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P R O G R A M A T R A I N I N G
G U Í A N ° 1 1
Á N G U L O S E N L A C I R C U N F E R E N C I A
C u r s o : Matemática
Material N° PTR-11
2
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O
y una distancia r, se llama
circunferencia de centro O y radio r al
conjunto de todos los puntos del plano
que están a la distancia r del punto O.
RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro
de la circunferencia y un punto de ésta.
TANGENTE: Recta que intersecta a la
circunferencia en un sólo punto. T punto de
tangencia.
Medida angular de un arco: En toda
circunferencia la medida angular de un
arco es igual a la medida del ángulo del
centro que subtiende dicho arco.
ARCO: Es una parte de la circunferencia
determinada por dos puntos distintos de ella. Se
mide en sentido anti horario (grados positivos).
ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la
circunferencia y sus rayos son radios de la misma. Mide lo mismo que el arco
que lo contiene.
SECANTE: Recta que intersecta en dos
puntos a la circunferencia.
CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos
puntos en una circunferencia.
DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la
circunferencia. Es la cuerda de mayor longitud.
cuerda
diámetro
secante
tangente
radio
arco
C
A
Q M
P
B
D E
T
O
arco DE = EOD =
E
D O
D
E
F
I
N
I
C
I
O
N
E
S
r
O
1
O: Centro r: Radio
3
+ = 180
+ = 180
T
E
O
R
E
M
A
S
Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un
mismo arco tienen igual medida.
=
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos
opuestos son suplementarios.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el
punto de tangencia.
QP tangente en P QP OP
Dos cuerdas paralelas determinan arcos congruentes.
(Arco DA = Arco BC).
A
C
B
D
O
P
Q r
O A B
C
BCA = 90°
A
C
B
D
4
A
N
G
U
L
O
S
E
N
L
A
C
I
R
C
U
N
F
E
R
E
N
C
I
A
El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma
por la intersección de dos cuerdas, y su medida corresponde a la
semisuma de los arcos que subtiende.
B A
C D
=
arco BA + arco CD
2
El ángulo exterior de la circunferencia es aquel que tiene su
vértice en un punto exterior de la circunferencia, cuyos rayos
pueden ser rectas tangentes o secantes a la misma y su medida
corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende.
P
B
A
C
D
El ángulo semi-inscrito de la circunferencia es aquel cuyo
vértice está sobre la circunferencia, sus rayos lo forman una cuerda
y una recta L tangente en A, su medida corresponde a la mitad del
arco que subtiende.
C
A L
= arco AC
2
2
arcoAB-arcoDC = β
5
1. AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 1). Si BOA = 2COB,
entonces el CDB mide
A) 30º
B) 35º
C) 45º
D) 60º
E) 120º
2. En la figura 2, O es el centro de la circunferencia. Si BE // CD y COA = 110º,
entonces ¿cuánto mide ?
A) 55º
B) 110º
C) 125º
D) 135º
E) 140º
3. En la circunferencia de centro O, de la figura 3, AB es diámetro. Si ABC = 20º y
DCB = 50º, ¿cuánto mide el ODC?
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 70º
4. En la figura 4, se tiene un hexágono regular y un triángulo, inscritos a una
circunferencia. Si C es un punto del arco AB, entonces + =
A) 30º
B) 80º
C) 120º
D) 130º
E) 150º
fig. 2
E
O
B
D
C
A
fig. 1
A B
E
D C
O
B A C
fig. 4
fig. 3
A
C
B
D
O
6
5. En la circunferencia de centro O (fig. 5), AOB = 2 BOC y BDC = 20º. ¿Cuánto
mide el ángulo BAO?
A) 50º
B) 40º
C) 20º
D) 60º
E) 80º
6. En la figura 6, la recta L es tangente en C a la circunferencia circunscrita al triángulo
ABC, el valor de + es
A) 70º
B) 90º
C) 100º
D) 120º
E) 140º
7. La recta L tangente a la circunferencia en el punto A (fig. 7). Si el triángulo ABC es
isósceles de base AB, entonces el DAC mide
A) 20º
B) 25º
C) 35º
D) 40º
E) 70º
8. En la circunferencia de diámetro AC (fig. 8), se tiene que DE EB , si el arco DA mide
100°, el ángulo ACB mide
A) 80º
B) 50º
C) 40º
D) 20º
E) 10º
A
L
O
B
C
fig. 6 20o
fig. 7
B
A
C 40º
D
L
O
A B
C
fig. 5
D
C
A
B
D
E
O
fig. 8
7
9. En la figura 9, la recta PQ es tangente en N a la circunferencia que pasa por L y M. Si
LN LM y la recta LM intersecta a la recta PQ en R, entonces la medida del LRP en
función de es
A) 180º – 3
B) 3 – 180°
C) 180º – 2
D) 180º –
E) 90º – 2
1
(Fuente: DEMRE: Admisión 2012)
10. En la figura 10, AD es diámetro de la circunferencia de centro O. Si AC // ED ,
AB = BC y ABC = 130°, entonces la medida del ADE es
A) 20º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 70º
11. En la figura 11, el perímetro del triángulo ABC circunscrito a la circunferencia es 76 cm,
donde D, E y F son los puntos de tangencia. Si AF = 13 cm y DB = 10 cm, entonces la
medida del segmento CF es
A) 13 cm
B) 12,3 cm
C) 13,25 cm
D) 30 cm
E) 15 cm
(Fuente: DEMRE: Admisión 2014)
12. Los lados AB y BC del triángulo ABC son tangentes a la circunferencia de centro O en P
y en C (fig. 12). Si el ángulo BAC mide 40º, ¿cuál es la medida del ángulo CPB?
A) 50º
B) 55º
C) 60º
D) 65º
E) 80º
P
L
M
N R Q
fig. 9
A B
C
E F
D
fig. 11
E
D
A B
O
C
fig. 10
O
A P B
C
fig. 12
8
13. En la circunferencia de centro O de la figura 13, PA y PB son tangentes en A y B,
respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
A) 25º
B) 50º
C) 65º
D) 100º
E) 130º
14. En la circunferencia de la figura 14, la recta L es tangente en B, el ángulo DBC mide
50º y el arco EB mide 140º, entonces el valor de x + y es
A) 70º
B) 80º
C) 90º
D) 100º
E) 120º
15. O y O’ son los centros de las circunferencias de la figura 15. Si DAC = 40º, entonces
¿cuánto mide el ángulo ACD?
A) 10º
B) 20º
C) 25º
D) 40º
E) 50º
16. En la circunferencia de centro O (fig. 16), BOA = 2ABD. ¿Cuánto mide el ángulo
BCA?
A) 22,5º
B) 30º
C) 40º
D) 45º
E) 90º
A O O
’
C
D
B fig. 15
fig. 16
A
O
B
D C
A
B
P O C
fig. 13
50º O
y
L
B
x C
D
E
fig. 14
9
17. En la figura 17, DE es tangente a la circunferencia de centro O, en D. ¿Cuál es el valor
del x?
A) 63º
B) 36º
C) 26º
D) 18º
E) 12º
18. En el cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de la figura 18, – = 120º. Si
= 2
, ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 30º
B) 75º
C) 105º
D) 150º
E) 155º
19. En la figura 19, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si = 145° y
= – , entonces es igual a
A) 35º
B) 45º
C) 55º
D) 60º
E) 70º
20. En la circunferencia de centro O de la figura 20, AB es diámetro y arco CA arco BD.
Si el arco CA mide 3m + 10º y el ángulo ADC mide 3m – 10º, entonces x + y =
A) 170º
B) 160º
C) 150º
D) 140º
E) 120º
21. En la circunferencia de centro O (fig. 21), AE // BD . Si el ángulo COD mide 140º,
entonces ¿cuánto mide el ángulo AEC?
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
D
A E O
126º x
fig. 17
x
A
D
B
C
fig. 18
O
C fig. 21
B
D
A
E
x A
O B
C D y
fig. 20
C
B
D
fig. 19
A
10
22. AD y BC son cuerdas que se intersectan en E (fig. 22). Si el arco BA mide 60º y el
arco CD mide 100º, ¿cuánto mide el ángulo ?
A) 20º
B) 60º
C) 80º
D) 100º
E) 160º
23. ¿Cuál es la medida del ángulo x en la circunferencia de la figura 23?
A) 18º
B) 20º
C) 22º
D) 36º
E) 44º
24. En la circunferencia de la figura 24, ángulo CPA mide 40º, si el arco AC es el triple del
arco DB, entonces ¿cuánto suman los arcos CD y BA?
A) 40º
B) 80º
C) 120º
D) 160º
E) 200º
25. En la circunferencia de centro O de la figura 25, AD y AC son secantes,
DPC = 70° y DAC = 20°, entonces x mide
A) 15º
B) 25º
C) 35º
D) 45º
E) 55°
26. En la circunferencia de la figura 26, el AEB = 70º, el CFD = 30º, entonces la medida
angular del arco CD es
A) 20º
B) 40º
C) 50º
D) 80º
E) 100º
fig. 22
A
E
C
D
B
fig. 24
A
B
C
D
P
P
x
E
A
D
C
fig. 25
B
A
B C
D
E F
fig. 26
x
40º fig. 23
36º
11
27. En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 27, CD // AB . ¿Cuánto
mide el ADC?
A) 9º
B) 10º
C) 18º
D) 20º
E) 30°
28. Si AB es el diámetro de la circunferencia de la figura 28. Se puede determinar la
medida del DAB, si:
(1) La medida angular del arco AD es 80º.
(2) La medida angular del arco CA = 100º.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
29. En la circunferencia de centro O y diámetro AC de la figura 29, se puede calcular la
medida del BDO, si:
(1) arco DA arco AB = 20º
(2) DBC = 80º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
30. En la figura 30, AB es diámetro de la circunferencia de centro O. Se puede saber la
medida del DBC, si:
(1) AD AC OC
(2) OCA AOC.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
A
O
D C
B
fig. 29
fig. 30
O
D
A
B
C
D
A
B
C
D
fig.27
O
fig. 28
A
D
B
C
12
RESPUESTAS
DMDS- PTR-MA11
1.A 6.E 11.E 16.D 21.C 26.B
2.C 7.E 12.D 17.D 22.C 27.C
3.B 8.B 13.C 18.C 23.C 28.A
4.E 9.B 14.B 19.E 24.E 29.A
5.A 10.C 15.C 20.D 25.D 30.A
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