1

PROGRAMASI LINIER

PENDAHULUAN

Oleh:Muhiddin Sirat

2

I. PENDAHULUAN

Permasalahan dalam dunia usaha dan ekonomi pada dasarnya berkenaan dengan alokasi sumber-sumber yang terbatas (seperti terbatasnya : uang, tenaga, bahan baku, mesin, ruangan, waktu) dalam hubungannya dengan maksimisasi sejumlah hasil atau meminimisasi biaya.

Teknik matematika untuk menentukan alokasi seperti itu disebut Programan Matematika.

3

Lanjutan :

Jika fungsi Tujuan merupakan fungsi linier, dan kendala-kendala ketersediaan sumberdaya yang akan digunakan dalam bentuk ketidaksamaan linier, maka disebut Pemrograman Linier (Programasi Linier).

Sebagai contoh: Perusahaan menghasilkan beberapa produk (dua produk : Q1 dan Q2) dengan tujuan untuk memaksimum laba (P). Kendala yang dihadapi adalah keterbatasan tenaga kerja (b1) dan bahan baku (b2).

4

Lanjutan:

Fungsi Tujuan (Fungsi Obyektif) : P = ∑ Pj.QjP = P1.Q1 + P2.Q2

Kendala Linier pada produksi :a11.Q1 + a12.Q2 ≤ b1 .......Ketidaksamaan (1)a21.Q1 + a22.Q2 ≤ b2 .......Ketidaksamaan (2)

5

Lanjutan:

Keterangan Kendala (1) :b1 : Jumlah waktu yang tersedia (Kuota waktu) untuk menyelesaikan produk Q1 dan Q2.a11 : Waktu yang digunakan untuk menyelesaikan satu unit Q1;a12 : Waktu yang digunakan untuk menyelesaikan satu unit Q2

6

Lanjutan:

Keterangan Kendala (2) :b2 : Jumlah bahan baku yang tersedia (kapasitas bahan baku) untuk menyelesaikan produk Q1 dan Q2.a21 : Jumlah bahan baku yang digunakan untuk menyelesaikan satu unit Q1a22 : Jumlah bahan baku yang digunakan untuk menyelesaikan satu unit Q2.“i” menunjukkan baris dan “j” menunjukkan kolom.

7

Lanjutan:

Sebagai Contoh:Maksimumkan : Z = 45X1 + 55X1

Dengan kendala/batasan : output X1 output X2 Kapasitas

Input 1 : 6X1 + 4X2 ≤ 120 Input 2 : 3X1 + 10X2 ≤ 180 dan X1, X2 ≥ 0.

8

TIGA PERSAYARATAN UNTUK MEMECAHKAN MASALAH LINIER PROGRAMING, YAITU :

Persamaan Tujuan dan Pertidaksamaan kendala berbentuk Linier;

Sisi kanan dari tanda pertidaksamaan kendala tidak boleh adanya negatif.

Semua variabel dibatasi pada nilai non negatif.

9

II. PERBEDAAN PROGRAMSI LINIER (LINEAR PROGRAMING) DENGAN OPTIMISASI FUNGSI BERKENDALA SATU

PERSAMAAN PEMBATAS (FUNGSI LAGRANGE)

Programasi linier dapat mengatasi permasalahan kendala-kendala dalam bentuk pertidaksamaan (≤ atau ≥), sedangkan optimisasi dengan metode pengali lagrange kendalanya berbentuk persamaan ( = );

Programasi linier dapat mengatasi jumlah kendala yang banyak, tetapi dengan metode pengali lagrange lazimnya hanya satu kendala.

10

Lanjutan :

Programasi linier hanya terbatas pada fungsi tujuan dan kendala yang linier, tetapi metode pengali lagrange dapat diterapkan pada fungsi tujuan non linier.

11

III. METODE PENYELESAIAN

Berbagai metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai variabel “Xj” yang akan memaksimum atau meminimum fungsi tujuan :

2. Penyelesaian Geometris (Metode Grafik)3. Metode Simpleks

12

III.1. METODE GEOMETRIS (METODE GRAFIK)

Masalah programasi linier yang mencakup tidak lebih dari dua variabel dapat diselesaikan secara geometris (metode grafik).

Contoh Soal (1):Maksimumkan : Z = 45X1 + 55X1

Dengan kendala/batasan :6X1 + 4X2 ≤ 120 ...........(1)3X1 + 10X2 ≤ 180 ............(2)dan X1, X2 ≥ 0.

13

Lanjutan :

Kendala (1) : 6X1 + 4X2 ≤ 120 Jika X2 = 0 ....X1 =20.....(20,0) .....(A)Jika X1=0.....X2 = 30....(0,30).....(B)

Kendala (2) : 3X1 + 10X2 ≤ 180 Jika X2 = 0 .....X1=60.....(60,0)......(C)Jika X1=0 .......X2=18.....(0,18)......(D)

Catatan:Jika tanda kendala ≤ mengarsir garis kendala

ke bawah; sebaliknya jika tanda kendala ≥ mengarsir garis kendala ke atas.

14

Lanjutan :

(0,30)

(20,0) (60,0)

0,18

X2

X1

Daerah Layak (Feasible Region)

L1

L2

0

E

15

Lanjutan:

Alternatif Koordinat yang memaksimum Fungsi tujuan: D (0,18), A(20,0), dan Titik E (..., ...) ?

Koordinat titik E titik potong L1 dan L2 : 6X1 + 4X2 ≤ 120 ...........(L1) 3X1 + 10X2 ≤ 180 ............(L2) Dengan metode eliminasi......titik E (10,15)

16

Lanjutan :

Zmaks = Z* = 1275X1*=10 dan X2*=15

Z = 45.20 + 55.0 = 900A (20,0)Z = 45.10 + 55.15 =1275E (10,15)Z = 45.0+55.18 = 990D (0,18)Nilai Fungsi TujuanTitik Koordinat

17

Lanjutan:

Contoh Soal (2) :Minimumkan : C = 6X1 + 24X2

Dengan kendala:X1 + 2X2 ≥ 3 ..........(L1)X1 + 4X2 ≥ 4 ..........(L2) Dan X1, X2 ≥ 0Tentukan nilai X1 dan X2 yang meminimum C?

18

Lanjutan :

Kendala (L1) : X1 + 2X2 ≥ 3X2 = 0, X1 =3 .......A(3;0)X1=0, X2 =1,5 ......B(0; 1,5)

Kendala (L2) : X1 + 4X2 ≥ 4X2=0, X1=4.......C(4;0)X1=0, X2=1.......D(0;1)

19

Lanjutan :

Grafik :Daerah Layak (Feasible Region)

L1L2

0 (3,0) (4,0)X1

X2

(0,1)

(0;1,5)

E

20

Lanjutan :

Alternatif Titik Koordinat Minimum:B(0; 1,5) ; C(4,0), dan Titik E (.....,....) ?

Koord.Titik E....Titik Potong antara L1 dan L2:X1 + 2X2 ≥ 3 ..........(L1)X1 + 4X2 ≥ 4 ..........(L2)Dengan metode eliminasi E (X1=2; X2=0,5)

21

Lanjutan:

Nilai C minimum =C*= 24X1*=2X2*=0,5

C = 6.4 + 24.0 = 24C(4,0)

C =6.2 + 24(0,5) = 24E (2; 0,5)

C =6.0 + 24(1,5) = 36 B(0; 1,5

Nilai C MinimumTitik Koord

22

Lanjutan :

Contoh Soal (3) :Meminimum Biaya: C = 2X1 + 10 X2Dengan kendala :

2X1 + X2 ≤ 6 .........(L1)

5X1 + 4X2 ≥ 20 ......(L2)

Dan X1, X2 ≥ 0Tentukan nilai X1 dan X2 yang meminimum C?

23

Lanjutan :

Grafik :

L2

L1Daerah Layak (Feasible Region)

X1

X2

B(0,6)

D(0,5)

E (4/3; 10/3)

0

24

Lanjutan:

C*=2.4/3 + 10.10/3=36(4/3; 10/3)E

C*=2.0+10.5 =50(0,5)D

C* =2.0+10.6=60(0,6)B

Nilai C minimum (C*)KoordinatTitik

25

III.2. CONTOH KENDALA YANG TIDAK MENGHASILKAN PENYELESAIAN YANG LAYAK

Contoh Soal (4) :Fungsi Tujuan: C = c1.X1 + c2.X2

Kendala :2X1 + X2 ≤ 6 ......(L1)5X1 + 4X2 ≥ 40.....(L2)Dan X1, X2 ≥ 0Tentukan nilai X1 dan X2

26

Lanjutan:

Grafik :

L1

L2

X1

X2

(0,10)

(0,6)

(3,0) (8,0)

27

III.3. CONTOH SOAL

Soal (1): Maksimumkan : P = 4X1+3X2Dengan kendala :X1+ X2 ≤ 42X1 + X2 ≤ 6Dan X1,X2 ≥ 0Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum P ?

28

Lanjutan:

Soal (2): Maksimumkan : P = 2X1+5X2Dengan kendala :X1 ≤ 4X2 ≤ 3X1+2X2 ≤ 8Dan X1,X2 ≥ 0Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum

P ?

29

Lanjutan:

Soal (3): Minimumkan : C = 12X1+42X2Dengan kendala :X1+ 2X2 ≥ 3X1 + 4X2 ≥ 43X1 + X2 ≥ 3Dan X1,X2 ≥ 0Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum

P ?

30

Lanjutan:

Soal (4): Minimumkan : C = 6X1+24X2Dengan kendala :X1+ 2X2 ≥ 3X1 + 4X2 ≥ 4Dan X1,X2 ≥ 0Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum

P ?

31

Lanjutan:

Soal (5): Minimumkan : C = 6X1+30X2Dengan kendala :X1+ 2X2 ≥ 3X1 + 4X2 ≥ 4Dan X1,X2 ≥ 0Tentukan Nilai X1 dan X2 yang memaksimum

P ?

32

Lanjutan :

Soal (6): Sebuah Pabrik membuat dua jenis Radio yaitu

model I dan model II. Proses pembuatan model I : memerlukan waktu 2 jam di departemen A; 2 jam di departmen B ; dan 1 jam di departemen C. Untuk Model II : membutuhkan 1,5 jam di departemen A; 0,5 jam di departemen B; dan 2 jam di departemen C. Profit dari setiap unit model I dan model II secara berturut-turut adalah Rp 45.000,- dan Rp 20.000,-. Jika kapasitas waktu yang tersedia: 60 jam di departemen A; 40 jam di departemen B; dan 60 jam di departemen C. Bentuk Fungsi Tujuan dan Pertidaksamaan Kendala dengan menggunakan data di atas

33

TERIMA KASIH