03 metodo de regla falsa

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

MÉTODO DE REGLA FALSA.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de regla falsa.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 42

1.7.- MÉTODO DE FALSA POSICIÓN (REGLA FALSA O REGULA FALSI).

Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está

localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,

Figura 1.16. Aplicación del método de regla falsa.

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el

intervalo ],[ ba .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto

donde cruza al eje x esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en

sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el

método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente

idénticos.

Supongamos que tenemos una función )(xf que es continua en el intervalo ],[ ba y

además, )(af y )(bf tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos ))(,( afa y ))(,( bfb .

Sabemos que la pendiente de esta recta está dada por:

ba

bfafm

)()(

Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por ))(,( bfb es:

)()()(

)( bxba

bfafbfy



Para obtener el corte con el eje x, hacemos 0y :

)()()(

)( bxba

bfafbf

Multiplicando por ba nos da:

))](()([)()( bxbfafbabf

Finalmente, de aquí despejamos x:

)()(

)()(

bfaf

babfbx

Este punto es el que toma el papel de ix en lugar del punto medio del método de bisección.

La fórmula iterativa del método de regla falsa es:

)()(

)()(

bfaf

babfbxi

(1.15)

Una fórmula alternativa para la aplicación del método se obtiene al sustituir el punto

))(,( afa en la ecuación de la recta buscada:

)()(

)()(

bfaf

baafaxi

(1.16)

Las ecuaciones (1.15) y (1.16) pueden escribirse en la forma siguiente:

)()(

)()(

bfaf

bfaafbxi

(1.17)

la cual es eventualmente más sencilla de memorizar e involucra menor cantidad de

operaciones comparada con las ecuaciones (1.15) y (1.16).

Requisitos para la aplicación del método de regla falsa.

Para la aplicación del método de regla falsa, debe disponerse de:

a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función 0)( xf .

b) Un intervalo ],[ ba que contenga a la raíz de la ecuación, para lo cual es necesario que

la función evaluada en los extremos del intervalo tenga signos diferentes, esto es

0)()( bfaf .

c) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.



El método de regla falsa se realiza con los siguientes pasos:

i) Definir )(xf . Debe tenerse en cuenta que la función a la cual se le determinarán las

raíces debe ser continua en el intervalo ],[ ba y contener sólo una raíz en dicho intervalo.

ii) Encontrar el intervalo ],[ ba tales que )(af y )(bf tienen signos opuestos, es decir,

0)()( bfaf .

iii) La fórmula iterativa del método es:

)()(

)()(

bfaf

bfaafbxi

donde el intervalo ],[ ba que contiene a la raíz se redefine en cada iteración dependiendo

del signo que adopta la función en ix , esto es, dependiendo del signo de )( ixf .

iv) Evaluar )( ixf . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

0)()( ixfaf : En este caso, tenemos que )(af y )( ixf tienen signos opuestos, y por

lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo ],[ ixa .

0)()( ixfaf : En este caso, tenemos que )(af y )( ixf tienen el mismo signo, y de

aquí que )( ixf y )(bf tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el

intervalo ],[ bxi .

0)()( ixfaf : En este caso se tiene que 0)( ixf y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que se complete el número de

iteraciones indicadas ó

sa , es decir, s

100actualón Aproximaci

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci.

Algoritmo del método de falsa posición.

Para encontrar una solución de 0)( xf , dada la función continua f en el intervalo ],[ ba

donde )(af y )(bf tienen signos opuestos:

ENTRADA: Extremos a, b; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.

SALIDA: Solución aproximada p o mensaje de fracaso.



Paso 1. Tomar 1i .

Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 6.

Paso 3. Tomar )()(

)()(

bfaf

bfaafbxi

. (Calcular ix ).

Paso 4. Determinar )( ixf . Si 0)( ixf ó TOLx

xx

i

ii 1001 entonces

SALIDA ( ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente).

PARAR.

Paso 5. Si 0)()( ixfaf entonces tomar ixa (Calcular ia , ib ).

si no, tomar ixb .

Paso 6. Tomar 1 ii .

Paso 7. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”); (Procedimiento

completado sin éxito).

PARAR.

Ejemplo 1.10.

Determine la raíz de 02 xex en el intervalo ]2,1[ usando el método de regla falsa

con tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en la última

iteración.

Solución.

- Ecuación a resolver: 02 xex .

- Un intervalo que contiene la solución es ]2,1[ , de donde: 1a y 2b .

- Se ejecutarán 3 iteraciones.

Desarrollo del método de regla falsa.

i) Definimos xexxf 2)( .

ii) Verificamos la existencia de una raíz en el intervalo dado.

67182818284.11)1()1()( )1(2 eefaf

68646647167.34)2()2()( 2)2(2 eefbf



Puesto que la función evaluada en los extremos del intervalo tiene signos opuestos, se

cumple que 0)()( bfaf .

Gráficamente:

Figura 1.17. Condiciones para la aplicación del

método de regla falsa para xexxf 2)( en

]2,1[ .

iii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.

Primera iteración ( 1i ). 1a , 2b

68646647167.367182818284.1

)68646647167.3()1()67182818284.1()2(

)()(

)()(1

bfaf

bfaafbx

40766801287.01 x

iv) )40766801287.0(2

1 )40766801287.0()40766801287.0()( efxf

5081.07381681)( 1 xf

Observamos que )( 1xf tiene el mismo signo que )(af , por lo tanto redefinimos el

intervalo ],[ ba como ],[ 1 bx , esto es: ]2,40766801287.0[ .

En la figura siguiente se observa el principio del método. Se ha trazado la recta que une los

puntos ))(,( afa y ))(,( bfb . El punto donde esta recta corta al eje x es el valor de la

estimación de la raíz. El valor indicado es 40766801287.01 x . El intervalo original se ha

dividido, lo cual conduce a dos intervalos: ]40766801287.0,1[ y ]2,40766801287.0[

. Para continuar con el método, se elige el intervalo que contiene la solución.



Figura 1.18. Primera iteración del método de regla

falsa para xexxf 2)( en ]2,1[ .

Repetimos el proceso con el nuevo intervalo ]2,40766801287.0[ .

Segunda iteración ( 2i ). 40766801287.0a , 2b

68646647167.35081.07381681

)68646647167.3()40766801287.0()5081.07381681()2(

)()(

)()(2

bfaf

bfaafbx

9220.374870412 x

2840.54685051922)0.37487041(922)0.37487041()( 922)0.37487041(2

2 efxf



Gráficamente:

Figura 1.19. Segunda iteración del método de regla


Tercera iteración ( 3i ). 9220.37487041a , 2b



68646647167.32840.54685051

)68646647167.3()23748704192.0()2840.54685051()2(

)()(

)()(3

bfaf

bfaafbx

4970.576321143 x

2820.22981588497)0.57632114(497)0.57632114()( 497)0.57632114(2

3 efxf



Gráficamente:

Figura 1.20. Tercera iteración del método de regla


Obsérvese que el método va encerrando la raíz en un intervalo cada vez más pequeño.

Además, las estimaciones sucesivas de la raíz de la ecuación cada vez más se aproximan al

verdadero valor de la raíz.

Error relativo porcentual de aproximación.


anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci

a

1004970.57632114

9220.374870414970.57632114

a

%95.34a

Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente

tabla:

i ia ix ib )( iaf )( ixf )( ibf

1 –1 –0.07668012874 2 –1.71828182846 –1.07381681508 3.86466471676



2 –0.07668012874 0.37487041922 2 –1.07381681508 –0.54685051284 3.86466471676

3 0.37487041922 0.57632114497 2 –0.54685051284 –0.22981588282 3.86466471676

La solución de la ecuación 02 xex es 75763211449.03 x , obtenida aplicando el

método de falsa posición en el intervalo ]2,1[ con tres iteraciones. El error relativo

porcentual de aproximación es 34.95%.

El cálculo manual del método de regla falsa se puede llevar a cabo elaborando una

tabla como se muestra abajo. Cuando empieza la primera iteración, los valores de 1a y

2b se escriben en la tabla en el renglón 1.


1 –1 2

También se calculan )(af y )(bf y se escriben en el mismo renglón.


1 –1 2 –1.71828182846 3.86466471676

Se calcula el valor correspondiente a la primera estimación de la raíz,

68646647167.367182818284.1

)68646647167.3()1()67182818284.1()2(

)()(

)()(1

bfaf

bfaafbx

40766801287.01 x

y 80738168150.1)40766801287.0()( 1 fxf y se escriben en el renglón 1.


1 –1 –0.07668012874 2 –1.71828182846 –1.07381681508 3.86466471676

Al examinar los signos de estos tres valores de f, vemos que la raíz se localiza entre 1x y b.

Por lo tanto, 1x y b del paso 1i se convierten respectivamente, en a y b para el paso

2i .


1 –1 –0.07668012874 2 –1.71828182846 –1.07381681508 3.86466471676

2 –0.07668012874 2

Así, )( 1xf y )(bf del paso 1i se copian a )(af y )(bf para el paso 2i .


1 –1 –0.07668012874 2 –1.71828182846 –1.07381681508 3.86466471676

2 –0.07668012874 2 –1.07381681508 3.86466471676



La 2x para el paso 2i es

68646647167.380738168150.1

)68646647167.3()40766801287.0()80738168150.1()2(

)()(

)()(2

bfaf

bfaafbx

23748704192.02 x

y se calcula )( 2xf , escribiendo su valor en la tabla.


1 –1 –0.07668012874 2 –1.71828182846 –1.07381681508 3.86466471676

2 –0.07668012874 0.37487041922 2 –1.07381681508 –0.54685051284 3.86466471676

La iteración para el resto continúa de manera similar hasta que se alcanza la tolerancia. El

último valor de x es la respuesta final.

Ejemplo 1.11.

Encuentre la raíz positiva más pequeña de la función (x está en radianes) 5sen 2 xx

usando el método de falsa posición. Para localizar el intervalo en donde se encuentra la

raíz, grafique primero esta función para valores entre 0 y 5. Realice el cálculo hasta que a

sea menor que %1s . Compruebe su respuesta final sustituyéndola en la función

original.

Solución.

- Ecuación a resolver: 5sen 2 xx . 5sen )( 2 xxxf

Cifras significativas a utilizar en la solución del problema.

De la Ecuación 1.12:

)2(log2 10 sn

)01.02(log2 10 n

69.3n

Se deben utilizar 4 cifras significativas.

- Intervalo donde se encuentra la solución.

Para determinar un intervalo donde se encuentra la solución, se aplica el procedimiento de

búsqueda por incrementos, descrito en la sección 1.3.



Se realiza una tabla de valores

x 5sen )( 2 xxxf

0 –5.000

1 –4.159

2 –1.049

3 3.883

4 9.549

5 14.669

Un intervalo que contiene la solución es ]3,2[ , de donde: 2a y 3b .

- El mecanismo de paro es la cota en el error %1s .

Desarrollo del algoritmo de regla falsa.

Primera iteración ( 1i ). 2a , 3b .

213.2883.31.049

)883.3()2(1.049)()3(

)()(

)()(1

bfaf

bfaafbx

121.052.213sen )213.2()213.2()( 2

1 fxf

La raíz se encuentra en el intervalo ]3,213.2[ .

Estos resultados se resumen en una tabla.

Segunda iteración ( 2i ). 213.2a , 3b .

237.2883.3121.0

)883.3()213.2()121.0()3(

)()(

)()(2

bfaf

bfaafbx

010.052.237sen )237.2()237.2()( 2

2 fxf





a

1002.237

213.2237.2

a

%07.1a



Puesto que %)1(%)07.1( sa , se requiere otra iteración.

Tercera iteración ( 3i ). 237.2a , 3b .

239.2883.3010.0

)883.3()237.2()010.0()3(

)()(

)()(2

bfaf

bfaafbx

001.052.239sen )239.2()239.2()( 2

3 fxf





a

1002.239

236.2239.2

a

%11.0a

Puesto que %)1(%)11.0( sa , fin del procedimiento.

i ia ib )( iaf )( ibf ix )( ixf a (%)

1 2 3 –1.049 3.883 2.213 –0.121 -

2 2.213 3 –0.121 3.883 2.236 –0.012 1.07

3 2.236 3 –0.012 3.883 2.239 –0.001 0.11

La solución de la ecuación 5sen 2 xx es 239.23 x , obtenida aplicando el método de

falsa posición en el intervalo ]3,2[ con tres iteraciones. El error relativo porcentual de

aproximación es %11.0s .

Desventajas del método de la falsa posición.

Aunque el método de la falsa posición parecería ser siempre la mejor opción entre los

métodos cerrados, hay casos donde funciona de manera deficiente. En efecto, hay ciertos

casos donde el método de bisección ofrece mejores resultados.

El ejemplo anterior ilustra que, por lo común no es posible realizar generalizaciones con los

métodos de obtención de raíces. Aunque un método como el de la falsa posición casi

siempre es superior al de bisección, hay algunos casos que violan esa conclusión general.

Por lo tanto, además de usar la ecuación





a

los resultados se deben verificar sustituyendo la raíz aproximada en la ecuación original y

determinar si el resultado se acerca a cero. Esta prueba se debe incorporar en todos los

programas que localizan raíces.

El ejemplo ilustra también una importante desventaja del método de la falsa

posición: su unilateralidad. Es decir, conforme se avanza en las iteraciones, uno de los

puntos limitantes del intervalo tiende a permanecer fijo. Esto puede llevar a una mala

convergencia, especialmente en funciones con una curvatura importante. La sección

siguiente ofrece una solución.

Ejercicios propuestos.

28. [CC] Determine la raíz real de 7.0ln 2 x usando tres iteraciones del método de falsa

posición con valores iniciales 5.0a y 2b .

29. [CC] Determine la raíz real de x

xxf

4.09.0)(

:

a) Analíticamente. b) Gráficamente.

c) Empleando tres iteraciones en el método de la falsa posición, con valores iniciales de 1 a

3. Calcule el error aproximado a y el error verdadero t en cada iteración.

30. [BF] Use el método de regla falsa para aproximar las soluciones de las ecuaciones

siguientes con precisión de 10–5

.

a) 3

2 2xex

x 10 x b) 03 2 xex 10 x

c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).

31. [BF] Use el algoritmo de posición falsa para encontrar una raíz aproximada de

0cos xx en el intervalo 41,5.0 .

32. [CC] Determine las raíces reales de 5432 65.094.45883.8226)( xxxxxxf

a) Gráficamente.



b) Usando el método de regla falsa para localizar la raíz más grande con %1.0s . Utilice

como valores iniciales 5.0a y 0.1b .

33. [CC] Determine la raíz real de 973.3 x :

a) Analíticamente.

b) Con el método de la falsa posición para %1.0s . Use como valores iniciales de 3.0 a

4.0.

34. [CC] Calcule la raíz cuadrada positiva de 15 usando el método de la falsa posición con

%5.0s . Emplee como valores iniciales 3a y 4b .

35. [CC] Calcule las raíces reales de 32 5.2172211)( xxxxf :

a) Gráficamente.

b) Empleando el método de la falsa posición con un valor s correspondiente a tres cifras

significativas para determinar la raíz más pequeña.

36. [CC] Calcule la raíz real positiva de 1010462368)( 234 xxxxxf ; utilizando

el método de la falsa posición. Use una gráfica para escoger el valor inicial y trace el

cálculo con %0.1s

Falsa posición modificada.

Una forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posición consiste en obtener un

algoritmo que detecte cuando se “estanca” uno de los límites del intervalo. Si ocurre esto,

se divide a la mitad el valor de la función en el punto de “estancamiento”. A este método se

le llama método de la falsa posición modificado.

En este método, el valor de f en un punto fijo se divide a la mitad si este punto se ha

repetido más de dos veces. El extremo que se repite se llama extremo fijo. La excepción a

esta regla es que para 2i , el valor de f en un extremo se divide entre 2 de inmediato si no

se mueve.

Algoritmo del método de falsa posición modificada.

Para encontrar una solución de 0)( xf , dada la función continua f en el intervalo ],[ ba

donde )(af y )(bf tienen signos opuestos:



ENTRADA: Extremos a, b; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.

SALIDA: Solución aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1. Tomar 1i .

Tomar 1ai

Tomar 1bi

Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 9.

Paso 3. Tomar )()(

)()(

bfaf

bfaafbxi

. (Calcular ix )

Paso 4. Determinar )( ixf . Si 0)( ixf ó TOLx

xx

i

ii 1001 entonces

SALIDA ( ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente).

PARAR.

Paso 5. Si 0)()( ixfaf entonces tomar ixa .

)()( ixfaf

0ai

1 bibi

Paso 6. Si 2bi , 2/)()( bfbf

Paso 7. Si 0)()( ixfaf entonces tomar ixb .

1 aiai

0bi

Paso 8. Si 2ai , 2/)()( afaf

Paso 9. Tomar 1 ii .

Paso 10. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”). (Procedimiento

completado sin éxito).

PARAR.

Ejemplo 1.12.



Determine la raíz de 02 xex en el intervalo ]2,1[ usando el método de regla falsa

modificada con seis iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en

la última iteración.

Solución.

- Ecuación a resolver: 02 xex .

- Un intervalo que contiene la solución es ]2,1[ , de donde: 1a y 2b .

- Se ejecutarán 6 iteraciones.

Desarrollo del método de regla falsa modificada.

i) Definimos xexxf 2)( .

ii) Verificamos la existencia de una raíz en el intervalo dado.

67182818284.11)1()1()( )1(2 eefaf

68646647167.34)2()2()( 2)2(2 eefbf

Puesto que la función evaluada en los extremos del intervalo tiene signos opuestos, se

cumple que 0)()( bfaf .

Gráficamente:

Figura 1.21. Condiciones para la aplicación del

método de regla falsa modificada para

xexxf 2)( en ]2,1[ .

iii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.

Primera iteración ( 1i ). 1a , 2b

68646647167.367182818284.1

)68646647167.3()1()67182818284.1()2(

)()(

)()(1

bfaf

bfaafbx



40766801287.01 x

iv) )40766801287.0(2

1 )40766801287.0()40766801287.0()( efxf

5081.07381681)( 1 xf



En este punto, se mantiene el extremo derecho del intervalo, por lo cual los contadores

adquieren los valores 0ai y 2bi .

En la figura siguiente se observa el principio del método. Se ha trazado la recta que une los

puntos ))(,( afa y ))(,( bfb . El punto donde esta recta corta al eje x es el valor de la

estimación de la raíz. El valor indicado es 40766801287.01 x . El intervalo original se ha

dividido, lo cual conduce a dos intervalos: ]40766801287.0,1[ y ]2,40766801287.0[

. Para continuar con el método, se elige el intervalo que contiene la solución.

Figura 1.22. Primera iteración del método de regla

falsa modificada para xexxf 2)( en

]2,1[ .

Repetimos el proceso con el nuevo intervalo ]2,40766801287.0[ .

Segunda iteración ( 2i ). 40766801287.0a , 2b

Puesto que el extremo derecho del intervalo se ha mantenido fijo en dos oportunidades,

2bi (la primera es el valor original, la segunda es la que resultó de la primera iteración),

el valor de la función en ese extremo se divide a la mitad. Para la segunda iteración

siempre la función en uno de los extremos se dividirá a la mitad.



89323323583.12

68646647167.3)2()( fbf

8381.932332355081.07381681

)8381.93233235()40766801287.0(508)1.07381681()2(

)()(

)()(2

bfaf

bfaafbx

56651240576.02 x

30718197200.0)56651240576.0()56651240576.0()( )56651240576.0(2

2 efxf



En este punto, se mantiene el extremo derecho del intervalo nuevamente, por lo cual los

contadores adquieren los valores 0ai y 3bi .

Gráficamente:

Figura 1.23. Segunda iteración del método de regla


]2,1[ .

Tercera iteración ( 3i ). 7650.66512405a , 2b

Puesto que el extremo derecho del intervalo se ha mantenido fijo en dos oportunidades, el

valor de la función en ese extremo se divide a la mitad.

99661661791.02

89323323583.1)2()( fbf

99661661791.030718197200.0

)99661661791.0()7650.66512405()30718197200.0()2(

)()(

)()(3

bfaf

bfaafbx

1850.757486023 x

01049414640.0185)0.75748602(185)0.75748602()( 185)0.75748602(2

3 efxf



Observamos que )( 3xf tiene el mismo signo que )(bf , por lo tanto redefinimos el

intervalo ],[ ba como ],[ 3xa , esto es: ]57574860218.0,56651240576.0[ .

En este punto, se mantiene el extremo izquierdo del intervalo, por lo cual los contadores

adquieren los valores 1ai y 0bi .

Gráficamente:

Figura 1.24. Tercera iteración del método de regla


]2,1[ .

Obsérvese que el método va encerrando la raíz en un intervalo cada vez más pequeño.

Además, las estimaciones sucesivas de la raíz de la ecuación cada vez más se aproximan al

verdadero valor de la raíz.




a

10057574860218.0

56651240576.057574860218.0

a

%19.12a

Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente

tabla:


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 0.66512405765 2.00000000000 -1.07381681508 -0.07181972004 1.93233235838

3 0.66512405765 0.75748602185 2.00000000000 -0.07181972004 0.10494146402 0.96616617919

4 0.66512405765 0.70265158637 0.75748602185 -0.07181972004 -0.00155105733 0.10494146402

5 0.70265158637 0.70345024670 0.75748602185 -0.00155105733 -0.00003266473 0.10494146402

6 0.70345024670 0.70348386479 0.75748602185 -0.00003266473 0.00003127018 0.05247073201



La solución de la ecuación 02 xex es 97034838647.06 x , obtenida aplicando el

método de falsa posición modificada en el intervalo ]2,1[ con seis iteraciones. El error

relativo porcentual de aproximación es 0.8940%.

Los cálculos se muestran en las tablas siguientes. En el renglón de la primera

iteración ( 1i ) se escriben los valores de 1a , 2b y los valores calculados de )(af

y )(bf .


1 -1.00000000000 2.00000000000 -1.71828182846 3.86466471676

El valor de 1x se halla mediante interpolación lineal,

68646647167.367182818284.1

)68646647167.3()1()67182818284.1()2(

)()(

)()(1

bfaf

bfaafbx

40766801287.01 x

y en consecuencia se calcula )( 1xf . Estos dos números se escriben en el mismo renglón.


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

Al examinar los signos de )(af , )( 1xf y )(bf , se localiza la raíz entre 1x y b. Por lo

tanto, los valores de 1x y b de la primera iteración se copian en a y b para 2i ,

respectivamente.


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 2.00000000000

El valor de )( 1xf para 1i se copia en )(af para 2i , pero 2/)(bf se copia a )(bf

para 2i .


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 2.00000000000 -1.07381681508 1.93233235838

El valor de 2x para 2i se encuentra mediante la ecuación )()(

)()(2

bfaf

bfaafbx

de la

misma forma que en el paso 1i .




1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 0.66512405765 2.00000000000 -1.07381681508 -0.07181972004 1.93233235838

Después de terminar el renglón para 2i , se examinan los signos de )(af , )( 2xf y

)(bf ; de nuevo la raíz se localiza entre 2x y b. Por lo tanto se repite el mismo proceso

para 3i .


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 0.66512405765 2.00000000000 -1.07381681508 -0.07181972004 1.93233235838

3 0.66512405765 0.75748602185 2.00000000000 -0.07181972004 0.10494146402 0.96616617919

En el renglón correspondiente a 3i , la raíz se localiza entre a y 3x , por lo que tanto estos

valores como )(af y )( 3xf se copian en el siguiente renglón, para 4i . Sin embargo,

)(af no se divide a la mitad porque es la primera vez que a permanece fijo.


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 0.66512405765 2.00000000000 -1.07381681508 -0.07181972004 1.93233235838

3 0.66512405765 0.75748602185 2.00000000000 -0.07181972004 0.10494146402 0.96616617919

4 0.66512405765 0.75748602185 -0.07181972004 0.10494146402

Después de terminar el cálculo de 4x y )( 4xf para 4i , se copian en el renglón 4.


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 0.66512405765 2.00000000000 -1.07381681508 -0.07181972004 1.93233235838

3 0.66512405765 0.75748602185 2.00000000000 -0.07181972004 0.10494146402 0.96616617919

4 0.66512405765 0.70265158637 0.75748602185 -0.07181972004 -0.00155105733 0.10494146402

Se repite el proceso para 5i .


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 0.66512405765 2.00000000000 -1.07381681508 -0.07181972004 1.93233235838

3 0.66512405765 0.75748602185 2.00000000000 -0.07181972004 0.10494146402 0.96616617919

4 0.66512405765 0.70265158637 0.75748602185 -0.07181972004 -0.00155105733 0.10494146402

5 0.70265158637 0.70345024670 0.75748602185 -0.00155105733 -0.00003266473 0.10494146402

Se copian 5x y b para 6i y )(bf se divide entre 2 antes de copiarlo al renglón para el

paso 6i .


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 0.66512405765 2.00000000000 -1.07381681508 -0.07181972004 1.93233235838

3 0.66512405765 0.75748602185 2.00000000000 -0.07181972004 0.10494146402 0.96616617919

4 0.66512405765 0.70265158637 0.75748602185 -0.07181972004 -0.00155105733 0.10494146402

5 0.70265158637 0.70345024670 0.75748602185 -0.00155105733 -0.00003266473 0.10494146402

6 0.70345024670 0.75748602185 -0.00003266473 0.05247073201



Se calcula el valor de 6x mediante )()(

)()(6

bfaf

bfaafbx

y en consecuencia se calcula

)( 6xf .


1 -1.00000000000 -0.07668012874 2.00000000000 -1.71828182846 -1.07381681508 3.86466471676

2 -0.07668012874 0.66512405765 2.00000000000 -1.07381681508 -0.07181972004 1.93233235838

3 0.66512405765 0.75748602185 2.00000000000 -0.07181972004 0.10494146402 0.96616617919

4 0.66512405765 0.70265158637 0.75748602185 -0.07181972004 -0.00155105733 0.10494146402

5 0.70265158637 0.70345024670 0.75748602185 -0.00155105733 -0.00003266473 0.10494146402

6 0.70345024670 0.70348386479 0.75748602185 -0.00003266473 0.00003127018 0.05247073201

Resumen del método de falsa posición.

a) El método de la falsa posición es esencialmente igual al método de la bisección, excepto

que el segundo método se reemplaza por la interpolación lineal.

b) El método de la falsa posición no necesariamente es más rápido que el método de

bisección, debido a que un extremo puede permanecer fijo.

c) El método de la falsa posición modificada elimina los extremos fijos dividiendo a la

mitad los valores de dichos puntos.

Ejercicios propuestos.

37. [BF] Use el algoritmo de regla falsa modificada para encontrar soluciones con una

exactitud de 10–2

para 04442 234 xxxx en

a) ]0,2[ b) ]2,0[ c) ]2,1[

38. [CC] Determine la raíz real de 7.0ln 2 x usando cinco iteraciones del método de regla

falsa modificada con valores iniciales 5.0a y 2b . Calcule el error aproximado a y el

error verdadero t en cada iteración.

39. [BF] Use el método de regla falsa modificada para aproximar las soluciones de las

ecuaciones siguientes con precisión de 10–5

.

a) 3

2 2xex

x 10 x b) 03 2 xex 10 x

c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).

Precauciones en el uso de métodos cerrados.



En general, si )(af y )(bf tienen signos opuestos, existe un número impar de raíces en el

intervalo. La raíz será única sólo si la función es monótona en el intervalo.

Figura 1.25. Si la función tiene signos diferentes en los puntos extremos, entonces habrá un número impar de

raíces dentro del intervalo.

Si )(af y )(bf tienen el mismo signo, no hay raíces o hay un número par de ellas

entre los valores.

Figura 1.26. Si la función tiene el mismo signo en los puntos extremos, entonces no habrá raíces dentro del

intervalo o habrá un número par de ellas.

Aunque dichas generalizaciones son usualmente verdaderas, existen casos en que no

se cumplen. Por ejemplo, las funciones tangenciales al eje x y las funciones discontinuas

pueden violar estos principios.



Figura 1.27. (a) Aunque los puntos extremos son de signos opuestos, hay un número par de intersecciones con

el eje x en el intervalo. (b) Los puntos extremos son de signo opuesto y no existe raíz.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

28. 2911.448398543 x

29. a) 25.2x ; b) La gráfica se encuentra en el ejemplo 7; c) 3052.378600823 x ,

4.33%a , 10.28%a

30. a) 82575305059.04 x ; b) 9580.910007526 x ; c) 0841.829382727 x ; d)

4881.968875106 x

31. 0530.739085134 x

32. 9860.579327086 x .

33. a) 4023.75870734x ; b) 1803.758685504 x .

34. 2733.872727272 x

35. a)

b) En el intervalo ]0,1[ : 6140.372531653 x .

36. En el intervalo ]4,3[ ; 9733.882556505 x

Falsa posición modificada.

37. a) Existen dos raíces; b) 7441.414212536 x ; c) 1971.414227764 x

38. 2041.420966323 x

39. a) 5440.257530286 x ; b) 3460.910007827 x ; c) 1421.829384897 x ; d)

7831.968872936 x

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03 metodo de regla falsa