02 geometria analitica en el espacio

MATEMÁTICA III. CÁLCULO VECTORIAL PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA

EN R3.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 2. Geometría Analítica en R3.

Matemática III. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática III (Cálculo Vectorial) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática III en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



2.1.- RECTAS.

Ecuaciones de una recta en R3.

Ecuaciones paramétricas de una recta en R3.

Una recta L que pasa por los puntos ),,( 0000 zyxP y ),,( 1111 zyxP puede describirse

mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

taxx 0 , tbyy 0 y tczz 0

),,( 0000 zyxP es un punto que pertenece a la recta y kcjbiaA es el vector

director de la recta, siendo 10 PPA ( 01 xxa , 01 yyb y 01 zzc ).

Obsérvese que las ecuaciones paramétricas taxx 1 , tbyy 1 y tczz 1 definen

a la misma recta L, por lo cual puede afirmarse que las ecuaciones paramétricas de una

recta en R3 no es única.

Ecuación vectorial paramétrica de una recta en R3.


mediante la siguiente ecuación vectorial paramétrica: tAPP 0 , donde ),,( zyxP ,

kcjbiaA es el vector director de la recta, siendo 01 xxa , 01 yyb y

01 zzc .

Ecuaciones simétricas de una recta en R3.


mediante la siguiente ecuación simétrica:

c

zz

b

yy

a

xx 000

, siendo 01 xxa , 01 yyb y 01 zzc . Obsérvese que la

ecuación simétrica c

zz

b

yy

a

xx 111

define a la misma recta L, por lo cual puede

afirmarse que la ecuación simétrica de una recta en R3 no es única.

Si , , son los ángulos directores de L, entonces la forma simétrica puede escribirse

también en la forma coscoscos

000 zzyyxx

.



Ejercicios propuestos.

1. Las ecuaciones paramétricas de una recta son tx 42 , 4 ty , tz 87 . Reducir

estas ecuaciones a la forma simétrica. Hallar las coordenadas de dos puntos de la recta y

construir dicha recta. Respuesta: 8

7

1

4

4

2

zyx.

2. Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta del espacio

tridimensional que pasa por el punto dado y tiene los números directores indicados.

a) )3,5,2( , 3,4,2 Respuesta: t22 , t45 , t33 ; 3

3

4

5

2

2

zyx

b) )4,1,2( , 6,1,3 Respuesta: t32 , t1 , t64 ; 6

4

1

1

3

2

zyx

c) )3,4,2( , 3,0,2 Respuesta: tx 22 , 4y , tz 33 ; 3

3

2

2

zx

d) )7,1,2( , 1,0,0 Respuesta: 2x , 1y , tz

e) )0,3,5( , 1,2,2 Respuesta: tx 25 , ty 23 , tz ; 12

3

2

5 zyx

3. Encuentre una ecuación paramétrica para la línea que pasa por los siguientes puntos.

a) )1,1,1( y )3,1,2( Respuesta: tx 31 , 1y , tz 41

b) )2,5,1( y )1,4,3( Respuesta: tx 41 , ty 95 , tz 2

c) )4,1,2( y )2,2,3( Respuesta: tx 52 , ty 31 , tz 24

d) )2,1,2( y )4,2,3( Respuesta: tx 2 , ty 31 , tz 62

e) )3,2,1( y )5,6,2( Respuesta: tx 1 , ty 42 , tz 83

4. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los dos puntos dados.

a) )0,0,0( y )5,1,2( Respuesta: 512

zyx

b) )7,0,5( y )11,3,5( Respuesta: 5x , 4

7

3

zy

c) )2,7,1( y )3,7,1( Respuesta: 1x , 7y , tz

d) )4,3,2( y )4,3,5( Respuesta: tx , 3y , 4z



5. Sea la recta determinada por los puntos )3,1,0( P y )0,3,2(Q . Determine las

ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta. Grafique la recta hallada.

Respuesta: tx 2 , ty 41 , tz 33 , 3

3

4

1

2

zyx.

6. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto )2,4,6( y tiene

por ángulos directores 45 y 60 . (Dos soluciones).

Respuesta: tx 216 , ty 2

24 , tz 2

12 ; tx 216 , ty 2

24 , tz 2

12

7. Dos de los ángulos directores de una recta son 45 y 60 . Si la recta pasa por el

punto indicado, hállense sus ecuaciones simétricas. (Dos soluciones).

a) )7,1,3( b) )4,1,4(

Respuesta: a) 1

7

1

1

2

3

zyx,

1

7

1

1

2

3

zyx; b)

1

4

1

1

2

4

zyx,

1

4

1

1

2

4

zyx.

8. Una recta es perpendicular al plano x y y contiene al punto )14,4,3( . Hallar sus

ecuaciones. Respuesta: 3x , 4y , tz

9. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto )7,2,3( y corta al eje x

perpendicularmente. Respuesta: 3x , 7

7

2

2

zy

10. Una recta L de V2 contiene el punto )1,1,3( y es paralela al vector 3,2,1 .

Determinar cuáles de los siguientes puntos están en L.

a) )4,1,2( b) )0,0,0( c) )2,3,4(

d) )4,1,2( e) )16,9,2(

Respuesta: a) Pertenece; b) No pertenece; c) Pertenece; d) No pertenece; e) Pertenece.

11. Una recta L contiene los dos puntos )1,1,3(P y )7,2,1(Q . Determinar cuáles de los

siguientes puntos están en L.

a) )5,0,7( b) )5,0,7( c) )11,1,11(



d) )4,,1( 23 e) )11,1,11( f) )3,,( 3

435

g) )4,,1( 23

Respuesta: a) No pertenece; b) Pertenece; c) No pertenece; d) Pertenece; e) No pertenece; f)

Pertenece; g) No pertenece.

12. En cada caso, determinar si los tres puntos P, Q, R están en una recta.

a) )1,1,2(P , )1,1,4( Q , )1,1,3( R . Respuesta: No pertenecen a una recta.

b) )3,2,2(P , )1,3,2(Q , )1,4,6(R . Respuesta: No pertenecen a una recta.

c) )1,1,2(P , )1,3,2(Q , )1,1,5( R . Respuesta: No pertenecen a una recta.

13. Entre los ocho puntos siguientes A, B y C están en una recta. Determinar todos los

subconjuntos de tres o más puntos que están en línea recta: )1,1,2(A , )1,1,6( B ,

)1,5,6(C , )1,3,2(D , )1,1,1(E , )1,4,4(F , )1,9,13(G , )1,6,14( H .

Posición relativa de dos rectas.

Angulo entre dos rectas.

Un ángulo entre dos rectas se define como el ángulo entre los vectores directores de las

rectas.

Rectas paralelas en R3.

Dos rectas son paralelas en R3 si y sólo si sus vectores directores son paralelos.

Rectas perpendiculares en R3.

Dos rectas son perpendiculares en R3 si y sólo si sus vectores directores son

perpendiculares.


14. Determine la posición relativa entre las rectas: tx 54 , ty 55 , tz 41 y

rx 4 , ry 86 , rz 37 .

15. Hallar el ángulo agudo formado por las dos rectas 4

32

37

1

zyx y

4

9

2

8

3

5

zyx. Respuesta:

1798

35cos 1 .



16. Determine el coseno de la medida del ángulo más pequeño entre las dos rectas

242

1

zy

x y z

yx

2

4

5

3. Respuesta:

56

11.

17. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto )5,0,4( y es paralela a la recta

cuyos números directores son 3,1,1 . Respuesta: 3

5

11

4

zyx.

18. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta

indicada.

a) )3,0,5( , 9

34

8

2

3

6 zyx

Respuesta:

3

1

83

5

zyx.

b) )3,5,6( , 6

53

2

3

2

4

zyx Respuesta: zyx 356 .

c) )2,0,1( 1

22

2

23

yzx Respuesta: 2,1,2)2,0,1()( ttr .

d) )4,3,2( , 1,2,3)2,1,1( tr

19. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a cada

una de las rectas indicadas.

a) )9,2,7( , 3

3

22

2

zyx y

25

2

1

4

zyx

b) )4,3,3( , 5

2

1

3

4

42

zyx y

3

3

2

72

1

3

zyx

c) El origen, 2

3

2

zy

x ,

4

13

xz

xy

Respuesta: a) 12

9

7

2

11

7

zyx; b)

3

4

1

3

8

3

zyx; c) tx , 0y , tz .

20. Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto dado y

es perpendicular a las dos rectas cuyos números directores son los indicados.

a) El origen, 4,2,3 y 5,3,2 Respuesta: 13232

zyx



b) )5,3,7( , 3,2,4 y 2,2,1 Respuesta: 10

5

11

3

2

7

zyx

21. Hallar la ecuación de la recta L1 que pasa por los puntos )0,3,2(A y )5,1,2( B .

Determinar si la recta L1 es paralela a la recta L2: 3

5

8

32

2

4

zyx.

Respuesta: tx 42 , ty 43 , tz 5 . L1 no es paralela a la recta L2.

22. Hallar la ecuación vectorial paramétrica de la recta cuya proyección sobre el plano x y

está dada por 0z , 52 yx y cuya proyección sobre el plano y z es 0x , 2 yz .

Respuesta: 1,1,2)0,2,1()( ttr .

Intersección de dos rectas en R3.

Dos rectas en R3 pueden:

- No intersectarse.

- Intersectarse en un punto.

- Ser coincidentes (intersectarse en todos sus puntos).

Criterio de intersección de rectas en R3:

Dos rectas en R3 se intersectan si existen los parámetros 1t y 2t para las rectas 1 y 2

respectivamente tal que el punto ),,( zyxP pertenece a ambas rectas. Si existen 1t y 2t

y los vectores directores de las rectas son paralelos, entonces las rectas son coincidentes.


23. Hallar el punto de intersección (si existe) de las rectas y obtener el coseno del ángulo de

intersección:

a) tx 24 , ty 23 , tz 47 y sx , sy 33 , sz 21

b) 24 tx , 3y , 1 tz y 22 sx , 32 sy , 1 sz

c) tx 42 , 3y , tz 1 y rx 52 , ry 86 , rz 1

d) 1

1

1

2

3

zyx y

3

3

1

2

4

1

zyx

e) 11

4

2

1 zyx

y

1

2

4

1

3

2

zyx



f) 3,1,2)1,1,1(1 tr , 2,5,1)1,4,3(2 tr

Respuesta: a) )1,6,1( , 21

1 ; b) )1,3,2( , 173

7 ; c) No se intersectan; d) No se intersectan;

e) )1,5,1( , 292

9 ; f) No se intersectan.

24. Dadas las rectas r: 2

1

2

3

zy, 2x , s: xy 2 , 3 xz y h: tx 3 , ty 31 ,

tz . Determinar el punto de intersección de s y h, y el ángulo entre r y s.

Respuesta: )1,4,2( ; )(cos32

11

25. [LL] Demuestre que las rectas son coincidentes:

a) 4

5

1

3

3

2

zyx y

8

1

2

2

6

1

zyx

b) 3

2

5

4

2

1

zyx y

3

8

5

14

2

3

zyx

26. [LB] Halle los números y tales que la línea tx 1 , ty21 , tz 2

coincida con la línea tx 1 , ty 1 , tz 22 .

Respuesta: 21 , 1

27. Sean las rectas r: tx 32 , ty 54 , tmz y s: 12 xy , 23

21 xz . Calcular el

valor de m para que r y s se corten. Respuesta: m = 2.

28. Una recta pasa por el punto )1,1,1(P y es paralela al vector 3,2,1A . Otra recta

por )0,1,2(Q es paralela al vector 13,8,3B . Demostrar que las dos rectas se cortan y

determinar su punto de intersección. Respuesta: )13,9,5( .

29. Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulos rectos a las rectas

siguientes 3,2,2)4,3,3(1 tr y 0,2,1)1,6,1(2 tr .

30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado, intersecta y es perpendicular a

la recta indicada:

a) )2,4,3( P , 412 zyx b) )3,1,2( , tx , ty 22 , tz 31

c) )1,3,2( , 0,1,1)1,2,2( tr

Respuesta: a) tx 3 , ty 54 , tz 62 ; b) sx 112 , sy 131 , sz 53 .



Rectas oblicuas en R3.

Dos rectas en R3 son oblicuas si no son paralelas y no se intersectan.


31. Demuestre que las rectas 3

1

2

2

5

1

zyx y

2

3

3

12

zyx son oblicuas.

2.2.- PLANO.

Superficie, real o imaginaria, en la cual dos puntos están unidos por una recta que está

contenida enteramente en dicha superficie.

Ecuación de un plano en R3.

Ecuación canónica de un plano en R3.

Sea kcjbiaN un vector no nulo, normal al plano que contiene el punto

),,( 0000 zyxP . La ecuación canónica de ese plano es 0)()()( 000 zzcyybxxa .

La ecuación canónica de un plano es única.

Si , , son los ángulos directores de N, entonces la forma canònica puede escribirse

también en la forma 0)(cos)(cos)(cos 000 zzyyxx .

En forma vectorial: 0)0(. PPN , donde ),,( zyxP , ),,( 0000 zyxP es un punto que

pertenece al plano y kcjbiaN es el vector normal al plano.

Ecuación general de un plano en R3.

Sea kcjbiaN un vector no nulo, normal a un plano que contiene el punto

),,( 0000 zyxP . La ecuación general de ese plano es 0 dzcybxa , siendo

)( 000 zcybxad .

La ecuación del plano que pasa por los tres puntos ),,( 1111 zyxP , ),,( 2222 zyxP y

),,( 3333 zyxP en forma de determinante es 0

1

1

1

1

333

222

111

zyx

zyx

zyx

zyx

Ecuación paramétrica de un plano en R3.



Sean kcjbiaU 111 y kcjbiaV 222 dos vectores contenidos en un plano que

contiene el punto ),,( 0000 zyxP . La ecuación vectorial paramétrica de ese plano es

210 tVtUPP donde ),,( zyxX , ),,( 0000 zyxX es un punto que pertenece al

plano. Si kcjbiaN es el vector normal al plano, entonces VUN . La ecuación

vectorial paramétrica de un plano en R3 no es única.


32. Encuentre la ecuación del plano perpendicular al vector N dado y que pasa por el punto

P dado.

a) 3,1,1N , )1,2,4( P Respuesta: 013 zyx .

b) 5,0,1N , )7,3,2(P Respuesta: 0335 zx .

c) 2,4,1N , )3,1,5( P Respuesta: 01524 zyx .

d) 4,2,3N , )5,,2( P Respuesta: 0226423 zyx .

33. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por )1,1,1( si un vector normal N

forma los ángulos 31 , 4

1 , 31 , con i, j, k, respectivamente.

Respuesta: 222 zyx .

34. Un plano pasa por el punto )3,1,5( y dos de los ángulos directores de su normal son

º60 y º45 . Hállese la ecuación del plano. (Dos soluciones).

Respuesta: 0282 zyx , 0222 zyx .

35. Un plano pasa por el punto )4,3,3( y los cosenos directores de su normal son 133 ,

1312 , 13

4 . Hallar la ecuación del plano. Respuesta: 0114123 zyx .

36. El pie de la perpendicular trazada desde el origen a un plano es el punto )1,2,1( .

Hallar la ecuación del plano. Respuesta: 062 zyx .

37. Desde el punto )7,4,5( se ha trazado una recta perpendicular a un plano. Si el pie de

esta perpendicular es el punto )1,2,2( , hállese la ecuación del plano.


38. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los tres puntos siguientes.



a) )1,2,1( , )4,1,1( , )2,3,1( b) )1,1,2( , )1,1,3( , )1,1,4(

c) )1,3,2( , )3,2,2( , )1,1,4( d) )2,1,5( , )1,2,1( , )2,1,3(

e) )3,2,1( , )6,1,5( , )0,0,4( f) )6,5,2( , )4,4,3( , )0,4,3(

g) )3,2,1( , )4,3,2( , )2,7,1( h) )4,2,3( , )7,5,1( , )1,2,2(

i) )4,4,1( , )3,5,2( , )2,0,3(

Respuesta: e) 0602115 zyx ; f) 4623166 zyx ; g) 0177310 zyx ;

h) 011373 zyx ; i) 1725 zyx

39. Dados los puntos )2,2,2(M , )0,2,5(N y )2,0,1(P , hallar:

a) La ecuación del plano que pasa por dichos puntos.

b) El área del triángulo cuyos vértices son los puntos M, N y P.

Respuesta: a) 04332 zyx ; b) 22 Unidades de área.

40. Determinar las ecuaciones escalares paramétricas para cada uno de los planos

siguientes.

a) El plano que pasa por )1,2,1( , )0,1,0( y )4,1,1( .

b) El plano que pasa por )1,2,1( y está generado por los vectores 0,1,0 y 4,1,1 .

Respuesta: a) tsx , sy 1 , tsz 4 ; b) tx 1 , tsy 2 , tz 41 .

41. Determinar la ecuación lineal cartesiana de la forma dzcybxa para cada uno de

los planos siguientes.

a) Plano que pasa por )1,3,2( , )3,1,2( y )1,3,4( .

b) Plano que pasa por )1,3,2( y está generado por 1,2,3 y 3,2,1 .

c) Plano que pasa por )1,3,2( y es paralelo al plano que pasa por el origen y está generado

por 2,0,2 y 1,1,1 .

Respuesta: a), b) y c): 32 zyx .

42. Hallar la ecuación del plano cuyas intersecciones respectivas con los ejes x, y y z son –

5, 3, 1. Respuesta: 0151553 zyx .



43. Si ),,( zyxP y )5,0,2(A están sobre una recta perpendicular a la recta que pasa por A

y )4,2,1( B , ¿qué condición deben satisfacer x, y y z?


44. [TA] Dados los vectores kjiA 432 y kjB .

a) Hallar un vector no nulo N perpendicular a la vez a A y a B.

b) Dar la ecuación cartesiana del plano que pasa por el origen y está generado por A y B.

c) Dar la ecuación cartesiana del plano que pasa por )3,2,1( y está generado por A y B.

Respuesta: a) 2,2,7 ; b) 0227 zyx ; c) 9227 zyx .

45. [TA] Hallar un vector A de longitud 1 perpendicular a kji 32 paralelo al plano

15 zyx .

Respuesta: )387(122

1 kji

46. Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo a los dos vectores ji y kj y que

corta al eje x en )0,0,2( . Respuesta: 2 zyx .

47. La ecuación cartesiana de un plano M es 953 zyx .

a) Determinar cuáles de los siguientes puntos están en M: )1,2,0( , )2,2,1( ,

)5,1,3( .

b) Hallar los valores de P, A y B tales que }{ BtAsPM .

Respuesta: a) )1,2,0( y )2,2,1( ; b) }6,3,33,0,1)1,2,0({ tsM

48. [TA] Los tres puntos )1,1,1( P , )2,3,3(Q y )2,1,3( R determinan un plano M.

Decir cuáles de los puntos siguientes están en M.

a) ),2,2( 21 b) ),0,4( 2

1 c) )3,1,3(

d) )3,1,3( e) )0,0,0(

Respuesta: a) Pertenece; b) Pertenece; c) Pertenece; d) No pertenece; e) No pertenece.

49. Sea BtAsPM , donde )3,2,1( P , 1,2,3A y 4,0,1B . Determinar

cuáles de los siguientes puntos están en M.

a) )0,2,1( b) )1,2,1( c) )6,4,6(



d) )6,6,6( e) )5,6,6(

Respuesta: a) No pertenece; b) No pertenece; c) Pertenece ; d) No pertenece; e) Pertenece.

50. Un plano M tiene las ecuaciones escalares paramétricas tsx 21 , tsy 42 ,

tsz 2 .

a) Determinar cuáles de los siguientes puntos están en M: )0,0,0( , )0,2,1( , )3,3,2(

b) Hallar los vectores P, A y B tales que }{ BtAsPM .

Respuesta: a) )0,2,1( y )3,3,2( ; b) }1,4,22,1,1)0,2,1({ tsM .

51. Determinar el valor del parámetro k de tal manera que un plano de la familia

0223 zkyxk pueda pasar por el punto )2,4,3( . Hallar la ecuación del plano.

Respuesta: 2k , 022232 zyx .

52. Dados los planos variables 222 2)1()1( ttztytxt , demostrar que los

planos pasan por un punto fijo, hallando sus coordenadas.

Respuesta: ),,(222

.

53. Demostrar que los cuatro puntos dados son coplanares.

a) )4,0,1( , )3,1,2( , )5,3,2( y )4,2,1(

b) )3,1,2( , )1,5,3( , )9,7,6( y )3,4,2(

54. Un plano pasa por el punto dado y su traza con el plano x y es la recta indicada. Hállese

su ecuación.

a) )1,2,5( , 022 yx , 0z

b) )2,6,1( , 0783 zyx

c) )7,3,1( , 0783 zyx

Respuesta: a) 0232 zyx ; b) 0723 zyx ; 073 zyx , .

55. Hallar la ecuación del plano que pasa por:

a) El eje y y por el punto )6,4,8( . Respuesta: 043 zx .

b) El eje z y por el punto )7,1,4( . Respuesta: 04 yx

56. Hallar la ecuación del plano determinado por:



a) La recta 1

3

2

6

1

zyx y el punto )2,3,4( . Respuesta: 03179 zyx .

b) La recta 6

23

1

1

2

4

zyx y el punto )4,0,2( .Respuesta: 023165 zyx

57. Dada la recta L que pasa por )3,2,1( y es paralela al vector 1,1,1 y dado un punto

)5,3,2( que no está en L. Hallar la ecuación cartesiana del plano M que pasa por )5,3,2(

y contiene todos los puntos de L. Respuesta: 1 yx .

Condición para que dos rectas en el espacio definan un plano.

Dos rectas en R3 definen un plano si ambas rectas

- Se intersectan ó.

- Son paralelas.

Si ambas rectas se intersectan, el vector normal del plano está dado por el producto

vectorial de los vectores directores de ambas rectas: 21 LLN y un punto del plano es el

punto de intersección (o cualquier punto perteneciente a alguna de las dos rectas).

Si ambas rectas son paralelas, el vector normal del plano esta dado por LQPN , donde

P es un punto de una de las rectas, Q es un punto de la otra recta, PQ es el vector definido

por P y Q y L es el vector director de cualquiera de las dos rectas. Un punto del plano es

cualquier punto perteneciente a alguna de las dos rectas.


58. Demostrar que las rectas dadas son paralelas, y hallar la ecuación del plano determinado

por ellas.

a) 4

2

12

1

zyx y

4

1

2

23

2

3

zyx Respuesta: 0197185 zyx .

b) 42

1

5

2

z

yx y z

yx

3

2

4

5

3 Respuesta: 0165103 zyx .

59. Encuentre la ecuación del plano que contiene a las rectas de ecuaciones 2

3

2

zy

x

y 3421 zyx . Respuesta: 0322 zyx .



60. Demostrar que las rectas 2

5

1

4

2

1

zyx y

4

11

3

8

1

2

zyx se cortan, y

hallar:

a) El ángulo de intersección. Respuesta: )(cos26

31 .

b) La ecuación del plano determinado por ellas. Respuesta: 077102 zyx .

61. Dos de los ángulos directores de una recta L son 45 y 60 . Si la recta pasa

por el punto )5,1,2( , hallar su ecuación. Luego determinar la ecuación del plano que

contiene a L y es perpendicular al plano 073 zyx .

62. Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen y los puntos en los que

los ejes coordenados cortan al plano 632 zyx . Respuesta: 6 U.V.

63. Hallar el volumen del tetraedro formado por los planos coordenados y el plano

0421476 zyx . Respuesta: 21 U.V.

64. Construir el paralelepípedo rectangular formado por los planos coordenados y por los

planos 4x , 3y y 2z . Hallar su volumen. Respuesta: 24 U.V.

65. Construir el prisma triangular formado por los planos coordenados y por los planos

dados. Hallar su volumen.

a) 042 yx y 05 z b) 063 zy y 07 x

Respuesta: a) 20 U.V; b) 42 U.V.

66. Construir el prisma limitado por los planos 0 yz , 4 zy , 0z , 0x y 5x .

Hallar su volumen. Respuesta: 20 U.V.

67. La intercepción y de un plano es una unidad más corta que su intercepción z y dos

unidades más larga que su intercepción x. Si el volumen encerrado por el plano y los tres

planos coordenados es de 15 unidades cúbicas, hallar la ecuación del plano.

Posición relativa de dos planos.

Ángulo entre dos planos.

Un ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre los vectores normales de los

planos.

Planos paralelos en R3.



Dos planos son paralelos en R3 si y sólo si sus vectores normales son paralelos.

Planos perpendiculares en R3.

Dos planos son perpendiculares en R3 si y sólo si sus vectores normales son ortogonales.


68. Encuentre el coseno del ángulo entre los planos:

a) 02 zyx , 12 zyx b) x y z 1, x y z 5

c) 232 zyx , x y z 1 d) 12 zyx , 23 zyx

e) 32 zyx , x y z

69. Hallar el ángulo entre los planos:

a) 723 zyx , 024 zyx b) 463 zyx , 45 zyx

c) 1 zyx , 423 zyx d) 632 zyx , 4 zyx

e) 033 zyx , 094 zyx f) 1 yx , 2 zy

g) 0845 zyx , el plano x y

Respuesta: a) )(cos6

11 ; b) )(cos1383

41 ; e) )(cos223

21 ; f) 3 radianes; g) )(cos

42

11.

70. Si los planos 132 zyx y 34 zCyBx son paralelos, ¿cuáles deben ser los

valores de B y C? Respuesta: B = 6, C = 2.

71. Determinar el valor del parámetro k de tal manera que un plano de la familia

072 zkykx sea perpendicular al plano 01263 yx . Hallar la ecuación del

plano. Respuesta: 1k , 072 zyx .

72. Determinar el valor de k para que los dos planos 0722 zyxk y

0964 zykx sean perpendiculares entre sí. Respuesta: 6k .

73. Si los planos 132 zyx y 204 zCyx son perpendiculares, ¿cuál debe ser el

valor de C?

74. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto dado y es paralelo al plano indicado.

a) )1,1,4( , 05324 zyx b) )0,2,3( , 743 zyx

c) )6,2,3( , 01234 yx d) )3,2,1( , 023 zyx

e) )7,5,3( , Plano x z.



Respuesta: a) 021324 zyx ; b) 1743 zyx ; c) 02634 yx ; d)

01323 zyx ; e) 05 y .

75. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto dado y es perpendicular a cada uno

de los planos indicados.

a) )1,2,4( , 0943 zyx y 01122 zyx .

b) )1,3,2( , 123 zyx y 7452 zyx .

c) )0,1,3( , 014 zyx y 0632 zyx .

Respuesta: a) 030895 zyx ; b) 6719143 zyx ; c) 0437 zyx .

76. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al que tiene por ecuación

02237 zyx y cuya intersección con el eje z es 4.


77. [CL] Un plano pasa por el punto )1,1,3( , es perpendicular al plano

0422 zyx , y su intercepción con el eje z es igual a –3. Hállese su ecuación.


78. Hallar las ecuaciones del plano paralelo al plano 01423 zyx y tal que la suma

de sus intersecciones con los ejes coordenados sea igual a 5.


79. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano dado y que pasa por los dos puntos

indicados.

a) 73 zyx , )1,0,2( y )5,2,0( Respuesta: 12 zyx .

a) 09234 zyx , )4,6,2( y )5,7,3( . Respuesta: 062 zyx .

b) 01523 zyx , )2,2,4( y )5,1,1( . Respuesta: 062 zyx .

c) El plano x y, )11,2,2( y )3,8,7( . Respuesta: 1032 yx .

d) El plano x z, )2,7,4( y )7,11,12( .

e) El plano y z, )4,1,2( y )7,3,1( . Respuesta: 05411 zy .

80. [CL] Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos )0,3,1( y )0,0,4( y forma

un ángulo de 30º con el plano 01 zyx . (Dos soluciones).



Respuesta: 020)638(55 zyx , 020)638(55 zyx .

81. [CL] Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos )1,0,1( y )2,0,2( y forma

un ángulo de 60º con el plano 0622 zyx . (Dos soluciones).

Respuesta: 0287)17034(21 zyx , 0287)17034(21 zyx .

82. Hallar la ecuación general del plano paralelo al plano 06423 zyx , sabiendo

que el volumen del tetraedro formado por él y los planos coordenados tiene doce unidades

de volumen.


Intersección de planos en R3.

Dos planos en R3 pueden:

- No intersectarse (paralelos).

- Intersectarse en una recta.

- Ser coincidentes (intersectarse en todos sus puntos).

Criterio de intersección de planos en R3:

Dos planos en R3 se intersectan si es posible determinar la ecuación de una recta que

satisfaga la ecuación de ambos planos. El vector director de la recta de intersección de dos

planos en R3 es 21 NNL , donde 1N y 2N son los vectores normales a los planos 1 y 2,

respectivamente.

Dos planos en R3 son coincidentes si sus ecuaciones (general) son idénticas. En este caso no

existe la ecuación de la recta intersección.


83. Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas para la línea de intersección de los

planos dados.

a) 033 zyx , 0323 zyx b) 0123 zyx , 072 zyx

c) 12 zyx , 23 zyx d) 252 zyx , 323 zyx

e) 042 zyx , 09623 zyx f) 43 zyx , 1232 zyx

g) 18329 zyx , 1553 zyx h) 723 zyx , 024 zyx



i) 463 zyx , 45 zyx j) 04332 zyx , 032 zyx

Respuesta: a) 2

12

zyx ; b)

2

4

2

1

2

3

zy

x ; e) 7154

2 4

3

4

3

zyx; f)

11

4

2

38

zyx; h) 2x , ty 1 , tz 21 .

84. Consideremos los dos planos }{ BtAsPM y }{ DtCsQM , donde

)1,1,1(P , 3,1,2A , 2,0,1B , )1,3,2(Q , 3,2,1C y 1,2,3D . Hallar

dos puntos distintos situados en la intersección MM .

Respuesta: Dos ejemplos: )6,2,5( y )17,3,14( .

85. Dados un plano }{ BtAsPM , donde )1,3,2(P , 3,2,1A y 1,2,3B , y

otro plano M cuya ecuación cartesiana es 02 zyx .

a) Determinar si M y M son paralelos.

b) Hallar dos puntos en la intersección MM si M tiene la ecuación cartesiana

02 zyx .

Respuesta: a) Son paralelos; b) Dos ejemplos: )1,0,1( y )1,0,1( .

86. En cada uno de los ejercicios, partiendo de la ecuación dada del plano, hállense sus

intercepciones con los ejes coordenados y las ecuaciones de sus trazas sobre los planos

coordenados. Constrúyase la figura en cada caso.

a) 01 zyx b) 022 zyx c) 0151535 zyx

d) 0 zyx e) 063 yx f) 0552 zy

87. Hallar la ecuación de plano determinado por la recta dada y el punto indicado.

a) 082 zyx , 0726 zyx , )2,2,1(

b) 0322 zyx , 022 zyx , )2,1,3(

c) 0532 zyx y 0 yx , )1,0,2(

d) 42 zyx y 632 zyx , )4,1,3(

Respuesta: a) 053211927 zyx ; b) 04453 zyx ; c) 01075 zyx ; d)

0103 yx .



88. [JB] Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos

523 zyx y 328 zyx y que contiene:

a) Al origen. Respuesta: 0111331 zyx .

b) Al punto )1,1,1(

89. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos dados y

es perpendicular al plano indicado.

a) 232 zyx y 134 zyx , 973 zyx .

b) 0223 zyx y 033 zyx , El plano x y.

Respuesta: a) 0576 zyx ; b) 47 yx .

90. Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a la intersección

de los planos 07642 zyx y 0352 zyx .

91. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos

042 zyx y 0932 zyx y es paralelo a la recta cuyos números directores

son 1,3,1 . Respuesta: 01485 zyx .

92. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta pasa por el punto )0,0,1(P y es paralela

a la recta:

159

23

yzx

zy Respuesta: tx

16

91 , ty , tz 32 .

93. Dados los planos 0223 zyx y 012 zyx , para la recta de intersección

de ambos obtener:

a) Las ecuaciones simétricas y paramétricas.

b) Los cosenos directores de un vector en dirección de la recta.

94. Hallar el ángulo obtuso que forman las rectas 3

2

2

2

4

32

zyx y

0112 zyx , 092 zyx . Respuesta: )(cos595

171 .

95. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas dadas:

a) 0242 zyx , 04234 zyx y 015 zyx , 01 zyx .

b) 533 zyx , 2 zyx y 378 zyx , 2 zyx .



Respuesta: a) )(cos73

211 ; b) )(cos

432

131 .

96. ¿Qué ángulo hace la recta de intersección de 1243 yx y 22 zx con la normal

al plano 22 zyx ? Respuesta: )(cos534

71 .

97. Demostrar que las rectas dadas son paralelas, y hallar la ecuación del plano que

determinan:

a) 02 zyx , 01224 zyx y 3

9

3

43

2

7 zyx

.

b) 0556 zyx , 012 zyx y 02767 zyx , 0862127 zyx .

c) 0422 zyx , 0884 zyx y 055 zyx , 012128 zyx .

Respuesta: c) 08843 zyx .

98. Demostrar que las rectas dadas son perpendiculares:

a) 01022 zyx , 042 zy y 2

11

3

3

4

4

zyx.

b) 0154 zyx , 05 zyx y 012 zyx , 072 zyx .

99. Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al vector dado y que pasa por la

intersección de los planos indicados.

a) kji 23 , 3 yx y 432 zy

b) j, 432 zyx y 22 zyx

100. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto )5,6,1( y es perpendicular a

cada una de las rectas 09323 zyx , 0132 zyx y 010522 zyx ,

03 zyx . Respuesta: 60

5

31

6

21

1

zyx.

101. Demostrar que la recta dada por

0

0

222

111

dybxa

dybxa es paralela al eje z y obtener su

ecuación.

102. Construir un prisma triangular formado por los planos 042 yx y 05 z .

Hallar su volumen. Respuesta: 20 U.V.



103. Demostrar, analíticamente, que si dos planos paralelos son cortados por un tercer

plano, las rectas de intersección son paralelas. Sugerencia: Tómense los planos paralelos

como 0 dzcybxa y 0 ezcybxa , y el tercer plano como

0 szryqxp .

Intersección de una recta y un plano en R3.

Una recta y un plano en R3 pueden:

- No intersectarse.

- Intersectarse en un punto.

- La recta está contenida en el plano (Todos los puntos pertenecientes a la recta, pertenecen

también al plano).

Criterio de intersección de una recta y un plano en R3:

Una recta y un plano en R3 se intersectan si existen el parámetro t para la recta tal que el

punto ),,( zyxX pertenece a dicha recta y al plano. Si existe t y el vector director de la

recta es perpendicular al vector normal del plano, entonces la recta está contenida en el

plano (son coincidentes). El valor del parámetro t en el cual la recta intersecta al plano está

dado por: AN

PNdt

.. 0

, donde d es el término independiente en la ecuación general del

plano 0 dzcybxa , kcjbiaN es el vector normal al plano, 0P es un

vector definido por un punto de la recta y el origen, y A es el vector director de la recta. Si

0. AN la recta y el plano no tienen punto de intersección (son paralelos o la recta está

contenida en el plano).


104. Hallar el punto de intersección (si existe) de la recta dada y el plano indicado:

a) tx 1 , ty 1 , tz 22 , 2x Respuesta: )4,0,2(

b) 2

13

3

7

zy

x, 0372 zyx Respuesta: )3,4,10( .

c) 1

3

2

1

3

1

zyx, 1032 yx Respuesta: No se intersectan.



d) 6

3

24

1

zyx, 532 yx Respuesta: )0,1,1( .

e) 2

1

1123

21

zyx, 1222 zyx Respuesta: )2,3,2( .

105. Sea )5,3,1(P y 1,1,2A . Encuentre la intersección de la recta que pasa por P

en la dirección de A, y el plano 132 zyx . Respuesta: ),,4(2

152

11 .

106. Sea )1,1,1(Q y )2,1,1( P . Sea 3,2,1N . Encuentre el punto de intersección de

la línea que pasa por P en la dirección de N, y el plano perpendicular a N que contiene a Q.

Respuesta: ),,(1431

76

1415 .

107. Sea )2,1,1( Q , )2,3,1( P y 2,2,1N . Encuentre el punto de intersección de la

recta que pasa por P en la dirección de N, y el plano que pasa por Q y es perpendicular a N.

Respuesta: ),,(3

1035

31 .

108. Sean L la recta que pasa por )1,1,1( paralela al vector 3,1,2 y M el plano que

pasa por )2,1,1( generado por los vectores 3,1,2 y 1,1,0 . Determinar el punto de

intersección ML . Respuesta: ),,2( 27

25 .

109. Las ecuaciones de una recta son 01134 zyx , 0123 zyx . Hallar las

coordenadas de cada uno de los puntos de penetración o trazas en los planos coordenados.

a) )0,1,2( b) ),0,( 35

37 c) )10,7,0(

110. Las ecuaciones de una recta son 08324 zyx , 01122 zyx . Hallando

las coordenadas de dos de los puntos de esta recta, demuéstrese que está en el plano

0491272 zyx .

111. Las ecuaciones de una recta L son 02724 zyx , 043 zyx y la

ecuación de un plano es 0142386 zyx . Obtener las ecuaciones paramétricas de

L y sustituir estos valores de x, y y z en la ecuación de . Demostrar que la ecuación

resultante es una identidad en el parámetro t y, por tanto, que L está en .

112. Demostrar que la recta dada está contenida en el plano indicado



a) 2

7

1

5

4

3

zyx ; 0832 zyx .

b) )1()2()3( 41

31

21 zyx ; 62 zyx

b)

03253

087

zyx

zyx; 0254175 zyx .

c) 087 zyx , 03253 zyx ; 0254175 zyx .

113. Demostrar que la recta 5325 zyx , 1554 zyx :

a) Está en el plano 1032 zyx b) Es paralela al plano 42 zyx

c) Es perpendicular al plano 7 zyx

114. Hallar un vector V de longitud 1, perpendicular a kji 32 y paralelo al plano

15 zyx . Respuesta: a) 3,8,7122

1 .

115. Hallar la ecuación de la recta paralela a V y que pasa por el punto de intersección del

plano 2563 zyx y la recta

yz

yx

3

122

116. Un punto se desplaza en el espacio de modo que en el instante t su posición viene dada

por el vector ktjtittX )12()32()1()( .

a) Demostrar que el punto se mueve a lo largo de una recta (Llamémosla L).

b) Hallar un vector N, paralelo a L.

c) ¿En qué instante el punto toca al plano 01232 zyx

d) Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al de la parte c) y que contenga el punto

)3(X .

e) Hallar la ecuación cartesiana del plano perpendicular a L que contenga el punto )2(X .

Respuesta: b) 2,3,1 ; c) 1t ; d) 015232 zyx ; e) 01923 zyx .

117. Demostrar que los tres planos 0323 zyx , 04332 zyx y

0727 zyx tienen solamente un punto común, y hallar sus coordenadas.

Respuesta: )1,1,2( .



118. Hallar todos los puntos situados en la intersección de los tres planos 53 zyx ,

753 zyx , 33 zyx . Respuesta: ),0,( 21

23 .

Posición relativa de una recta y un plano.

Ángulo entre una recta y un plano.

Un ángulo entre una recta y un plano se define como el ángulo complementario entre el

vector director de la recta y el vector normal del plano. Si A es el vector director de la recta,

y N es el vector normal del plano, entonces:

NA

NA.1cos

2

.


119. Hallar el ángulo que forman la recta 2

4

13

2

zyx y el plano

01132 zyx . Respuesta: )(cos1411

2

.

120. Hallar el ángulo formado por la recta 042 zyx , 0432 zyx y el plano

09873 zyx . Respuesta: )(cos2562

111

2

.

121. Demostrar que la recta 093 zyx , 012234 zyx es paralela al plano

06432 zyx .

122. Demostrar que la recta 072 zyx , 05102 zyx es perpendicular al

plano 0524 zyx .

123. Sea L la recta que pasa por )1,1,1( y es paralela al vector 3,1,2 . Determinar si L

es paralela a cada uno de los planos siguientes.

a) Plano de ecuación cartesiana 332 zyx

b) Plano que pasa por )2,1,1( y generado por 3,1,2 y 1,1,43 .

c) Plano que pasa por )2,1,1( , )2,5,3( y )1,4,2( .

Respuesta: a) No; b) No; c) No.

124. Determine la posición relativa entre la recta tx , ty 22 , 4z y el plano

0532 zyx .



125. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular al plano

indicado.

a) )7,2,3( , 032 zyx Respuesta: 1

7

3

2

2

3

zyx

b) )3,1,2( , 534 zyx Respuesta: 1,3,4)3,1,2()( ttX

c) )4,3,5( , 023 zyx Respuesta: 2

4

1

3

3

5

zyx

d) )2,3,6( , 0974 zy Respuesta: 6x , 7

2

4

3

zy

e) )4,1,2( A , 0123 zyx Respuesta: tx , ty 35 , tz 2

126. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto dado y es paralela a cada uno de

los planos indicados:

b) )2,4,6( , 0832 zyx y 072 zyx

c) )1,1,5( , 0523 zyx y 09322 zyx

a) )3,2,1( , 432 zyx , 5432 zyx

Respuesta: a) 5

2

7

4

1

6

zyx; b)

8

1

13

1

1

5

zyx; c)

1,2,1)3,2,1()( ttX .

127. Obtenga las ecuaciones de la recta que pasa por el punto )1,1,1( , es perpendicular a

la recta zyx 23 y paralela al plano 0 zyx .

Respuesta: tx 91 , ty 81 , tz 1 .

128. Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto )5,1,2( y es perpendicular a la

recta con números directores 2,4,3 . Respuesta: 08243 zyx .

129. Escribir la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a la recta con

números directores 2,1,2 . Respuesta: 022 zyx .

130. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta

indicada.



a) )7,1,3( , 21

3

3

2 zyx

b) )9,2,4( , El eje z.

Respuesta: 0423 zyx ; 9z .

131. Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento AB cuyos extremos son los

puntos dados en su punto medio:

a) )7,2,3( A y )9,4,5( B b) )2,4,7( A y )3,1,2( B

c) )3,1,2( A y )2,2,4(B


132. Hallar la ecuación del plano que contiene al punto dado y es perpendicular a la recta

indicada:

a) )2,4,6( , Recta que pasa por los puntos )3,2,7( y )5,4,1( .

b) )7,3,2( , Recta que pasa por los puntos )3,2,1( y )12,4,2( .

c) )3,1,6( , Recta de intersección de los planos 0422 zyx , 0243 zyx .


133. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto dado y es paralelo a las dos rectas

que tienen por números directores los indicados:

a) )1,1,5( , 2,3,1 y 1,7,3 .

b) )1,3,2( , 0,3,2 y 3,2,1 .

Respuesta: a) 06416711 zyx ; b) 169 zyx .

134. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto dado y es paralelo a cada una de las

rectas indicadas:

a) )1,4,2( , 2

2

4

3

1

zyx,

1

7

1

2

3

1

zyx

b) )4,2,2( , 011 zyx , 072 zyx y 08232 zyx ,

092 zyx .


135. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta dada y es paralelo a la recta

indicada:



a) 43

3

2

2 zyx

,

5

7

21

1

zyx

b) 01235 zyx , 0113 zyx y 0234 zyx , 0943 zyx .


2.3.- DISTANCIA.

Distancia entre un punto y una recta.

Sea el punto ),,( 0000 zyxP y la recta c

zz

b

yy

a

xx 111

, la distancia entre el punto

0P y la recta está dada por: A

APQ

0Distancia , donde Q es un punto cualquiera de la

recta, 0PQ es un vector definido por los puntos Q y 0P , y A es el vector director de la recta.


136. Hallar la distancia entre el punto dado y la recta indicada:

a) )3,2,1( , 32

3

6

7 zyx

.

b) )4,7,7( , 0426 zyx , 01026 zyx .

Respuesta (En unidades de longitud): a) 7; b) 11.

137. Sea Q un punto no situado en la recta L de Vn.

a) Sea 2

)()( tXQtf , donde AtPtX )( . Demostrar que )(tf es un polinomio

cuadrático en t y que tal polinomio alcanza su valor mínimo en un solo valor de t, tal como

0tt .

b) Demostrar que )( 0tXQ es ortogonal a A.

138. Sea AtPtX )( un punto arbitrario en la recta L, siendo )3,2,1(P y

2,2,1A , y sea )1,3,3(Q .

a) Calcular 2

)(tXQ , cuadrado de la distancia entre Q y )(tX .

b) Demostrar que hay exactamente un punto )( 0tX para el que la distancia )(tXQ es

mínima y calcularla.



c) Demostrar que )( 0tXQ es ortogonal a A.

Respuesta: a) 989 2 tt ; b) 6531 .

Distancia entre un punto y un plano (Proyección).

Sea el punto ),,( 0000 zyxP y el plano 0 dzcybxa , la distancia entre el punto 0P

y el plano está dada por: N

NPQ .0Distancia , donde Q es un punto cualquiera del plano,

0PQ es un vector definido por los puntos Q y 0P , y kcjbiaN es el vector normal

del plano. 222

000Distancia

cba

dzcybxa

. La distancia es la proyección escalar del

vector 0PQ sobre el vector normal del plano.


139. En cada uno de los ejercicios, hállese la distancia del punto dado al plano indicado.

a) El origen, 1232 zyx b) El origen, 5243 zyx

c) )2,1,1( , 253 zyx d) )5,3,1( , 5243 zyx

e) )3,2,1( , 42 zyx f) )7,2,3( , 01222 zyx

g) )3,10,5( , 01234 zyx h) )1,2,3( , 026125 zy

i) )9,5,1( , 623 zyx

Respuesta (En unidades de longitud): a) 14

12 ; b) 29

5 ; c) 35

64 ; d) 29

6 ; e) 6

1 ; f) 1; g) 2; h)

1324

140. Hallar la distancia del origen a cada uno de los planos paralelos 018744 zyx

y 027744 zyx . De aquí hallar la distancia entre estos dos planos.

Respuesta: 5 unidades de longitud.

141. a) Si los puntos A, B y C determinan un plano, demostrar que la distancia desde un

punto Q a dicho plano es )()(

)()()( .

ACAB

ACABAQd

b) Calcular esa distancia si )0,0,1(Q , )1,1,0(A , )1,1,1( B y )4,3,2(C .



Respuesta: b) 1 Unidad de longitud.

142. Determinar la distancia d del plano : 034123 zyx al punto )2,1,3(1 P por

el siguiente procedimiento. Hállense las coordenadas del punto P , pie de la perpendicular

trazada de P1 a . Luego determínese d como la longitud del segmento 1PP .

Respuesta: 2 Unidades de longitud.

143. Hallar el punto P del plano 092145 zyx que esté más próximo al punto

)7,15,2( .

Respuesta: b) ),,( 252

2514

51 .

144. Hallar el valor de k para que la distancia del origen al plano 01463 zkyx sea

igual a 2. Respuesta: 2k , 2k .

145. Hallar el valor del coeficiente k en la ecuación 01462 zyxk de un plano, para

que la distancia del punto )1,1,1( al plano sea igual a –3.

Respuesta: 3k , 23k .

146. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al que tiene por ecuación

01222 zyx y cuya distancia al origen es 2. (Dos soluciones).


147. La ecuación de un plano es 0172 zyx , y las coordenadas de un punto P

son )6,1,2( . Hallar la ecuación del plano que pasa por P y es paralelo a . Después hallar

la distancia entre P y . Respuesta: 623 .

148. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del punto que se mueve de tal

manera que su distancia al plano 0622 zyx es igual al doble de su distancia del

plano 0322 zyx . (Dos soluciones).

Respuesta: 0234 zyx , 065 zy .

149. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos

22 zyx y 043 zyx y tal que su distancia al origen sea igual a 2. (Dos

soluciones).




150. La distancia de un plano al punto )2,0,1( es 1. Si el plano pasa por la intersección de

los planos 0324 zyx y 022 zyx , hállese su ecuación. (Dos soluciones).


151. La distancia de un plano al origen es igual a 3. Si el plano pasa también por la

intersección de los planos 011 zyx y 01054 zyx , hállese su ecuación

(Dos soluciones).


152. [TA] Un plano tiene como ecuación cartesiana 0722 zyx . Hallar:

a) un vector normal de longitud unidad. Respuesta: 32

32

31 ,,

b) los segmentos interceptados por el plano en los ejes. Respuesta: –7, 27 ,

27

c) la distancia del plano al origen. Respuesta: 37 U.L.

d) el punto Q del plano más próximo al origen. Respuesta: ),,( 914

914

97

153. Calcular el vector distancia mínima del origen del sistema de coordenadas al plano

0425 zyx . Respuesta: )25(15

2 kji .

154. El vector distancia del origen a un plano es 2,2,1 . Hallar la ecuación del plano.


155. Los tres puntos )1,1,1( , )2,3,3( y )2,1,3( determinan un plano. Hallar:

a) un vector normal al plano. Respuesta: 2,2,1 .

b) una ecuación cartesiana del plano. Respuesta: 522 zyx .

c) la distancia del plano al origen. Respuesta: 35 Unidades de longitud.

156. Calcular la forma general de la ecuación del plano que dista 10 unidades del origen y

es paralelo al plano )1,7,3()2,0,1()7,2,1( 21 ttM .

Respuesta: 09075143

10 zyx .

157. Hallar la ecuación de cada uno de los planos que están a 2 unidades del origen y tienen

una normal que hace ángulos de 60º con los ejes x e y.




Distancia entre dos rectas paralelas.

Sean las rectas 1L y 2L en R3 con vectores directores 1A y 2A respectivamente. La

distancia entre ambas rectas está dada por: 1

1Distancia

A

APQ , donde Q es un punto

de la recta 1L , P es un punto de la recta 2L , PQ es un vector definido por los puntos Q y

P.


158. Demostrar que las rectas dadas son paralelas, y hallar la distancia entre ellas.

a) 4

8

4

2

3

2 zyx

y

4

3

4

2

3

1

zyx

b) 0167 zyx , 04 zyx y 0211 zyx , 0425 zyx

Respuesta (En unidades de longitud): a) 9 ; b) 3.

Distancia entre dos rectas oblicuas.

Sean las rectas 1L y 2L en R3 con vectores directores 1A y 2A respectivamente. La

distancia entre ambas rectas está dada por:

21

21.Distancia

AA

AAPQ

, donde Q es un

punto de la recta 1L , P es un punto de la recta 2L , PQ es un vector definido por los

puntos Q y P.


159. Hallar la distancia más corta entre las dos rectas que se cruzan:

a) 1

3

1

2

2

1

zyx y

2

1

1

2

3

2

zyx

b) 321

zyx y

1

1

1

4

1

1

zyx

c) 012 zyx , 012 zyx y 032 zyx , 01 zyx

Respuesta (En unidades de longitud): a) 3

17 ; b) 13/2610 ; c) 6

1 .



Distancia entre una recta y un plano paralelos.

Sea la recta L y el plano 0 dzcybxa paralelos en R3. La distancia entre la recta y

el plano está dada por: N

NPQ .Distancia , donde Q es un punto del plano, P es un

punto de la recta L, PQ es un vector definido por los puntos Q y P, y kcjbiaN

es el vector normal del plano. La distancia es la proyección escalar del vector PQ sobre el

vector normal del plano.


160. Demostrar que la recta dada y el plano indicado son paralelos y determinar la distancia

que hay entre ellos:

a) 3

1

6

13

6

2 zyx

y 03632 zyx

b) 013 zyx , 03327 zyx y 083 zyx

Respuesta (En unidades de longitud): a) 2; b) 11

5 .

Distancia entre dos planos paralelos.

Sean dos planos paralelos en R3: 01 dzcybxa y 02 dzcybxa . La

distancia entre ambos planos está dada por: N

NPQ .Distancia , donde Q es un punto

del plano 1, P es un punto del plano 2, PQ es un vector definido por los puntos Q y P,

kcjbiaN es el vector normal de ambos planos. 222

12Distancia

cba

dd

. La

distancia es la proyección escalar del vector PQ sobre el vector normal del plano.


161. Hallar la distancia entre los planos paralelos dados.

a) 922 zyx y 2722 zyx Respuesta: 12 Unidades de longitud.

b) 014236 zyx y 035236 zyx Respuesta: 3 Unidad de longitud.

c) 4423 zyx y 10846 zyx Respuesta: 29

2 Unidades de longitud.



162. Hallar la distancia entre los planos paralelos 0948 zyx y

03648 zyx calculando la distancia de un punto de un plano al otro.

Respuesta: 5 Unidades de longitud.

163. La base de un tetraedro es el triángulo cuyos vértices son )1,2,1( , )1,2,4( y

)3,5,5( . Si el cuarto vértice es el punto )1,2,4( , hállese la longitud de la altura

trazada desde el vértice a la base. Respuesta: 6 Unidades de longitud.

164. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al de la ecuación 0922 zyx y

está a 2 unidades de él. Respuesta: 01522 zyx .

165. Calcular la ecuación del plano equidistante de los planos 092 zyx y

05363 zyx . Respuesta: 023

11 zyx .

166. Hallar la ecuación cartesiana del plano paralelo al plano dado si el punto indicado

equidista de ambos:

a) 0122 zyx , )2,2,2( b) 0422 zyx , )1,2,3(


167. [TA] Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por )3,2,1( y es paralela al

plano 423 zyx . ¿Cuál es la distancia entre los dos planos?

Respuesta: 523 zyx , 14

9 Unidades de longitud.

168. [TA] Cuatro planos tienen ecuaciones cartesianas i) 522 zyx , ii)

2363 zyx , iii) 122 zyx y iv) 72 zyx .

a) Demostrar que dos de ellos son paralelos y los otros dos son perpendiculares.

b) Hallar la distancia entre los dos planos paralelos.

Respuesta: a) Son paralelos ii) y iv). Son perpendiculares i y iii); b) 63

19 Unidades de

longitud.



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Education

02 geometria analitica en el espacio