5.presentation4

Diferenciālvienādojumi

Vienādojumus, kas satur nezināmo funkciju y = y(x), sauc par funkcionālvienādojumiem.

Par diferenciālvienādojumu sauc tādu funkcionālvienādojumu, kas satur nezināmās funkcijas atvasinājumus vai diferenciāļus. xf

dx

dy

CxFy

PIRMĀS KĀRTAS DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma

vispārīgais veids ir

Tā normālforma ir

0,, yyxF

yxfyjebyxfdx

dy,,

OTRĀS KĀRTAS DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS Otrās kārtas diferenciālvienādojuma


Tā normālforma ir

0,,, yyyxF

yyxfy ,,

N-TĀS KĀRTAS DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS Diferenciālvienādojuma ietilpstošā

nezināmās funkcijas augstākā atvasinājuma kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārtu. N-tās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir

Tā normālforma ir

0,...,,,, nyyyyxF

1,...,,,, nn yyyyxfy

VIENKĀRŠĀKIE 1.KĀRTAS VIENĀDOJUMI

PIRMĀS KĀRTAS DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma


x – argumentsy – meklējamā funkcijay’ – meklējamās funkcijas atvasinājums

Tā normālforma ir

0,, yyxF

yxfyjebyxfdx

dy,,

Diferenciālvienādojumu var pārveidot diferenciālā formā

0,, dyyxQdxyxP

y

xy ydyxdx

Cyx 22

y

x

dx

dy

Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma atrisinājums – jebkura funkcija y = (x), kuru līdz ar tās atvasinājumu ievietojot dotajā vienādojumā, iegūst identitāti.

Diferenciālvienādojuma atrisināšana – diferenciālvienādojuma integrēšana.

KOŠĪ TEORĒMA Ja vienādojuma y’ = f(x, y) labās puses

funkcija f(x, y) un tās parciālais atrisinājums f’y(x, y) ir nepārtrauktas funkcijas kādā Oxy plaknes apgabalā D, tad, lai kāds būtu šī apgabala punkts (x0; y0), eksistē viens vienīgs atrisinājums y = (x), kas apmierina nosacījumu y0 = (x0).

Sākuma nosacījums y(x0) = y0. y = (x,C) – diferenciālvienādojuma

vispārīgais atrisinājums apgabalā D.

Definīcija

Uzdevumu

00 )(

),(

xtx

xtfdt

dx

sauc par Košī jeb sākuma vērtību problēmu.

Katras Košī problēmas atrisinājumu ar noteiktu konstantes C vērtību sauc par vienādojuma partikulāro atrisinājumu

Visu vienādojuma partikulāro atrisinājumu saimi sauc par šī vienādojuma vispārīgo atrisinājumu.

00 )(

),(

yxy

yxfdx

dy

?)(

0 ,ln)( 1

)( 2

)( 1

2

xyyy

tCxxyx

y

Cxxyxy

Cxxyy

Piemēri

DefinīcijaLīniju, kuras punktos y’=c, sauc par vienādojuma izoklīnu.

Vienādojuma (1.2) izoklīnas var atrast no vienādojuma

f(x, y)=c

f(x, y)=k

Izoklīnas ir taisnes

Integrāllīnijas ir koncentriskas līnijas

y

xy ydyxdx

Cyx 22

y

x

dx

dy

ky

x

LINEĀRU DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMU

ATRISINĀŠANA

DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMI AR ATDALĀMIEM MAINĪGAJIEM

yfxfdx

dy21

dxxfyf

dy1

2

Cdxxfyf

dy1

2

01

1 2

x

yy

x

y

dx

dy

1

1 2

x

dx

y

dy

11 2

Cxy 12sin

Cxy 12arcsin

HOMOGĒNIE DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMI Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu

y’=f(x,y) sauc par homogēnu attiecībā pret mainīgajiem, ja šo vienādojumu var pārveidot

y’ = (y/x)

2

33

3

2

xy

yxy

3

2

3

3

3

3

3

2

xxy

xy

xx

y

2

3

3

21

xy

xy

y

xzyzx

y

ar funkciju

Substitūcija

xzz

dx

dzxz

dx

dy

2

3

3

21

xxz

xxz

dx

dzxz

2

3

3

21

z

z

dx

dzxz

zz

z

dx

xdz

2

3

3

21

2

33

3

321

z

zz

dx

xdz

2

3

3

51

z

z

dx

xdz

dzz

z

dx

x 1

3

512

3

3

2

51

3

z

dzz

x

dx

Cz

dzzx

3

2

51

3ln dzzzd 23 1551

C

z

zdx

3

3

51

51

15

1ln

Czx 351ln15

1ln

Cx

yx

3

51ln15

1ln

xzyzx

y

ar funkciju

Substitūcija

xzz

dx

dzxz

dx

dy

02 22 yxyxy

02 2222 zxxzxzzx

012 2 zzxzz

0122 22 zzxzz

0122 zxzz

0122 zxzz

12 2 zzxz

12 2 z

dx

xzdz

x

dx

z

zdz

1

22

x

dx

z

zd

1

12

2

Cxz lnln1ln 2

x

Cz 12

x

C

x

y

12

12

12

yx

yxy

qbyqy

paxpx

122

122

qbpa

qbpa

da

db

012

012

qp

qp

3

13

1

q

p

3

1

3

13

1

3

1

byy

axx

122

122

qbpa

qbpa

da

db

131

2231

131

31

22

ba

ba

da

db

3

13

1

q

p

ba

ba

da

db

2

2

LINEĀRAIS PIRMĀS KĀRTAS VIENĀDOJUMS Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu

sauc par lineāru diferenciālvienādojumu, ja nezināmo funkciju y un tās atvasinājumu y’ šis vienādojums satur tikai pirmajā pakāpē 0 xcyxbyxa

0

xa

xc

xa

yxb

xa

yxa

xfyxpy

Ja f(x) = 0, tad pirmās kārtas lineāru diferenciālvienādojumu sauc par lineāru homogēnu vienādojumu.

0 yxpy

yxpdx

dy

dxxpy

dy Cdxxpy lnln

dxxpCey

BERNULLI VIENĀDOJUMS

xfyxpy vuvuy

vuy

xfuvxpvuvu xfvuuxpuv

0 uxpu dxxp

eu

xfvu

u

xfv

Cdxexfv

dxxp

Cdxexfeuvy

dxxpdxxp

dxxp

eu

xexxyy 1

0 xuu

2ln

2xu 2

2x

eu

xx

exv

2

2

1

x

xdedv

xx

2

22

2

Cevx

x

2

2

222

222 xxx

xx

CeeCeevuy

BERNULLI DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS

Sauc par Bernulli diferenciālvienādojumu, ja p(x) un f(x) ir nepārtrauktas argumenta x funkcijas, bet n ir jebkurš reāls skaitlis, izņemot 0 vai 1.

nyxfyxpy

n

n

nn y

yxf

y

yxp

y

y

xfyxpyy nn 1

xfyxpyy nn 1 zy n 1

yynz n 1

n

zyy n

1

xfzxpn

z

1 xfyxpy

EKSAKTIE DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMI Vienādojumu

dU(x, y) = 0 (P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0)

sauc par eksaktu jeb totālu diferenciālvienādojumu ar nosacījumu, ka jābūt spēkā

x

Q

y

P

0923154 2222 dyxyxdxyxxy

2222 923154 xyxQyxxyP

22 9494 yxx

Qyx

y

P

yxyxyxydxyxxyU 33222 3523154

Qy

U

22332 92352 xyxyxyxyx y

2222 9292 xyxyxyx

0y Cy

CxyxyxU 332 352

2. KĀRTAS DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMI

OTRĀS KĀRTAS DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS Otrās kārtas diferenciālvienādojuma


Tā normālforma ir

0,,, yyyxF

yyxfy ,,

N-TĀS KĀRTAS DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS Diferenciālvienādojuma ietilpstošā

nezināmās funkcijas augstākā atvasinājuma kārtu sauc par diferenciālvienādojuma kārtu. N-tās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais veids ir

Tā normālforma ir

0,...,,,, nyyyyxF

1,...,,,, nn yyyyxfy

EKSISTENCES UN UNITĀTES TEORĒMA Ja diferenciālvienādojuma

y’’ = f(x, y, y’)labās puses funkcija f(x, y, y’) un tās

parciālie atvasinājumi

ir nepārtrauktas funkcijas kādā apgabalā , kas satur punktu (x0; y0; y’0), tad eksistē viens vienīgs diferenciālvienādojuma atrisinājums, kas apmierina

y

f

y

f

0000

yyyyxxxx

xy 2sin4

12cos2 Cxy

212sin CxCxy

DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMA KĀRTA PAZEMINĀŠANA Ja diferenciālvienādojums nesatur

nezināmo funkciju y un tās atvasinājumus līdz (k – 1)-mās kārtas atvasinājumam

F(x, y(k), y(k + 1), …, y(n)) = 0, Tad šī vienādojuma kārtu var pazemināt

par k vienībām, izmantojot substitūciju Y(k) = z F(x, z, z’, … z(n-k)) = 0

x

yy

zy

zy

x

zz

x

z

dx

dz

x

dx

z

dz

1lnlnln Cxz

xCy 1

22

11 CxCxdxCy

323

122

1 CxCxCdxCxCy

OTRĀS KĀRTAS LINEĀRI HOMOGĒNI DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMI

Raksturīgā vienādojuma uzrakstīšana Raksturīgā vienādojuma saku atrašana Atkarībā no atrastajām saknēm dotā

diferenciālvienādojuma vispārīgā atrisinājuma uzrakstīšana

Diferenciālvienādojums

ay’’ + by’ +cy = 0

Raksturīgais vienādojums

a2 + b +c = 0

Raksturīgā vienādojuma saknes

1 2 1 = 2 = 1, 2 = i

Atrisinājuma fundamentālsistēma

e1x, e2x ex, xex ex cos xex sin x

Vispārīgais atrisinājums

y = C1e1x + C2e2x

y = ex (C1 + C2x)

y = ex (cos x + sin x)

0134 yyy

01342

i322,1

xCxCey x 3sin3cos 212

OTRĀS KĀRTAS LINEĀRI NEHOMOGĒNI DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMI Lineāra nehomogēna otrās kārtas

diferenciālvienādojuma

vispārīgais atrisinājums ir

kur ir atbilstošā homogēnā

diferenciālvienādojuma

atrisinājums un ir dotā nehomogēnā diferenciālvienādojuma partikulārais atrisinājums.

)()(')('' 01 xfyxayxay

*hom yyy

2211hom yCyCy

0)(')('' 01 yxayxay

Uzrakstīt atbilstošo homogēno vienādojumu un atrod tā vispārīgo risinājumu.

Atkarībā no labās puses funkcijas f(x) un raksturīgā vienādojuma saknēm uzraksta nehomogēnā vienādojuma partikulāro atrisinājumu ar nenoteiktiem koeficientiem.

Aprēķina nenoteiktos koeficientus tā, lai šis atrisinājums apmierinātu doto diferenciālvienādojumu.

Uzraksta dotā vienādojuma vispārīgo atrisinājumu kā homogēnā vienādojuma vispārīgā atrisinājuma un nehomogēnā vienādojuma partikulārā atrisinājuma summu.

f(x) 1,2 y*

Pn(x) 1,2 01 = 0, 2 0

Qn(x)xQn(x)

Aex 1,2 1 = , 2 1,2 =

Mex

Mxex

Mx2ex

A cos x + B sinx

1,2 i1,2 = i

M cos x + Nsinxx(M cos x + Nsinx)

332 yyy

Homogēnais vienādojums un tā saknes

0322 13 21

xx eCeCY 23

1

0*0*3* yyy

1

33

A

A12

31 xx eCeCy

43 2 xyy


02 10 21

xeCCY 21

CxBxAxy

xCBxAxy

23

2

*

* CBxAxy 23* 2

BAxy 26*

432326 22 xCBxAxBAx

42

026

33

CB

BA

A

2

3

1

C

B

A

xxxeCCY x 23 2321

xeyyy 2244


0442 22,1

xexCCY 221

xeMxy 22* xx eMxMxey 222 22*

xxxx eMxMxeMxeMey 22222 4442*

xxxx

xxxx

eeMxeMxMxe

eMxMxeMxeMe222222

22222

222

4442

xx eMe 22 22

1M

xx exexCCY 22221

Click icon to add picture

Education

5.presentation4