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104-1 104 年統測數學（C）
單選題（每題 4分，共 100分）
( ) 1. 已知a、b為實數，若不等式 2x ax b 之解為 5 3x ，則a b
(A) 17 (B) 13 (C)13 (D)17。
( ) 2. 下列方程式所對應的圖形中，何者恆在 x軸的上方？
(A) 25 3 1y x x (B) 23 5 1y x x (C) 2 5 3y x x
(D) 23 5y x x 。
( ) 3. 已知33位遊客在科學教育館參觀，他們的年齡及人數分布如表。若這群遊客
年齡的中位數為32歲，則這群遊客中哪個年齡的人數最多？
(A)8 (B)12 (C)54 (D)60。
年齡（歲） 8 12 32 54 60 62
人數（人） 7 a 1 b 5 1
( ) 4. 若二元一次方程組2 3 4
3 4 5
x y
x y
的解為 x a 、 y b ，則a b
(A)23
17
(B)
21
17
(C)
21
17 (D)
23
17。
( ) 5. 將 4 3 3( 3 2 5)( 2)( 3)x x x x x 乘開化簡後， 3x 項的係數為何？
(A) 5 (B) 3 (C)3 (D)5。
( ) 6. 已知3 1
sin2
，則sin sin
1 cos 1 cos
(A) 2( 3 1) (B) 4( 3 1) (C) 2( 3 1) (D) 4( 3 1) 。
( ) 7. 若1
sin3
，則 2 2cos2
(A)1
3 (B)
2
3 (C)
2
3 (D)
2 2
3。
( ) 8. 已知平面上四點坐標為 (57,23)A 、 (7, 2)B 、 (5,12)C 、 ( , )D x y 。若向量
7 3
4 4AD AB AC ，則 x y
(A) 4 (B) 2 (C) 2 (D) 4。
總 分
104 學年度四技二專統一入學測驗
數學(C)
104-2 104 年統測數學（C）
( ) 9. 已知 1i 且a、b為實數，若 (2 ) 15 5i a bi i ，則a b
(A) 4 (B)6 (C)8 (D)10。
( ) 10. 從1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐7﹐8這八個數字中，任取3個相異數字，若每個
數字被取中的機會均相等，則取出之3個數字中，最大的數字大於6的機率為
何？
(A)5
14 (B)
5
12 (C)
7
12 (D)
9
14。
( ) 11. 若在聯立不等式
2 0
3 7
4 0
x y
x y
x y
的條件下，目標函數 ( , ) 2 3 2f x y x y 的最大值
為M ，最小值為m，則M m
(A) 5 (B) 3 (C)3 (D)5。
( ) 12. 求0
2 2limh
h h
h
(A)1
4 (B)
2
4 (C)
1
2 (D)
2
2。
( ) 13. 求3
3(1 2 )(1 2 )x x dx
(A) 66 (B) 33 (C)33 (D)66。
( ) 14. 已知m、n為整數，若 500 500log 5 log 2 1m n ，則m n
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10。
( ) 15. 今有人欲測一山的高度，當此人在此山的正東方一點
A，測得山頂C的仰角為45，又當他在山的南60西
方向一點B，測得山頂C的仰角為60，如圖所示。若
A、B兩點相距500公尺，則此山高h為多少公尺？
(A)500
33
(B)500
217
(C)500
213
(D)500 3。
( ) 16. 已知 ( ,1)P a 、 ( 1, )Q b 為平面上兩點。若P為直線 :3 4 2L x y 上一點，且
直線PQ與直線L垂直，則a b
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13。
( ) 17. 已知a、b、c、d 為實數，若 3 2 3 22 5 3 ( 1) ( 1) ( 1)x x x a x b x c x d ，
則abcd
(A) 20 (B) 10 (C)10 (D) 20。
104-3 104 年統測數學（C）
( ) 18. 已知四個正數a、b、c、d 為一等比數列，若 20a b ， 65a b c d ，
則a
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8。
( ) 19. 橢圓 2 225 16 100 32 284 0x y x y 之兩焦點在哪兩個象限？
(A)一、二 (B)二、三 (C)三、四 (D)一、四。
( ) 20. 已知a、b為實數，若過函數 2( )f x ax bx 圖形上一點 (1,5)P 的切線斜率為
3，則 (2)f
(A) 3 (B) 1 (C)1 (D)3。
( ) 21. 由2 1
2 2
xy x ， 1y 和 0x 所圍成的區域，
如圖陰影部分，則此區域面積可由下列何式求得？
(A)2
1
0
1( )
2 2
xx dx
(B)2
1
0
1( )
2 2
xx dx
(C)2
1
0
1( )
2 2
xx dx
(D)2
1
0
1( )
2 2
xx dx 。
( ) 22. 若行列式1 1 1
2 2 2
3 3 3
2
a b c
a b c
a b c
，則1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2
2
2
a c a b c
a c a b c
a c a b c
(A) 4 (B) 2 (C) 2 (D) 4。
( ) 23. 已知a、b為實數，且3 5a ，5 9b ，則ab
(A) 15log 45 (B) 3log 5 (C) 2 (D)3。
( ) 24. 已知三角形的三邊長分別為3公分、3公分、4公分，則此三角形之外接圓半
徑為何？
(A)2 5
5 (B)
3 5
5 (C)
7 5
10 (D)
9 5
10。
( ) 25. 將6顆相同紅球分給三個人且全部分完，若每人至少分到一顆紅球，則共有多
少種分法？
(A)6 (B)10 (C) 20 (D) 27。
104-4 104 年統測數學（C）
104 年統一入學測驗 數學(C)
1.
不等式 ( )( ) 0x x 的解為 x ，
其中
5 3x
[ ( 5)]( 3) 0x x
( 5)( 3) 0x x
2 2 15 0x x
2 2 15x x
上式與 2x ax b 作比較，
則 2a ， 15b
故 2 15 17a b
2.
當 0a 時，
2y ax bx c 為開口向上的拋物線，
令 2 4D b ac ，則其圖形
(1) 0D ：與 x軸有2個交點
(2) 0D ：與 x軸有1個交點
(3) 0D ：與 x軸沒有交點
∵ 四個選項的 2x 項係數均為正數
∴ 皆為開口向上的拋物線
(A) 2( 3) 4 5 1 11 0
(B) 25 4 3 ( 1) 37 0
(C) 2( 5) 4 1 3 13 0
(D) 21 4 3 ( 5) 61 0
故選項(A)的圖形恆在 x軸的上方
3.
設n個數： 1 2 3 nx x x x ，
(1) 若n為奇數，
則其中位數 1
2
nMe x
(2) 若n為偶數，
則其中位數1
2 2
1( )
2n nMe x x
有33位遊客且其年齡的中位數為32 歲
∵ 32 歲的遊客只有1位，
而33 1
162
∴ 小（大）於32 歲的遊客均有16位
即7 16a 9a
5 1 16b 10b
故54 歲的人數最多
1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D
11.B 12.D 13.A 14.A 15.B 16.A 17.C 18.D 19.D 20.B
21.D 22.B 23.C 24.D 25.B
104-5 104 年統測數學（C）
4.
利用加減消去法解二元一次方程組
2 3 4
3 4 5
x y
x y
3 ：6 9 12x y
2 ：6 8 10x y
：17 22y 22
17y
22
17y 代回 ：
222 3 ( ) 4
17x
1
17x
則1
17a ，
22
17b ，
故1 22 23
( )17 17 17
a b
5.
多項式的乘法：
運用乘法的分配律展開，其中兩項相乘時，
係數相乘，次數相加
如： n m n max bx abx
4 3 3( 3 2 5)( 2)( 3)x x x x x
3x 項 33 ( 2) 3x 3( 5) 3x
3 3 318 15 3x x x
故 3x 項的係數為3
6.
三角恆等式：
2 2sin cos 1
2 21 cos sin
所求1 1
sin ( )1 cos 1 cos
( 1 c o s ) ( 1 c o s )
s i n( 1 c o s ) ( 1 c o s )
2
2s i n
1 c o s
2
2 2 2s i n
s i ns i n 3 1
2
4 4 ( 3 1 )
3 1 ( 3 1 ) ( 3 1 )
4 ( 3 1 )
2 ( 3 1 )2
7.
餘弦的二倍角公式：
2 2cos2 cos sin
22cos 1
21 2sin
2cos2 1 2sin
21 71 2 ( )
3 9
所求7 4 2
2 29 9 3
104-6 104 年統測數學（C）
8. 〈法一〉
設1 1( , )P x y 、
2 2( , )Q x y ，
則2 1 2 1( , )PQ x x y y
( 57, 23)AD x y
(7 57, 2 23) ( 50, 25)AB
(5 57,12 23) ( 52, 11)AC
7 3
4 4AD AB AC
7 3
( 50, 25) ( 52, 11)4 4
350 175 156 33
( , ) ( , )4 4 4 4
97 71
( , )2 2
由 與 ：
則97
572
x 17
2x
71
232
y 25
2y
故17 25
( ) 42 2
x y
〈法二〉
設 1 1( , )P x y 、 2 2( , )Q x y ，
則 2 1 2 1( , )PQ x x y y ，
即：PQ Q P
7 3
4 4AD AB AC
4 4 7 3AD AB AC
4( ) 7( ) 3( )D A B A C A
4 7 3 7(7, 2) 3(5,12)D B C
(49, 14) (15,36) (34, 50)
4
17 25( , )
2 2D
17
2x ，
25
2y
故17 25
( ) 42 2
x y
9.
(1) 複數的除法：
( )( )
( )( )
a bi a bi c di
c di c di c di
2 2
( ) ( )ac bd bc ad i
c d
其中 2 2 0c d
(2) 複數的相等：
設a、b 、c、d 均為實數，
若a bi c di ，
則a c 且b d
(2 )( ) 15 5i a bi i
15 5 5(3 )
2 2
i ia bi
i i
5(3 )(2 )
(2 )(2 )
i i
i i
2
2 2
5(6 3 2 )
2 1
i i i
5(7 )
75
ii
則 7a ， 1b ，故 7 ( 1) 6a b
10. 〈法一〉
(1) 分類討論
(2) ( )
( )( )
n AP A
n S
設任取3個相異數字的樣本空間為 S
最大數字為7 的事件為 A
最大數字為8的事件為B
則 8
3
8 7 6( ) 56
3!n S C
6
2
6 5( ) 15
2!n A C
7
2
7 6( ) 21
2n B C
所求15 21 9
( ) ( )56 56 14
P A P B
104-7 104 年統測數學（C）
〈法二〉
(1) ( )
( )( )
n AP A
n S
(2) ( ) 1 ( )P A P A
設任取3個相異數字的樣本空間為 S
而3個數字 6 的事件為 A
8
3
8 7 6( ) 56
3!n S C
6
3
6 5 4( ) 20
3!n A C
( ) 20 5( )
( ) 56 14
n AP A
n S
所求 (3 6)P 個數字中，最大的數
1 ( 3 6 )P 個數字中，最大的數
1 ( 3 6 )P 個數字
5 9
1 ( ) 114 14
P A
11.
線性規劃的步驟：
(1) 圖解聯立不等式
(2) 求出可行解區域的頂點
(3) 目標函數的最大（小）值會發生在頂點
聯立不等式的圖解如下：
其頂點為 (0,0)、 (4,1)、 (1,2)，
而 (0,0) 2 0 3 0 2 2f
(4,1) 2 4 3 1 2 3f
(1,2) 2 1 3 2 2 6f
則 ( , )f x y 的最大值 3M ，最小值 6m
故 3 ( 6) 3M m
12.
極限 lim ( )x a
f x
的求法：
若 x a 代入 ( )f x ，出現0
0的情形，則可以用
因式分解、合併或有理化來約掉使分母為0 的
公因式，再以 x a 代入來求極限值
所求0
( 2 2 )( 2 2 )lim
( 2 2 )h
h h h h
h h h
2 2
0
( 2 ) ( 2 )lim
( 2 2 )h
h h
h h h
0
2l i m
( 2 2 )h
h
h h h
0
2 2lim
2 2 2 0 2 0h h h
2 2
22 2
13.
(1) 11
1
n nx dx x cn
，其中 1n
(2) 若 ( ) ( )F x f x ，則
( ) ( ) ( ) ( )b b
aaf x dx F x F b F a
所求3
2 2
3[1 (2 ) ]x dx
3
2
3( 1 4 )x d x
3
2 1
3
1( 4 )
2 1x x
3
3
3
4( )
3x x
3 34 4(3 3 ) [( 3) ( 3) ]
3 3
( 3 3 ) 3 3 6 6
104-8 104 年統測數學（C）
14.
設a、 x、 y 皆大於0 ，且 1a ，則
(1) log log n
a an x x
(2) log log log ( )a a ax y xy
(3) log loga ax y x y
(4) x ya a x y
1
2500 500 500 500log 5 log 2 log 5 log (2 )m nm n
2 2500 500 500log 5 log 2 log (5 2 )
n n
m m
而 3 2
500 5001 log 500 log (5 2 ) ，
則 3 225 2 5 2n
m 3m ， 4n
故 3 4 7m n
15.
餘弦定理：
2 2 2 2 cosc a b ab
設山的底部為O點，山高 3h x （公尺）
在 OAC之中， 3OA x
在 OBC之中，OB x
∵ A點在山的正東方且B 點在山的南60西
∴ 150AOB
在 OAB之中，由餘弦定理可知：
2 2 2500 ( 3 ) 2 3x x x x cos150
2 2 23 2 3x x x 3
( )2
2 2 2 23 3 7x x x x
2
2 500
7x
500 500
777
x
故山高 3h x
500
3 77
500
217
（公尺）
16.
(1) 設1 1( , )P x y 、
2 2( , )Q x y ，
則直線PQ 的斜率 1 2
1 2
PQ
y ym
x x
(2) 直線 0ax by c （ 0b ）的斜率
am
b
(3) 兩直線互相垂直，若斜率皆存在，則其斜
率乘積為 1
∵ ( ,1)P a 為 : 3 4 2L x y 上一點
∴ 3 4 1 2a
2a ，則 (2,1)P
直線PQ 的斜率
1 1
2 ( 1) 3PQ
b bm
直線 L的斜率
3 3
4 4m
∵ PQ L
∴ 1PQm m
1 3
13 4
b
5b
故 2 5 7a b
104-9 104 年統測數學（C）
17.
利用綜合除法
由綜合除法：
2 1 5 3 1
2 1 4
2 1 4 1 d
2 3
2 3 1 c
2
2
a
5
b
故 2 ( 5) ( 1) 1 10abcd
18.
在公比為 r的等比數列 na 之中， 1
1
n
na a r
設等比數列的公比為 r（ 0r ）
則b ar ， 2c ar ， 3d ar
20a b 20a ar
(1 ) 20a r
a b 65c d 20 65c d
45c d
2 3 45ar ar
2 (1 ) 45ar r
：2 (1 ) 45
(1 ) 20
ar r
a r
2 9
4r
3
2r （負不合）
3
2r 代回 ：
3(1 ) 20
2a 8a
19.
(1) 橢圓一般式配方成標準式
(2) 2 2
2 2
( ) ( )1
x h y k
b a
（ 0a b ）
為上下型橢圓，若 2 2 2a b c ，
則焦點為 ( , )h k c
把橢圓方程式配方成標準式：
25 2( 4x x 4 ) 16 2( 2y y 1 )
284 25 4 16 1
2 225( 2) 16( 1) 400x y
400
2 2( 2) ( 1)1
16 25
x y
這是一個上下型的橢圓，其中心為 (2, 1)
2 25a ， 2 16b
而 2 2 2a b c 225 16 c 3c
橢圓的焦點為 (2, 1 3) (2,2) 、 (2, 4)
故其焦點分別在第一、四象限
20.
( )f x 在 x a 的切線斜率為 ( )f a
∵ 點 (1,5)P 在 ( )f x 的圖形上
∴ 2(1) 1 1 5f a b a b
( ) 2f x a x b
∵ ( )f x 的圖形上一點 (1,5)P 的切線斜率為3
∴ (1) 2 1 2 3f a b a b
： 2a
2a 代回 ： 2 5b 7b
則 ( ) 2 ( 2) 7 4 7f x x x
故 (2) 4 2 7 1f
104-10 104 年統測數學（C）
( 1) 2
21. 在區間[ , ]a b 上，若 ( ) ( )f x g x ，
則 A的面積 [ ( ) ( )]b
af x g x dx
2 1
2 2
xy x 與 1y 的交點坐標為 (1,1)
在區間[0,1]上，
所求面積2
1
0
1[1 ( )]
2 2
xx dx
2
1
0
1( )
2 2
xx dx
22. 行列式的性質：
(1) 行列式可以把某一行（列）的 k 倍加到另一
行（列），其值不變
(2) 行列式任兩行（列）可以互換，其值變號
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2
2 2
2 2
a c a b c a c b c
a c a b c a c b c
a c a b c a c b c
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2
a c b a b c
a c b a b c
a c b a b c
23. 對數的定義與運算：
設a、b 、 0c ，且 1a ，則
(1) xa b loga b x
(2) log log loga b ab c c ，其中 1b
由對數的定義：
3 5a 3log 5 a
5 9b 5log 9 b
則3 5 3log 5 log 9 log 9 2ab
24.
(1) ABC的面積 ( )( )( )s s a s b s c ，
其中1
( )2
s a b c
(2) 若 ABC的外接圓半徑為R ，
則 ABC的面積4
abc
R
設外接圓的半徑為R ，
1(3 3 4) 5
2s
ABC的面積 5(5 3)(5 3)(5 4) 2 5
又 ABC的面積3 3 4 9
4R R
則9
2 5R
9 9 5
102 5R
25.
重複組合：
(1) 1n n k
k kH C
(2) n個人去分 k 個相同東西的方法有 n
kH 種
每一個人先給一顆紅球，
再將剩下的三顆紅球任意分給三人，
則方法數為 3 3 3 1 5
3 3 3
5 4 3= =10
3!H C C
種
104-11 104 年統測數學（B）
104年統測數學 C試卷的難易度與 103年相差無幾，預估 104年
的滿分人數可能有機會超越 103年（註：103年有 1050位滿分，這是
歷年來最多人數的紀錄）。對於考生來說，大部分試題的類型應該都有
見過。所以，只要擁有基本的熟悉度，這次數學應該可以很容易地獲取不錯的分數。這
次試題的冊次分布如下：第一、二冊各占 28％，第三冊占 24％，第四冊只占 20％。另
外，二次曲線只占 4％，而且統測已經連續兩年未出現關於圓的試題。
本年度試卷的其他特色如下：
1. 不好算的基本題：第 4、8題都是基本題，但是複雜的數字也在考驗學生的耐心。
2. 很多的考古題：第 1、4、8、11、13、16、17、20、21 題，若與前幾年統測 B、C
卷的題目做對照，會有似曾相識的感覺。
3. 空間三角測量：第 15題通常會讓考生感到棘手，所幸試卷有提供圖形，大部分的考
生有機會找到地面三角形的邊長關係，再用餘弦定理就可以解出來了，此題頗具鑑
別度。
綜合上述，104 年試卷對於全體考生的得分都是有利的，但是中、高程度的考生表
現將不會有很明顯的差別。由於題目連續兩年都是呈現基本、簡單的風格，而且 104年
的考古題特別多，因此考生在考前若有練習歷屆試題，再加上謹慎答題，應該都會有很
好的表現。
單元名稱 題數 單元名稱 題數
直線方程式 2 數列與級數 1
三角函數及其應用 4 指數與對數及其運算 2
向 量 1 排列組合 1
式的運算 2 機率與統計 2
方程式 2 二次曲線 1
複 數 1 微積分及其應用 4
不等式及其應用 2
總 分
104年數學(C)
104-12 104 年統測數學（B）
單選題（每題 4分，共 100分）
( ) 1. 若通過 (1,1)A 和 (3, )B k 兩點的直線其斜率為3，則k
(A)3 (B)5 (C)7 (D)9。
( ) 2. 若 sin45a 、 tan45b 、 sec45c ，則 2 2 2a b c
(A)3 (B)7
2 (C) 4 (D)
9
2。
( ) 3. 已知向量 (1,2)a 與向量 (2,3)b ，若3 2 ( , )a b r s ，則 2s r
(A) 2 (B) 1 (C) 2 (D)3。
( ) 4. 已知k 為實數，若向量 (1, 1)a k 與向量 (2 ,3)b k 的內積為18，則k
(A) 1 (B)1 (C)3 (D)5。
( ) 5. 甲、乙、丙三人至速食店用餐。若該速食店僅提供三種套餐，且甲、乙、丙
每人皆點一套餐，則此三人會有多少種點餐方式？
(A)6 (B)9 (C)18 (D) 27。
( ) 6. 已知一等差數列之第3項為8，第7項為20，則該等差數列之第32項為何？
(A)93 (B)95 (C)96 (D)98。
( ) 7. 已知小華就讀學校之學期成績是以四次段考的分數分別依序乘以 20%、
20%、30%及30%後再加總計算。若小華前三次段考的分數分別依序為60、
54、51，則小華的第四次段考分數至少需幾分才能使他的學期成績達到60分
（含）以上？
(A)69 (B)71 (C)73 (D)75。
( ) 8. 若一組數值為12、17、24、7、10、4、27，則其中位數為何？
(A)12 (B)17 (C) 24 (D) 27。
( ) 9. 下列何者可為不等式 2
2 2log log (4 3)x x 的解？
(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4。
( ) 10. 下列何者與不等式 2 6 16 0x x 有完全相同的解？
(A) ( 2)( 8) 0x x (B) 3 5 3x (C) 2( 3) 25x
(D) 2 6 16 0x x 。
104 學年度四技二專統一入學測驗
數學(B)
104-13 104 年統測數學（B）
( ) 11. 一位遊客在平地上測得某大樓頂端的仰角為30，他朝該大樓的方向直走了d
公尺後，再測一次，得到仰角為45。若該大樓高度為300公尺，則d
(A)300( 3 2) (B)300( 2 1) (C)300 2
2 (D)300( 3 1) 。
( ) 12. 若小蕙穿紅色衣服參加晚會的機率是0.4，小玲穿紅色衣服參加晚會的機率是
0.5，且她們對衣服顏色的選擇互相獨立，則她們兩人同時參加晚會時，兩人
中恰有一人穿紅色衣服的機率為何？
(A)0.4 (B)0.5 (C)0.9 (D)1。
( ) 13. 函數 3 2( ) 2 2 3f x x x 在 1x 之導數為何？
(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4。
( ) 14. 若 ( )f x 為一個二次多項式，且 (0) 2f 、 (2) 0f 、 (3) 4f ，則下列何者
為 ( )f x 的因式？
(A) 1x (B) 2x (C) 3x (D) 4x 。
( ) 15. 若 2 9 0x x k 的兩根為連續的整數，則 2 9 1 0kx x 的兩根和為何？
(A)3
10 (B)
7
20 (C)
2
5 (D)
9
20。
( ) 16. 三階行列式
1 2 3
2 2 3
3 3 4
之值為何？
(A) 2 (B) 1 (C)1 (D) 2。
( ) 17. 若想要利用一條繩子圍出一個面積至少為25平方公尺的矩形花園，則所需要
的繩子總長度至少須為多少公尺？
(A)12 (B)16 (C) 20 (D) 24。
( ) 18. 給定一分式2
2 2
1 6
1 6 9
x x x
x x x
。若已知該分式化成最簡分式為
2
2 2
ax bx c
dx x e
，
其中 3, 1,1x ，則a b c d e
(A) 2 (B)0 (C) 2 (D) 4。
( ) 19. 若 0x 且1
3xx
，則1
xx
(A) 2 (B)3 (C) 4 (D)5。
( ) 20. 若0 90 且1
sin3
，則2sin cos
(A)2
6 (B)
4 2
9 (C)
2
3 (D)
2 2
3。
104-14 104 年統測數學（B）
( ) 21. 若拋物線 22 4 8 0x y y 的頂點為( , )a b ，則 2a b
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11。
( ) 22. 若圓 2 2: 2 2 4C x kx y y 的半徑為 3 ，且圓心 ( , )a b 在第一象限，則
a b
(A)3 (B)5 (C)6 (D)8。
( ) 23. 某大賣場一天共有早班、中班、晚班三個值班時段，而每一值班時段皆需二
人值班。若某天要安排六名員工值班且每人恰值班一次，則共有多少種排班
方式？
(A) 45 (B)60 (C)75 (D)90。
( ) 24. 曲線 2( ) 3 2 1y f x x x 在 1x 、 3x 之間與 x軸所圍成之區域的面積為
何？
(A)12 (B)18 (C) 24 (D)36。
( ) 25. 已知 ,a b 為實數，若2 6 8
2
x y
ax by
與
3 5 4
2 ( ) 6
x y
ax a b y
有相同的解，則
2( )a b
(A)9 (B)16 (C) 25 (D)36。
104-15 104 年統測數學（B）
104 年統一入學測驗 數學(B)
1.
直線上兩點1 1( , )A x y 、
2 2( , )B x y ，則
2 1
2 1
y ym
x x
即為直線斜率
通過 (1,1)A 和 (3, )B k 兩點的直線斜率為
13
3 1
km
1 6k
∴ 7k
2.
(1) 三角函數基本定義：
sina
c
tana
b
secc
b
(2) 45特別角之三邊比例：
1 : 1 : 2
根據三角函數定義知：
1sin 45
2a
tan45 1b
sec45 2c
∴ 2 2 2 1 71 2
2 2a b c
3.
(1) 向量係數積：
( , )a x y ( , )r a rx ry
(2) 向量加減法：
1 1( , )a x y ，2 2( , )b x y
1 2 1 2( , )a b x x y y
(3) 向量相等：
1 1( , )a x y ，2 2( , )b x y ，
若 a b 1 2x x ，
1 2y y
已知 (1,2)a ， (2,3)b
則3 2 3(1,2) 2(2,3)a b
(3,6) (4,6)
( 1,0) ( , )r s
1r ， 0s
∴ 2 0 2 ( 1) 2s r
4.
坐標表示法的向量內積運算：
1 1( , )a x y ， 2 2( , )b x y
1 2 1 2a b x x y y
1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.A 9.B 10.C
11.D 12.B 13.B 14.A 15.D 16.B 17.C 18.C 19.D 20.B
21.A 22.A 23.D 24.D 25.A
104-16 104 年統測數學（B）
已知 (1, 1)a k ， (2 ,3)b k
1 2 ( 1) 3 18a b k k
2 3 3 18k k 5 15k
∴ 3k
5.
重複排列：從m種不同事物中任選n件，可重
複選取之方法數為 nm
甲、乙、丙三人，每人皆有3種套餐可選擇
故方法數為 33 3 3 3 27
6.
等差數列一般項： ( )n ma a n m d
已知3 8a ，
7 20a
7 3 (7 3)a a d
20 8 4d 3d
∴ 32 7 (32 7)a a d
20 25 3 20 75 95
7.
分數加權平均數
( )分數 權數 之所有加總
總權數
=( )分數 所占比例之所有加總
設第四次段考分數為 x分，則
60 20% 54 20% 51 30% 30% 60x
1200 1080 1530 30 6000x
30 2190x
73x
故小華至少需考73分以上
8.
奇數筆資料 1x 、 2x 、…、 nx （ n 為奇數）之
中位數為 1
2
nx
將數值由小到大排成一列，得
1
4
x
、
2
7
x
、
3
10
x
、
4
12
x
、
5
17
x
、
6
24
x
、
7
27
x
共7 筆資料，其中位數為 7 1 4
2
12x x
9.
當 1a 時， log ay x 為遞增函數，
即1 2log loga ax x
1 2x x
已知 2
2 2log log (4 3)x x
真數 0
2 0
4 3 0
x
x
0
3
4
x x
x
，
得3
4x
底數 2 1
遞增函數，去底數大小方向不變
2
2 2log log (4 3)x x
2 4 3x x
2 4 3 0x x
( 1)( 3) 0x x
1 3x
由取交集得1 3x
故選項(B)正確
10.
(1) ( )( ) 0x x 之解為
x
(2) ( )( ) 0x x 之解為
x
(3) ( )( ) 0x x 之解為
x 或 x
(4) ( )( ) 0x x 之解為
x 或 x
104-17 104 年統測數學（B）
2 6 16 0x x
( 8)( 2) 0x x
2 8x
(A) ( 2)( 8) 0x x 8 2x
(B) 3 5 3x 2 8x
(C) 2( 3) 25x
5 3 5x
2 8x
(D) 2 6 16 0x x
2 6 16 0x x
( 8)( 2) 0x x
2x 或 8x
故選項(C)正確
11.
(1) 將中文敘述化成數學圖形（三角測量能力）
(2) 30及45特別角之三邊比例關係：
令遊客在 A點測大樓仰角30
且在B 點測大樓仰角45
依題意繪製圖形如右：
則 : 1 300 : 1BC
300BC
且 : 3 300 : 1AC
300 3AC
∴ 300 3 300d AB AC BC
300( 3 1) （公尺）
12.
A、B 為獨立事件
( ) ( ) ( )P A B P A P B
設小蕙穿紅衣參加晚會機率為 ( )P A
則小蕙不穿紅衣參加晚會機率為 ( )P A
設小玲穿紅衣參加晚會機率為 ( )P B
則小玲不穿紅衣參加晚會機率為 ( )P B
∵ A、B 為獨立事件，則
A、B 及 A、B及 A、B皆互為獨立事件
∴ ( )P 恰一人紅色衣服
( ) ( )P A B P A B
( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B
0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 5
0 . 2 0 . 3 0 . 5
13.
多項式函數的導函數：設實係數多項式函數
1 2
1 2 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a x a
（n為正整數或0 ），則其導函數為
1 2
1 2 1( ) ( 1) 2n n
n nf x na x n a x a x a
3 2( ) 2 2 3f x x x 2( ) 6 4f x x x
∴ ( )f x 在 1x 之導數 (1) 6 4 2f
14.
因式定理：
x a 為多項式 ( )f x 之因式 ( ) 0f a
∵ (2) 0f
∴ 2x 為 ( )f x 之因式
又deg ( ) 2f x
則令 ( ) ( )( 2)f x ax b x
已知 (0) 2f (0 )(0 2) 2b
1b
又 (3) 4f (3 )(3 2) 4a b
(3 1) 1 4a 3 1 4a
3 3a 1a
∴ ( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2)f x x x x x
有 1x 及 2x 兩個一次因式
104-18 104 年統測數學（B）
15.
根與係數的關係：
若 、 為方程式 2 0ax bx c 之兩根，則
b
a ，
c
a
令兩根為a、 1a （ a為整數）
由根與係數的關係知：
( 1) 9
( 1)
a a
a a k
由得2 1 9a 4a
代入得4 5 k 20k
∴ 2 9 1 0kx x 即為 220 9 1 0x x
兩根和為9 9
20 20
16.
三階行列式：
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3a b c a b c a bc a b c a b c a bc
所求 1 ( 2) 4 ( 2) 3 3 3 2 ( 3)
3 ( 2) 3 ( 2) 2 4 1 3 ( 3)
8 1 8 1 8 1 8 1 6 9
1
17.
算幾不等式：
0a ， 0b ，則2
a bab
令矩形花園長 x公尺，寬 y 公尺
（ 0x ， 0y ）
繩子總長矩形周長 2 2x y
面積 25xy
利用算幾不等式
2 2
(2 ) (2 )2
x yx y
4 4 2 5 1 0xy
2 2 2 10 20x y
18.
(1) 熟練一元二次多項式的因式分解
(2) 了解分式的化簡
(3) 分式相等的概念
2
2 2
1 6
1 6 9
x x x
x x x
2
1 ( 3)( 2)
( 1)( 1) ( 3)
x x x
x x x
1 2
1 3
x
x x
2 2
2 2 2
3 3 2 2 5
2 3 2 3 2 3
x x x x x
x x x x x x
2 2
2 2
2 5
2 3 2
x x ax bx c
x x dx x e
∵ 分母的2x相同
則比較係數得
1a ， 2b ， 5c ， 1d ， 3e
∴ 1 ( 2) 5 1 ( 3) 2a b c d e
19.
(1) 乘法公式： 2 2 2( ) 2a b a ab b
(2) a、b 互為倒數 1ab
1
3xx
兩邊平方，得 2 21( ) ( 3)x
x
2 21 1( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3x x
x x
1
2 3xx
1
5xx
104-19 104 年統測數學（B）
20.
已知三角函數任一值，藉由畫圖
求出另外五個三角函數值
sina
c ，cos
b
c
已知0 90 且1
sin3
作圖如右：
得 2 23 1 8 2 2x
2 2
cos3
∴ 1 2 2 4 2
2sin cos 23 3 9
21.
(1) 配方法
(2) 利用配方法將拋物線一般式化為標準式2( ) 4 ( )y k c x h ，進而求頂點 ( , )h k
22 4 8 0x y y 22 4 8y y x
22( 2 ) 8y y x
22( 1) 8 2y x
22( 1) 10y x
22( 1) ( 10)y x
2 1( 1) ( 10)
2y x
故頂點為 (10, 1) ( , )a b
10a ， 1b
∴ 2 10 2 ( 1) 8a b
22.
(1) 圓標準式 2 2 2( ) ( )x a y b r ，其中
( , )a b 為圓心， r為半徑
(2) 利用配方法將圓的一般式整理為標準式
2 22 2 4x kx y y
2 2 2 2( ) ( 1) 4 1x k y k
2 2 2( ) ( 1) 5x k y k （ 2 5 0k ，恆
為圓方程式）
已知 2 2 23 5r k
2 4k 2k
當 2k ，圓心 ( ,1) (2,1)k 在第一象限
當 2k ，圓心 ( ,1) ( 2,1)k 在第二象限
依題意知圓心 (2,1) ( , )a b
2a ， 1b
∴ 3a b
23.
熟練組合 n
mC 的計算規則：
!
! ! ( )!
nn mm
P nC
m m n m
( 1) ( 1)
( 1) 2 1
n n n m
m m
每一時段皆選2人，且此2人不需排列（組合）
∴ 所求 6 4 2
2 2 2
6 5 4 3 2 1
2! 2! 2!C C C
15 6 1 90 （種）
24.
設 ( )f x 為閉區間[ , ]a b 上的連續函數，當函數
( ) 0f x 時， ( )y f x 的圖形及 x軸與 x a 、
x b 所圍成的區域面積為 ( )b
aA f x dx
2 2 2( ) 3 2 1 3( ) 1
3y f x x x x x
2 21 1 1 2
3( ) 1 3( )3 3 3 3
x x
∴ 頂點為1 2
( , )3 3
，且 (0) 1f 及開口向上
104-20 104 年統測數學（B）
示意圖如下：
∴ 所求3
2
1(3 2 1)x x dx
3
3 2
1( )x x x
(27 9 3) (1 1 1)
39 3 36
25.
先解其中兩個已知係數的二元一次聯立方程
組2 6 8
3 5 4
x y
x y
，解出 x、 y 。再將 x、 y 代
入另外兩個有a、b 的方程式解出a、b
若2 6 8
2
x y
ax by
與
3 5 4
2 ( ) 6
x y
ax a b y
有相同解
表示2 6 8
3 5 4
x y
x y
與2
2 ( ) 6
ax by
ax a b y
仍有相同解
由 3 2 得 8 16y 2y
代入得 2x
將 2x ， 2y 代入及
得2 2 2
4 ( ) ( 2) 6
a b
a a b
1
3
a b
a b
2a ， 1b
∴ 2 2( ) (2 1) 9a b
104-21 104 年統測數學（A）
今年考題是歷年來最簡單的一次，大部分題目的觀念及計算皆不困難，對於程度中
等及中等以下的同學非常有利，可以輕易拿到 60分以上，反而程度中上及優等的考生，
必須非常細心，若有任何粗心，則完全喪失在這科的優勢。
此次考試多數只要按照考題敘述計算，即可獲得答案。而所有計算也都偏整數型、
單一答案型，同學算出即可，不需加以判斷答案之可能性。
1. 第 02、11、20題：此三題三角函數考題皆為銳角（非廣義角，無需正負號之判斷），
同學只要知道三角函數定義及特別角三角形的比例關係，皆可以輕易求解。
2. 以下題目皆為依題意套公式題型（只有一個式子），可輕易求解，屬於簡單考題。
第 01題：兩點求斜率，則列式1
33 1
k
。
第 03題：向量加減的坐標表示法，3 2 3(1,2) 2(2,3) ( , )a b r s 。
第 07題：加權平均數60 20% 54 20% 51 30% 30% 60x 。
第 08題：將數字由小到大排列即可求中位數。
第 13題： 1x 代入 2( ) 6 4f x x x 即可。
第 16題：展開即可，不需利用各種行列式運算規則。
3. 以下題目乍看很難，但因為數據簡單或學生憑以往經驗，不需利用數學能力判斷也
會朝這方向解答，因此喪失鑑別度。
第 09題： 2
2 2log log (4 3)x x ，底數大於1，屬於遞增函數，去對數時不需改變大
小方向順序。而解出範圍1 3x 皆滿足對數有意義（真數 0 ），所以能
輕易選出答案為(B)。
第 17題：此題利用算幾不等式求解，但面積為25平方公尺的矩形，因為25易聯想
為 25 ，導致學生易猜測為正方形，邊長為 5，周長即為 20。
第 24題：此題觀念難度為中偏難，不過學生可以根據積分最常見題型猜測答案為3
1( )f x dx ，即可輕易求出正解。
104年數學 B考試的趨勢是在測驗學生數學的基本概念與簡易計算，不著墨於複雜
的考題，因此可提升學生對於數學學習的信心及興趣。
104年數學(B)
104-22 104 年統測數學（A）
單元名稱 題數 單元名稱 題數
直線方程式 1 不等式及其應用 2
三角函數 2 排列組合 2
向量 2 機率 1
指數與對數及其運算 1 統計 2
數列與級數 1 三角函數的應用 1
式的運算 2 二次曲線 2
方程式 4 微積分及其應用 2
104-23 104 年統測數學（A）
單選題（每題 4分，共 100分）
( ) 1. 某高職想要了解全校學生的英文程度，今依各科別人數的比例，於每一科別
中，用簡單隨機抽樣抽出所需之學生，再集合各科別所抽出之學生進行英文
測驗。如上所述，則此校所採用的抽樣方法為下列哪一種？
(A)簡單隨機抽樣 (B)系統抽樣 (C)分層隨機抽樣 (D)部落抽樣。
( ) 2. 若 (3,2)A 、 ( 1,5)B 、 (9, 4)C 為坐標平面上三點，則向量 2 3AB BC CA
(A) ( 2,3) (B) (1, 3) (C) (0,0) (D) (3,2)。
( ) 3. 設袋中有大小相同的乒乓球10個，其中8個白色，2個黃色。今自此袋中任取
一個乒乓球，每個乒乓球被取到的機會均等，若取到白色的乒乓球可得50元，
取到黃色的乒乓球可得100元，則任取一個乒乓球可得金額的期望值為多少
元？
(A)55 (B)60 (C)65 (D)70。
( ) 4. 若多項式 ( )f x 除以 2x 的餘式為 1 ，則 3 2(3 1) ( ) 1x f x x x 除以 2x 的
餘式為何？
(A) 3 (B)3 (C)13 (D) 26。
( ) 5. 設七個實數 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,a a a a a a a成等比數列，公比為 r 。若 1 2 2a a 且
6 7 486a a ，則r
(A)3 (B) 4 (C)6 (D)9。
( ) 6. 設 a、b 、 c均為實數，且直線bx cy a 通過第一、三、四象限，則直線
ax by c 可能為下列哪一個圖形？
(A) (B) (C) (D)
。
( ) 7. 若直線L過點(2,1) 及兩直線2 4x y ， 3 5x y 的交點，則直線L的斜率
為何？
(A) 2 (B)3 (C) 4 (D)5。
總 分
104 學年度四技二專統一入學測驗
數學(A)
104-24 104 年統測數學（A）
( ) 8. 若3
tan4
且sin 0 ，則5sin 10cos
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8。
( ) 9. 若 sin150a ， sec( 420 )b ， cot945c ，則下列何者正確？
(A)a b c (B)a c b (C)b c a (D)c a b 。
( ) 10. 設平面上兩向量 a 與 b 的夾角為，若33
cos65
，且| | 5a ，| | 13b ，
則(4 ) (2 )a b a b
(A) 39 (B)93 (C)97 (D) 435。
( ) 11. 多項式 4 2 3 2(9 5 7 1)(4 2 3 7)x x x x x x 的 5x 項的係數為何？
(A) 20 (B) 2 (C)7 (D)63。
( ) 12. 下列哪一個方程式有正的實數解？
(A) 2 7 9 0x x (B)1
2xx (C) log( 1) 1x (D)sin(3 ) 2x 。
( ) 13. 已知 log2 0.3010 ， log3 0.4771 ，則 log7.2
(A)0.7781 (B)0.8572 (C)1.8572 (D) 2.8572。
( ) 14. 設a、b均為實數，若不等式 2 3 0ax x b 的解為1
52
x ，則3 6a b
(A) 2 (B) 4 (C)6 (D)8。
( ) 15. 在坐標平面上，滿足聯立不等式
9
3 5
0
0
x y
x y
x
y
區域的面積為何？
(A)77
2 (B)
79
2 (C)
81
2 (D)
83
2。
( ) 16. 設a為實數，且直線3 4 1 0x y 與圓 2 2( ) 4x a y 沒有交點，則a可能為
下列哪一個數？
(A) 3 (B) 2 (C)3 (D) 4。
( ) 17. 從7位男生、3位女生中，任選4人到醫院實習。若此4人中至少有1位女生，
則共有多少種選取的方式？
(A)95 (B)135 (C)175 (D) 215。
( ) 18. 某班學生期中考成績的平均分數為42分、標準差為6分。若將每位學生的原
始成績都乘以同一個數a後再加4，使得調整後的平均分數為60分，則調整
後的標準差為幾分？
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12。
104-25 104 年統測數學（A）
( ) 19. 某校對全體新生進行一項邏輯推
理的測驗，其成績呈常態分配，
如圖所示，平均數為62分、標
準差 為8分。若成績低於70分
的學生有672人，則成績介於54
分到78分的學生約有多少人？
(A)600 (B)620 (C)638
(D)652。
( ) 20. 設點O是 ABC△ 的外接圓圓心，且在 ABC△ 的內部，AB的長度為m，AC
的長度為n。若 120AOB ， 150BOC ，則m
n
(A)3
3 (B)
6
3 (C)
3
2 (D)
6
2。
( ) 21. 若一圓與直線 4x 相切於點(4,6)，且與直線 2y 相切於點(8,2)，則此圓的
方程式為何？
(A) 2 2( 8) ( 6) 16x y (B) 2 2( 6) ( 8) 9x y
(C) 2 2( 4) ( 2) 25x y (D) 2 2( 2) ( 4) 36x y 。
( ) 22. 若sin與cos是方程式 23 0x x a 的兩根，則a
(A)4
3 (B)
3
4 (C)
3
4 (D)
4
3。
( ) 23. 已知 ABC△ 中， 120BCA ， 3AC ， 5BC ，且D在 AB上。
若CD AB ，則CD
(A)5 3
14 (B)
15 3
14 (C)
35 3
2 (D)
105 3
2。
( ) 24. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列。若甲、乙、丙三人相鄰，且丙介於
甲、乙之間，則此六人共有多少種排法？
(A) 42 (B) 44 (C) 46 (D) 48。
( ) 25. 從1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數中，任取相異的三個數，若每
個數被取到的機會均等，則此三數的和為奇數的機率為何？
(A)5
42 (B)
5
14 (C)
10
21 (D)
9
14。
104-26 104 年統測數學（A）
104 年統一入學測驗 數學(A)
1.
(1) 利用統計抽樣方法的定義加以判斷
(2) 分層隨機抽樣：母群體分為若干不重疊的
子群體稱為「層」，再依其比例分配樣本
數，從每一層中簡單隨機抽樣
將各科視為各層，以各科比例抽出人數，再進
行測驗，即為分層隨機抽樣
2.
(1) 向量定義 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ，
則2 1 2 1( , )AB x x y y
(2) 向量加減法與係數積的應用
(3,2)A 、 ( 1,5)B 、 (9, 4)C
( 1 3,5 2) ( 4,3)AB
(9 ( 1), 4 5) (10, 9)BC
(3 9,2 ( 4)) ( 6,6)CA
2 3AB BC CA
( 4,3) 2(10, 9) 3( 6,6)
( 4,3) (20, 18) ( 18,18)
( 2,3)
3.
隨機試驗的期望值：
設1 2{ , , , }kA A A 為一隨機試驗樣本空間 S 的
一個分割，且事件iA 發生的機率為
ip
（ 1,2, ,i k ），若事件iA 發生之報酬為
im
（ 1,2, ,i k ），則 1 1 2 2E p m p m
k kp m 稱為此試驗的數學期望值，簡稱為期望
值，其中1 2 1kp p p
8 2
10 10
50 100
p
m
白球 黃球
∴ 1 1 2 2E p m p m
8 2
50 100 6010 10
（元）
4.
利用餘式定理：
若 ( ) ( ) ( ) ( )f x x a q x r x ，
則餘式 ( ) ( )r x f a
( )f x 除以 ( 2)x 的餘式為 1
( 2) 1f
欲求 3 2(3 1) ( ) 1x f x x x 除以 ( 2)x 的餘
式，即將 2x 代回，可得 3 2(3( 2) 1) ( 2) ( 2) ( 2) 1f
( 23)( 1) 4 2 1
26
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.A 7.B 8.A 9.C 10.C
11.C 12.B 13.B 14.D 15.A 16.D 17.C 18.B 19.D 20.D
21.A 22.A 23.B 24.D 25.C
104-27 104 年統測數學（A）
5.
利用等比數列定義：
首項為1a ，公比為 r，第n項 1
1
n
na a r
等比數列1 2 3 6 7, , , , ,a a a a a
可設為1a a ，
2a ar ， 2
3a ar ，…，
5
6a ar ， 6
7a ar
1 2
6 7
2
486
a a
a a
5 6
2
486
a ar
ar ar
5
(1 ) 2
(1 ) 486
a r
ar r
將 得5
1 1
243r
∴ 3r
6.
直線 : 0L ax by c 恆過 ( ,0)c
a 、 (0, )
c
b
兩點
(1) 直線bx cy a 通過第
一、三、四象限，如圖：
令 0y ， 0a
xb
令 0x ， 0a
yc
由 0a a
b c
2
0a
bc 0bc
∴ a、b 同號，a、c異號，b 、c異號
(2) 直線ax by c 恆過 (0, )c
b、 ( ,0)
c
a
∵ b 、c異號 ∴ 0c
b
∵ a、c異號 ∴ 0c
a
故圖形為
7.
利用斜率定義：
1 1( , )A x y 、2 2( , )B x y ，則 2 1
2 1
AB
y ym
x x
解2 4
3 5
x y
x y
可得交點為 (1, 2)
故直線 L通過 (2,1) 與 (1, 2)
∴ 2 1 3
31 2 1
m
8.
任意角的三角函數值：
siny
r ，cos
x
r
由3
tan4
且sin 0 ，
可知 為第四象限角
其3
sin5
y
r ，
4cos
5
x
r
故3 4
5sin 10cos 5 ( ) 10 55 5
104-28 104 年統測數學（A）
9.
(1) sin(180 ) sin
(2) sec( ) sec
(3) cot(180 ) cot
1sin150 sin(180 30 ) sin30
2a
sec( 420 ) sec( 60 ) sec60 2b
cot945 cot 225 cot(180 45 )c
cot 45 1
∴ b c a
10.
由向量內積定義：
(1) | || | cosa b a b
(2) 2| |a a a
| | 5a ， | | 13b ，33
cos65
先求 | || | cosa b a b
33
5 13 3365
則 (4 ) (2 )a b a b
2 28 | | 2 | |a a b b
2 28 5 2 33 13
200 66 169
97
11.
(1) 乘法對加法的分配律：
( )a b c ab ac
(2) 指數律： m n m nx x x
在 4 2 3 2(9 5 7 1)(4 2 3 7)x x x x x x 中
5x 項的係數為9 3 ( 5) 4 7
12.
利用：
(1) 一元二次方程式 2 0ax bx c 的公式解
2 4
2
b b acx
a
(2) 指數圖形1
2xy 的描繪
(3) 對數定義 loga b x xa b
(4) 三角函數的範圍： 1 sin 1x
(A) 2 7 9 0x x 7 13
02
x
(B) 視為求1
2xy 與 y x 的交點
由圖形可知有一正實數解
(C) log( 1) 1x 110 1x
1
110
x 9
010
x
(D) ∵ 1 sin(3 ) 1x
∴ sin(3 ) 2x 無解
故選(B)
13.
利用對數性質：
(1) log log logab a b
(2) log log loga
a bb
72
log7.2 log log72 log1010
3 2log(2 3 ) log10
3log2 2log3 log10
3 0.3010 2 0.4771 1
0.8572
104-29 104 年統測數學（A）
14.
利用一元二次不等式的性質：
( )( ) 0x x 之解為 x ，
其中
由1
52
x
可得不等式1
( )( 5) 02
x x
展開得 2 9 50
2 2x x
將式2
( )3
得 22 53 0
3 3x x
與 2 3 0ax x b 比較係數
得2
3a ，
5
3b
故2 5
3 6 3 ( ) 6 83 3
a b
15.
(1) 求出可行解區域
(2) 任意四邊形1 1( , )A x y 、
2 2( , )B x y 、
3 3( , )C x y 、4 4( , )D x y 之面積
1 2 3 4 1
1 2 3 4 1
1| |
2
x x x x x
y y y y y
1 2 2 3 3 4 4 1 2 1 3 2
1|
2x y x y x y x y x y x y
4 3 1 4|x y x y
0 99
9 0
0 5
3 5 50
3
0
0
xx y
y
x
x yy
x
y
解9
3 5
x y
x y
之交點為 (8,1)
繪圖如下：
四邊形面積0 5 8 0 01
| |0 0 1 9 02
1
(5 72)2
77
2
16.
(1) 利用圓與直線關係的判別：
: 0L ax by c ，
圓 2 2 2: ( ) ( )C x h y k r
則 L與圓不相交，即 ( , )d O L r
2 2
| |ah bk cr
a b
(2) 絕對值不等式的解法：
| |x a x a 或 x a
直線3 4 1 0x y
圓 2 2( ) 4x a y ，其圓心 ( ,0)O a ，半徑 2r
若 L與圓沒有交點
即 ( , )d O L r
2 2
| 3 0 1|2
3 4
a
| 3 1| 10a
3 1 10a 或3 1 10a
3 9a 或3 11a
3a 或11
3a
故a可能為4
104-30 104 年統測數學（A）
17.
組合題型的應用：
( 1) ( ( 至少有 全) 皆無)
至少有1位女生 ( ) ( ) 全 皆無女生
10 7
4 4C C
10 9 8 7 7 6 5 4
4 3 2 1 4 3 2 1
210 35
175 （種）
18.
利用統計量數的線性關係：
已知i iy ax b
則 y ax b （ x 、 y 為平均數）
| |y xS a S （xS 、 yS 為標準差）
原始平均 42x ，標準差 6xS
新的平均為 y ，標準差為 yS
則 4y x a
60 42 4a
4
3a
∴ 4
| | 6 83
y xS S a
19.
利用68 95 99.7 法則：
有68%落在 ( , )x S x S 區間內
95%落在 ( 2 , 2 )x S x S 區間內
99.7%落在 ( 3 , 3 )x S x S 區間內
低於70分的人：50% 34% 84%
54 ～78分的人：34% 47.5% 81.5%
設全體新生共 x人
則0.84 672x 800x 人
故54 ～78分有0.815 800 652 人
20.
(1) 圓心角 2 圓周角
(2) 利用正弦定理：
sin sin sin
a b c
A B C
O為外接圓圓心
若 120AOB ，則 60C
150BOC ，則 75A
則 180 60 75 45B
由正弦定理：
sin sin
m n
C B
sin60 sin 45
m n
3 2
2 2
m n
∴ 3 6
22
m
n
104-31 104 年統測數學（A）
21.
利用圓與直線相切時，圓心至直線距離半徑
由圖可知圓心為 (8,6)，且 4r
∴ 圓方程式為 2 2 2( 8) ( 6) 4x y
即 2 2( 8) ( 6) 16x y
22.
(1) 利用根與係數的關係：
2 0ax bx c 兩根 、 ，
則
b
a
c
a
(2) 利用三角函數平方關係：
2 2sin cos 1
23 0x x a 兩根為sin、cos
利用根與係數關係，得
1sin cos
3
sin cos3
a
將式兩邊平方得
2 2 1sin 2sin cos cos
9
1
1 2sin cos9
（將代入）
1
1 23 9
a
∴ 4
3a
23.
(1) 三角形餘弦定理：
2 2 2 2 cosa b c bc A
(2) 三角形面積公式：
1 1sin
2 2bc A 底 高
(1) 2 2 23 5 2 3 5 cos120AB
1
9 25 2 3 5 ( )2
49
∴ 7AB
(2) ABC△ 面積1
2AB CD
1
sin2
AC BC C
1 1
7 3 5 sin1202 2
CD
3
7 152
CD
∴ 15 3
14CD
24.
排列計算應用：
(1) 相鄰：視為一體
(2) 指定者：排法先確認
甲丙乙先視為一體與丁戊己排法有：4!
又丙介於甲、乙中間，甲乙互換排法有：2!
故由乘法原理得排法總數 4! 2! 48
104-32 104 年統測數學（A）
25.
機率與組合計算應用：
(1) n個不同物，取m個的方法： n
mC
(2) A事件發生的機率( )
( )( )
n AP A
n S
奇數：1,3,5,7,9
偶數：2,4,6,8
( ) ( ) ( )n 三數和為奇數 一奇二偶 三奇
5 4 5
1 2 3C C C
4 3 5 4 3
52 1 3 2 1
30 10
40
9
3
9 8 7( ) 84
3 2 1n C
全
∴ 40 10
( )84 21
P 三數和為奇數
104-33 104 年統測數學（A）
今年度考題難度屬於中等，許多題目觀念靈活在計算上亦要細心，考生需要觀念清
楚、學習紮實方能拿到高分。例如：
(1) 第5題： 等比數列的考題，需要運用因式分解（提出公因式）與解聯立方程式的技
巧，才能解出公比r。
(2) 第6題： 需要充分了解直線的截距求法與正負的判斷，不易解題。
(3) 第12題： 是一個跨章節的考題，包含一元二次公式解、指數圖形、對數定義、三角
函數的範圍，考生在解題時須每個選項都了解，方能得分。
(4) 第19題： 常態分配（68 95 99.7 原則）的考題，但與傳統考題不同，需先利用題
意解出全體新生人數，且細心計算才能進一步答題，在閱讀題目時亦考驗
考生理解力。
(5) 第20題： 此題需要運用圓心角與圓周角的關係，將圓的性質結合三角函數正弦定
理，考驗學生的臨場表現與對數學課程的橫向連結，為本卷的難題之一。
(6) 第21題：本題乍看之下很複雜，但學生若能一步一步跟著題目描出坐標、切線，便
能推論所求的圓心、半徑，解出圓方程式。
(7) 第25題： 機率與組合考題的整合，除了機率定義亦重視排列組合中「討論、列舉」，
學生只要能逐一討論，三數和為奇數的所有情況，便能解出。
整體來說，本份試卷章節分配尚稱平均，除了數列與級數僅出現1題，與三角函數
出現5題，其餘大約都有2～3題，難易分配得當，極具鑑別度，是一份理解與計算並重、
幾何與代數兼顧的考題。
單元名稱 題數 單元名稱 題數
直線方程式 2 圓與直線 2
三角函數及其應用 5 數列與級數 1
向量 2 排列組合 2
式的運算 2 機率 2
指數與對數及其運算 2 統計 3
不等式及其應用 2
104年數學(A)
