10 de tang hsg quan huyen thay hong tri quang

Đề thi hsg cấp Quận, huyện Facebook thầy Hồng Trí Quang

Khóa học online Luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán 9 1

ĐỀ SỐ 01

Câu 1. Cho biểu thức: 2 2

2 ( 1)( 2 )

x xP

x x x x x x x

a. Rút gọn P .

b. Tính P khi 3 2 2x .

c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

Câu 2. Giải phương trình:

a. 2 10 27 6 4x x x x

b. 2 2 2 4 0x x x x x

Câu 3.

a. Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2 2 3 2 0y xy x

b. Cho 1; 0x y , chứng minh:

3

3 3

1 1 1 3 23

( 1) 1

x x x

x y y x y

c. Tìm số tự nhiên n để: 2012 2002 1A n n là số nguyên tố.

Câu 4.

Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác

C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt

đường thẳng CD tại K.

a. Chứng minh: 2 2

1 1

AE AF không đổi

b. Chứng minh: os sin .cos sin .cosc AKE EKF EFK EFK EKF

c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho

khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.

Câu 5.



Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba

điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng

d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.

ĐỀ SỐ 02

Câu 1 (4 điểm)

1. Rút gọn biểu thức A = 15 6 6 33 12 6 .

2. Cho x = 3 5 7 3 5

2 2

. Tính P(x) = 2 2011( 1)x x .

3. Chứng minh rằng đa thức Q(x) = 2 2010(2010 2009 1)x x chia hết cho đa thức x + 1.

Câu 2 (4 điểm)

1. Giải bất phương trình 2 1

181

x x

x

.

2. Giải hệ phương trình 2 2

1

2

x y xy

x y xy

Câu 3 (4 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4;2), B(–7;0), C(0;–4), D(–6;–3), E(3;–2), F(2;–7).

1. Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng qui.

2. Gọi M là một điểm trên đường thẳng AD và điểm H ( 5; 3 5) . Chứng minh: MH 7.

Câu 4 (4 điểm)

Cho tam giác ABC 0( 90 )B C , Ax là một tia bất kì nằm giữa hai tia AB và AC. Vẽ BD

và CE cùng vuông góc với Ax (D và E cùng nằm trên Ax). Gọi I là giao điểm của Ax và BC.

1. Chứng minh rằng khi Ax là tia phân giác của góc A thì ta có AD ID

AE IE .

2. Xác định vị trí của Ax để BD + CE đạt giá trị lớn nhất.



3. Chứng minh: 2 2

A asin

bc . Từ đó suy ra:

1. .

2 2 2 8

A B Csin sin sin .

Câu 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Đường tròn (O; R)

tiếp xúc với AB ở E, tiếp xúc với AC ở F. Điểm H di chuyển trên cung nhỏ EF (H khác E, F).

Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB, AC lần lượt tại M, N.

1) Gọi p là nửa chu vi tam giác AMN. Chứng minh AE= AF= p.

2) Chứng minh hai tam giác MOB và ONC đồng dạng.

3) Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất.

ĐỀ SỐ 03

Câu 1 (4 điểm).

a) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy , biết rằng hai chữ số đó hơn kém nhau 5 đơn vị và

2 2

xxyy xx yy .

b) Biết a – b = 7. Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1).

Câu 2 (4 điểm).

a) Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 ab+bc+ca+2 2 2( ) ( ) ( )

2 12 2011

a b b c c a .

b) Với x >0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M= 4x2 – 3x +1

4x+ 2011.

Câu 3 (4 điểm).

a) Giải phương trình: 4 1x – 3 2x = 3

5

x .

b) Cho hệ phương trình: 2

3

2

x my m

mx y m

.

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 – 3x + y > 0.



Câu 4 (6 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có cạnh BC cố định còn

điểm A thay đổi trên (O). Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H.

a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H cùng nằm trên một đường tròn.

b) Tia AO kéo dài cắt (O) tại F. Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì đường thẳng HF luôn đi

qua một điểm cố định.

c) Giả sử AB > AC. Chứng minh AB2 + CE2 > AC2 + BD2.

d) Đường phân giác của góc A cắt BC tại K và (O) tại L. Gọi I là giao điểm của đường trung trực

đoạn AK với AO. Chứng minh rằng (I, IA) tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với BC tại K.

Câu 5 (2 điểm). Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một

tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?

ĐỀ SỐ 4

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức: 2 1 1

:21 1 1

x x xP

x x x x x

. Với x > 0, x 1.

a. Rút gọn biểu thức P. b)Tìm x để 2

7P . c) So sánh: P2 và 2P.


a. Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại x = 3 31 23 513 23 513

13 4 4

b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013

và 1 1 1 1

2013a b c thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013.


a. Giải phương trình: 2 7 6 5 30x x x .

b. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



3

2 2 2

( )ab bc ca a b cP

abca b c


Cho tam giác ABC vuông ở A, AH BC, HE AB, HF AC ( H BC,

E AB, F AC).

a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B.

b. Chứng minh rằng: 3

3

AB BE

CFAC .

c. Chứng minh rằng: 33 32 2 2BC CF BE .

d. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.


Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số

nguyên.

ĐỀ SỐ 5

Bài 1 ( 5,5 điểm ):

1) Cho biểu thức:3

4.

1

1

1

2 x

xxx

xP

a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P

2) Giải phương trình: 22 3 5 2 3 12 14x x x x

Bài 2 ( 2,5 điểm ): 1) Chứng minh rằng với Nn thì 12 nn không chia hết cho 9.

2) Cho x, y, z thỏa mãn

02

0342

222

23

yyxx

yyx Tính Q = x2 + y2.

Bài 3 ( 3 điểm ): 1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17



2) Cho a, b, x, y thoả mãn: 122 yx và bab

y

a

x

144

. CMR:

10031003

2006

1003

2006

)(

2

bab

y

a

x

Bài 4 ( 4 điểm ) 1) Cho hệ phương trình

1 2

1 1

x m y

m x y m

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

2

b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x > y.

2) Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 CMR:

2 2 2

1x y z

y z z x x y

Bài 5 ( 5 điểm ): 1) Cho (O, R) và điểm K nằm bên trong đường tròn. Hãy tìm dây cung ngắn

nhất của (O) đi qua K.

2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn( A khác B và

C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa

đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.

a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.

b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và

HC.

c. Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba

điểm I, A, K thẳng hàng.

d. Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh

rằng MC, AH, EF đồng quy.

ĐỀ SỐ 6

Bài 1: (5,0điểm)



Cho biểu thức 1 1 2x x 1 2x x x x

A :1 x1 x x 1 x x

1. Tính giá trị của A khi x 17 12 2 . 2. So sánh A với A .

Bài 2 : ( 4,0 điểm )

1. Giải phương trình: 3 28 1 46 10 5 4 1x x x x x

3 28 1 46 10 5 4 1x x x x x

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 28 23 16 44 16 1180 0x y x y xy

3. Giải hệ phương trình:

3 3 3

2 2 2

x y z 16 2 (1)

x y z 8 (2)

x y z 2 2 (3)

Bài 3 ( 4,0 điểm )

1. T ính tổng S =1 1 1

....2 1 1 2 3 2 2 3 2013 2012 2012 2013

2. Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn 1 1 1

1.x y z Chứng minh rằng:

.x yz y zx z xy xyz x y z

Bài 4 : ( 5,0 điểm )

Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M

là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.

1.Tính 2 2 2 2sin sin sin sinMBA MAB MCD MDC

2.Chứng minh: 2 (2 )OK AH R AH

3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.

Bài 5: ( 2,0 điểm )



Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, góc

ACB bằng α, góc AMB bằng . Chứng minh rằng: sin os 1 sinc

ĐỀ SỐ 7

Bài 1: (6,0 điêm)

Cho biểu thức:

22 3 2 6:

3 5 6 3 2 3

x x x xQ

x x x x x x

1. Tìm x để : 2Q

2. Tìm giá trị của x để: 32 4 . 3 8x P x


1. Tính.

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1

1 2 2 3 2011 2012 2012 2013S

2. Cho các số thực a,b,c và 3a b c . Chứng minh: 4 4 4 3 3 3a b c a b c


1. Giải phương trình sau: xxxx 11313 2

2. Tìm x, y là số nguyên dương thỏa mãn: 1 1 1 1 1 1

10 100x yx y

Bài 4 (5,0 điêm)

Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường

tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt

là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.



2. Gọi α là số đo của góc BFE. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu

thức 6 6sin cosP . Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó.

3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và

3

3

BE CE

BF DF .


Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,….. (Số đứng sau được viết 48

vào giữa số đứng trước). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều là số chính

phương.

ĐỀ SỐ 8

Bài 1: (6 điểm)

Cho biểu thức A =

3

5

5

3

152

25:1

25

5

x

x

x

x

xx

x

x

xx

1 Tìm số nguyên x để A nguyên

2. Với x 0 , x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5

)16( xA

Bài 2: (4 điểm)

1. Tìm số n nguyên dương thoả mãn 6)223()223( nn

2. Cho a, b là các số dương thoả mãn 21 ba Tìm giá trị lớn nhất của A = a

b

b

a

Bài 3: (4 điểm)

1. Giải phương trình

431532373 2222 xxxxxxx

2. Cho 55)5 22 yyxx Tính giá trị biểu thức E = x + y

Bài 4: (5 điểm)



Cho đường tròn (0,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên

đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm)

dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua 1 điểm cố định.

b) Chứng minh H di động trên 1 đường tròn cố định

c) Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ

nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 5: (1 điểm)

Trong các tứ giác lồi có độ dài 3 cạnh bằng nhau và bằng a (a là số dương cho trước).

Hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

ĐỀ SỐ 9

Bài1: (6 điểm).

1. Cho biểu thức: 1 2 1

1 1 1

x x xP

x x x x x

. Tìm giá trị lớn nhất của

2Q x

P

2. Tính giá trị của 2011 2012 20132 3A x x x Với 5 2 5 2

3 2 25 1

x

Bài 2: (4đ)

1. Tìm cặp số ;x y , sao cho y nhỏ nhất và thỏa mãn: 2 25 2 4 3 0x y y xy

2. Cho ; 0x y và thỏa mãn 1x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2

1 24A xy

x y xy

3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x y z và 32 - 3x2 = z2 = 16 - 4y2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức zy + yz + zx

Bài 3: (4đ)

1. Giải phương trình: 2 5 5x x



2. Giải hệ:

2 2 2 2

2 2 2 2

185

65

x xy y x y

x xy y x y

3. Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho 1

22

4

yx

xlà số nguyên dương.

Bài 4.(5đ) Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC.

Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác.

a) Chứng minh rằng OMN HAB . Tìm tỷ số đồng dạng.

b) So sánh độ dài AH và OM.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng HAG OMG .

d) Chứng minh ba điểm H,G,O thẳng hàng và 2GH GO .

Bài 5. (1đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC cố định, ˆACB .Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức 3 4S Sin Cos .

ĐỀ SỐ 10



Câu I. (4,0 điểm): Cho biểu thức P =

x

x

x

x

xx

xx

3

3

1

32

32

3

1. Rút gọn P

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.

Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 2222 11051162 xxxxx

b) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn:

115196

42

22

33

yxyx

yxyx

c) Tìm số tự nhiên n để 120022012 nnA là số nguyên tố.

Câu 3. (3,0 điểm) 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i. abcaccbba và ii. 333333333 cbaaccbba

Chứng minh rằng: 0abc .

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4321 pppp là số hữu tỷ.

Câu 4. (6,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung AB không

chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các

đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường

thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T.

a) Giả sử tam giác ABC cân tại C. Tìm vị trí của P trên cung AB để tổng PA + PB + PC

đạt giá trị lớn nhất.

b) Chứng minh rằng PQ2 = QR.ST.

2. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 108o. Chứng minh AC

BC là số vô tỉ.

Câu 5. (2,0 điểm)

a) Cho ba số dương a, b và c thỏa 1 cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



accbba

cabcabcbaA

222

22214

b) Giả sử 1121 ,.....,, aaa là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, đôi một khác nhau

và thỏa mãn 407...... 1121 aaa . Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các

số dư của các phép chia n cho 22 số 11211121 4,.......,4,4,,.....,, aaaaaa bằng 2012 ?

Education

10 de tang hsg quan huyen thay hong tri quang