Upload
manolis-vavalis
View
3.596
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Βάση και διάσταση θεμελειωδών χώρων
Citation preview
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Βάσεις θεμελειωδών διανυσματικών χώρων
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
10 Νοεμβρίου 2014
Γραμμική Ανεξαρτησία
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων v1,v2, . . . ,vk ∈Rnλέγονται γραμμικά
εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1,c2, . . . ,ck ∈R εκ τωνοποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους
οποίους ισχύει c1v1 +c2v2 . . . ,ckvk = 0.
Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των v1,v2, . . . ,vk ∈Rn
Ï Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες ταδιανύσματα αυτά
Ï Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του AΑν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τότε αυτά
είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Γραμμική Ανεξαρτησία
΄Ενα σύνολο διανυσμάτων v1,v2, . . . ,vk ∈Rnλέγονται γραμμικά
εξαρτημένα ανν υπάρχουν αριθμοί c1,c2, . . . ,ck ∈R εκ τωνοποίων τουλάχιστον ένας δεν είναι μηδέν και για τους
οποίους ισχύει c1v1 +c2v2 . . . ,ckvk = 0.
Για να ελέγξουμε την εξάρτηση των v1,v2, . . . ,vk ∈Rn
Ï Σχηματίζουμε τον πίνακα A οποίος έχει σαν στήλες ταδιανύσματα αυτά
Ï Υπολογίζουμε τον μηδενόχωρο του AΑν αυτός περιλαμβάνει μόνον το μηδενικό διάνυσμα τότε αυτά
είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Ορισμοί
Ï Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλουςτους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων
v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V.
Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικόχώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί
σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.
Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενόςδιανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά
ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.
Ï Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείωντης βάσης του.
Ορισμοί
Ï Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλουςτους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων
v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V.
Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικόχώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί
σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.
Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενόςδιανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά
ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.
Ï Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείωντης βάσης του.
Ορισμοί
Ï Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλουςτους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων
v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V.
Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικόχώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί
σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.
Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενόςδιανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά
ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.
Ï Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείωντης βάσης του.
Ορισμοί
Ï Εάν ένας διανυσματικός χώρος V αποτελείται από όλουςτους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων
v1,v2, . . . ,vkτότε λέμε ότι αυτά παράγουν τον V.
Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων παράγει έναν διανυσματικόχώρο ανν κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να γραφθεί
σαν γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω διανυσμάτων.
Ï ΄Ενα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση ενόςδιανυσματικού χώρου ανν αυτά είναι γραμμικά
ανεξάρτητα και παράγουν τον χώρο.
Ï Διάσταση ενός υποχώρου είναι το πλήθος των στοιχείωντης βάσης του.
Παρατηρήσεις
Ï Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές
βάσεις ενός υπόχωρου.
Ï Δύο οποιεσδήποτε βάσεις ενός
χώρου αποτελούνται από το ίδιο
πλήθος διανυσμάτων.
Παρατηρήσεις
Ï Υπάρχουν άπειρες διαφορετικές
βάσεις ενός υπόχωρου.
Ï Δύο οποιεσδήποτε βάσεις ενός
χώρου αποτελούνται από το ίδιο
πλήθος διανυσμάτων.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm
⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0
⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0⇒VAc= 0
⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Θεώρημα
Αν τα σύνολα v1,v2, . . . ,vmκαι w1,w2, . . . ,wn
αποτελούν
βάσεις του χώρου V τότε m= n.
Απόδειξη:΄Εστω m< n
wj = a1,jv1 +a2,jv2 + . . .+am,jvm ⇒W =VA
Επειδή m< n τότε ο A έχει στον μηδενόχωρό τουτουλάχιστον ένα μη-μηδενικό διάνυσμα έστω το c 6= 0
Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω εξίσωση με το c αυτό καιέχουμε ⇒Wc=VAc
Τότε Ac= 0⇒VAc= 0⇒Wc= 0,c 6= 0
΄Ατοπο γιατί τα wi, i= 1, . . . ,m είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Παρατηρήσεις
Ï Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων
ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο,να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων)
έτσι ώστε να γίνει βάση του V.
Ï Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν
χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, νασυρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε
να γίνει βάση του V.
Παρατηρήσεις
Ï Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων
ενός χώρου V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο,να επεκταθεί (με προσθήκη άλλων διανυσμάτων)
έτσι ώστε να γίνει βάση του V.Ï Κάθε σύνολο διανυσμάτων που παράγει έναν
χώρο V μπορεί, εάν αυτό είναι απαραίτητο, νασυρρικνωθεί (αφαιρώντας διανύσματα) έτσι ώστε
να γίνει βάση του V.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Παρατηρήσεις
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
, U = 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −30 0 0 0 −0
1. Ο χώρος γραμμών του A ταυτίζεται (άρα έχει την ίδιαδιάσταση r και την ίδια βάση) με τον χώρο γραμμών τουU.
2. Ο χώρος στηλών του A δεν ταυτίζεται με τον χώρογραμμών του U.
3. Ο μηδενόχωρος του A ταυτίζεται με τον μηδενόχωρο τουU.
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.
αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Βάσεις και διαστάσεις θεμελειωδών υπόχωρων του A ∈Rm,n
χώρος γραμμών Βάση: το σύνολο των μη-μηδενικών
γραμμών του U. Διάσταση: r (το πλήθος τωνοδηγών του A).
χώρος στηλών Βάση: το σύνολο των στηλών του A πουαντιστοιχούν σε στήλες του U που φέρουνοδηγό. Διάσταση: r.
μηδενόχωρος Βάση: οι (γραμμικά ανεξάρτητες) λύσεις του
ομογενούς. Διάσταση: n− r.αριστερός μηδενόχωρος Βάση: το σύνολο των γραμμών του
L−1που αντιστοιχούν σε μηδενικές γραμμές του
U. Διάσταση: m− r.
A= LU ⇒ L−1A=U
Παράδειγμα
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→ 1 0 0
0 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0
Παράδειγμα
A= 1 3 0 2 −1
0 0 1 4 −31 3 1 6 −4
→ 1 0 0
0 1 01 1 1
1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0