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Los números reales, matemáticas de 4º de ESO
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Racionales
Los n meros racionalesú
• Un número fraccionario queda determinado y simbolizado por una fracción o cualquiera de sus fracciones equivalentes.
• Los números enteros y los fraccionarios forman el conjunto de los números racionales, que se designa por Q.
13
13
13
23
Enteros
Fraccionarios
82
4− = −
27 9
3=
12111
11− = −
4947
46
5
1. Los números racionales
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
N meros que no se pueden expresar en forma fraccionariaú
2b2 = a2
2b2 = 4k2
2 divide a a
a = 2k
2 divide a b
ab
fracción irreducible
ImposibleImposible
ab
fracción reducibleb2 =2k2
2. Números que no se pueden expresarn en forma racional
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
2=ab
2=a2
b2
La expresión decimal es periódica mixta:
• Todo número fraccionario puede expresarse en forma decimal sin más que efectuar la división entre el numerador y el denominador.
• Pueden entonces ocurrir los siguientes casos:
La expresión decimal es exacta:94=2,25
La expresión decimal es periódica pura: 53=1, 666. . .
176=2,83333 .. .
Cuidado: algunas calculadoras redondean
3. Expresión decimal de los números fraccionarios
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
q = 2‚4 78 78 78 78 …….Un número decimal periódico:
Pasos:
• Primero 1000q = 2478,787878….
• Segundo 10q = 24,78787878.…
• Tercero 990q = 2478 - 24
• Cuarto
5. Forma fraccionaria de un número decimal periódico
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
q= 2478−24900
= 2454990
= 409165
• Las expresiones decimales no periódicas se llaman números irracionales; estos números no se pueden expresar en forma de fracción.
• Los números racionales e irracionales forman el conjunto de los números reales, que se designa por R.
6. Los números reales. Ampliaciones de los conjuntos de los números
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
Ejemplos
• El número π con 1000 cifras decimales
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642 ...
• Un número decimal cuya ley de formación es no periódica
2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002…...
7. Algunos números irracionales
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8 Representación de números irracionales
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
1 u
1 u
1 u
2
3
3
2
Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta.
2
La determinación de números reales se hace por aproximaciones sucesivas.
9. Determinación de números reales: Aproximaciones
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Aproximación Potencias Intervalo
Entera 13=1 / 23=8 1372
Decimal 1,93=6,859 / 2,03=8 1,9 372,0
Centesimal 1,913=6,96... / 1,923=7,07... 1,91371,92
Milesimal 1,9123=6,9897... / 1,9093=7,0007... 1,912371,913
... ... ...
1 2
1,9 2,0
1,91 1,92
1,912 1,913
3 7
10. Intervalos encajados
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
• Es imposible sumar exactamente dos números irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales.
• Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.
2=1,4142135623 . ..π=3,141592653 ...
11. Suma aproximada de números reales
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Obtención de + π
Valor aproximado Orden del error
Con 0 cifras 1 + 3 = 4 Error < 2 unidades
Con 1 cifra 1,4 + 3,1 = 4,5 Error < 3 décimas
Con 2 cifras 1,41 + 3,14 = 4,55 Error < 3 centésimas
Con 3 cifras 1,414 + 3,141 = 4,555 Error < 3 milésimas
… … …
• Es imposible multiplicar exactamente dos números irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales.
• Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.
2=1,4142135623 . ..
10 3,1622776601....=
12 Producto aproximado de números reales
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2 10 2 · 10
Por exceso 1,4143 3,1623 4,472440
Por defecto 1,4142 3,1622 4,471983
Error <diferencia 0,0001 0,0001 0,000457
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En las figuras se indica por:• circulito negro si el extremos se considera del intervalo.• circulito blanco si el extremo no se considera del intervalo
14. Intervalos finitos
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.
15. Semirrectas
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
Se define el valor absoluto de un número real x de la siguiente forma:
Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números
Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b|
O
A
a
B
b
16. Valor absoluto
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 1. EL NÚMERO REAL Javier Fernández
∣x∣= { x si x≥0−x si x0 ∣
• Un intervalo de la forma (a – r, a + r) se llama entorno abierto de centro a y radio r.
• Un intervalo de la forma [a – r, a + r] se llama entorno cerrado de centro a y radio r.
x
Para que x esté en el intervalo se ha de cumplir: |x – 4| < 2
Para que x esté en el intervalo se ha de cumplir: |x – 4| ≤ 2
x
17. Entorno de un punto
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