Embed Size (px)
Citation preview
ÁREA EN COORDENADAS POLARESTEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL
INTRODUCCIÓN
Si 𝑓 es continua y no negativa en el intervalo 𝛼, 𝛽 , 0 < 𝛽 − 𝛼 < 2𝜋, entonces elparea de la región limitada (o acotada) por la gráfica de 𝑟 = 𝑓 𝜃 entre las rectasradiales 𝜃 = 𝛼 y 𝜃 = 𝛽 está dada por:
𝐴 =1
2 𝛼
𝛽
𝑓 𝜃 2𝑑𝜃 =1
2 𝛼
𝛽
𝑟2𝑑𝜃 0 < 𝛽 − 𝛼 < 2𝜋
EJEMPLO APLICADO PARA HALLAR EL ÁREA DE UNA REGIÓN POLAR
EJEMPLO: Encontrar el área de una región polar de 𝑟 = 3 cos 3𝜃.
SOLUCIÓN:
Primero se despeja la variable “𝜃” de la función “𝑟”:𝑟 = 3 cos 3𝜃
0 = 3 cos 3𝜃
0
3= cos 3𝜃
0 = cos 3𝜃
cos 3𝜃 = 0
cos 3𝜃 = 0
3𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos 0
3𝜃 = ±𝜋
2
𝜃 = ±𝜋
6
−𝜋
6< 𝜃 <
𝜋
6
𝑟 = 3 cos3𝜃 , 𝛼 = −𝜋
6, 𝛽 =
𝜋
6
Sustituyendo en la ecuación:
𝐴 =1
2 𝛼
𝛽
𝑟2𝑑𝜃 =1
2 −𝜋6
𝜋63 cos 3𝜃 2𝑑𝜃 =
1
2 −𝜋6
𝜋69 cos2 3𝜃 𝑑𝜃
𝐴 =9
2 −𝜋6
𝜋6cos2 3𝜃 𝑑𝜃 =
9
2 −𝜋6
𝜋6 1
2+1
2cos 6𝜃 𝑑𝜃
=9
2
1
2𝜃 +
1
12𝑠𝑒𝑛 6𝜃
−𝜋6
𝜋6=9
2
𝜋
12+1
12𝑠𝑒𝑛
6𝜋
6− −
𝜋
12−1
12𝑠𝑒𝑛
6𝜋
6
=9
2
𝜋
12+1
12𝑠𝑒𝑛 𝜋 +
𝜋
12+1
12𝑠𝑒𝑛 𝜋
=9
2
2𝜋
12+2
12𝑠𝑒𝑛 𝜋 =
18𝜋
24+18
24𝑠𝑒𝑛 𝜋 =
18
24𝜋 =
3
4𝜋 𝑢2
𝐴 =18
24𝜋 𝑢2 =
3
4𝜋 𝑢2
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ÁREA DE UNA REGIÓN
𝑟 = 3 cos 3𝜃
ÁREA DE UNA CURVA UTILIZANDO LAZOS INTERIOR Y EXTERIOR PARA UN CARACOL
EJEMPLO: Hallar el área limitada por una sola curva: Región comprendida entre los lazos interior y exterior de un caracol 𝑟 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
SOLUCIÓN:
Para el lazo interior, se inicia con igualar a cero la ecuación
𝑟 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃0 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =1
2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛1
2
𝜃 =𝜋
6𝑦 𝜃 = 𝜋 −
𝜋
6=5
6𝜋
𝜋
65𝜋
6
Tomando los valores de los ángulos obtenidos anteriormente:
𝛼 =𝜋
6𝑦 𝛽 =
5𝜋
6
𝐴𝐿𝐼 =1
2 𝛼
𝛽
𝑟2𝑑𝜃
=1
2 𝜋6
5𝜋61 − 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝑑𝜃
=1
2 𝜋6
5𝜋61 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃
Recordando que :
𝑠𝑒𝑛2𝜃 =1
2−1
2cos2 𝜃
Entonces:
𝐴𝐿𝐼 =1
2 𝜋6
5𝜋61 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃
=1
2 𝜋6
5𝜋61 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4
1
2−1
2cos 2𝜃 𝑑𝜃
=1
2 𝜋6
5𝜋61 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2 − 2 cos2𝜃 𝑑𝜃
=1
2 𝜋6
5𝜋63 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 cos 2𝜃 𝑑𝜃
=1
23𝜃 + 4 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜋
6
5𝜋6
=1
23𝜃 + 4 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜋
6
5𝜋6
=1
23 ∗5𝜋
6+ 4 cos
5𝜋
6− 𝑠𝑒𝑛 2 ∗
5𝜋
6− 3 ∗
𝜋
6+ 4 cos
𝜋
6− 𝑠𝑒𝑛 2 ∗
𝜋
6
=1
2
15𝜋
6− 4 ∗
3
2− −
3
2−
3𝜋
6+ 4
3
2−
3
2
=1
2
15𝜋
6−4 3
2+
3
2−3𝜋
6−4 3
2+
3
2
=1
2
12𝜋
6−8 3
2+2 3
2
=1
2
12𝜋
6−6 3
2
=1
22𝜋 − 3 3
𝐴𝐿𝐼 =1
22𝜋 − 3 3 𝑢2
Para el lazo exterior, se toman en cuenta los siguientes límites:
𝜃 = 𝜋 −𝜋
6=5
6𝜋 𝑦 𝜃 = 𝜋 +
5𝜋
6=13
6𝜋
Es decir:
𝛼 =5𝜋
6𝑦 𝛽 =
13𝜋
6
13𝜋
6
5𝜋
6
Ahora:
𝐴𝐿𝐸 =1
2 𝛼
𝛽
𝑟2𝑑𝜃
=1
2 5𝜋6
13𝜋61 − 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝑑𝜃
=1
2 5𝜋6
13𝜋61 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃
=1
2 5𝜋6
13𝜋61 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 4
1
2−1
2cos 2𝜃 𝑑𝜃
=1
2 5𝜋6
13𝜋61 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 +
4
2−4
2cos 2𝜃 𝑑𝜃
𝐴𝐿𝐸 =1
2 5𝜋6
13𝜋61 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2 − 2 cos 2𝜃 𝑑𝜃
=1
2 5𝜋6
13𝜋63 − 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 cos 2𝜃 𝑑𝜃
=1
23𝜃 + 4 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 5𝜋
6
13𝜋6
=1
23 ∗13𝜋
6+ 4 cos
13𝜋
6− 𝑠𝑒𝑛 2 ∗
13𝜋
6− 3 ∗
5𝜋
6+ 4 cos
5𝜋
6− 𝑠𝑒𝑛 2 ∗
5𝜋
6
=1
2
39𝜋
6+ 4 ∗
3
2−
3
2−
15𝜋
6− 4
3
2− −
3
2
𝐴𝐿𝐸 =1
2
39𝜋
6+4 3
2−
3
2−15𝜋
6+4 3
2−
3
2
=1
2
24𝜋
6+8 3
2−2 3
2
=1
24𝜋 +
6 3
2
=1
24𝜋 + 3 3
𝐴𝐿𝐸 =1
24𝜋 + 3 3 𝑢2
Aplicando una diferencia entre lazo exterior y lazo interior:
𝐴 = 𝐴𝐿𝐸 − 𝐴𝐿𝐼
𝐴 = 𝐴𝐿𝐸 − 𝐴𝐿𝐼
=1
24𝜋 + 3 3 −
1
22𝜋 − 3 3
=1
24𝜋 + 3 3 − 2𝜋 − 3 3
=1
24𝜋 + 3 3 − 2𝜋 + 3 3
=1
22𝜋 + 6 3
= 3𝜋 + 3 3
𝐴 = 3𝜋 + 3 3 𝑢2 ≈ 8.3378 𝑢2
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
EJEMPLO: Hallar el área de la región entre dos curvas: 𝑟 = −6 cos𝜃 y 𝑟 = 2 − 2 cos𝜃
SOLUCIÓN:
𝑟 = −6 cos𝜃2 − 2 cos 𝜃 = −6 cos𝜃2 − 2 cos 𝜃 + 6 cos 𝜃 = 0
2 + 4 cos𝜃 = 0
cos 𝜃 = −1
2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos −1
2
𝜃 = 120° =2𝜋
3
𝑟 = −6 cos 𝜃
𝑟 = 2 − 2 cos 𝜃
𝜋
2
2𝜋
3
2 𝜋2
2𝜋3−6 cos 𝜃 2𝑑𝜃
𝜋
2𝜋
32 2𝜋3
𝜋
2 − 2 cos 𝜃 2𝑑𝜃
Ahora:
𝐴 =1
2 𝛼
𝛽
𝑟2𝑑𝜃
𝐴 =1
22 𝜋2
2𝜋3−6 cos 𝜃 2𝑑𝜃 + 2
2𝜋3
𝜋
2 − 2 cos 𝜃 2𝑑𝜃
=1
22
𝜋2
2𝜋3−6 cos 𝜃 2𝑑𝜃 +
1
22 2𝜋3
𝜋
2 − 2 cos 𝜃 2𝑑𝜃
= 𝜋2
2𝜋3−6 cos 𝜃 2𝑑𝜃 +
2𝜋3
𝜋
2 − 2 cos 𝜃 2𝑑𝜃
Continuando:
𝐴 = 𝜋2
2𝜋3−6 cos 𝜃 2𝑑𝜃 +
2𝜋3
𝜋
2 − 2 cos 𝜃 2𝑑𝜃
= 𝜋2
2𝜋3−6 cos 𝜃 2𝑑𝜃 +
2𝜋3
𝜋
2 − 2 cos 𝜃 2𝑑𝜃
= 𝜋2
2𝜋336 cos2 𝜃 𝑑𝜃 +
2𝜋3
𝜋
4 − 8 cos 𝜃 + 4 cos2 𝜃 𝑑𝜃
= 36 𝜋2
2𝜋3cos2 𝜃 𝑑𝜃 + 4
2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 − 8 2𝜋3
𝜋
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 4 2𝜋3
𝜋
cos2 𝜃 𝑑𝜃
Recordando que:
cos2 𝜃 =1
2+1
2cos 2𝜃
Entonces, sustituyendo la primera y última integral por la ecuación equivalente:
𝐴 = 36 𝜋2
2𝜋3cos2 𝜃 𝑑𝜃 + 4
2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 − 8 2𝜋3
𝜋
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 4 2𝜋3
𝜋
cos2 𝜃 𝑑𝜃
= 36 𝜋2
2𝜋3 1
2+1
2cos 2𝜃 𝑑𝜃 + 4
2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 − 8 2𝜋3
𝜋
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 4 2𝜋3
𝜋 1
2+1
2cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 36 𝜋2
2𝜋3 1
21 + cos 2𝜃 𝑑𝜃 + 4
2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 − 8 2𝜋3
𝜋
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 4 2𝜋3
𝜋 1
21 + cos 2𝜃 𝑑𝜃
=36
2 𝜋2
2𝜋31 + cos 2𝜃 𝑑𝜃 + 4
2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 − 8 2𝜋3
𝜋
cos 𝜃 𝑑𝜃 +4
2 2𝜋3
𝜋
1 + cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 18 𝜋2
2𝜋31 + cos 2𝜃 𝑑𝜃 + 4
2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 − 8 2𝜋3
𝜋
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 2 2𝜋3
𝜋
1 + cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 18 𝜋2
2𝜋3𝑑𝜃 + 18
𝜋2
2𝜋3cos 2𝜃 𝑑𝜃 + 4
2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 − 8 2𝜋3
𝜋
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 2 2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 + 2 2𝜋3
𝜋
cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 18 𝜋2
2𝜋3𝑑𝜃 + 18
𝜋2
2𝜋3cos 2𝜃 𝑑𝜃 + 6
2𝜋3
𝜋
𝑑𝜃 − 8 2𝜋3
𝜋
cos 𝜃 𝑑𝜃 + 2 2𝜋3
𝜋
cos 2𝜃 𝑑𝜃
= 18 𝜃 𝜋2
2𝜋3 + 18
1
2𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝜋2
2𝜋3+ 6 𝜃 2𝜋
3
𝜋 − 8 sen 𝜃 2𝜋3
𝜋 + 21
2𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2𝜋3
𝜋
= 18 𝜃 𝜋2
2𝜋3 + 18
1
2𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜋
2
2𝜋3 + 6 𝜃 2𝜋
3
𝜋 − 8 sen 𝜃 2𝜋3
𝜋 + 21
2𝑠𝑒𝑛 2𝜃 2𝜋
3
𝜋
= 18 𝜃 𝜋2
2𝜋3 + 9 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝜋
2
2𝜋3 + 6 𝜃 2𝜋
3
𝜋 − 8 sen 𝜃 2𝜋3
𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 2𝜋3
𝜋
= 182𝜋
3−𝜋
2+ 9 𝑠𝑒𝑛 2
2𝜋
3− 𝑠𝑒𝑛 2
𝜋
2
+6 𝜋 −2𝜋
3− 8 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3+ 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 2
2𝜋
3
= 18𝜋
6+ 9 𝑠𝑒𝑛
4𝜋
3− 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 6
𝜋
3− 8 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3+ 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛
4𝜋
3
= 3𝜋 + 9 𝑠𝑒𝑛 240° − 𝑠𝑒𝑛 180° + 2𝜋 − 8 𝑠𝑒𝑛 180° − 𝑠𝑒𝑛 120° + 𝑠𝑒𝑛 360° − 𝑠𝑒𝑛 240°
= 3𝜋 + 9 −3
2− 0 + 2𝜋 − 8 0 −
3
2+ 0 − −
3
2
𝐴 = 3𝜋 + 9 −3
2+ 2𝜋 − 8 −
3
2+ 0 +
3
2
= 3𝜋 −9 3
2+ 2𝜋 +
8 3
2+
3
2
= 5𝜋
𝐴 = 5𝜋 𝑢2 ≈ 15.708 𝑢2
BIBLIOGRAFÍAS
Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.
