Infiltrazione e produzione del deflusso a scala di versante Modelli semplificati per usi diversi

Riccardo Rigon

D. H

ock

ney

2

Green-Ampt

Il metodo di Green-Ampt (1911), che precede la formulazione delle equazioni di

Richards, semplifica il processo di infiltrazione, osservando che, in molti casi, la

presenza di un fronte di bagnatura ben definito che, anche visualmente, da

l’impressione di una discontinuità tra zona umida e zona asciutta.

Infiltrazione metodi semplificati

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Green-Ampt (1911)

Il metodo di Green-Ampt assume dunque che il fronte di bagnatura sia “a

scalino” e il movimento dell’acqua “a pistone”.

Si assume inoltre che:

•il suolo sia omogeneo

•e nel suolo via sia un profilo di umidità costante con la profondità

•che la capacità di infiltrazione nel suolo sia inferiore dell’intensità di

precipitazione

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Green-Ampt (1911)

•Continuamente rifornito dalla presenza in superficie di una sottile lama

d’acqua, di spessore h0, il fronte di bagnatura si muove verso il basso in

dipendenza della differenza di potenziale di suzione. Se la porosità del

suolo è , dato un certo contenuto idrico iniziale , il processo di

bagnatura rifornisce istantaneamente il suolo di un volume (frazione di

volume, in verità)

�s �w i

��w = ⇥s � �w i

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Green-Ampt (1911)

Osservando il fenomeno al tempo t, quando il fronte di bagnatura ha raggiunto la profondità L, l'infiltrazione cumulata sarà:

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Green-Ampt (1911)

Il fatto che il moto avvenga con completa saturazione della colonna

permette di usare l'equazione di Darcy:

Jv := �Ks�h

�znella sua forma discretizzata, alle differenze finite:

Jw ⇥ Ksh2 � h1

z2 � z1

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Green-Ampt (1911)

Il carico idraulico h1 è dato dal carico idrostatico della lama d'acqua h0; il

carico nel suolo asciutto appena sotto il fronte di bagnatura è:

h2 = �� � L

dal potenziale di matrice più il potenziale gravitazionale. Trascurando h0,

molto più piccolo di h2 si ha:

Jv = Ks� + L

Ldove ad L si può sostituire la sua espressione derivante dal bilancio di massa.

L =F (t)� �w

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Green-Ampt (1911)

Dalle precedenti equazioni di ottiene dunque:

Jv = Ks⇥��w + F (t)

F (t)

Dove, per definizione, è anche:

F (t) =� t

0Jv(t)dt o Jv(t) =

dF (t)dt

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Green-Ampt (1911)

L'integrazione dell'equazione porta a:

che assegna in forma implicita l'infiltrazione cumulata.

F (t) = Ks t + �✓w log

✓1 +

F (t)

�✓w

◆

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Green-Ampt (1911)

Per t -> e dunque:

Per t -> 0, sviluppando il termine logaritmico al secondo membro in serie di Taylor si ottiene:

� = 0

F (t�⇥) = Ks t

��wKs

⇥t =

12F 2(t) F (t) =

�2��wKs

⇥to

�

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Green-Ampt (1911)

Time t

F(t)

�⇥

t

Ks t

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Green-Ampt (1911)

time t

f(t)

/ 1pt

Ks

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Nel caso generale di tempi non asintotici, l’equazione:

Green-Ampt (1911)

F (t) = Ks t + ⇥��w log�

1 +F (t)⇥��

⇥

Va risolta con metodi iterativi. Per esempio al passo primo si pone

F ;1(t) = Ks t + �✓w log

✓1 +

Kst

�✓w

◆

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Green-Ampt (1911)

e, in seguito

fermandosi quando la differenza di infiltrazione cumulata è sufficentemente trascurabile, ovvero :

F ;n(t) = Ks t + �✓w log

✓1 +

F ;n�1(t)

�✓w

◆

|F ;n(t)� F ;n�1(t)| < ✏

Infiltrazione metodi semplificati

Riccardo Rigon

ValoriValori deidei parametriparametri per per diversidiversi tipi tipi didi suolosuolo

Si noti la grande variabilità del potenziale di suzione. I valori in tabella sono da

considerarsi solamente come valori di riferimento.

Aft

er B

org

a, 2

00

3

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I parametri del modello di Green-Ampt si trovano variamente tabulati

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Green-Ampt (1911)

E’ chiaro che il modello di Green-Ampt soffre di varie limitazioni, sia dovute alle

ipotesi di base, che alle condizioni inziale, che allo schema “a pistone” del moto, e

la soluzione, diretta, numerica delle equazioni di Richards è senz’altro da

preferirisi. Cio nonostante, la trattazione appena fatta consente di mettere in

rilievo alcuni elementi importanti:

- negli istanti iniziali sono i processi diffusivi a dominare il processo di

infiltrazione e l’avanzamento del fronte cresce proporzionalmente alla radice del

tempo.

- per tempi lunghi, il processo di infiltrazione è dominato dalla gravità e il fronte

procede con velocita’ pari alla conducibilità idraulica a saturazione.

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