058 determinantes

DETERMINANTES

1 2 0 0

0 3 0 5

0 0 5 7

0 0 0 4

Departamento de Matemáticas

Contenidos

• Concepto de determinante.• Propiedades de los determinantes.• Menor complementario.• Adjunto de un elemento.• Desarrollo de un determinante por los

elementos de una línea.• Rango de una matriz a partir de sus

menores.

Determinante de una matriz cuadrada de dimensión 2 x 2 (orden 2)

Es un número asociado a la matriz, que se obtiene de la forma :

2221

1211

aa

aa21122211 ·· aaaa

74·)3(5·154

31

Ejemplo:


Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 (Regla de Sarrus)

Es un número que se obtiene sumando todos los productos de 3 factores, uno de cada fila y uno de cada columna, obtenidos de la siguiente forma:

Son positivos los productos:

Son negativos los productos:


333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A 312312322311312213322113312312332211 ············ aaaaaaaaaaaaaaaaaa

Determinante de una matriz cuadrada de orden n mayor o igual que 4


Es un número que se obtiene sumando todos los productos de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, afectados de signo + o – siguiendo un criterio relacionado con los subíndices de dichos elementos.

Por tanto, cuantos más ceros haya en la matriz, más fácil (y rápido) será el cálculo de su determinante.

1 2 0 0

0 3 0 5

0 0 5 7

0 0 0 4

Es más fácil de calcular que:

21074

1713119

15831

5431

Pero, en general, calcular un determinante de este tipo utilizando la definición sería complicado. Por tanto, utilizando las propiedades, buscaremos la forma de transformarlo en otro que sea más sencillo de calcular.

Determinante de una matriz cuadrada de orden n mayor o igual que 4


DETERMINANTES: PROPIEDADES


1º: El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta.

2º : Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es 0.

3º : Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo.

4º: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero.

)(det)det( tAA

0021 FF

312321 FFFFFF

0311 FFF


5º: Si en una matriz cuadrada, multiplicamos todos los elementos de una línea por el mismo número, k, su determinante queda multiplicado por ese número.

6º: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es 0.

7º: Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone en suma de otros dos de la forma:

321321 ·· FFFkFFFk

0· 311 FFkF


dc

ba

dc

ba

dc

bbaa ´´´´


8º: Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de otras (u otra) paralelas, su determinante no varía.

9º: Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, entonces su determinante es 0. Y recíprocamente, si un determinante es 0, tiene una fila (y una columna) que es combinación lineal de otras filas (columnas).

10º: El determinante del producto es igual al producto de los determinantes.

det (A · B) = det (A) · det (B)


3213221 · FFFFFFkF

0·· 2121 FFFF

Dada una matriz A = se definen:

44434241

34333231

24132221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Menor complementario de es el determinante de la matriz que queda al suprimir la fila i y la columna j en las que se encuentra dicho elemento.

ija

ijM Adjunto de es el menor complementario de afectado del signo + o -, según que la suma i + j sea par o impar.

ija

ijaijA

Menor complementario y Adjunto de un elemento

223M


0120

4013

2500

1031

A 221 32

23 A


11º: Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea: El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos.


12º: La suma de los productos de los elementos de una línea por los respectivos adjuntos de otra paralela es igual a cero.

44434241

34333231

24132221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

3434333332323131 ···· AaAaAaAa

44434241

34333231

24132221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

1434133312321131 ···· AaAaAaAa

1074

831

431

·17·1

274

031

531

·13·1

2104

081

541

·11·1

2107

083

543

·9·1 43332313

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea


Si utilizamos las propiedad 8ª para “crear ceros”:

41312111 ·0·0·0·1 AAAA

1865

282316

5126

21074

1713119

0831

5431

18650

2823160

51260

5431

4

9

21074

1713119

0831

5431

14

13

12

1

FF

FF

FF

F


CÁLCULO DE DETERMINANTES











Rango de una matriz por menores

La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz A, cuadrada, sea cero es que sus filas (o columnas) sean linealmente dependientes.

0A Las filas (o columnas) de A son l. i.

Es decir: La condición n. y s. para que es que alguna fila pueda ponerse como combinación lineal de las demás.

0A


Rango de una matriz A es el mayor orden de sus menores no nulos.

Rango de una matriz por menores: Ejemplos

b)




a)







cuando

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