Γραμμική ΄Αλγεβρα

Επανάληψη - Βάση και διάσταση χώρων

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

5 Νοεμβρίου 2014

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.

5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn

.

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.

5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn

.

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.

5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn

.

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.

5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn

.

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.

5. Το σύνολο των λύσεων του Ax= b δεν αποτελείδιανυσματικό υπόχωρο του Rn

.

Επανάληψη διαδικασίας επίλυσης

Αν θέσω όλες τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με 0 εύκολαυπολογίζω μια λύση s0

του μη-ομογενούς Ax= b :

Παράδειγμα:

1 0 ∗ 0 ∗ π

0 1 ∗ 0 ∗ e0 0 0 1 ∗ p

20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Θέτω x3 = x5 = 0

x1 +0x2 +∗0+0x4 +∗0=π

0x1 +x2 +∗0+0x4 +∗0= e

0x1 +0x2 +∗0+x4 +∗0=p

2

x1 =π,x2 = e,x4 =p

2,x3 = x5 = 0 είναι μια λύση.Πώς θα βρούμε όλες τις άλλες λύσεις;

Επανάληψη διαδικασίας επίλυσης

Αν θέσω όλες τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με 0 εύκολαυπολογίζω μια λύση s0

του μη-ομογενούς Ax= b :

Παράδειγμα:

1 0 ∗ 0 ∗ π

0 1 ∗ 0 ∗ e0 0 0 1 ∗ p

20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Θέτω x3 = x5 = 0

x1 +0x2 +∗0+0x4 +∗0=π

0x1 +x2 +∗0+0x4 +∗0= e

0x1 +0x2 +∗0+x4 +∗0=p

2

x1 =π,x2 = e,x4 =p

2,x3 = x5 = 0 είναι μια λύση.Πώς θα βρούμε όλες τις άλλες λύσεις;

Επανάληψη διαδικασίας επίλυσης

Αν θέσω όλες τις ελεύθερες μεταβλητές ίσες με 0 εύκολαυπολογίζω μια λύση s0

του μη-ομογενούς Ax= b :

Παράδειγμα:

1 0 ∗ 0 ∗ π

0 1 ∗ 0 ∗ e0 0 0 1 ∗ p

20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Θέτω x3 = x5 = 0

x1 +0x2 +∗0+0x4 +∗0=π

0x1 +x2 +∗0+0x4 +∗0= e

0x1 +0x2 +∗0+x4 +∗0=p

2

x1 =π,x2 = e,x4 =p

2,x3 = x5 = 0 είναι μια λύση.Πώς θα βρούμε όλες τις άλλες λύσεις;

Η διαφορά δύο λύσεων

΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.

Τότε

A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0

Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.΄Αρα si = s0 + s.

Συμπέρασμα

Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.

Η διαφορά δύο λύσεων

΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.

Τότε

A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0

Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.΄Αρα si = s0 + s.

Συμπέρασμα

Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.

Η διαφορά δύο λύσεων

΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.

Τότε

A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0

Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.

΄Αρα si = s0 + s.

Συμπέρασμα

Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.

Η διαφορά δύο λύσεων

΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.

Τότε

A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0

Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.΄Αρα si = s0 + s.

Συμπέρασμα

Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.

Η διαφορά δύο λύσεων

΄Εστω siμια οποιαδήποτε άλλη λύση, οπότε Asi = b.

Τότε

A(si − s0) =Asi −As0 = b−b= 0

Δηλαδή το (si − s0) = s είναι λύση του ομογενούς Ax= 0.΄Αρα si = s0 + s.

Συμπέρασμα

Το σύνολο των λύσεων του Ax= b ισούται με το σύνολο τωνλύσεων του Ax= 0 συν μια οποιαδήποτε λύση του Ax= b.

Τα σύνολα των λύσεων Ax= 0 ανδ Ax= b σαν υποσύνολατου Rn

s0 Ax = 0

Ax = b

Παράδειγμα

Μη-ομογενές: Ax= b

x1 +2x2 −3x3 +2x4 −4x5 = 12x1 +4x2 −5x3 +1x4 −6x5 = 3

5x1 +10x2 −13x3 +4x4 −16x5 = 7

Ομογενές: Ax= 0

x1 +2x2 −3x3 +2x4 −4x5 = 02x1 +4x2 −5x3 +1x4 −6x5 = 0

5x1 +10x2 −13x3 +4x4 −16x5 = 0

Παράδειγμα

Μη-ομογενές: Ax= b

x1 +2x2 −3x3 +2x4 −4x5 = 12x1 +4x2 −5x3 +1x4 −6x5 = 3

5x1 +10x2 −13x3 +4x4 −16x5 = 7

Ομογενές: Ax= 0

x1 +2x2 −3x3 +2x4 −4x5 = 02x1 +4x2 −5x3 +1x4 −6x5 = 0

5x1 +10x2 −13x3 +4x4 −16x5 = 0

Υπάρχει λύση;

Επαυξημένος πίνακας: 1 2 −3 2 −4 12 4 −5 1 −6 35 10 −13 4 −16 7

L2 ←− L2 −2L1, L3 ←− L3 −5L1: 1 2 −3 2 −4 10 0 1 −3 2 10 0 2 −6 4 2

L3 ←− L3 −2L2: 1 2 −3 2 −4 1

0 0 1 −3 2 10 0 0 0 0 0

Υπάρχει λύση.

Υπάρχει λύση;

Επαυξημένος πίνακας: 1 2 −3 2 −4 12 4 −5 1 −6 35 10 −13 4 −16 7

L2 ←− L2 −2L1, L3 ←− L3 −5L1: 1 2 −3 2 −4 1

0 0 1 −3 2 10 0 2 −6 4 2

L3 ←− L3 −2L2: 1 2 −3 2 −4 10 0 1 −3 2 10 0 0 0 0 0

Υπάρχει λύση.

Υπάρχει λύση;

Επαυξημένος πίνακας: 1 2 −3 2 −4 12 4 −5 1 −6 35 10 −13 4 −16 7

L2 ←− L2 −2L1, L3 ←− L3 −5L1: 1 2 −3 2 −4 1

0 0 1 −3 2 10 0 2 −6 4 2

L3 ←− L3 −2L2: 1 2 −3 2 −4 1

0 0 1 −3 2 10 0 0 0 0 0

Υπάρχει λύση.

Υπάρχει λύση;

Επαυξημένος πίνακας: 1 2 −3 2 −4 12 4 −5 1 −6 35 10 −13 4 −16 7

L2 ←− L2 −2L1, L3 ←− L3 −5L1: 1 2 −3 2 −4 1

0 0 1 −3 2 10 0 2 −6 4 2

L3 ←− L3 −2L2: 1 2 −3 2 −4 1

0 0 1 −3 2 10 0 0 0 0 0

Υπάρχει λύση.

Υπολόγισε μια λύση του μη-ομογενούς

Ελεύθερες μεταβλητές: x2,x4,x5.

Τις θέτω ίσες με 0 και λύνω:x1 = 4, x3 = 1. ΄Αρα μια λύση είναι

s0 =

40100

.

Υπολόγισε μια λύση του μη-ομογενούς

Ελεύθερες μεταβλητές: x2,x4,x5. Τις θέτω ίσες με 0 και λύνω:

x1 = 4, x3 = 1. ΄Αρα μια λύση είναι

s0 =

40100

.

Υπολόγισε μια λύση του μη-ομογενούς

Ελεύθερες μεταβλητές: x2,x4,x5. Τις θέτω ίσες με 0 και λύνω:x1 = 4, x3 = 1. ΄Αρα μια λύση είναι

s0 =

40100

.

Υπολόγισε όλες τις λύσεις του ομογενούς

1 2 −3 2 −4 00 0 1 −3 2 00 0 0 0 0 0

x1x2x3x4x5

=

−2x2 +7x4 −2x5

x23x4 −2x5

x4x5

= x2

−21000

+x4

70310

+x5

−20−201

΄Ολες οι λύσεις του ομογενούς

Κάθε γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του παρακάτω

συνόλου

−21000

,

70310

,

−20−201

Span{u,v}

v

u

΄Ολες οι λύσεις του μη-ομογενούς40100

+

−21000

,

70310

,

−20−201

v

us

s + Span{u,v}

0

0

Γραμμική Εξάρτηση

x= αy

xk = c1x1+c2x2+ . . .+cnxn

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά

εξαρτημένα αν το καθένα απο αυτά μπορεί να

γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.

Γραμμική Εξάρτηση

x= αy

xk = c1x1+c2x2+ . . .+cnxn

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά

εξαρτημένα αν το καθένα απο αυτά μπορεί να

γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.

Γραμμική Εξάρτηση

x= αy

xk = c1x1+c2x2+ . . .+cnxn

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων λέγονται γραμμικά

εξαρτημένα αν το καθένα απο αυτά μπορεί να

γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1,x2, . . . ,xk ∈Rnλέγονται γραμμικά

εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1,c2, . . . ,ck ∈R εκ τωνοποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους

οποίους ισχύει c1x1 +c2x2 . . . ,ckxk = 0.

Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των x1,x2, . . . ,xk ∈Rn

Ï Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες ταδιανύσματα αυτά

Ï Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του AΑν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τοότε

αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων x1,x2, . . . ,xk ∈Rnλέγονται γραμμικά

εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1,c2, . . . ,ck ∈R εκ τωνοποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους

οποίους ισχύει c1x1 +c2x2 . . . ,ckxk = 0.

Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των x1,x2, . . . ,xk ∈Rn

Ï Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες ταδιανύσματα αυτά

Ï Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του AΑν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τοότε

αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Ορισμοί

Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται απόόλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των

διανυσμάτων v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά

παράγουν τον V.

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν

διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου

μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των

εν λόγω διανυσμάτων.

Ορισμοί

Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται απόόλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των

διανυσμάτων v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά

παράγουν τον V.

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν

διανυσματικό χώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου

μπορεί να γραφθεί σαν γραμμικός συνδυασμός των

εν λόγω διανυσμάτων.

Ορισμοί

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός

διανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά

ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.

Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των

στοιχείων της βάσης του.

Ορισμοί

΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενός

διανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά

ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.

Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των

στοιχείων της βάσης του.