プロジェクト学習2.  2つ以上の箱の作れる

展開図理学部情報数理学科

大西建輔

今日は, 箱(直方体)を作る話

• 各グループで, 様々な大きさの直方体を作って, 色々な展開図を確認してみよう. 

• 直方体毎に次のことを記録• 一辺の長さの組, • 頂点の数, • 辺の数, • 面の数, • 体積, • 表面積

直方体の情報

長さの組 頂点の数 辺の数 面の数 体積 表面積

(1,1,2) 8 12 6 2 10

直方体の情報

長さの組 頂点の数 辺の数 面の数 体積 表面積

(1,1,2) 8 12 6 2 10

….

これらの情報を使い, • 1つの展開図から

• 2つ以上の直方体を

作るには何が必要か考えてみよう.

1つの展開図で2つの直方体を作るのに必要なことは

• 同じ表面積 (同じ数のパネルを使う)• 頂点の数、辺の数、面の数はどれも同じ

• 同じ表面積でも体積は違う

• 辺の長さと体積の関係は? 長さの積 = 体積

….….….

• 辺の長さと表面積は?⇒ 2つの辺の組で作った立体の表面積が等しい

1つの展開図で2つの直方体を作るのに必要な条件(必要条件)直方体の辺の長さを(a,b,c), (a’, b’, c’)とする.ab+bc+ca = a’b’+b’c’+c’a’ が成り立つことが必要条件

問題が成り立つために絶対に必要な条件

b

c

aa’

b’

c’

[問題] 直方体で, 

• 2通りの辺の整数の長さの組を持つ表面積Sを見つけなさい,

• 表面積Sを決め, 2通りの辺の整数の長さの組を持つかどうか調べなさい.

表面積 6 ⇒ (1,1,1) しかない

表面積 7 ⇒ ???表面積 8 ⇒ ???

1

1

1

表面積と長さの組

表面積 長さの組 表面積 長さの組

6 26

10 28

14 30

16

18

22

表面積と長さの組

表面積 長さの組 表面積 長さの組

6 (1,1,1) 26 (1,1,6)

10 (1,1,2) 28 (1,2,4)

14 (1,1,3) 30 (1,1,7), (1,3,3)

16 (1,2,2) 34 (1,1,8), (1,2,5)

18 (1,1,4) 38 (1,1,9), (1,3,4)

22 (1,1,5), (1,2,3) 46 (1,1,11), (1,2,7), (1,3,5)

辺展開図 (2つの直方体)

表面積22, 直方体(1,1,5), (1,2,3)Biedl, Chan, Demaine, Demaine, Lubiw, Munro, Shallit, 1999

辺展開図 (2つの直方体)

表面積22, 直方体(1,1,5), (1,2,3)Biedl, Chan, Demaine, Demaine, Lubiw, Munro, Shallit, 1999

辺展開図 (2つの直方体)

表面積22, 直方体(1,1,5), (1,2,3)Biedl, Chan, Demaine, Demaine, Lubiw, Munro, Shallit, 1999

辺展開図 (2つの直方体)

表面積22, 直方体(1,1,5), (1,2,3)Biedl, Chan, Demaine, Demaine, Lubiw, Munro, Shallit, 1999

表面積22, (1,1,5), (1,2,3)の展開図

• 2263通り(Abel, Demaine, Demaine,Matsui, Rote, Uehara, 2011)

• 先ほど以外の展開図を考えてみよう. • 先ほどのものを変えればできるかも?

表面積30, 直方体(1,1,7), (1,3,3)Xu, Horiyama, Shirakawa, Uehara, 2015

表面積30, (1,1,7), (1,3,3)の展開図

• 1076通り (Xu, Horiyama, Shirakawa, Uehara, 2015)• スパコンを2ヶ月使って, 全探索

• 7通り (Xu, Horiyama, Shirakawa, Uehara, 2015)• (1,1,7), (1,3,3), (√5, √5, √5)

• 表面積30, (1,1,7), (1,3,3)の展開図を探してみよう

表面積21, 直方体(1,1,5), (1,2,3), ???

辺展開図(3つ?の直方体)

3つの箱が作れる展開図

• 表面積 1792 立方体(2,13,58), (7,14,38), (7,8,56)(Shirakawa, Uehara, Feb, 2011)

• これ以外にないか考えてみよう.• 表面積 46, (1,1,11), (1,2,7), (1,3,5)• 表面積 70, (1,1,17), (1,2,11), (1,3, 8), (1,5,5)あたりが可能性あり. (未発見)