ГОРБАТОВА Ю.В.ГОРБАТОВ В.В.

Классическая логика предикатов

Содержание

Язык КЛПСинтаксис КЛПСемантика КЛПОсновные законы КЛП

Что такое логика предикатов?

КЛП – это теория, изучающая логическую форму не только сложных, но и простых суждений

В КЛП значение простого суждения есть функция от значений входящих в него имен

Б.Рассел (1872-1970)

I. Язык КЛП

Нелогические символы:a, b, c … – предметные константыx, y, z … – предметные переменныеf, g, h ... – функторы P, Q, R, S ... – (нелогические)

предикаторы

I. Язык КЛП

Логические символы:= – предикатор равенства, – кванторы, &, V, V, , – пропозициональные

связки ( , ) – скобки

Кванторы

Логику предикатов вообще часто называют «теорией квантификации»

Кванторы позволяют формализовать количественную характеристику высказываний

Квантор общности («все», «каждый») Квантор существования («существует», «некоторый»)

A Ell xist

A E

Определение правильно построенного терма

(1) Всякая предметная константа является ппт;

(2) Всякая предметная переменная является ппт;

(3) если t – ппт, а Ф – предметный функтор, то Ф(t) также является ппт;

(4) ничто другое не является ппт.

Определение правильно построенной формулы

(1) Если t – терм, а П – предикатор, то П(t) является ппф;

(2) Если А – ппф, а α – предметная переменная, то αА и αА являются ппф;

(3) Если А и В – ппф, то А, А&В, АVВ, АVВ, АВ и АВ являются ппф;

(4) ничто другое не является ппф.

Какие из этих выражений являются правильно построенными

формулами?

1. P(x f(x))2. x(P(x) & Q(y)) y3. xy(Q(x) & P(y))4. x(Q(x) )5. x(P(x) y Q(x))

Пример формализации

Примем обозначения:a – Ромео b – Джульеттаf( ) – отец (кого-то)P( ) – храбрец (кто-то)R( , ) – любит (кто-то кого-то)

Пример формализации

Запишите на языке КЛП:Ромео храбр и любит Джульетту

P(a) & R(a,b)Отец Джульетты не любит Ромео

R(f(b),a)Не все любят своего отца

xR(x,f(x))

Пример формализации

Некоторые храбрецы любят Джульетту x (P(x) & R(x,b))

Джульетта любит только храбрецовx (R(b,x) P(x))

Ромео не любит всех тех, кого любит Джульетта x (R(b,x) R(a,x))

КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

II.Основные синтаксические понятия

Область

В формулах вида ∀αА и ∃αА формула А называется областью действия квантора (∃или∀) по переменной α.

Переменные

Вхождение предметной переменной в некоторую формулу называется связанным, если оно следует непосредственно за квантором или же находится в области действия квантора по данной переменной. В противном случае вхождение переменной называется свободным.

Предметная переменная называется свободной в некоторой формуле, если существует по крайней мере одно ее свободное вхождение в эту формулу. Переменная называется связанной в формуле, если существует по крайней мере одно ее связанное вхождение в эту формулу.

Термы

Местность терма есть число входящих в него различных предметных переменных.

Терм, не содержащий в своем составе предметных переменных, называется замкнутым.

Формулы

Местность формулы есть число входящих в нее различных свободных предметных переменных.

Формула, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой. Замкнутые формулы есть предложения.

∀x(P(x,y)) yQ(y,z,x)⊃∃

∃x( yQ(y) R(x,y)) ( zQ(z) R(z,x))∀ ⊃ ∨ ∀ ∨

Определите, какие переменные являются свободными и какие

связанными в формуле:

III. Семантика КЛП

Символы Значение

Предм. константы и переменные

Отдельные предметы

Функторы Предметно-предметные функции

Предикаты Предметно-истинностные функции

Связки Истинностно-истинностные функции

«Ромео», «Джульетта» и др.

a b

х

«Отец»

a bcd

Кто отец а? – d Кто отец b? – c

«Храбрец»

a b01

Храбрец ли b? – Нет Храбрец ли a? – Да

«Любит»

1a b

cd

0 b любит c? – Да а любит d? – Нет

III. Основные законы КЛП

Закон подчинения

A AЗакон непротиворечия

(A & A)Закон непустоты предметной

области

A A

III. Основные законы КЛП

Законы отрицания кванторов

A A Если не все вороны черные, то некоторые вороны – не черные

A AЕсли не существует крылатых лошадей, то все лошади являются бескрылыми

III. Основные законы КЛП

Законы перестановки кванторов

A A Если каждый знает всё, то всё известно каждому

A AЕсли кто-то кому-то завидует, то кому-то завидует кто-то

III. Основные законы КЛП

Законы перестановки кванторов A AЕсли кто-то любит всех, то каждого любит кто-то

A A

III. Основные законы КЛП

Законы дистрибутивности кванторов

(A&B) (A & B)(A&B) (A & B)(A B) (AB)(AB) (A B)(AB) (A B)(A B) (AB)