03 solucion en torno a puntos singulares regulares

MATEMÁTICA IV. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 3: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DIFERENCIALES EN

SERIE DE POTENCIAS.

SOLUCIÓN EN TORNO A PUNTOS

SINGULARES REGULARES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias. Solución en torno a puntos singulares regulares.

Matemáticas IV (008-2824). 1

3.6.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN TORNO A PUNTOS

SINGULARES REGULARES (MÉTODO DE FROBENIUS1).

Si 0xx es un punto singular regular de la ecuación 0)()()( 012 yxayxayxa , existe

al menos una solución en serie de la forma

0

0

0

00 )()()(n

rn

n

n

n

n

r xxaxxaxxy

donde el número r es una constante a determinar. La serie convergerá al menos en algún

intervalo Rxx 00 .

Ecuación indicial.

0)1( 00 qrprr

00 )(

x

xPxp ; )()( 00 lim0

xpxxpxx

0

2

0 )(

x

xQxq ; )()( 2

00 lim0

xqxxqxx

Casos de raíces indiciales.

Al usar el método de Frobenius, se suelen distinguir tres casos de acuerdo con la naturaleza

de las raíces indiciales. Para simplificar, supongamos que 1r y 2r son las soluciones reales

de la ecuación indicial y que, cuando corresponda, 1r denote la mayor de las raíces.

i. Caso I. Raíces que no difieren en un entero.

Si 1r y 2r son distintas y no difieren en un entero, existen dos soluciones linealmente

independientes de la ecuación 0)()()( 012 yxayxayxa y son de la forma

0

11

n

rn

n xay , 00 a

0

22

n

rn

n xby , 00 b

1 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917). Matemático alemán. Conocido por sus contribuciones a la teoría

de las ecuaciones diferenciales, la teoría de grupos y la primera prueba completa del teorema de Cailey –

Hamilton de análisis matricial.



Ejemplo 3.5.

En la ecuación diferencial: 02)1(3)3(2 yyxyxx , demuestre que las raíces

indiciales no difieren en un entero. Use el método de Frobenius para obtener, en torno al

punto singular regular 00 x , dos soluciones en serie linealmente independientes. Forme

la solución general en x0 .

Solución.

Determinación de puntos singulares:

Los puntos singulares se obtienen anulando el coeficiente de y (la segunda derivada).

0)3(2 xx

0)3( xx

0x

3x

0x y 3x son puntos singulares.

02)1(3)3(2 yyxyxx

0)3(2

2

)3(2

)1(3

y

xxy

xx

xy

0)3(

1

)3(2

)1(3

y

xxy

xx

xy

)3(2

)1(3)(

xx

xxP

)3(

1)(

xxxQ

Grado de x en )(xP : 1

Grado de x en )(xQ : 1

x = 0 es un punto singular regular.

Grado de 3x en )(xP : 1

Grado de 3x en )(xQ : 1

x = –3 es un punto singular regular.

Índices de singularidad.



0)1( 00 qrprr

00 )(

x

xPxp

0

0)3(2

)1(3

xxx

xxp

0

0)3(2

)1(3

xx

xp

21

0 p

0

2

0 )(

x

xQxq

0

2

0)3(

1

xxx

xq

0

03

xx

xq

00 q

0)1(21 rrr

0212 rrr

0232 rr

0r

23r

Puesto que x = 0 no es un punto ordinario, se debe escribir la solución de la ecuación

diferencial en la forma:

0

)(n

rn

n xaxy

Las derivadas involucradas son:

Primera derivada:

0

1)()(n

rn

nxarnxy

Segunda derivada:

0

2)1()()(n

rn

nxarnrnxy

Obsérvese que a diferencia de las derivadas obtenidas en las soluciones en torno a puntos

ordinarios, en este caso el límite inferior de la sumatoria no cambia, pues los argumentos de

las mismas son distintos de cero para cada n.



Siendo la ecuación diferencial: 02)1(3)3(2 yyxyxx , se tiene que al sustituir

tanto )(xy como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:

02)()1(3)1()()3(200

1

0

2

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxarnxxarnrnxx

Los coeficientes de cada sumatoria se deben ingresar a las sumas para formar parte de sus argumentos. En primer lugar se aplica

la propiedad distributiva donde aplique:

02)()33()1()()62(00

1

0

22

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxarnxxarnrnxx

02)(3)(3)1()(6)1()(200

1

0

1

0

2

0

22

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxarnxarnxxarnrnxxarnrnx

02)(3)(3)1()(6)1()(200

1

00

1

0

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxarnxarnxarnrnxarnrn

Se agrupan las sumatorias atendiendo al exponente de x. En este caso sólo tenemos como exponentes rn y 1 rn .

0)](3)1()(6[]2)(3)1()(2[0

1

0

n

rn

n

n

rn

n xarnrnrnxarnrnrn

Para igualar los exponentes se recurre a un cambio de variable. En la primera sumatoria hacemos kn (con el objeto que

aparezca como exponente rk ) y en la segunda sumatoria hacemos kn 1 , apareciendo como exponente rk también.

0)]1(3)11()1(6[]2)(3)1()(2[1

1

0

k

rk

k

k

rk

k xarkrkrkxarkrkrk

Obsérvese que en la primera sumatoria, el límite inferior se mantiene, pues kn , y si n parte de cero para esta sumatoria,

entonces k también lo hará, mientras que para la segunda sumatoria, cuando 0n , el valor que toma k es –1 por ser kn 1 ,

por lo tanto esta segunda sumatoria partirá desde –1 en lugar de cero.

Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:

0)]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2[1

1

0

k

rk

k

k

rk

k xarkrkrkxarkrkrk



Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la segunda sumatoria el término correspondiente a 1k . De

esta manera, la segunda sumatoria partirá de cero, al igual que la primera:

0)]1(3)()1(6[)]11(3)1()11(6[]2)(3)1()(2[0

1

1

11

0

k

rk

k

r

k

rk

k xarkrkrkxarrrxarkrkrk

0)]1(3)()1(6[)](3)1()(6[]2)(3)1()(2[0

1

1

0

0

k

rk

k

r

k

rk


Al agrupar las sumatorias:

0)](3)1()(6[})]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2{[ 1

0

0

1

r

k

rk

k

rk

k xarrrxarkrkrkxarkrkrk

0)](3)1()(6[})]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2{[ 1

0

0

1

r

k

rk

kk xarrrxarkrkrkarkrkrk

Todos los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:

0)]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2[ 1 kk arkrkrkarkrkrk

0)(3)1()(6 rrr

La primera ecuación conducirá a la fórmula de recurrencia, con la cual se podrán obtener todos los coeficientes de los términos

en la suma solución y la segunda conducirá a la determinación de los exponentes de singularidad, los cuales proporcionarán las

dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial.

Fórmula de recurrencia.

Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo subíndice:

kk arkrkrkarkrkrk ]2)(3)1()(2[)]1(3)()1(6[ 1



kk arkrkrk

rkrkrka

)1(3)()1(6

2)(3)1()(21

0k Ecuación de recurrencia.

Raíces de la ecuación indicial:

03)1(6 rrr

0366 2 rrr

096 2 rr

Se resuelve la ecuación se segundo grado anterior:

0)32(3 rr

0)32( rr

0r

23r

0r y 23r son los exponentes de singularidad.

Se ha demostrado que los exponentes de singularidad son distintos, además no difieren en un entero.

Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones linealmente independientes. Cada

exponente de singularidad conducirá a una solución de la ecuación diferencial.

Para 0r , la fórmula de recurrencia se escribe como:

kk akkk

kkka

)1(3)1(6

23)1(21

Al desarrollar la ecuación anterior:



kk akk

kka

336

2522

2

1

La factorización conduce a la siguiente expresión:

kk akk

kka

)()1(6

)()2(2

21

21

1

La cual al ser simplificada da como resultado:

kk ak

ka

)1(3

21

0k

0k

01)10(3

2)0(aa

01

1.3

)2(aa

1k

12)11(3

2)1(aa

12

2.3

)1(aa

02

1.3

)2(

2.3

)1(aa 022

1.2.3

)2()1(aa



2k

23)12(3

2)2(aa

23

3.3

)0(aa 03 a

0ka 3k Término enésimo.

0

1 )(k

rk

k xaxy

0r

0

1 )(k

k

k xaxy

Se desarrollan los tres primeros términos de la sumatoria solución ( 2,1,0k ), pues a partir

del cuarto ( 3k ) el valor del coeficiente es nulo:

3

2

2101 )(k

k

k xaxaxaaxy

Al sustituir las constantes conocidas ( 1a y 2a ) y el término enésimo en la ecuación

anterior:

3

2

091

032

01 )0()()()(k

kxxaxaaxy

)1()( 2

91

32

01 xxaxy

2

91

32

1 1)( xxxy


kk akkk

kkka

)1(3)()1(6

2)(3)1()(2

23

23

23

23

23

23

1

kk akkk

kkka

)(3)()(6

2)(3)()(2

25

23

25

23

21

23

1


kk akk

kka

15216

122

2

1




kk akk

kka

)()1(6

)()1(2

25

21

1


kk ak

ka

)(6

)(2

25

21

1

, la cual puede ser escrita como:

kk ak

ka

)52(3

121

0k

La forma anterior es conveniente porque evita trabajar con números racionales y en su lugar

se trabaja con enteros.

0k

01)]5)0(2[3

1)0(2aa

01

)5(3

)1(aa

01

5.3

)1(aa

1k

12)]5)1(2[3

3)1(2aa

12

)7(3

)1(aa

02

5.3

)1(

)7(3

)1(aa 022

7.5.3

1).1(aa

2k

133)]3)2(2[3

1)2(2

aa 23

)9(3

)3(aa

023

7.5.3

1).1(

)9(3

)3(aa 033

9.7.5.3

3.1).1(aa

3k

144)]5)3(2[3

1)3(2

aa 34

)11(3

)5(aa

034

9.7.5.3

3.1).1(

)11(3

)5(aa

03311.9.7.5.3

5.3.1).1(aa

Para determinar el término enésimo, debe observarse la alternancia en el signo de los

coeficientes. La existencia de la alternancia implica que los términos de la sumatoria deben

estar multiplicados por un factor de la forma k)1( ó 1)1( k .

En el numerador los términos sucesivos comienzan en –1 y se van incrementando de 2 en 2,

por lo cual se tiene una progresión aritmética cuyo primer término es –1 y cuya razón es 2 y



su término enésimo es: 32)2()1(1 kkck , mientras que en el denominador los

términos sucesivos comienzan en 5 y se van incrementando de 2 en 2, por lo cual se tiene

una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y cuya razón es 2 y su término enésimo

es: 32)2()1(5 kkck .

El término enésimo de los coeficientes de la suma es:

0)32.....(11.9.7.5.3

)32.....(5.3.1).1()1( a

k

ka

k

k

k

1k

Para que el producto de factores pueda llegar hasta 32 k , debe pasar por 32 k , por lo

cual se copian los términos precedentes a 32 k :

0)32()12()12()32.....(11.9.7.5.3

)32.....(5.3.1).1()1( a

kkkk

ka

n

k

k

La simplificación de términos conduce a:

0)32()12()12(3

3.1).1()1( a

kkka

k

k

k

0)32()12()12(3

3).1()1( a

kkka

k

k

k

01

1

)32()12()12(3

1)1( a

kkka

k

k

k

1k Término enésimo.

0

2 )(k

rk

k xaxy

23r

0

22

3

)(k

k

k xaxy

La ecuación del término enésimo está definida para 1k , por lo tanto, se desarrolla el

primer término de la sumatoria:

1

022

3

2

3

)(k

k

k xaxaxy

Al sustituir el término enésimo en la sumatoria:



1

01

1

022

3

2

3

)32()12()12(3

1)1()(

k

k

k

k xakkk

xaxy

11

1

002)32()12()12(3

)1()(

2

3

2

3

kk

kk

kkk

xaxaxy

Ahora, se verifica si el término 2

3

0 xa es obtenido a partir de la sumatoria, con el objeto de

insertarlo en la misma. Vemos que efectivamente, cuando 0k , el argumento de la

sumatoria se reduce a 2

3

0 xa . La solución entonces se puede escribir como:

01

1

02)32()12()12(3

)1()(

2

3

kk

kk

kkk

xaxy

01

1

2)32()12()12(3

)1()(

2

3

kk

kk

kkk

xxy

Solución general de la ecuación diferencial:

)()()( 2211 xyCxyCxy

01

1

2

2

91

32

1)32()12()12(3

)1()1()(

2

3

kk

kk

kkk

xCxxCxy

Ejemplo 3.6.

En la ecuación diferencial: 0)13(2)14(2 2 yxyxxyx , demuestre que las

raíces indiciales no difieren en un entero. Use el método de Frobenius para obtener, en

torno al punto singular regular 00 x , dos soluciones en serie linealmente independientes.

Forme la solución general en x0 .

Solución.



02 2 x

02 x

0x



x = 0 es un punto singular.

0)13(2)14(2 2 yxyxxyx

02

)13(2

2

)14(22

yx

xy

x

xxy

013

2

142

yx

xy

x

xy

x

xxP

2

14)(

2

13)(

x

xxQ





0)1( 00 qrprr

00 )(

x

xPxp

0

02

14

xx

xxp

0

02

14

x

xp

21

0 p

0

2

0 )(

x

xQxq

0

2

2

0

13

xx

xxq

00 13

x

xq

10 q

01)1(21 rrr

01212 rrr

01232 rr

2r

21r





0

)(n

rn

n xaxy


0

1)()(n

rn

n xarnxy

0

2)1()()(n

rn

n xarnrnxy




Siendo la ecuación diferencial 0)13(2)14(2 2 yxyxxyx , se tiene que al

sustituir tanto )(xy como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:

0)13(2)()14()1()(200

1

0

22

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxxarnxxxarnrnx

Los coeficientes de cada sumatoria se deben ingresar a las sumas para formar parte de sus

argumentos. En primer lugar se aplica la propiedad distributiva donde aplique:



0)26()()4()1()(200

12

0

22

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxxarnxxxarnrnx

026)()(4)1()(2000

1

0

12

0

22

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxaxxarnxxarnxxarnrnx

026)()(4)1()(200

1

00

1

0

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxaxarnxarnxarnrn


0]6)(4[]2)()1()(2[0

1

0

n

rn

n

n

rn

n xarnxarnrnrn



0]6)1(4[]2)()1()(2[1

1

0

k

rk

k

k

rk

k xarkxarkrkrk


entonces k también lo hará, mientras que para la segunda sumatoria, cuando 0n , el valor que toma k es 1 por ser kn 1 , por

lo tanto esta segunda sumatoria partirá desde 1 en lugar de cero.

Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la primera sumatoria el término correspondiente a 0k . De

esta manera, la primera sumatoria partirá de uno, al igual que la segunda:

0]6)1(4[]2)()1()(2[]2)1(2[1

1

1

0

k

rk

k

k

rk

k

r xarkxarkrkrkxarrr




0}]6)1(4[]2)()1()(2{[]2)1(2[1

10

k

rk

k

rk

k

r xarkxarkrkrkxarrr

0}]6)1(4[]2)()1()(2{[]2)1(2[1

10

k

rk

kk

r xarkarkrkrkxarrr


02)1(2 rrr

0]6)1(4[]2)()1()(2[ 1 kk arkarkrkrk

La primera ecuación conducirá a la determinación de los exponentes de singularidad, los cuales proporcionaran las dos

soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial. y la segunda conducirá a la fórmula de recurrencia, con la cual

se podrán obtener todos los coeficientes de los términos en la suma solución.


02)1(2 rrr 0222 2 rrr

0232 2 rr


0)()2(221 rr

2r

21r


Capítulo 3. Soluciones en serie de potencias.


Se ha demostrado que los exponentes de singularidad son distintos, además no difieren en

un entero.

Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones

linealmente independientes. Cada exponente de singularidad conducirá a una solución de la

ecuación diferencial.


Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo

subíndice:

1]6)1(4[]2)()1()(2[ kk arkarkrkrk

12)()1()(2

6)1(4

kk a

rkrkrk

rka 1k Ecuación de recurrencia.


12)2()12()2(2

6)21(4

kk a

kkk

ka

12)2()1()2(2

6)1(4

kk a

kkk

ka


12 52

104

kk a

kk

ka


1)52(

)52(2

kk a

kk

ka


1

2 kk a

ka 1k Ecuación de recurrencia.

1k

111)1(

2 aa 01

1

2aa

2k



122)2(

2 aa 12

2

2aa

02

1

2

2

2aa 02

1.2

2.2aa 0

2

21.2

2aa

3k

133)3(

2 aa 23

3

2aa

0

2

31.2

2

3

2aa 0

3

31.2.3

2aa




0!

2)1( a

ka

kk

k 1k Término enésimo.

0

1 )(k

rk

k xaxy

2r

0

2

1 )(k

k

k xaxy

Se desarrolla el primer término de la sumatoria solución ( 0k ), pues la fórmula del

término enésimo es válida para 1k .

1

22

01 )(k

k

k xaxaxy

Al sustituir el término enésimo en la sumatoria.

1

2

0

2

01!

2)1()(

k

kk

k xak

xaxy

1

2

0

2

01!

2)1()(

k

kkk

k

xaxaxy








0

2

01!

2)1()(

k

kkk

k

xaxy

0

2

1!

2)1()(

k

kkk

k

xxy


1

21

21

21

21

2)()1()(2

6)1(4

kk a

kkk

ka

1

21

23

21

23

2)()()(2

6)(4

kk a

kkk

ka


12 52

4

kk a

kk

ka


1)52(

4

kk a

kk

ka


152

4

kk a

ka

1

2

52

2

kk a

ka 1k Ecuación de recurrencia.

1k

11

2

15)1(2

2

aa 0

2

152

2aa

0

2

1)3(

2aa

2k

12

2

25)2(2

2

aa 1

2

254

2aa

1

2

2)1(

2aa

0

22

2)3(

2

)1(

2aa

0

4

2)1).(3(

2aa



3k

13

2

35)3(2

2

aa 2

2

356

2aa

2

2

31

2aa

0

42

3)1).(3(

2

1

2aa

0

6

3)1).(1).(3(

2aa




0

21

)52)...(1).(1).(3(

2)1( a

ka

kk

k


0

2 )(k

rk

k xaxy

21r

0

22

1

)(k

k

k xaxy

Se desarrolla el primer término de la sumatoria solución ( 0k ), pues la fórmula del

término enésimo es válida para 1k .

1

022

1

2

1

)(k

k

k xaxaxy

Al sustituir el término enésimo en la sumatoria.

1

0

21

022

1

2

1

)52)...(1).(1).(3(

2)1()(

k

kk

k xak

xaxy

1

21

002)52)...(1).(1).(3(

2)1()(

2

1

2

1

k

kkk

k

xaxaxy

Puesto que existen productos sucesivos en el argumento de la sumatoria [(-3).(-1).(1)…..]

no se debe verificar si el término precedente ( 21

0

xa ) es obtenido a partir de ella, pues no es

viable insertarlo en la misma. La solución entonces se puede escribir como:



1

21

02)52)...(1).(1).(3(

2)1()(

2

1

2

1

k

kkk

k

xxaxy

1

21

2)52)...(1).(1).(3(

2)1()(

2

1

2

1

k

kkk

k

xxxy



1

21

2

0

2

1)52)...(1).(1).(3(

2)1(

!

2)1()(

2

1

2

1

k

kkk

k

kkk

k

xxC

k

xCxy

Ejemplo 3.7.

En la ecuación diferencial: 02)1(3)3(2 yyxyxx , demuestre que las raíces

indiciales no difieren en un entero. Use el método de Frobenius para obtener, en torno al

punto singular regular 00 x , dos soluciones en serie linealmente independientes. Forme

la solución general en x0 .

Solución.



0)3(2 xx

0)3( xx

0x

3x

0x y 3x son puntos singulares.

02)1(3)3(2 yyxyxx

0)3(2

2

)3(2

)1(3

y

xxy

xx

xy

0)3(

1

)3(2

)1(3

y

xxy

xx

xy



)3(2

)1(3)(

xx

xxP

)3(

1)(

xxxQ




Grado de 3x en )(xP : 1

Grado de 3x en )(xQ : 1

x = –3 es un punto singular regular.


0)1( 00 qrprr

00 )(

x

xPxp

0

0)3(2

)1(3

xxx

xxp

0

0)3(2

)1(3

xx

xp

21

0 p

0

2

0 )(

x

xQxq

0

2

0)3(

1

xxx

xq

0

03

xx

xq

00 q

0)1(21 rrr

0212 rrr

0232 rr

0r

23r





0

)(n

rn

n xaxy


Primera derivada:

0

1)()(n

rn

nxarnxy

Segunda derivada:

0

2)1()()(n

rn

nxarnrnxy




Siendo la ecuación diferencial: 02)1(3)3(2 yyxyxx , se tiene que al sustituir

tanto )(xy como )(xy y )(xy en la misma, obtenemos:

02)()1(3)1()()3(200

1

0

2

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxarnxxarnrnxx



Los coeficientes de cada sumatoria se deben ingresar a las sumas para formar parte de sus argumentos. En primer lugar se aplica

la propiedad distributiva donde aplique:

02)()33()1()()62(00

1

0

22

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxarnxxarnrnxx

02)(3)(3)1()(6)1()(200

1

0

1

0

2

0

22

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxarnxarnxxarnrnxxarnrnx

02)(3)(3)1()(6)1()(200

1

00

1

0

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n

n

rn

n xaxarnxarnxarnrnxarnrn


0)](3)1()(6[]2)(3)1()(2[0

1

0

n

rn

n

n

rn

n xarnrnrnxarnrnrn



0)]1(3)11()1(6[]2)(3)1()(2[1

1

0

k

rk

k

k

rk

k xarkrkrkxarkrkrk


entonces k también lo hará, mientras que para la segunda sumatoria, cuando 0n , el valor que toma k es –1 por ser kn 1 ,

por lo tanto esta segunda sumatoria partirá desde –1 en lugar de cero.

Seguidamente se efectúan las simplificaciones a que haya lugar:



0)]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2[1

1

0

k

rk

k

k

rk

k xarkrkrkxarkrkrk

Puesto que las sumatorias deben ser semejantes, se desarrolla en la segunda sumatoria el término correspondiente a 1k . De

esta manera, la segunda sumatoria partirá de cero, al igual que la primera:

0)]1(3)()1(6[)]11(3)1()11(6[]2)(3)1()(2[0

1

1

11

0

k

rk

k

r

k

rk


0)]1(3)()1(6[)](3)1()(6[]2)(3)1()(2[0

1

1

0

0

k

rk

k

r

k

rk



0)](3)1()(6[})]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2{[ 1

0

0

1

r

k

rk

k

rk

k xarrrxarkrkrkxarkrkrk

0)](3)1()(6[})]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2{[ 1

0

0

1

r

k

rk

kk xarrrxarkrkrkarkrkrk


0)]1(3)()1(6[]2)(3)1()(2[ 1 kk arkrkrkarkrkrk

0)(3)1()(6 rrr

La primera ecuación conducirá a la fórmula de recurrencia, con la cual se podrán obtener todos los coeficientes de los términos

en la suma solución y la segunda conducirá a la determinación de los exponentes de singularidad, los cuales proporcionarán las

dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial.




Para obtener la fórmula de recurrencia se despeja el término que contenga el máximo subíndice:

kk arkrkrkarkrkrk ]2)(3)1()(2[)]1(3)()1(6[ 1

kk arkrkrk

rkrkrka

)1(3)()1(6

2)(3)1()(21

0k Ecuación de recurrencia.


03)1(6 rrr

0366 2 rrr

096 2 rr


0)32(3 rr

0)32( rr

0r

23r


Se ha demostrado que los exponentes de singularidad son distintos, además no difieren en un entero.

Por tratarse de una ecuación diferencial de segundo orden, se deben obtener dos soluciones linealmente independientes. Cada

exponente de singularidad conducirá a una solución de la ecuación diferencial.




kk akkk

kkka

)1(3)1(6

23)1(21


kk akk

kka

336

2522

2

1


kk akk

kka

)()1(6

)()2(2

21

21

1


kk ak

ka

)1(3

21

0k

0k

01)10(3

2)0(aa

01

1.3

)2(aa

1k

12)11(3

2)1(aa

12

2.3

)1(aa

02

1.3

)2(

2.3

)1(aa 022

1.2.3

)2()1(aa

Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.

Matemática IV. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 28

2k

23)12(3

2)2(aa

23

3.3

)0(aa 03 a

0ka 3k Término enésimo.

0

1 )(k

rk

k xaxy

0r

0

1 )(k

k

k xaxy

Se desarrollan los tres primeros términos de la sumatoria solución ( 2,1,0k ), pues a partir

del cuarto ( 3k ) el valor del coeficiente es nulo:

3

2

2101 )(k

k

k xaxaxaaxy

Al sustituir las constantes conocidas ( 1a y 2a ) y el término enésimo en la ecuación

anterior:

3

2

091

032

01 )0()()()(k

kxxaxaaxy

)1()( 2

91

32

01 xxaxy

2

91

32

1 1)( xxxy


kk akkk

kkka

)1(3)()1(6

2)(3)1()(2

23

23

23

23

23

23

1

kk akkk

kkka

)(3)()(6

2)(3)()(2

25

23

25

23

21

23

1


kk akk

kka

15216

122

2

1




kk akk

kka

)()1(6

)()1(2

25

21

1


kk ak

ka

)(6

)(2

25

21

1

, la cual puede ser escrita como:

kk ak

ka

)52(3

121

0k

La forma anterior es conveniente porque evita trabajar con números racionales y en su lugar

se trabaja con enteros.

0k

01)]5)0(2[3

1)0(2aa

01

)5(3

)1(aa

01

5.3

)1(aa

1k

12)]5)1(2[3

3)1(2aa

12

)7(3

)1(aa

02

5.3

)1(

)7(3

)1(aa 022

7.5.3

1).1(aa

2k

133)]3)2(2[3

1)2(2

aa 23

)9(3

)3(aa

023

7.5.3

1).1(

)9(3

)3(aa 033

9.7.5.3

3.1).1(aa

3k

144)]5)3(2[3

1)3(2

aa 34

)11(3

)5(aa

034

9.7.5.3

3.1).1(

)11(3

)5(aa

03311.9.7.5.3

5.3.1).1(aa




En el numerador los términos sucesivos comienzan en –1 y se van incrementando de 2 en 2,

por lo cual se tiene una progresión aritmética cuyo primer término es –1 y cuya razón es 2 y



su término enésimo es: 32)2()1(1 kkck , mientras que en el denominador los

términos sucesivos comienzan en 5 y se van incrementando de 2 en 2, por lo cual se tiene

una progresión aritmética cuyo primer término es 5 y cuya razón es 2 y su término enésimo

es: 32)2()1(5 kkck .

El término enésimo de los coeficientes de la suma es:

0)32.....(11.9.7.5.3

)32.....(5.3.1).1()1( a

k

ka

k

k

k

1k

Para que el producto de factores pueda llegar hasta 32 k , debe pasar por 32 k , por lo

cual se copian los términos precedentes a 32 k :

0)32()12()12()32.....(11.9.7.5.3

)32.....(5.3.1).1()1( a

kkkk

ka

n

k

k

La simplificación de términos conduce a:

0)32()12()12(3

3.1).1()1( a

kkka

k

k

k

0)32()12()12(3

3).1()1( a

kkka

k

k

k

01

1

)32()12()12(3

1)1( a

kkka

k

k

k


0

2 )(k

rk

k xaxy

23r

0

22

3

)(k

k

k xaxy

La ecuación del término enésimo está definida para 1k , por lo tanto, se desarrolla el

primer término de la sumatoria:

1

022

3

2

3

)(k

k

k xaxaxy

Al sustituir el término enésimo en la sumatoria:



1

01

1

022

3

2

3

)32()12()12(3

1)1()(

k

k

k

k xakkk

xaxy

11

1

002)32()12()12(3

)1()(

2

3

2

3

kk

kk

kkk

xaxaxy


3




3


01

1

02)32()12()12(3

)1()(

2

3

kk

kk

kkk

xaxy

01

1

2)32()12()12(3

)1()(

2

3

kk

kk

kkk

xxy



01

1

2

2

91

32

1)32()12()12(3

)1()1()(

2

3

kk

kk

kkk

xCxxCxy

Ejercicios propuestos.

En los ejercicios siguientes, demuestre que las raíces indiciales no difieren en un entero.

Use el método de Frobenius para obtener, en torno al punto singular regular 00 x , dos

soluciones en serie linealmente independientes. Forme la solución general en x0 .

1. 02 2 yyxyx 2. 029 2 yyx

3. 0)1(3)1(2 yyxyxx 4*. 02)1(3)3(2 yyxyxx

5*. 04)2()4( yyxyxx 6*. 0)41()3(39 2 yxyxxyx

7*. 0)71()1(2 2 yyxxyxx 8. 04)21(2 yyxyx

9. 02)2(3 yyxyx 10. 02)1(32 2 yyxxyx

11*. 05)21(52 yyxyx 12. 04)21(2 2 yxyxyx



13. 0)1(3 2 yxyxyx 14**. 0)13(2)14(2 2 yxyxxyx

15. 05)21(2 yyxyx 16. 02 yxyyx

ii. Caso II. Raíces que difieren en un entero positivo.

Si Nrr 21 , donde N es un entero positivo, existen dos soluciones linealmente

independientes de la ecuación 0)()()( 012 yxayxayxa de la forma

0

11

n

rn

n xay , 00 a

0

122ln)(

n

rn

n xbxxyCy , 00 b

donde C es una constante que puede ser cero.

En los ejercicios siguientes, demuestre que las raíces indiciales difieren en un entero. Use el

método de Frobenius para obtener, en torno al punto singular regular 00 x (a menos que

se diga otra cosa), dos soluciones en serie linealmente independientes. Forme la solución

general en x0 .

17. 03)51()1( yyxyxx

18. 0)1()1(2 yxyxxyx

19. 02)1(2)2( yyxyxx Alrededor de 2x

iii. Caso III. Raíces indiciales iguales.

Si 21 rr , siempre existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación

0)()()( 012 yxayxayxa , de la forma

0

11

n

rn

n xay , 00 a

1

121ln)(

n

rn

nxbxxyy , 00 b

Nota: Sin pérdida de generalidad, hacer 100 ba .



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

3.6.- SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SINGULARES.

Caso I. Raíces que no difieren en un entero.

1. xy 1 ; 2

1

2

xy 2. 3

2

1 xy ; 3

1

2 xy

3.

12

1

114

)1(1

n

nn

n

xy ; 2

1

2

1

2 xxy

4.

11

1

1)32()12()12(3

)1( 2

3

2

3

nn

nn

nnn

xxy ; 2

9

1

3

22 1 xxy

5.

1

31!23

)52.....(1).1).(3()32( 21

21

nn

n

n

xnnxy ; 2

2

12 21 xxy

6*. 3

4

3

1

51

1 xxy ;

1

2)23()53(!3

)1( 3

1

3

1

nn

nn

nnn

xxy

7.

1

1

151

1 )52()32(n

nxnnxy ;

121

221

21

)2()1(n

nxnnxy

8.

0

1!3

)32()1( 2

1

n

nn

n

xny ;

1

2)12.....(5.3.1

)1(2)1(1

n

nnn

n

xny

9.

1

41

1!3

)43( 31

31

nn

n

n

xnxy ;

1

2)13(...8.5.2

)1(1

n

n

n

xny

10.

1

2

2

1)32.....(9.7.5

)1(3)1(

n

nnn

n

xnxy ;

1

1

2!2

)12(3)1( 2

1

2

1

nn

nnn

n

xnxy

14**.

0

2

1!

2)1()(

n

nnn

n

xxy ;

1

21

2)52)...(1).(1).(3(

2)1()(

21

21

n

nnn

n

xxxy

16. 0)12( rr , 0r , 21r ; 2

]1)(2[)(

1

nn a

rnrna ;

1

2

1)14.....(13.9.5!..2

)1(12

1

nn

nn

nn

xxy ;

1

2

2)14.....(11.7.3!..2

)1(1

nn

nn

nn

xy

Caso II. Raíces que difieren en un entero positivo.

17.

1

21

1 )2()1()1(1n

nn xnny ;

1

21

123

12 )32()1()1(lnn

nn xnyxyy

18. xy 1 ;

1

1

12!

)1(ln

n

nn

nn

xxyy



19. )2(11 xy ;

2

25

12)1(2

)2()1()1()2()2(ln

nn

nn

nn

xnxxyy



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03 solucion en torno a puntos singulares regulares