Upload
dimitris-psounis
View
3.427
Download
2
Embed Size (px)
���20
������� 1: ����� �
������ 1.2:
������������������
�������� ������
����������������������� ��� �
�������
������ ��� ������� � ������
�� ����� ����� ����� ����!����"� ��#�$�
%� ����� �������"� ��#�$�
%� &�� �����'#�� ������ �(��� )��
����������� ��������������������� �������
�� )��
%� *���
+� ,�����
-� ! ���
.� /�� ���# �� ����0��������������1�
&�������#�1� �� �� ���
�� "��#�1�� ������� � ��������
%� "��#�1�� ���������������� ������2���
+� "��#�1������������ ���
-� 0� ��3��2�"��#�12
0�� �� ��
�� � �� ���4 ��� �
%� "��� ��
+� "5 ���12
�. �!"� ��� ���������
�!�!#�� �
��$ ��� ��!�$ ��������%� �$ �$ !��&!��'�#$� ($� ��� )���� ���
�������$)�� ��!��
��$ �#����*�(�#� ($� ��� �$�)#��$�� �+� !#�$��$��%�
�!�!#�� ,
� -�+��� ���.*����� �������%�
����������� ��������������������� �������
� -�+��� ���.*����� �������%�
�!�!#�� -
� (-)
,. /#+����������$ � ����!�$����#��
� ����(���$ " (��� n).
���������� ��������������������� �������
��� ����� ����� ������� ��������� �������� ���������� ������� �!�� ��� ��"
12...)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn
#�����$%��� ��&'�����( ������ �����"
��� ��������)������*+,!
12...)2()1(! ⋅⋅⋅−⋅−⋅= nnnn
1,
1
1
,)!1(!
=
>
��� −
=n
nnnn
αν
αν
,. /#+����������$ � ����!�$����#��
� � !��"���� P(n,k) �$ � !��"���� C(n,k)
!���������� ��������������������� �������
��� �����)��� ���)���-.��/0������ ��+�(���� �.�1/0+������2*�����*3/3�"
)1...()2()1()!(
!),( +−⋅−⋅−⋅=
−= knnnn
kn
nknP
#��� �� �����)��� ���)���4.��/0����� ��+�� ��� �/+.�1/0+�����n00 �$ 01k1n
56�4.��/0����7 8���������������&'�"����������� ����$%��"
)!(!
!),(
knk
nknC
−=
���
����
k
n
)!(!
!
knk
n
k
n
−=��
�
����
,. /#+����������$ � ����!�$����#��
� ��� �$ �� /#+������:
"���������� ��������������������� �������
9� )���!"���$%���)��$:�)"
���
����
−=��
�
����
kn
n
k
n
��
�� −
��
�� knk
9� )���;"���$%���)��$:�)"
���
����
−
−+���
����
−=��
�
����
1
11
k
n
k
n
k
n
,. /#+����")�� ��� �������$ ��
� �")�� ��� �������$ �� #���$ �� �#����# �# !"���� ��"!��� �!��#� ��(��#$ '�� (!#��!*� �) (#(��"�.
� -$� �� �� �����# ���" ')���# ��#$� ��"!���:
� ��� ����'����� �+� ��"!+� «�# �� )'�$» "!�� ���(��2���# "*������� ��"!��� �# ���� �!����� �!��#� �� (��#$ �� (#(��"� �$ '!#$������ �#����#.
#���������� ��������������������� �������
���� �#����#.
� �$� .��$ '� ��)'� �!���������, ��*��� ��� ��"�� ��� ����������� �$ ��� ($���'���, "!�� �!��# �� .��$ " !�".*��� �# �!�!��-.*����� �$ �� �#*$ " �!��'*#��� !�� �!�#$ +� �� ����$��� � ��($�"�#�� �+� #!$�'���� �!��#*#����+�.
� ���� �������$ ��� ��!��� �+� ����'*+� ��� ��������$ ��, !�� #���$�������$ �� ��!�$ !�� #2���"3����$ �"�� ��+ �!" ����$��'�#�!��&!��'�#$�. ��" #$��$ ($� ���� ��!��� ��� ��������� (�� ��1.2) �+� �$���4#+� (������ 1.3) �$ �+� �$����%� �# �!���)'�(������ 1.4)
��$ !$� ��� �*#� �� ��#$� #���$ ���'� !�� �!�$���� �� ����������# ����!���!��+ ��"!���.
,. /#+���1. ���������
� �� !��.*����� ��������$ �� ��)�� ���� ���� ��� *���� ')���# k �'�#$�
(!��*#�) �$ �# ��# �'�� �'*���# �� ��!��#������# '�� ���$ #��#�� �!"
n �$��'�$��. �� !�%�� #�%���� !�� !�'!#$ �� �!�����# #���$ �� #)#$
������� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� � ")$:
� �� � �#$�� ')#$ �������, �$*��# ($� '�� !�".*��� �$���4#+�. -$� !����#$(��
$���������� ��������������������� �������
� �� � �#$�� ')#$ �������, �$*��# ($� '�� !�".*��� �$���4#+�. -$� !����#$(��
�� !�'!#$ �� ���� #������# ��� ��5� �� ��� 4 �!" �� #**��$ " �*2�.��� �
�#$�� �+� ���$ #$�'�+� ((�������) ')#$ ������� (�2�� �� #��**�4���# ���
(������� �# ��� *'4� !�� �!�#$ �$�2��#�$ � *'4�)
� �� � �#$�� ��� ')#$ �������, �$*��# ($� '�� !�".*��� ��������%�. -$�
!����#$(�� ��� 6�7�� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (!.). � 3��$�
1-2 �# ��� 3��$� 2-1 #���$ ��$�)
,. /#+���1. ���������
�$ ��!�$ �+� ��������%� �!�*�(�3��� ��#�� ��� *��� �# '�� !�".*���!�� �!��#� �� ����#*�!�$��#� +� #4��:
�/#+����# "�$ ')���# '��� «�����» !�� !#�$')#$ ����������� �����������
� ,�3���# �� )'�$ ���� ��.� �$ ���������� �#�$ � �!" ����
%���������� ��������������������� �������
� �'��$� !��.*����� #���$ �� ����� (� ��.�� ')#$ 49 ��$����� �$ #!$*'(+���� 6), �� 8�7��� (� ��.�� ')#$ 52 2�**� �$ #!$*'(+ – �����+� – �� 5), �� ������ �$ �**�.
�� ������� #���$ �� ���� – *#$�� !�� �� �����������# �# !�**'�# 2+���#$� �$ �� ���*�.������# "�$ #�����# �# �����������. ����������#"�$ "��� �����# �$� ������� ������������ ')#$ ������� !�$� ���$ #��#��#!$*'(���# �$ ")$ � �#$�� �# ��� �!��� �� #!$*'(���#.
,. /#+���1. ���������
�2�� ')���# ���*�.#$ "�$ ')���# '��� !�".*��� #!$*�(�� ���$ #$�'�+�,
�!��)��� ��� ��!�$ !�� ����#*�!�$��� �������$)� !��.*�����:
��$ ���������� k ���$ #$�'�+� �!" n )+��� #!���*�9�
�:!�� �$ *��#$� �� �������$ �!" ��� �)'��
������������ ��������������������� �������
���
����
k
n
��$ ���������� k ���$ #$�'�+� �!" n �# #!���*�9�
�:!�� �$ *��#$� �� �������$ �!" ��� �)'��
��
���
����
−+
k
kn 1
� ������ � � ������ � � ')#$ �� ��#$ �# !"�#� 2��'� #!$��'!#��$ �� ')���# ���� �#*$ � ���
*��� '�� �!" �� �$�2��#�$ � ���$ #��#�� ��� ��.�:
���� ����������� )+��� #!���*�9� �#� #!$��'!#��$ �� ')���# '�� ���$ #��#�� !��+ �!" ���
2��� ("!+� !.). ��� ����� ��# ��$��"� �#� �!��#� �� #!���*�2�#� !��+ �!" ��� 2���)
���� ����������� �# #!���*�9� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!���*�2�#� ���� �#*$ � ��� *���
"�#���!��# 2��'� ("!+� !.). ��� 6�7�� !�� ��# ��$��"� {1,2,..,6} �!��#� �� '��#$ �# "*� ��
3��$�)
,. /#+���1. ���������1. ��������� 8+��� �!���*�9�
������������ ��������������������� �������
;)���# '�� !�".*��� ��������%� )+��� #!���*�9� "���:
1. � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ �������
2. ;)���# n �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (:�� �$�2��#�$ � �#��4� ����).
3. �!$*'(���# k �!" ����, )+��� �� #!���*��.��#��$ �!�$� ���$)#��
(��*��� ���� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!���*�2�#� �� !�*� ���(��*��� ���� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!���*�2�#� �� !�*� ���
2���)
�"�# �$ ������� ��"!�$ #!$*�(�� �������$ �!" ��� ��!�:
���
����
=k
nknC ),(
�����#�(���� �'��$+� !��.*����+� #���$ �� �����, �� 8�7���, ��
������ .*!.
,. /#+���1. ���������2. ��������� �# �!���*�9�
������������ ��������������������� �������
;)���# '�� !�".*��� ��������%� �# #!���*�9� "���:
1. � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ �������
2. ;)���# n �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (:�� �$�2��#�$ � �#��4� ����).
3. ��!*��%����# k �'�#$� %��# �# ��# �'�� �� �!��#� �� #!���*�2�#�
�� ��$� ���$)#�� (��*��� ���� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #�2���3#��$�� ��$� ���$)#�� (��*��� ���� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #�2���3#��$
��#���!��# 2��'� – �!" ���� #%� "*#� �$� �'�#$�)
�"�# �$ ������� ��"!�$ #!$*�(�� �������$ �!" ��� ��!�:
���
����
−+=−+
k
knkknC
1),1(
�����#�(���� �'��$+� !��.*����+� #���$ �� 6�7��, �� ������� .*!.
� #!���*�9� #���$ (�+��� �$ +� #!�����!��'����. ��*��� .(�3���# '��
���$ #��#�� �!" ��� ��.�, �� ���(��2���# �$ '!#$�� �� #!�����!��#����#
���� ��.� �$ #!$*'(���# �� #!"�#�� �# ��� ��$� �$��$ ����.
,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�1. �����
������������ ��������������������� �������
�� ����� �������$ 49 ��$���� �$ 3��#���$ �� #!$*'4���# ���� 6 ($� ��
���� #������# ��� ���*�. �"�#� ���*#� �!��)���;
��:
<� ���������� )+��� #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:
49�816.983.13...
6
49==��
�
����
-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:
1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (���(���$ �
#4��� 1, 8, 44, 12, 19, 23 #���$ ��$� !.). �# ��� 1, 12, 44, 8, 19, 23)
2. ;)���# 49 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� �!" �� �!��� #!$*'(���# �� 6
3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� �� !�*� ���
2���.
,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�2. 6�7��
� ���������� ��������������������� �������
7�)����# ��� �� �$� # �$�'�� (=���$�) 3��$�. �"�#� 3��$'� �!��)���;
��:
<� ���������� �# #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:
2167!567!7!77126
=⋅
=⋅⋅
===���
��
=���
�� −+
212!5!2!5!2)!27(!222
==⋅
=⋅
=−
=���
���
=���
���
-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:
1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (���(���$ �
3��$� 1,2 #���$ ��$� �# ��� 2,1)
2. ;)���# n=6 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (�$ ��$���� 1,2,3,4,5,6) �� �!���
��!��#����# ���� ��.� �$ #!$*'(���# k=2 �# #!�����!��'����.
3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� ��#���!��#
2��'� (!.). � ��$��"� 1 �!��#� �� #!���*�2�#� �$ ��$� 2 �'�#$�)
,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�3. �������
�!���������� ��������������������� �������
�"�� ��"�$�� �!��)���; (�!#����$��: '�� ��"�$�� ���� #��3#��$
�!" ��� �#���(+�� !�� ��# '�� �#���(+�� �!��#� �� ')#$
����,1,2,3,4,5 � 6 �#*#�#�)
��:
<� ���������� �# #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:<� ���������� �# #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:
282
78
!6!2
!678
!6!2
!8
)!28(!2
!8
2
8
2
127=
⋅=
⋅
⋅⋅=
⋅=
−=��
�
����
=��
�
����
−+
-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:
1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (���(���$ ����"�$�� 2,5 #���$ ��$� �# �� 5,2)
2. ;)���# 7 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (�$ ��$���� 0,1,2,3,4,5,6) �� �!�����!��#����# ���� ��.� �$ #!$*'(���# 2 �# #!�����!��'����.
3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� ��#���!��#2��'� (!.). � ��$��"� 1 �!��#� �� #!���*�2�#� �$ ��$� 2 �'�#$�)
,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�4. 8�7���
�"���������� ��������������������� �������
�"�#� 5��#� )���$%� �!�����# �� ���� #������# �!" ��� !*���
���!��*�.
��:
<� ���������� )+��� #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:
52�960.598.2...
5
52==��
�
����
-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:
1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ �������
2. ;)���# n=52 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� �� �!��� ��!��#����# ���� ��.�
�$ #!$*'(���# k=5 �!" ����.
3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� �� !�*� ���
2���.
,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�5. ������
�#���������� ��������������������� �������
�"�� �� �!�����*� �# 2 ���$)#�� ��� ���"*�� {1,2,3,4,5,6,7,8}
��:
<� ���������� )+��� #!���*�9� �$ ��"!�$ #���$:
28...8
==���
��
28...2
==���
���
-$� �� ���(�����# �# ���" �� �!��'*#��� ')���# #!�*��#��#$ "�$:
1. ��� �#*$ � *��� � �#$�� �+� ���$ #$�'�+� �#� ')#$ ������� (�!" ���
��$��" ��� ���"*��)
2. ;)���# n=8 �$�2��#�$ � ���$ #��#�� (�� ���$)#�� ��� ���"*��) �� �!���
��!��#����# ���� ��.� �$ #!$*'(���# k=2 �!" ����.
3. ��� �#*$ � ��� *��� ��# ���$ #��#�� �!��#� �� #!$*#)�#� �� !�*� ���
2���.
,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�5. ������ (1. �� �$+���$ " ���!��(��)
�$���������� ��������������������� �������
�� �!�����*� #���$ �#����$� SOS �$ !�'!#$ �� 4'����# �$ �� #4��:
�$ ��$���� ($� k=0,1,2,…,n *'(����$ �$ �$+���$ �� ����#*#��'� ($���
#���$ �$ ����#*#��'� ��� �$+���$ �� ���!��(�����:
nnniinn
i
nba
n
nba
nba
nba
i
nba ⋅⋅��
�
����
++⋅⋅��
�
����
+⋅⋅��
�
����
=⋅⋅��
�
����
=+
−−
= 0110
0...
10)(
���
����
k
n
�=�7��-�:
���:
iba
nbababa
iba ⋅⋅��
����
++⋅⋅���
���
+⋅⋅���
���
=⋅⋅���
���
=+= 0
...10
)(
32233021120333
0
3 333
3
2
3
1
3
0
33)( babbaabababababa
iba
ii
i+++=⋅⋅��
�
����
+⋅⋅��
�
����
+⋅⋅��
�
����
+⋅⋅��
�
����
=⋅⋅��
�
����
=+
−
=
niinn
i
nx
n
nx
nx
nx
nx
i
nx ��
�
����
++��
�
����
+��
�
����
+��
�
����
=⋅⋅��
�
����
=+
−
= ...210
1)1( 210
0
���
����
++��
�
����
+���
����
+���
����
=⋅⋅��
�
����
=+
−
=n
nnnn
i
niinn
i
n ...210
11)11(0
n
n
nnnn2...
210=��
�
����
++��
�
����
+���
����
+���
����
,. /#+���2. -�+��� ���.*����� �������%�5. ������ (2. )'�� �$+���$ %� ���#*#��%� �# ����������*�)
�%���������� ��������������������� �������
;��+ �={1,2,3,4} �"�# �� ����������*" ��� #���$ ��:
------------------------------------> C(4,0)=1 ���$)#��
---------------------> C(4,1)=4 ���$)#��
---> C(4,2)=6 ���$)#��},4,3{},4,2{},3,2{},4,1{},3,1{},2,1{
},4{},3{},2{},1{
,
{)(
∅
=AP
---> C(4,2)=6 ���$)#��
--------> C(4,3)=4 ���$)#��
--------------------------------> C(4,4)=1 ���$)#��
�:*� �� �!�����*� #���$:
� �$ (#�$ #������ ($� �� !*���� �+� �!����"*+� #���$ )���$�� � �)'��:
}
}4,3,2,1{
},4,3,2{},4,3,1{},4,2,1{},3,2,1{
},4,3{},4,2{},3,2{},4,1{},3,1{},2,1{
424
4
3
4
2
4
1
4
0
4=��
�
����
+���
����
+���
����
+���
����
+���
����
n
n
nnnn2...
210=��
�
����
++��
�
����
+���
����
+���
����
-. �#����*�(��1. �!$*�(� �!" "��$� ���$ #��#��
������������ ��������������������� �������
��/�����-��:
�� ���$ #��#�� �!" �� �!��� #!$*'(���# �!��#� �� #���$ ��$%� ���(��$%�:
�) ���$� (= �� �$� # �$�'��). �����)� "�$ �# ����� ��� # 2%���� #������# "�$ :�� #���$ "��$�.
,) ����#� ����+� ���$ #$�'�+�. �.). ')+ 5 " $����, 4 ��!���� �$ 6 !���$���� ."*���, ���
')+ 3 ����#� ����+� ���$ #$�'�+�
-) �$�2��#�$ �. :�� �$�2��#�$ � ��� ��� �#��4� ����. �"�� �# ����� ��� !#��!�+�� �!��% ��
)���$��!�$��+ ���� ��!��� �+� ��������%�.
�����#$(��:
;��+ 50 �� �$� # �$�'��$ ."*�$. �# !"���� ��"!��� �!��% ��
#!$*'4+ 5 �!" ������
��:
�# 1 ��"!�.
)���$��!�$��+ ���� ��!��� �+� ��������%�.
-#�$ � "��� ')+ �� #!$*'4+ �!" "��$� ���$ #��#�� �!��)#$ �"�� 1 ��"!�� �$"�$ ��# �**� *��� ��
#���$ � �$.%� ��$� �# ��� !�%��.
-. �#����*�(��2. �!$*�(� �!" ����#� ����+� ���$ #$�'�+�
������������ ��������������������� �������
��/�����-��:
�� �� ���$ #��#�� #���$ ����#� ����+� ���$ #$�'�+� �"�# !�'!#$ �� ����#*�!�$��+ �� !�".*��� +�
#4��:
,�3+ ���� ��.� '�� �!" ��# ����� ����+� ���$ #$�'�+� �$ ����#*�!�$% �� !�".*��� +�
����������� �# #!���*�9�. �����)� "�$ !�'!#$ �� $ ���!�$�����$ �$ !#�$��$���� ��� ����'*��
�+� ��������%� �# #!���*�9�.
�����#$(��:
�)+ 5 !���$����, 5 " $���� �$ 5 ��!���� ."*���. �# !"����
��"!��� �!��% �� #!$*'4+ 4 �!" ������.
��:
�� !�".*��� ����#*�!�$#���$ +� ���������� �# #!���*�9� �# n=3(1
!���$��, 1 " $�� �$ 1 ��!�� ."*�) �$ k=4.
>�� �$ ��"!�$ #���$:
C(n+k-1,k)=C(3+4-1,4)=C(6,4)=15 ��"!�$.
-. �#����*�(��2. �!$*�(� �!" ����#� ����+� ���$ #$�'�+�
������������ ��������������������� �������
��/�����-��:
�����)� "��� ��+ #!$*�(� �!" ����#� ����+� ���$ #$�'�+� �$ �#� ���#���$ � !��&!"�#�� ��#
���$ #��#�� �� �!��#� �� #!���*�2�#� �# "*#� �$� �'�#$�.
�"�# #���!�3+ �� «!��.*����$ "» ���$ #��#�� �$ !����+ ($’ ���" �$�2��#�$ '� !#�$!�%�#$� "���
�2��� �� !"�#� 2��'� �!��#� �� #!$*#)�#�. �� �#*$ " �!��'*#��� �� !�� �9#$ �!" ��� ��"�� ���
�����������
�����#$(��:
�)+ 5 !���$����, 5 " $���� �$ 2 ��!���� ."*���. �# !"���� ��"!��� �!��% ��
#!$*'4+ 4 �!" ������.
��:
�$� ���+ !#�$!�%�#$� ($� ���� ��!���� ."*���:
� �� ')+ 0 ��!���� ."*���: �"�# ')+ C(2+4-1,4)=C(5,4) *��#$�
� �� ')+ 1 ��!�� ."*�. �"�# �$ �!"*�$!�$ 3 #!$*'(����$ �# C(2+3-1,3)=C(4,3) ��"!���
� �� ')+ 2 ��!���� ."*���. �"�# �$ �!"*�$!�$ 2 #!$*'(����$ �# C(2+2-1,2)=C(3,2)
��"!���.
>�� �!" ��� ��"�� ��� ����������� �$ *��#$� #���$:
C(5,4)+C(4,3)+C(3,2)=5+4+3=12
-. �#����*�(��3. �$���)$ '� �!$*�('�
������������ ��������������������� �������
��/�����-��:
# �!�$#� # 2+���#$� 3��#���$ �� #!$*'4���# �$���)$ � �!�$� ���$ #��#�� �!" ��� ��.� ($� ��
���� #������# �!�$#� ����#�. �)�� �� *'�# "�$ )+��3���# �� ���$ #��#�� ($� �� ���� #�-
�����# �$� ����#�.
�"�# #!$*'(���# �$���)$ � �� ���$ #��#�� �+� ����+�, �2�$�%���� ���� #!"�#�� 2��� ���� !��
#!$*'4��#. �� �#*$ " �!��'*#��� �� !�� �9#$ �!" ��� ��"�� ��� ($���'���.
�����#$(��:
�)+ 20 �$�2��#�$ � !�$)���$� !�� �'*+ �� �� ��$���+ ��� 3 ���9$� ���, %��# �� 1� ��
!��#$ 6, �� 2� �� !��#$ 9 �$ �� 3� �� !��#$ 5 !�$)���$�. �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� (��#$ �
)+�$��"�;
��:
� -$� �� 1� ���9$ ')+ C(20,6) ��"!���
� -$� �� 2� ���9$ ')+ C(14,9) ��"!���
� -$� �� 3� ���9$ ')+ C(5,5) ��"!���
>�� �!" ��� ��"�� ��� ($���'��� �$ ����*$ �� ��"!�$ #���$: C(20,6)?C(14,9)?C(5,5)
�����)�! �� �$ ����#� !�� ���� #��3+ #���$ "��$#�, !�'!#$ �� �$�$�'�+ �# �� !���(���$ " ���
!*����� �+� ����+� !�� #���$ "��$#�. ���� � !#��!�+�� �!�$�#� +��"�� (�%�� �$���4#+� ($’
���" �� ��� ����������# !*��+� �# #!"�#�� ������.
-. �#����*�(��4. �#��!*� �$ �#�$��$����
� ���������� ��������������������� �������
��/�����-��:
# �� #�'� # 2+���#$� �#� �� �!�����# �� )���$��!�$�����# �!#��#��� �!�$�� �!" ����
��!��� *"(+ ��� �!��4�� �!�$�� !#�$��$����.
�$� !#�$!�%�#$� ���'� �!��# �� !�".*��� �# �!�!��.*����� �$ � #2�"����# �# ���� ��"!���
!�� ���*����# ��� !���(���#�� ������, ��*���:
���# �$� ������# �$�2��#�$ '� !#�$!�%�#$� �$ ������3���# �$� *��#$� �# ��� ��"�� �����������
�����#$(��:
;)+ 5 !���$����, 5 " $���� �$ 5 ��!���� ."*���. �"��$ ��"!�$ �!��)��� ($� �� ��+
�$� #!$*�(� 4 ."*+� �# ��� !#�$��$��" �� #!$*'4+ ���*�)$���� 2 !���$���� ."*���
��:
�$� ���+ !#�$!�%�#$� ($� ���� !���$���� ."*���:
� �� ')+ 2 !���$���� ."*���: �"�# ')+ C(2+2-1,2)=C(3,2)=3 *��#$�
� �� ')+ 3 !���$���� ."*���. �"�# ')+ C(2+1-1,1)=C(2,1)=2 *��#$�
� �� ')+ 4 !���$���� ."*���. �"�# ')+ 1 *���
>�� �!" ��� ��"�� ��� ����������� �$ ��"!�$ #���$ 3+2+1=6
���# �$� ������# �$�2��#�$ '� !#�$!�%�#$� �$ ������3���# �$� *��#$� �# ��� ��"�� �����������
���# ���� #��3���# ��� *��� �# 2��#$� (����$�) �$ ������3���# �$� *��#$� �# ��� ��"��
($���'���.
�. �� ��#$�
�� ��� ����"���� 1
!�*�(���# �$� � "*���#� !��"���#�:
�!���������� ��������������������� �������
=
=
=
=
=
!4)
!3)
!2)
!1)
!0)
E
D
C
B
A
=
=
=
=
!7)
!6)
!5)
!4)
H
G
F
E
�. �� ��#$�
�� ��� ����"���� 2
!�*�(���# �$� � "*���#� !��"���#�:
�"���������� ��������������������� �������
=
=
=
=
=
)2,4()
)1,4()
)0,4()
)2,5()
)3,5()
CE
CD
CC
PB
PA
=
=
=
=
)3,10()
)4,4()
)3,4()
)2,4()
CH
CG
CF
CE
�. �� ��#$�
�� ��� ����"���� 3
�!��#�4�# �� �#%����:
�#���������� ��������������������� �������
���
����
−=��
�
����
kn
n
k
n
�. �� ��#$�
��+���#$� 1
���#��$ �� ����*� A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
1. �� �!�����*� ��� A �# 5 ���$)#�� #���$
2. �� �!�����*� ��� A �# 3 ���$)#�� #���$ *$("�#�� �!" �� �!�����*� ��� � �# 7
�$���������� ��������������������� �������
���
����
5
10
2. �� �!�����*� ��� A �# 3 ���$)#�� #���$ *$("�#�� �!" �� �!�����*� ��� � �# 7
���$)#��
3. �� �!�����*� ��� A �# 4 ���$)#�� #���$ !#�$��"�#�� �!" �� �!�����*� ��� �
�# 6 ���$)#��
4. �� �!�����*� ��� � #���$ 210
�. �� ��#$�
��+���#$� 2
# �$� ��( '���+�� ����#�')��� 6 ����#� �$ 3 (���� #�. :*�$ �$ ����#� ����*������
�#��4� ���� )#$��9��, "*#� �$ (���� #� ����*������ �#��4� ���� )#$��9�� �$ 4 �!"
���� ����#� ����*������ )#$��9�� �# 2 �!" �$� (���� #�
1. �$ )#$��9�#� �#��4� ����%� #���$ 15.
�%���������� ��������������������� �������
2. �$ )#$��9�#� �#��4� (���$ %� #���$ 9.
3. �$ )#$��9�#� �#��4� ����%� �$ (���$ %� #���$ 8.
4. � ����*$ "� ��$��"� )#$��9$%� #���$ 27.
�. �� ��#$�
��+���#$� 3
# �$� ���!��*� �!��)��� 52 2�**� (4 )�%���� �# 13 )���$� �� ��# '��). ���
#!$*�(� ��� �#� #��$�2'�#$ � �#$��.
1. � ��$��"� �+� #!$*�(%� ��� 2�**+� '��$ %��# �$ �� ��� �� #���$ �!��$�
#���$ 13×12.
������������ ��������������������� �������
2. � ��$��"� �+� #!$*�(%� 5 2�**+� ��� ���!��*�� %��# �# ���� �� �!��)���
�$ �$ 4 ����$ ��� ���!��*�� #���$ .
3. � ��$��"� �+� #!$*�(%� 5 2�**+� ��� ���!��*�� %��# �# ���� �� �!��)���
�$ 4 ����$ ��� ���!��*�� �$ ��� ����� #���$ 4.
4. � ��$��"� �+� #!$*�(%� 5 2�**+� ��� ���!��*�� %��# �# ���� �� �!��)���
3 ����$ �$ 2 ����#� #���$
���
����
4
52
���
����
⋅���
����
2
49
3
52
�. �� ��#$�
��+���#$� 4
�$ ��"!�$ #!$*�(�� 2 ."*+� �!" 7 �$� # �$�'���� ."*��� #���$ ���$ �#:
1. ���� ��"!��� #!$*�(�� 2 .$.*�+� �!" 6 ���*��� (#!$��'!����$ #!���*�9#$�)
������������ ��������������������� �������
2. �� !*���� �+� �!����"*+� �# 2 ���$)#�� ��� ���"*�� {1,2,3,4,5,6,7}
3. ��� ����#*#��� ��� x2 ���� !�������� (1+x)7
4. �� �$�2��#�$ � �!��#*'����� ��� ��9�� 2 3��$%�.
�. �� ��#$�
�2����(� 1
;)���# ���� �$��#�� ��� 4 '����� �+� 2 #��%, 5 '����� ��� 1 #��% �$ 7 '�����
�+� 0.50 #��%. �# !"���� ��"!��� �!�����# �� #!$*'4���# 3 '�����;
������������ ��������������������� �������
�. �� ��#$�
�2����(� 2
# '�� �*��$ �!��)��� 30 �!�*#� " $��� )�%�����, 30 �!�*#� !���$��� )�%�����
�$ 30 �!�*#� �!*# )�%�����. !�*�(���# ���� ��"!��� �# ���� �!����� �!�����# ��
#!$*'4���# 10 �!�*#�, �� �#� ')#$ ������� � �#$�� #!$*�(�� �+� �!�*%�. �!���*�.#�#
�� #�%���� �� ��� �*��$ �!��)��� 30 �!�*#� " $��� )�%�����, 30 �!�*#�
!���$��� )�%����� �$ 5 �!�*#� �!*# )�%�����.
������������ ��������������������� �������
�. �� ��#$�
�2����(� 3
�� �'��#�� ��2$� ��� .$.*$��� �� ��� �� ��!��#������# 100 �$�2��#�$ � .$.*�� '��$
%��# �� 1� ��2$ �� ')#$ 40 .$.*��, �� 2� ��2$ �� ')#$ 30 .$.*��, �� 3� ��2$ �� ')#$ 20
.$.*�� �$ �� 4� ��2$ �� ')#$ 10 .$.*��. �"��$ ��"!�$ �!��)��� ($� �� #!$*'4���# !�$�
.$.*�� �� �!��� �# ��# ��2$;
� ���������� ��������������������� �������
�. �� ��#$�
�2����(� 4
;��+ 4 !���$�#�, 4 " $�#� �$ 4 ����#� �!�*#�. �� �!�*�($����� �$ ��"!�$ ($� ���
#!$*�(� 4 �!�*%� '��$ %��#:
1. �� #!$*#)���� �� !�*� 2 !���$�#� �!�*#�
2. �� #!$*#)���� � �$.%� 2 !���$�#� �!�*#�
3. �� #!$*#)���� ���*�)$���� 2 !���$�#� �!�*#�
�!���������� ��������������������� �������
�. �� ��#$�
�2����(� 5
�) � coach ��� ���$ �� �����2����� �'*#$ �� ��#.��#$ 11��� �# ������� 3-5-2(3
�����$ �� , 5 �'��$ �$ 2 #!$�#�$ ��). �"��$ �$ ��"!�$ ($� �� ��#$ ��� #!$*�(� �+�
!�$)�%� ���, �� ')#$ ���� �$��#�� ��� 7 �����$ ���, 8 �'���� �$ 4 #!$�#�$ ���.
,) ;)���# 20 ��$����'�#� �!�*#� �$ 4 ���$� �# )+���$ "���#� 2,5,6,7
�"���������� ��������������������� �������
,) ;)���# 20 ��$����'�#� �!�*#� �$ 4 ���$� �# )+���$ "���#� 2,5,6,7
�������$)�. �� �!�*�(��#�# ���� �������� ��"!��� ��!��'����� �+� �!�*%�
��� ���$�.
-) ;)+ 12 �$�2��#�$ � .$.*�� �$ ��#$� 2�$���'�. /'*+ �� �%�+ 5 .$.*�� ����
1� 2�$����, 3 .$.*�� ���� 2� 2�$���� �$ 4 .$.*�� ���� 3� 2�$����. �# !"����
��"!��� �!��#� �� (��#$ � )+�$��"� �+� .$.*�+�;
�. �� ��#$�
�2����(� 6
� ��� �*� �$�� ��4�� 10 !�$�$%� �'*#$ �� )+���#$ �� !�$�$� �# !'��# ����#� �+� ���
��"�+� ($� ��� # �'*#�� �!�$�� �������$"�����
�) �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� �$ ����#� ')��� '�� )��� ���$��$ " )�%�� �
��#���. ��*��� #���$ � !���$��, � " $��, � ���$��, � ����� �$ � ��!��
�����.
,) �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� "*#� �$ ����#� #���$ " $��� )�%�����;
-) �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� �$ ��#�� ����#� #���$ " $��� )�%����� �$ �$
�#���������� ��������������������� �������
-) �"��$ ��"!�$ �!��)��� �� �$ ��#�� ����#� #���$ " $��� )�%����� �$ �$
��� ����#� #���$ ��!��� )�%�����;