26
ASSALAMUALAIKUM Wr. Wb.

2. logaritma

Embed Size (px)

Citation preview

ASSALAMUALAIKUM Wr. Wb.

Sekilas Tentang Sejarah Logaritma

Logaritma dikemukakan pertama kali oleh John Napier yang lahir pada tahun 1550 di dekat Edinburgh, Skotlandia. Selain menemukan, dia juga mendesain sebuah metode sederhana untuk perkalian dan pembagian yang dikenal sebagai tulang-tulang Napier. Ketika buku Napier tentang logaritma diterbitkan pada tahun 1614, hal ini amat mengagumkan para ilmuwan sebagaimana ditemukannya kalkulator di zaman modern. Dengan bantuan logaritma mereka dapat mengerjakan perkalian dan pembagian yang sulit dengan cara cepat dan mudah untuk pertama kalinya. Napier menghabiskan hidupnya mengutak-atik matematika.

Untuk apa kita belajarLOGARITMA?

Indikator Pembelajaran Logaritma: Kita dapat mengenal pengertian logaritma suatu

bilangan dari suatu bilangan pokok.

Agar dapat menghitung nilai logaritma suatu bilangan untuk suatu bilangan pokok.

Menghitung nilai logaritma dan mencari kembali logaritma suatu bilangan dengan daftar atau tabel logaritma atau kalkulator.

Dapat mengenal pengertian sifat-sifat logaritma.

Menggunakan sifat-sifat logaritma untuk memecahkan soal. NEXT

Bentuk logaritma

alog b = n

loga b = n

Bentuk logaritma pun dapat diuraikan menjadi :

alog x = n maka x = an

alog y = m maka y = am

Lanjut

Sifat-sifat penting fungsi logaritma y = g(x) = log

a x

1. Daerah asalnya (domain) adalah himpunan seluruh bilangan nyata positif, Df = (0,∞). Ini berarti seluruh grafiknya selalu berada di sebelah kanan sumbu-Y (sumbu tegak). Sedangkan daerah hasilnya (range) adalah himpunan seluruh bilangan nyata, Rf = (-∞,∞).

2. Nilai fungsi pada x = 1 adalah 0, dengan kata lain grafik fungsinya selalu melalui titik (1,0) untuk berapapun nilai a.

3. Fungsi ini bersifat satu-satu.4. Jika a > 1, maka fungsi ini merupakan fungsi naik. Dan jika

0<a<1, maka fungsi ini merupakan fungsi turun.5. Sumbu–Y menjadi asimtot tegaknya.6. Fungsi y = f(x) = ax dan fungsi y = g(x) = loga x yang satu

merupakan balikan yang lain. Ini berarti grafik yang satu merupakan bayangan cermin dari grafik yang lain terhadap garis y = x.

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

Fungsi logaritma g(x) = alog x dengan a > 0 dan a ≠ 1 mempunyai sifat-sifat berikut.1. Terdefinisi untuk x > 0 (berada di sebelah kanan sumbu x).2. Memotong sumbu koordinat hanya di titik (1,0).3. Mempunyai asimtot tegak lurus sumbu Y (x=0).4. Jika a > 1 maka grafik monoton naik.

Y

X

g(x) = alog x

(1,0)

5. Jika 0 < a < 1 maka grafik monoton turun.

Y

(1,0)

g(x) = alog x

X

Untuk lebih jelasnya mari kita kerjakan soal-soal berikut.

Perhatikan grafik fungsi eksponen berikut!

Y

X-1 0 1 2 3

8

4

2

Apa persamaan grafik fungsi invers pada gambar disamping ?

Penyelesaian:Grafik fungsi y = ax melalui (1,2) sehingga 2 = a1

a = 2rumus fungsi y = ax = 2x

dari y = 2x diperoleh x = 2log y atau f-1 (x) = 2log xjadi, invers fungsinya 2log x

Perhatikan gambar grafik fungsi eks10ponen berikut:

-2 -1 0 1 2 3

4

2

1

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar disamping adalah . . . .

Penyelesaian:Grafik fungsi y = ax melalui (-2,4).Diperoleh: 4 = a-2 (1/2)-2 = a-2

a = ½rumus fungsi y = ax = (1/2)x

dari y = (1/2)x diperoleh x= 1/2log y atau f-1(x) = 1/2log xjadi, invers fungsinya 1/2log x

y

x

Pada pembahasan kali ini kita akan mempelajari persamaan logaritma.

logaritma juga ada

persamaannya?

Mari kita pelajari

lebih lanjutklik

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers.

Dengan: f(x) = fungsi eksponen g(x) = fungsi logaritma

Bentuk-bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya.

a. Jika alog f(x) = alog m, f(x) > 0 maka f(x) = mb. Jika alog f(x) = blog f(x), a ≠ b, maka f(x) = 1c. Jika alog f(x) = alog g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, maka f(x) = g(x)d. Jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x),

f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, dan f(x) ≠ 1 maka g(x) = h(x)

f (x) = ag(x) g (x) = alog f(x)

Bentuk-bentuk Peridaksamaan Logaritma dan penelesaiannya

a. Untuk a > 1Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x) dengan syarat

f(x) > 0 dan g(x) > 0.Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x) dengan syarat f(x)

> 0 dan g(x) > 0.

b. Untuk 0 < a < 1 

Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0.

Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x) dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0.

Sifat-sifat logaritma yang telah dibahas sebelumnya ternyata dapat digunakan untuk menyelesaikan

persamaan yang mengandung peubah dalam logaritma.

Untuk lebih jelasnya mari kita kerjakan soal-soal di bawah ini!

Hitunglah nilai x yang mungkin dari persamaan di bawah ini:1. log 2x = 32. log x + 2 log 2 = log 20 – log 53. 2 log 3x + log 16 – 3 log 2 = log 184. log (3x + 2) – log (x – 1) = log (x – 2), x>05. Logx 2 + log2 x = 2

1. log 2x = 3Penyelesaian:tulislah kembali persamaan itu dalam bentuk persamaan yang tidak mengandung logaritma. Sehingga dipeoleh:

log 2x = 3 2x = 103

2x = 1000 x = 500

Jadi, nilai x yang memenuhi yaitu x = 500.

2. log x + 2 log 2 = log 20 – log 5

Penyelesaian:jika kedua ruas persamaan mengandung logaritma, gabungkanlah logaritma-logaritma dalam masing-masing ruas itu menjadi suatu logaritma, dan kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk menuliskan kembali dalam bentuk yang bebas dari logaritma.

log x + log 2 = log 20 – log 5 log 2x = log 20/5 = log 4

2x = 4 atau x = 2

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah x = 2.

3. 2 log 3x + log 16 – 3 log 2 = log 18

Penyelesaian:karena logaritma hanya didefinisikan untuk bilangan bulat positif, maka 3x > 0 atau x > 0 .

2 log 3x + log 16 – 3 log 2 = log 18

log (3x) 2 + log 16 – log 8 = log 18 (3x)2 (16)

8

log 18x2 = log 18 18 x 2 = 18

x2 = 1 atau x = 1

Jadi, nilai x yang memenuhi syarat x > 0 di atas adalah x = 1.

log = log 18

4. log (3x + 2) – log (x – 1) = log (x – 2), dengan syarat x > 0

Penyelesaian:

log (3x + 2) – log (x – 1) = log (x – 2) 3x + 2 x - 1 3x + 2 x – 1 3x + 2 = (x – 1) (x – 2)

setelah penyederhanaan diperoleh x2 – 6x = 0 atau x(x – 6) = o atau x = 6

Jadi, nilai x yang memenuhi syarat adalah x = 6.

log = log (x – 2)

= x – 2

5. logx 2 + log2 x = 2

Penyelesaian:

logx 2 + log2 x = 2

log 2 log xlog x log 2

(log 2)(log 2) + (log x)(log x)log x log 2(log 2)2 + (log x)2 = 2 log 2 log x

(log x)2 – 2 log x log 2 + (log 2)2 = 0 (log x – log 2)2 = 0

log x – log 2 = 0 log x = log 2

x = 2Jadi, nilai x yang mungkin adalah x = 2.

+ = 2

= 2

Penerapan Fungsi Logaritma

1. Anna menyimpan uang Rp 500.000,- di bank dengan bunga majemuk 12% per tahun. Berapa tahunkah uang simpanan Anna menjadi dua kali lipat?

Penyelesaian: misalkan n menyatakan lama penyimpanan dalam tahun.500000(1.12)n = 1000000 atau (1.12)n = 2

Dengan mengalogaritmakan (basis 10) kedua ruas di atas diperolehn log 1.12 = log 2 log 2

log 1.12

Jadi, dalam waktu 6.1 tahun, dengan tingkat bunga majemuk 12% per tahun, uang Anna yang disimpan di bank akan menjadi dua kali lipat.

Fungsi logaritma dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, hal ini bertujuan untuk menambah pemahaman kita terhadap materi fungsi logaritma.

n = ≈ 6.116

2. Misalkan untuk setiap meter masuk ke bawah permukaan laut, intensitas cahaya berkurang sekitar 2.5%. Pada kedalaman berapakah intensitas cahayanya tinggal 50% dari intensitas cahaya di permukaan laut?

Penyelesaian:Misalkan d menyatakan kedalaman di bawah permukaan laut.

50% = 100% (0.975)d atau (0.975)d = 0.5Dengan melogaritmakan (basis 10) kedua ruas persamaan diperoleh

d log 0.975 = log 0.5 atau log 0.5 log 0.975

Jadi, pada kedalaman sekitar 27 m, intensitas cahaya di dalam laut itu hanya 50% dibandingkan intensitas cahaya di permukaannya. (ini sangat mempengaruhi jenis organisme apa yang bisa hidup dengan intensitas cahaya yang relatif sedikit itu.)

d = ≈ 27.4

Selamat Belajardan

Sukses Selalu

Selesai

TERIMA KASIH

Kelompok 2 Pembelajaran Matematika MA/SMA 1

Anggota kelompok:CICI RISKA YUNITA 1210205016ERNI NURAENI 1210205029FIKA RIZKI F. R. 1210205031IFA HANIFIAH 1210205042