プロジェクト学習0. 展開図理学部情報数理学科

大西建輔

展開図って?立体を切って開いたもの

• 平面的

• 繋がっている

• 展開した面が重ならない (一般展開図)• 辺に沿って切ったもの(辺展開図) 今回扱う

一般展開図(辺)展開図

一般展開図の話

四面体の一般展開図は, 平面を埋めることができる(秋山, 奈良, 2007)

展開図の(簡単な)歴史

アルブレフト・デューラー「コンパスと定規を使った測定教本」 1525年

多面体の展開図を図示⇒ 多面体は辺展開を

もつのでは?

多面体の展開図

(未解決) デューラーの問題

すべての凸多面体に展開図は存在するか?(定理) Erik Demaine ら, 非凸な多面体ならば, 展開図を持たないものがある.

A Survey of Folding and Unfolding in Computational Geometry より

Erikが18歳のときに発見

展開図がある多面体

• 斜角柱 (oblique prism)• 上限の面が同じ凸多角形で平行

• 対応する頂点を結ぶ

• 角錐 (pyramid)• ドーム型 (dome)

• 角錐の一般形

• 全ての面が底面と共有辺を持つ

• 擬角柱(prismatoid)• 上限の面が違う斜角柱

• 側面に三角形あり

未解決

今回の予定

1. 正多面体の展開図• どのぐらいあるのか?• どんな形があるのか?

2. 2つ以上の箱が折れる展開図• 1つの展開図から幾つかの箱を作成

• どういう条件が必要なのか?

3. 直交多面体の展開図• 高さを与えることで定義できる多面体

• 直交地形図なら展開可能

未解決

1. 正多面体の展開図

• 5種類の正多面体正四面体, 立方体, 正八面体, 正12面体,正20面体

• 正四面体の展開図は 2種類

• それ以外は? 

2. 2つ以上の直方体の折れる展開図

立方体の展開図の一つ ラテンクロス

箱になるとどうなるか? ⇒ 2種類, 3種類の箱が折れるものあり

どんなものがあるか考えてみよう. 

85通りで23種類の多面体

85通りで23種類の多面体

3. 直交多面体の展開図

• 各地点の高さ(≧0)から作られる多面体

• 高さが正なら, 展開可能 (直交地形図)• 高さが非負(≧0)なら, 未解決

この時間は

• ラテンクロスの折り方にチャレンジしてみよう.• どんな形が作れるかな?