10. Fluidoak

1.Hitzaurrea: Fluido idealak Fluido bati indar bat aplikatzen diogunean:

Ah

x

Solidoa ez bezala, deformatzen da.

tF

Horrelako esfortzuei ebaketa-esfortzu edo zizailadura-esfortzu deritze

Zurruntasun-modulu edo zizaila-modulu: Ebaketa-esfortzu unitarioaEbaketa-deformazio unitarioa

tFAx

h

tF hA x

C = =

=

C → ∞ Solido ideala: Indar oso handia egin arren ez da deformatzen x → 0C → 0 Fluido ideala: Fluidoaren geruzek irrist egiten dute erresistentziarik egin

gabe: Ft = finitua eta x → ∞ Edo inolako indarrik gabe irrist egiten dute: Ft = finitua eta

x → ∞

Azkenengo honi jariotzea deritzo.C << 0 Fluido erreala: Biskositatea (Likatasuna definitu).

Biskositate koefizientea

3. Hitzaurrea: Fluido idealak

Fluido motakLikidoak konprimaezinak (V = kte).

Gasak konprimagarriak (V kte).

Beraz, Fluido ideala: konprimaezina + biskositate nulua

dentsitate ktea

Dentsitatea:

Uraren dentsitatea: H2O = 1 g/cm3 = 103 kg/m3

gramoa: 1 cm3 ur daukan masa kantitatea

Fluido baten dentsitatea T eta P-rekin alda daiteke beraz, komenigarria da informazio hori ezagutzea.

Baldintza normalak: T = 25ºC eta P = 1 atm

2. PresioaOrekan dagoen fluido bat edozein gainazal bat ukitzean, bere gainean indar bat eragiten du (perpendikularra: Indarra gainazala).

P

PP

P Presioa (P): fluidoak azalera unitateko eragiten duen indarra:

magnitude eskalarra

Unitateak:Pa = N/m2 (SI)1bar = 105 Pa1 atm = 1.013 bar =1.013·105 PaPresio manometrikoa: Pmanom = P – Patmosferikoa presio

atmosferikoarekiko presioa da.

Adibidea: 1200kg-ko kotxea. Gurpilen presio manometrikoa 2.105Pa da. Gurpil bakoitzaren kontaktu azalera?

3. Fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioaKontsidera dezagun dV bolumen infinitesimal bat.

Adz

Fz = P·A

Fz+dFz = (P+dP)·A

z

Fluidoa orekan badago, bere gainean eragiten duten indar guztien erresultantea nulua izan behar du.

Eragiten duten indarrak:

1. PisuaElementuaren masa: dm = dV non dV = Adz dm = AdzBeraz, PISUA: dmg = Agdz

2. Presio indarrak Horizontalean elkarrekin konpentsatzen dira Bertikalean:

Goiko aurpegian: Fz = P·ABeheko aurpegian: Fz+dFz=(P+dP)·A

Agdz

Presio-indar netoa: Fz – (Fz+dFz) = PA-(P+dP)·A dFz= dP A

F = ma = 0 aplikatuz: dmg – dFz = 0

Agdz = dPA dP = gdz

z ardatza beherantz definitu dugu sakonera adierazi:dz (sakonera handitu) dP Presioa sakonerarekin handitzen da.

3. Fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioa

z0 eta z artean integratuz …

o

P

P

dP o

z

z

g dz = non P0 = P(z0) eta P = P(z)

Fluido konprimagarri batean: = (P) → = (z) (integrala ebazteko bere forma ezagutu behar dugu).

Fluido konprimaezin batean: = ktea:

P−P0 = g (z−z0)Fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioa

Derrigorrezkoa da puntu baten presioa ezagutzea beste batena kalkulatzeko, adibidez: Fluido baten gainazalean: z0 = 0 P0 = Patm = 1atm = 1,013.105 Pa

Adibidea: Zein da presioa ur azpian 10m-ko sakoneran?

P−P0 = g (z−z0) P−Patm = g (z−0)

P – 1,013.105Pa = 1000 kg/m3 . 10 m/s2 . 10m

P = 2.105Pa

Beraz, fluido bat orekan badago presio berdina maila bakoitzean.

4. Aplikazioak4.1. Merkuriozko barometroa

1643. urtean E. Torricellik presio atmosferikoa existitzen zela frogatu zuen.

Barometroa: presioa neurtzen duen aparatua.

hutsa (P=0)

1

h

2

mercurioa Hg

P1 = P2 (altuera berdinean dauden bi puntuen presioa berdina da)

Beraz, P1 = gh = P2 = Patm

Patm = gh

4. Aplikazioak

Fluido bakarraGoiko aldetik irekia

Presio berdina

guztietan altuera berdina baitute

4.2. Ontzi komunikatuak

h

A B C D E

PA = PB = PC = PD = P E = Patm+ g h hA = hB = hC = hD = h E= h

Paradoxa-hidrostatikoa: itxura eman dezake C ontziaren hondoan presioa handiagoa izan beharko litzatekeela B-n baino.

Adibidea: Bi fluido nahastezinak eta dentsitate ezberdinekoak.

A BhA

hB

ura

olioa

1. ARIKETA

PA = PB

Patm + ρ g hA = Patm + ρ' g hB

ρ hA = ρ ' hB

ρ ' = ρ hA / hB

Fluido baten dentsitatea ezagutuz bestearena

kalkula daiteke hA eta hB neurtuz

https://www.youtube.com/watch?v=ZDTyfitx4A4

4. Aplikazioak

4.3. Arquimedes-en printzipioa

“Fluido batean murgildutako edozein gorputzek deslekuratu duen fluidoaren pisuaren berdina den bultzada bat jasaten du.”

Fluido bat orekan F = 0

BBBB

ordezkatuzV, S V, Sρ ρ’

F = 0 B - P = 0 B = P

Beraz, gorputzaren pisuaren (P’) arabera:

V berdineko gorputz bat da

Fluidoaren elementu bat

1) P’ > B → hondoratzen da. P’ = ρ’Vg > B = P = ρVg ρ’Vg > ρVg → ρ’ > ρ

2) P’ = B → murgilduta flotatzen du. P’ = ρ’Vg = B = P = ρVg ρ’Vg = ρVg → ρ’ = ρ

3) P’ < B → gainazalera igotzen da. P’ = ρ’Vg < B = P = ρVg ρ’Vg < ρVg → ρ’ < ρ

Adibidea: Sirakusako Hieron Erregeak urre hutsezko koroa bat fabrika ziezaiotela agindu zuen. Koroa egin ziotenean, benetan purua ote zen asmatzeko, Arkimedesi deitu zion.

4. Aplikazioak

Flotazioa

V’

V'

B’

P

B

B

B

B

P = B’ → gorputzaren pisua murgildutako partearen bultzadaren berdina da.

P =’Vg = B’ = V’g

G: gorputzaren grabitate zentroa.O: deslekuratutako fluidoaren grabitate zentroa

4. Aplikazioak

4.4. Pascal-en printzipioa

“Fluido konprimaezin bateko puntu ezberdinen arteko presio-diferentzia konstante mantentzen da.”

P1 − P2= g (z1−z2)Presioen diferentzia posizioen araberakoa baino ez da.

Puntu baten presioa handitzen bada besteetan ere: P1 = P2

Prentsa hidraulikoa, katu hidraulikoa, mailu pneumatikoa, … honetan oinarritzen dira.

2A

1A1F

1

212

1

121222 A

AFA

A

FAΔPAΔPF

Baldin, A2 >>> A1 F2 >>> F1 indar txikiagoa egin beharko dugu A2 altxatzeko.

5. Fluidoen dinamikaMekanikaren gairik konplikatuenetako bat da: Ibai zurrunbilotsuak, kea, tornadoak, …

(Fluidoaren elementu bat hartu eta Newton-en legeak aplikatuz, azelerazio, abiadura eta posizioa kalkulatu ahalko genituzke, baina askatasun graduen kopurua hain handia izango litzateke ezen ezinezkoa suertatuko litzatekela.)

Baldintza berezi batzuetan bai aztertu daitekeela: HIGIDURA LAMINARRA

korronte-lerroak ez dira gurutzatzen: paraleloak

vcva

vb

bac

“a”-tik pasatzen den partikula bakoitzak ibilbide berdina jarraituko du.

korronte-lerro edo fluxu-lerro abiaduraren eremu lerroak dira

Abiadura ibilbidean zehar alda daiteke (hau da va vb vc) baina beti izango da berdina puntu bakoitzean (va= kte, vb = kte, vc = kte).Korronte-hodi: korronte-lerroen

multzoa

HIGIDURA TURBULENTOA edo zurrunbilotsua: korronte lerroak itxi edo gurutzatzen direnean.

5. Fluidoen dinamika

5.1. Fluxua edo emaria

Fluxua: Sekzio jakin batetik pasatzen den fluido baten bolumena denbora unitateko:

m3/s

Suposa dezagun hodi zilindriko bat S sekziokoavdt

SPuntu oro v berdina

Beraz, dV = S·vdt baldin orduan

Fluxua: fluidoaren abiadura sekzioko.

S1

2

1

S2

v1dt

v2 dt

5. Fluidoen dinamika

5.2. Jarraitutasun ekuazioa

Izan bedi sekzio aldakorreko hodi bat:

Ihesik ez badago eta fluidoaren ktea bada; sartzen den masa irten beharko da:

Zenbat sartu?dV1 = S1v1dt

Zenbat atera?dV2 = S2v2dt

dm1 = dm2

dm1 = 1dV1 = 1S1v1dt

dm2 = 2dV2 = 2S2v2dtberdinduz…

1S1v1dt = 2S2v2dt

S1v1 = S2v2 =ktea Jarraitutasun-ekuazioa (Fluxu edo emaria ktea)

S v

5. Fluidoen dinamika

5.3. Bernouilli-ren teorema

Izan bedi fluido ideal ( =kte) bat egoera geldikorrean bakarrik grabitatearen eraginpean.

dl1= v1 dt

dl2= v2 dt

F1= P1 S1

S2

F2= P2 S2

S1

h1

h2

• Presio indarrek egindako lana:

dW1=F1·dl1 = S1P1dl1

dW2=F2·dl2 = S2P2dl2

dWp= S1P1dl1+S2P2dl2 =P1dV1 + P2dV2 = (P1+P2)dV

• Interakzio grabitatorioak egindako lana:

dWG = −dEp = −dm g h2 +dm g h1= −dm g (h2−h1) = dV g(h1−h2)

dm = dV

dV1 = dV2

• Energia zinetikoa:

Energia-ren teorematik: dEz = dW = dWG + dWp

5. Fluidoen dinamika

5.3. Bernouilli-ren teorema

Izan bedi fluido ideal ( =kte) bat egoera geldikorrean bakarrik grabitatearen eraginpean.

dl1= v1 dt

dl2= v2 dt

F1= P1 S1

S2

F2= P2 S2

S1

h1

h2

Energia-ren teorematik: dEz = dW = dWG + dWp

ordenatuz …

Hau da; Bernouilli-ren teorema

(Estatikaren oinarrizko ekuazioa, honen kasu berezi bat da)

6. Aplikazioak6.1. Torricelli-ren formula

Izan bedi depositu ireki bat urez betea:

Zein abiaduraz irteten da likidoa B-tik?

Bernouilli-ren teorema aplikatuz…

Nola vA << vB Torricelli-ren formula

Erortzen de gorputz aske baten abiaduraren berdina

B

A

6. Aplikazioak6.2. Venturi efektua

h

A Bv

A eta B altuera berdinean dauden bi puntu

Bernouilli-ren teorema aplikatuz:

v P

Bestalde, PA PB denez hodietan daukagun altuera ezberdina da:

(2)

(1)

(1) eta (2) ekuazioak eta jarraitutasunaren ekuazioa (SAvA = SBvB) kontsideratuz:

Venturi efektua

https://www.youtube.com/watch?v=GKVO1cDWGco

Spray: https://www.youtube.com/watch?v=lKi-KC3LD20