プロジェクト学習1. 正多面体

理学部情報数理学科

大西 建輔

今日学ぶこと

• 正多面体とは何か?

• 正多面体は5種類しかない

• 正多面体の展開図

正多面体とは?以下の条件を満たす多面体

1. 全ての面が合同な正多角形

2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい

3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分も多面体に含まれる.

もし, 条件1が無いと? ⇒平行六面体

正多面体とは?以下の条件を満たす多面体

1. 全ての面が合同な正多角形

2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい

3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分も多面体に含まれる.

もし, 条件2が無いと? ⇒正四面体を繋げた多面体

正多面体とは?以下の条件を満たす多面体

1. 全ての面が合同な正多角形

2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい

3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分も多面体に含まれる.

正多面体

正多面体は5種類のみ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93 より

正四面体(三角形)

立方体(正方形)

正八面体(三角形)

正12面体(正五角形)

正20面体(三角形)

正多面体は5種類しかない

多面体 面の形 面数 辺数 頂点数

正四面体 正三角形

立方体 正方形

正八面体 正三角形

正十二面体 正五角形

正二十面体 正三角形

問題: 条件3を満たさない多面体にはどんなものがあるだろうか?

正多面体は5種類しかない

多面体 面の形面数F

辺数E

頂点数V F‐E+V

正四面体 正三角形 4 6 4 2

立方体 正方形 6 12 8 2

正八面体 正三角形 8 12 6 2

正十二面体 正五角形 12 30 20 2

正二十面体 正三角形 20 30 12 2

正多面体は5種類しかない(証明)

「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」

• ポリドロンで試してみよう• 正三角形では?• 正方形では?• 正五角形では?• 正六角形では?• …

正多面体は5種類しかない(証明)

(*) 「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」

M : 正多角形の頂点数 (M>= 3)N : 頂点に集まる辺(面の数)  (N>=3)

• 正M角形の一つの内角 180(M‐2)/M• 一つの頂点に集まる角度 180(M‐2)*N/M• (*)より 180(M‐2)*N/M < 360• これを展開すると, (M‐2)*N < 2M• 整理すると, (M‐2)(N‐2) < 4

正多面体は5種類しかない(証明)

(*) 「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」

M : 正多角形の頂点数 (M>= 3)N : 頂点に集まる辺(面の数)  (N>=3)… • 整理すると, (M‐2)(N‐2) < 4• これを満たす(M,N)は?

⇒ (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)⇒ 正四面体, 正八面体, 正二十面体, 

立方体, 正十二面体

正多面体の展開図

• 展開図は何種類あるか?• 正四面体 2種類

• 立方体 11種類

• 正八面体 11種類

• 正12面体 43380種類

• 正20面体 43380種類

実際に立方体、正八面体の展開図を作ってみよう

正多面体の展開図(立方体)

11種類

正多面体の展開図(正八面体)

11種類

正多面体の展開図(正12面体)43380通り(Hippenmeyer, 1979)

http://www.al.ics.saitama‐u.ac.jp/horiyama/research/unfolding/index.ja.html より

列挙:どういう展開図があるかを全て出力(堀山ら, 2011)

正多面体の展開図(正20面体)43380通り(Hippenmeyer, 1979)

http://www.al.ics.saitama‐u.ac.jp/horiyama/research/unfolding/index.ja.html より

列挙:どういう展開図があるかを全て出力(堀山ら, 2011)

多面体(の展開図)を作ってみよう例えば

• 条件3だけを満たさない正多面体もどきは?• 凸でない多面体で、条件1,2は満たす

• 切頂20面体を辺展開した時に、面が重なるものは?• サッカーボールの形, 正20面体の頂点を切った形

• 展開図の直径が最大の展開図• 直径とは, 展開図の2点を結ぶ最大の長さ

• 展開図の幅が最小の展開図• 幅とは,展開図を挟む2直線の距離

• 展開図を含む長方形の面積が最小の展開図