02. calculo diferencial instituto tecnológico de morelia

Villaseñor A. Gabriel, Gutiérrez G. Enif,Escudero G. Carlos, Vega C. Rubén,

Espinosa R. Salomón, Espinosa R. Josúe

Cálculo

DiferencialPara estudiantes de ingeniería

Tecnológico Nacional de México

Instituto Tecnológico de Morelia. Departamento de Ciencias Básicas.

Departamento de Ciencias B�sicas.

IIIAcerca de los autores.

Gabriel Villaseñor Aguilar.Doctor en Matemáticas por la UniversidadMichoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH) y Doctor en CienciasMatemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmentelabora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrito al Depar-tamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por participar como ase-sor del equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursosorganizados el Tecnológico Nacional de México (TNM), ha participadocomo jurado en los concursos organizados por la Asociación Nacionalde Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI), colabora también comodocente de sistema abierto en la maestría de la Universidad Politécnicade Aguascalientes (UPA), actualmente ocupa el cargo de coordinador deeducación continua y a distancia del Tecnológico de Morelia.

Enif Guadalupe Gutiérrez Guerrero. Doctora en Ciencias en el áreade Física por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidal-go (UMSNH). Es miembro del Registro de Investigadores Michoacanos(RIM) y del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente labo-ra en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrita al Departamen-to de Ciencias Básicas y se ha destacado por participar como asesora delequipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos organi-zados por la Asociación Nacional de Facultades y Escuelas de Ingeniería(ANFEI) y el Tecnológico Nacional de México (TNM). Cuenta con expe-riencia docente hasta nivel Posgrado.

Carlos Fabián Escudero García. Maestro en Ingeniería Mecánica por elInstituto Tecnológico de Morelia (ITM). Laboró para las empresas Can-non Mills S.A. de C.V., Textil Alma S.A. de C.V., Meratex S.A. de C.V., Cano-fil S.A. de C.V. y Ponan Mills S.A. de C.V. desde 1993 a 2009. Docente co-laborador en el Departamento de Ingeniería Industrial de la UniversidadMarista de Guadalajara (UMG) en varios semestres durante el periodo de1998 a 2005. Actualmente labora en el ITM como Jefe del Departamentode Ingeniería Eléctrica, desempeñandose antes también, como Jefe delDepartamento de Ciencias Básicas en la misma institución.

Salomón Espinosa Romero. Ingeniero Electrónico por el Instituto Tec-nológico de Morelia (ITM) y candidato a obtener el grado de M.C. enIngeniería Eléctrica. Ha participado en la producción de distintos pro-gramas locales y nacionales de radio y TV. Actualmente labora en el ITMadscrito al Departamento de Ciencias Básicas, donde se ha destacadopor participar como asesor del equipo de estudiantes representativo dela Institución en los concursos organizados por la Asociación Nacionalde Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI) y el Tecnológico Nacio-nal de México (TNM), además de ser el responsable del Laboratorio deDibujo y Cómputo del mismo Departamento de Ciencias Básicas.

Rubén Vega Cano. Maestro en Ciencias por el Centro de Investigacióny Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM),adscrito al Departamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por par-ticipar como asesor del equipo de estudiantes representativo del ITMen los concursos organizados por el Tecnológico Nacional de México(TNM). Cuenta con experiencia docente hasta nivel Posgrado.

Josué Espinosa Romero. Ingeniero en Sistemas Computacionales por laUniversidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH). Actual-mente labora como docente interino en el Instituto Tecnológico de Mo-relia (ITM).

VPrefacio

Caracterización de la asignatura.La característica más sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian losconceptos sobre los que se construye todo el Cálculo: números reales, variables, fun-ciones y límites. Que al utilizarlo se puedan establecer uno de los conceptos másesenciales del Cálculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de cam-bio entre dos variables, noción de trascendental importancia en las aplicaciones de laingeniería. Esta asignatura contiene los temas básicos e importantes para cualquierárea de la ingeniería y contribuye a desarrollar en el ingeniero un pensamiento lógico,formal, heurístico y algorítmico. En el Cálculo Diferencial el estudiante adquiere losconocimientos necesarios para afrontar con éxito cálculo integral, cálculo vectorial,ecuaciones diferenciales, asignaturas de física y ciencias de la ingeniería. Además,contiene los principios y bases para el modelado matemático.

Intención didáctica.La unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de los números reales y suspropiedades básicas. Esto servirá de sustento para el estudio de las funciones de va-riable real, tema de la unidad dos. En la tercera unidad se introduce el concepto delímite de una sucesión, caso particular de una función de variable natural. Una vezcomprendido el límite de una sucesión se abordan los conceptos de límite y continui-dad de una función de variable real. En la unidad cuatro, a partir de los conceptos deincremento y razón de cambio, se desarrolla el concepto de derivada de una funcióncontinua de variable real. También se estudian las reglas de derivación más comunes.Finalmente, en la quinta unidad se utiliza la derivada en la solución de problemas derazón de cambio y optimización (máximos y mínimos).

Prólogo

Este texto está orientado de acuerdo a los planes de estudio requeridos para el curso de Cálculo Dife-rencial que se imparte en el Tecnológico Nacional de México, y es el logro de un trabajo colegiado ysoportado por la Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia, motivado por esta-blecer un material de apoyo a las tradicionales notas para la clase de cada docente, con característicaspropias e inherentes a las capacidades actuales de nuestros estudiantes.

Una de las fortalezas en este material, es su posibilidad de mejorar continuamente los contenidos, puesse enriquece al tomar las experiencias diaria de los docentes y su interacción con los estudiantes, garan-tizando una constante inclusión de métodos y herramientas disponibles para tales efectos.

El desarrollo del material, hace énfasis en el entendimiento de los principales conceptos del CálculoDiferencial, buscando presentarlos de manera intuitiva, por lo que se sugiere al docente y estudianterealizar un repaso de razonamientos previos a esta materia que se suponen conocidos.

Los temas a desarrollar se resumen en el nombre de sus cinco unidades temáticas, abordados de maneragradual y en gran medida de forma intuitiva:

1. Números reales.

2. Funciones.

3. Límites.

4. Derivadas.

5. Aplicaciones de la derivada.

Es necesario enfatizar, que en el esfuerzo de este texto, se adicionan otros materiales de apoyo como loson fórmularios, gráficos, ejercicios resueltos, autoevaluaciones, pero sobre todo, un importante cursomasivo, abierto y ofrecido en línea (MOOC) sobre Cálculo Diferencial, de manera gratuita a todos losinteresados en la modalidad de aprendizaje autodidacta, acondicionado para tomarlo a la par de estaasignatura en un periodo semestral, herramienta que sin duda, es un punto y aparte en el esfuerzo porreducir los índices de reprobación que se presentan en las asignaturas del área de ciencias básicas denuestro sistema.

Por último, es importante mencionar que estos trabajos, no sustituyen la aportación que desempeñanlibros clásicos del tema, pero sobre todo, la presencia del maestro y su interacción con el estudiante enel aula.

Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia.

Competencias a desarrollar

Competencias específicas

Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de pri-mer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, represen-tando las soluciones en la recta numérica real.

Comprender el concepto de función real e identificar tipos de funciones, así como aplicarsus propiedades y operaciones.

Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analítica-mente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráfica-mente los diferentes tipos de discontinuidad.

Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia yanaliza la variación de una variable con respecto a otra.

Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y devariación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximacio-nes.

Competencias genéricas

Procesar e interpretar datos.

Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, alge-braica, trascendente y verbal.

Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.

Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.

Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.

Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de información.

Resolución de problemas.

Analizar la factibilidad de las soluciones.

Optimizar soluciones.

Toma de decisiones.

Reconocimiento de conceptos o principios integradores.

Argumentar con contundencia y precisión.

Objetivo general del curso (competencia específica a desarrollaren el curso)

Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de función de una variable y de suderivada.

Competencias previasManejar operaciones algebraicas.

Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

Resolver ecuaciones simultaneas con dos incógnitas.

Manejar razones trigonométricas e identidades trigonométricas.

Identificar los lugares geométricos que representan rectas o cónicas.

Sugerencias didácticas (desarrollo de competencias genéricas)

Con el dominio de los conceptos y con el conocimiento de la historia del cálculo, el profe-sor abordará los temas de manera tal que propicie en el alumno el trabajo cooperativo yla aplicación de dichos conceptos a través de la experimentación y el modelado lograndocon ello la realización de las tareas programadas para el desarrollo de la competencia.

Despertar la curiosidad de la investigación con anécdotas o problemas hipotéticos conel fin de acrecentar el sentido y la actitud crítica del estudiante.

Utilizar software matemático, además de calculadoras graficadoras para facilitar la com-prensión de conceptos, la resolución de problemas y la interpretación de resultados.

Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos ad-quiridos y los relacionen con su carrera.

Proponer problemas que:

• Permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y solución.

• Refuercen la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias posterio-res.

• Modelen y resuelvan situaciones reales mediante conceptos propios de la asigna-tura.

• Contribuyan a investigar sobre la extensión y profundidad de los conceptos.

Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas así como analizar conceptos ydefiniciones.

Desarrollar la inducción, deducción, síntesis y análisis para fomentar las cualidades deinvestigación.

Sugerencias de evaluaciónEvidencias de aprendizaje: reportes escritos, solución de ejercicios extra clase, activida-des de investigación, elaboración de modelos o prototipos, análisis y discusión grupal.

Resolución de problemas con apoyo de software.

Ejercicios en clase.

Exámenes escritos.

XIÍNDICE GENERALÍNDICE GENERAL

PREFACIO V

PRÓLOGO VII

1 NÚMEROS REALES 1

1.1 Introducción 1

1.2 Conjunto de números y propiedades 2

Números naturales 3Números enteros 4Números racionales 4Números irracionales 6Números reales 7

1.3 La recta numérica 8

Representación de intervalos 9

1.4 Valor absoluto 9

1.5 Desigualdades 11

Propiedades de las desigualdades 14Solución de desigualdades por método gráfico 15Solución de desigualdades métodos algebraicos 16

1.6 Evaluaciones sumativas 28

Ejercicios 28

2 FUNCIONES 31

2.1 Introducción 32

2.2 Dominio, gráfica y rango de una función real 34

Dominio de una función real 34Gráfica de una función real 35Rango de una función real 36

2.3 Tipos de funciones 39

Funciones algebraicas 39Funciones trascendentes 47

2.4 Funciones inyectivas y suprayectivas 54

2.5 Funciones inversas e implícitas 55

Funciones pares e impares 58

2.6 Operaciones con funciones 59

2.7 Sucesiones 61


Ejercicios 63

3 LÍMITES Y CONTINUIDAD 67

3.1 Límite de una sucesión 68

3.2 Límite de una función real 69

3.3 Método gráfico 70

3.4 Método numérico o tabular 71

3.5 Método algebraico 73

Propiedades algebraicas de límites con funciones algebraicas 73

3.6 Límites al infinito y límites infinitos 74

3.7 Indeterminaciones 76

Indeterminación de la forma 00 77

Indeterminación de la forma ∞∞ 78

Indeterminación de la forma 0 ·∞ 79Indeterminación de la forma +∞−∞ 80

3.8 Límites de funciones trascendentes 80

Indeterminación de la forma exponencial 1∞ 83

3.9 Métodos Avanzados 84

Cambio de variable 84Cantidades infinitésimas 85

3.10 Continuidad 88


Ejercicios 90

4 DERIVADAS 95

4.1 Incremento o decremento de una variable 96

4.2 Definición de la derivada 97

4.3 Interpretación geométrica 98

4.4 Fórmulas de derivación 100

Derivada de orden superior 102Regla de la Cadena 104Derivadas implícitas 105

4.5 Regla de L’hopital 108


5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 111

5.1 Recta tangente y normal a una curva 112

Recta tangente 112Recta normal 113

5.2 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial 114Teorema de Rolle 114Teorema del valor medio 115

5.3 Máximos y mínimos de una función 118Introducción 118Criterio de la primera derivada 119Criterio de la segunda derivada 120

5.4 Diferenciales 123Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. 126

5.5 Problemas de optimización 128

5.6 Evaluaciones sumativas 130Ejercicios 130

A FÓRMULAS DE GEOMETRÍA 133

A.1 Figuras geométricas 2D 133

A.2 Figuras geométricas 3D 134

A.3 Geometría plana 135

B FÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA 137

C FÓRMULAS DE DERIVADAS 139

D RESPUESTA A EJERCICIOS PROPUESTOS 141

BIBLIOGRAFÍA 155

11 Números Reales

Competencia específica a desarrollar

Comprender las propiedades de los números reales para resolver desigualdades de primer ysegundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto, representando las solu-ciones en la recta numérica real.

Actividades de Aprendizaje

Construir el conjunto de los números reales a partir de los naturales, enteros, racionalese irracionales y representarlos en la recta numérica.

Plantear situaciones en las que se reconozca las propiedades básicas de los númerosreales: orden, tricotomía, transitividad, densidad y el axioma del supremo.

Representar subconjuntos de números reales a través de intervalos y representarlos grá-ficamente en la recta numérica.

Resolver desigualdades de primer grado con una incógnita.

Resolver desigualdades de segundo grado con una incógnita.

Resolver desigualdades con valor absoluto y representar la solución en la recta numérica.

1.1 IntroducciónSe sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la re-solución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griegacuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las re-laciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros,lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaroncon la máxima de todo es número.

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una ter-cera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última. El principio pitagórico de que todonúmero es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudesdeben ser conmensurables, y por lo tanto todo número es racional.

2

Núm

erosR

eales1.2 Conjunto de números y propiedades Cálculo Diferencial.

Sin embargo ante problemas como el de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa deun triángulo rectángulo, esta afirmación carecía de sentido. En notación moderna, un trián-gulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide

p2. En una sección

posterior se muestra quep

2 no es racional. Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo alprincipio pitagórico: todo número era racional, sin embargo, la hipotenusa de un triángulo rec-tángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual nos dice que existen númerosque no son racionales, esto implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las canti-dades numéricas se manejaran por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollode la matemática durante los dos milenios siguientes. Los griegos desarrollaron una geometríabasada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéri-cos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas no racionales, así, los númerosirracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo po-dían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricosencontraron que si a

b es una aproximación ap

2 entonces p = a +2b y q = a +b son tales quep/q es una aproximación más precisa, (repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayoresnúmeros que dan una mejor aproximación). Nuevos avances en el concepto de número real es-peraron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitióla manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Porejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de formamecánica, mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, números noreales (lo que ahora conocemos como números complejos). Posteriormente, la invención delcálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodosque permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante elconcepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una sumainfinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal).

1.2 Conjunto de números y propiedades

Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática básica podemosencontrar conjuntos sumamente importantes como los formados por números, en particulartenemos la siguiente clasificación comenzando con el conjunto de números complejos1, hastalos números naturales.

1a pesar de que en este curso no se manejaran números complejos se agregan en el esquema para dar una visiónmás general de los conjuntos de números.

3

1.2 Conjunto de números y propiedades Cálculo Diferencial.

Números complejos

C

Números reales

R

Números racionales

Q

Números enteros

Z

Números Naturales

N

Números Irracionales

Q'

Números imaginarios

I

1.2.1 Números naturales

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que lastareas de contar y ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamientode las cantidades, comienzan con el uno (en algunos textos se incluye el cero) y se sigue hastainfinito.

Definición 1.1 Números naturales

Un número natural es aquel que sirve para designar la cantidad de elementos que tieneun cierto conjunto, los integrantes de este conjunto son:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, . . .

Al conjunto de números enteros usualmente lo denotamos con la letraN

Este conjunto de números se divide en conjuntos más pequeños como los siguientes;

1. Conjunto de números perfectos; son los números naturales que son iguales a la suma desus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Ejemplos de estos números son:

6 = 1+2+3

28 = 1+2+4+7+14

496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248

8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

2. Conjunto de números triangulares; que son de la forma n2+n2 , donde n es un número

natural. Ejemplos de estos números son:

1,3,6,10,15,21,28. . .

3. Conjunto de números primos; que son los números naturales mayores que 1 y que tieneúnicamente dos divisores, él mismo número y el 1. Ejemplos de estos números son:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79. . .

4

Núm

erosR


4. Conjunto de números pitagóricos; que son números primos de la forma 4n +1. El con-junto de los números primos pitagóricos es exactamente el conjunto de los números pri-mos que pueden ser la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de ladosenteros. Algunos números pitagóricos son

5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113, . . .

1.2.2 Números enteros

Los números enteros extienden la utilidad de los naturales para contar cosas. Por ejemplo, pue-den utilizarse para contabilizar pérdidas, incluso ciertas magnitudes, como la temperatura ola altura toman valores por debajo del cero, estos datos se denotan con números negativos.Formalmente podemos definir

Definición 1.2 Números enteros

El conjunto de los números enteros, está formado por todos los naturales agregándoleslos números negativos y el cero, algunos representantes de los números enteros son;

. . .−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5. . .

para referirnos al conjunto de números enteros usamos letra Z.

Algunos subconjuntos importantes de los números enteros son:

1. Conjunto de números pares: es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k,donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2). Ejemplos deestos números son:

−100,−50,−20,−10,−2,0,2,4,8,200

2. Conjunto de números impares: son los números enteros que se pueden escribir de laforma: 2k+1, donde k es un entero. Ejemplos de estos números son:

−137,−33,−19,−11,−3,−1,1,2,23,201

1.2.3 Números racionales

En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como elcociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir,una fracción común a

b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término racio-nal alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota porQ que deriva de cociente. Este conjunto de números incluye a los números enteros, y es unsubconjunto de los números reales.Formalmente podemos definir a los racionales como

Definición 1.3 Números racionales

Un número q se dice que es racional si se puede escribir como la división de dos númerosenteros a

b con b distinto de cero, Algunos representantes de estos números son

5 = 5

1,

3

4,

1

216,

999

888. . .

Al conjunto de números racionales se le identifica con la letraQ.

5


En un número real con una cantidad infinita de decimales, decimos que contiene un perío-do de repetición o simplemente período, si a partir de cierta posición el (los) número(s) serepite(n) indefinidamente, este período es igual a la cantidad de números que se repiten, porejemplo

la cantidad 2.34533333. . . tiene período 1, y se escribe como 2.3453�3la cantidad 0.34343434. . . tiene período 2, y se escribe como 0.34�34

Podemos ahora enunciar el siguiente resultado, que nos permite identificar de manera generalcuando un número decimal es racional.

Teorema 1.1

Si un número tiene una cantidad finita de decimales ó si tiene infinidad de decimalespero con un período definido t , entonces es racional.

Demostración .Sin pérdida de generalidad, consideremos un número real r = a.a1a2a3a2a3a2a3... conperíodo t , donde cada ai toma valores del 0 al 9. Contar el número n de decimales hastaincluir el primer período y multiplicar ambos lados de la igualdad, por 10n (en este caso,n = 3). Entonces

1000r = aa1a2a3.a2a3a2 (1.1)

enseguida, contamos la cantidad de decimales m que contiene, sin incluir ningún perío-do, multiplicamos la cantidad original por 10m (en este caso m = 1), y se lo restamos a laecuación (1.1), en cada lado de la igualdad, para obtener

990r = aa1a2a3 −aa1

y por lo tanto r = aa1a2a3−aa1990 que es la división de dos enteros, por lo tanto r es racional.

En los siguientes ejemplos se muestra como funciona el método arriba descrito para identificarla fracción correspondiente a un número racional dado.

1.1

Mostrar que el número 5.12034�34 es racional y escribirlo como la división de dos enteros,en su forma más simple.

Solución .Escribimos r = 5.12034�34 y multiplicamos por 100,000 ambos lados de la igualdad (lacantidad tiene 5 decimales incluyendo solo el primer período), para obtener

100,000r = 512034.34�34 (1.2)

después multiplicamos la cantidad original por 1000 en ambos lados de la igualdad (elnúmero real contiene 3 decimales, sin incluir ningún período), con lo cual tenemos1000r = 5120.34�34, esta cantidad se la restamos a la ecuación (1.2) para quitar la par-te decimal, finalmente despejamos r y simplificamos para obtener como resultado que5.12034�34 = 253457

49500 .

6

Núm

erosR


El siguiente ejemplo nos muestra como se simplifica el método en el caso que la cantidad dedecimales de un número sea finita.

1.2

Mostrar que el número 0.12658 es racional y escribirlo como la división de dos enteros,en su forma más simple.

Solución .Escribimos r = 0.12658 y multiplicando por 100,000 ambos lados de la igualdad (la can-tidad tiene 5 decimales), obtenemos 100,000r = 12658, finalmente al despejar r y sim-plificar, tenemos que 0.12658 = 6329

50000 .

1.2.4 Números irracionales

El conjunto de números irracionales son un subconjunto muy complicado dentro de los reales,esto debido a que solamente puede aproximarse hacia algún número fijo, pero no son exactoscomo los racionales.

Definición 1.4 Números irracionales

Un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción pq ,

donde p y q son enteros, con q diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Asíun irracional es cualquier número real que no es racional.

No existe una notación universal para indicar a los números irracionales. Las razones son queel conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí loson los Naturales (N), los Enteros (Z), los Racionales (Q), los Reales (R) y los Complejos (C).Algunos autores manejan I para denotarlos, sin embargo es una elección poco conveniente,puesto que con este símbolo se denota al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cualpuede crear confusión.La notación más aceptada es R\Q que se lee el conjunto de los números reales menos los racio-nales, en este libro se usaraQ′, entendiendo queQ′ =R\Q.

1.3 Algunos números irracionales

El número e conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, cu-yo valor aproximado es e = 2.71828182845904523536028. . . y se calcula usando ellímitea

lımn→∞

(1+ 1

n

)n

o usando la serieb∞∑

n=0

1

n!= 1

0!+ 1

1!+ 1

2!+ . . . .

El número π= 3.14159265358979323846. . . cuyo valor es la relación entre la longi-tud de una circunferencia dividida entre la longitud de su diámetro.

El número áureo Φ = 1.61803398875. . . cuyo valor está presente en muchas rela-

ciones de la naturaleza, se puede escribir como1+p

5

2.

7


Algunas raíces de números comop

2,p

3,p

5. . ..

El número 0.12345678910111213. . ..

aEste tema se aborda en la unidad 3.bEste tema se estudia en el curso de cálculo integral.

En el siguiente ejemplo mostraremos que lap

2 es un número irracional.

1.4

Mostrar quep

2 es irracional.

Solución .Suponer que

p2 es racional, entonces se puede escribir como la división de dos enteros

en su mínima expresión, es decir, enteros que son primos relativos

p2 = q

p

elevando al cuadrado

2 = q2

p2 ⇒ q2 = 2p2

es decir, q2 es número par, por lo tanto q es número par, por ejemplo q = 2a, sustituyen-do en la ecuación

4a2 = 2p2 ⇒ p2 = 2a2

es decir p2 es par y por lo tanto p es par. Pero es contradicción a lo considerado anterior-mente que p, q son primos relativos.

1.2.5 Números reales

Los números reales, denotados como (R), incluyen tanto a los números racionales (positivos,negativos y el cero) como a los números irracionalesExisten diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas,siendo la caracterización más común la que cumple las siguientes propiedades:

1. Cerradura en la suma. Si x, y ∈R, entonces x + y ∈R.

2. Conmutatividad bajo la suma. Si x, y ∈R, entonces x + y = y +x.

3. Asociatividad en la suma. Si x, y, z ∈R, entonces (x + y)+ z = x + (y + z).

4. Neutro aditivo. Existe un real r ∈R de manera que x + r = x.

5. Inverso aditivo. Para cada x ∈R, existe y ∈R tal que x + y = 0.

6. Cerradura en la multiplicación. Si x, y ∈R, entonces x y ∈R.

7. Conmutatividad en la multiplicación. Si x, y ∈R, entonces x y = y x.

8. Asociatividad en la multiplicación. Si x, y, z ∈R, entonces (x y)z = x(y z).

9. Neutro multiplicativo. Existe un real r ∈R de manera que (x)(r ) = x.

8

Núm

erosR

eales1.3 La recta numérica Cálculo Diferencial.

10. Inverso multiplicativo. Para cada x 6= 0 ∈R, existe x−1 ∈R tal que x(x−1) = 1.

11. Distributividad de la multiplicación en la suma. Si x, y, z ∈R, entonces x(y+z) = x y+xz.

12. Tricotomía. Si x, y ∈R, entonces sólo se cumple una de estas tres relaciones:

x < y x > y x = y

13. Transitividad. Si x, y, z ∈R, x < y y y < z entonces x < z.

14. Monotonía de la suma. Si x, y, z ∈R y x < y entonces x + z < y + z.

15. Densidad. Para cualesquiera dos números reales x 6= y existe z ∈R tal que x < z < y .

16. Monotonía del producto. Si x, y, z ∈R y x < y entonces xz < y z para z > 0.

17. Axioma del supremo. Si E es un conjunto no vacío acotado superiormente en R, enton-ces tiene supremo en R.

Observación

Con los números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos ex-cepciones importantes:

1. No existen raíces de orden par (cuadrada, cuarta, sexta, etc.) de números negativos,dentro del conjunto de los números reales.

2. La división entre cero no está definida, ya que el cero no posee inverso multiplica-tivo, es decir, no existe número x tal que 0(x) = 1.

1.3 La recta numéricaLa recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjuntode los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los posi-tivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente ala izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un númeroreal. Se construye eligiendo de manera arbitraria un punto de una línea recta para que repre-sente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origenpara que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

Se considera que un número real es mayor que otro si su posición en la recta numérica seencuentra a la derecha del segundo número.

9

1.4 Valor absoluto Cálculo Diferencial.

1.3.1 Representación de intervalos

Los intervalos dentro de la recta numérica se clasifican de la siguiente manera:

1. (a,b) intervalo abierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b, ex-cepto a y b, su representación gráfica es;

a b

2. [a,b) intervalo semiabierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b,incluye al número a, pero no a b.

a b

3. (a,b] intervalo semiabierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b,sin incluir al número a, pero si a b.

a b

4. [a,b] intervalo cerrado, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b, in-cluyendo a y b.

a b

5. [a,∞) intervalo cerrado al infinito, incluye todos los números reales mayores o iguales aa.

a

1.4 Valor absolutoHemos visto que a cada número real se le asocia un único punto de la recta numérica, conside-rando la distancia entre el origen (el cero) y el número dado. Esta distancia también se definecomo el valor absoluto o como la magnitud del número. Formalmente se tiene la siguientedefinición.

Definición 1.5 Valor absoluto

El valor Absoluto de un número real a esta dado por

|a| ={

a si a ≥ 0

− a si a < 0

De acuerdo a la definición podemos observar que obtener el valor absoluto de un número real,significa escribir dicho número en forma positiva.Veamos los siguientes ejemplos de valor absoluto.

10

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eales1.4 Valor absoluto Cálculo Diferencial.

|−4| = 4, significa que el −4 se encuentra a una distancia de cuatro unidades del origen.

|7| = 7, significa que el 7 se encuentra a una distancia de siete unidades del origen.

| −p2| = p

2, significa que el −p2 se encuentra a una distancia de 1.414 · · · unidades delorigen.

Propiedades importantes de los valores absolutos

Consideremos a,b números arbitrarios pero fijos y x una variable

P.1) |ab| = |a||b|.

P.2) |a +b| ≤ |a|+ |b|, (desigualdad del triángulo).

P.3) |x| ≤ b si sólo si −b ≤ x ≤ b.

P.4) |x| ≥ b si y sólo si x ≤−b, o b ≤ x.

Observación

En el caso del inciso P.2, se puede obtener la igualdad para ciertos números mientras queen otros se da la desigualdad estricta.

1.5

Encontrar algún valor para a,b de tal forma se cumpla la igualdad en la propiedad P.2, yotro valor en donde se tenga una desigualdad estricta.

Solución .Consideramos los números −5 y −7 y veamos que nos representan una igualdad, pues

|−5−7| = |−12| = 12 y también |−5|+ |−7| = 12.

Por otro lado con los números 4 y −9 obtenemos

|4−9| = |−5| = 5 además |4|+ |−9| = 4+9 = 13.

que es una desigualdad estricta.

Los casos 3 y 4 indican ciertos intervalos dentro de los números reales, donde se cumple ladesigualdad escrita.

1.6 Propiedades P.3 y P.4

La expresión |x| ≤ 3 se puede escribir como −3 ≤ x ≤ 3 y significa que x toma todoslos valores desde −3 hasta 3.

La expresión |x| ≥ 3 se puede escribir como x ≤−3 y también 3 ≤ x, y significa quex toma todos los valores menores que −3 y los que son mayores a 3.

11

1.5 Desigualdades Cálculo Diferencial.

Una generalización del concepto de valor absoluto, se encuentra en la siguiente ecuación

|x −b| ≤ a

y representa a todos los puntos que se encuentran a una distancia menor o igual que a delpunto b.

b −a b b +a

Por otro lado la expresión|x −b| ≥ a

representa a todos los puntos que se encuentran a una distancia mayor o igual que a del puntob.

b −a b b +a

1.7

Dados los valores absolutos; a)|x −3| ≤ 4, b)|x +1| < 2 y c) |x −9| ≥ 12 , describe sus ele-

mentos y dibuja el intervalo solución en la recta numérica.

a) |x−3| ≤ 4, contiene a todos los números que se encuentran a una distancia menor de4 unidades respecto al número 3, su representación gráfica es:

−1 3 7

b) |x+1| < 2, contiene a todos los números que se encuentran a una distancia menor de2 unidades respecto al número −1, su representación gráfica es:

−3 −1 1

c) |x − 9| ≥ 12 , contiene a todos los números que se encuentran a una distancia mayor

que 0.5 unidades, del número 9, su representación gráfica es:

8.5 9 9.5

1.5 DesigualdadesEn una desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de mayor que (>) o me-nor que (<). Si queremos permitir la igualdad dentro de nuestra relación debemos poner unalinea horizontal por debajo de la desigualdad para obtener el símbolo menor o igual que ≤ omayor o igual que ≥ respectivamente.Antes de dar la definición formal, debemos conocer los conjunos en los cuales se puede realizaresta comparación.

12

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eales1.5 Desigualdades Cálculo Diferencial.

Definición 1.6 Conjunto ordenado

Un conjunto ordenado es aquel donde cualesquiera dos elementos se pueden compararentre si.

Notemos que el conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, por lo que es posibledar una definición formal de desigualdad dentro de este conjunto.

Definición 1.7 Desigualdad

Dentro de los números reales o cualquier conjunto ordenado, una desigualdad es unarelación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos.

1.8

Poner el símbolo de desigualdad que relaciona correctamente los siguientes números,indicar si no es posible definir la desigualdad.

a) 4 6

b) 7 −0.7

c) 53

p3

d) 10 |−10|

e) x x −2

f ) x 2x

g ) x y +2

h) 5 x2 +5

Solución .Considerando que x, y son números reales arbitrarios, las desigualdades deben quedar;

a) 4 < 6

b) 7 > −0.7

c) 53 < p

3

d) 10 = |−10|

e) x > x −2

f ) no siempre es mayor uno que el otro.

g ) no es posible dar una relación entreellos.

h) 5 ≤ x2 +5

Notemos que la solución de una desigualdad a diferencia de las igualdades es casi siempreun conjunto de números por lo que necesitamos establecer una forma de representar estosconjuntos.

Es posible expresar un conjunto de números en forma gráfica de acuerdo a como se establecióen la sección 1.3.1, sin embargo podemos usar otras formas de representación para el conjuntode números que quedan entre dos reales fijos a y b, usando la siguiente notación:

13


Forma algebraica

1) a < x < b, todos los valores de x entre a y b, sin incluir los extremos.

2) a ≤ x ≤ b, todos los valores de x entre a y b, incluyendo los extremos.

3) x < a o x > b, todos los valores de x menores que a o mayores que b, sin incluirlos extremos.

4) x ≤ a o x ≥ b, todos los valores de x menores que a o mayores que b, incluyendolos extremos.

Forma de intervalos

1) x ∈ (a,b), todos los valores de x entre a y b, sin incluir los extremos.

2) x ∈ [a,b], todos los valores de x entre a y b, incluyendo los extremos.

3) x ∈ (−∞, a)∪ (b,∞), todos los valores de x menores que a o mayores que b, sinincluir los extremos.

4) x ∈ (−∞, a]∪ [b,∞), todos los valores de x menores que a o mayores que b,incluyendo los extremos.

Forma de conjuntos

1) {x ∈ R | a < x < b}, todos los valores de x tal que x está entre a y b, sin incluir losextremos.

2) {x ∈R | a ≤ x ≤ b}, todos los valores de x tal que x está entre a y b, incluyendo losextremos.

3) {x ∈R | x < a, x > b}, todos los valores de x tal que son menores que a o mayoresque b, sin incluir los extremos.

4) {x ∈R | x ≤ a, x ≥ b}, todos los valores de x tal que son menores que a o mayoresque b, incluyendo los extremos.

1.9

Representar de forma algebraica y de intervalos al conjunto formado por todos los nú-meros que son menores que −3 o mayores que 4.

Solución .De acuerdo a la propiedad 3 de las formas anteriores, tenemos

En forma algebraica se escribe x <−3 o x > 4.

En forma de intervalos tenemos (−∞,−3)∪ (4,∞).

14

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1.5.1 Propiedades de las desigualdades

Dentro de las desigualdades podemos observar las siguientes propiedades para los númerosreales a,b,c cualesquiera:

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados, es decirsi a una desigualdad a < b, se le suma una cantidad c, se cumple que a + c < b + c.

Numéricamente tenemos lo siguiente;

si a ambos lados de la desigualdad 3 < 10 se le suma 8, se obtiene 11 < 18

si a ambos lados de la desigualdad 1 >−2 se le suma -4, se obtiene −3 >−6

2. Una desigualdad no altera su sentido si se multiplica o divide por un número positivo,es decir, si c es positivo y a < b, entonces ac < bc y también a

c < bc


si a ambos lados de la desigualdad 3 < 10 lo multiplicamos por 4, se obtiene 12 < 40.

si a ambos lados de la desigualdad 1 >−2 se divide entre 3, se obtiene 13 >−2

3 .

3. Una desigualdad se invierte si se multiplica o divide por un número negativo, es decir,si c es negativo y a < b, entonces ac > bc además a

c > bc .


si a ambos lados de la desigualdad 3 < 10 lo multiplicamos por −4, se obtiene −12 >−40.

si a ambos lados de la desigualdad 1 >−2 se divide entre −2, se obtiene −12 < 1.

Observación

De las propiedades 2 y 3 podemos concluir que en general no es posible pasar delotro lado de la desigualdad multiplicando o dividiendo una expresión que conten-ga variables, pues no sabemos si se va a conservar o invertir la desigualdad, sinembargo cuando estemos seguros de que la expresión no cambia de signo, si po-demos realizar este paso.

Por ejemplo, veamos las siguientes expresiones

a) En la desigualdad1

x= 2, no es posible pasar la x del lado derecho multiplicando.

b) En la desigualdad1

x2 = 2, si se puede pasar la x2 del lado derecho multiplicando,

pues siempre es positiva.

4. Cuando se comparan los inversos multiplicativos en una desigualdad, ésta se invierte,es decir, si a < b, entonces 1

a > 1b , consideremos las siguientes expresiones

a) En la desigualdad 3 < 7, al comparar sus inversos, tenemos1

3> 1

7.

b) En la desigualdad2

3< 5, al comparar sus inversos multiplicativos, se tiene

3

2> 1

5.

Para resolver desigualdades, se procede de la misma forma que con las igualdades pero apo-yándose de las propiedades arriba mencionadas, la diferencia es que no podemos multiplicaro dividir expresiones con variables arbitrariamente, por lo que se buscan algunas alternativaspara evitar este paso.

15


1.5.2 Solución de desigualdades por método gráfico

Una manera de resolver desigualdades es a través de un análisis gráfico. Para esto, es necesariorecordar que dada una función y = f (x) los puntos de intersección entre su gráfica y el eje X sedeterminan al resolver la ecuación f (x) = 0.

Observación

En el caso que tengamos la expresión f (x) < 0, significa que la solución es el intervalodel eje X para el cual la gráfica esta por debajo del propio eje, mientras que si f (x) >0, la solución corresponde a los valores de x en los que la gráfica está por arriba, en elcaso general de tener f (x) < g (x) realizamos ambas gráficas y la solución será todos losvalores de x en los cuales la gráfica de f (x) este por debajo de g (x).

1.10

Encontrar la solución de la desigualdad |3x| < 5x +6, usando el método gráfico.

Solución .

Pasamos todos los térmi-nos del lado izquierdo dela desigualdad para ob-tener |3x| − 5x − 6 < 0, acontinuación realizamosla gráfica

y = |3x|−5x −6. y=|3x|-5x-6

-2 2 4 6x

-15

-10

-5

5

10y

La solución esta constituida por todos los valores de x en los cuales la gráfica está pordebajo del eje X , pues la desigualdad es menor que cero. En este caso la solución es elintervalo

(−34 ,∞)

que es igual a la obtenida en el ejemplo 1.26.

1.11

Encontrar la solución de la desigualdadp

x2 −1 <px +4, usando el método gráfico.

Solución .

Pasamos todos los térmi-nos del lado izquierdo dela desigualdad para obte-ner

px2 −1−p

x +4 < 0,la función a graficar es

y =√

x2 −1−px +4.

y= x2 -1 - x+4

-4 -2 2 4 6Y

-2

2

4

X

La solución esta constituida por todos los valores de x en los cuales la gráfica está pordebajo del eje X . Es decir,

x ∈ [(−1.8,1)∪ [1,2.8)]

que es aproximadamente igual a la obtenida en el ejemplo 1.22.

16

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En algunos casos es conveniente graficar cada una de las expresiones, considerando que lasolución estará dada por aquellos valores de la variable, donde la gráfica cuya expresión esmenor, se encuentre por debajo de la otra.

1.12

Encontrar la solución de la desigualdad doble 9x+2 ≤ 4

x−3 < 5, usando el método gráfico.

Solución .Comenzaremos por rea-lizar la gráfica de cadauna de las expresionesque conforman la de-sigualdad, es decir

1. y = 9x+2 ,

2. y = 4x−3 ,

3. y = 5.

-5 5X

-6

-4

-2

2

4

6

Y

La solución esta constituida por todos los valores de x en los cuales la gráfica y = 5 estápor encima de y = 4

x−3 y ésta, a su vez queda arriba de y = 9x+2 . El intervalo donde se

cumple esta situación e:(−∞,−2)∪ (3.9,7].

que es aproximadamente igual a la obtenida en el ejemplo 1.24.

1.5.3 Solución de desigualdades métodos algebraicos

Una forma alterna de obtener los intervalos solución para una desigualdad son los métodosalgebraicos, éstos nos permitirán tener más precisión que en la forma gráfica, sin embargoéstos pueden ser más complicados por lo que se dividen en métodos específicos dependiendode la forma de la desigualdad.

Solución de desigualdades de primer grado

Se resuelve de igual forma que una igualdad despejando la variable, solo hay que tener cuidadode invertir la desigualdad cuando se multiplique o divida por un número negativo, a continua-ción se muestra algunos pasos sugeridos para resolver este tipo de desigualdades.

Pasos para resolver una desigualdad polinomial de primer grado.

P.1) Se desarrollan completamente tanto la expresión de la izquierda como la de la dere-cha.

P.2) Se pasan del lado izquierdo, todos los términos que contengan a la variable, y delado derecho aquellos que no la contengan.

P.3) Se factoriza tomando como factor común, la variable.

P.4) Si es necesario se pasa multiplicando o dividiendo los términos que multiplican a lavariable, sin olvidar que, si son negativos la desigualdad se debe invertir.

17


1.13

Resolver la desigualdad 3x −15 < 20.

Solución .Sumando 15 a ambos lados de la desigualdad, se tiene 3x < 35 y dividiendo entre 3 resultax < 35

3 . Es decir x ∈ (−∞, 353 )

1.14

Resolver −2x +28 > x −23.

Solución .Restando x en ambos lados de la desigualdad se obtiene

−3x +28 >−23

luego restando 28, queda−3x >−51

y finalmente dividiendo entre −3,x < 17.

Expresando en forma de intervalo se tiene que x ∈ (−∞,17).

En algunos casos podemos tener desigualdades de primer grado, que a primera vista parecenser de grado mayor, debemos ser cuidadosos en ese sentido.

1.15

Resolver la desigualdad (3x −4)2 −2x +28−5x2 ≤ 4x2 −21.

Solución .Al desarrollar y simplificar ambas partes de la desigualdad, tenemos

4x2 −26x +44 ≤ 4x2 −21

al pasar los términos que tienen la variable x del lado izquierdo, los que no la contienendel lado derecho

4x2 −26x −4x2 ≤−21−44

es decir,−26x ≤−65

y finalmente dividiendo entre −26, el resultado es x ≥ 52 .

Solución de desigualdades polinomiales de grado superior

Cuando tenemos desigualdades que incluyen polinomios de grado mayor o igual a 2, encon-trar su solución puede ser algo complicado, pues normalmente existen varios intervalos que

18

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son solución y debemos identificar a cada uno de ellos. Una sugerencia para resolver estas de-sigualdades se presenta a continuación

Pasos para resolver una desigualdad polinomial de grado superior.

P.1) Se debe pasar todos los términos de un lado de la desigualdad y se factoriza almáximo, es decir hasta tener factores lineales o cuadráticos.

P.2) A continuación se realiza una tabla de signos para encontrar los intervalos que cum-plen la desigualdad, considerando lo siguiente;

a) Se iguala a cero cada uno de los factores y se despeja la variable.

b) Se escriben intervalos comenzando desde −∞ hasta el valor más pequeñoobtenido en el inciso anterior, luego de éste, hasta el siguiente más pequeño yasí sucesivamente, hasta llegar a +∞.

c) Se escriben estos intervalos en una tabla (uno en cada columna), luego seponen los factores (uno en cada renglón), a continuación se toma un valor arbi-trario del intervalo y se evalúa en el factor, el signo de la evaluación se escribiráen el cruce de estos datos.

P.3) Al final se multiplican todos los signos de cada columna y se identifica este signo conel intervalo al que pertenece.

P.4) La solución será, la unión de los intervalos que satisfagan la desigualdad.

1.16

Resolver la siguiente desigualdad x2 −4 ≤ 2x +3.

Solución .Pasando todos los términos a un sólo lado de la desigualdad y simplificando, se obtienela expresión

x2 −2x −7 ≤ 0, (1.3)

luego, factorizando nos queda la expresión

(x −1−2p

2)(x −1+2p

2) ≤ 0

al igualar cada factor a cero, se tiene x1 = 1+2p

2 y x2 = 1−2p

2, con esta informaciónconstruimos la tabla de signos, en la siguiente manera.

(−∞,1−2p

2] [1−2p

2,1+2p

2] [1+2p

2,∞)

x −1−2p

2 − − +x −1+2

p2 − + +

producto + − +La solución es la unión de los intervalos con producto negativo o cero, pues la ecuación1.3 es menor o igual a cero, es decir x ∈ [1−2

p2,1+2

p2].

Se pueden despreciar los factores cuadráticos que no cambian de signo, siempre y cuando seconsidere lo siguiente:

19


Si se desprecio un factor cuadrático que es siempre negativo, a los intervalos finales seles debe cambiar de signo.

Se debe analizar si existen un valor de la variable que hace cero al factor, y quitarlo de ladesigualdad si ésta es estricta.

1.17

Resolver la siguiente desigualdad x3 −4+2x ≥ 2x +4.

Solución .Al pasar y factorizar todos los términos a un sólo lado de la desigualdad, se obtiene laexpresión

x3 −8 ≥ 0 es decir (x −2)(x2 −2x +4) ≥ 0

observemos que aquí no es necesario construir la tabla de signos, pues el término cua-drático no cambia de signo, por lo que se puede despreciar y sólo consideramos el factor(x−2) para su análisis. Por lo tanto obtenemos el mismo resultado si resolvemos la ecua-ción

x −2 ≥ 0,

cuya solución es x ≥ 2, la cual también es la solución de nuestra ecuación.

Observación

Es un buen habito matemático, que siempre que resuelvas una desigualdad compruebestus resultados al finalizar las operaciones, es decir, que todos los valores de tu resultado,cumplan la desigualdad propuesta y sean los únicos.

Desigualdades fraccionarias, con variable en el denominador

Para resolver una igualdad fraccionaria, lo más común es multiplicar todos los términos por elmáximo común denominador para evitar las fracciones, en desigualdades de este tipo, pode-mos proceder de una forma similar a las desigualdades polinomiales de grado superior.

Observación

Por ningún motivo, debes pasar multiplicando o dividiendo una expresión que puedacambiar de signo.

Veamos a continuación un método sugerido para resolver estas ecuaciones

20

Núm

erosR


Pasos para resolver una desigualdad fraccionaria.

P.1) Identificar todos los valores que hacen cero los denominares de cada término.

P.2) Pasar todos los términos de un lado de la desigualdad y se realiza la operaciónfraccionaria hasta obtener una sola fracción.

P.3) Factorizar todos los términos tanto del numerador como del denominador.

P.4) Realizar una tabla de signos para encontrar los intervalos que cumplen la desigual-dad.

P.5) Multiplicar todos los signos de cada columna y se identifica este signo con el intervaloal que pertenece.

P.6) La solución será, la unión de los intervalos que satisfagan la desigualdad, quitandotodos los valores obtenidos en el primer paso.

1.18

Resolver la desigualdad 1x < 20.

Solución .Pasamos todos los términos del lado izquierdo, para obtener

1

x−20 < 0,

al resolver esta resta fraccionaria, tenemos

1−20x

x< 0,

como ya no se puede factorizar más, ni el denominador ni el numerador, igualamos acero cada uno de los factores para obtner x1 = 1

20 , x2 = 0, con esto construimos la tablade signos,

(−∞,0) (0, 120 ) ( 1

20 ,∞)

1−20x + + −x − + +

Producto − + −

Como la desigualdad debe ser menor que cero, la solución es (−∞,0)∪ ( 120 ,∞).

Observación

En los casos en que se pueda identificar rápidamente donde cambia de signo el denomi-nador, podemos dividir la desigualdad en dos casos (dividendo el intervalo justo dondeel denominador cambia de signo), y resolver cada uno de ellos por separado, la soluciónserá la unión de ambas soluciones.

21


1.19

Resolver la desigualdad 2x ≤ x

Solución .Como x = 0, hace cero al denominador debemos quitar este valor de nuestra solución,además, como el denominador cambia de signo cuando x = 0, se divide la desigualdaden dos casos:

Caso 1 Consideramos todos los valores que cumplen x > 0. Con estas condiciones, po-demos multiplicar por x ambos lados de la igualdad, para obtener la ecuación

2 ≤ x2

cuya solución es, luego de realizar los pasos para resolver una ecuación de gradosuperior x ∈ [−∞,−p2]∪ [

p2,∞). finalmente considerando que aquí solamente

tenemos valores positivos para x, nuestra solución de este caso es x ∈ [p

2,∞).

Caso 2 Consideramos todos los valores que cumplen x < 0. Con estas condiciones, po-demos multiplicar por x ambos lados de la igualdad, para obtener la ecuación

2 ≥ x2, (Se invirtió la desigualdad porque x es negativa)

cuya solución es x ∈ [−p2,p

2). y considerando que aquí solamente tenemos valo-res negativos para x, nuestra solución de este caso es x ∈ [−p2,0].

Por último, la solución general de la desigualdad es la unión de las soluciones de amboscasos, quitando x = 0, es decir x ∈ [−p2,0)∪ [

p2,∞)

1.20

Resolver la desigualdad x−14x−5 < x−3

4x−3

Solución .Pasando las dos fracciones a un sólo lado de la desigualdad y realizando la resta fraccio-naria tenemos

10x −12

(4x −5)(4x −3)< 0,

igualando cada factor a cero y despejando x, se obtiene x = 65 , 5

4 , 34 respectivamente. Se

ordenan de menor a mayor, estableciendo intervalos y se construye la tabla de signos.

(−∞, 34 ) ( 3

4 , 65 ) ( 6

5 , 54 ) ( 5

4 ,∞)

10x −12 − − + +4x −5 − − − +4x −3 − + + +

producto − + − +

La solución son los intervalos con producto negativo, es decir x ∈ (−∞, 34 )∪ ( 6

5 , 54 ).

22

Núm

erosR


Solución de desigualdades con raíz cuadrada

Para encontrar los intervalos solución de una desigualdad que contiene raíz cuadrada, debe-mos considerar los siguientes puntos:

La expresión que esta adentro del radical, debe ser positivo para todo valor de x.

En el resultado, se tomará en cuenta únicamente la raíz positiva.

Teniendo claro lo anterior, veamos un método sugerido para resolver estas desigualdades

Pasos para resolver una desigualdad con raíz cuadrada.

P.1) Tomar la parte de adentro de la raíz y resolver la desigualdad, considerando quedebe ser mayor o igual a cero, esto se hace por cada radical que tengamos en laexpresión.

P.2) Se realiza la intersección de todos los intervalos solución obtenidos en el inciso an-terior, ésto conformará el dominio de nuestra desigualdad.

P.3) Despejar completamente el radical y elevar al cuadrado para eliminar la raíz cuadra-da.

P.4) Pasar todos los términos de un solo lado de la desigualdad, enseguida igualar a cerola expresión y resolver para encontrar todos los puntos donde la desigualdad cambiade signo.

P.5) Formar intervalos usando los extremos de nuestro dominio obtenido en el paso 2 ylos puntos de cambio de signo del paso anterior.

P.6) tomar un punto en el interior de cada intervalo y evaluarlo en la desigualdad inicial, sila cumple, el intervalo completo es parte de la solución, en caso contrario se desechatodo el intervalo.

Veamos algunos ejemplos que nos muestran como se resuelven desigualdades con radical usan-do los pasos descritos anteriormente.

1.21

Resolver la desigualdadp

x +5x ≤ 4

Solución .En este caso, la parte interior de la raíz es x, al expresarla como mayor o igual a cero yresolver obtenemos nuestro dominio el cual será el intervalo [0,∞).Enseguida despejamos

px y al elevar al cuadrado obtenemos la desigualdad

px +5x ≤ 4 ⇒ p

x ≤ 4−5x ⇒ x ≤ (4−5x)2

Luego, pasamos todos los términos de un solo lado e igualamos a cero

x ≤ (4−5x)2 ⇒ (4−5x)2 −x = 0 ⇒ 25x2 −41x +16 = 0

Al resolver esta igualdad obtenemos los puntos donde la desigualdad cambia de signo,estos son x1 = 16

25 y x2 = 1, así los intervalos que se forman dentro de nuestro dominioson

[0, 16

25

],[16

25 ,1]

y [1,∞).

23


Ahora tomamos un punto arbitrario dentro de cada intervalo y evaluamos en la desigual-dad inicial

En el primer intervalo podemos tomar x = 0.1 y al evaluar en la desigualdadp0.1+5(0.1) ≤ 4, se observa que se satisface la desigualdad por lo que este intervalo

pertenece a la solución.

En el segundo consideramos x = 0.9, es decirp

0.9+5(0.9) ≤ 4, aquí no se satisfacela desigualdad por lo que desechamos este intervalo.

En el tercer intervalo nos sirve x = 2, si evaluamos, obtenemosp

2+5(2) ≤ 4 queno se satisface, por lo que no se toma en cuenta.

Finalmente la solución será la unión de los intervalos obtenidos anteriormente, es decirel intervalo x ∈ [

0, 1625

].

Consideremos ahora un ejemplo donde se tienen dos radicales en una misma desigualdad.

1.22

Resolver la desigualdadp

x2 −1 <px +4

Solución .Resolviendo las desigualdades x2 −1 ≥ 0 y x +4 ≥ 0 tenemos como solución (−∞,−1]∪[1,∞) y [−4,∞) respectivamente, como necesitamos que se satisfagan ambas desigual-dades, realizamos la intersección para obtener nuestro dominio.

[(−∞,−1]∪ [1,∞)]∩ [−4,∞) = [−4,−1]∪ [1,∞) (1.4)

Enseguida, elevamos ambos lados de la desigualdad original al cuadrado, despejamos eigualamos a cero

x2 −1 < x +4 ⇒ x2 −x −5 = 0

cuya solución es x1 = 12 −

p212 y x2 = 1

2 +p

212 . Al formar los intervalos con nuestro dominio

se obtienen[−4,

1

2−p

21

2

),

(1

2−p

21

2,−1

],

[1,

1

2+p

21

2

),

(1

2+p

21

2,∞

)

Al evaluar en la desigualdad original los puntos x = −2,−1.5,2,3 que están respectiva-mente en el interior de cada uno de los intervalos descritos, notaremos que los unicosintervalos que forman parte de la solución son el segundo y tercero, por lo que tenemoscomo la solución de la desigualdad a los intervalos(

1

2−p

21

2,−1

]∪

[1,

1

2+p

21

2

).

24

Núm

erosR


Observación

En la mayoría de los casos y debido a que las raíces tiene restricciones, es fácil y suficien-te, realizar un análisis de los valores que cumplen la desigualdad, sin realizar todos loscálculos.

1.23

Resolver cada una de las siguientes desigualdades haciendo un análisis inductivo de losvalores que las satisfacen.

1.p

x2 −5x +4+2x2 <−1.

2.p

x −2 ≤p2x +1+2

3. 5px> 4

4.p

x2 −4 <px +p

1−x

Solución .Recordemos que el resultado de una raíz siempre es positiva, por lo que se puede pasarmultiplicando o dividiendo sin alterar el resultado.

1. No existe ningún valor de x, que satisfaga la desigualdad, pues la parte izquierdaes siempre positiva y no puede ser menor a algo negativo.

2. El resultado es todo R, pues esta desigualdad sólo está definida en el intervalo[2,∞) y ahí es claro que cualquier valor la cumple.

3. Si despejamosp

x, se tienep

x < 54 , de aquí x < 25

16 y el intervalo solución es[0, 25

16

).

4. No tiene solución, pues al obtener los valores donde están definidas las raíces tene-mos que para

px2 −4 su intervalo es (−∞,−2)∪ (2,∞), el radical

px esta definido

solo para (0,∞) yp

1−x necesita que x ∈ (−∞,1), pero se puede observar que nohay valor de x que este en los tres intervalos al mismo tiempo.

Solución de desigualdades dobles

Estas desigualdades aparecen muy frecuentemente en matemáticas, puede estar incluida cual-quier tipo de desigualdad de las que hemos estudiado anteriormente, la diferencia es que ahoradebemos resolver dos desigualdades en vez de una.

Para resolver estas desigualdades procedemos como sigue;

Pasos para resolver una desigualdad doble.

Consideramos desigualdades dobles de la forma p(x) ≤ q(x) ≤ r (x)

P.1) Se separa en dos desigualdades p(x) ≤ q(x) y q(x) ≤ r (x).

P.2) Se resuelve cada desigualdad por separado.

P.3) El resultado sera la intersección de ambos resultados, es decir, los valores de x queestán en ambos intervalos solución.

25


1.24

Resolver la desigualdad 9x+2 ≤ 4

x−3 < 5.

Solución .Quitamos los valores x =−2,3 del dominio de la desigualdad. Resolvemos primero 9

x+2 ≤4

x−3 , para esto, pasamos todos los términos a un sólo lado de la desigualdad y realizamosla operación fraccionaria,

9

x +2− 4

x −3≤ 0 es decir

5(x −7)

(x −3)(x +2)≤ 0,

al igualar a cero los factores, obtenemos que x = 7,3,−2. Con esta información la tablade signos queda;

(−∞,−2) (−2,3) (3,7) [7,∞)

(x −7) − − − +x −3 − − + +x +2 − + + +

producto − + − +entonces la solución de esta primera parte es (−∞,−2)∪ (3,7].Por otro lado en la desigualdad 4

x−3 < 5, al pasar todos los términos de un lado y realizarlas operaciones, tenemos

−5x +19

x −3< 0

con lo que podemos construir la tabla

(−∞,3)(3, 19

5

) (195 ,∞)

(x −3) − + +−5x +19 + + −producto − + −

y el resultado de esta segunda desigualdad es el intervalo (−∞,3)∪ (195 ,∞)

. El resultadofinal será la intersección de las dos soluciones

[(−∞,−2)∪ (3,7]]∪[

(−∞,3)∩(

19

5,∞

)]= (−∞,−2)∪

(19

5,7

].

En algunos casos sencillos no es necesario separar en dos desigualdades, basta con ir realizan-do las operaciones simultáneamente en las tres partes de la desigualdad.

1.25

Resolver la desigualdad −4 ≤ 1−3x5 ≤ 8

Solución .Si multiplicamos toda la desigualdad por 5

−20 ≤ 1−3x ≤ 40

26

Núm

erosR


luego restando la unidad−21 ≤−3x ≤ 39

y dividiendo entre −3, obtenemos la solución

7 ≥ x ≥−13.

o sea el intervalo [−13,7].

Solución de desigualdades con valor absoluto

Debido a las propiedades P.3 y P.4 de valor absoluto vistos en la sección 1.4, es posible resolveruna desigualdad de este tipo partiendo la recta real en intervalos mas pequeños que dependendel valor absoluto que se tenga, como lo muestra el siguiente método.

Pasos para resolver una desigualdad con valor absoluto.

P.1) Descomponer la recta real, en intervalos pequeños, esto se hace igualando a cerola expresión dentro de cada valor absoluto y despejando la variable para obtener lospuntos de división.

P.2) En cada intervalo, quitar los valores absolutos de la ecuación de acuerdo a la defini-ción y resolver la expresión que queda considerando únicamente los valores dentrodel propio intervalo.

P.3) La solución general, es la unión de las soluciones de cada intervalo.

1.26

Resolver la desigualdad |3x| < 5x +6

Solución .Igualando a cero la parte interna del único valor absoluto obtenemos x = 0 como puntode división, por lo que los intervalos serán (−∞,0) y [0,∞).

en el intervalo (−∞,0) la expresión 3x es negativa por lo que al quitar el valor abso-luto la ecuación queda como −(3x) < 5x+6, al resolver tenemos que x >−3

4 , comoestamos trabajando dentro del intervalo (−∞,0) entonces únicamente tomamoscomo solución el intervalo

(−34 ,0

).

en el intervalo [0,∞) la expresión 3x es positiva por lo que al quitar el valor abso-luto la ecuación queda como (3x) < 5x +6, al resolver tenemos que x > −3, comoestamos trabajando dentro del intervalo [0,∞) entonces nuestra solución es [0,∞).

Finalmente la solución general de la ecuación es la unión de cada solución particular esdecir

(−34 ,0

)∪ (0,∞) = (−34 ,∞)

.

27


1.27

Resolver la desigualdad |4x −2| > 3x −1.

Solución .Igualando a cero la parte interna del único valor absoluto obtenemos x = 1

2 como puntode división, por lo que los intervalos serán

(−∞, 12

)y

[12 ,∞)

.

en el intervalo(−∞, 1

2

)la expresión 4x −2 es negativa por lo que al quitar el valor

absoluto la ecuación queda como −(4x −2) < 5x +6, al resolver tenemos que x <−3

7 , que es la solución del intervalo.

en el intervalo[1

2 ,∞)la expresión 4x − 2 es positiva por lo que al quitar el valor

absoluto la ecuación queda como (4x − 2) < 5x + 6, al resolver tenemos que x >1, que también queda como solución pues cae dentro del intervalo que estamostrabajando.

Finalmente la solución general de la ecuación es la unión de cada solución particular esdecir x ∈ (−∞, 3

7 )∪ (1,∞).

Para resolver ecuaciones que sólo contienen un valor absoluto, existen otros métodos que nospueden ayudar bastante o que requieren un poco menos de esfuerzo sin embargo para casosmás generales es muy útil este procedimiento.

1.28

Resolver la desigualdad |9x −7| ≤ |2x −1|

Solución .Igualando a cero la parte interna de cada valor absoluto obtenemos x = 7

9 y x = 12 como

puntos de división, por lo que los intervalos serán(−∞, 1

2

),[1

2 , 79

)y

[79 ,∞)

.

en el intervalo(−∞, 1

2

)la expresión 9x − 7 es negativa, de igual manera la ex-

presión 2x − 1, por lo que al quitar el valor absoluto la ecuación queda como−(9x − 7) ≤ −(2x − 1), al resolver tenemos que x ≥ 6

7 , como estamos dentro delintervalo

(−∞, 12

)concluimos que este intervalo no tiene solución.

en el intervalo[1

2 , 79

)la expresión 9x −7 es negativa mientras que 2x −1 es positiva

por lo que al quitar el valor absoluto la ecuación queda como −(9x−7) ≤ (2x−1), alresolver tenemos que x ≥ 8

11 , como estamos dentro del intervalo[1

2 , 79

), la solución

es( 8

11 , 79

).

en el intervalo[7

9 ,∞)ambas expresiones son positivas por lo que al quitar el valor

absoluto la ecuación queda como (9x−7) ≤ (2x−1), al resolver tenemos que x ≤ 67 ,

como estamos dentro del intervalo[7

9 ,∞), la solución es

(79 , 6

7

).

Finalmente la solución general de la ecuación es la unión de cada solución particular esdecir

( 811 , 7

9

)∪ (79 , 6

7

)= [ 811 , 6

7

].

28

Núm

erosR

eales1.6 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.

1.6 Evaluaciones sumativas1.6.1 Ejercicios

1.• Identificar si las siguientes expresiones corresponden a números racionales o irracionales.

a.• 1+p3

b.• 2p

11

c.• (p

3)4

d.•1

π

e.•2−3

p6.25

(4p

3)2

2.• Convertir los siguientes números racionales a su forma fraccionaria.

a.• 1.56475b.• 0.003�6c.• 2.108d.• 0.0951�6e.• 0.19�5

f.• 8.7�27g.• 0.096�36h.• 0.131�6i.• 100.100j.• 0.�9

3.• En las siguientes afirmaciones, escribe su representación en forma gráfica, de desigual-dad, de intervalos y como conjuntos.

a.• El conjunto de números reales menores o iguales a 12.5.b.• El conjunto de números reales menores que −3 pero mayores o iguales a −50c.• El conjunto de números reales menores a 7 y mayores que 32.d.• El conjunto de todos los números reales excepto el 5.e.• El conjunto de números reales mayores o iguales a −3 y menores o iguales a 0.f.• El conjunto de números reales mayores de −1/5.g.• El conjunto de números reales que estén entre −12 y 23 incluyendo el −12.h.• El conjunto de números reales cuyo valor absoluto sea mayor a 10.i.• El conjunto de números reales cuyo valor absoluto sea menor o igual a 1.j.• El conjunto de números reales cuyo cuadrado sea menor a 0.

4.• Resolver las siguientes desigualdades polinomiales de primer grado.a.• 2x −5 > 3xb.• 3x −2 ≤ 2x −1c.• 5(x −2)−3x ≥ 3(x +2)d.• 3x −4 < 3x −5e.• 1

2 x −5 ≤ 34 (x −4)+ 4x−2

3

5.• Resolver las siguientes desigualdades polinomiales de grado superior.a.• (x +5)(x −2)(x −1) ≤ 0b.• x2 −x < 6c.• 3x2 −x −2 > 0d.• 2x2 +5x −12 < 0e.• (6x +2)(x −1) ≤ (2x −3)(3x −2)

6.• Resolver las siguientes desigualdades con fracciones.a.• 1

x > 1−xx

b.• xx+2 < 4

c.• 3x4x−5 ≤ x +3.

d.• 1x+2 ≤ 3

x−5 .

29

1.6 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.

e.• 2x+13x−6 ≤ 3.

7.• Encuentra el intervalo de números que satisface cada una de las desigualdades con raíz.

a.•p

x2 −x −12 < x

b.• 2(x −

p2x2 −3x −5

)≥ 1

c.•p

x +1−1 ≤ x.

d.• −x +px −2 <p

x +3.

8.• Resolver las siguientes desigualdades dobles.

a.• −2x ≤−2 ≤ 3x −1

b.• 3x < 4+x ≤ 2+3x

c.• x −2 ≤ 3x −1 ≤ x2.

d.• 1x ≤ x < x2.

e.• 2 < 1−x2 ≤ 5x−1x2 .

9.• Indica los valores que puede tomar la variable x, de tal forma que satisfaga las siguientesdesigualdades con valor absoluto.

a.• |x −5| < 3

b.• |x −5| ≤ 2x +2.

c.• |3x +2| ≥ 4.

d.• |x−1|x < 0.

e.• |x|x+2 < 2.

10.• Resuelve los siguientes ejercicios de desigualdades, usando un método apropiado.

a.• x3 −2x2 < x2(x −2)−3(x −1)

b.• |2x−33x−2 | ≤ x −5.

c.• 3+ 1x−2 ≥ 4

x+1 .

d.• 5x2+9x+34x2+4x+6 ≥ 4

e.• |2x−3x2−1 | ≥ 2.

f.• 3x2−16x−12px+4

≥ 0.

g.• |2−x3 |+3 ≤ x

h.• |3x−1x+1 | < 2.

i.• |6x −5| ≤ |3x −5|.j.• |2x +1| ≤ 3−|x −3|.k.• |3x −1|−3 ≤ |3x +1|.l.• 4x2 −19|x|−5 < 0.

m.• (3−x)|x +5| < 7.

n.• |x2 −6x +10| < 2.

ñ.• |2x2 +5x −21| < x +17.5.

o.• 3p

x +1p

x −1 ≤ 0.

p.•p|x−1|

3px−1≥ 0.

q.•p

2x −8+px −5 >p

3x −9.

r.• 2xp

5−3xp

5−2≤ 0.

11.• Resolver los siguientes problemas usando desigualdades.

a.• El triple de un entero, más cuatro, menos el doble de éste, está entre 10 y 15. Determinetodos los enteros que satisfagan la expresión anterior.

30

Núm

erosR

eales1.6 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.

b.• Un fabricante puede vender todas las unidades que produce a $80 cada una. Tienecostos fijos de $1500 al mes; y además, le cuesta $30 producir cada articulo. ¿Cuántas unidadespuede producir y vender la compañía para obtener utilidades?

c.• Una fábrica de maletas desea saber si le conviene fabricar ciertos forros para los bolsi-llos, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $8.00 la unidad. La fabricación deestos forros incrementará sus costos fijos en $4800 al mes, pero sólo le costará $5.50 fabricarcada forro . ¿Cuántos forros debe hacer la empresa cada mes para justificar la elaboración desus propios forros?

d.• Una empacadora produce tapas rectangulares que tienen el largo de dos unidades ma-yores que el triple del ancho.

1. Si el largo de las tapas está entre 35 y 50 cm, ¿En qué intervalo esta el ancho?

2. ¿En qué intervalo está el área de las tapas?

e.• En una hacienda, 10 recolectores recogen entre 150 y 180 kg de un producto al día; sila mitad de ellos recogen el doble de los demás ¿Entre qué valores están los kg que recoge untrabajador rápido?

12.• Hallar todos los valores de x para los cuales las expresiones representan números reales.a.•

px2 +5x +6.

b.•p

4−2x.c.•

px−1p2−x

.

d.• ln x +p

x2 +1.

312 Funciones


Comprender el concepto de función real y tipos de funciones, así como estudiar sus propieda-des y operaciones.


Identificar, cuando una relación es una función entre dos conjuntos.

Identificar el dominio, el codominio y el recorrido de una función.

Reconocer cuando una función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.

Representar una función real de variable real en el plano cartesiano. (gráfica de una fun-ción).

Construir funciones algebraicas de cada uno de sus tipos.

Construir funciones trascendentes, trigonométricas circulares y funciones exponencia-les haciendo énfasis en las de base e.

Reconocer las gráficas de las funciones trigonométricas circulares y gráficas de funcionesexponenciales de base e.

Graficar funciones con más de una regla de correspondencia.

Graficar funciones que involucren valores absolutos.

Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de fun-ciones.

Reconocer el cambio gráfico de una función cuando ésta se suma con una constante.

Mediante un ejercicio utilizar el concepto de función biyectiva para determinar si unafunción tiene inversa, obtenerla, y comprobar a través de la composición que la funciónobtenida es la inversa.

Identificar la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa.

Proponer funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los númerosreales.

32

Funciones2.1 Introducción Cálculo Diferencial.

2.1 IntroducciónEn la vida diaria, estamos acostumbrados a interactuar con las personas que nos rodean, resul-ta fácil establecer una regla de correspondencia que asocie, a los miembros o elementos de unconjunto con los de otro. Por ejemplo, por cada casa hay una familia que la habita; para cadalibro corresponde por lo menos un autor, etcétera. En matemáticas estamos interesados en untipo especial de correspondencia: una correspondencia con valor único denominada función.Antes de de entrar de lleno al estudio de las funciones veamos como surgen.

Definición 2.1 Relación de conjuntos

Una relación entre 2 conjuntos es una regla de asociación que indica la forma que cadaelemento del primer conjunto está relacionado con un elemento del segundo conjunto.

A B R

1

4

2

3

6 5

7

9

8

11

11

6

9

10

8

7 5

4

3

2

1

Para indicar la relación de los elementos entre los dos conjuntos, usamos la notación

R(a) = b

que indica que al elemento a ∈ A se le esta asociando con el elemento b ∈ B . Además al elemen-to a se le conoce como argumento o variable independiente y al elemento b como el resultadoo variable dependiente de la relación.

Aunque las relaciones entre conjuntos son muy importantes, nuestro interés se centra solo enaquellas relaciones que cumplen ciertos requisitos, dos en particular, bajo estas condicionescualquier relación entre conjuntos recibe el nombre de función. Formalmente tenemos la si-guiente definición.

Definición 2.2 Funciones

Dados dos conjuntos A y B , una función entre ellos es una regla de asociación f quea cada elemento de A le asigna un único elemento de B . Se dice entonces que A es eldominio de f y que B es su codominio.

Es decir una regla de asociación es una función si y sólo si cumple las dos siguientes propieda-des.

1. Todos los elementos del primer conjunto, deben estar relacionados con alguno del se-gundo.

33

2.1 Introducción Cálculo Diferencial.

2. Un elemento del primer conjunto, no puede estar relacionado con dos elementos delsegundo.

Podemos ver en un diagrama sagital de funciones, como se reflejan estas propiedades

A B R 1

4

2

3

6

7 8

6

4

3

2

1

9

11

9

8

7

5

No es función

(a) No se cumple la propiedad 1

A B R

1

4

3

6

9

11

9

7

3

2

1

No es función

(b) No se cumple la propiedad 2

A

Codominio o Contradominio

B

Dominio

f 1

4

3

6

9

11

9

7

3

2

1

Si es función

(c) Cumple ambas propiedades

Figura 2.1. Relaciones y funciones

La notación estándar para indicar que una relación es función es

f : A → B

que significa que la función f va del conjunto A al conjunto B .

2.1

Determinar cuales de las siguientes relaciones son funciones. Considera al conjunto Acomo el dominio y al conjunto B como el codominio.

1. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, la relación es R(x) = x +1.

2. A =N y B =Z, la relación es R(x) = x+12 .

3. A =N y B =Q, la relación es R(x) = x+12 .

4. A =R y B =R, la relación es R(x) =px.

5. A =R+ y B =R+, la relación es R(x) =px.

6. A el conjunto de números primos y B conjunto de números impares, la relación esR(x) = x.

34

Funciones2.2 Dominio, gráfica y rango de una función real Cálculo Diferencial.

Solución .Debemos verificar que se cumplan las dos características para ser función, así

1. No es función, observemos que el número 9 del dominio no esta relacionado conningún elemento del codominio.

2. No es función, pues los números pares del dominio no esta relacionado con nin-gún elemento.

3. Si es función.

4. No es función, pues los números negativos del dominio no esta relacionado conningún elemento, además un elemento de A se relaciona con dos de B .

5. Si es función.

6. No es función, dado que el número 2 del dominio no esta relacionado con ningúnelemento.

En lo sucesivo denotaremos las función con las letras f , g o h y el dominio de la función con laletra X , además el codominio con la letra Y .

2.2 Dominio, gráfica y rango de una función real2.2.1 Dominio de una función real

De acuerdo a la definición 2.2, el dominio de una función real f es el mayor subconjunto delconjunto de números reales para los que f (x) es un número real.Aunque estamos acostumbrados a considerar el conjunto de números reales como nuestroconjunto de salida cuando manejamos funciones, en una gran variedad de ellas, no todos losreales forman parte del dominio.Para obtener el dominio de una función, debemos considerar todos los números reales y quitaraquellos que al momento de evaluarlos no dan como resultado un número real.

Observación

En caso de que la función contenga raíces de orden par, debemos incluir solamenteaquellos valores de la variable que hacen que el radicando sea positivo.

2.2

Determina el dominio de la función f (x) = 1

x+p

x2 −3x +2

Solución .Inmediatamente podemos observar que x = 0 no puede ser parte del dominio, pues no

esta definida la operación1

0. Por otro lado la raíz cuadrada no esta definida si el radi-

cando es negativo, por lo que debemos tomar sólo aquellos valores que cumplen quex2 −3x +2 ≥ 0, para obtener dichos valores resolvemos la desigualdad, al factorizar te-nemos (x −2)(x −1) ≥ 0, realizando la tabla de signos concluimos que la solución de ladesigualdad es (∞,1)∪ (2,∞) y finalmente el dominio de f es (−∞,0)∪ (0,1)∪ (2,∞).

35

2.2 Dominio, gráfica y rango de una función real Cálculo Diferencial.

En los casos que tengamos en el denominador un polinomio de grado superior, debemos igua-larlo a cero y resolverlo, quitando todos los valores obtenidos del dominio.

2.3

Determina el dominio de la función f (x) = 3x −4

x2 −7x +10+ 1p

x2 +2

Solución .Igualamos a cero el denominador del primer término y resolvemos

x2 −7x +10 ⇒ x1 = 5, x2 = 2,

como el radicando de la raíz siempre es mayor que cero, no hay nada que quitar en elsegundo término y el dominio de f está formado por los intervalos (−∞,2)∪(2,5)∪(5,∞).

Observación

Si una función es polinomial, sin raíces cuadradas y sin fracciones con variable en eldenominador, entonces el dominio consiste de todos los números reales.

2.2.2 Gráfica de una función real

En campos como ciencia, ingeniería y negocios, a menudo se usa una función para describir losfenómenos. A fin de interpretar y utilizar datos, es útil representar éstos en forma de gráfica. Sinembargo, antes de comenzar nuestro estudio de gráficas, transformemos nuestros conjuntosy la función entre ellos, a un sistema de dos rectas perpendiculares entre si, donde cada rectarepresentan un conjunto, llamado plano cartesiano, como lo muestra el siguiente diagrama.

y

x X

Y

Codominio

Y X

Codominio Dominio

f 1

4

x

6

7

y

2

1

Dominio

f(x)=y

Para realizar la gráfica de una función, se le asignan algunos valores arbitrarios a x y se obtie-nen los correspondientes valores de y = f (x) con lo que se forman pares ordenados (x, y) querepresentan puntos dentro del plano cartesiano, estos puntos se unen y forma la gráfica.

36


2.4

Realizar la gráfica de la función f (x) = 2x3 −5p

x.

Solución .Observemos que el dominio de la función son todos los valores positivos. Para graficarhacemos una tabulación con algunos valores arbitrarios para x y su correspondiente va-lor f (x), con esto se identifican los puntos en el plano y se unen con una curva suave,como lo indica la figura.

x f (x)

0 0

0.5 -3.28

1 -3

1.5 0.62

2 8.92

2.5 30.04

3 52.75

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0X

-4

-2

2

4

6

8

Y

2.5

Realizar la gráfica de la función g (x) = x −2

x2 −x −2+ 1

x.

Solución .El dominio de esta función (−∞,−1)∪(−1,0)∪(0,∞). Para realizar la gráfica, en este caso,debemos dar al menos 3 valores en cada intervalo.

x f (x)

-4 -0.58

-3 -0.83

-2 -1.5

-0.8 3.75

-0.5 0

-0.2 -3.75

1 1.5

2 0.83

3 0.58

-3 -2 -1 1 2 3X

-5

5

Y

A las líneas punteadas verticales en los puntos x =−1,0 se les conoce como asíntotas1.

2.2.3 Rango de una función real

Como se puede apreciar en la figura 2.1 inciso c), una función no necesariamente cubre a todoel codominio, pueden existir una cantidad de puntos dentro del segundo conjunto que no esténrelacionados con ningún elemento del primero. Dentro del estudio de funciones nos interesan

1En geometría, línea recta que prolongada indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva sin llegarnunca a encontrarla.

37

2.2 Dominio, gráfica y rango de una función real Cálculo Diferencial.

aquellos elementos que son el resultado de aplicar la función a un elemento del dominio, esteconjunto recibe un nombre especial.

Definición 2.3 Rango e imagen de una función

Al elemento y del codominio, que corresponde a un elemento seleccionado en el domi-nio X , se denomina, imagen de x o valor de la función en x y se escribe como f (x). Elconjunto de elementos formado por todas las imágenes de los correspondientes valoresen X se llama rango de la función.

Y

X

Imagen de x

Dominio

x

f(x)

Rango

Codominio

f

Figura 2.2. Relación entre Dominio, rango e imagen de una función

Un método algebraico para determinar el rango de una función f (x), consiste en lo siguiente:

Pasos para encontrar el rango de una función.

P.1) Se escribe la función f (x) como y = f (x).

P.2) Se despeja x de la ecuación anterior para obtener x = g (y) a.

a) El dominio de x = g (y) es igual a la imagen de y = f (x).

b) El dominio de y = f (x) es igual a la imagen de x = g (y).

aEsta ecuación, no siempre representa una función, en la sección 2.5 se indicará que condiciones debede cumplir f (x) para que g (y) sea función, en caso de serlo se le conoce como función inversa.

2.6

Determinar el rango de la función f (x) = x −3

x +1+1.

Solución .

Escribimos y = x −3

x +1+1, para despejar x, multiplicamos la ecuación por el denominador

y(x +1) = x −3+ (x +1)

enseguida se desarrollan ambos lados de la igualdad y se pasan todos los términos con x

38


del lado izquierdo

y x −2x =−3+1− y ⇒ x(y −2) =−2− y

finalmente, tenemos que x = −2− y

y −2, el dominio aquí es {y ∈ R : y 6= 2} que es igual a la

imagen de la función f (x).

Observación

En algunas ecuaciones resulta muy complicado hacer el despeje, incluso en ocasiones eshasta imposible realizarlo, por lo que es recomendable tomar en cuenta otros métodospara esos casos.

Dada una función real, el rango se puede determinar usando un método gráfico, es decir apli-cando lo que se conoce como prueba de la línea horizontal, y que consiste en lo siguiente; setoma un valor de y arbitrario y se traza una recta horizontal infinita, si esta línea toca a la gráfi-ca en algún punto, entonces este valor de y pertenece al rango de f , en caso contrario no formaparte de las imágenes de f .

2.7

Determinar el rango de la función f (x) = 3x2 −2x +1.

Solución .Al graficar esta función y tra-zar lineas horizontales, pode-mos observar que a partir de

y = 2

3hacia arriba, cualquier lí-

nea horizontal toca a la gráfica,mientras que por debajo de es-te valor ninguna recta horizon-tal la tocará.

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5X

-1

1

2

3

4

5

6

Y

El rango de f es igual a {y ∈R : y ∈[

2

3,∞

)}

2.8

Determinar el rango de la función f (x) = x −2

x +1.

Solución .

39

2.3 Tipos de funciones Cálculo Diferencial.

Podemos observar quela única línea horizontalque no toca a la gráfica esy = 1, fuera de ese valorcualquier línea horizon-tal toca a la gráfica.

-5 5X

-1

1

2

3

Y

El rango de f es igual a {y ∈R : y 6= 1}

2.3 Tipos de funcionesEn esta sección estudiaremos una clasificación de las funciones de acuerdo a su estructura yoperaciones internas que contienen; esto nos ayuda a dividirlas en grupos más pequeños detal forma que su estudio sea más fácil.

2.3.1 Funciones algebraicas

Definición 2.4 Funciones Algebraicas

Una función algebraica es una función que consiste de operaciones como suma, resta,división, multiplicación, raíz o exponentes de expresiones polinómicas.

Dentro de las funciones algebraicas tenemos: funciones polinomiales, racionales, irracionales,valor absoluto y funciones a trozos, a continuación trataremos las características esenciales decada una de ellas.

Funciones polinomiales

Definición 2.5 Funciones polinomiales

Una función polinomial real tiene la forma:

f (x) = an xn +an−1xn−1 +·· ·+a1x +a0

donde los ai son números reales constantes, n ≥ 0.

Algunos ejemplos de funciones polinomiales son las siguientes

f (x) = 5x8 +9x3 −6

g (x) = x8

h(x) = 3

i (x) = 1

3x2 +p

2x

El exponente más alto, que contiene la expresión, determina lo que se conoce como grado dela función polinomial.

40

Funciones2.3 Tipos de funciones Cálculo Diferencial.

Características de una función polinomial.

C.1) El dominio es todo R.

C.2) Si la función es de grado impar, el rango es todo R, cuando es de grado par nuncaserán igual el rango y el contradominio.

C.3) La trayectoria formada por las funciones polinomiales de grado 1,2 y 3 es:

a) De primer grado, corresponde una línea recta. Ver figura 2.3 inciso a).

b) De segundo grado, corresponde una parábola que puede abrir hacia arriba ohacia abajo. Ver figura 2.3 inciso b).

c) De tercer grado, dibuja una curva tipo S. Ver figura 2.3 parte c).

-3 -2 -1 1 2 3X

-3

-2

-1

1

2

3

Y

(a) Primer grado

-2 -1 1 2X

-2

-1

1

2

3

Y

(b) Segundo grado

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5X

-2

-1

1

2

Y

(c) Tercer grado

Figura 2.3. Funciones polinomiales

Funciones Racionales

Definición 2.6 Funciones racionales

Una función de la forma:

f (x) = Pn(x)

Qm(x)= an xn +an−1xn−1 +·· ·+a1x +a0

bm xm +bm−1xm−1 +·· ·+b1x +b0

donde Pn(x) y Qm(x) son funciones polinomiales y Qm(x) 6= 0, es llamada función racio-nal.

Algunos ejemplos de funciones racionales son las siguientes

f (x) = 1

x

g (x) = 5x8 +9x3 −6

x

h(x) = 3x −5

2x −1

i (x) = 1

x2 −p3

En este tipo de funciones, debemos tener cuidado de no hacer cero el denominador pues enese caso, no está definida la función.

41


Características de una función racional.

C.1) El dominio es todo R, excepto los puntos donde se hace cero el denominador.

C.2) El rango se puede obtener a partir de su gráfica, normalmente es todo R y solo lequitamos algunos puntos que se reflejan en asíntotas horizontales.

C.3) Para graficar funciones racionales, debemos considerar lo siguiente:

a) Identificar todos los intervalos que contiene el dominio, quitando los ceros deldenominador.

b) Por cada intervalo asignar al menos tres valores a la variable independiente yevaluar la función en estos valores.

c) Los puntos que hacen cero al denominador forman una asíntota vertical y lagráfica va aproximándose cada vez más a ésta, subiendo o bajando según sutrayectoria pero sin tocarla.

2.9

Dada la función f (x) = 3x−4(x−5)(x+1) . Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.

Solución .Los puntos que hacen cero al denominador son x =−1,5, quitando estos puntos, el do-minio está formado por los intervalos (−∞,−1)∪(−1,5)∪(5,∞). Para graficar asignamospor lo menos 3 valores en cada intervalo, así tenemos

x f (x)

−4 −1627

−3 −1316

−2 −107

0 45

1.5 −0.05

4 −85

6 2

7 1716

8 2027

-5 5 10X

-4

-2

2

4

Y

De la gráfica podemos observar que el rango corresponde a todo R pues la parte de enmedio cubre todo el eje Y .

2.10

Dada la función g (x) = 2x2−1(x−1)(x2−4) . Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.

Solución .Los puntos que hacen cero al denominador son x = −2,1,2, quitando estos puntos, eldominio está formado por los intervalos (−∞,−2)∪ (−2,1)∪ (1,2)∪ (2,∞). Para graficarasignamos por lo menos 3 valores en cada intervalo, así tenemos

42


x g (x)

−5 − 718

−4 −3160

−3 −1720

−1 16

−.5 −0.09

0 −14

1.3 −3.43

1.6 −4.77

1.9 −17.72

3 1710

4 3136

5 712

-6 -4 -2 2 4 6X

-5

5

Y

De la gráfica podemos observar que el rango corresponde a todo R. Aquí las partes de lasorillas cubren todo el eje Y excepto el 0, el cual es cubierto con la gráfica en el intervalode (−2,1).

Funciones Irracionales

Definición 2.7 Funciones Irracionales

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática contiene radicalesde la forma

n√

f (x)

donde f (x) puede ser una función polinomial o racional.

Algunos ejemplos de funciones irracionales son las siguientes

f (x) =px −1

g (x) = 4p

x

h(x) =√

3x −5

2x −1

i (x) = 3p

3x −2

Si el indice de la raíz es impar, la función está definida para todo R, si n es par entonces sólo sedefine para valores positivos del radicando.

43


Características de una función irracional.

C.1) Para obtener el dominio de una función irracional, dividimos en dos casos:

a) Cuando el orden de la raíz n−ésima es par, el dominio consiste de todos losvalores donde f (x) mayor o igual a cero y esté bien definido, es decir, que notenga divisiones entre cero.

b) Cuando el orden de la raíz n− ésima es impar, el dominio será igual a todos losvalores de x para los cuales f (x) esté bien definido.

C.2) El rango generalmente es igual a los reales positivos si n es par, y a todos los realessi es impar, esto considerando que f (x) este definido para todo real.

C.3) Para graficar funciones irracionales, debemos considerar lo siguiente:

a) Identificar el o los intervalos que contiene el dominio.

b) En caso de raíces pares, es recomendable comenzar a asignar valores por elde la variable que hace cero el radicando. Por cada intervalo asignar al menostres valores a la variable independiente y evaluar la función en estos valores.

c) En caso de contener fracciones, los puntos que hacen cero al denominadorforman una asíntota vertical y la gráfica va aproximándose cada vez más aésta, subiendo o bajando según su trayectoria pero sin tocarla.

2.11

Dada la función f (x) =p

x3 −1. Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.

Solución .Resolviendo la desigualdad x3 − 1 ≤ 0 obtenemos que el dominio está formado por elintervalo [1,∞). Para graficar asignamos algunos valores dentro del dominio

x f (x)

1 0

2p

7

3p

26

4 3p

7

5 2p

31

1 2 3 4 5X

2

4

6

8

10

12

Y

De la gráfica se puede observar que el rango corresponde a el intervalo (0,∞) sobre el ejeY .

2.12

Dada la función g (x) = 3√

xx−1 . Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.

Solución .Como es raíz impar, únicamente debemos quitar los puntos que hacen cero al denomi-nador y es x = 1, así el dominio está formado por los intervalos (−∞,1)∪ (1,∞). Para

44


graficar asignamos por lo menos 3 valores en cada intervalo, así tenemos

x g (x)

−3 0.91

−2 0.87

−1 0.79

0 0

2 1.26

3 1.14

4 1.1

-2 -1 1 2 3X

-3

-2

-1

1

2

3

4

Y

De la gráfica podemos observar que el rango corresponde a todo R\ {0}.

Observación

Debemos tener cuidado al usar un graficador para raíces de orden impar, pues normal-mente al calcular el valor de un número negativo, estos toman como resultado la raízprincipal, la cual no es real y por lo tanto omiten una parte de la gráfica.

Función valor absoluto

Para la siguiente función debemos recordar la definición de valor absoluto dada en la sección1.4,

Definición 2.8 Funciones de valor absoluto

La función valor absoluto tiene la forma f (x) = |g (x)|, donde g (x) puede ser funciónpolinomial, racional o irracional.

Algunos ejemplos de funciones con valor absoluto son las siguientes:

f (x) = |x −9|

g (x) = |x3 −x|

h(x) = |9x|

i (x) =∣∣∣∣ 3x

x −2

∣∣∣∣Características de una función valor absoluto

C.1) El dominio de la función f (x) = |g (x)| es exactamente igual al dominio de la funcióninterior, es decir de g (x).

C.2) El rango está compuesto por los valores positivos del eje Y .

C.3) Para graficar una función f (x) = |g (x)| se siguen las reglas de la función g(x).

2.13

Dada la función f (x) = |1−x2|. Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.

Solución .El dominio es todo R pues la función interior es polinomial. Para graficar asignamos al-

45


gunos valores arbitrarios dentro del dominio para obtener

-4 -2 2 4X

2

4

6

8

Y

Claramente el rango corresponde a valores y ∈ [0,∞).

2.14

Dada la función g (x) =∣∣∣∣1−x

x −2

∣∣∣∣. Indicar dominio y rango, además realizar su gráfica.

Solución .El dominio es todo R pues la función interior es polinomial. Para graficar asignamos al-gunos valores arbitrarios dentro del dominio para obtener

-2 -1 1 2 3 4 5X

-1

1

2

3

4

5

6

Y


Funciones por partes

Definición 2.9 Función a trozos

En matemáticas, una función definida a trozos o por partes, es una función cuya reglade correspondencia cambia dependiendo del valor de la variable independiente, es deciresta compuesta de varias funciones en intervalos pequeños.

Este tipo de funciones es muy importante porque permite estudiar más de un comportamientoen una misma función. Algunos ejemplos de estas funciones son:

1. f (x) ={

1, si x<0;2, si x>0;.

2. g (x) ={

x2, si x<0;3x, si x>0;.

3. h(x) ={

x2 −1, si x>2;x3 −1, si x ≤ 2.

46


4. i (x) =

x −1, si x ∈ (−∞,5);|x|, si x ∈ [5,8);2x−5x−4 , si x ∈ [8,∞).

Características de una función a trozos

C.1) El dominio es la unión de cada una de las funciones que la componen.

C.2) El rango es la unión de las imágenes de cada función y se puede obtener a través dela gráfica.

C.3) Para graficar una función se asignan al menos tres valores a cada una de las funcio-nes que la componen.

2.15

Dada la función f (x) ={

x2, si x ≤ 0;1−x, si x > 0.

Indicar dominio y rango, además realizar su

gráfica.

Solución .El dominio es todo R pues la primera función cubre todos los valores positivos, mientrasque la segunda función lo hace con los negativos.

En la gráfica el círculocon relleno significa quela función x2 toma el va-lor de x = 0, mientras queel círculo sin rellenar nosindica que la función 1−x no considera el valorx = 0.

-3 -2 -1 1 2 3X

-4

-2

2

4

Y


2.16

Dada la función h(x) =

2x−5x−2 , si x ∈ (−∞,2);|x|, si x ∈ [2,4);8−x, si x ∈ (4,∞).

Indicar dominio y rango, además reali-

zar su gráfica.

Solución .El dominio es todo R\ {4}, pues cada función esta completamente definida dentro de suintervalo de definición, pero el valor x = 4 no está contemplado. La gráfica correspon-diente es:

47


-1 1 2 3 4 5 6X

-1

1

2

3

4

5

6

Y

De acuerdo a la gráfica el valor más pequeño es y = p3 y corresponde a x = 4, la pri-

mer función cubre todos los valores superiores hasta infinito, por lo que el rango estácompuesto de los valores y ∈ [

p3,∞).

2.3.2 Funciones trascendentes

Otro tipo de funciones aparte de las algebraicas son las funciones trascendentes, es decir fun-ciones que trascienden al álgebra, en el sentido que no puede ser expresada en términos deuna secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación o división depolinomios.

Definición 2.10 Funciones trascendentes

Una función que no es algebraica, es decir no satisface una ecuación polinomial se co-noce como función trascendente.

Dentro de las funciones trascendentes tenemos tres tipos esencialmente; función exponencial,logarítmica y trigonométrica.

Función Exponencial

Una función exponencial se identifica rápidamente porque la variable se encuentra como ex-ponente y no en la base como para las funciones polinomiales.

Definición 2.11 Función exponencial

Una función exponencial tiene la forma f (x) = ax , donde a es cualquier constante.

Una de las funciones exponenciales de gran importancia y muy usual, es la función exponencialnatural

ex donde e = 2.71828183. . .

que es conocida como la función de Euler, en honor al matemático francés del mismo nombreque la propuso. En lo sucesivo nos referiremos como función exponencial a la función de Euler,y sólo de ser necesario usar otra base, se mencionara en el momento.

48


Características de la función exponencial

C.1) El dominio son todos los números reales.

C.2) El rango corresponde sólo a los números reales positivos.

C.3) Esta función, crece muy rápidamente a medida que avanzamos sobre el eje X , porlo que al momento de graficar debemos asignar valores relativamente pequeños a lavariable.

Algunas gráficas que contienen a la función exponencial son:

-� -� -� � ��

�

�

�

�

(a) f (x) = ex

-� -� -� � ��

-�

-�

�

�

�

�

��

(b) h(x) = x +ex

-� -� -� � � ��

-��

-�

�

��

(c) g (x) = x2 −ex

Figura 2.4. Gráficas de funciones exponenciales

Se puede generalizar la función exponencial, en la forma f (x) = eg (x) donde g (x) puede sercualquier expresión algebraica, en este caso el rango y el dominio pueden sufrir modificacionesde acuerdo a la forma y restricciones que tenga g .

2.17

Encontrar el dominio, rango y realizar la gráfica de la función ex−9x2

Solución .

Como el exponente de la fun-ción es polinomial, el dominiosigue siendo todoR, por otro la-do, de la gráfica, se puede ob-servar que el valor máximo dela función es aproximadamen-te 1.28, por lo que el rango es elintervalo (0,1.28).

-� -� � � ��

-��

��

��

��

Funciones Logarítmicas

Recordemos que el logaritmo de un número es el inverso de la exponencial por lo que es deesperarse que la función logaritmo represente a la función inversa de la función exponencial.

Definición 2.12 Funciones logarítmicas

La función logarítmica f (x) = loga x, se identifica como la expresión inversa de la fun-ción exponencial g (x) = ax .

49


Al igual que la función exponencial dentro de las ecuaciones con logaritmos, destacamos lafunción logaritmo natural

loge x = ln x donde e = 2.71828183. . .

Características de la función logarítmica

C.1) El dominio son todos los números reales positivos, sin incluir el cero.

C.2) El rango corresponde a todos los reales.

C.3) Esta función, crece muy lentamente por lo que podemos tomar valores grandes sobreel eje X , sin afectar visualmente la gráfica.

Algunas gráficas características de la función logarítmica son:

� � � � ��

-�

-�

-�

�

�

��

(a) f (x) = ln x

-��

�

�

�

�

�

�

��

(b) h(x) = x2 − ln(x)

� � � � ��

-�

-�

-�

�

��

(c) g (x) = log10(x)

Figura 2.5. Gráficas de funciones logarítmicas

Se puede generalizar la función logarítmica, en la forma f (x) = ln g (x) donde g (x) puede sercualquier expresión algebraica, en este caso el rango y el dominio pueden sufrir modificacionesde acuerdo a la forma y restricciones que tenga g .

2.18

Encontrar el dominio, rango y realizar la gráfica de la función ln

(1

x +1

).

Solución .Como el logaritmo no admite valoresnegativos, el dominio estará consti-tuido por los valores de x que hagan

positiva la expresión1

x +1, y que el

denominador de la fracción sea dis-tinta de cero; los valores que cumplenestas condiciones son, x ∈ (−1,∞).Por otro lado, realizando un análisiscuidadoso de la gráfica, se puede ob-servar que el rango es todo R.

-� � � � � ��

-�

-�

�

�

�

Funciones Trigonométricas

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de ex-tender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

50


Las funciones trigonométricas son de gran importancia en la propia matemática, física, y eninfinidad de aplicaciones en donde se presentan eventos recurrentes o con trayectoria perió-dica.

Definición 2.13 Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del con-cepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferenciaunitaria.

Dentro de las funciones trigonométricas tenemos las siguientes; seno, coseno, tangente, cotan-gente, secante y cosecante.

1.- Seno. Los valores de la función f (x) =sen x, están definidos de acuerdo a la al-tura que alcanza un punto arbitrario Pque se encuentra sobre un círculo unita-rio centrado en el origen, y que forma unángulo x respecto a la horizontal, consi-derando el valor de la función negativa, siel punto se encuentra por debajo del ejeX .

Y

-1

1

1

X

P Sen x

X x

Características de la función Seno

C.1) El dominio corresponde a todos los nú-meros reales.

C.2) El rango corresponde al intervalo[−1,1] sobre el eje Y .

C.3) Para poder realizar una gráfica de estafunción se recomienda dar valores a lavariable x, en términos de π.

-3 π

2-π -

π

2

π

2π

3 π

22πX

-1

1

Y

2.- Coseno. Los valores de la funciónf (x) = cos x, están definidos de acuerdoa la distancia horizontal del origen quealcanza un punto arbitrario P , que se en-cuentra sobre un círculo unitario centra-do en el origen, y que forma un ángulo xrespecto a la horizontal, considerando elvalor de la función negativa, si el puntose encuentra a la izquierda del eje Y .

x

Y

-1

1

1

X

P

Cos x

X

51


Características de la función Coseno

C.1) El dominio corresponde a todos los nú-meros reales.

C.2) El rango corresponde al intervalo[−1,1] sobre el eje Y .

C.3) Para poder realizar una gráfica de estafunción se recomienda dar valores a lavariable x, en términos de π.

-3 π

2-π -

π

2

π

2π

3 π

22πX

-1

1

Y

3.- Tangente. Para encontrar los valores de la función f (x) = tan x, se traza una línea verti-cal en x = 1 y otra que pasa por el origen y un punto arbitrario P , que se encuentra sobreun círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal.

La magnitud del segmento quese forma desde el punto (1,0)hasta el punto de intersecciónde las dos rectas, será el valorde la función tangente, consi-derando este valor negativo sila intersección se produce pordebajo del eje X .

Y

x -1

1

1

X

P

Tan x

X

Características de la función Tangente

C.1) El dominio corresponde a todos losnúmeros reales excepto el conjunto{· · ·− 3π

2,−π

2,π

2,

3π

2· · ·

}C.2) El rango corresponde a todo el eje

Y .

C.3) Para poder realizar una gráfica deesta función se recomienda dar almenos 3 valores por cada intervaloen el dominio, a la variable x.

-3 π

2-π -

π

2

π

2π

3 π

22πX

-1

1

Y

4.- Cotangente. Para encontrar los valores de la función f (x) = cot x, se traza una línea hori-zontal en y = 1 y otra que pasa por el origen y un punto arbitrario P , que se encuentra sobreun círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal.

52


La magnitud del segmento quese forma desde el punto (0,1)hasta el punto de intersecciónde las dos rectas será el valorde la función tangente, consi-derando este valor negativo sila intersección se produce a laizquierda del eje Y .

-1

1

1

X

P

Cot x

X

Y

Características de la función Cotangente

C.1) El dominio corresponde a todos losnúmeros reales excepto el conjunto{· · ·−2π,−π,0,π,2π,3π · · · }

C.2) El rango corresponde a todo el eje Y .

C.3) Para poder realizar una gráfica de estafunción se recomienda dar al menos 3valores por cada intervalo en el domi-nio, a la variable x.

-3 π

2-π -

π

2

π

2π

3 π

22πX

-1

1

Y

5.- Secante. Para encontrar los valores de la función f (x) = sec x, se traza una línea verti-cal en x = 1 y otra que pasa por el origen y un punto arbitrario P , que se encuentra sobreun círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal.

La magnitud del segmento quese forma desde el punto (0,0)hasta el punto de intersecciónde las dos rectas, será el valorde la función secante, conside-rando este valor negativo, si laintersección de las dos rectasqueda en sentido contrario a laposición del punto P .

Sec x

-1

1

1

X

P

X

Y

Características de la función Secante

C.1) El dominio corresponde a todos losnúmeros reales excepto el conjunto{· · ·− 3π

2,−π

2,π

2,

3π

2· · ·

}C.2) El rango corresponde a todo el eje

Y excepto el intervalo (−1,1).

C.3) Para poder realizar una gráfica deesta función se recomienda dar almenos 3 valores por cada intervaloen el dominio, a la variable x.

-3 π

2-π -

π

2

π

2π

3 π

22πX

-1

1

Y

53


5.- Cosecante. Para encontrar los valores de la función f (x) = csc x, se traza una línea verti-cal en y = 1 y otra que pasa por el origen y un punto arbitrario P , que se encuentra sobreun círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal.La magnitud del segmento quese forma desde el punto (0,0)hasta el punto de intersecciónde las dos rectas, será el valorde la función secante, conside-rando este valor negativo, si laintersección de las dos rectasqueda en sentido contrario a laposición del punto P .

x

Csc x

-1

1

1

X

P

X

Y

Características de la función Cosecante

C.1) El dominio corresponde a todos losnúmeros reales excepto el conjunto{· · ·−2π,−π,0,π,2π,3π · · · }

C.2) El rango corresponde a todo el eje Y ,excepto el intervalo (−1,1).

C.3) Para poder realizar una gráfica de estafunción se recomienda dar al menos 3valores por cada intervalo en el domi-nio, a la variable x.

-3 π

2-π -

π

2

π

2π

3 π

22πX

-1

1

Y

Como en los casos anteriores podemos generalizar las funciones trigonométricas medianteoperaciones aritméticas, en estos casos debemos analizar con cuidado los nuevos elementosque contienen tanto el dominio como el rango.

2.19

Dada la función f (x) = cos(6x)e−x + sen x

x, encontrar el dominio, su rango y realizar la

gráfica correspondiente.

Solución .

Tanto la función cos x como la ex-ponencial y el sen x son continuasen todo R por lo que el único pun-to que debemos quitar al dominioes el valor x = 0. Por otro lado si seprolonga la gráfica hacia el lado iz-quierdo se podría observar que elrango es todo el eje Y .

-π

3π 2π 3π

X

-2

-1

1

2

Y

54

Funciones2.4 Funciones inyectivas y suprayectivas Cálculo Diferencial.

Actividad Complementaria

Con la ayuda de algún software, realiza las gráficas de f (x) = 4sen x cos x, g (x) = x tan x,h(x) = csc x +2tan x y ecos x , además indica su dominio y rango.

2.4 Funciones inyectivas y suprayectivasDentro del conjunto de funciones, existen dos características importantes que permiten traba-jar a las funciones de una manera más eficaz, estas propiedades son las siguientes

Definición 2.14 Clasificación de funciones

De acuerdo a su regla de asociación, se dice que:

Una función es inyectiva o función 1 a 1, si cada elemento distinto del dominioesta relacionado con uno diferente del codominio.

Una función es suprayectiva si todos los elementos del codominio están relacio-nados.

Una función es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Una función deja de ser inyectiva si dos elementos del dominio se relacionan con unodel contradominio.

Una función es suprayectiva si la imagen es igual al contradominio.

2.20

En cada una de las siguientes funciones, indica si es inyectiva, suprayectiva o ambas,considera a todo R como contradominio, además explica el porque de cada respuesta.

1. f (x) = 5 2. g (x) = x 3. f (y) =py

Solución .De acuerdo a la definición

1. No es inyectiva; todos los elementos del dominio están relacionados con el 5, tam-poco es suprayectiva pues el rango esta formado por el 5 y el contradominio estodo R.

2. Es inyectiva; cualesquiera dos reales distintos en el dominio tienen resultado dife-rentes en el contradominio, también es suprayectiva pues los resultados cubren atodo R, en consecuencia es biyectiva.

3. Es inyectiva, observemos que se considera únicamente los resultados positivos dela raíz, en caso contrario no sería función, no es suprayectiva pues el rango, nocubre a los negativos.

55

2.5 Funciones inversas e implícitas Cálculo Diferencial.

Actividad complementaria

En cada una de las siguientes funciones, indicar si es inyectiva, suprayectiva o ambas,considera a todo R como contradominio.

1. p(h) = 1h

2. f (a) = 2a2 −3

3. h(x) = 1px2+3

4. g (x) = ln x

5. j (x) = cos x

6. r (x) = exp x

Normalmente aunque muchas relaciones no son funciones, se consideran como tal, para estose modifica el dominio y/o contradominio quitando aquellos elementos debido a los cuales laregla de asociación deja de ser función, por ejemplo para la función logaritmo natural que ya secomento no es función, si modificamos el dominio tomando únicamente los valores positivos,se convierte en función.

Observación

En la práctica cuando se habla de una función, se entiende de antemano que el dominioesta definido de tal forma que cumpla con las reglas de función.

Una forma fácil de identificar cuando una función es inyectiva o suprayectiva es graficar dichafunción y trazar líneas horizontales, teniendo en cuenta lo siguiente:

Una función no es inyectiva si se encuentra una línea horizontal que toque a la gráfica endos o más puntos.

Una función no es suprayectiva si se encuentra una línea horizontal que no toque a lagráfica en ningún punto.

2.21

Identificar gráficamente si la función f (x) = x4+x2−4 es inyectiva, suprayectiva o biyec-tiva.

Solución .La función no puede ser su-prayectiva porque existe al me-nos una línea horizontal (roja)que no toca la gráfica, tampocopuede ser inyectiva, pues tam-bién podemos mostrar una rec-ta horizontal (azul) que la tocaen dos puntos.

-3 -2 -1 1 2 3X

-6

-4

-2

2

4

6

Y

2.5 Funciones inversas e implícitasEl hecho de conocer cuando una función es inyectiva, nos permite identificar si ésta tiene fun-ción inversa, para comenzar veamos la siguiente definición.

56

Funciones2.5 Funciones inversas e implícitas Cálculo Diferencial.

Definición 2.15 Función inversa

Sea f : X → Y una función real biyectiva. Entonces, la función recíproca o inversa de f ,denotada como f −1, es la función f −1 : Y → X con imagen igual al conjunto X definidapor la siguiente regla:

f −1(y) = x si y sólo si f (x) = y

gráficamente tenemos el siguiente diagrama

𝑓−1(5) =3

𝑓−1

𝑓

𝑓(3) = 5

B A

1

4

2

3

6 5

7

9

8 6

8 7

5 4

3 2

1

Aunque la función inversa f −1 únicamente esta definida si la función f es inyectiva, si es po-sible que f no sea suprayectiva, en este caso el dominio de la función inversa f −1 será única-mente el rango de la función f .Para obtener la función inversa debemos considerar f (x) = y , y despejar x de la ecuación resul-tante.

2.22

Obtener la función inversa de la función g (x) = 3x2 −18x +18

Solución .Consideramos la ecuación y = 3x2 −18x +18, luego para despejar x, escribimos

3(x2 −6x +6) = y

enseguida completamos un trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis y factori-zamos

3(x2 −6x +9−3) = y es decir 3((x −3)2 −3

)= y

luego, pasamos el primer 3 dividiendo y el segundo sumando

(x −3)2 = 1

3y +3

finalmente

x =√

1

3y +3+3

El dominio de la función inversa f −1 corresponde a el rango de la función f , mientras que elrango de f −1 es el mismo que el dominio de f .

57

2.5 Funciones inversas e implícitas Cálculo Diferencial.

2.23

Dada la función f (x) = x −2

1−x+3, obtener su inversa así como el dominio, rango y gráfica

de ambas funciones.

Solución .Para obtener f −1(y) despejamos x de la función original, considerando f (x) = y , es decir

y = x −2

1−x+3 o sea y −3 = x −2

1−x

luego multiplicamos por el denominador

(1−x)(y −3) = x −2 y desarrollando y −3−x y +3x = x −2

pasamos todos los términos que contienen x del lado izquierdo

−x y +3x −x = 3− y −2 es decir x(2− y) = 1− y

por lo que f −1(y) = 1− y

2− y. El dominio de f es igual a el conjunto {x ∈R : x 6= 1} por lo que

el rango de f −1es este mismo conjunto. Por otro lado el dominio de f −1 es {x ∈R : x 6= 2}que es igual al rango de f . Las gráficas correspondientes a estas funciones son:

-5 5 10X

-6

-4

-2

2

4

6

Y

-4 -2 2 4 6X

-5

5

Y

En ocasiones debido a ciertas situaciones es importante expresar nuestras funciones en térmi-nos de las dos variables, en la forma f (x, y) = 0, en vez de despejar alguna variable como en loscasos anteriores, este tipo de expresión recibe un nombre especial

Definición 2.16 Función implícita

Una función implícita es aquella en donde no esta despejada ninguna de las dos varia-bles, y se denota en la forma f (x, y) = 0. en el caso que se despeje una de las dos variables,se conoce como función explicita y se escriben en la forma y = f (x) o x = f (y).


Dadas las siguientes funciones implícitas convertirlas en explícitas o indicar si esto no esposible.

58

Funciones2.5 Funciones inversas e implícitas Cálculo Diferencial.

1. x2 y3 +7x y3 −3 = 0

2. cos(x y)+1 = 0

3. ex y + y2 −5 = 0

4. x2 + y2 = 5x y

5. x2 −3x = 3y3 −7y

6. cos(x + y) = y

La utilidad de las funciones implícitas radica en el hecho de que existen expresiones matemá-ticas que son muy complicadas para despejar cualquier variable de ella por lo que trabajar coneste tipo de funciones pueden evitar tal dificultad.

2.5.1 Funciones pares e impares

En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones puedenser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen unaserie de relaciones particulares de simetría, con respecto a los ejes cartesianos. Las funcionespares e impares son importantes en muchas áreas del análisis matemático, especialmente enla teoría de las series de potencias y series de Fourier.

Definición 2.17 Paridad de funciones

Dada una función f : X → Y , decimos que

Una función es par si se cumple que f (−x) = f (x)

Una función es impar Cuando f (−x) =− f (x)

Si no se cumple ninguna de las dos relaciones anteriores, decimos que la función notiene paridad.

2.24

De las siguientes funciones determina cuales son pares, impares o si no tienen paridad.

1. f (x) = x2 +4

2. f (x) = cos x

3. f (x) = sin x

4. f (x) = 2x−5x3

tan x

5. f (x) =p

1−x2 +|x|

6. f (x) = ln x, x ≥ 0

Solución .De acuerdo a la definición anterior

1. Es par, pues f (−x) = (−x)2 +4 = x2 +4 = f (x).

2. Es par, pues f (−x) = cos(−x) = cos x = f (x).

3. Es impar, pues f (−x) = sin(−x) =−sin x =− f (x).

4. Es impar dado que f (−x) = 2(−x)−5(−x)3

tan.(−x) = −2x+5x3

− tan x =−2x−5x3

tan x =− f (x).

5. Es par ya que f (−x) =√

1− (−x)2 +|−x| =√

1− (x)2 +|x| = f (x).

6. No tiene paridad dado que f (−x) = ln(−x) y esta función no esta definida paravalores negativos, por lo tanto es diferente de f (x) y también de − f (x).

59

2.6 Operaciones con funciones Cálculo Diferencial.

Propiedades de la paridad de funciones

P.1) Una función f (x) = xn es par si n es un entero par, es impar si n es un entero impar.

P.2) La suma de una función par y una impar no es ni par ni impar, a menos de que unade las funciones sea el cero.

P.3) La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una función pares par.

P.4) La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constantede una función impar es impar.


Clasificar las siguientes funciones como pares e impares o sin paridad.

1. f (x) = ex cos x

2. f (x) = x2 −5

3. x3 −x2 +5x −2

4. f (x) = x + sin x

5. f (x) = 4

6. f (x) = x9 −x7 + 3p

x3 −4x

2.6 Operaciones con funcionesUna vez conocidas las propiedades y características más importantes de las funciones, pue-den realizarse algunas operaciones entre ellas, para esto, se definen las operaciones básicas,basadas en las operaciones fundamentales de los números reales.

Definición 2.18 Operaciones entre funciones

Sean f , g : X → Y dos funciones reales, definimos las operaciones básicas entre ellas, dela siguiente manera:

Suma ( f + g )(x) = f (x)+ g (x)

Resta ( f − g )(x) = f (x)− g (x)

Multiplicación ( f g )(x) = f (x)g (x)

División(

f

g

)(x) = f (x)

g (x) , para g (x) 6= 0

Composición ( f ◦ g )(x) = f (g (x))

Observación

Para que la operación entre funciones tenga sentido es necesario que ambas funcionesestén definidas sobre el mismo dominio.

60

Funciones2.6 Operaciones con funciones Cálculo Diferencial.

2.25

Considerando las siguientes funciones f (x) = 3x2 −5 y g (x) = x2 +1, encontrar:

1. ( f + g )(x)

2. ( f g )(x)

3.(

fg

)(x)

4. ( f ◦ g )(x)

Solución .De acuerdo a la definición tenemos:

1. ( f + g )x = f (x)+ g (x) = (3x2 −5)+ (x2 +1) = 4x2 −4.

2. ( f g )x = f (x)g (x) = (3x2 −5)(x2 +1) = 3x4 −2x2 −5.

3.

(f

g

)x = f (x)

g (x)= 3x2−5

x2+1 .

4. ( f ◦ g )x = f (g (x)) = f (x2 +1) = 3(x2 +1)2 −5 = 3x4 +6x2 −2.


Considerando las siguientes funciones f (x) =p

x3 −1 y g (x) = x2

x2 +2, encontrar:

1. ( f − g )(x)

2. ( f g )(x)

3.(

fg

)(x)

4.(

gf

)(x)

5. ( f ◦ g )(x)

6. (g ◦ f )(2)

Como una aplicación geométrica, podemos usar estas operaciones para obtener gráficas defunciones complejas mediante la suma multiplicación o composición de funciones más senci-llas, a este método de obtener gráficas se le conoce como transformación de funciones.Si a una función f (x) se le suma otra función constante g (x) = c, la gráfica de f (x)+ c corres-ponde a:

La gráfica de f (x) recorrida c veces hacia arriba si c es positiva.

La gráfica de f (x) recorrida c veces hacia abajo si c es negativa.

Si una función f (x) se compone con otra función g (x) = x + c, la gráfica de f (g (x)) = f (x + c)corresponde a:

La gráfica de f (x) recorrida c veces a la izquierda si c es positiva.

La gráfica de f (x) recorrida c veces a la derecha si c es negativa.

2.26

Realizar la gráfica de la función g (x) = (x +2)3 −5, a partir de la gráfica de f (x) = x3.

Solución .Primero realizamos la gráfica de f (x) = x3, enseguida componemos con la funciónh(x) = x + 2 para obtener f (h(x)) = (x + 2)3, lo que indica que debemos recorrer dos

61

2.7 Sucesiones Cálculo Diferencial.

unidades a la izquierda, finalmente le restamos la constante −5 con lo que tendremosg (x) = (x +2)3 −5, es decir recorremos 5 unidades hacia abajo la gráfica.

x3

-4 -3 -2 -1 1 2X

-3

-2

-1

1

2

3

Y

(x+ 2)3

-4 -3 -2 -1 1 2X

-3

-2

-1

1

2

3

Y

(x+ 2)3 - 1

-4 -3 -2 -1 1 2X

-3

-2

-1

1

2

3

Y

En algunas ocasiones debemos hacer un poco más de trabajo para poder realizar una transfor-mación de funciones.

2.27

Realizar la gráfica de la función g (x) = x2−4x+6, iniciando con una gráfica que permitahacer una transformación de funciones.

Solución .En este caso debemos factorizar la expresión g (x) = x2−4x+6 = (x−2)2+2, así notamosque la gráfica de f (x) = x2 debe ser la inicial, luego componemos con la función h(x) =x−2 para obtener f (h(x)) = (x−2)2, lo que indica que debemos recorrer dos unidades a laderecha, finalmente le sumamos la constante 2 con lo que tendremos g (x) = (x −2)2 +2,es decir recorremos 2 unidades hacia arriba la gráfica.

x2

-2 -1 1 2 3 4X

-1

1

2

3

4

5

Y

(x - 2)2

-2 -1 1 2 3 4X

-1

1

2

3

4

5

Y

(x - 2)2 + 2

-2 -1 1 2 3 4X

-1

1

2

3

4

5

Y


Realizar las gráficas f (x) = 2+cos(x −1), g (x) = 1+ 1x usando la gráfica inicial adecuada.

2.7 SucesionesHasta este momento se ha definido para el dominio y codominio de una función, al conjuntode los números reales, sin embargo existen algunos otros conjuntos de interés sobre los cualespueden estudiarse algunos aspectos. Uno de estos conjuntos es el de los números enteros, Z.

Definición 2.19 Sucesiones

Considerando la función f : Z→ Z, se le denomina sucesión o secuencia a la siguientecadena de números · · · f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (2), · · ·

Una vez definida la función, en realidad se tiene una sucesión de números enteros la cual es demucha utilidad en la vida diaria, para obtener esta sucesión basta con evaluar la función sobrelos números enteros.

62

Funciones2.7 Sucesiones Cálculo Diferencial.

2.28

Encontrar los 7 primeros términos, comenzando con n = 0, para las sucesiones corres-pondientes a las funciones

1. f (n) = n +2,

2. h(n) = (−1)n(n −2).

Solución .Para esto, sólo debemos evaluar cada función

1. f (0) = 2, f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 5, f (4) = 6, f (5) = 7, f (6) = 8 por lo que la sucesiónes 2,3,4,5,6,7,8.

2. f (0) = −2, f (1) = 13, f (2) = 0, f (3) = −1, f (4) = 2, f (5) = −37, f (6) = 4 por lo que lasucesión es −2,13,0,−1,2,−37,4.

Un problema quizá un poco más complicado es obtener la función correspondiente a una su-cesión de números dada, para poder obtener dicha función debemos tratar de descubrir lasoperaciones que se pueden hacer para obtener un número a partir del anterior, normalmenteson operaciones básicas.

2.29

Dada la tabla de valoresf (0) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5)

0 2 6 12 20 30Escribir la función co-

rrespondiente para esta sucesión y encontrar los valores de f (6) y f (25).

Solución .Observemos

f (1) = 2 = 1x2

f (2) = 6 = 2x3

f (3) = 12 = 3x4

f (4) = 20 = 4x5

es decir, la regla que se usa es que la función regresa el mismo número multiplicado porel sucesivo de éste, o sea f (n) = n(n+1). Para encontrar los valores pedidos solo hay queevaluar en la función:

1. f (6) = 6(6+1) = 42

2. f (25) = 25(25+1) = 650

2.30

Dada la tabla de valoresf (0) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5)

1 0 3 2 5 4Escribir la función co-

rrespondiente para esta sucesión y encontrar los valores de f (6) y f (10).

Solución .

63


Observemos que

f (0) = 1 = 0+1

f (1) = 0 = 1−1

f (2) = 3 = 2+1

f (3) = 2 = 3−1

f (4) = 5 = 4+1

es decir, la regla que se usa es que le sumamos un uno, si el número a evaluar es par,y le restamos uno si es impar, por lo que la función la podemos escribir como f (n) ={

n +1 si n es par,n −1 si n es impar.

. Para encontrar los valores pedidos solo hay que evaluar en la

función:

1. f (6) = 6+1 = 7

2. f (10) = 10+1 = 11


Dadas las tablas de valores

1.f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5)

−4 −2 0 2 4 6

2.f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5)

0 8 27 64 125 216

Encontrar la función correspondiente y evaluarla en n = 8,10.


1.• Identificar si las siguientes relaciones que van de R a R, son funciones o no, en caso de noser función decir que condición falla.

a.• f (x) = 1x2

b.• f (x) = ex

c.• f (x) = 3x−5x2−1

d.• g (x) =p

x2 +x +1

e.• f (x) =p

2x−43x−6

f.• h(x) = x2−4(x−4)(x−3)(x−2)

g.• g (x) = ln[x −2]

h.• f (x) = 1+xex

i.• h(y) = tan y

j.• g (x) =p

x −x3 +x2 −5

2.• Encontrar el dominio de cada una de las relaciones de tal forma que sean funciones ydecidir si son inyectivas, suprayectivas o ambas, considerando que el contradominio es todoR.

a.• f (x) = 3x−5x2−1

b.• g (x) =p

x2 +x +1

c.• f (x) =p

2x−43x−6

d.• h(x) = x2−4(x−4)(x−3)(x−2)

64

Funciones2.8 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.

e.• g (x) = ln[x −2]f.• f (x) = 1+x

ex

g.• h(y) = tan yh.• g (x) = csc x

i.• g (x) =p

x −x3 +x2 −5

j.• g (x) =px

k.• g (x) = |x|

3.• Graficar cada una de las siguientes funciones.

a.• f (x) = 3x−5x2−1

b. g (x) =p

x2 +x +1

c. h(x) = x2−4(x−4)(x−3)(x−2)

d. g (x) = ln[x −2]e. f (x) = x

sin x

4.• Encontrar la inversa de las siguientes funciones (si la tienen) y encontrar el dominio eimagen de la inversa.

a.• f (x) = ex+2

b.• f (x) = 1−xx+4

c.• f (x) = 15x2+3x−45x−2 −3x

d.• 1−ex

2+ex +5e.• f (x) = 2x +1f.• f (x) = 2x−3

4

g.• f (x) = x+3x−2 +5

h.• f (x) = 2x+3x−1

i.• f (x) = x2

j.• f (x) = 1x

k.• f (x) = 3p

x −1

l.• f (x) = 12x−1

5.• Sean f (x) = 5x2 −3, g (x) = x3 y h(x) =px encontrar:

a.• f + g

b.• f −h

c.• f + g −h

d.• 5 f g

e.• f +gh

f.• f ◦ g

g.• g ◦ f

h.• h ◦ g ◦ f

6.• Sean f (x) = x−1x+2 , g (x) = 1

x y h(x) = 1−x3−x encontrar:

a.• f + gb.• f

gc.• f · gd.• f −he.• g ·hf.• f

g +h

g.• hf − g

h.• h(2)− f (1)g (3)

i.• f (x +1) · 1h(x+1)

j.• h − g

k.• hg − g

f

l.• f ·h − g

m.• f +hg

n.• 1g+h

ñ.• 11−h

7.• Determinar: 1) f ◦ g , 2) g ◦ f , 3) f ◦ f , 4) g ◦ g para las siguientes funciones.a.• f (x) =p

x, g (x) = x2

b.• f (x) = x2 +2x +1, g (x) =px −1

c.• f (x) = x−1x+3 , g (x) = 1

xd.• f (x) = log(x −2), g (x) = x −2

e.• f (x) =√

x2−1x2+1 , g (x) =

√x+1x−1

8.• Indica si f es par, impar o ninguna para las siguientes funciones.

65


a.• f (x) = x4 −2x2

b.• f (x) = x2−1x2+1

c.• f (x) = 3x5 −2xd.• f (x) =

px2 +x4

e.• f (x) = x3−2xx3

f.• f (x) = x3 +cos x +px

g.• f (x) = 3p

x2 +5x −2

673 Límites y continuidad

En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una fun-ción, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.En cálculo, este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia,continuidad, derivación, integración, entre otros.


Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente lacontinuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferen-tes tipos de discontinuidad.


Proponer una sucesión de tipo geométrico o una progresión aritmética o geométrica ydeterminar el valor al que converge la sucesión cuando la variable natural tiende a infi-nito.

Extrapolar el concepto de límite de una función de variable natural al de una función devariable real.

Calcular de manera práctica el límite de una función (sustituyendo directamente el valoral que tiende la variable).

Calcular el límite de una función utilizando las propiedades básicas de los límites.

Plantear una función que requiere para el cálculo de un límite, el uso de límites laterales.

Identificar límites infinitos y límites al infinito.

Reconocer a través del cálculo de límites, cuándo una función tiene asíntotas verticalesy/o cuándo asíntotas horizontales.

Plantear funciones donde se muestre analítica y gráficamente diferentes tipos de discon-tinuidad.

68

Límites

ycontinuidad

3.1 Límite de una sucesión Cálculo Diferencial.

3.1 Límite de una sucesiónEl límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mis-mo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un puntollamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que lasucesión converge o tiende al valor del límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.Una forma simple de ejemplificar el concepto de límite consiste en encontrar el área de uncírculo, inscribiendo polígonos regulares dentro de este, como se muestra a continuación:

(a) A3 (b) A4 (c) A5 (d) A10

· · ·(e) Círculo

si denotamos como An el área del polígono inscrito de n lados. Al aumentar el valor de n, An seaproxima al área del círculo. Por lo que el área del círculo se puede definir como:

Acír cul o = lımn→∞ An

Formalmente tenemos la siguiente definición para límites.

Definición 3.1 Límite de una sucesión

Una sucesión {xn} tiene límite L , si cuando n tiende a ∞, la sucesión {xn} se aproxima aL. su expresión matemática es la siguiente:

lımn→∞xn = L o simplemente escribimos xn → L

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximantanto como queramos al valor límite.

Observación

El hecho de que siempre existan elementos cercanos a un valor no implica en generalque la sucesión tenga un límite, para ésto es necesario que todos los valores se acerquena dicho valor .

Para familiarizarnos más con el tema de límites veamos como se comportan las siguientes ex-presiones en donde se va incrementando el valor de n ∈N de manera indefinida. Observe queel resultado puede ser un número fijo, tender a infinito u oscilar entre dos o más números.

3.1

Encontrar el límite cuando n tiende a infinito, o indicar si no existe, para la sucesiónnp

2n.

Solución .Evaluando algunos valores de n, tenemos

69

3.2 Límite de una función real Cálculo Diferencial.

1. 1p

2(1) = 2

2. 2p

2(2) = 2

3. 3p

2(3) ≈ 1.8171

4. 5p

2(5) ≈ 1.5849

5. 10p

2(10) ≈ 1.34928

6. 100p

2(100) ≈ 1.05441

7. 1000p

2(1000) ≈ 1.00763

Observemos que conforme el valor de n es más grande, la sucesión se acerca a 1, peronunca va a pasar del uno debido a que la raíz de un número mayor que uno nunca dacomo resultado algo menor que uno, por lo tanto, podemos concluir que lım

n→∞np

2n = 1.

En algunas ocasiones la sucesión no se aproxima a ningún valor, como lo muestra el siguienteejemplo.

3.2

Encontrar el límite cuando n tiende a infinito, o indicar si no existe, para la sucesión(−1)n .

Solución .Recordemos que n puede tomar números desde 1 hasta ∞, así dando los valores n =1,2,3,4,5,6,7. . . tenemos los resultados

1. (−1)1 =−1

2. (−1)2 = 1

3. (−1)3 =−1

4. (−1)4 = 1

5. (−1)5 =−1

6. (−1)6 = 1

7. (−1)7 =−1

es decir tenemos la sucesión −1,1,−1,1,−1,1,−1 · · · , este comportamiento es de formainfinita, por lo que no se acerca a ningún valor fijo, en consecuencia la sucesión no tienelímite.


Encontrar el límite cuando n tiende a infinito, o indicar si no existe, para las sucesiones

1. 1n 2. 1+n

n 3. n2

n+1

3.2 Límite de una función realEn análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similara la de límite de una sucesión en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalose van aproximando a un punto fijo c, independientemente de que éste pertenezca al dominiode la función.

Definición 3.2 Límite de una función real

Sea f :R→R una función real, si el valor de f (x) se acerca a L, cuando x esta muy próxi-mo de C . Decimos que el límite de la función f (x) es L cuando x tiende a c, y se escribe

lımx→c

f (x) = L

70

Límites

ycontinuidad

3.3 Método gráfico Cálculo Diferencial.

El límite de una función en un punto x1 existe si y solo si cuando nos aproximamos por laizquierda, o por la derecha, la función f (x) se aproxima al mismo valor, esto es

lımx→x−

1

f (x) = lımx→x+

1

f (x) = lımx→x1

f (x).

Este tipo de límites se conocen como Límites Laterales y a diferencia de los límites de sucesio-nes aquí es muy importante cuidarnos de analizar que se cumpla esta igualdad pues en casocontrario el límite de la función no existe.

El análisis de un límite puede llevarse a cabo a través de varias técnicas, en este texto estudia-remos el método gráfico, el método numérico y el algebraico.

3.3 Método gráficoImplica el análisis gráfico de la función empleada en el límite. Este método no es muy exactodebido a la necesidad de realizar gráficas y evaluarlas visualmente, sin embargo con un pocode práctica se puede garantizar un resultado bastante real.

Pasos para encontrar un límite mediante gráficas

1) Realizar cuidadosamente la gráfica de la función.

2) Identificar el valor de la función f (x), cuando x se acerca a c, tanto por la izquierda,como por la derecha pues éste, será el valor del límite en caso de que se aproximenal mismo valor.

3) Si en x = c la gráfica tiene una asíntota, entonces el límite es igual a infinito si lagráfica se aproxima a esta asíntota con valores positivos tanto por la izquierda comopor la derecha, o menos infinito si se aproxima con valores negativos, en caso deque por un lado se aproxime positivamente y por el otro en forma negativa, el límitecuando x tiende a c no existe.

4) Si en x = c la gráfica presenta un salto, entonces el lımx→c

f (x) no existe.

3.3

Encuentra los valores que se piden para la función f (x) representada por la gráfica.

-3 -2 -1 1 2 3X

-3

-2

-1

1

2

3

4

Y

1. f (0)

2. f (1)

3. f (2)

4. lımx→0

f (x)

5. lımx→1

f (x)

6. lımx→2

f (x)

Solución .Recordemos que la circunferencia indica que no existe el valor de f (x) en esa posición yel círculo negro indica que si contiene el valor de f (x).

71

3.4 Método numérico o tabular Cálculo Diferencial.

1. f (0) = 0

2. No existe

3. f (2) =−1

4. lımx→0

f (x) = 0

5. lımx→1

f (x) = 1 pues acercándonos al 1 en X por la izquierda, f (x) se acerca a 1 en Y ,

al igual que cuando nos aproximamos por la derecha.

6. No existe, el valor de f (x) es distinto si nos acercamos por la derecha o por la iz-quierda.

En algunos casos la gráfica puede presentar asíntotas o quedar definida hasta cierto valor de x.En el siguiente ejemplo abordamos estos casos.

3.4

Encuentra los valores que se piden para la función f (x) representada por la gráfica.

-1 1 2 3 4X

-10

-5

5

10

15

20

Y

1. f (1)

2. f (2)

3. f (3)

4. lımx→1

f (x)

5. lımx→2

f (x)

6. lımx→3

f (x)

Solución .Notemos que el dominio de la función es (−∞,3] quitando los puntos x = 1,2.

1. No existe

2. No existe

3. f (3) = 0

4. lımx→1

f (x) =∞, la gráfica se aproxima a la asíntota en +∞ por ambos lados.

5. No existe, el valor de f (x) es −∞ si nos acercamos por la izquierda, mientras quepor la derecha es ∞.

6. lımx→3

f (x) = 0, en este caso no es posible acercarse por la derecha por lo que no se

toma en cuenta su valor.

Observación

todos los límites son aproximaciones, por lo tanto una gráfica puede ser una gran herra-mienta en el cálculo de estos.

3.4 Método numérico o tabularConsiste en evaluar la función del límite con valores cada vez más cercanos al valor del límite,tanto en forma creciente como decreciente. Normalmente es más tardado este tipo de cálcu-

72

Límites

ycontinuidad

3.4 Método numérico o tabular Cálculo Diferencial.

lo sin embargo es muy útil cuando el cálculo algebraico se complica demasiado o no se estaseguro de un resultado.

Pasos para encontrar un límite mediante tabulación

1) Para calcular lımx→c

f (x), debemos realizar dos tabulaciones de valores de x demasia-

do cercanos a c, una con valores más pequeños y otra con valores mayores.

2) Se evalúan todos los valores de x en la función.

3) Si ambas tablas de valores se aproximan hacia el mismo valor, cuando x se acercaa c, este será el valor del límite.

4) Si los valores de f (x) se aproximan a cantidades diferentes, el límite no existe.

3.5

Encontrar el límite de la función g (x) = 3x−5x2

sin x cuando x tiende a cero.

Solución .Observemos que esta función combina una expresión polinomial con una trigonométri-ca, por lo que al evaluar sin x se considera que se esta trabajando con radianes. Ahoradaremos valores arbitrarios a x, acercándonos cada vez más a el cero, pero tomando va-lores menores a éste.

x −5 −1 −0.5 −0.1 −0.01 −0.001

g (x) −41.7134 4.7535 3.6502 3.1051 3.0100 3.001

Enseguida nos acercamos con valores más grandes de cero

x 5 1 0.5 0.1 0.01 0.001

g (x) 10.4284 2.3767 2.6072 2.9048 2.9900 2.999

Como ambas tablas se aproximan a 3 cuando x se acerca a el cero, podemos concluir quelımx→0

3x−5x2

sin x = 3.

Para calcular el límite de una función f (x), cuando x tiende a infinito, damos valores cada vezmayores, en cantidades muy grandes.

3.6

Encontrar el límite de la función f (x) = ln xx cuando x tiende a infinito.

Solución .Damos valores arbitrarios a x cada vez mayores

x 5 10 1200 20,000 15000000

f (x) 0.3218 0.2302 0.0059 0.0004 0.000001

observando los valores que toma f (x) cuando x crece indefinidamente, podemos con-cluir que lım

x→∞ln x

x = 0.

73

3.5 Método algebraico Cálculo Diferencial.

3.5 Método algebraicoAlgebraicamente para calcular el límite de una función normalmente basta con sustituir el va-lor de x en la función por el valor al cual tiende x. Así por ejemplo en las siguientes expresionestenemos

lımx→5

(x3 −3x +1) = 53 −3(5)+1 = 111

lımx→0

(p

x2 +1) =p

02 +1 = 1

lımx→10

(7x2 + ln x) = 7(10)2 + ln10 = 700+ ln10

Sin embargo, existe una gran cantidad de funciones donde este método no será suficiente, porlo que es necesario el uso de una herramienta más profunda, para esto debemos conocer comose comportan los límites al aplicarlos a diferentes funciones.

3.5.1 Propiedades algebraicas de límites con funciones algebraicas

Antes de trabajar con límites debemos conocer sus propiedades básicas. Es importante que enun principio se escriban paso a paso estas propiedades con el objeto de no crear malos hábitos,ya con la práctica se pueden ir obviando algunos pasos.

Propiedades de límites con funciones algebraicas

Considera f (x), g (x) funciones continuas y k,c constantes:

1) lımx→c

k = k

2) lımx→c

x = c

3) lımx→c

(k f (x)

)= k lımx→c

f (x)

4) lımx→c

[ f (x)+g (x)] = lımx→c

f (x)+ lımx→c

g (x)

5) lımx→c

[f (x)g (x)

]= lımx→c

f (x) lımx→c

g (x)

6) lımx→c

[f (x)g (x)

]=

lımx→c

f (x)

lımx→c

g (x)

7) lımx→c

(f (x)

)g (x) = lımx→c

f (x)lımx→c

g (x)

Además, cuando tenemos funciones compuestas si se cumple que

lımx→c

g (x) = L y lımg (x)→L

f (x) = K

entonces

lımx→c

f(g (x)

)= K .

3.7

Usar las propiedades para calcular el límite de la función f (x) = (p

x2 +4)+ (3x2 −3)(5x)cuando x tiende a cero:

Solución .Por la propiedad 4 de los límites tenemos

lımx→0

[(√

x2 +4)+ (3x2 −3)(5x)] = lımx→0

(√

x2 +4)+ lımx→0

(3x2 −3)(5x)

74

Límites

ycontinuidad

3.6 Límites al infinito y límites infinitos Cálculo Diferencial.

Luego usando la propiedad 5, para el segundo límite

lımx→0

(√

x2 +4)+ lımx→0

(3x2 −3) lımx→0

(5x)

y sustituyendo los valores en cada expresión

(√

02 +4)+ (3(0)2 −3)(5(0)) = 2+ (−3)(0) = 2.

3.8

Calcular lımx→5

x8−3x2+2x8−x6 .

Solución .Usando la propiedad 6 para separar en dos límites y sustituyendo, se tiene

lımx→5

x8 −3x2 +2

x8 −x6 = lımx→5(x8 −3x2 +2)

lımx→5(x8 −x6)= 58 −3(5)2 +2

58 −56 = 1.0414

3.9

Sean p(x) = x3 −3x2 +6 y q(x) = x2

1−x , encontrar:

1. lımx→−2

ep(x) 2. lımx→3

sen(

p(x)q(x)

).

Solución .Usando la propiedad correspondiente en cada caso, tenemos

1. lımx→−2

ep(x) = e lımx→−2 p(x) = e lımx→−2(x3−3x2+6) = e((−2)3−3(−2)2+6) = 8.315×10−7

2. lımx→3

sen(

p(x)q(x)

)= sen

(lımx→3 p(x)lımx→3 q(x)

)= sen

(lımx→3(x3−3x2+6)

lımx→3

(x2

1−x

))= sen

(33−3(3)2+6

32

1−3

)= 0.972

3.6 Límites al infinito y límites infinitosEn matemáticas el símbolo ∞ se lee infinito y se refiere concretamente a una posición dentrode la recta de los números reales, no representa ningún número real, pero podemos referirnosal infinito como una cantidad numérica más grande que cualquier número real que se puedaimaginar.

A continuación enunciaremos una serie de operaciones junto con su resultado, que están com-pletamente permitidas cuando se trabaja con límites, en estos casos decimos que el límite estacompletamente resuelto.

75

3.6 Límites al infinito y límites infinitos Cálculo Diferencial.

Operaciones permitidas para resolver límites

Consideramos que el valor de la constante c > 0 y diferente de infinito.

1)c

0=∞

2)0

c= 0

3)c

∞ = 0

4)∞c

=∞

5) ∞+∞=∞6) −∞−∞=−∞7) ∞· c =∞8) 1c = 1

9) c0 = 1

10) 0c = 0

11) c∞ =∞, c > 1

11a) c∞ = 0, c < 1

12) ∞c =∞

Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, sedice que tiende a infinito, y si decrece a través de valores negativos, decimos tiende a menosinfinito.

De igual manera, cuando una función crece o decrece indefinidamente, decimos que tiende ainfinito o menos infinito.

Definición 3.3 Límites al infinito

Se conoce como límite al infinito a los límites cuya variable crece indefinidamente hastainfinito, y se denota como

lımx→∞ f (x) = L

Para tener un límite al infinito, no necesariamente L debe ser igual a infinito, de hecho en lamayoría de los casos no es así.

3.10

Resolver los siguientes límites al infinito.

lımx→∞

1+ 2

xx7 +5x5

lımx→∞

23+41/x

Solución .Sustituyendo en cada función y de acuerdo a las propiedades de los límites, tenemos

lımx→∞

1+ 2

xx7 +5x5 =

1+ 2

∞∞7 +5(∞)5 = 1+0

∞+∞ = 1

∞ = 0

lımx→∞

23+41/x = 2

3+41/∞ = 23+40 = 2

3+1 = 12

En algunos casos la expresión crece indefinidamente cuando x → a, este tipo de comporta-miento es normal y en estos casos decimos que el límite tiende a infinito.

Definición 3.4 Límites infinitos

Sea f (x) una función real si:

a) si f (x) crece indefinidamente cuando x tiende a un valor constante c, decimos que

76

Límites

ycontinuidad

3.7 Indeterminaciones Cálculo Diferencial.

f (x) tiende a infinito cuando x se acerca a c y lo denotamos como

lımx→c

f (x) =∞

b) si f (x) decrece indefinidamente cuando x tiende a un valor constante c, decimos quef (x) tiende a menos infinito cuando x se acerca a c y lo denotamos como

lımx→c

f (x) =−∞

Aun cuando no existe el número real infinito, cuando hablamos de límites es propiamentecorrecto decir que el límite existe y es infinito (menos infinito); entendiendo por esto que lafunción crece (decrece) cada vez más a medida que la variable x se aproxima a un valor fijo.

3.11

Resolver los siguientes límites al infinito.

lımx→0

2x5−3x2−2x4−x3 lım

x→∞3x +p

x8 −2

Solución .Sustituyendo en cada función y de acuerdo a las propiedades de los límites, tenemos

lımx→0

2x5 −3x2 −2

x4 −x3 = 2(0)5 −3(0)2 −2

04 −03 = 0−0−2

0−0= −2

0=−∞

lımx→∞3x +

px8 −2 = 3∞+

p∞8 −2 =∞+p∞−2 =∞+∞=∞

3.7 Indeterminaciones

Hasta este momento todos los límites que hemos realizado se obtienen de manera directa, esdecir, sustituyendo el valor de la variable por el número al cual tiende esta variable. Sin embar-go en la mayoría de los límites no es suficiente con sustituir la variable x por el valor hacia elcual tiende, en ocasiones nos enfrentamos con ejercicios que no nos permiten identificar cla-ramente nuestros resultados, éstos se conocen como indeterminaciones y es necesario realizarun poco más de trabajo, dependiendo del tipo de indeterminación para obtener un resultado.

Una indeterminación se genera cuando se forman dos operaciones permitidas en una sola. Lasindeterminaciones más comunes se muestran en la siguiente tabla, aquí es necesario realizartrabajo adicional para saber con certeza nuestro resultado.

77


Indeterminaciones más comunes

Una operación forma una indeterminación si ésta, nos lleva a al menos dos resultadosdistintos mediante la operación de límites permitida.

1) ∞−∞2) ∞·0

3)∞∞

4)0

0

5) 1∞

6) 0∞

7) ∞0

8) 00

En este curso trabajaremos ampliamente estrategias para resolver indeterminaciones del tipo

de división

(0

0,∞∞

)y algunos de resta específicamente, tomando en cuenta que la mayoría de

límites con indeterminaciones se pueden reducir a alguna de estas dos opciones.Observación

Una expresión matemática se considera una indeterminación, si de acuerdo a las reglaspreestablecidas al resolver la operación correspondiente, el resultado puede ser dos re-sultados distintos.

3.7.1 Indeterminación de la forma 00

La expresión 00 se considera una indeterminación, puesto que por un lado al dividir cero entre

cualquier número el resultado debe ser cero; por otro lado cuando se divide cualquier númerosobre cero, el resultado debe ser infinito.

Método para resolver un límite con indeterminación 00

1) Evaluar el valor del límite en la función para estar seguros que tenemos una indeter-minación de este tipo.

2) Simplificar al máximo la fracción, factorizando tanto numerador como denominador.

3) Evaluar el valor del límite nuevamente, si no se ha resuelto la indeterminación, volvera realizar el paso 2.

3.12

Resolver el límite lımx→2

x2−4x2−9x+14

Solución .Obsérvese que

lımx→2

x2 −4

x2 −9x +14= 22 −4

22 −9(2)+14= 0

0,

por lo tanto factorizando todos los términos y simplificando la expresión tenemos

x2 −4

x2 −9x +14= (x −2)(x +2)

(x −7)(x −2)= x +2

x −7,

aplicando nuevamente el límite a la expresión resultante, lımx→2

x +2

x −7= 2+2

2−7=−4

5.

78

Límites

ycontinuidad


3.13


p2x−2

x2−4

Solución .

Obsérvese que lımx→2

p2x −2

x2 −4=

p2(2)−2

22 −4= 0

0. por lo tanto factorizando todos los términos

y simplificando la expresión tenemos

p2x −2

x2 −4=

p2(p

x −p2)

(x −2)(x +2)=

p2(p

x −p2)

(p

x −p2)(

px +p

2)(x +2)=

p2

(p

x +p2)(x +2)

,

aplicando nuevamente el límite a la expresión resultante, tenemos que

lımx→2

p2(p

x +p2)

(x +2)=

p2

(p

2+p2)(2+2)

=p

2

2p

2(4)= 1

8.

Observación

Si el lımx→c

f (x) presenta indeterminación 00 , entonces uno de los factores a eliminar debe

ser (x − c), esto puede ayudar para saber como factorizar.

En algunos casos es más práctico realizar el proceso inverso a factorizar, que en este caso seriamultiplicar tanto el numerador como denominador por algún término que facilite la elimina-ción de factores, veamos el siguiente ejemplo:

3.14

Calcular el límite lımx→4

x3 −64px −2

.

Solución .Factorizando el numerador

lımx→4

x3 −64px −2

= lımx→4

(x −4)(x2 +4x +16)px −2

y luego multiplicando tanto numerador como denominador porp

x +2, tenemos

lımx→4

(x −4)(x2 +4x +16)(p

x +2)

x −4= lım

x→4

(p

x +2)(x2 +4x +16)

1= 192

3.7.2 Indeterminación de la forma ∞∞

La expresión ∞∞ se considera una indeterminación, pues por un lado al dividir una cantidad

infinita entre cualquier número el resultado debe ser infinito; por otro lado cuando se dividecualquier número sobre infinito, el resultado es cero.

79


Método para resolver un límite con indeterminación ∞∞

1) Evaluar el valor del límite en la función para estar seguros que tenemos una indeter-minación de este tipo.

2) Se desarrolla toda la expresión al máximo y se divide entre el término de mayor gradosin tomar en cuenta el coeficiente.

3) Evaluar el valor del límite nuevamente.

3.15

Resolver el límite lımx→∞

2x5 −3x2

x4 −x3 .

Solución .

Sustituyendo la variable por infinito en la función,2(∞)5 −3(∞)2

(∞)4 − (∞)3 = ∞∞ . Como es inde-

terminación infinito sobre infinito, observamos que el término de mayor grado es 2x5 ydividiendo toda la expresión entre x5, nos da

lımx→∞

2x5 −3x2

x4 −x3 = lımx→∞

2− 3x3

1x − 1

x2

= 2− 3∞3

1∞ − 1

∞2

= 2−0

0−0=∞.

3.16


px7−2

x4−1 .

Solución .

Sustituyendo la variable por infinito en la función,

p∞7 −2

∞4 −1= ∞

∞ . Como es indetermi-

nación infinito sobre infinito, buscamos el término de mayor grado, éste será x4, pues x7

esta dentro de la raíz y eso significa dividir el exponente entre 2. Por lo tanto, dividiendotoda la expresión entre x4, nos da

lımx→∞

px7 −2

x4 −1= lım

x→∞

px7−2x4

x4−1x4

= lımx→∞

√1x − 2

x8

1− 1x4

=√

1∞ − 2

∞8

1− 1∞4

= 0

1= 0

3.7.3 Indeterminación de la forma 0 ·∞Para calcular los límites de expresiones indeterminadas de la forma 0 ·∞, hay que transformarlos correspondientes productos f1(x) · f2(x), donde lım

x→af1(x) = 0 y lım

x→af2(x) =∞, en la fracción

f1(x)1

f2(x)

óf2(x)

1f1(x)

, para que quede en la forma0

0ó

∞∞

y después aplicar el método que corresponde a la indeterminación resultante.

80

Límites

ycontinuidad

3.8 Límites de funciones trascendentes Cálculo Diferencial.

3.17


√x +1

x2

(x2 +5x

).

Solución .Sustituyendo la variable por cero en la función, tenemos√

0+1

02

(02 +5(0)

)=√1

0(0+0) =∞·0,

escribimos el límite en alguna de las formas anteriores y sustituimos

lımx→0

√x +1

x2

1x2+5x

=

√0+1

02

102+5(0)

=

√1

010

=1

010

= 0

0,

ahora debemos factorizar ambas expresiones, así

lımx→0

√x +1

x2

1x2+5x

= lımx→0

px +1

x1

x(x+5)

= lımx→0

px +1(x +5) =p

1(5) = 5

3.7.4 Indeterminación de la forma +∞−∞En este caso, el método es multiplicar por una fracción cuyo numerador y denominador seaniguales, a su vez iguales al conjugado de la función. Así conseguimos que en el numeradortengamos una diferencia de cuadrados.

3.18


px2 −2−x.

Solución .Es claro que al sustituir la variable en la función se tiene indeterminación infinito menosinfinito, si multiplicamos y dividimos por su conjugado se obtiene

lımx→∞

√x2 −2−x = lım

x→∞

(√x2 −2−x

) px2 −2+xpx2 −2+x

al simplificar la expresión y aplicar el límite

lımx→∞

(x2 −2)−x2

px2 −2+x

= lımx→∞

−2px2 −2+x

= −2p∞2 −2+∞

= −2

∞ = 0

3.8 Límites de funciones trascendentesComo ya se estudio anteriormente, las funciones trascendentes son todas las funciones no al-gebraicas como las trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Dentro de los límites tienen

81


una forma particular para su solución.Comenzaremos por mostrar las propiedades básicas de este tipo de funciones.

Propiedades para límites de funciones trascendentes


1) lımx→c

e f (x) = elımx→c

f (x)

2) lımx→c

log f (x) = log lımx→c

f (x)

3) lımx→c

sen[ f (x)] = sen[

lımx→c

f (x)]

4) lımx→c

cos[ f (x)] = cos[

lımx→c

f (x)]

5) lımx→c

tan[ f (x)] = tan[

lımx→c

f (x)]

6) lımx→c

cot[ f (x)] = cot[

lımx→c

f (x)]

7) lımx→c

sec[ f (x)] = sec[

lımx→c

f (x)]

8) lımx→c

csc[ f (x)] = csc[

lımx→c

f (x)]

3.19


tan

(x −2

x +1

).

Solución .Sustituyendo la variable por cero en la función, tenemos

lımx→0

tan

(x −2

x +1

)= tan

(0−2

0+1

)= tan

(−2

1

)= tan(−2) ≈−0.034

3.20


logp

x2 +1.


lımx→−2

log√

x2 +1 = log√

(−2)2 +1 = logp

5 ≈ 0.349

Algunos límites de funciones trascendentes que presentan indeterminaciones también se pue-den resolver aplicando los métodos vistos para funciones algebraicas, sin embargo casi en lamayoría de ellos debemos considerar los siguientes resultados que se consideran como la basede los límites trascendentes.

Límites base de funciones trascendentes

1) lımx→0

sin xx = 1

2) lımx→0

cos x−1x = 0

3) lımx→∞

(1+ k

x

)x = ek ,

4) lımx→0

(1+kx)1/x = ek .

En el caso de límites trigonométricos es importante que mediante identidades, expresemoscualquier función en términos de seno y coseno, para poder aplicar estos dos límites estable-cidos.

82

Límites

ycontinuidad


3.21


tan x − sen x

x3 .


tan(0)− sen(0)

03 = 0−0

0= 0

0,

como tenemos una indeterminación, debemos expresar en primer lugar la función entérminos de seno y/o coseno.

lımx→0

tan x − sen x

x3 = lımx→0

sen xcos x − sen x

1

x3 = lımx→0

sen x−sen x cos xcos x

x3 = lımx→0

sen x(1−cos x)cos x

x3

es decir, separando fracciones y aplicando el resultado del primer límite base

= lımx→0

sen x(1−cos x)

x3 cos x= lım

x→0

sen x

x

(1−cos x)

x2 cos x= lım

x→0

(1−cos x)

x2 cos x

al aplicar el límite nuevamente, nos daremos cuenta que sigue siendo indeterminado,por lo que multiplicamos por 1+cos x que es el conjugado del denominador

lımx→0

(1−cos x)(1+cos x)

(x2 cos x)(1+cos x)= lım

x→0

1−cos2 x

(x2 cos x)(1+cos x)

enseguida usamos una identidad y simplificamos

lımx→0

sen2 x

(x2 cos x)(1+cos x)= lım

x→0

sen2 x

x2

1

cos x(1+cos x)= lım

x→0

1

cos x(1+cos x)

finalmente volvemos a evaluar, para obtener

lımx→0

1

(cos x)(1+cos x)= 1

(cos0)(1+cos0)= 1

(1)(1+1)= 1

2

3.22

Encontrar el límite lımx→1

(x −1)sen

(1

x −1

).

Solución .Al evaluar el valor de la variable en el límite, tenemos

lımx→1

(x −1)sen

(1

x −1

)= (1−1)sen

(1

1−1

)= 0 · sen(∞) = 0

83


3.8.1 Indeterminación de la forma exponencial 1∞

Al evaluar límites de la forma lımx→a

f (x)g (x), en muchas ocasiones nos enfrentamos al problema

de quelımx→a

f (x) = 1 y además lımx→a

g (x) =∞,

cuando esto sucede nos enfrentamos con una indeterminación de la forma 1∞.Para resolver esta indeterminación escribimos f (x) = 1+h(x), donde h(x) → 0 cuando x → a,con esto reescribimos

lımx→a

f (x)g (x) = lımx→a

[(1+h(x))

1h(x)

]h(x)g (x) = e lımx→a h(x)g (x) = e lımx→a ( f (x)−1)g (x).

En particular tenemos el siguiente resultado, para este tipo de indeterminación:

Proposición 3.1

Consideremos el límite lımx→a

f (x)g (x), si al evaluar tenemos una indeterminación de la

forma 1∞, debemos usar la igualdad

lımx→a

f (x)g (x) = elımx→a

( f (x)−1)g (x).

para obtener el resultado.

3.23

Encontrar el límite lımx→∞

(x −1

x +1

)x

.

Solución .Observemos que al aplicar las propiedad 7 de los límites de funciones algebraicas, obte-nemos

lımx→∞

(x −1

x +1

)x

=(

lımx→∞

(x −1

x +1

)) lımx→∞x

= 1∞

por lo que, usamos la igualdad de la proposición 3.1

lımx→∞

(x −1

x +1

)x

= e lımx→∞(

x−1x+1−1

)x = e lımx→∞

( −2x1+x

)= e−2.

3.24

Encontrar el límite lımx→∞

[2x +1

2x +4

]x

.

Solución .Observemos que al comenzar a resolver el límite, nos da

lımx→∞

[2x +1

2x +4

]x

=(

lımx→∞

(2x +1

2x +4

)) lımx→∞x

= 1∞

por lo que, usamos la igualdad de la proposición 3.1

lımx→∞

(2x +1

2x +4

)x

= e lımx→∞(

2x+12x+4−1

)x = e lımx→∞

( −3x2x+4

)= e−

32 .

84

Límites

ycontinuidad

3.9 Métodos Avanzados Cálculo Diferencial.

3.9 Métodos AvanzadosEn esta sección estudiaremos algunas formas de solución para límites usando métodos másavanzados que los anteriores, pero que pueden ser combinados con cualquier otro.

3.9.1 Cambio de variable

En ocasiones al momento querer resolver algún límite específico o inclusive alguna otra ope-ración en la cual debamos usar una fórmula, nos encontramos con el problema de que nuestraexpresión no se adapta a la fórmula que se quiere usar, esto debido a que tiene un término demás o esta multiplicado por alguna constante. Esto puede ser bastante desconcertante debidoa que estamos a punto de solucionar el problema y esa constante o término extra no lo permite.Existe una solución para este tipo de situaciones, consiste en realizar un cambio de variablede tal forma que se elimine este obstáculo. Para realizar un cambio de variable se deben deconsiderar lo siguiente:

Propiedades para límites de funciones trascendentes


P.1) No existe un método para indicar cual debe ser el cambio de variable, sin embargose aconseja se realice el cambio de tal forma que nuestra expresión se adapte a lafórmula que se quiere usar.

P.2) Cuando se realice un cambio de variable, se debe tener cuidado en cambiar el valorhacia el cual tiende el límite.

P.3) Resolver el límite para la nueva variable con los métodos conocidos.

Veamos algunos ejemplos de como aplicar el cambio de variable.

3.25


sin4xx

Solución .Queremos usar el resultado lım

x→0

sin xx = 1, sin embargo el 4 no lo permite, para hacer es-

to posible realizamos el cambio de variable 4x → y o x → y

4. Observemos primero que

cuando x = 0 también y = 0 por lo que tendríamos

lımx→0

sin4x

x= lım

y→0

sin yy4

= lımy→0

4sin y

y= (4)(1) = 4

También en límites algebraicos racionales resultan ser muy útiles los cambios de variable

3.26


3p

1+x −15p

x +1−1

Solución .Tomando el cambio de variable x +1 → y15 que es el m.c.m(3,5), tenemos que cuando

85


x = 0, y = 1 por lo tanto

lımx→0

3p

1+x −15p

x +1−1= lım

y→1

y5 −1

y3 −1= (y −1)(y4 + y3 + y2 + y +1)

(y −1)(y2 + y +1)= 5

3.

En algunos casos nos puede ayudar a resolver ejercicios complicados

3.27


sinπx2(1−x)

Solución .Tomando el cambio de variable y = x−1 tenemos que cuando x = 1, y = 0 y sustituyendo

lımx→1

sinπx

2(1−x)= lım

y→0

sinπ(y +1)

2y= lım

y→0

sin(πy +π)

2y=

lımy→0

sinπy cosπ+ sinπcosπy

2y= lım

y→0

−sinπy

2y

luego haciendo un nuevo cambio de variable w =πy nos queda

lımw→0

π

2

(−sin w

w

)=−π

2.

3.28


ln(1+x)

x.

Solución .Aprovechando propiedades de los logaritmos se tiene

lımx→0

ln(1+x)

x= lım

x→0ln(1+x)1/x = ln(e) = 1

3.9.2 Cantidades infinitésimas

Este método es uno de los más útiles, nos evita mucho trabajo y puede resolver límites bastantecomplicados de una manera fácil y rápida, sin embargo requiere de un dominio completo deltérmino de cercanía, es decir tener un buen criterio para identificar cuando dos valores sonprácticamente iguales.

Recordemos que el concepto de límite surge ante la necesidad de resolver ecuaciones o encon-trar soluciones a problemas que sería prácticamente imposible si se trataran de manera exacta.Es entonces bastante lógico pensar en resolver límites (aproximaciones) mediante técnicas deaproximación. Para poder hacer uso de infinitésimos, vamos primero a dar una introducción aeste término, así como algunas métodos de encontrarlos y reconocerlos.

86

Límites

ycontinuidad


Definición 3.5 Función infinitésima

Sea f (x) una función, si el lımx→c

f (x) = 0, es decir si f (x) tiende a cero para valores de x

extremadamente cercanos a c, decimos que f (x) es una función infinitésima cuandox → c.

Existen muchas funciones cuyo límite es igual a cero, para x → c, por lo que es útil una formade comparar todas estas funciones, de entre todas estas comparaciones la más importante esla siguiente:

Definición 3.6 funciones infinitésimas equivalente

Si f (x) y g (x) son dos funciones infinitésimas cuando x → c, además

lımx→c

f (x)

g (x)= 1

entonces f (x) y g (x), se llaman funciones infinitésimas equivalentes o simplementeequivalentes.

Encontrar funciones equivalentes es tarea sencilla usando series de Taylor ó algunas otras téc-nicas de expansión de funciones, sin embargo esto queda fuera del alcance de este curso porlo que nos limitaremos a dar algunas equivalencias ya preestablecidas.

Funciones infinitésimas equivalentes cuando x → 0

1)n∑

i=1ai xi ≈ a j x j , siendo j el exponente más pequeño de todo el polinomio.

2) sinnx ≈ nx

3) cosnx ≈ 1− (nx)2

2

4) tannx ≈ nx

5) arcsin x ≈ x

6) ax −1 ≈ x ln a

7) ex −1 ≈ x

8) ln(1+nx) ≈ nx

9)p

1+x ≈ 1+ x2

Recordemos quen∑

i=1ai xi = a1x+a2x2+a3x3+·· ·+an xn , y lo que nos dice la propiedad uno, es

que podemos sustituir todo el polinomio por el término que contenga el menor exponente.Siempre que x → 0, podemos sustituir una expresión de la tabla por su equivalente para hacermás sencillo el cálculo del límite correspondiente.Veamos algunos ejemplos que nos ayuden a entender el uso de infinitésimos.

3.29

Encontrar el lımx→0

3x −5x2

sin x, usando infinitésimos.

Solución .usamos la equivalencia sin x ≈ x tenemos

lımx→0

3x −5x2

sin x= lım

x→0

x(3−5x)

x= lım

x→0(3−5x) = 3.

87


Cuando queremos trabajar con funciones logarítmicas, usar infinitésimos es una muy buenaopción como en el siguiente ejemplo.

3.30

Encontrar lımx→0

px2−5x4+4x3

ln(1+2x) , usando infinitésimos.

Solución .Usando la propiedad uno, podemos sustituir el radicando x2 −5x4 +4x3 por x2, ademáspor la propiedad 8 también sustituimos, ln(1+2x) por 2x, así

lımx→0

px2 −5x4 +4x3

ln(1+2x)= lım

x→0

px2

2x= lım

x→0

x

2x= 1

2

El uso de infinitésimos en funciones trigonométricas nos reduce considerablemente el trabajo

3.31

Encontrar lımx→0

cos x−cos2x1−cos x , por medio de infinitésimos.

Solución .

Por la propiedad 3 se tiene que cosnx ≈ (nx)2

2, así

lımx→0

cos x −cos2x

1−cos x= lım

x→0

1− x2

2 −(1− 4x2

2

)1− (1− x2

2 )

simplificando

lımx→0

1− x2

2 −(1− 4x2

2

)1− (1− x2

2 )= lım

x→0

3x2

2x2

2

= lımx→0

3 = 3.

En el caso de límites que contienen variables en el exponente, procedemos como en el siguien-te

3.32

Encontrar el resultado del siguiente límite, lımx→∞

a1/x−1b1/x−1 .

Solución .En principio este límite no se puede usar infinitésimos pues x tiende a infinito y no a ce-ro, sin embargo si realizamos el cambio de variable y → 1

x , obtenemos el límite lımx→0

ax−1bx−1

al cual si se le puede aplicar infinitésimos, en particular la propiedad 6, así

lımx→0

ax −1

bx −1= lım

x→0

x ln a

x lnb= lım

x→0

ln a

lnb= ln a

lnb= logb a.

88

Límites

ycontinuidad

3.10 Continuidad Cálculo Diferencial.

3.10 ContinuidadEn matemáticas, el conocer que una función es continua es muy importante pues nos garantizaque podremos trabajar con todos los valores del dominio, sin tener problemas para obtenernuestros resultados.

Definición 3.7 Continuidad de funciones

Una función f : R→ R es continua en un punto c si f (c), lımx→c− f (x), lım

x→c+ f (x) existen, y

además se cumplelım

x→c− f (x) = lımx→c+ f (x).

Una función f :R→R es continua si lo es para todo punto de R.

Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar ellápiz del papel. Algunos ejemplos gráficos de funciones continuas, son las siguientes

-�� -��

-��

-�

�

��

(f) f (x) =−x5 −2x3 +8x2 +3x

-�� -��

-�

-�

-�

�

�

��

(g) f (x) = x5−4x2−3x−x3

x2+1

Definición 3.8 Función discontinua

Si f : R→ R no es continua en un punto a, decimos que es una función discontinua ena, existen tres tipos de discontinuidad:

c) Discontinuidad evitable en x = a. Si el límite de la función existe y es finito en a, perola evaluación de la función f (a) no existe o tiene un valor diferente al límite.

d) Discontinuidad asintótica en x = a. Sucede cuando al calcular el límite, éste nos dainfinito, ya sea que exista el límite (límites laterales del mismo signo), o que noexista (límites laterales de distinto signo).

e) Discontinuidad por salto en x = a. En este caso los límites laterales cuando x → ason ambos finitos pero de diferente valor.

En las siguientes figuras podemos visualizar gráficamente cada una de estas discontinuidades.

De estos tres tipos de discontinuidad, nos interesa la primera es decir, la discontinuidad evita-ble, ya que en este caso podemos redefinir la función de manera que sea evitable.

89

3.10 Continuidad Cálculo Diferencial.

-� -� -� � � � ��

-�

�

�

�

(h) Discontinuidad evitable

-� � � ��

-��

-�

�

��

(i) Discontinuidad asintótica

-� -� -� � � ��

-�

-�

�

�

�

(j) Discontinuidad por salto

Pasos para redefinir una función con discontinuidad evitable

Consideremos una función f (x) con discontinuidad en x = a.

1) Calcular el límite de la función en x = a y suponer que es igual a L.

2) Agregar el punto L a la función, redefiniendo f (x) como: F (x) ={

f (x), si x 6= a;L, si x = a.

3) Verificar que la nueva función F (x) es continua.

Estos tres pasos los podemos resumir en lo siguiente; para hacer continua una función f (x)con discontinuidad evitable, sólo hay que agregar este punto a la función.

3.33

Dada la función f (x) = x2 +x −2

x2 −2x −8, encontrar todos sus puntos de discontinuidad, clasi-

ficar cada uno de ellos y en caso de que sea discontinuidad evitable, definir la función detal manera que sea continua en ese punto.

Solución .En este caso la función tiene dos puntos de discontinuidad x = −2,4, verificamos quetipo de discontinuidad tiene cada uno

1. En el primer punto, tenemos que

lımx→−2

x2 +x −2

x2 −2x −8= lım

x→−2

(x +2)(x −1)

(x +2)(x −4)= lım

x→−2

x −1

x −4= −2−1

−2−4= 1

2

Claramente el límite es igual a 12 si nos acercamos por la derecha o por la izquier-

da, más aún f (−2) no existe, por lo que concluimos que es una discontinuidadevitable. Para hacer la función continua en ese punto basta con redefinir f (x) de lasiguiente forma

F (x) =

x2 +x −2

x2 −2x −8, si x 6= −2;

1/2, si x =−2.

2. En x = 4, tenemos que lımx→4

x2 +x −2

x2 −2x −8= 42 +4−2

42 −2(4)−8= 18

0=∞, por lo que la dis-

continuidad es asintótica, si analizamos a detalle nos daremos cuenta que los lí-mites laterales tienen distinto signo, por lo que en realidad el límite no existe.

La gráfica correspondiente para esta función es

90

Límites

ycontinuidad


-2 2 4 6X

-10

-5

5

10

Y


Dada la función f (x) = x3 +2x2 −2x

x2 −2x, encontrar todos sus puntos de discontinuidad, cla-

sificar cada uno de ellos y en caso de que sea discontinuidad evitable, definir la funciónde tal manera que sea continua en ese punto.


1.• De la gráfica-2 2 4

X

-6

-4

-2

2

4

6

Y

encontrar lo que se pide a continua-

ción:

a.• f (1)

b.• lımx→1

f (x)

c.• lımx→0

f (x)

d.• lımx→3

f (x)

e.• lımx→3+ f (x)

f.• f (3)

2.• De la gráfica-1 1 2 3 4 5 6

X

-1

1

2

3

4

5

6

Y

encontrar:

a.• f (2)b.• lım

x→2f (x)

c.• lımx→4+ f (x)

d.• lımx→4− f (x)

e.• lımx→4

f (x)

f.• f (4)

91


3.• De la gráfica-1 1 2 3 4 5 6

X

-1

1

2

3

4

5

6

Y

encontrar:

a.• lımx→2+ f (x)

b.• lımx→2− f (x)

c.• lımx→2

f (x)

d.• lımx→4

f (x)

e.• lımx→3

f (x)

f.• f (2)

4.• Resolver los siguientes límites, por métodos numéricos, en caso de no existir, argumentaresta afirmación.

a.• lımx→4

x2−5x+49x2−6x+2

b.• lımx→1

3x−5x2−1

c.• lımx→2

e3x−4 +5x

d.• lımx→2

p2x−4

3x−6

e.• lımx→0

3px+a− 3pax

5.• Resolver los siguientes Límites por sustitución directa, en caso de no existir algún límite,indicarlo dando argumentos para tal afirmación.

a.• lımx→−3

p3x4−3x−8x

2x−4

b.• lımx→5

px2 +x +1

c.• lımx→7

3x8−3xx3−8x2−13x+140

d.• lımx→0

3x2−6x+6x2

e.• lımx→ π

2

sin(3x)+cos(2x)sec(2x)

f.• lımx→10

ln[3x −4]8 − ln[2x2 −17x −4]

6.• Resolver los siguientes Límites con indeterminación 00 o ∞

∞ .

a.• lımx→2

2x2−83x−6 .

b.• lımx→1

x3+7x2+7x−15x2+6x−7 .

c.• lımx→∞

p9x2−2x+1

2x+2

d.• lımx→81

x−81px−9

e.• lımx→∞

3x5−4x4+3x−2x6−x

f.• lımx→1

px−1

x−1

g.• lımx→3

x2−9(x−4)(x−3)(x−2) .

h.• lımx→∞

p2x2+1p2x+2

i.• lımx→7

2−px−3x2−49

j.• lımx→∞

px4+5x−2+

p4x4+x

x2+1

7.• Resolver los siguientes límites, trigonométricos.

a.• lımx→0

tan xx

b.• lımx→0

1−cos xx2

c.• lımx→0

1−pcos xx sin x

d.• lımx→ π

4

sin x−cos x1−tan x

e.• lımx→0

1+(x−1)cos x4x

8.• Resolver los siguientes límites, usando un cambio de variable.

92

Límites

ycontinuidad


a.• lımx→1

3px2−2 3px+1

(x−1)2 .

b.• lımx→0

sin4xx

c.• lımx→0

1x sin(x/3)

d.• lımx→0

sin3xsin2x

e.• lımx→0

x−sin3xx+sin2x

9.• Resolver los siguientes límites exponenciales.

a.• lımx→∞

(1+ 2

x

)x

b.• lımx→0

(1+3x)2/x

c.• lımx→∞

[ x−1x+3

]x+2

10.• Resolver los siguientes límites por el método apropiado.

a.• lımx→2

1x−2 − 2+2x−x2

x2−2x

b.• lımx→1

1x2−1 + 1

x3−1

c.• lımx→2

−1+px−1−2+px+2

d.• lımx→4

3−p5+x2−p8−x

e.• lımx→1

x4−5x3+9x2−7x+2x4−2x3+2x2−1

f.• lımx→∞

(x2

x−1 − x2+1x−2

)g.• lım

x→0

1−cos3xx2

h.• lımx→1

x3−3x+2x4−4x+3

i.• lımx→5

x2−3x−10x2−25

j.• lımx→−1

x2−1x2+3x+2

k.• lımx→2

x2−2xx2−4x+4

l.• lımx→a

x2−(a+1)x+ax3−a3

m.• lımx→0

p1+x−1

3p1+x−1

n.• lımx→ 2

3

32−152x+252x2−162x3+27x4

−8+36x−54x2+27x3

ñ.• lımx→0

(3− 10

x + 8x2

3− 1x − 4

x2

)o.• lım

x→ 12

(2x−1

2x−1− 42x−1

)p.• lım

x→−1

(x+6+ 6

x+1

x− 12x+1

)q.• lım

x→ 13

( 2x+33x2−13x+4 + 4x−4

3x2−10x+3

)r.• lım

x→0

tan3x3tan2x

s.• lımx→0

p1+tan x−p1+sin x

x3

t.• lımx→0

(1+ sin x)1/x

u.• lımx→0

sin3x+tan2xx

11.• Resolver los siguientes límites por el método apropiado.

a.• lımx→1

sinπx2(x−1)

b.• lımx→∞

( x−1x+3

)x+2

c.• lımx→0

tan x−sin xx3

d.• lımx→ π

3

sin(x− π3 )

1−2cos x

e.• lımx→0

sin4xcos3x−1

f.• lımx→∞

(px2 +3x −

px2 +x

)g.• lım

x→∞

(px2 +2x +3−

px2 −2x +3

)h.• lım

x→∞7x−1

3p5x3+4x−2

i.• lımx→∞

pln(x8−5)

x2

j.• lımx→∞

x7+x5+x3

(1/2)x

k.• lımx→∞

tan x−sin xcos x

l.• lımx→0

cos x−cos(3x)x2

m.• lımx→0

1− 3pcos xx sin x

n.• lımx→∞

px2 +3x −x

ñ.• lımx→ π

3

1−p2cos xx− π

3

o.• lımx→ 7π

2

sec xx− 7π

2

p.• lımx→0

psin2x+2x

x

12.• Identificar en cada caso los puntos de discontinuidad y su tipo, en caso de ser evitableredefinir la función a fin de hacerla continua.

93


a.• f (x) = 3x−5x2−1 .

b.• g (x) =p

x2 +x +1

c.• f (x) =p

2x−43x−6 .

d.• h(x) = x2−4(x−4)(x−3)(x−2) .

e.• g (x) = x5−32x3−8

f.• f (x) = 1+xex .

g.• h(y) = x2−1x2−9 .

h.• g (x) =p

x −x3 +x2 −5.

i.• h(x) = 1x−2 + 3x

2−x − 3x−1x .

j.• g (z) = z3−3z+2z2+1 − 1

z2−1

13.• Encontrar lımh→0

f (x+h)− f (x)h para cada una de las siguientes funciones.

a.• f (x) = 5.b.• f (x) = x.c.• f (x) = 1

x .d.• f (x) = x2 +xe.• f (x) = ex .

f.• f (x) = sin x.g.• f (x) = (x +1)2.h.• f (x) = x3 −x2.i.• f (x) = ln x.j.• f (x) =p

x.

954 Derivadas


Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analizala variación de una variable con respecto a otra.


Mostrar con una situación real el concepto de incremento de una variable.

Reconocer el cociente de incrementos de dos variables como una razón de cambio.

Reconocer a la derivada como el límite de un cociente de incrementos.

Mostrar que el valor de la pendiente de la tangente a una curva en un punto se puedeobtener calculando la derivada de la función que corresponde a la curva en dicho punto.

Definir la diferencial de la variable dependiente en términos de la derivada de una fun-ción.

Demostrar, recurriendo a la definición, la derivada de la función constante y de la funciónidentidad.

Reconocer las propiedades de la derivada y aplicarlas para el cálculo de funciones.

Plantear una expresión en la que se tenga una función de función y calcular la derivadamediante el uso de la regla de la cadena.

Reconocer la fórmula que debe usarse para calcular la derivada de una función y obtenerla función derivada.

Calcular la diferencial haciendo uso de fórmulas de derivación.

Establecer una función que requiera para el cálculo de su derivada el uso de derivadaslaterales.

Calcular la derivada de funciones definidas por más de una regla de correspondencia.

Graficar la función derivada.

96

Derivadas

4.1 Incremento o decremento de una variable Cálculo Diferencial.

4.1 Incremento o decremento de una variableUna herramienta muy útil en el estudio del cálculo es el dominio del aumento o disminuciónen el valor de una variable independiente x, pues ésto permite observar los cambios que sufreuna función que depende de esa variable cuando se le da un incremento o decremento a dichavariable.

Definición 4.1 Incremento de una variable independiente

El incremento de una variable x para pasar de un punto x1 a un punto x2, lo denotamoscomo

∆x = x2 −x1

Donde x1 representa el punto inicial, x2 es el punto final.

Por supuesto cuando se realiza un incremento o decremento en la variable independiente, estecambio de valor afecta a cualquier función que depende de esta variable, por lo que sufrirá asu vez un cambio, ya sea incrementando o disminuyendo su valor original.

Definición 4.2 Incremento de una variable dependiente

El incremento o decremento de una función f : X → Y , en un punto arbitrario x1, localculamos como

∆ f (x1) = f (x1 +∆x)− f (x1)

donde x1 es el punto inicial y ∆x representa el incremento en la variable.

Así por ejemplo en las siguientes funciones se puede observar el cambio de una función quedepende de el cambio realizado en la variable.

4.1

Considérese la función f (x) = x3 − 3, escribir la expresión resultante para la función sise da un incremento de ∆x = 1, además obtener el valor numérico en el caso de quex1 = 1,2.

Solución .De acuerdo a la definición anterior, el incremento en f (x1) es:

∆ f (x1) = f (x1 +∆x)− f (x1) = f (x1 +1)− f (x1) = (x1 +1)3 −3− (x31 −3) = 3x2

1 +3x1 +1.

Ahora evaluando los valores x1 = 1,2, tenemos

1. ∆ f (1) = 3(1)2 +3(1)+1 = 7,

2. ∆ f (2) = 3(2)2 +3(2)+1 = 19.

4.2

Considérese la función g (x) = 3x2−2x+1, escribir la expresión resultante para la funciónsi se da un incremento de ∆x = 1, además obtener el valor numérico en el caso de quex1 = 3,−1.

Solución .

97

4.2 Definición de la derivada Cálculo Diferencial.

De acuerdo a la definición anterior, el incremento en g (x) es:

∆g (x1) = g (x1+∆x)−g (x1) = g (x1+1)−g (x1) = 3(x1+1)2−2(x1+1)+1−(3x21−2x1+1) = 6x1+1.

Ahora evaluando los valores x1 = 3,−1, tenemos

1. ∆ f (3) = 6(3)+1 = 19,

2. ∆ f (−1) = 6(−1)+1 =−5.

Geométricamente podemos apreciar el cambio que sufre la función f (x) = x3 −3 del ejemplo4.1 al pasar el valor de x1 = 1 hasta x2 = 2, ésto en la primer gráfica, en la segunda se hacereferencia al ejemplo 4.2, en este caso se hace el cambio de x1 = 3 hasta x2 = 4. Comparar losresultados del inciso 1 de cada ejemplo con los obtenidos de la gráfica correspondiente.

Δx

Δf(x)

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5X

-4

-2

2

4

6

8

Y

(k) f (x) = x3 −3

Δf(x)

Δx

-2 -1 1 2 3 4X

10

20

30

40

Y

(l) g (x) = 3x2 −2x +1

Figura 4.1. Incremento de funciones

Nótese que si se toma la razón del incremento de una función respecto a el incremento de lavariable, obtenemos

∆ f (x)

∆x= f (x1 +∆x)− f (x1)

∆x

y tomando el límite cuando el incremento tiende a cero

lım∆x→0

f (x1 +∆x)− f (x1)

∆x

Este resultado es muy importante pues con el podemos formular la herramienta más indispen-sable del cálculo diferencial, la derivada, la cual es nuestro objetivo principal en este curso.

4.2 Definición de la derivadaLa derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dichafunción según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es unconcepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la funciónen un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se tomacada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en unpunto dado.

98

Derivadas

4.3 Interpretación geométrica Cálculo Diferencial.

Definición 4.3 Derivada puntual

La derivada de una función f (x) en un punto x1 se define como:

f ′(x1) = lımh→0

f (x1 +h)− f (x1)

h

siempre y cuando el límite exista y representa la tasa de cambio instantánea de una fun-ción en dicho punto.

Si este límite existe para todo número real, se dice que la función f (x) es derivable en todo R, yentonces podemos generalizar este concepto a la derivada general como:

Definición 4.4 Derivada de una función

La derivada de una función f (x) esta dada por:

f ′(x) = lımh→0

f (x +h)− f (x)

h

donde x representa cualquier número real, h es el incremento o decremento que se da ax.

si el límite no existe en algún punto, entonces no existe la derivada en dicho punto.

4.3

Calcular la derivada de la función f (x) = 1x por medio de la definición e indicar en que

puntos no es derivable.

Solución .f ′(x) = lım

h→0

f (x+h)− f (x)h = lım

h→0

1x+h − 1

xh = lım

h→0− 1

(x)(x+h) =− 1x2 , no es derivable en 0.

4.4

Calcular la derivada de la función g (x) = ex por medio de la definición e indicar en quepuntos no es derivable.

Solución .f ′(x) = lım

h→0

f (x+h)− f (x)h = lım

h→0

ex+h−ex

h = lımh→0

ex (eh−1)h ∼ lım

h→0

ex (h)h = ex , es derivable para todo

R.

4.3 Interpretación geométricaRecordemos de nuestros cursos elementales de geometría analítica que para obtener la pen-diente de una recta que une los puntos fijos (x1, y1) con (x2, y2), hacemos uso de la fórmula

m = y2 − y1

x2 −x1

99

4.3 Interpretación geométrica Cálculo Diferencial.

En nuestro caso estamos interesados en obtener la pendiente de una línea recta que une dospuntos que están sobre la gráfica de una función y = f (x), por lo que podemos reescribir lafórmula anterior como

m = f (x2)− f (x1)

x2 −x1

Para escribir en términos de una sola variable usamos la definición 4.1, es decir, sustituimos∆x = x2 −x1 y también x2 =∆x +x1 para obtener

m = f (x1 +∆x)− f (x1)

∆x

Así tenemos la siguiente definición

Definición 4.5 Pendiente de una recta

La pendiente de una línea recta que une dos puntos cualesquiera de una gráfica y = f (x)esta dada por

m = f (x1 +∆x)− f (x1)

∆x

donde x1 es el punto inicial y ∆x representa el incremento que se le da a x1.

Por otro lado, en las siguientes gráficas podemos observar que si dejamos fijo un punto x1

y comenzamos a reducir considerablemente el valor del incremento ∆x, entonces esta línearecta que une los dos puntos se convierte en una recta tangente a la gráfica en el punto x1.

Δx��

-�

�

�

(a) ∆x = 2

Δx��

-�

�

�

(b) ∆x = 1

Δx��

-�

�

�

(c) ∆x = 0.5

Δx

��

-�

�

�

(d) ∆x = 0.2

Figura 4.2. Rectas entre dos puntos de una curva

De esta observación geométrica podemos enunciar el siguiente resultado

Teorema 4.1

Sea L la recta que une un punto fijo (x1, f (x1)) con otro arbitrario (x2, f (x2)) y sea ∆x =x2 −x1, entonces si ∆x → 0, la recta L es la recta tangente a la curva en el punto x1.

Estamos listos ahora para definir una de las aplicaciones más importantes y muy básicas dentrodel cálculo diferencial.

Definición 4.6 Significado geométrico de la derivada

La derivada de una función f (x) evaluada en un punto x1, representa la pendiente de larecta tangente a la curva en dicho punto.

100

Derivadas

4.4 Fórmulas de derivación Cálculo Diferencial.

4.5

Encontrar la pendiente de la curva dada por la función f (x) = 5x2 −3x +1 en el puntox = 2.

Solución .En primer lugar obtenemos la derivada f ′(x) = 10x − 3, enseguida evaluamos x = 2 eneste resultado f ′(2) = 10(2)−3 = 17. Así la pendiente de la curva en el punto x = 2 es 17.


Encontrar la pendiente de la curva dada por la función f (x) = 2x3 −4 en el punto x = 1.

4.4 Fórmulas de derivaciónComo ya hemos visto al intentar encontrar las derivadas de acuerdo a su definición es una tareacomplicada pues el límite de la función puede resultar muy elaborado o requerir mucho trabajopara resolverlo, en vista de esto se ha trabajado mucho en el sentido de elaborar una tabla quepermita identificar las derivadas de una manera mucho más sencilla. Enseguida presentamosuna pequeña lista de las derivadas más usuales, una lista completa de fórmulas de derivaciónse encuentra en el Apéndice C página 139.

Algunas fórmulas de derivadas

Consideremos que c es una constante y u, v, w son funciones de la variable x.

P.1) dd x (c) = 0

P.2) dd x (x) = 1

P.3) dd x (u+v−w) = d

d x (u)+ dd x (v)− d

d x (w)

P.4) dd x (cv) = c d

d x (v)

P.5) dd x (uv) = u d

d x (v)+ v dd x (u)

P.6) dd x (vn) = nvn−1 d

d x (v)

P.7) dd x (xn) = nxn−1

P.8) dd x ( n

pv) =

d vd x

nnp

vn−1

P.9) dd x ( u

v ) = v dd x (u)−u d

d x (v)v2

P.10) dd x ( u

c ) =d

d x (u)c

En base a estas fórmulas podemos encontrar las derivadas de una manera mucho más sencillaque con su definición formal.

Observación

Para resolver derivadas debemos proceder en sentido contrario a la jerarquía de opera-ciones, es decir, se debe ir aplicando la derivada a la operación más grande y luego lasmás pequeñas.

101


4.6

Encontrar la derivada de la función f (x) = 5x −20x6 por medio de fórmulas.

Solución .

Aplicando la fórmula P.3, la derivada esd

d x(5x −20x6) = 5−120x5.

4.7

Encontrar la derivada de la función f (x) = (3x −2)(5x2 +1)3 por medio de fórmulas.

Solución .Como la operación principal aquí es la multiplicación de funciones, aplicamos la fórmu-la P.5 para obtener

d

d x

[(3x −2)(5x2 +1)3]= (3x −2)

d

d x(5x2 +1)3 + (5x2 +1)3 d

d x(3x −2) =

= 3(3x −2)(5x2 +1)2(10x)+ (5x2 +1)3(3) = 3(5x2 +1)2(35x2 +−20x +1).

4.8

Encontrar la derivada de la función f (x) = x−2x2+x por medio de fórmulas.

Solución .En este caso usaremos la fórmula P.9 para divisiones

d

d x

(x −2

x2 +x

)= (x2 +x) d

d x (x −2)− (x −2) dd x (x2 +x)

(x2 +x)2 = (x2 +x)− (x −2)(2x +1)

(x2 +x)2 =

= −x2 +4x +2

(x2 +x)2 .


Encontrar la derivada de la función f (x) = 1p3x −2

por medio de fórmulas.

En algunos casos podemos encontrarnos con funciones no algebraicas, sin embargo tambiéntenemos fórmulas para estos casos, ver apéndice C página 139.

4.9

Encontrar la derivada de la función f (x) = ln(3x7 +6x5 −23x2

)por medio de fórmulas.

Solución .Usando la fórmula para la derivada de un logaritmo del apéndice C, tenemos

d

d xln

(3x7 +6x5 −23x2)= d

d x (3x7 +6x5 −23x2)

3x7 +6x5 −23x2 = 21x6 +30x4 −46x

3x7 +6x5 −23x2 .

102

Derivadas



Encontrar la derivada de la función f (x) = sen(x +2)+cos(x +2)− (x +2)6 por medio defórmulas.

4.10

Encontrar la derivada de la función g (x) = tan

(x +20

x −1


Solución .Como la operación principal es la tangente, comenzamos con la fórmula para esta fun-ción trigonométrica

d

d xtan

(x +20

x −1

)= sec2

(x +20

x −1

)d

d x

(x +20

x −1

)=

sec2(

x +20

x −1

)[(x −1) d

d x (x +20)− (x +20) dd x (x −1)

(x −1)2

]=

sec2(

x +20

x −1

)[(x −1)− (x +20)

(x −1)2

]=− 21

(x −1)2 sec2(

x +20

x −1

).

4.11

Encontrar la derivada de la función f (x) = 5(x−ln(3x−4)) por medio de fórmulas.

Solución .Aquí debemos usar la fórmula para una constante elevada a una función, específicamen-te la número 14 del apéndice C, así

d

d x5(x−ln(3x−4)) = 5(x−ln(3x−4)) ln5

d

d x(x − ln(3x −4)) = ln5

(3x −7

3x −4

)5(x−ln(3x−4)).


Encontrar la derivada de la función f (x) = tan

(1

3x −2


4.4.1 Derivada de orden superior

Una vez que se conoce la derivada de una función f (x) y lo que esta representa, cabe pregun-tarnos que pasa si volvemos a derivar el resultado de la primera derivada, si siempre es posiblehacerlo y en caso de que se pueda que representa, en la siguiente unidad mostraremos algu-nas aplicaciones de derivadas de orden superior y mostraremos en los casos que esto puedeocurrir, en esta parte nos limitaremos a conocer los métodos para realizar derivadas de ordensuperior.

103


Definición 4.7 Derivada de orden superior

Dada una función f (x) podemos obtener una nueva función f ′(x) al aplicarle la deriva-da, si volvemos a derivar obtenemos una segunda función f ′′(x) y así sucesivamente, aeste proceso de ir obteniendo derivadas sobre la anterior se conoce como derivada deorden n, donde el número n nos indica la cantidad de derivadas que debemos aplicar.

Las notaciones para derivadas de orden superior son las siguientes:

1. Función original f (x)

2. Primera derivada f ′(x) o dd x f (x)

3. Segunda derivada f ′′(x) o d 2

d x2 f (x)

4. Tercera derivada f ′′′(x) o d 3

d x3 f (x)

5. Derivada de orden n f (n)(x) o d n

d xn f (x)

Veamos algunos ejemplos con derivadas de orden superior.

4.12

Encontrar la tercera derivada de la función 5x7 −3x2 +6x −9.

Solución .Realizamos la primera derivada

d

d x(5x7 −3x2 +6x −9) = 35x6 −6x +6

luego la segunda derivada queda

d

d x(35x6 −6x +6) = 210x5 −6.

finalmente la tercera derivada es

d

d x(210x5 −6) = 1050x4.

4.13

Encontrar la segunda derivada de la funciónx

1−x.

Solución .La primera derivada nos da

d

d x

( x

1−x

)= (1−x) d

d x x −x dd x (1−x)

(1−x)2 = (1−x)+x

(1−x)2 = 1

(1−x)2 .

nuevamente usando la fórmula para divisiones, obtenemos la segunda derivada como

d

d x

(1

(1−x)2

)= (1−x)2 d

d x 1− dd x (1−x)2

(1−x)4 = x(1−x)

(1−x)4 = x

(1−x)3 .

104

Derivadas



Encontrar la tercera derivada de f (x) = ln(cos(x2 +2)) por medio de fórmulas.

4.4.2 Regla de la Cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dosfunciones.

Intuitivamente si una función f (g ), depende de una función g que a su vez depende de unavariable x; entonces, la razón de cambio de f con respecto a x puede ser calculada con el pro-ducto de la razón de cambio de f con respecto a g multiplicado por la razón de cambio de gcon respecto a x, es decir tenemos el siguiente resultado, cuya demostración se puede encon-trar en [8] pag. 228.

Teorema 4.2

Sean f :R→R y y :R→R dos funciones derivables tales que ( f ◦ y)(x) esta bien definida,entonces f (y) es derivable con respecto a la variable x , en la forma:

d f (y)

d x= d f

d y· d y

d x

Veamos algunos ejemplos de como podemos resolver derivadas por medio de la regla de lacadena.

4.14

Encontrar la derivada de la función h(x) = (3x2 +5)8 mediante la regla de la cadena.

Solución .Primero expresamos h(x) = (3x2 + 5)8 como una composición de funciones, para estoigualamos la expresión dentro del paréntesis y = 3x2 +5 y definimos f (y) = y8, así por elteorema 4.2

d f (y)

d x= d f

d y· d y

d x= d(y8)

d y· d(3x2 +5)

d x= (8y7)(6x) = 48y7x

finalmente regresamos el cambio de variable que hicimos, para obtener

d f (y)

d x= 48(3x2 +5)x es decir h′(x) = 48(3x2 +5)x.

4.15

Encontrar la derivada de la función g (x) = 1−x2

x2+ex2 mediante la regla de la cadena.

Solución .Primero expresamos 1−x2

x2+ex2 como una composición de funciones, para esto hacemos el

cambio y = x2 pues el término que más se repite, enseguida definimos f (y) = 1− y

y +e y ,

105


cuya derivada es

(y +e y ) dd x (1− y)− (1− y) d

d x (y +e y )

(y +e y )2 = (y +e y )(−1)− (1− y)(1+e y )

(y +e y )2 = (y −2)e y −1

(y +e y )2

así por el teorema 4.2

d f (y)

d x= d f

d y· d y

d x=

d

(1− y

y +e y

)d y

· d(x2)

d x=

((y −2)e y −1

(y +e y )2

)(2x)

finalmente regresamos el cambio de variable que hicimos, para obtener

d f (y)

d x= 2x

((x2 −2)ex2 −1

(x2 +ex2 )2

)es decir g ′(x) = 2x

((x2 −2)ex2 −1

(x2 +ex2 )2

).


Encontrar la derivada de la función cos(

1−x2

x

)mediante la regla de la cadena.

La mayoría de las funciones de una variable se pueden expresar como una composición dedos funciones, de hecho las fórmulas que usamos para derivar expresan la regla de la cadenaaunque no lo mencionan, sin embargo en el caso de funciones de dos o más variables la reglade la cadena adquiere otra dinámica en la solución de problemas.

4.4.3 Derivadas implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadasen forma explícita, como en la ecuación y = 5x2 − 9x dónde la variable y está escrita comofunción de x. Sin embargo, existe otra forma de escribir las funciones sin necesidad de despejaralguna variable.

Definición 4.8 Función explícita

Una función de la forma y = f (x) es una función explícita, mientras que si la escribimoscomo f (x, y) = 0, entonces se conoce como función implícita.

La mayoría de las funciones se pueden expresar tanto en forma explícita como implícita, sinembargo hay algunas en las que es imposible escribirlas en su forma explicita.

En una función implícita se pueden obtener dos tipos de derivas,d y

d xo

d x

d y, para esto debemos

hacer lo siguiente.

106

Derivadas


Pasos para derivar funciones implícitas

P.1) Para encontrard y

d xde una función implícita f (x, y).

a) Debemos derivar la función con las reglas habituales, pero considerando y co-mo función de x, por lo que para cada término que contenga la variable y ,debemos usar la regla de la cadena, es decir d f (y)

d x = d f (y)d y

d yd x .

b) Enseguida se iguala a cero la derivada y se despeja d yd x .

P.2) Para encontrard x

d yde una función implícita f (x, y).

a) Debemos derivar la función con las reglas habituales, pero considerando x co-mo función de y , por lo que para cada término que contenga la variable x de-bemos usar la regla de la cadena, es decir d f (x)

d x = d f (x)d x

d xd y .

b) Enseguida se iguala a cero la derivada y se despeja d xd y .

4.16

Encontrar la derivada con respecto de x de la función 3x y + (x + y

)2 = x

Solución .Escribimos la función en su forma implícita como f (x, y) = 3x y + (

x + y)2 − x, en este

caso y es función de x, por lo que la derivada queda

d f (x, y)

d x= d

d x

(3x y + (

x + y)2 −x

)= 3x

d y

d x+3y +2(x + y)

(1+ d y

d x

)−1

igualando a cero la derivada y despejandod y

d x

3xd y

d x+3y +2(x + y)

(1+ d y

d x

)−1 = 0 ⇒ d y

d x=−2x +5y −1

5x +2y.


Encontrar la derivada con respecto de y de la función 3x y + (x + y

)2 = x

Otro método para obtener derivadas implícitas

Aunque el estudio de derivadas parciales corresponde a un curso de cálculo multivariable,en esta sección podemos usar esta técnica para resolver derivadas implícitas y así simplificarnuestro trabajo, para esto realizamos lo siguiente:

107


Segundo método para derivar funciones implícitas

P.1) Escribir la función en su forma implícita.

P.2) Encontrar la derivadad f (x, y)

d xconsiderando a y como una constante.

P.3) Encontrar la derivadad f (x, y)

d yconsiderando a x como una constante.

P.4) Usar la fórmula d yd x =−

d fd xd fd y

para encontrar la derivada respecto a y .

P.5) Usar la fórmula d xd y =−

d fd yd fd x

para encontrar la derivada respecto a x.

4.17

Encontrar la derivada con respecto de x e y de la función 3x y + yx = c

Solución .La forma implícita de la ecuación es f (x, y) = 3x y+ y

x −c, con esto calculamos la derivadarespecto a x, considerando que y es una constante.

d f

d x= d(3x y + y

x − c)

d x= 3y − y

x2

por otro lado, para la derivada respecto de y , debemos tomar a x como constante

d f

d y= d(3x y + y

x − c)

d y= 3x − 1

x

finalmente para obtener d yd x

d y

d x=−

d fd xd fd y

=−3y − y

x2

3x − 1

x

=−3x2 y−y

x2

3x2−1x

=−3x2 y − y

3x3 −x,

y para d xd y

d x

d y=−

d fd y

d fd x

=−3x − 1

x

3y − y

x2

=−3x2−1

x3x2 y−y

x2

=− 3x3 −x

3x2 y − y.


Encontrar la derivada con respecto de las variables x, y de la función cos(x + y) = x

108

Derivadas

4.5 Regla de L’hopital Cálculo Diferencial.

4.5 Regla de L’hopitalLa regla de L’Hôpital es una herramienta muy útil para los casos en que tenemos límites in-determinados de la forma 0

0 ,∞∞ . Este método de resolver límites aprovecha las fórmulas de lasderivadas para simplificar el proceso de resolver límites indeterminados siempre y cuando ten-gan una indeterminación de la forma descrita anteriormente.

Proposición 4.1

Sean f (x) y g (x) dos funciones derivables en un intervalo (a,b) entonces, si existe ellímite f ′(x)

g ′(x) en un punto c, existe el límite de f (x)g (x) y son iguales, es decir,

lımx→c

f (x)

g (x)= lım

x→c

f ′(x)

g ′(x)= lım

x→c

f ′′(x)

g ′′(x)

Si al momento de realizar la derivada tanto en el numerador y denominador, no se elimina laindeterminación, debemos volver a derivar y todas las veces que sea necesario hasta que sepueda evaluar el límite directamente.

4.18

Resolver mediante la regla de L’Hôpital el lımx→0

tan x

1−cos x.

Solución .

Al sustituir directamente en el límite, tenemos lımx→0

tan x

1−cos x= 0

0por lo que derivamos el

numerador y denominador por separado para obtener

lımx→0

tan x

1−cos x= lım

x→0

sec2 x

sin x= 1

0

sin embargo este límite no existe pues al acercarnos por la izquierda nos da como resul-tado −∞, mientras que por la derecha obtenemos ∞.

4.19


ex−e−x−2xx−sin x .

Solución .

Al sustituir directamente en el límite, tenemos lımx→0

ex−e−x−2xx−sin x = 0

0por lo que derivamos

dos veces el numerador y denominador por separado para obtener

lımx→0

ex −e−x −2x

x − sin x= lım

x→0

ex +e−x −2

1−cos x= lım

x→0

ex −e−x

sin x= lım

x→0

ex +e−x

cos x= 2

En el caso de indeterminaciones∞∞ , también funciona este método.

109


4.20


31/x−151/x−1 .

Solución .Al sustituir directamente en el límite, tenemos lım

x→0

31/x−151/x−1 = ∞

∞ por lo que derivamos el

numerador y denominador por separado para obtener

lımx→0

31/x −1

51/x −1= lım

x→0

31/x ln3

51/x ln5= lım

x→0

ln3

ln5

(3

5

)1/x

= 0



ex−1−x− 12 x2− 1

6 x3

x3 .

4.6 Evaluaciones sumativas14.• Resolver las siguientes derivadas por medio de límites.

a.• f (x) = 3xx−1

b.• g (x) =px

c.• f (x) = x4

d.• h(x) = ex

e.• g (x) = ln[x]f.• f (x) = sin xg.• h(y) = tan yh.• g (x) = 1

15.• Resolver las siguientes derivadas algebraicas por medio de fórmulas.

a.• f (x) = (3x −2)(x2 −5)b.• f (x) = (x −2)4

(x2 −5

)c.• f (x) = 1

x3−x

d.• f (x) = 3p

x2 −2e.• f (x) = 3x−5

x2−1

f.• g (x) =p

x2 +x +1

g.• f (x) =p

2x−43x−6

h.• h(x) = x2−4(x−4)(x−3)(x−2)

i.• g (x) = ln[x25 −2]

j.• f (x) = 51−x

k.• g (x) =p

x −x3 +x2 −5

l.• f (a) = 3a2

4pa2−9

m.• m(z) = z1/3 − z(1−z)

16.• Resolver las siguientes derivadas trascendentes por medio de fórmulas.

a.• f (x) = cos5x

b.• f (x) = tan

(1

x

)c.• f (x) = x − sen3(ax)d.• g (x) = ln[x25 −2]

e.• f (x) = log[1+x]ex

f.• h(y) = tan(sec y)

g.• h(y) = sin[ 3y−21−y5 ]

h.• h(x) = e

(t an(x−2)+

px2−ex

)

17.• Usa la regla de la cadena para calcular las siguientes derivadas.

110

Derivadas


a.• f (x) = 3x2−5(3x2−5)15

b.• g (x) =p

x2 +x +1c.• h(x) = x2−4

6(x2−4)−p

x2−4

d.• f (x) = 1+xe1+x − sin[1+x]

1+x

e.• f (x) =p

2x−4e2x−4

f.• g (x) = ln[x15 −2x12 +5]

g.• h(y) = tan[y −12]− sec[y −12]

h.• g (x) = cot[p

x −x3 +x2 −5]

18.• Encontrar la derivada de orden superior que se indica en cada una de las siguientesfunciones.

a.• f (x) = e5x (quinta derivada)b.• f (x) = 1

x+4 (cuarta derivada)c.• f (x) = (15x3 +3x −4)(5x −2) (cuarta derivada)d.• f (x) = 1−ex

2+ex (segunda derivada)e.• f (x) = 2x20 +1 (vigésima derivada)f.• f (x) = sin x (segunda derivada)g.• f (x) = tan x (cuarta derivada)

19.• Encontrar las siguientes derivadas implícitas con respecto a la variable señalada.a.• 5x −6y = x y (con respecto de x)b.• sin[x + y] = 1 (con respecto de x)c.• x2 + y2 = c (con respecto de x, c es una constante.)d.• sec x

y+x = y (con respecto de x)

e.• x+yx y = x (con respecto de y)

f.• ln[ yx ] = x2 (con respecto de y)

g.• (x − y)(x + y) = ex y (con respecto de y)h.• x + yex −ex y = 1 (con respecto de x)i.• (x2 − y)(y2 −x) = x y (con respecto de x)

20.• Encontrar una función cuya derivada sea la expresión dada en cada inciso.

a.• x5

b.• ex+2

c.• 1+x1−x

d.• sin[x/2]e.• 5x2−3x

20

f.• (x +2)x2

g.• 29 x8

h.• 3p

x −1i.• e2x

j.• tan(x +1)

1115 Aplicaciones de la derivada

En la actualidad el concepto de derivada tiene muchas aplicaciones en distintas ramas de laingeniería, la física y la propia matemática como una herramienta útil para el desarrollo denuevas teorías. Una de las interpretaciones básicas de la derivada la podemos encontrar en lageometría en donde nos es de mucha ayuda para identificar figuras e interpretar gráficas.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, yaque se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededorde dicho punto.

Competencia específica a desarrollarAplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y de variaciónde funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.


Utilizar la derivada para calcular la pendiente de rectas tangentes a una curva en puntosdados.

Aplicar la relación algebraica que existe entre las pendientes de rectas perpendicularespara calcular, a través de la derivada, la pendiente de la recta normal a una curva en unpunto.

Determinar si dos curvas son ortogonales en su punto de intersección.

Aplicar el teorema de Rolle en funciones definidas en un cierto intervalo y explicar suinterpretación geométrica.

Aplicar el teorema del valor medio del cálculo diferencial en funciones definidas en uncierto intervalo y explicar su interpretación geométrica.

Determinar, a través de la derivada, cuándo una función es creciente o decreciente en unintervalo.

Obtener los puntos críticos de una función.

Explicar los conceptos de punto máximo, mínimo o punto de inflexión de una función.

112

Aplicaciones

dela

derivada5.1 Recta tangente y normal a una curva Cálculo Diferencial.

Determinar cuándo un punto crítico es un máximo, mínimo o un punto de inflexión(criterio de la primera derivada).

Explicar la diferencia entre máximos y mínimos relativos con los máximos y mínimosabsolutos de una función en un intervalo.

Mostrar la importancia del teorema de Rolle para la existencia de un máximo o de unmínimo en un intervalo.

5.1 Recta tangente y normal a una curva5.1.1 Recta tangente

Recordemos de la geometría analítica que una vez conocida la pendiente de una recta pode-mos encontrar su ecuación que pasa por un punto. A ésta se le conoce como ecuación punto-pendiente y está dada por:

y − y1 = m(x −x1),

donde m representa la pendiente de la línea recta y (x1, y1) un punto por donde pasa.

En la sección 4.3, vimos que se puede obtener la pendiente de la línea recta en cualquier puntode una curva con el simple hecho de calcular su derivada.

Así usando la ecuación anterior y la definición geométrica de la derivada podemos definir

Proposición 5.1

La ecuación de la recta tangente a cualquier curva descrita por una función f (x) en unpunto arbitrario (x1, y1) se obtiene mediante la fórmula

y − y1 = f ′(x1)(x −x1),

5.1

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x4 −2x3 +3x −2 para x = 1.

Solución .En primer lugar evaluamos x = 1 en la función para obtener f (1) = (1)4−2(1)3+3(1)−2 =1−2+3−2 = 0, así sabemos que la recta tangente que vamos a obtener toca a la curvaf (x) en el punto (1,0).Enseguida calculamos la derivada, es decirf ′(x) = 4x3 − 6x2 + 3 y la evaluamos en elpunto x = 1,

f ′(1) = 4(1)3 −6(1)2 +3 = 4−6+3 = 1,

finalmente la ecuación de la recta tangentees

y −0 = 1(x −1) ⇒ y = x −1.

-1 1 2X

-4

-2

2

4

Y

113

5.1 Recta tangente y normal a una curva Cálculo Diferencial.

5.2

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 3x −2

x2 +1en x = 1.

Solución .

En primer lugar evaluamos x = 1 en la función para obtener f (1) = 3(1)−2

(1)2 +1= 1

2, así la

recta tangente que vamos a obtener tocará a la curva f (x) en el punto

(1,

1

2

).

Enseguida calculamos la derivada, es decirf ′(x) = −3x2+4x+3

(x2+1)2 y la evaluamos en el punto

x = 1,

f ′(1) = −3(1)2 +4(1)+3((1)2 +1

)2 = 4

4= 1,

finalmente la ecuación de la recta tangentees

y − 1

2= 1(x −1) ⇒ y = x − 1

2.

-1 1 2X

-3

-2

-1

1

2

Y

5.1.2 Recta normal

Otra línea recta que nos interesa conocer, es aquella que resulta perpendicular a la recta tan-gente, esta ecuación la conocemos como recta normal a la curva y la definimos mediante lafórmula

y − y1 = mn(x −x1)

Como sabemos que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a −1,podemos definir

Definición 5.1 Pendiente de una recta Normal

La pendiente de la recta normal (mn) a una curva en un punto dado x1 es el negativo dela inversa multiplicativa de la pendiente de la recta tangente en dicho punto, es decir

mn =− 1

mt

donde mt es la pendiente de la recta tangente.

Así usando la ecuación de la recta normal, la definición anterior y la derivada geométrica po-demos definir

Proposición 5.2

La ecuación de la recta normal a cualquier curva descrita por una función f (x) en unpunto arbitrario (x1, y1) se obtiene mediante la fórmula

y − y1 =− 1

f ′(x1)(x −x1),

114

Aplicaciones

dela

derivada5.2 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Cálculo Diferencial.

5.3

Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva f (x) = 3x −2

x2 +1en x = 1.

Solución .

En primer lugar evaluamos x = 1 en la función para obtener f (1) = 1

2, así las rectas tan-

gente y normal tocarán a la curva f (x) en el punto

(1,

1

2

).

Enseguida calculamos la derivada, es decirf ′(x) = −3x2+4x+3

(x2+1)2 y al evaluarla en x = 1, ob-

tenemos f ′(1) = 1, finalmente la ecuaciónde la recta tangente es

y − 1

2= 1(x −1) ⇒ y = x − 1

2.

y de la recta normal

y − 1

2=−1

1(x −1) ⇒ y = 3

2−x.

-1 1 2X

-3

-2

-1

1

2

Y

5.2 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial5.2.1 Teorema de Rolle

Suponga que tenemos una función y = f (x), continua y diferenciable sobre un intervalo ce-rrado [a,b] y que f (a) = f (b), es decir se encuentran a la misma altura sobre los puntos a,brespectivamente, entonces el siguiente resultado nos dice que siempre es posible encontraruna recta tangente horizontal a la curva en un punto x = c dentro del intervalo (a,b).

Teorema 5.1 (Teorema de Rolle)

Si f : R→ R es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y es derivable sobre(a,b), además cumple que f (a) = f (b) entonces, existe al menos un número c pertene-ciente al intervalo (a,b) tal que f ′(c) = 0.

Demostración .Si f es constante es claro que f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a,b). Supongamos que la funciónf (x) es creciente en el punto x = a y notemos que por continuidad ésta no puede serabsolutamente creciente cuando x recorre desde a hasta b, puesto que f (a) = f (b), esdecir existe un punto c en el cual f (c−h) ≤ f (c) y f (c+h) ≥ f (c), pero estas desigualdadessignifican que

f (c + (−h))− f (c)

h≤ 0 y también

f (c +h)− f (c)

h≥ 0

Al aplicar el límite cuando h → 0, las dos ecuaciones son iguales pues nos estamos acer-cando por la derecha y por la izquierda

f ′(c) = lımh→0

f (c + (−h))− f (c)

h= lım

h→0

f (c +h)− f (c)

h= 0

por lo tanto f ′(c) = 0.

115

5.2 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Cálculo Diferencial.

Geométricamente podemos apreciar que debe existir un valor c, entre a y b en el cual la rectatangente a la curva en f (c) es horizontal.

a b

f (a) f (b)

c

f (c)

�

-�

�

�

Figura 5.1. Teorema de Rolle

Notemos que puede haber más de una recta horizontal tangente a la curva dentro del intervalocontinuo, para encontrarla derivamos la función e igualamos a cero, después despejamos lavariable.

5.4

Dada la función f (x) = x3−3x+1, encontrar los puntos donde f ′(x) = 0 dentro del inter-valo (−1.87,1.53).

Solución .Como f (x) es continua en (a,b) y diferenciable, por el teorema de Rolle, existe al menosun punto c tal que f ′(c) = 0.Para encontrarlo derivamos f ′(x) =3x2 − 3, igualamos a cero y despeja-mos x

3x2 −3 = 0 ⇒ x = 1,−1

ambos quedan dentro de nuestro in-tervalo, por lo que al sustituir estosvalores de x en la función f (x) ob-tenemos los puntos (1,−1) y (−1,3),donde se encuentran las tangenteshorizontales

(-1, 3)

(1, -1)-��

�

-�

�

�

Aún si no se cumplen todas las condiciones del teorema, posiblemente podremos encontrarrectas horizontales dentro del intervalo pedido, esto nos dice que el teorema es necesario perono suficiente.Las funciones f (x) = x2/3 − 2 y g (x) = x − x1/3 son continuas en el intervalo [−2,2] pero noson derivables en x = 0 sin embargo en una de ellas si podemos encontrar incluso dos rectastangentes horizontales a la curva en este intervalo, como se puede apreciar en las gráficas.

5.2.2 Teorema del valor medio

Una generalización del teorema de Rolle es el teorema de valor medio (o teorema de Lagrange),el cual nos dice que no necesariamente deben ser horizontales las rectas punteadas que se

116

Aplicaciones

dela

derivada5.2 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Cálculo Diferencial.

-� ��

�

(a) f (x) = x2/3 −2

-2 2X

Y

(b) g (x) = x −x1/3

Figura 5.2. Funciones no diferenciables en x = 0

aprecian en la figura del teorema de Rolle.

Este teorema establece que cuando una función f : R→ R es continua sobre un intervalo ce-rrado [a,b] y diferenciable en su interior, entonces debe haber por lo menos un punto sobre lagráfica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta secanteque pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). La palabra medio se refiere aquí a un promedio; esdecir, al valor de la derivada en algún punto es el mismo que la razón de cambio media de lafunción sobre el intervalo.

Teorema 5.2 (Teorema del valor medio)

Si f : R→ R es una función continua en el intervalo [a,b] y diferenciable en el intervaloabierto (a,b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a,b) tal que la tan-gente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).Es decir:

f ′(c) = f (b)− f (a)

b −a.

Demostración .Consideremos la función d(x) como la distancia vertical entre un punto sobre la gráficade y = f (x) y la recta secante que pasa por (a, f (a))y(b, f (b)), como se muestra en lafigura.Puesto que la ecuación de la recta secante es

y − f (b) = f (b)− f (a)

b −a(x −b)

y de la propia figura podemos observar qued(x) = y2 − y1, es decir

d(x) = f (x)−[

f (b)+ f (b)− f (a)

b −a(x −b)

]con derivada

d ′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a)

b −a

f (a)

f (b)

d(x)

(x, y2)

(x, y1)

X

-4

4

Y

y como d(a) = d(b) = 0 por el teorema de Rolle, existe un punto c en (a,b) tal que d ′(c) =0, por lo que concluimos que f ′(c) = f (b)− f (a)

b−a .

de acuerdo a este teorema geométricamente, siempre es posible encontrar al menos una recta

117

5.2 Teoremas fundamentales del cálculo diferencial Cálculo Diferencial.

paralela a la recta secante, como se ve en la siguiente figura:

f (a)

f (b)

f (c)

X

-4

4

Y

Figura 5.3. Teorema del valor medio

El teorema del valor medio nos garantiza que existe este punto x = c de tal forma que las rectasson paralelas, pero no nos dice como obtener ese valor de x, por lo que debemos recurrir anuestra destreza matemática para encontrarlo.

5.5

Dada la función f (x) = x3−2x2+x+1, indicar si contiene una recta paralela a la secanteformada por los puntos (−1,−3) y (2,3), si la respuesta es afirmativa, dar la ecuación dedicha recta.

Solución .El intervalo sobre el eje X , que se nos pide es [−1,2], ahí f (x) es continua y derivable ensu interior, por lo que cumple con el teorema del valor medio y por lo tanto debe existirun punto c ∈ (−1,2) tal que la recta tangente a la curva en f (c) es paralela a la rectapedida.Para encontrarlo derivamos f ′(x) =3x2 −4x +1 por otro lado sustituimosen la ecuación del teorema del valormedio, para obtener

3c2−4c+1 = 3+3

2+1⇒ 3c2−4c+1 = 2

Resolviendo esta última ecuación

c1 =−0.215 y c2 = 1.548

0.21

y = 1.99 x+ 1.09

y = 1.99 x- 1.61

-1 1.5 2X

-4

4

Y

es decir tenemos dos rectas paralelas a la secante y tangentes a la curva en los puntos(−0.125,0.841) y (1.548,1.464) cuyas ecuaciones son

y −0.841 = 1.99(x +0.125) ⇒ y = 1.99x +1.09

y tambiény −1.464 = 1.99(x −1.548) ⇒ y = 1.99x −1.61

118

Aplicaciones

dela

derivada5.3 Máximos y mínimos de una función Cálculo Diferencial.

5.3 Máximos y mínimos de una función5.3.1 Introducción

Ahora abordaremos el problema de encontrar los valores máximo y mínimo de una funciónf (x) sobre un intervalo I . La importancia de encontrar estos valores en caso de haberlos es quenos facilitan enormemente trazar la gráfica correspondiente a la función. Al encontrar estosmáximos y/o mínimos de una función también es posible resolver ciertos tipos de problemasde optimización.

En esta sección establecemos algunas definiciones importantes y mostramos como se puedeencontrar los valores máximo y mínimo de una función f (x) que es continua sobre un intervalocerrado I .

Definición 5.2 Máximos y mínimos locales

Dada una función f :R→R continua y diferenciable en un intervalo I , decimos que:

Un número f (x1) es un máximo local de una función si f (x) < f (x1) para todax ∈ (x1 −ε, x1 +ε)

Un número f (x1) es un mínimo local de una función si f (x) > f (x1) para todax ∈ (x1 −ε, x1 +ε)

Observación

Es importante que el valor de ε en la definición sea bastante pequeño, de lo contrariopodemos tener errores en nuestro cálculo de los valores máximos o mínimos locales.

Como podemos apreciar en las siguientes gráficas, una función puede tener muchos valoresmáximos y mínimos.

Máximo

Mínimo

-� ��

-�

�

�

(a) Interpretación geométrica del máximo y/omínimo local

-� -��

�

(b) Figura con varios máximos y mínimos locales

Figura 5.4. Máximos y mínimos de una función

Si en la figura (a) asignamos x1 = 0.2 y consideramos un ε = 1, se cumple la definición y es-taríamos garantizando el tener un valor mínimo en x1, sin embargo en la segunda gráfica (b)seguimos considerando ε= 1 de acuerdo a la definición no hay máximos ni mínimos, lo cual esun error pues en la figura se observan varios de ellos.

119

5.3 Máximos y mínimos de una función Cálculo Diferencial.

Definición 5.3 Valor crítico de una función

Dada una función f : R→ R continua y diferenciable en un intervalo I , decimos que unnúmero x1 es un valor crítico de la función, si f ′(x1) = 0.

Estamos listos ahora para calcular los valores máximos y mínimos de una función.

5.3.2 Criterio de la primera derivada

Para localizar e identificar un punto máximo o mínimo mediante la manipulación de la primeraderivada, debemos realizar los siguientes pasos:

Criterio de la primera derivada

P.1) Realizar la primera derivada, igualar a cero y despejar la variable para obtener losvalores críticos, x1, x2 . . ..

P.2) Para cada valor xi , se resta y se suma un valor bastante pequeño para obtener losvalores xi −ε, xi +ε y se evalúan en la función derivada.

P.3) Si al evaluar primero en xi −ε y luego en xi +ε hay un cambio de signo de:

a) Positivo a negativo, entonces el valor crítico corresponde a un máximo.

b) Negativo a positivo, entonces el valor crítico corresponde a un mínimo.

c) Si no hay cambio de signo, entonces no es ni máximo, ni mínimo.

P.4) Para obtener el valor máximo o mínimo, se evaluá el valor crítico correspondiente enla función original.

El hecho de encontrar valores máximos, mínimos nos permiten realizar el bosquejo de unagráfica de una manera rápida, pues basta con ubicar en el plano cartesiano los puntos quecorresponden a estos valores y hacer que la gráfica pase por cada uno de ellos, considerando lacaracterística que tiene cada uno de ellos.

5.6

Encontrar los valores máximos y mínimos de la función f (x) = 5x3 −3x2 +2

xy bosquejar

la gráfica con estos datos.

Solución .

Al derivar la función obtenemos f ′(x)− 2

x2 +10x −3 igualando a cero y simplificando

− 2

x2 +10x −3 = 0 ⇒ 10x3 −3x2 −2 = 0

cuya única solución real es x0 = 0.7037, es decir es nuestro único valor crítico, para sabera que corresponde, consideramos ε= 0.1 para obtener x0−ε= 0.6037 y x0+ε= 0.8037, alevaluarlos en la derivada obtenemos

f ′(0.6037) =− 2

(0.6037)2 +10(0.6037)−3 =−2.450

por otro lado

f ′(0.8037) =− 2

(0.8037)2 +10(0.8037)−3 = 1.941

120

Aplicaciones

dela


Como el resultado cambio de negativo apositivo en las evaluaciones, entonces x0

es un mínimo, para calcular este valor losustituimos en la ecuación original

f (0.7037) = 5(0.703)3 −3(0.703)2 +2

(0.703)= 3.2

Notemos que la gráfica tiene asíntota enx = 0, además el único punto crítico (mí-nimo) es (0.70,3.2).

-� ��

-��

��

��

�

Cuando se trata de funciones trigonométricas, debemos considerar todos los posibles valoresque hagan cero a la derivada.

5.7

Encontrar los valores máximos y mínimos de la función f (x) = sen(2x) en el intervalo(−3,3) y bosquejar la gráfica con estos datos.

Solución .

Al igualar a cero f ′(x) = 2cos(2x) = 0 podemos observar que x1 =−3π

4, x2 =−π

4, x3 = π

4

y x4 = 3π

4son solución dentro del intervalo (−3,3). Consideramos ε= 0.5 y evaluamos en

la derivada alrededor de cada punto

1. Para x1: f ′(−3π

4−0.5

)= 1.68 y f ′

(−3π

4+0.5

)=−1.68, es un máximo.

2. Para x2: f ′(−π

4−0.5

)=−1.68 y f ′

(−π

4+0.5

)= 1.68, es un mínimo.

3. Para x3: f ′(π

4−0.5

)= 1.68 y f ′

(π4+0.5

)=−1.68, es un máximo.

4. Para x4: f ′(

3π

4−0.5

)=−1.68 y f ′

(3π

4+0.5

)= 1.68, es un mínimo.

Al evaluar cada punto crítico en la fun-ción original tenemos los valores máximoso mínimos,

f

(−3π

4

)= 1, f

(−π

4

)=−1

f(π

4

)= 1, f

(3π

4

)=−1.

-�π

�-

π

�

π

�

�π

�

�

-�

�

�

5.3.3 Criterio de la segunda derivada

En lo que sigue el objetivo será relacionar el concepto de concavidad con la segunda derivadade una función. Así, la segunda derivada constituye otra manera para probar si un valor críticode una función f :R→R corresponde a un valor máximo o mínimo.

121

5.3 Máximos y mínimos de una función Cálculo Diferencial.

A fin de lograr una buena interpretación geométrica de una función, debemos considerar lassiguientes definiciones.

Una curva se dice que tiene concavidad hacia abajo si es posible acomodar parte de una cir-cunferencia por abajo de la gráfica de tal forma que sea tangente a la gráfica, y será cóncavahacia arriba si la circunferencia se acomoda en la parte superior, no obstante, la definiciónprecisa de concavidad se proporciona en términos de la derivada.

Definición 5.4 Tipo de concavidad en la gráfica de una función

Sea f :R→R una función diferenciable sobre un intervalo (a,b).

1. Si f ′(x) es una función creciente sobre (a,b), entonces la gráfica de f (x) es cóncavahacia arriba sobre el intervalo.

2. Si f ′(x) es una función decreciente sobre (a,b), entonces la gráfica de f (x) es cón-cava hacia abajo sobre el intervalo.

Existe un punto especial que divide la concavidad de una curva, hacia arriba o hacia abajo, estepunto lo describimos en la siguiente definición.

Definición 5.5 Punto de inflexión

Dada una función f : R→ R continua y diferenciable en un intervalo I , decimos que unpunto (x1, y1) es un punto de inflexión de la gráfica de f (x) si en ese punto hay una rectatangente y la gráfica cambia de concavidad.

La siguiente figura muestra el punto donde la gráfica cambia de concavidad.

Punto de inflexión

Concavidad hacia arriba

Concavidad hacia abajo

-� � � ��

-�

-�

�

�

�

Figura 5.5. Concavidades de una función

Teorema 5.3

Si (x1, f (x1)) es un punto de inflexión para la gráfica de una función f (x), entoncesf ′′(x1) = 0 o f ′′(x1) no existe.

El inverso de este teorema no es cierto, es decir el hecho de que f ′′(x1) = 0 no implica que x1

sea un punto de inflexión.

Para encontrar los valores máximos y mínimos de una función f (x) podemos proceder usandola segunda derivada de la siguiente manera:

122

Aplicaciones

dela


Criterio de la segunda derivada

P.1) Realizar la primera derivada, igualar a cero y despejar la variable para obtener losvalores críticos, x1, x2 . . ..

P.2) Calcular la segunda derivada y evaluarla en cada uno de los valores críticos, consi-derando que:

Si f ′′(xi ) < 0, implica que xi corresponde a un valor máximo.

Si f ′′(xi ) > 0 implica que xi corresponde a un valor mínimo.

Si f ′′(xi ) = 0 o no existe, debemos emplear el criterio de la primera derivada.

P.3) Para obtener el valor máximo o mínimo de la función, se evaluá el valor crítico co-rrespondiente en la función original.

5.8

Encontrar los valores máximos y/o mínimos de la función f (x) = 2x4 −5.

Solución .Al derivar obtenemos f ′(x) = 8x3, igualando a cero observamos que el único punto crí-tico es x = 0, enseguida derivamos nuevamente para tener f ′′(x) = 24x2, al evaluar elpunto crítico en la segunda derivada f ′′(0) = 0, en este caso este criterio no nos da unresultado por lo que recurrimos al criterio de la primera derivada.

Para esto, consideramos ε = 0.1, y evalua-mos:

f ′(−0.1) =−0.008 y f ′(0.1) = 0.008

es decir, cambia de negativo a positivo por loque se trata de un mínimo, al sustituir en lafunción original, calculamos este valor mí-nimo de la función como f (0) =−5.

-� -� � ��

-�

�

�

Aún cuando en ocasiones no es posible concluir nada con el criterio de la segunda derivada,este método es muy importante ya que facilita el trabajo en la mayoría de funciones más ela-boradas.

5.9

Encontrar los valores máximos y/o mínimos de función g (x) = x2 −x −ex2.

Solución .

123

5.4 Diferenciales Cálculo Diferencial.

Al derivar obtenemos g ′(x) = 2x −1−2xex2,

con ayuda de métodos numéricos obte-nemos el único punto crítico que es x =−0.724, enseguida derivamos nuevamentepara tener g ′′(x) = −4ex2

x2 − 2ex2 + 2, y alevaluar el punto crítico en la segunda deri-vada g ′′(−0.724) = −4.928, es decir, corres-ponde a un máximo. Finalmente el valormáximo es g (−0.724) =−0.44.

-� -� � ��

-�

�


Encontrar los valores máximos y/o mínimos de función g (x) = x2 −3x+2x −1.

5.4 DiferencialesEn muchas ocasiones nos enfrentamos con problemas en donde debemos calcular el cambioque ocurre en una función f (x) cuando el valor de la variable independiente x pasa de un valorfijo x1 a x2, esto se puede hacer si encontramos los valores de f (x1) y f (x2) por separado ytomamos la resta de estas dos funciones, como se manejó en la sección de incrementos de launidad anterior

Por ejemplo, si quisiéramos conocer el volumen del cartón que forma una caja cerrada en for-ma de cubo con 250mm, por lado en el interior y 251mm, de medida exterior. Calculando elvolumen exterior e interior obtenemos

Vi = (l )(a)(h) = (250)(250)(250) = 15,625,000mm3

Ve = (l )(a)(h) = (251)(251)(251) = 15,813,251mm3

y al restar Ve −Vi obtenemos que el volumen del cartón es 188,251mm3.

Podríamos utilizar este procedimiento siempre que nos enfrentemos a situaciones como esta,sin embargo la mayor parte de las veces , es más fácil encontrar un valor bastante aproximado(que normalmente para fines prácticos es suficiente), esto lo podemos hacer usando diferen-ciales.

Supongamos que tenemos una función y = f (x) si calculamos la derivada de esta función ten-dríamos con la notación de Leibnitz

d y

d x= f ′(x).

Al separar d y y d x, además despejando d y

d y = f ′(x)d x. (5.1)

que nos sirve para aproximar un incremento en la función a partir de el incremento en la va-riable, más propiamente

124

Aplicaciones

dela

derivada5.4 Diferenciales Cálculo Diferencial.

Definición 5.6 Diferencial de una función

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de lavariable independiente, es decir

d y = f ′(x)d x.

Veamos algunos resultados que se obtienen a partir de esta definición.

Proposición 5.3

La diferencial d(u + v −w) = du +d v −d w .

Demostración .De acuerdo a la fórmula de una suma de derivadas tenemos

d(u + v −w)

d x= du

d x+ d v

d x− d w

d x

por lo tanto, lo único que hay que hacer es multiplicar por d x ambos lados de la igualdad

d(u + v −w) = du +d v −d w.

Proposición 5.4

La diferencial d(uv) = u d v + v du.

Demostración .De acuerdo a la fórmula de multiplicación de funciones en la derivada, tenemos

d y

d x= u(x)

d v

d x+ v(x)

du

d x

por lo tanto, lo único que hay que hacer es multiplicar por d x ambos lados de la igualdad

d y = u(x)d v + v(x)du.

Enseguida mostramos una tabla de fórmulas diferenciales, notemos que son prácticamente las

mismas que para derivadas, sólo que ahora separamos la razónd y

d x.

125


Fórmulas de diferenciales

Sean u(x), v(x), w(x) funciones de x y a,c constantes.

P.1) d(c) = 0.

P.2) d(x) = d x.

P.3) d(cu) = cd(u).

P.4) d(u + v −w) = du +d v −d w.

P.5) d(uv) = ud v + vdu.

P.6) d( uv ) = vdu−ud v

v2 .

P.7) d( uc ) = du

c .

P.8) d(xn) = nxn−1d x.

P.9) d(un) = nun−1du.

P.10) d(lnu) = duu .

P.11) d(au) = au ln adu.

P.12) d(eu) = eudu.

P.13) d(vu) = uvu−1d v + vu ln vdu.

P.14) d(sinu) = cosu du

P.15) d(cosu) =−sinu du

P.16) d(tanu) = sec2u du

5.10

Encontrar la diferencial d y de la función y = 3x2 −5x.

Solución .Usando las fórmulas P.4, P.3 y P.8 respectivamente, tenemos d y = d(3x2 −5x) = d(3x2)−d(5x) = 3d(x2)−5d(x) = 3(2xd x)−5d x = (6x −5)d x.

5.11

Encontrar la diferencial d y de la función y = 8x3cosx.

Solución .Consideramos y cómo un producto de funciones con u(x) = cosx, y v(x) = 8x3, y usamosla fórmula d y = u d v + v du para obtener

d y = (cos x)(24x2d x)+ (8x3)(−sen x d x) = 8(3x2 cos x −x3 sen x)d x.

Para calcular una diferencial se puede realizar primero la derivadad y

d xde forma normal y al

final pasar multiplicando d x.

5.12

Dada la función v(x) = (x3 +3x −2)3, encontrar su diferencial d v .

Solución .Derivamos de forma normal la función

d v

d x= d

d x(x3 +3x −2)3 = 3(x3 +3x −2)2(3x2 +3)

finalmente multiplicamos toda la ecuación por d x para obtener

d v = 3(x3 +3x −2)2(3x2 +3)d x.

126

Aplicaciones

dela

derivada5.4 Diferenciales Cálculo Diferencial.

La operación de hallar diferenciales se llama diferenciación.


Calcula la diferencial de las siguientes funciones:

(a) y = 3x2 −9x3 +7

(b) g = 3cos2 x −5x4

(c) f = tan x −2(x −1)4

(d) h =px −2

En el caso de funciones implícitas, la diferencial se calcula de forma más simple que para de-rivadas, aquí sólo hay que diferencial de forma natural cada variable y despejar la diferencialpedida.

5.13

Dada la función implícita x2 + y2 = a2, encontrar d y .

Solución .Calculamos la diferencial de cada uno de los términos en la ecuación,

d(x2)+d(y2) = d(a2) ⇒ 2x d x +2y d y = 0

y despejando d y , tenemos

2yd y =−2xd x ⇒ d y =−xd x

y.

5.4.1 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

En esta parte mostraremos algunos ejemplos de la aplicación de diferenciales en problemasprácticos. Para comenzar resolvamos el ejemplo de la caja de cartón propuesto al inicio de estasección por medio de diferenciales.

5.14

Encontrar el volumen del cartón que forma una caja cerrada en forma de cubo con250mm, por lado en el interior y 251mm, de medida exterior.

Solución .El lado interior L del cubo según se definió es de 250mm y tomamos como la diferencialel grosor del cartón, es decir dL = 1mm. Ahora el volumen de la caja de cartón cerradaen forma de cubo se calcula con la fórmula

V = L3 cuya diferencial es dV = 3L2dL

sustituyendo, obtenemos el volumen del cartón como

dV = 3(250)2(1) = 187500mm3.

Si comparamos con el resultado exacto que obtuvimos al principio de 188,251mm3, vemos quela diferencia entre ambos resultados es muy pequeña comparada con el valor obtenido.

127


En este ejemplo se tomó dL = 1mm, que representa el grosor del cartón pero si se trabaja conmateriales más delgados el error se reduce considerablemente.

5.15

Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mmsu lado.

Solución .En este caso tenemos que L = 2m y la diferencial 0.001m, además la fórmula para calcu-lar el área de un cuadrado es

A = L2

si derivamos obtenemosd A = 2L dL

Sustituyendod A = 2(2)(0.001) = 0.004m2

es decir inicialmente tiene un área de 4m2 y aumenta a 4.004m2.

5.16

Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando éstaaumenta 0.2 cm su longitud.

Solución .Como datos tenemos que a = 20cm y d a = 0.2cm, entonces

V = a3 y dV = 3a2d a

por lo tanto tenemos que la variación es igual a

dV = 3(20)2(0.2) = 240cm3

Observación

En problemas en donde se nos proporciona más de una variable, lo primero que debe-mos hacer es relacionar estas variables de manera que sólo tengamos una variable inde-pendiente, para esto debemos usar las propiedades matemáticas del propio problema.

5.17

Un terreno mide el doble de largo que de ancho, cuanto varía su área si se comete aldelimitarlo un pequeño error idéntico en ambas magnitudes.

Solución .Si denotamos como y al largo del terreno y x al ancho, entonces y = 2x, de aquí como elárea es A = x y = x(2x) = 2x2, al calcular la diferencial tenemos

d A = 4x d x

128

Aplicaciones

dela

derivada5.5 Problemas de optimización Cálculo Diferencial.

que nos representa la variación del terreno, y d x sería el error cometido al delimitarlo.

5.18

Un fabricante de pelotas de plástico realiza la producción de 200 pelotas de cierto mode-lo cuya característica de diseño implica un diámetro interior de 30 cm y un espesor de 2mm. Por motivo de un desajuste en la maquinaria, los encargados de control de calidadafirman que las pelotas han salido con un espesor de 2.3 mm. ¿Cuánto plástico en excesose ha gastado aproximadamente en la producción?

Solución .En este caso, ya que podemos considerar que la pelota es un recipiente de “pared delga-da”, podemos calcular la cantidad de plástico extra empleada por cada pelota como

V = espesor(área de la pelota) = 4π(r 3 − r 30 )/3

donde r0 es el radio interior, r es el radio exterior y dr es la variación, calculando ladiferencial respecto a r

dV = 4πr 2dr = 4π(15.2)2(0.03) = 87.100cm3

y puesto que se produjeron 200 pelotas tendremos 17420 cm3, es decir 17.420 lt de plás-tico excedente, que representa una pérdida considerable.

5.5 Problemas de optimizaciónAl referirnos a un problema de optimización, debemos entender que éste consiste en maximi-zar o minimizar una función real que se obtiene a partir de los datos del propio problema ycalculando el valor final de la función.De forma general, la optimización matemática consiste en el descubrimiento de los valoresmás apropiados para alguna función que modela cierto problema referido.No existe una forma específica de resolver este tipo de problemas, sin embargo podemos darun método sugerido de forma que se pueda atacar la mayor cantidad de problemas, el cualpodemos resumirlo de la siguiente manera:

Pasos para resolver problemas de optimización

P.1) Identificar y escribir la(s) ecuación(es) correspondiente al problema.

P.2) Mediante el uso de relaciones matemáticas hacer que la ecuación dependa de unasola variable.

P.3) derivar la ecuación con respecto a la variable libre, igualar a cero y resolver paraencontrar el punto deseado (máximo o mínimo).

P.4) Sustituir en la ecuación original para conocer este valor máximo o mínimo.

Consideremos los siguientes ejemplos

129

5.5 Problemas de optimización Cálculo Diferencial.

5.19

Dividir un número positivo dado a en dos sumandos, de manera que su producto sea elmayor posible.

Solución .Escribir a = b + c y sea P = bc, expresamos P en términos de una sola variable, digamosc entonces de la primera igualdad se tiene b = a − c y sustituyendo P = (a − c)c = ac − c2

derivando esta última expresión tenemos P ′(c) = a −2c e igualando a cero nos dice quec = a/2 es un punto crítico. Claramente es un máximo y por lo tanto la división pedidaes a = a/2+a/2.

5.20

Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando uncono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

Solución .Observemos que se quiere obtener el volumen máximo del cono que se forma, por loque debemos usar la formula V = 1

3πr h del apéndice A, para encontrarlo.

Para expresar este volumen en términos de una so-la variable recordemos que nos dan como dato elperímetro igual a 30cm y de la figura 30 = 2g +2r ,también g =

ph2 + r 2 por lo que al sustituir g en la

primera ecuación y despejar h, se obtiene

30 = 2√

h2 + r 2 +2r es decir h =p225−30r

y sustituyendo en la fórmula para el volumen

V = 1

3πr h = 1

3πr (

p225−30r )

como ya depende de una sola variable, derivamos

V ′(r ) =π

(75−15rp225−30r

)igualando a cero y resolviendo tenemos que r = 0 es un mínimo y r = 5 corresponde a unvalor máximo, por lo que concluimos que el triángulo debe tener base de 10 cm y por lotanto ser un triángulo equilátero.

5.21

Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo.

Solución .Consideremos la esfera de radio R y recordemos que la fórmula para encontrar el volu-men de un cilindro es V =πr 2h donde r es el radio del cilindro y h su altura.

130

Aplicaciones

dela

derivada5.6 Evaluaciones sumativas Cálculo Diferencial.

Para expresar este volumen en términos de unasola variable consideremos el triángulo rectángu-lo A B C de la figura, por Pitágoras se tiene quer = 1

2

p4R2 −h2 y sustituyendo en nuestra fórmula

queda

V =πr 2h =π4R2 −h2

4h =πR2h − πh3

4

derivando se obtiene

V ′(h) =πR2 − π3h2

4

C

A

B2r

2R

h

igualando a cero y resolviendo obtenemos el punto critico (máximo) para h = 2Rp3

y final-mente las dimensiones del cilindro

altura: h = 2Rp3

, radio: r = R

√2

3.


1.• Encontrar los valores máximos y mínimos para las siguientes funciones, así como los pun-tos de inflexión.

a.• f (x) = x3 −3x2 +3x +2.

b.• g (x) = 2x3 +3x2 −12x +5.

c.• f (x) = x2(x −12)2.

d.• h(x) = x(x −1)2(x −2)3.

e.• g (x) = x3

x2+3 .

f.• f (x) = x2−2x+2x−1

g.• h(y) = (x−2)(8−x)x2 .

h.• g (x) = 16x(4−x2)

i.• g (x) = 4px2+8

j.• g (x) = x3p

x2−4k.• f (x) = 2sin2x + sin4x.

l.• f (x) = x − ln(1+x).

m.• f (x) = x ln x.

n.• f (x) = xex .

2.• Resolver los siguientes problemas.a.• Encontrar las dimensiones en que se debe doblar un trozo de alambre de longitud l , de

manera que forme un rectángulo cuya área sea la mayor posible.b.• ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado igual a 2p, tiene mayor área?c.• Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela metálica

y colindante por el cuarto con una pared de piedra. ¿Que forma será más conveniente dar a lasuperficie (para que su área sea mayor), si se dispone en total de l m. lineales de tela metálica?

d.• De una hoja de cartón cuadrada, de lado a hay que hacer una caja rectangular abierta,que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello los cuadrados en las esquinas dela hoja y doblando después los salientes de la figura en forma de cruz así obtenida. ¿Cuál es lalongitud del lado del cuadrado que se debe recortar?

e.• Un depósito abierto, de hoja de lata, con fondo cuadrado, debe tener capacidad para mlitros. ¿Que dimensiones debe de tener dicho depósito para que en su fabricación se necesitela menor cantidad de hoja de lata?

131


f.• ¿Cuál de los cilindros de volumen V tiene menor superficie total?g.• Inscribir en un a esfera dada un cilindro que tenga mayor superficie lateral posible.h.• Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo.i.• Inscribir en una esfera dada un cono circular recto que tenga la mayor superficie lateral

posible.j.• ¿Cuál de los conos circunscritos en torno a una esfera tiene el menor volumen?k.• De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos dé un embudo de la

mayor capacidad posible.l.• Un recipiente abierto está formado por un cilindro, terminado por su parte por su parte

inferior en una semiesfera; el espesor de sus paredes es constante ¿Qué dimensiones deberátener dicho recipiente para que, sin variar capacidad, se gaste en hacerlo la menor cantidad dematerial?

m.• Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de mayor área posible, que tenga los ladosparalelos a los ejes de la propia elipse.

n.• Una lampara está colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r , ¿A que alturadebe estar la lampara, sobre la mesa, para que la iluminación de un objeto que se encuentra enel borde de la mesa sea la mejor posible? (la iluminación es directamente proporcional al co-seno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente proporcional al cuadradode la distancia al foco de luz).

ñ.• Un corredor tiene que ir desde el punto A, que se encuentra en una de las orillas de unrío, al punto B que se halla en la otra. Sabiendo que la velocidad de movimiento por la orilla es 5veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar bajo que ángulo θ deberá atravesarel río, para llegar al punto B en el menor tiempo posible. la anchura del río es 20m; la distanciaentre los puntos A y B (por la orilla) es 80m.

133A Fórmulas de geometría

A.1 Figuras geométricas 2D

Nombre Figura Perímetro Área

Circunferencia r 2πr πr 2.

Rectángulo

a

b 2a +2b a b.

Triángulo hc

a

b a +b + ca h

2.

Trapecio ha

B

b

2a +b +B(B +b)h

2.

134

Fórmulas

degeom

etríaA.2 Figuras geométricas 3D Cálculo Diferencial.

Pentágonoa

L

5L5L a

2.

Polígono regular de n la-dos

a

L

Área = nLa2

Perímetro = nL

n Ln L a

2.

a=apotema h= altura r=radio

A.2 Figuras geométricas 3D

Nombre Figura Superficie Volumen

Esfera 4πr 2 4

3πr 3.

Cubo 6L2 L3.

Paralelepípedo 2(AB +BC + AC ) ABC .

Cilindro cerrado 2πr (h + r ) AB h.

135

A.3 Geometría plana Cálculo Diferencial.

Cono circular recto ce-rrado

πr (g +h)1

3AB h.

g=generatriz h= altura AB = Área de la base r=radio

A.3 Geometría planaLa pendiente de una línea recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es:

m = y2 − y1

x2 −x1.

La ecuación de una línea recta:

• Que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es y − y1 = y2 − y1

x2 −x1(x −x1).

• Que pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m es y − y1 = m(x −x1).

• Que intersepta al eje Y en el punto (0,b) y tiene pendiente m es y = mx +b.

La ecuación de una parábola:

• Con vértice en el punto (h,k) y foco en (h +p,k) es (y −k)2 = 4p(x −h).

• Con vértice en el punto (h,k) y foco en (h,k +p) es (x −h)2 = 4p(y −k).

• En forma general es ax2 +bx y + c y2 +d x + e y + f = 0, donde se debe cumplir queb2 −4ac = 0 y además los coeficientes a, c no se anulen simultáneamente.

La ecuación de una circunferencia:

• Con vértice en el punto (h,k) y radio r es (x −h)2 + (y −k)2 = r 2.

• En forma general es x2 +bx y + y2 +d x +e y + f = 0.

El ángulo entre dos rectas en el plano es tanθ = m2−m11+m1m2

.

La distancia entre dos puntos P1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2) está dada por:

d =√

(x2 −x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

137B Fórmulas de trigonometría

Identidades trigonométricas fundamentales

1. 1+ tan2(x) = sec2(x)

2. 1+cot2(x) = csc2(x)

3. 1−cos2(x) = sen2(x)

4. csc(x) = 1sen(x)

5. sec(x) = 1cos(x)

6. cot(x) = 1tan(x)

7. tan(x) = sen(x)cos(x)

8. cot(x) = cos(x)sen(x)

Identidades de sumas y restas de ángulos

1. sen(x + y) = sen(x)cos(y)+cos(x)sen(y)

2. sen(x − y) = sen(x)cos(y)−cos(x)sen(y)

3. cos(x + y) = cos(x)cos(y)− sen(x)sen(y)

4. sen(x − y) = cos(x)cos(y)+ sen(x)sen(y)

5. tan(x + y) = tan(x)+tan(y)1−tan(x) tan(y)

6. tan(x − y) = tan(x)−tan(y)1+tan(x) tan(y)

Identidades del doble y mitad de un ángulo

1. sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

2. cos(2x) = cos2(x)− sen2(x) = 2cos2(x)−1

3. tan(2x) = 2tan(x)1−tan2(x)

4. sen x2 =±

√1−cos x

2

5. cos x2 =±

√1+cos x

2

Identidades de productos de funciones

1. sen2(x) = 12 (1−cos(2x))

138

Fórmulas

detrigonom

etríaCálculo Diferencial.

2. cos2(x) = 12 (1+cos(2x))

3. sen(x)cos(x) = 12 sen(2x)

4. sen(x)sen(y) = 12 (cos(x − y)−cos(x + y))

5. sen(x)cos(y) = 12 (sen(x − y)+ sen(x + y))

6. cos(x)cos(y) = 12 (cos(x − y)+cos(x + y))

Propiedades de las funciones trigonométricas

1. La función sen x es impar, se cumple que sen(−x) =−sen(x).

2. La función cos x es par, se cumple que cos(−x) = cos(x).

3. La función tan x es impar, se cumple que tan(−x) =− tan(x).

4. La función cot x es impar, se cumple que tan(−x) =− tan(x).

5. El cos x es el complemento del sen x, es decir sen(π2 −x) = cos(x).

6. El sen x es el complemento del cos x, es decir cos(π2 −x) = sen(x).

7. La tan x es el complemento de la cot x, es decir tan(π2 −x) = cot(x).

8. La cot x es el complemento de la tan x, es decir cot(π2 −x) = tan(x).

Funciones trigonométricas para triángulos rectángulos

1. sen A = c.o.

h= a

c

2. cos A = c.a.

h= b

c

3. tan A = c.o.

c.a.= a

b

4. cot A = c.a.

c.o.= b

a

5. sec A = h

c.a.= c

b

6. csc A = h

c.o.= c

a

A

B

b

a

c

donde h es la hipotenusa, c.o. es el cateto opuesto y c.a. el cateto adyacente.Además el teorema de pitágoras establece que:

c2 = a2 +b2

Funciones trigonométricas para triángulos oblicuángulos

1. Ley de senos:

a

sen A= b

senB= c

senC

2. Ley de cosenos:

c2 = a2 +b2 −2a b cosC

3. Ley de tangentes:

a +b

a −b= t an

( A+B2

)t an

( A−B2

)

A

c

b

B

a

C

139C Fórmulas de derivadas

Consideremos que c es una constante y u, v, w son funciones de la variable x.

1. dd x (c) = 0

2. dd x (x) = 1

3. dd x (u + v −w) = d

d x (u)+ dd x (v)− d

d x (w)

4. dd x (cv) = c d

d x (v)

5. dd x (uv) = u d

d x (v)+ v dd x (u)

6. dd x (vn) = nvn−1 d

d x (v)

7. dd x (xn) = nxn−1

8. dd x ( n

pv) =

d vd x

nnp

vn−1

9. dd x ( u

v ) = v dd x (u)−u d

d x (v)v2

10. dd x ( u

c ) =d

d x (u)c

11. dd x |x| = x

|x| = sg n(x), (x 6= 0)

12. dd x (ln v) = 1

vd

d x (v)

13. dd x (log v) = loge

vd

d x (v)

14. dd x (av ) = av ln a d

d x (v)

15. dd x (ev ) = ev d

d x (v)

16. dd x (uv ) = uv

(d vd x ln |u|+ v d

d x lnu)

17. dd x (xx ) = xx (1+ ln x)

18. dd x (sen v) = cos v d

d x (v)

19. dd x (cos v) =−sen v d

d x (v)

20. dd x (tan v) = sec2 v d

d x (v)

21. dd x (cot v) =−csc2 v d

d x (v)

22. dd x (sec v) = sec v tan v d

d x (v)

23. dd x (csc v) =−csc v cot v d

d x (v)

24. dd x (arcsin v) =

dd x (v)p1−v2

25. dd x (arccos v) =−

dd x (v)p1−v2

26. dd x (arctan v) =

dd x (v)1+v2

27. dd x (arccotv) =−

dd x (v)1+v2

28. dd x (arcsecv) =

dd x (v)

vp

v2−1

29. dd x (arccscv) =−

dd x (v)

vp

v2−1

30. dd x senh x = coth x = ex+e−x

2

31. dd x cosh x = senh x = ex−e−x

2

32. dd x tanh x = sech2x

33. dd x sechx =− tanh x(sechx)

34. dd x cschx =−coth x(cschx)

35. dd x cothx =−csch2x

36. dd x argsenh x = 1p

x2+1

37. dd x argcosh x = 1p

x2−1

38. dd x argtanh x = 1

1−x2

39. dd x arg sechx = −1

|x|p

1−x2

40. dd x argcschx = −1

|x|p

1+x2

41. dd x argcoth x =− 1

x2−1

140

Fórmulas

dederivadas

Cálculo Diferencial.

Además si z(u) depende de u y a su vez u(x) depende de x, entonces la regla de la cadena nosdice que

d z

d x= d z

du

du

d x.

141D Respuesta a ejercicios propuestos

Respuestas

Sección 1.61. a. Irracional. la suma de un racional con un irracional siempre da irracional.

b. Irracional. la multiplicación de un racional distinto de cero con un irracional siempre dairracional.

c. Racional.

d. Irracional. El inverso multiplicativo de un irracional siempre da irracional.

e. Racional.

2. a. 1.56475 = 62594000 . Haciendo x = 1.56475 y multiplicando ambos lados por 100000, y despe-

jando x.

b. 0.003�6 = 339000 . Haciendo x = 0.003�6 y multiplicando ambos lados por 10000, luego restando

1000x y despejando.

c. 2.108 = 527250 . Haciendo x = 2.108 y multiplicando ambos lados por 1000.

d. 0.0951�6 = 5716000 . Haciendo x = 0.0951�6 y multiplicando ambos lados por 100000, luego

restando 10000x y despejando.

e. 0.19�5 = 44225 . Haciendo x = 0.19�5 y multiplicando ambos lados por 1000, luego restando

100x y despejando.

f. 8.7�27 = 9611 . Haciendo x = 8.7�27 y multiplicando ambos lados por 1000, luego restando 10x

y despejando.

g. 0.096�36 = 53550 , Haciendo x = 0.096�36 y multiplicando ambos lados por 100000, luego res-

tando 1000x y despejando.

h. 0.131�6 = 79600 . Haciendo x = 0.131�6 y multiplicando por 10000, luego restando 1000x y

despejando.

i. 100.100 = 100110 . haciendo x = 100.100 y multiplicando por 10.

j. 0.�9 = 1. Haciendo x = 0.�9 y multiplicando por 10, luego restando x y despejando.

142

Respuestas

dela

sección1.6

Respuestas de la sección 1.6 Cálculo Diferencial.

3. a. Desigualdad x ≤ 12.5; Intervalos x ∈ (−∞,12.5]; Conjuntos {x ∈R : x ≤ 12.5}.

b. Desigualdad −50 ≤ x <−3; Intervalos x ∈ [−50,−3); Conjuntos {x ∈R : −50 ≤ x <−3}.

c. Desigualdad |x −19.5| > 12.5; Intervalos x ∈ (−∞,7)∪ (32,∞); Conjuntos {x ∈R : x < 7, x >32}.

d. Desigualdad |x −5| > 0; Intervalos x ∈ (−∞,5)∪ (5,∞); Conjuntos {x ∈R : x 6= 5}.

e. Desigualdad −3 ≤ x ≤ 0; Intervalos x ∈ [−3,0]; Conjuntos {x ∈R : −3 ≤ x ≤ 0}.

f. Desigualdad x >−15 ; Intervalos x ∈ [−1

5 ,∞); Conjuntos {x ∈R : x >−1

5 }.

g. Desigualdad −12 ≤ x < 23; Intervalos x ∈ [−12,23); Conjuntos {x ∈R : −12 ≤ x < 23}.

h. Desigualdad x < −10 o x > 10; Intervalos x ∈ (−∞,−10)∪ (10,∞); Conjuntos {x ∈ R : x <−10 ó x > 10}.

i. Desigualdad −1 ≤ x ≤ 1; Intervalos x ∈ [−1,1]; Conjuntos {x ∈R : −1 ≤ x ≤ 1}.

j. El conjunto vacío ;.

4. a. x <−5. Al despejar x de forma directa se obtiene el resultado.

b. x ≤ 1

c. x ≤−16

d. No existe solución.

e. x ≥−1619

5. a. (−∞,−5]∪ [1,2]. Igualando todos los factores a cero y despejando tenemos los intervalos(−∞,−5], [−5,1], [1,2], [2,∞) de los cuales solo el primero y tercero cumplen con la ecuación.

b. (−2,3). Pasando todo de un solo lado y factorizando se tiene (x −3)(x +2) < 0, despejandocada factor se obtienen los intervalos (−∞,−2), (−2,3), (3,∞) de los cuales solo el de en mediocumple la ecuación original.

c. (−∞,−23 )∪ (1,∞). Factorizando se tiene (x −1)(3x +2) > 0, despejando cada factor se ob-

tienen los intervalos

d. (−4, 32 ). Pasando todo de un solo lado y factorizando se tiene (x+4)(2x−3) < 0, despejando

cada factor se obtienen los intervalos (−∞,−4), (−4, 32 ), ( 3

2 ,∞) de los cuales solo el de en mediocumple la ecuación original.

e. x ≤ 89 . Pasar todos los términos de un lado del igual y simplificar.

6. a. (−∞,0)∪ (0, i n f t y). Todo valor de x es solución excepto el cero donde no esta definida ladesigualdad, para ver esto basta resolver la parte derecha de la expresión y pasar restando.

b. (−∞,−83 )∪ (−2,∞). Pasando todos los términos del lado izquierdo, simplificando e igua-

lando a cero cada factor se obtienen los intervalos (−∞,−83 ), (−8

3 ,−2), (−2,∞) de los cuales el deen medio no cumple la desigualdad original.

c. [−52 , 5

4 ) ∪ [ 32 ,∞). Al pasar todos los términos del lado izquierdo y simplificar se obtiene

(2x +5)(2x −3)

4x −5≥ 0, los posibles intervalos solución son (−∞,−5

2 ], [−52 , 5

4 ], [ 54 , 3

2 ], [ 32 ,∞), sin em-

bargo sólo el segundo y cuarto intervalo cumplen con la ecuación.

d. [−11/2,−2)∪ (5,8).

143


e. (−∞,2)∪[ 197 ,∞). Al pasar todos los términos del lado izquierdo, simplificando e igualando

a cero cada factor se obtienen los intervalos (−∞,2), (2, 197 ], [ 19

7 ,∞) de los cuales el de en mediono cumple la desigualdad original.

7. a. [4,∞).

b. 52 ≤ x ≤ 7

2

c. x ≥ 3.

d. x ≥ 0.

8. a. (−∞,0)∪ (0, i n f t y). Todo valor de x es solución excepto el cero donde no esta definida ladesigualdad, para ver esto basta resolver la parte derecha de la expresión y pasar restando.

b. x ∈ [1,2). Sumando −3x −4, luego dividiendo entre −2.

c.[−1

2 , 3−p52

]∪

[3+p5

2 ,∞).

d. [−1,0)∪ (1,∞).

e. Conjunto vacío ;9. a. (2,8). Usando la propiedad de valor absoluto, descomponemos en una desigualdad doble−3 < x −5 < 3, se puede resolver realizando operaciones directamente.

b. [1,∞). Usar la propiedad de valor absoluto para desigualdades, y resolver por casos.

c. (−∞,−2]∪ [2/3,∞). Usar la propiedad de valor absoluto para descomponer en dos de-sigualdades.

d. (−∞,0).

e. (−∞,−2)∪ (−4/3,∞).

10. a. x < 1. Pasar todos los términos de un lado del igual y simplificar.

b. [ 19+p2056 ,∞). Observar que para que el valor absoluto sea menor que x −5 es necesario

que x ≥ 5, con esta condición las expresiones dentro del valor absoluto son siempre positivas, porlo que se puede eliminar el valor absoluto sin afectar la expresión y más aún pasar multiplicadoel denominador.

c. (−∞,−1)∪ {1}∪ (2,∞).

d. (−∞,2]∪ [5,∞).

e. ( 12

(−1−p11

),−1)∪ (−1,1)∪ (1, 1

2

(−1+p11

)). Elevando ambos miembros al cuadrado y

resolver la expresión resultante.

f. (−4,−2/3]∪ [6,∞)

g. x ≥ 72

h. (−1/5,3)

i. [0,10/9].

j. No tiene solución. Elevar al cuadrado ambos lados desarrollar el binomio, despejar elvalor absoluto y volver a elevar al cuadrado.

k. TodoR. Elevar al cuadrado ambos lados desarrollar el binomio, despejar el valor absolutoy volver a elevar al cuadrado.

144

Respuestas

dela

sección1.6


l. (−5,5).

m. (−1−p23,−4)∪ (2,∞)

n. (2,4)

ñ. (−112 ,−7

2 )∪ ( 12 , 7

2 )

o. x = 1.

p. x > 1

q. x < 6

r. [ 3p

510 , 2

p5

5 ).

11. a. n = 6,7,8,9,10,11.

b. Debe producir y vender más de 30 unidades.

c. Debe producir más de 1920 forros.

d.

1. Entre 11 y 16.

2. Entre 385 y 800 unidades cuadradas.

e. Entre 20 y 24 kg.

12. a. (−∞,3]∪ [−2,∞)

b. (−∞,2]

c. [1,2).

d. (0,∞)

Sección 2.81. a. No, el punto x = 0 del dominio no esta definido.

b. Si

c. No, los puntos x =−1,1 no están definidos.

d. No, un elemento esta relacionado con dos elementos (resultados de la raíz).

e. No, no está definido para x ≤ 2.

f. No, no está definido para los puntos x = 2,3,4.

g. No, no está definido para x ≤ 2.

h. Si.

i. No, no está definido para los puntos x = (2k+1)π2

j. No, no está definida para x &−1.6.

145


2. a. Dominio, R\ {−1,1}, es inyectiva.

b. Dominio, R, es inyectiva.

c. Dominio, x > 2, es inyectiva.

d. Dominio, R\ {2,3,4}, es inyectiva.

e. Dominio, x > 2, es biyectiva.

f. Dominio, R, es inyectiva.

g. Dominio, R\ { (2k+1)π2 }, es inyectiva.

h. R\ {kπ}, es inyectiva.

i. Dominio, x .−1.6, es inyectiva.

j. Dominio, x ≥ 0, es inyectiva (Consideramos únicamente las raíces positivas pues de otramanera no sería función).

k. Dominio, R, no es inyectiva, ni suprayectiva.

3. a.

-3 -2 -1 1 2 3X

-10

-5

5

10

15

Y

3. b.-4 -2 0 2 4X

1

2

3

4

5

Y

3. c.

-1 1 2 3 4 5 6X

-20

-15

-10

-5

5

10

15

Y

3. d.

2 4 6 8 10X

-3

-2

-1

1

2

Y

3. e.

-4 π -3 π -2 π -π π 2 π 3 π 4 πX

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

Y

4. a. f −1(y) = ln y −2

b. f −1(y) = 1−4yy+1

c. f −1(y) = 2y−45y−9

d. f −1(y) = ln(−2y+11

y−4

)e. f −1(y) = 1

2 y − 12

f. f −1(y) = 4y+32

g. f −1(y) = 2y−7y−6

h. f −1(y) = y+3y−2

i. No tiene inversa

j. f −1(y) = 1y

k. f −1(y) = y3 +1

l. f −1(y) = 1+y2y

146

Respuestas

dela

sección2.8


5. a. x3 +5x2 −3

b. 5x2 −px −3

c. x3 +5x2 −px −3

d. 255 −15x3

e. x3+5x2−3px

f. 5x6 −3

g. 125x6 −225x4 +135x2 −27

h. (5x2 −3)3/2

6. a. x2+2x(x+2)

b. x2−xx+2

c. x−1x2+2x

d. 5−5x(x+2)(x−3)

e. x−1x2−3x

f. x3−3x2+4x−2(x+2)(x−3)

g. x2+x+3x(x−3)

h. −3

i. x−2x+3

j. x2−2x+3x(x−3)

k. x4−2x3+x+6x(x−1)(x−3)

l. x3−3x2+2x+6x(x+2)(x−3)

m. x(x−1)(2x−1)(x+2)(x−3)

n. x(x−3)x2−3

ñ. 3−x2

7. a.

1. x 2. x 3. 4p

x 4. x4

b.

1. x +2p

x −1 2.p

x2 +2x 3. (x2 +2x +2)2 4.√p

x −1−1

c.

1. 1−x1+3x 2. x+3

x−1 3. − 12x+1 4. x

d.

147


1. log(x −4)

2. log(x −2)−2

3. log[log(x −2)−2]

4. x −4

e.

1. 1px

2.√

−x2 −p

x4 −1

3. No está definida.

4.√

x +p

x2 −1

8. a. Par.

b. Par.

c. Impar.

d. Par.

e. Par.

f. No tiene paridad.

g. No tiene paridad.

Sección 3.111. a. 0

b. 0

c. No existe

d. No existe.

e. −∞f. no existe

2. a. 2

b. No existe

c. 4

d. 4

e. 4

f. 0

3. a. 2

b. ∞c. No existe

d. No existe

e. No existe

148

Respuestas

dela

sección3.11


f. No existe

4. a. 0.

b. No existe. Los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes.

c. 10+e2 ≈ 17.389.

d. ∞. Este límite solo existe cuando nos acercamos por la derecha, valores de x mayores que2.

e. 13a2/3 .

5. a. −35 (4+p

7).

b.p

31.

c. No existe. los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes.

d. ∞.

e. 2.

f. 7ln(26) ≈ 22.807.

6. a. 83 . Factorizar y eliminar el factor x −2.

b. 3. Factorizar y eliminar el factor x −1.

c.3

2.

d. 18. Factorizar y eliminar el factorp

x −9.

e. 0.

f. 12 . Multiplicar y dividir por el conjugado del numerador.

g. −6. Factorizar y eliminar el factor x −3.

h. ∞.

i. − 156 . Multiplicar y dividir por el conjugado del numerador.

j. 3.

7. a. 1. Escribir en términos de sin x y cos x.

b. 12 . Multiplicar por el conjugado del numerador y usar identidad trigonométrica.

c. 14 . Multiplicar por el conjugado del numerador 2 veces y usar identidad trigonométrica.

d. − 1p2

. Expresar en términos de sin x y cos x.

e. 14 . Desarrollar el numerador y separar cada una de las fracciones para resolver las sumas

por separado.

8. a. 19 . Hacer el cambio de Variable x → y3.

b. 4. Hacer el cambio de variable x → y/4.

c. 13 . Hacer un cambio de variable x → 3y.

d. 32 . Dividir ambos términos por x y resolver cada límite por separado.

e. −23 . Dividir ambos términos por x y resolver por separado.

149


9. a. e2. Definición de límite exponencial.

b. e6. Acomodar el exponente para usar la fórmula exponencial.

c. e−4 Rescribir x−1x+3 como 1− 4

x+3 y adaptar el exponente para usar la fórmula exponencial.

10. a.3

2. Realizar la resta de fracciones, luego Factorizar y eliminar el factor (x −2).

b. No existe. Los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes.

c. 2. Multiplicar por el conjugado de cada expresión, luego Factorizar y eliminar el factor(x −2).

d. −23 . Multiplicar por el conjugado de cada expresión, luego Factorizar y eliminar el factor

(x −4).

e. 0. Factorizar y eliminar el factor x −1.

f. −1. Realizar resta de funciones.

g. 92 . Usar la equivalencia infinitesimal 1−cos3x ≈ (3x)2

2 .

h. 12 . Factorizar y eliminar el factor (x −1)2.

i. 710 . Factorizar y eliminar el factor x −5.

j. −2. Factorizar y eliminar el factor x +1.

k. No existe. los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes.

l. a−13a2 . Factorizar y eliminar el factor x −a.

m. 32 . Hacer el cambio de variable 1+x = y6, luego Factorizar y eliminar el factor y −1.

n. 23 . Factorizar y eliminar el factor (3x −2)3.

ñ. −2. Resolver la fracción compleja.

o. 0. De forma directa

p. −12 . Resolver la fracción compleja.

q. −5788 . Resolver la suma y simplificar.

r. 12 . Escribir en términos de sin x y cos x.

s. 14 . Multiplicar por el conjugado y aplicar ejercicio anterior.

t. e. Usar el infinitésimo sin x ≈ x y la definición de exponencial.

u. 5. Resolver por separado la suma.

11. a. −π2 . Tomar el cambio de variable x → y +1, luego usar identidad trigonométrica para la

suma de ángulos y finalmente otro cambio de variable.

b. e−4. Usar equivalencia infinitesimal ex−1 −1 ≈ x −1.

c. 12 . Expresar en términos de sin x y cos x, luego multiplicar y dividir por 1+cos x.

d. 1p3

. Usar la identidad para sin(x− π3 ), después multiplicar y dividir por sin x+p

3cos x, a

continuación usar la identidad sin2 x = 1−cos2 x y finalmente factorizar.

150

Respuestas

dela

sección3.11


e. −∞. Multiplicar y dividir por el conjugado del denominador y usar la equivalencia infi-nitésima sin ax ≈ ax para a = 3,4.

f. 1. Multiplicar y dividir por el conjugado.

g. 2. Multiplicar y dividir por el conjugado.

h. 73p

5. Dividiendo todo entre x.

i. 0. Calcular el límite dentro de la raíz. (Método 1)Usar equivalencia infinita x8 −5 ≈ x8 ypropiedades de los logaritmos. (Método 2) Multiplicar y dividir por x8 el argumento para obtenerla expresión log(1− 5

x8 )+ log x8, observar que el primer sumando es cero.

j. ∞. Observar que (1/2)∞ = 0 y además ∞0 =∞.

k. No existe. No converge a ningún valor en especifico.

l. 4. Usar equivalencia infinitésima cos(ax) ≈ 1−(ax)2

2 , con a = 1,3.

m. 16 . Multiplicar y dividir para completar diferencia de cubos en el denominador.

n. 32 . Multiplicar y dividir por el conjugado.

ñ.p

32 . Hacer el cambio de variable x → y+π/3, usar identidad trigonométrica para la suma

de ángulos, luego multiplicar y dividir por el conjugado del numerador y finalmente resolver porseparado la suma usando los dos límites conocidos de trigonometría.

o. ∞. Expresar en términos del cos x.

p. ∞. Multiplicar por el conjugado del numerador y resolver la suma por separado, (Observeque el límite por la izquierda no esta definido).

12. a. Discontinuidad no evitable en x =−1,1.

b. No tiene.

c. No tiene.

d. Discontinuidad no evitable en x = 3,4, y evitable en x = 2. H(x) ={

x2−4(x−4)(x−3)(x−2) , x 6= 2,

2 , x = 2

e. Discontinuidad evitable en x = 2. G(x) ={

x5−32x3−8 , x 6= 2,20/3 , x = 2

f. No tiene.

g. Discontinuidad no evitable en x =−3,3.

h. No tiene.

i. Discontinuidad no evitable en x = 0,2.

j. Discontinuidad no evitable en z =−1,1.

13. a. 0.

b. 1.

c. − 1x2 .

d. 2x +1.

e. ex . Usa el infinitésimo eh −1 ≈ h.

151


f. cos x. Desarrollar la función sin(x +h).

g. 2x +2.

h. 3x2 −2x.

i. 1x . Usar propiedades de los logaritmos para expresarlo como el logaritmo de un exponente

y usar sus propiedades.

j. 12p

x.

14. a. f ′(x) = −3(x−1)2

b. g ′(x) = 12p

x

c. f ′(x) = 4x3

d. h′(x) = ex

e. g ′(x) = 1x

f. f ′(x) = cos x

g. h′(y) = sec2 y

h. g ′(x) = 0

15. a. 9x2 −4x −15

b. 2(x −2)3(3x2 −2x −10

)c. − 3x2−1

(x3−x)2

d. 2x3(x2−2)2/3

e. −3(x2+1)(x2−1)2

f. 1+2x2p

1+x+x2

g. − 13p

2(−2+x)3/2

h. − −26+4x+x2

(−4+x)2(−3+x)2

i. 25x24

−2+x25

j. −51−x log(5)

k. 1+2x−3x2

2p−5+x+x2−x3

l.3a

(−a+2

p−9+a2

)(a+2

p−9+a2

)2(−9+a2)5/4

m. 13z2/3 − z1−z

(1−zz − log(z)

)16. a. −5sin(5x)

b. − sec2(

1x

)x2

c. 1−3a sin2(ax)cos(ax)

d. 25x24

−2+x25

152

Respuestas

dela

sección3.11


e. − e−x (−1+ln[1+x]+x ln[1+x])(1+x) ln[10]

f. sec[y]sec[sec[y]]2 tan[y]

g.(3−10y4+12y5)cos

[ −2+3y

1−y5

](−1+y)2(1+y+y2+y3+y4)2

h. ep−ex+x2−tan[2−x]

(−ex+2x

2p−ex+x2

+ sec[2−x]2)

17. a. − 84x(−5+3x2)15

b. 1+2x2p

1+x+x2

c. − 2x

2(1−6

px2−4

)2px2−4

d.−xe(1+x)

e(2+2x)− (1+x)cos(1+x)− sen(1+x)

(1+x)2

e. e4−2x (9−4x)p2x−4

f. −24x11+15x14

5−2x12+x15

g. sec2[12− y]+ sec[12− y] tan[12− y]

h. − (−3x2+2x+1)csc2(p

−x3+x2+x−5)

2p−x3+x2+x−5

18. a. 3125e5x

b. 24(1+x)5

c. 1800

d. 3ex (−2+ex )(2+ex )3

e. 4865804016353280000

f. −sin x

g. 16sec[x]4 tan[x]+8sec[x]2 tan[x]3

19. a. 5−y6+x

b. −1

c. − xy

d. sec[x](−1+x tan[x]+y tan[x])x2+sec+2x y+y2

e. − x2

y2(1+x2)

f. xy(1+2x2)

g. −2y−e y x xe y x y−2x

h.yex y + yex +1

xex y −ex

i.x(3x −2y2)

y(2x2 −3y)

153


20. a. x6

6

b. ex+2

c. −x −2ln(1−x)

d. −2cos(x/2)

e. −3x2

40 + x3

12

f. 2x3

3 + x4

4

g. 2x9

81

h. 34 (−1+x)4/3

i. 12 e2x

j. − ln(cos(x +1)) ó lnsec(x +1)

Sección 5.61. a. Inflexión en x = 1

b. Mínimo en x =−2, Máximo en x = 1

c. Mínimos en x = 0 y x = 12, Máximo en x = 6

d. Mínimos en x = 0.23 y x = 1.43, Máximo en x = 1, Inflexión en x = 2

e. Inflexión en x = 0

f. Mínimo en x = 2, Máximo en x = 0

g. Máximo en x = 3.2

h. Mínimo en x = 2/p

3, Máximo en x =−2/p

3

i. Máximo en x = 0

j. Mínimo en x = 2p

3, Máximo en x =−2p

3

k. Mínimos en x = (k −1/6)π, Máximos en x = k +1/6π

l. Mínimo en x = 0

m. Mínimo en x = 1/e

n. Mínimo en x =−1

2. a. Un cuadrado de lado l/4.

b. El triángulo isósceles.

c. El lado de la pared debe ser el doble de el de enfrente.

d. a/6.

e. Altura dos veces menor que el lado de la base.

f. Aquel, cuya altura es igual al diámetro de la base.

g. La altura del cilindro es Rp

2, R es el radio de la esfera.

154

Respuestas

dela

sección5.6


h. La altura de el cono es 43 R. Traza el radio de la base del cono, y el diámetro de la esfera,

coincidiendo con el eje del cono, une los puntos.

i. El radio de la base del cono es 32 R

j. Aquel, cuya altura es dos veces el diámetro de la esfera.

k. El ángulo central del sector es 2π√

23

l. La altura de la parte cilíndrica debe ser cero.

m. Los lados del rectángulo son ap

2 y bp

2, donde a,b son los semiejes de la elipse.

n. rp2

ñ. θ = 14.30◦

155Bibliografía

[1] Larson,Ron. Matemáticas 1, McGraw-Hill, 2009.

[2] JPurcell, EdwinJ. Cálculo Diferencial, Editorial Pearson, 2007.

[3] Ayres, Frank. Cálculo Diferencial, McGraw-Hill, 2005.

[4] Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford UniversityPress, 2009.

[5] Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.

[6] Hasser, Norman B. Análisis matemático Vol.1, Editorial Trillas, 2009.

[7] Courant, Richard. Introducción al cálculo y análisis matemático Vol. I, Editorial Li-musa, 2008.

[8] James Stewart. Cálculo de una variable; trascendentes tempranas Vol. I, EditorialCengage Learning, 2008.

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02. calculo diferencial instituto tecnológico de morelia