Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
VIRKNE, VIRKNES ROBEŽA
Ja katram naturālam skaitlim n ir pakārtots kāds skaitlis xn, tad ir dota skaitļu virkne.
Virkne – skaitļu kopums, kurā skaitļi ir sagrupēti noteiktā kārtībā tā, ka, zinot kāda skaitļa vietas numuru, var atrast šo skaitli.
xn, kur n patvaļīgs vietas numurs jeb indekss, sauc par virknes vispārīgo locekli
Skaitļu virknes uzdošanas veidi
• Skaitļu virknes uzdošana ar pietiekami lielu locekļu skaitu, lai būtu saskatāms likums, pēc kura var atrast tālākos virknes locekļus.
• Vispārīgā locekļa xn kā funkcijas uzdošana .• Kārtulas un algoritma uzdošana vārdos.
Skaitļu virknes uzdošanas veidi
• Virkni sauc par augošu, ja
• Virkni sauc par dilstošu, ja
......21 nxxx
......21 nxxx
n
xn
xn
x
nn
n
n
112
12
12
Skaitļu virkni sauc par ierobežotu, ja eksistē tāds pozitīvs skaitlis M, ka visiem virknes locekļiem ir spēkā nevienādība
Mxn
Skaitli a sauc par virknes robežu, ja katram > 0, lai cik mazs tas arī būtu, var atrast tādu naturālu skaitli N, ka visiem n > N ir spēkā nevienādība.
axn
Izmantojot definīciju, noteikt robežu virknei
Sākot ar kādu kārtas numuru, virknes locekļi no virknes robežas atšķiras mazāk nekā 0,01?
153
nnxn
Ja n = 1000, tad
2,049991003
11000531000
1000
x
Pēc definīcijas
axn
51
153
nn
15515
155155
nn
nn
525
16n
525
16n
52516 n
52516 n
51625 n
25516
n
25516
n
Ja = 0,01, tad
01,02501,0516
n
25,005,016
n
25,005,16
n
2,64n
Virknes locekļi ar kārtas numuru
lielāku par 64 no virknes robežas 0,2
atšķiras mazāk nekā 0,01.
Konverģenta virkne – virkne, kurai ir robeža.Diverģenta virkne – virkne, kurai nav robeža.
n
xn
xn
x
nn
n
n
112
12
12
FUNKCIJA, FUNKCIJAS ROBEŽA
nm, Punkts x = a y = f(x)
,...,...,, 21 nxxx
,...,...,, 21 nxfxfxf
Funkcijas robežas definīcijas pēc Heines
Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x a, ja jebkurai argumenta x vērtību virknei, kuras robeža ir a, bet neviens loceklis nesakrīt ar a, atbilst funkcijas vērtību virkne, kuras robeža ir b.
Funkcijas robežas definīcija pēc Košī
Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x a, ja katram > 0, lai cik mazs tas būtu, var atrast tādu > 0, ka
Visām tām x vērtībām, kas apmierina nevienādības
bxf
axax ,
Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x +, ja katram > 0, lai cik tas mazs būtu, var atrast tādu skaitli M > 0, ka visiem x >M ir spēkā nevienādība
bxf
Funkcijas robežas
xxxy2
xxxy2
Papildnosacījums:Visām x vērtībām jābūt vai nu lielākām, vai mazākām
par a.
Papildnosacījuma izpildīšanās gadījumā tiek iegūtas vienpusējas robežas:
Robeža no labās puses:
Robeža no kreisās puses:
0limlim0
afxfxfax
axax
0limlim0
afxfxfax
axax
Funkcijas lēciens
Kādā punktā aprēķinātu vienpusēju robežu starpības absolūto vērtību sauc par funkcijas lēcienu šajā punktā. Tātad funkcijas y = f(x) punktā x = a lēciens ir
00 afaf
Bezgalīgi lielas funkcijas
Funkcijas y = f(x) robeža ir bezgalība, kad x a, ja katram M > 0, lai cik tas liels būtu, var atrast tādu > 0, ka f(x) > M visiem x, kam spēkā nevienādības x – a < , x ≠ a.
Ja f(x) ir bezgalīgi liela funkcija, tad
xfax
lim
yxx
22
yxx
22
yxx
33
yxx
33
Ierobežota funkcija
Funkciju y=f(x) sauc par ierobežotu dotajā intervālā, ja eksistē tāds pozitīvs skaitlis M, ka visām x vērtībām no šī intervāla ir spēkā nevienādība f(x) M. Pretējā gadījumā, ja tāds M neeksistē, tad funkcija ir neierobežota.
Īpašības
1. Bezgalīgi lielas funkcijas un ierobežotas funkcijas summa ir bezgalīgi liela funkcija.
2. Divu bezgalīgi lielu funkciju summa ne vienmēr ir bezgalīgi liela funkcija.
3. Divu bezgalīgi lielu funkciju reizinājums ir bezgalīgi liela funkcija.
Bezgalīgi mazas funkcijas
Funkciju y = f(x) sauc par bezgalīgi mazu, kad x a, ja
0lim
xfax
Bezgalīgi mazu funkciju īpašības
Bezgalīgi mazu funkciju algebriska summa ir bezgalīgi maza funkcija, ja saskaitāmo skaits ir galīgs.
Bezgalīgi mazas funkcijas (x) dalījums ar funkciju f(x), kuras robeža atšķiras no nulles, ir bezgalīgi maza funkcija
0,0 limlim
bxfkurxfx
axax
Bezgalīgi mazu funkciju īpašības
Ierobežotas funkcijas f(x) un bezgalīgi mazas funkcijas (x) reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija.– Bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar
konstanti ir bezgalīgi maza funkcija.– Bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar konstanti,
kura atšķiras no nulles, ir bezgalīgi maza funkcija.
– Divu vai vairāku bezgalīgi mazu funkciju reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija.
Pamatteorēmas par robežām
Funkcijas algebriskas summas robeža ir vienāda ar atsevišķo saskaitāmo funkciju robežu algebrisko summu, ja vien saskaitāmo skaits ir galīgs.
lim (u + v - w) – lim u + lim v –lim w
Funkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar reizinātāju robežu reizinājumu, ja vien reizinātāju skaits ir galīgs.
lim (u ∙ v) = lim u ∙ lim v
Secinājumi
Patstāvīgu reizinātāju drīkst iznest pirms robežas zīmes.
lim (c ∙ u) = c ∙ lim u
Pakāpes robeža ir vienāda ar bāzes robežas pakāpi
lim (un) = (lim u)n
Pamatteorēmas par robežām
Divu funkciju dalījuma robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu dalījumu, ja vien dalītāja robeža atšķiras no nulles
Ja funkcijas u vērtības ir nenegatīvas, kad x a vai x , t.i., u 0 un eksistē lim u = b, tad b 0.
0,limlimlim vkurvu
vu
Pamatteorēmas par robežām
Ja divu funkciju u = u(x) un v = v(x) atbilstošajām vērtībām ir spēkā nevienādība v u un abām funkcijām ir robeža, kad x a vai (x ), tad lim v lim u.
Ja triju funkciju u = u(x), w = w(x) un v = v(x) atbilstošajām vērtībām ir spēkā nevienādības u w v, pie tam u(x) un v(x), kad x a vai x , tiecas uz vienu un to pašu robežu b, t.i., lim u = b un lim v = b, tad arī funkcija w(x) tiecas uz to pašu robežu, t.i., lim w = b.
Pamatteorēmas par robežām
Jebkurai ierobežotai monotonai funkcijai ir robeža, kad arguments monotoni tiecas uz galīgu robežu a vai neierobežoti aug (vai dilst).
Nenoteiktības
00
00010
Pirmā ievērojamā robeža
xx
x
sinlim0
ABAOS AOB 21
AO
BCRACSsektAOC
21
R
R
D
CDAOS AOD 21
RtgxRRRxxRR sin
RACSsektAOC 21CDAOS AOD 2
1
ABAOS AOB 21
ABAORACABAO 21
21
21
tgxxx sin
tgxxx sin
xxx
cos1
sin1
1cos11,0
limlim00
xtadxJa
xx
xxx cossin1
1sinlim00
x
x
xx
Piemēri
kkxkxk
kxkxk
xkx
xxx
sinsinsin limlimlim000
1cos1sin limlimlim
000
xxx
xtgx
xxx
1arcsinlim0
x
xx
21
2
2sin
21
24
2sin2
2sin2cos1
2
02
2
02
2
02
0limlimlimlim
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx
Skaitlis e
Funkcijai
punktā x = + eksistē galīga robeža, kuru apzīmē ar e.Skaitļa vērtība ar 26 zīmēm pēc komata ir
Otrā ievērojamā robeža.Piemēri
n
n ne
11lim
k
kn
n
kn
ne
nn
1111 limlim
kkx
n
n
ne
knk
111 limlim
