再帰でつくる、計算の世界

はじめに数値計算と Scheme数値実験とまとめ

.

.

. ..

.

.

再帰でつくる、計算の世界–最急降下法による最適化シミュレーションを通して–

Kaz. Hishinuma ([email protected])

明治大学情報科学科数理最適化研究室

Kaz. Hishinuma ([email protected]) 再帰でつくる、計算の世界


きょうの内容Scheme って、なにが得意？

.

.

きょうの内容

Schemeって、なにが得意？数学とSchemeは仲良しなの？√

2の値を求めてみよう！




.

.

きょうの内容






.

.

Schemeが得意なこと

Schemeが得意なことは・・・

再帰プログラミング




.

.

Schemeが得意なこと・・・

Schemeだと、好きなだけ再帰呼び出しができる！！1

1ただし末尾再帰に限るKaz. Hishinuma ([email protected]) 再帰でつくる、計算の世界



.

.


＼(＞ヮ＜)／きゃっほぉ♪




.

.


( ˘⊖˘ ) 。o(それって、何が嬉しいんだろう・・・)



数学と Scheme は仲良しなの？√2 の値を求めてみよう！ (前編)√2 の値を求めてみよう！ (中編)

.

.

きょうの内容






.

.

数学と Schemeは仲良しなの？

再帰を書くことが、Schemeと数学を仲良しにするよ！！




.

.

再帰だとどう書く？

xk =

{0 (k = 0)

2xk−1 + 1 (otherwise)

⇒ xn =???




.

.

C言語なら・・・

int x ( int k )

{

int r = 0;

while ( k-- )

r = 2 * r + 1;

return ( r );

}




.

.

Schemeだと・・・

(define (x k)

(cond ((zero? k) 0)

(else (+ (* (x (- k 1))

2)

1))))




.

.

Schemeは、

再帰を使って、数式をそのままプログラムにできるね！！




.

.

ほかにも・・・

正確な数を扱える！ (有理数)

複素数や極座標も扱える！λ and λ and λ ...




.

.

数学と Schemeは仲良し！！

これは使うしかないねっ☆（ゝω・）vｷｬﾋﾟ




.

.

きょうの内容






.

.

制約なし最適化問題

目的関数f : Rn → Rが与えられたとき、

f (x) の値を最小にする

x(∈ Rn)をさがす




.

.

つまり・・・？

y

x

y=f(x)ここを求めたい




.

.

どうすればいいの・・・？

最急降下法を使おう！！




.

.

最急降下法

.

. .1 適当な初期点 x(0) ∈ Rnを選ぶ

.

..

2 x(k+1) = x(k) − t∇f(x(k)) を計算する

.

.

.

3 ||∇f(x(k))|| の値が良い感じに小さくなったら終了

たったの3ステップでとっても簡単だね




.

.


y

x

y=f(x)

適当な場所に玉




.

.


y

x

y=f(x)玉転がる




.

.


y

x

y=f(x)良い感じに収束する




.

.

そういえば・・・

なんの話してたっけ？！↓√

2の値を求めなきゃ




.

.√

2の値を求めるには？

ある値xと√

2の値との、誤差 ||x −

√2||を2

最小化しよう！！

2実際は (x2 − 2)2 を最小化した方が良いかもKaz. Hishinuma ([email protected]) 再帰でつくる、計算の世界



.

.√

2の値を求めるには？

最急降下法の定義は、

xk =

{x0 (k = 0)

xk−1 − t∇f(xk−1) (otherwise)

f(x) := (x2 − 2)2 とすると、

xk =

{2 (k = 0)

xk−1 − t(4x3k−1 − 8xk−1) (otherwise)

||4x3k − 8xk|| が良い感じに小さくなる xkが解




.

.

この式・・・

再帰で書きやすい形だ！！



数値実験結果まとめ

.

.

実験結果

x1000 = 1.4142135623730951

一夜一夜に人見頃！




.

.

値の動き

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 2 4 6 8 10 12 14

"expr.out"




.

.

まとめ

.

..

1 Schemeは再帰が得意！

.

.

.

2 再帰は数学を楽しくする！

.

.

.

3 Schemeを楽しく感じたら、Shibuya.lispへ再帰しよう！！




Thanks forYour Listening!


Education

再帰でつくる、計算の世界