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Incontro laboratoriale 6 Verso la generalizzazione Attività con la Matematòca e la bilancia Giancarlo Navarra GREM, Università di Modena e Reggio Emilia Modena - 17 mqrzo 2015

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Incontro laboratoriale 6

Verso la generalizzazione

Attività con la Matematòca e la bilancia

Giancarlo NavarraGREM, Università di Modena e Reggio Emilia

Modena - 17 mqrzo 2015

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Numerosi paesi hanno inserito l’early algebra nei loro curricoli nei quali

danno spazio in aritmetica agli aspetti relazionali del numero, alla simmetria dell’uguaglianza, al riconoscimento di rappresentazioni numeriche equivalenti, alla valorizzazione delle proprietà aritmetiche per il confronto tra numeri, allo studio di relazioni in contesti realistici.

Rivisitazione dell’insegnamento dell’algebra

MEMO Modena - 17 marzo 2015 2

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NCTM (National Council of Teachers of Mathematics, USA)Fig. 3.1. The Content Standards should receive different emphases across the

grade bands.

MEMO Modena - 17 marzo 2015 3

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Verso la generalizzazione

Il gioco della Matematòca

MEMO Modena - 17 marzo 2015 4

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Le tessere ‘aritmetiche’

MEMO Modena - 17 marzo 2015 5

Togli 1al punteggio

del dado

Moltiplicaper 4

il punteggiodel dado

Raddoppiail punteggio

del dadoe togli 2

Aumentadi 2

il punteggiodel dado

Fai due volteil punteggio

del dado

Sottrai 0al punteggio

del dado

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Il campo di gioco

MEMO Modena - 17 marzo 2015 6

Start

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 7

d-1

d×4

d×2-2 d+2

d×2 d-0

Le tessere algebriche

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Dal linguaggio naturale a quello algebrico

MEMO Modena - 17 marzo 2015 8

d-1 d×2-2 d+2

Togli 1al punteggio

del dado

Raddoppiail punteggio

del dadoe togli 2

Aumentadi 2

il punteggiodel dado

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Il campo di gioco

MEMO Modena - 17 marzo 2015 9

Start

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 10

(d-0)x4dx2+3 dx0+5

Sottrai 0al punteggio

del dadoe moltiplica

per 4

Raddoppiail punteggio

del dadoe aggiungi 3

Moltiplicaper 0

il punteggiodel dado

e aggiungi 5

Dal linguaggio algebrico a quello naturale

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Parafrasi

MEMO Modena - 17 marzo 2015 11

Raddoppiail punteggio del dado

Moltiplica per 2il punteggio del dado

Fai due volteil punteggio del dado

d×2

=

=

(Brioshi)

Doppio del

Punteggiodel dado

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 12

Aggiungi 2al punteggio

del dadoe poi togli 1

Rita ha lanciato il dado senza mostrare il punteggio.I suoi compagni vedono che sposta il segnalino di 5 caselle.

Come si può rappresentare in linguaggio matematico questa situazione in modo che Brioshi capisca quello che è successo?

Argomenta la risposta.

Situazione problematica 1

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 13

d+d d×2d-d2×d 0×d

Secondo te ci sono delle tessere dove un giocatore farebbe lo stesso numero di passi?

1) Argomenta la risposta.

2) Prepara il messaggio che comunichi a Brioshi la tua risposta.

Situazione problematica 2

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 14

d-1 d×0

La classe di Brioshi sta giocando a Matematòca.Sappiamo che due squadre hanno i segnalini su queste tessere:

Al loro turno lanciano il dado. Poi ci mandano il seguente messaggio:

d-1=d×0

È possibile capire quale è stato il punteggio del dado? Argomenta la risposta.

Situazione problematica 3

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 15

2d d+4

Su quale fra queste due tessere vorresti che fosse il tuo segnalino?

Argomenta la risposta.

Situazione problematica 4

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d 2d d+4

MEMO Modena - 17 marzo 2015 16

1

2

3

4

5

6

1×2

2×2

3×2

4×2

5×2

6×2

1+4

2+4

3+4

4+4

5+4

6+4

Situazione problematica 4

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d 2d d+4

1 1×2 1+4

2 2×2 2+4

3 3×2 3+4

4 4×2 4+4

5 5×2 5+4

6 6×2 6+4

MEMO Modena - 17 marzo 2015 17

2

4

6

8

10

12

5

6

7

8

9

10

Situazione problematica 4

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d d×2 d+4

1 1×2 2 1+4 5

2 2×2 4 2+4 6

3 3×2 6 3+4 7

4 4×2 8 4+4 8

5 5×2 10 5+4 9

6 6×2 12 6+4 10

MEMO Modena - 17 marzo 2015 18

1) Se d<4 conviene la tessera ‘d+4’

2) Se d=4 è indifferente

3) se d>4 conviene la tessera ‘2d’

Situazione problematica 4

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Curr

icolo

di m

ate

mati

caSeconda secondaria primo grado

Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3 19

4) Alfio è sulla tessera arancione e Maria sulla blu. Al loro turno lanciano il dado e ottengono entrambi 5. Con stupore dei compagni percorrono anche lo stesso numero di caselle!I compagni vorrebbero verificare il percorso di Maria ma una macchia di gelato è caduta sulla tessera.Racconta a Brioshi l’episodio in modo che possa verificare la correttezza del percorso di Maria.

Sottrai 1 alpunteggiodel dado

e moltiplicaper 4

Raddoppia ilpunteggiodel dado

e aggiung i

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Verso la generalizzazione

Dalla bilancia a piattiall’equazione di primo grado

MEMO Modena - 17 marzo 2015 21

Malara N.A. & alii, Percorsi di insegnamento in chiave prealgebrica nella scuola dell’obbligo, Pitagora Editrice Bologna, 2004Navarra G., Giacomin A., Unità 6, Dalla bilancia a piatti all’equazione, Pitagora Editrice Bologna, 2003

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 22

La bilancia artigianale e il principio fondamentale

Fase 1: manipolazione

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 23

La bilancia artigianale e il principio fondamentale

Fase 1: manipolazione

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 24

Situazione problematica 1

sale 200g

Fase 1: manipolazione

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 25

Situazione problematica 2

sale 50g 120g sale 50g 70g

50g

120g

Primo PrincipioSe si tolgono pesi uguali dai piatti di una bilancia in equilibrio, essa rimane in equilibrio.

sale 50g 70g

50g

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 26

sale

50g 120g

Situazione problematica 2

Page 27: 1415 memo06 navarra

MEMO Modena - 17 marzo 2015 27

Situazione problematica 2

sale

50g 120g

Page 28: 1415 memo06 navarra

MEMO Modena - 17 marzo 2015 28

Situazione problematica 2

sale

50g 120g

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 29

Situazione problematica 2

sale

50g 70g

50g

sale

50g 120g

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 30

Situazione problematica 3

sale 100g

Secondo PrincipioSe si dividono per lo stesso numero i contenuti dei piatti di una bilancia in equilibrio, essa rimane in equilibrio.

sale sale 200g:2

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 31

Situazione problematica 4

sale

150g

sale

sale

sale

sale150g

sale

sale

salesale

sale

50gsale Si applicano prima il

primo e poi il secondo principio della bilancia.

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 32

Situazione problematica 5

270g

salesalesale

sale

sale

sale

sale60g270g

salesale

sale60g

salesale

sale

sale

sale60g270g

60g

210gsale

sale

60g

210g60g

sale

sale sale

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 33

La rappresentazione della bilanciaFase 2: rappresentazione

Page 34: 1415 memo06 navarra

MEMO Modena - 17 marzo 2015 34

La rappresentazione della bilanciaFase 2: rappresentazione

Fase 3: rappresentazione algebrica

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 35

Situazione problematica 2: l’equazione

sale 50g 120g sale 50g 70g

50g

120g

s + 50 = 120s + 50 = 50 + 70s + 50 = 50 + 70s = 70

sale 50g 70g

50g

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 36

Situazione problematica 2: l’equazione

sale 50g 120g sale 50g 70g

50g

120g

s + 50 = 120s + 50 - 50 = 120 - 50s + 50 - 50 = 120 - 50s = 70

sale 50g 70g

50g

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 37

Situazione problematica 3: l’equazione

sale 100g

s + s =200(s + s) : 2 = 200 : 2 s = 100

200gsale sale

s × 2 = 200s × 2 : 2 = 200 : 2 s = 100

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 38

Situazione problematica 4: l’equazione

sale

150g

sale

sale

sale

sale150g

sale

sale

salesale

sale

50gsale

150 + a = a + a + a + a150 + a = a + a + a + a150 = a + a + a150 : 3 = (a + a + a) : 3 50 = a

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 39

Situazione problematica 4: l’equazione

sale

150g

sale

sale

sale

sale150g

sale

sale

salesale

sale

50gsale

150 + a = a + a + a + a150 = 3a150 : 3 = 3a : 3 50 = a

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 40

Situazione problematica 5: l’equazione

sale

270g

sale

sale

sale

salesale

sale60g270g

salesale

sale60g

salesale

sale

sale

sale60g270g

60g

210g

sale

sale 270+b+b=b+b+b+b+b+60270+b+b=b+b+b+b+b+60270 = b + b + b + 6060 + 210 = b + b + b + 60210 = 3b210 : 3 = 3b : 370 = b

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Curr

icolo

di m

ate

mati

ca

Dalla quarta primaria alla prima secondaria

NB: oggetti con lo stesso nome hanno peso uguale.

Su un piatto di una bilancia in equilibrio ci sono sei bottiglie di latte, un peso di 0,1 kg e un altro di 0,5 kg.Sull’altro ci sono tre pesi, rispettivamente di 1,3, 0,2 e 0,3 chilogrammi e cinque bottiglie di latte.

Rappresenta la situazione in modo che Brioshi possa trovare il peso di una bottiglia di latte.

Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3 41

Fase 4: problemi verbali

Page 42: 1415 memo06 navarra

MEMO Modena - 17 marzo 2015 42

Curricolo, Prove di costruzione/verifica delle competenze C3

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Curr

icolo

di m

ate

mati

ca

Dalla quarta primaria alla prima secondaria1. Alvise appoggia sul

tavolo, alto 70 centimetri, uno sgabello alto 30 centimetri e ci sale sopra.In questo modo è alto come suo padre che ha una statura di 1,80 m.

Rappresenta la situazione in linguaggio matematico in modo che si possa trovare l’altezza di Alvise.

Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3 43

=

Fase 4: problemi verbali con supporto iconico

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 44

Page 45: 1415 memo06 navarra

MEMO Modena - 17 marzo 2015 45

Fase 4: problemi verbali con supporto iconico

Page 47: 1415 memo06 navarra

MEMO Modena - 17 marzo 2015 47

Fase 4: problemi verbali senza supporto iconico

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MEMO Modena - 17 marzo 2015 48

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Date

Incontro Malara e/o Navarra Giorno Data

M 0 mar 17.09

M 1 mer 15.10

M 2 mar 11.11

M 3 mar 09.12

M 4 mar 20.01

M 5 mer 25.02

M 6 mar 17.03

M concl mer 29.04

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