คามธยฐาน คอ คาของขอมลในต าแหนง 1

2

n


100

3.2 กรณทจ านวนขอมลเปนเลขค คามธยฐาน คอ คาเฉลยของขอมลในต าแหนง 2

n กบ 12

n

1

2 2

2

n nx x

Me

ขนตอนการหามธยฐานของขอมลทแจกแจงความถแลว 1. สรางชองความถสะสม

2. หาต าแหนงของมธยฐาน จาก 2

n

3. หาอนตรภาคชนทมมธยฐานอย 4. หาคาของมธยฐาน

2L

Me

nf

Me L if

เมอ L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย

n คอ ผลรวมความถทงหมด 1

k

i

i

n f

Lf คอ ผลรวมความถของทกอนตรภาคชนทต ากวาชนทมมธยฐานอย Mef คอ ความถของชนทมมธยฐานอย i คอ ความกวางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย ขอสงเกต 1. ขอบลาง คอ คากงกลางระหวางคาทมากทสดในอนตรภาคชนกอนหนานน 1 ชนกบคาทนอยทสด ของอนตรภาคชนนน ถาเปนขอบลางของชนต าสดใหถอวามอนตรภาคชนทต ากวาชนนนอก 1 ชน 2. ขอบบน คอ คากงกลางระหวางคาทมากทสดในอนตรภาคชนนนกบคาทนอยทสดของอนตรภาคชน ถดไปชนหนง ถาเปนขอบบนของชนสงสดใหถอวามอนตรภาคชนทสงกวาชนนนอก 1 ชน

3. 1

n

i

i

x Me

มคานอยทสด

ฐำนนยม คอ คาของขอมลทมความถสงสด นยมใชกบขอมลเชงคณภาพมากกวาขอมลเชงปรมาณ แทนดวย Mo การหาฐานนยมของขอมลทไมไดแจกแจงความถ 1. ถาขอมลทมความถสงสดม 1 ขอมล ขอมลชดนมฐานนยม 1 คา 2. ถาขอมลทมความถสงสดม 2 ขอมล ขอมลชดนมฐานนยม 2 คา


101

3. ถาขอมลทมความถสงสดมมากกวา 2 ขอมล ขอมลชดนจะไมพจารณาฐานนยม 4. ถาขอมลทกตวมความถเทากนหมด ขอมลชดนไมมฐานนยม ขอสงเกต ในกรณทขอมลชดหนงมฐานนยมมากกวา 1 คา อาจหาตวแปรเชงคณภาพอนๆ ทเกยวของ มาแบงขอมลออกเปนคนละชด เพอท าใหแตละชดมฐานนยมเพยง 1 คา การหาฐานนยมของขอมลทแจกแจงความถแลว 1. ถาเปนเสนโคงของความถ ฐานนยม คอ คาของขอมลทอยตรงจดสงสดบนเสนโคงของความถ 2. ถาขอมลทมการแจกแจงความถเปนอนตรภาคชน 2.1 ความกวางของอนตรภาคชนเทากน จดกงกลางของชนทมความถสงสด คอ ฐานนยม 2.2 ความกวางของอนตรภาคชนไมเทากน ใหหารความถดวยความกวางของแตละชน ชนใดท ผลหารมคามากทสด จดกงกลางของชนนน คอ ฐานนยม 2.3 การหาฐานนยมโดยใชสตรค านวณ

1

1 2

dMo L i

d d

เมอ 1d คอ ผลตางระหวางความถของชนทเปนฐานนยมกบชนทอยต ากวา 2d คอ ผลตางระหวางความถของชนทเปนฐานนยมกบชนทอยสงกวา i คอ ความกวางของอนตรภาคชน L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทมฐานนยมอย ขอสงเกตและหลกเกณฑทส าคญในการใชคากลางชนดตาง ๆ 1. คาเฉลยเลขคณตเปนคากลางทไดจากการน าทก ๆ คาของขอมลมาเฉลย แตมธยฐานและฐานนยม เปนเพยงคากลางทใชต าแหนงทของขอมลบางคาเทานน 2. ถามขอมลบางตวมคาสงหรอต ากวาขอมลอน ๆ มาก จะมผลกระทบตอคาเฉลยเลขคณต แตจะไมม ผลตอมธยฐานหรอฐานนยม 3. มธยฐานและฐานนยม ใชเมอตองการทราบคากลางโดยประมาณและรวดเรว 4. ถาขอมลทมการแจกแจงความถมอนตรภาคชนเปด ไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณต แตหามธยฐาน หรอฐานนยมได 5. ถาขอมลทมการแจกแจงความถมความกวางของอนตรภาคชนไมเทากน อาจมผลตอคาเฉลยเลขคณต หรอฐานนยม แตไมมผลตอมธยฐาน 6. ขอมลเชงคณภาพ หาไดเฉพาะฐานนยมเทานน 7. ในกรณทสามารถน าขอมลมาเรยงล าดบได ควรหามธยฐานกอน และถาเปนขอมลเชงปรมาณทมคา ตอเนองดวย ควรใชคาเฉลยเลขคณตแทนมธยฐาน

8. ในกรณทขอมลมจ านวนนอย ไมควรใชฐานนยม


102

คำเฉลยเรขำคณต ใชในกรณทขอมลมลกษณะไมสมมาตร หรอมคาสงหรอต ามารวมอย แทนดวย G.M. 1. ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ถา 1 2, ,..., nx x x เปนขอมล n จ านวน ซงเปนจ านวนบวกทกจ านวน 1 2. . ...n

nG M x x x

หรอ 1

1log . . log

n

i

i

G M xn

2. ขอมลทแจกแจงความถแลว ถา 1f เปนความถของคาจากการสงเกต 1x

2f เปนความถของคาจากการสงเกต 2x

kf เปนความถของคาจากการสงเกต kx 1 2

1 2. . ... kff fnkG M x x x

หรอ 1

1log . . log

k

i i

i

G M f xn

ขอสงเกต 1 2, ,..., kx x x อาจหมายถง คากงกลางของอนตรภาคชน คำเฉลยฮำรมอนก ใชในการหาคาเฉลยของขอมลทเปนอตราสวน แทนดวย H.M. 1. ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ถา 1 2, ,..., nx x x เปนขอมล n จ านวน ซงเปนจ านวนบวกทกจ านวน

11 2

1. .

11 1 1 1...

n

i in

nH M

xn x x x

2. ขอมลทแจกแจงความถแลว ถา 1f เปนความถของคาจากการสงเกต 1x 2f เปนความถของคาจากการสงเกต 2x

kf เปนความถของคาจากการสงเกต kx

1 2

11 2

1. .

1...

kik

i ik

nH M

fff f

xn x x x

ขอสงเกต 1 2, ,..., kx x x อาจหมายถง คากงกลางของอนตรภาคชน


103

คำกงกลำงพสย ใชในการหาคากลางของขอมลอยางคราว ๆ แทนดวย M.R. 1. ขอมลทไมไดแจกแจงความถ

max min. .2

x xM R

เมอ maxx คอ คาสงสดของขอมล minx คอ คาต าสดของขอมล 2. ขอมลทแจกแจงความถแลว

max min. .2

x xM R

เมอ maxx คอ ขอบบนของชนสงสด minx คอ ขอบลางของชนต าสด

คากลางของขอมล ขอมลทยงไมไดแจกแจงความถ ขอมลทแจกแจงความถแลว คาเฉลยเลขคณต

1. 1

n

i

i

x

xn

2. 1

1

n

i i

i

n

i

i

w x

x

w

3. 1

1

k

i i

i

k

i

i

n x

x

n

1. 1 1

1

k k

i i i i

i i

k

i

i

f x f x

xn

f

2. x a id

1

1

k

i i

i

k

i

i

ii

f d

d

f

x ad

i

มธยฐาน คาของขอมลทอยต าแหนงกงกลาง

ของขอมล 1

2

n

2Me

L

Me

nf

L if

ฐานนยม คาของขอมลทมความถสงสด 1

1 2

Mod

L id d

คาเฉลยเรขาคณต

2

1

G.M. ...

1log G.M. log

ni n

n

i

i

x x x

xn

1 2

1 2

1

G.M. ...

1log G.M. log

kff fnk

k

i i

i

x x x

f xn

คาเฉลยฮารมอนก

1

H.M.1n

i i

n

x

1

H.M.k

i

i i

n

f

x

คากงกลางพสย max minM.R.2

x x

maxx คาสงสดของขอมล

minx คาต าสดของขอมล

max minM.R.2

x x

maxx ขอบบนของชนสงสด

minx ขอบลางของชนต าสด


104

กำรวดต ำแหนงของขอมล หมายถง การบอกต าแหนงทหรอต าแหนงสมพทธของขอมล โดยใช ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล ควอรไทล จะแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทา ๆ กน จดแบงม 3 จด เรยกวา ควอรไทลท 1 ( Q1 ) , ควอรไทลท 2 ( Q2 ) และควอรไทลท 3 ( Q3 ) เดไซล จะแบงขอมลออกเปน 10 สวน เทา ๆ กน จดแบงม 9 จด เรยกวา เดไซลท 1 ( D1 ) , เดไซลท 2 ( D2 ) , … , เดไซลท 9 ( D9 ) เปอรเซนไทล จะแบงขอมลออกเปน 100 สวน เทา ๆ กน จดแบงม 99 จด เรยกวา เปอรเซนไทลท 1 ( P1 ) , เปอรเซนไทลท 2 ( P2 ) , … , เปอรเซนไทลท 99 ( P99 )


1. 2 5 50Med = Q = D = P

2. 1 25Q = P และ 3 75Q = P

3. 1 10 2 20 9 90D = P , D = P , ... , D = P

การหาควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล

1. ขอมลยงไมไดแจกแจงความถ

1.1. เรยงขอมลจากนอยไปหามาก

1.2. หาต าแหนงควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล จากสตร

( 1)Q

4

( 1)D

10

( 1)P

100

r

r

r

r n

r n

r n


105

1.3. หาคาของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล โดยการนบ

1.3.1. ถาลงตวพอด ขอมลตวนนจะเปนค าตอบ

1.3.2. ถาไมลงตว ใหเทยบบญญตไตรยางศ

2. ขอมลทมการแจกแจงความถแลว

2.1. สรางชองความถสะสมเพม

2.2. หาต าแหนงควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล จากสตร

Q4

D10

P100

r

r

r

rn

rn

rn

2.3. หาอนตรภาคชนทมควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทลอย

2.4. หาคาของควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล จากสตร

4Q

10D

100P

r

r

r

L

r

Q

L

r

D

L

r

P

rnf

L if

rnf

L if

rnf

L if

เมอ L คอ ขอบลางของอนตรภาคชนทมควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทลอย

n คอ ผลรวมความถทงหมด 1

k

i

i

n f

i คอ ความกวางของอนตรภาคชนทมควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทลอย

Lf คอ ผลรวมความถของทกอนตรภาคชนทต ากวาชนทมควอรไทล เดไซล และ เปอรเซนไทลอย

, ,r r rQ D Pf f f คอ ความถของชนทมควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทลอย


106

กำรวดกำรกระจำยของขอมล หมายถง การวดความแตกตางกนของขอมลวามมากนอยเพยงใด แบงออกเปน 2 แบบ คอ

1. การวดการกระจายสมบรณ 2. การวดการกระจายสมพทธ

การวดการกระจายสมบรณ เปนการวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยว ดงนคอ 1. พสย

max minR x x

หรอ R ขอบบนของอนตรภาคชนสงสด - ขอบลางของอนตรภาคชนต าสด 2. สวนเบยงเบนควอรไทล

3 1Q -QQ.D.=

2

3. สวนเบยงเบนเฉลย

1. .

n

i

i

x x

M Dn

ขอมลทยงไมไดแจกแจงความถ

หรอ 1

1

. .

k

i i

i

k

i

i

f x x

M D

f

ขอมลทแจกแจงความถแลว

4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน

2 2

21 1

n n

i i

i i

x x x

s xn n


2 2

21 1

1 1

k k

i i i i

i i

k k

i i

i i

f x x f x

s x

f f


5. ความแปรปรวน แทนดวย 2s

22

22 1 1

n n

i i

i i

x x x

s xn n


22

22 1 1

1 1

k k

i i i i

i i

k k

i i

i i

f x x f x

s x

f f



107


1. 0s

2.

2 2

1 1

n n

i i

i i

x a x x

n n

เมอ a x

3. ความแปรปรวนของขอมลทงหมด แทนดวย 2s ถา 2 2 2

1 2, ,..., ks s s เปนความแปรปรวนของขอมลชดท 1 , 2 , ... , k 1 2, ,..., kx x x เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 , 2 , ... , k 2, ,...,i kn n n เปนจ านวนคาจากการสงเกตในขอมลชดท 1 , 2 , ... , k 3.1 ขอมลแตละชดมคา x เทากน

2

2 2 22 1 1 2 2 1

1 2

1

...

...

k

i i

k k i

k

ki

i

n sn s n s n s

sn n n

n

3.2 ขอมลแตละชดมคา x ไมเทากน

2 2 22 2 2

1 1 2 2 1 1 2 22

1 2

... ...

...

k k k k

k

n s n s n s n x x n x x n x xs

n n n

เมอ 1 1 2 2 1

1 2

1

...

...

k

i i

k k i

k

ki

i

n xn x n x n x

xn n n

n

หรอ 2

2

2 1

1

k

ii i

i

k

i

i

n s x x

s

n

การวดการกระจายสมพทธ เปนการวดการกระจายระหวางขอมล 2 ชดขนไป ดงนคอ 1. สมประสทธของพสย

max min

max min

. .x x

C Rx x

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล

3 1

3 1

Q -Q. . .

Q +QC Q D

3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

. .. . .

M DC M D

x

4. สมประสทธของการแปรผน

. .s

C Vx


108

กำรแจกแจงปกต ความสมพนธระหวางการแจกแจงความถ คากลาง และการกระจายของขอมล

ขอมลทมการแจกแจงความถแลว โดยทว ๆ ไปจะมเสนโคงของความถ แบงออกไดเปน 3 รปแบบ คอ 1. เสนโคงปกต หรอรประฆง

Me , x , Mo ลกษณะส าคญ คอ มคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม อยทจดเดยวกน โดยอยทจดยอดของ เสนโคงของความถ 2. เสนโคงเบขวา หรอเบลาดทางบวก Mo Me x ลกษณะส าคญ คอ เสนโคงทมความชนนอยอยทางดานขวา คาเฉลยเลขคณตมคามากทสด มธยฐาน อยระหวางคาเฉลยเลขคณตและฐานนยม โดยทฐานนยมจะอยทจดยอดของเสนโคงของความถ 3. เสนโคงเบซาย หรอเบลาดทางลบ x Me Mo ลกษณะส าคญ คอ เสนโคงทมความชนนอยอยทางดานซาย ฐานนยมมคามากทสด และอยทจดยอด ของเสนโคงของความถ มธยฐานอยระหวางคาเฉลยเลขคณตและฐานนยม


109

ลกษณะการกระจายของขอมล

ถาขอมลมการกระจายมาก เสนโคงจะมความโดงนอย หรอคอนขางแบน ถาขอมลมการกระจายนอย เสนโคงจะมความโดงมาก หรอคอนขางสง

คำมำตรฐำน คอ คาวดต าแหนงของขอมล บอกใหทราบวา ความแตกตางระหวางคาของขอมลนน ๆ กบ คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน เปนกเทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

x xz

s

z คอ คามาตรฐาน x คอ คาของขอมล x คอ คาเฉลยเลขคณต s คอ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

ขอสงเกตเกยวกบคามาตรฐาน

1. 1

0n

i

i

z

2. 0z

3. 2

1

n

i

i

z n

4. 1zs 5. 3 3z ส าหรบขอมลทมการแจกแจงแบบปกต

เสนโคงปกต

โดยทวไปแลว ประเดนหลก ๆ ของวชาสถต จะพจารณา 3 เรอง ดวยกน คอ 1. คากลางของขอมล 2. การกระจายของขอมล 3. ลกษณะการแจกแจงของขอมล เสนโคงของความถทมกพบเสมอ ๆ จะมรปเปนระฆง เรยกวา เสนโคงปกต ซงการแจกแจงความถ

ขอมลกระจายนอย

ขอมลกระจายมาก


110

ของขอมลในลกษณะน เรยกวา การแจกแจงปกต ลกษณะของเสนโคงปกต จะขนอยกบคาเฉลยเลขคณต ( x ) และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ( s ) ถามเสนโคงปกต 2 รปน ามา เปรยบเทยบกน จะไดวา

1. x และ S เทากน เสนโคงปกตจะซอนทบกน 1 2,x x 2. x เทากน แต S ตางกน เสนโคงปกตจะมแกนสมมาตรเดยวกน เสนโคงทม S มากกวา

จะเตยกวา 1 2,x x 3. x ตางกน แต S เทากน ลกษณะของเสนโคงปกตจะเหมอนกน แตตงอยบนต าแหนงท

ตางกน เสนโคงปกตทม x มากกวา จะอยดานขวา 4. x และ S ตางกน

S2

S1

1 2x x

1 2s s S2

S1


111

สมบตของเสนโคงปกต 1. x = Me = Mo และอยตรงจดยอดของเสนโคง 2. เสนโคงมเสนตงฉากกบแกนนอนทลากผาน x เปนแกนสมมาตร 3. เสนโคงจะเขาใกลแกนนอน เมอหางจาก x ออกไป แตจะไมตดแกนนอน 4. พนทใตเสนโคง เทากบ 1 5. พนทอยเหนอคาใดคาหนงของ x เทากบ 0

เสนโคงปกตมำตรฐำน

การหาพนทใตเสนโคงปกตซงอยระหวางขอมล 2 คาใด ๆ เชน x1 กบ x2 ท าไดโดยวธการของแคลคลส 1x x 2x

เนองจากเสนโคงปกตแตละเสนจะม x และ S ทแตกตางกน ดงนนจงใชวธแปลงคาของขอมล ( x )ใหเปนคามาตรฐาน ( z )

x xz

s

ซงเมอน าคามาตรฐานแตละคามาเขยนเปนเสนโคงของความถจะไดเสนโคงปกตเชนเดยวกน

x z จากบทพสจนในเรองคามาตรฐานจะพบวา z = 0 และ sz = 1 ดงนนเสนโคงปกตทคาเฉลย เลขคณตเทากบ 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1 เรยกวา เสนโคงปกตมาตรฐาน พนทใตเสนโคงปกตระหวาง x1 และ x2 จะเทากบพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง

z1 และ z2 เมอ 11

x xz

s

และ 22

x xz

s

แปลงคาของขอมลเปนคามาตรฐาน


112

ในการหาพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน จะใชตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน การหาพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน

1. 0 < Z < 1 จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง Z=0

ถง Z = 1.00 เทากบ 0.3413 2. -1 < Z < 0 ในตารางไมมคา Z ทเปนลบ แตเสนทตงฉากกบ

แกนนอน และผาน Z = 0 เปนแกนสมมาตร ดงนน พนทใตเสนโคงปกตของ 0 < Z < 1 เทากบ

-1 < Z < 0 พนทใตเสนโคงปกต ระหวาง Z = -1.00 ถง

Z =0 เทากบ 0.3413 3. Z < -0.5

เนองจากพนทใตเสนโคงปกต = 1 และมแกนสมมาตรผานจด Z = 0 ดงนนพนททางขวาและซายของ Z=0 มคาเทากนคอ 0.5 Z < 0 มพนท 0.5 -0.5 < Z < 0 มพนทเทากบ 0 < Z < 0.5 ดงนน -0.5 < Z < 0 มพนท 0.1915 จะไดวา Z < -0.5 มพนท 0.5-0.1915 = 0.3085

4. Z < 2.22 Z< 0 มพนท 0.5 0 < Z < 2.22 มพนท 0.4868 Z < 2.22 มพนท 0.5+0.4868 = 0.9868

0 1

0 -1

0 -0.5

0 2.22


113

5. Z > -0.5

Z > 0 มพนท 0.5 -0.5 < Z < 0 มพนท 0.1915 Z >-0.5 มพนท 0.5+0.1915 = 0.6915 6. Z > 2.22 Z > 0 มพนท 0.5 0 < Z < 2.22 มพนท 0.4868 Z > 2.22 มพนท 0.5-0.4868 = 0.0132

7. -2.34 < Z < -1.23 -2.34 < Z < 0 มพนท 0.4904 -1.23 < Z < 0 มพนท 0.3907 -2.34< Z< 1.23 มพนท 0.4904-0.3907 = 0.0997 8. 0.12 < Z < 2.46 0 < Z < 2.46 มพนท 0.4931 0< Z < 1.12 มพนท 0.0478 0.12 < Z< 2.46 มพนท 0.4931-0.0478 = 0.4453 9. -1.35 < Z < 1.11 -1.35 < Z < 0 มพนท 0.4115 0 < Z < 1.11 มพนท 0.3665 -1.35 < Z < 1.11 มพนท 0.4115 + 0.3665 = 0.7780

ขอสงเกต 1. พนทใตเสนโคงปกต x s มคาประมาณ 68.27% 2. พนทใตเสนโคงปกต 2x s มคาประมาณ 95.45% 3. พนทใตเสนโคงปกต 3x s มคาประมาณ 99.73%

0 0.5

0 -2.34 -1.23

0 0.12 2.46

0 -1.35 1.11

0 2.22


114

ควำมสมพนธเชงฟงกชนระหวำงขอมล

การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทประกอบดวยตวแปร 2 ตว แบงเปน 2 กลม คอ 1. ความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนเสนตรง มสมการทวไป คอ y = a + bx

2. ความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟไมเปนเสนตรง 2.1 ความสมพนธทมกราฟเปนรปพาราโบลา มสมการทวไป คอ y = a + bx + cx2

2.2 ความสมพนธทมกราฟเปนรปเอกซโพเนนเชยล มสมการทวไป คอ y = abx

แผนภาพการกระจาย จะแสดงแนวโนมของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางตวแปรอสระ ( x ) และ ตวแปรตาม ( y ) ในรปแบบของกราฟ 2 แบบ หลก ๆ คอ

1. แบบท 1 แบบเปนเสนตรง ซงม 2 กรณ คอ 1.1 มแนวโนมทางบวก หมายถง คา x เพมขน , คา y เพมขน

1.2 มแนวโนมทางลบ หมายถง คา x เพมขน , คา y ลดลง

2. แบบท 2 แบบไมเปนเสนตรง อาจมแนวโนมทางบวก หรอแนวโนมทางลบ หรออาจมแนวโนม ทงทางบวกและทางลบในกราฟเดยวกน

ขอสงเกต เมอพจารณาแนวโนมทงทางบวก หรอทางลบแลว ควรพจารณาความแรงของความสมพนธ ซงแบงเปน 3 ระดบ คอ มาก ปานกลาง นอย ถาจดตาง ๆ หรอกลมของจดอยใกลรอบ ๆ เสนท คาดไว แสดงวามความสมพนธมาก แตถากลมของจดกระจายหางจากเสนทคาดไว แสดงวาม ความสมพนธปานกลาง หรอนอย และอาจจะไมมความสมพนธกนเลย ถาการกระจายปราศจากรป

แบบแนวโนมใด ๆ โดยมลกษณะการกระจายเตมทกทศทกทาง กำรประมำณคำของคำคงตวโดยใชวธก ำลงสองนอยสด จะไดสมการซงเรยกวา สมการปกต โดยม

จ านวนสมการเทากบจ านวนคาคงตว ทตองการหา ดงนคอ 1. สมการเสนตรง มรปสมการทวไป คอ y = a + bx

มคาคงตวคอ a และ b จะมสมการปกต 2 สมการ คอ

1 1

n n

i i

i i

y an b x

…….(1)

2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y a x b x

…….(2)


115

2. สมการพาราโบลา มรปสมการทวไป คอ y = a + bx + cx2 มคาคงตว คอ a , b และ c จะมสมการปกต 3 สมการ คอ

2

1 1 1

n n n

i i i

i i i

y an b x c x

.......(1)

2 3

1 1 1 1

n n n n

i i i i i

i i i i

x y a x b x c x

.......(2)

2 2 3 4

1 1 1 1

n n n n

i i i i i

i i i i

x y a x b x c x

.......(3)

3. สมการเอกซโพเนนเชยล มรปสมการทวไป คอ y = abx หรอ log y = log a + x log b มคาคงตว คอ a และ b จะมสมการปกต 2 สมการ คอ

1 1

log log (log )n n

i i

i i

y n a b x

......(1)

2

1 1 1

log (log ) (log )n n n

i i i i

i i i

x y a x b x

......(2)

ขนตอนการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

1. รวบรวมขอมลเชงปรมาณทประกอบดวยตวแปร 2 ตว โดยมชดของขอมลตงแต 8 ชด ขนไป 2. เขยนแผนภาพการกระจาย โดยแทนคาของขอมลทเปนตวแปรอสระในแกน X และตวแปรตามใน แกน Y 3. พจารณาวาเปนความสมพนธแบบใด โดยเขยนกราฟแทนความสมพนธระหวาง x และ y 4. สรางสมการปกต ตามจ านวนคาคงตว 5. แทนคาของขอมลในสมการปกต 6. แกสมการหาคาคงตว 7. ประมาณคาตามเงอนไข

ขอสงเกต ถาตองการประมาณคาหรอพยากรณคาของตวแปรใด ตองก าหนดใหตวแปรนนเปนตวแปร ตาม และอกตวแปรหนงเปนตวแปรอสระ ขอสรปกำรวเครำะหควำมสมพนธเชงฟงกชนระหวำงขอมล

1. การพยากรณคาของ y โดยใชคาของ x ทสนใจนนม 2 ลกษณะ 1.1 คาของ x อยในพสยของตวแปร x ( หมายถง อยระหวาง xmin และ xmax ) จะเรยกวา การพยากรณในชวง 1.2 คาของ x อยนอกพสยของตวแปร x ( หมายถง มคามากกวา xmax หรอ นอยกวา xmin ) จะเรยกวา การพยากรณนอกชวง ซงจะมความคลาดเคลอนมากกวาขอ 1.1

2. ตวแปรอสระ x เรยกอกชอหนงวา ตวแปรอธบาย หรอตวแปรพยากรณ 3. ตวแปรตาม y เรยกอกชอหนงวา ตวแปรตอบสนอง


116

ควำมสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลำ ขอมลทอยในรปอนกรมเวลา เปนขอมลทแสดงการเปลยนแปลงตามล าดบกอนหลง ตาม

ระยะเวลาหรอชวงเวลาทขอมลนนเกดขน ซงโดยปกตมกเกดขนในชวงเวลาทเทา ๆ กน เชน รายไดเฉลยในวนแตละเดอน ภาษทเกบไดในแตละป อณหภมเฉลยในแตละวน ขอมลเหลานขนอยกบเวลา ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล เขยนไดเปน

y = f (t) เมอ t คอ ชวงเวลาเปนตวแปรอสระ y คอ เปนตวแปรตาม

ขนตอนในการสรางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล มหลกเกณฑ ดงนคอ 1. ถาชวงเวลาเปนจ านวนค จะก าหนดชวงเวลาทอยตรงกลางเปน 0 ชวงเวลากอนหนานนก าหนดเปน -1 , -2 , -3 , ... และชวงเวลาหลงจากนนก าหนดเปน 1 , 2 , 3 , ... ตามล าดบ 2. ถาชวงเวลาเปนจ านวนค จะก าหนด 2 ชวงเวลาทอยตรงกลางเปน -1 และ 1 ชวงเวลากอนหนานน ก าหนดเปน -3 , -5 , -7 , ... และชวงเวลาหลงจากนนก าหนดเปน 3 , 5 , 7 , ... ตามล าดบ 3. ในการหาคาคงตวของความสมพนธเชงฟงกชน y = f (t) ทอยในรปอนกรมเวลา จะมขนตอน เหมอนกบการหาคาคงตว โดยวธก าลงสองนอยสด เชนกน

ขอสงเกต การก าหนดชวงเวลาในขอ 1 และ 2 กเพอใหการค านวณหาคาคงตวท าไดสะดวกและ รวดเรวขน เพราะผลรวมของทก ๆ คาของ t จะเทากบ 0 สวนการพยากรณคาของตวแปรตาม ( y ) จะตองเปลยนชวงเวลาใหอยในรปของคา t ทก าหนดใหโดยวธดงกลาวดวย

Education

เจาะลึกการออกข้อสอบ Pat1 คณิตศาสตร์พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท