Характеристика основных числовых. множеств Операции над числовыми

.множествами , ЭМиПРМЗ Лекция вводная

. . ., . к п н доц Пырков Вячеслав Евгеньевич

pyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.rupyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.ru

План1. Натуральные числа и их свойства2. Десятичная система счисления3. Простые и составные числа4. НОД и НОК5. Признаки делимости6. Целые числа и их свойства7. Рациональные числа и их свойства8. Иррациональные числа и их свойства9. Действительные числа и их свойства10. Комплексные числа и их свойства

1. Натуральные числа и их свойства Натуральные числа – это числа предназначенные для счета

предметов. N = {1, 2, 3, 4, …}Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N (от лат. naturalis — естественный).

Свойства множества натуральных чисел1о Минимальный элемент - 1;2о Максимальный элемент отсутствует;3о Множество N упорядочено;4o Множество N дискретно;5о Множество N замкнуто относительно операций сложения и умножения;6о Множество N не замкнуто относительно операций вычитания и деления.

, Свойства операций замкнутых на N

КоммутативностьКоммутативность сложения умножения

Ассоциативность Ассоциативность сложения умножения

ДистрибутивностьДистрибутивность умножения относительно сложения.

2. Десятичная система счисления

Число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10:

, где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству

Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра в десятичном представлении x была также ненулевой.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

3. Простые и составные числаЛюбое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.Если натуральное число делится толькотолько на 1 и на само себя, то оно называется простым.

Число 2 - наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа - нечётные.Простых чисел бесконечно много.

Некоторые натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа. Например 12 делится на {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,

16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28

29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41

42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54

55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67

68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80

81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93

94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

Вычеркиваем числа, кратные 2Вычеркиваем числа, кратные 2Вычеркиваем числа, кратные 3Вычеркиваем числа, кратные 3Вычеркиваем числа, кратные 5Вычеркиваем числа, кратные 5Вычеркиваем числа, кратные 7Вычеркиваем числа, кратные 7ВычеркиваемВычеркиваем числа, кратные 11числа, кратные 11??

22

4. Наибольший общий делитель( )НОДОбщий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b.

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b - это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Пример: НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой "Д".Д (7) = {1, 7}; Д (9) = {1, 9}; НОД (7; 9) = 1Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми числами.

Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.

( )Наибольший общий делитель НОДЧтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:1. Разложить числа на простые множители.2. Подчеркнуть одинаковые простые множители в обоих числах. 3. Найти произведение одинаковых простых множителей и записать ответ.

НОД (48; 36) = 2 • 2 • 3 = 12

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}

НОД (10; 15) = 5

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}

НОД (10; 15) = 5

Алгоритм Евклида дляНОДАлгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть НОД исходной пары. Евклид, 325 – 265 гг до н.э.

66 42 18 6 12 624 24 24 18 6 6

НОД (66, 24) = 6

66:24= 2 (ост. 18)24:18=1 (ост.6)18:6=3 (ост.0)НОД (66, 24) = 6

Д/з: НОД (42628, 33124)

4. ( )Наименьшее общее кратное НОК

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшеенаименьшее натуральное число, которое само само делится делится нацело на каждое из этих чисел.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Первый способ нахождения НОКВыписать кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для них обоих.

Пример. Найти НОК (6 , 8).К (6) = {12, 18, 24, 30, ...}К (8) = {8, 16, 24, 32, ...}

НОК (6, 8) = 24 НОК (6, 8) = 24

Первый способ нахождения НОКВыписать кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для них обоих.

Пример. Найти НОК (6 , 8).К (6) = {12, 18, 24, 30, ...}К (8) = {8, 16, 24, 32, ...}

НОК (6, 8) = 24 НОК (6, 8) = 24

Второй способ нахождения НОК1. Разложить числа на простые множители.2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним - разложение остальных чисел. 3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. 4. Полученное произведение записать в ответ.

Второй способ нахождения НОК1. Разложить числа на простые множители.2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним - разложение остальных чисел. 3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. 4. Полученное произведение записать в ответ.

Особые случаи нахожденияНОК Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее

общее кратное этих чисел равно этому числу.Например, НОК (60, 15) = 60

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Например, НОК (8, 9) = 72

Д/з: НОК (112, 96)

5. Признаки делимости

5. Признаки делимости

Д/з: Дайте «характеристику» числа 2520

5. Признаки делимости

Д/з: Сформулируйте признаки делимости на 12, на14, на 15, на 16, на 18, на 20.

6. Целые числа и их свойства Целые числа – это множество чисел N U{0}UN—.

Множество всех целых чисел обозначают знаком Z (от нем. Zahlen — числа). Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Свойства множества целых чисел1о Минимальный и максимальный элементы отсутствуют;2о Множество упорядочено;3о Множество Z дискретно;4o Множество Z замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения;5о Множество Z не замкнуто относительно операций деления.6о Не существует взаимно-однозначного соответствия Z с точками прямой.

Д/з: Выписать в тетрадь правила выполнения арифметических действий на Z.

, Свойства операций замкнутых на Z

7. . Рациональные числа Понятие. дроби

сократимая / несократимая периодическая / непериодическая

7. Рациональные числа и их свойства

7. Рациональные числа и их свойства Способы перевода десятичной дроби в обыкновенную

Д/з: Выполнить перевод тремя способами дроби 0,3(56).

Арифметические действия на Q

8. Иррациональные числа и ихсвойства Иррацион льное числа́� о́� — это вещественное число,

которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. (I=R\Q)

9. Действительные числа и ихсвойства Множество действительных чисел обозначается R от

лат. realis — действительный.

10. Комплексные числа и их свойства

10. Комплексные числа и их свойства