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FACULDADES INTEGRADAS “CAMPOS SALLES”
Prof. Ms. Paulo Cezar Pagnossin
ESTIMANDO FUNÇÕES COM O MÉTODO DOS MÍNIMOS
QUADRADOS
Oficina de Matemática
Oficina de Matemática
•Estimando funções com o Método dos Mínimos Quadrados:• Funções;• Dados Reais;• Regressão;• Diagrama de Dispersão;• O Método dos Mínimos Quadrados;• Prática.
Estimando funções com o Método dos Mínimos Quadrados
• PRODUTO CARTESIANO:• Dado o conjunto A e o conjunto B, o
produto cartesiano A X B é definido como:
• RELAÇÃO:• É qualquer subconjunto de um Produto
Cartesiano.• FUNÇÕES:
• É toda Relação em que todos os elementos do domínio tem uma e somente uma imagem no contradomínio.
• Exemplo: • Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e
B = {2, 4, 6}• PRODUTO CARTESIANO:
• E = A X B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6) }
• RELAÇÃO:• C = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6) }• D = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6) }
• FUNÇÃO: y = f(x) = 2.x• G = { (1, 2), (2, 4), (3, 6) }
• DADOS REAIS• São os dados observados na vida
real, como por exemplo os preços praticados de um determinado produto, a quantidade vendida de um produto, a quantidade fabricada, os custos de um produto, os impostos praticados etc.
• Esses dados são colhidos nos registros históricas das empresas, em entidade de classe, em órgãos oficiais de pesquisa etc.
• EXEMPLO DE DADOS REAISCotação mensal do ovo extra branco no atacado – caixa de 30 ovos – Brasília - 2007 e 2008.
• EXEMPLO DE DADOS REAIS
• REGRESSÃO• Em estatística, Regressão é uma técnica que
permite explorar e inferir a relação de uma variável dependente (variável de resposta) com variáveis independentes específicas (variáveis explicatórias).
• A Análise da Regressão pode ser usada como um método descritivo da análise de dados (como, por exemplo, o ajustamento de curvas) sem serem necessárias quaisquer suposições acerca dos processos que permitiram gerar os dados.
• Regressão designa também uma equação matemática que descreva a relação entre duas ou mais variáveis.
• O método de estimação mais amplamente utilizado é o MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS.
• DIAGRAMA DE DISPERSÃO
• O Diagrama de Dispersão é um gráfico onde pontos no espaço cartesiano XY são usados para representar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas medidas em cada elemento do conjunto de dados.
• EXEMPLO DE DIAGRAMA DE DISPERSÃO
• O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS• MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Onde: Y é a variável dependente e X é a variável independente ou de controle.O método do mínimos quadrados irá estimar o valor de , transformando o nosso modelo em:
Onde: é uma estimativa de Yé uma estimativa de é uma estimativa de
• O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS• Devemos encontrar uma reta Y = a +
b.X que torne os desvios o menor possível, ou seja, que nossa equação seja o mais próxima possível do conjunto de pontos reais, isto equivale a querermos minimizar a discrepância total entre os pontos observados e a reta estimada.
• Em linguagem matemática:= mínimo seja mínimo
• Derivando M em relação a a e b, temos
• Derivando M em relação a a e b, temos
• Para que M seja mínimo e dever ser ambos igualado a zero.
Ou seja
Para encontrarmos os valores de a ou b, resolvemos o sistema acima ou utilizamos as formulas:
Para encontrarmos os valores de a ou b, resolvemos o sistema anterior ou utilizamos as formulas (extraídas do sistema):
• Sendo:• e
• PRÁTICA: Consultando os dados históricos de uma determinada empresa encontramos para a demanda de um produto os dados abaixo. Estime uma função de primeiro grau utilizando o Método dos Mínimos Quadrados.Quantidade
Demandada (X) Preço (Y)15 8418 8319 7920 8530 7035 6042 5945 5347 51
Diagrama de Dispersão
10 15 20 25 30 35 40 45 5040
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
Preço
Quantidade Demandada X
Preç
o Y
Diagrama de Dispersão
10 15 20 25 30 35 40 45 5040
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
QuantidadeDemandada
(X)Preço
(Y) X2 Y2 X.Y
15 84
18 83
19 79 20 85 30 70 35 60 42 59 45 53 47 51
QuantidadeDemandada
(X)Preço
(Y) X2 Y2 X.Y
15 84 225 7.056 1.26018 83 324 6.889 1.49419 79 . . . 20 85 . . .30 70 . . .35 60 . . .42 59 . . .45 53 . . .47 51 . . .
QuantidadeDemandada (X)
Preço(Y) X2 Y2 X.Y
15 84 225 7.056 1.26018 83 324 6.889 1.49419 79 361 6.241 1.50120 85 400 7.225 1.70030 70 900 4.900 2.10035 60 1.225 3.600 2.10042 59 1.764 3.481 2.47845 53 2.025 2.809 2.38547 51 2.209 2.601 2.397
271 624 9.433 44.802 17.415
• O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS• Para estimarmos uma função de
segundo grau utilizamos a Regressão Linear Multipla
Onde: Y é a variável dependente e X é a variável independente ou de controle.O método do mínimos quadrados irá estimar o valor de , transformando o nosso modelo em:
Onde: é uma estimativa de Yé uma estimativa de é uma estimativa de é uma estimativa de
Aplicando o mesmo método dos mínimos quadrados chegamos às seguintes formulas:
Sendo: ; e
• PRÁTICA: Consultando os dados históricos de uma determinada empresa encontramos para a produção de um produto os dados abaixo. Estime uma função de segundo grau utilizando o Método dos Mínimos Quadrados.Quantidade Produzida
(X) Custo Total (Y)16 46520 63519 58025 88027 99033 137041 199046 245244 2260
Diagrama de Dispersão
15 20 25 30 35 40 45 500
500
1000
1500
2000
2500
Custo
Quantidade
Produzida (X)
CustoTotal (Y)
X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2
16 46520 63519 580
25 880
27 990
33 1.370
41 1.990
46 2.452
44 2.260
Quantidade
Produzida (X)
CustoTotal (Y)
X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2
16 465 256 216.225 7.440 4.096 65.536 119.04
03.459.6
0020 635 400 403.22
5 12.700 8.000 160.000
254.000
8.064.500
19 580
25 880
27 990
33 1.370
41 1.990
46 2.452
44 2.260
Quantidade
Produzida (X)
CustoTotal (Y) X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2
16 465 256 216.225 7.440 4.096 65.536 119.040 3.459.600
20 635 400 403.225 12.700 8.000 160.000 254.000 8.064.500
19 580 361 336.400 11.020 6.859 130.321 2.09.380 6.391.600
25 880 625 774.400 22.000 15.625 390.625 550.000 19.360.000
27 990 729 980.100 26.730 19.683 531.441 721.710 26.462.700
33 1.370 1.089 1.876.900 45.210 35.937 1.185.92
11.491.93
061.937.70
0
41 1.990 1.681 3.960.100 81.590 68.921 2.825.76
13.345.19
0162364.1
00
46 2.452 2.116 6.012.304 112.792 97.336 4.477.45
65.188.43
2276.565.9
84
44 2.260 1.936 5.107.600 99.440 85.184 3.748.09
64.375.36
0224.734.4
00
271 11.622 9.193 19.667.254 418.922 341.641 13.515.1
5716.255.0
42789.340.5
84