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06 – Variables aleatorias conjuntas

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

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Contenido

● FALTA

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Objetivo

● Conocer el concepto de va conjunta y analizar el comportamiento probabilista conjunta e individualmente de las variables a través de su distribución e indentificar relaciones de dependencia entre dichas variables.

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Variables aleatorias conjuntas

Ω = {11,12,13,14,15,16 21,22,23,24,25,26 31,32,33,34,35,36 41,42,43,44,45,46 51,52,53,54,55,56 61,62,63,64,65,66}

Espacio muestral

X1 = Resultado del lanzamiento

X2 = La suma de los resultados del lanzamiento

En muchos casos es necesario estudiar dos o más características de un experimento

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Variables aleatorias conjuntas

X1 = Resultado del lanzamiento

X2 = La suma de los resultados del lanzamiento

Ω = {11,12,13,14,15,16 21,22,23,24,25,26 31,32,33,34,35,36 41,42,43,44,45,46 51,52,53,54,55,56 61,62,63,64,65,66}

Espaciomuestral

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Función de masa de

probabilidad conjunta

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Función de masa de probabilidad conjunta

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Propiedades de la función de masa de probabilidad conjunta

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Función de masa de

probabilidades marginal

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Función de masa de probabilidades marginal

● Definición...● Propiedades...

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Función de probabilidad condicional discreta

● Definición...● Propiedades...

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Función de densidad de probabilidades conjunta

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Propiedades de la FDP conjunta

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Ejemplo FDP conjunta

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Función de densidad de probabilidades marginal

● Definición...● Propiedades...

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Ejemplo: FDP marginal

Suponiendo que la alimentación de los atletas que practican determinado deporte, esta dada por la función

Donde X representa la cantidad de proteínas y Y la cantidad de minerales que debe consumir un atleta. Determinar las funciones marginales de probabilidad

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Función de probabilidad condicional continua

● Definición...● Propiedades...

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Función de distribución acumulada conjunta

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Propiedades de las FDAs conjuntas

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Relación entre las FDAs y FDPs conjuntas

● En el caso continuo, la densidad de probabilidad f

X(x,y) se obtiene derivando la

función de probabilidad con respecto a sus argumentos:

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Independencia de variables aleatorias conjuntas

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x

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Punto central(centerpoint)

La mediana se puede generalizar a datos en dos o más dimensiones. Dado un conjunto de puntos, cualquier hiperplano que contiene el punto central, divide a los puntos en dos partes aproximadamente iguales: la parte más pequeña debe tener a lo más 100/(d+1) por ciento de los puntos. Al igual que la media, el punto central no necesita ser uno de los puntos.

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Centerpoint_(geometry)

Covarianza

La covarianza es una medida de como dos variables aleatorias cambian juntas.

Se cumple que:

Dado un conjunto de números, la covarianza se puede estimar como:

NOTA: en ocasiones se utiliza como denominador . En este caso se suele denominar la cuasi-covarianza.

Otra manera de calcular la covarianza es

El cálculo a través de esta fórmula es mucho más rápido, ya que no se tiene que restar las medias de todos los datos.

EJEMPLO COVARIANZA

● FALTA● PONER MUCHOS DATOS Y HACER

GRAFICO. INTERPRETAR EL SIGNO DE LA COVARIANZA

● Conclusión: La covarianza es positiva si existe una relación (lineal) creciente y negativa si existe una relación decreciente.

EJEMPLO 2 COVARIANZA

Matriz de covarianza

Si los elementos del vector columna

Son variables aleatorias, cada una con varianza finita, entonces, la matriz de covarianza Σ es la matriz cuyo elemento es la covarianza

Donde es el valor esperado de el elemento i del vector X

Matriz de covarianza

Es decir,

En otras palabras,

EJEMPLO MATRIZ DE COVARIANZA

Covarianza en MATLAB

● La matriz de covarianza se calcula con el comando cov

Covarianza en MS EXCEL

En MS EXCEL se calcula con el comando COVAR

● La covarianza es una medida de la asociación lineal entre las variables aleatorias

● Si la relación entre las variables aleatorias no es lineal, la covarianza podría ser no sensible a la relación

● Sus dimensiones son:

dimension de X por dimension de Y

● Si cov(X,Y) > 0 hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y.

● Si cov(X,Y) = 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas; en este caso se dice que las variables son no correlacionadas.

● Si cov(X,Y) < 0 hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores de y.

Covarianza e independencia

Si X y Y son variables aleatorias independientes,

Lo contrario no es en general verdadero.

Propiedades de la covarianza

● Si X, Y, W y V son variables aleatorias reales y a, b, c y d son constantes, entonces

● Para secuencias y de variables aleatorias, se tiene que

● Para una secuencia de variables aleatorias, y constantes se tiene que,

Propiedades de la matriz de covarianza

Coeficiente de correlación

● La correlación indica la fuerza y dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias.

● Esto se debe contrastar con el uso coloquial en el lenguaje, que denota cualquier relación, no necesariamente lineal.

● Existen varios coeficientes que miden el grado de correlación: Pearson, Spearman, Kendall.

● Observe que la correlación refleja la cantidad de ruido y dirección de una relación lineal (arriba), pero no la pendiente (medio) ni tampoco relaciones no lineales (abajo).

● Nota: la figura en el centro tiene una correlación 0 porque var(Y)=0 (Y es constante)

Coeficiente de correlación de Pearson

● Nota: a pesar de su nombre, fue introducida por Francis Galton en 1880

Coeficiente de correlación: motivación

● Si por ejemplo las unidades de la variable X son centimetros y las unidades de la variable Y son gramos, entonces las unidades de la covarianza son cm×g y si cambiamos la escala de las variables, cambia la covarianza. Esto hace que el valor de la covarianza sea difícil de interpretar. Una medida normalizada es la correlación.

Propiedades de la correlación

● Si dos variables aleatorias X y Y son independientes, entonces su correlación es 0. Lo contrario no es simple verdad.

● El coeficiente de correlación es una cantidad adimensional que toma un valor entre -1 y 1.

● Si no existe una relación lineal entre las variables, el coeficiente de correlación es aproximadamente cero.

EJEMPLO COEF CORREL

Correlación en MATLAB

Correlación en MS EXCEL

● PEARSON Devuelve el coeficiente de correlación producto o momento r de Pearson, r, un índice adimensional acotado entre -1,0 y 1,0 que refleja el grado de dependencia lineal entre dos conjuntos de datos.

Correlación en MS EXCEL

● COEFICIENTE.R2 Devuelve el cuadrado del coeficiente de correlación de momento del producto Pearson mediante los puntos de datos de X y Y. El valor R cuadrado puede interpretarse como la proporción de la varianza de Y que puede atribuirse a la varianza de X.

Correlación en MS EXCEL● COEF.DE.CORREL: devuelve el coeficiente de

correlación entre dos rangos de celdas definidos por los argumentos matriz1 y matriz2.

Observe que ambas funciones

retornan los mismosvalores

● Dada la FPD mostrada, calcule la correlación y el coeficiente de variación de las variables aleatorias X y Y:

● El problema será solucionado en MAXIMA

La correlación entre dos variables no implica, por sí misma, ninguna relación de causalidad

Se ha observado que en los últimos 300 años el número de piratas ha decrecido, sin embargo, ha habido un incremente en el calentamiento global. Conclusión (errónea): el calentamiento global es causado por la disminución de piratas.

Cum hoc ergo propter hoc ("juntamente con esto, luego a consecuencia de esto")

● Los niños que duermen con la luz encendida son más propensos a desarrollar miopía en la edad adulta.

● Ésta fue la conclusión de un estudio del centro médico de la Universidad de Pensilvania, publicada el 13 de mayo de 1999 en la revista Nature, y que tuvo gran repercusión en la prensa de la época. Sin embargo, un posterior estudio de la Universidad Estatal de Ohio no encontró ningún enlace entre el hecho de que niños durmiendo con la luz encendida y el desarrollo de miopía, pero sí que encontró una fuerte relación entre la miopía parental y el desarrollo en los niños de este defecto, y también observó que los padres miopes tenían una mayor tendencia a dejar las luces encendidas en las habitaciones de sus hijos

● Una investigación científica concluye que la gente que usa cannabis (A) tiene un mayor riesgo de desarrollar una enfermedad psiquiátrica. (B)

● Esta correlación es a veces empleada para apoyar la teoría de que el uso de cannabis causa una enfermedad psiquiátrica (A es la causa de B). A pesar de que esto podría ser verdad, no podemos automáticamente percibir una relación causa-efecto de un estudio que sólo ha mostrado que aquellos que usan cannabis son más propensos a tener enfermedades psiquiátricas. De este mismo estudio se puede concluir que

– tener una predisposición a una enfermedad psiquiátrica causa el uso de cannabis (B causa A), o

– que un tercer factor (por ejemplo, la pobreza) es la verdadera causa de haber encontrado un gran número de gente (comparado con el público en general) que usa cannabis y sufre un desorden mental.

● Asumir que A causa B es tentador, pero se necesita otra investigación científica que pueda aislar extrañas variables cuando la actual sólo ha determinado una correlación estadística.

FPD normal multivariada

FDP normal bivariada

FDP normal bivariada. Influencia del parámetro ρ

XY

FDA normal bivariada

EJEMPLO FDP NORMAL

● FALTA● USAR MATLAB MVNPDF y MVNCDF

EJEMPLO 2

Una cópula es una FDA multivariada,

Tal que todas sus funciones de distribución marginal son uniformes en el intervalo [0,1].

COPULAS

Teorema de Sklar

● Copulacdf, copulapdf, copularnd, copulastat, copulaparam, copulademo

EJEMPLO

● http://en.wikipedia.org/wiki/Joint_probability_distribution● http://en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution● http://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_distribution●