Funkcijas nepārtrauktība

Argumenta un funkcijas pieaugums

• Par argumenta x pieaugumu sauc starpību x2 – x1 un apzīmē ar x

x = x2 – x1

• Starpību y2 – y1 sauc par funkcijas pieaugumu un apzīmē y

y = y2 – y1 = f(x2) – f(x1)

y = f(x + x) - f(x)

x1 x2

y1

y1

x

y

Riska, izdevumu un peļņas attiecība pētniecības un inovāciju procesā

Funkcijas nepārtrauktība• Funkciju y = f(x) sauc par

nepārtrauktu punktā x0, ja bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums

0lim0

yx

0)( limlim00

00

xxf

xx

xx

0)( 2

00

00

limlim

xxf

xx

xx

)0()()( limlim00

00

fxfxf

xx

xx

• Funkcija  ir nepārtraukta punktā x0 tad un tikai tad, ja tā ir nepārtraukta šajā punktā gan no kreisās, gan no labās puses. 

• Tā kā funkcija f nepārtraukta punktā  x0, tad 

• Tas nozīmē, ka funkcija nepārtraukta punktā  gan no kreisās, gan no labās puses.

Funkcija nav definēta pa kreisi no punkta x = 0

• Ja punktā x0 funkcija ir nepārtraukta, piemēram, no labās puses, bet pa kreisi no šī punkta tā nav definēta, tad funkcija ir nepārtraukta punktā x0.

• Ar funkcijas robežu tādā punktā saprot tās vienpusējo robežu.

Nepārtrauktu funkciju pamatīpašības

• Nepārtrauktas funkcijas modulis ir nepārtraukta funkcija.

• Nepārtrauktas funkcijas reizinājums ar konstanti ir nepārtraukta funkcija.

• Divu nepārtrauktu funkciju summa ir nepārtraukta funkcija.

• Divu nepārtrauktu funkciju reizinājums ir nepārtraukta funkcija.

• Divu nepārtrauktu funkciju dalījums ir nepārtraukta funkcija.

• Izvēlas patvaļīgu punktu

• Šis punkts x0 D(f) un x0 D(g). Tā kā f un g ir nepārtrauktas, tad

• Saskaņā ar teorēmu par funkciju dalījuma robežu eksistē

g

fDx0

00 limlim00

xgxgunxfxfxxxx

0

0

0

lim

limlim

0

0

0

xg

f

xg

xf

xf

xf

xg

xf

xx

xx

xx

Funkcijas pārtraukuma punkti un to klasifikācija

D(f)

Funkcijas pārtraukuma

punkti

Novēršama pārtraukuma

punkts

Pirmā veida pārtraukuma

punkts

Otrā veida pārtraukuma

punkts

Funkcijas nepārtrauktības

punkti

• Punktu x0 D(f)  sauc par funkcijas pārtraukuma punktu, ja šajā punktā funkcija nav nepārtraukta.

• Definīcijas apgabals

.

Pārtraukuma punktu funkcijai nav.

definīcijas apgabala punkts  x = x0 irfunkcijas pārtraukuma punktu, jo f(x0) = 0, bet  1)(lim

0

xfxx

Novēršama pārtraukuma punkts

• Funkcijas pārtraukuma punktu x0 sauc par tās novēršama pārtraukuma punktu, ja punktā  eksistē galīgas un vienādas funkcijas vienpusējās robežas, bet tās nav vienādas ar funkcijas vērtību šajā punktā.

• Tā kā punktā  funkcijas vienpusējās robežas sakrīt, tad šajā punktā eksistē galīga robeža

1. veida pārtraukuma punkts• Funkcijas pārtraukuma punktu  x0  sauc

par tās 1. veida pārtraukuma punktu, ja punktā  eksistē galīgas un dažādas funkcijas vienpusējās robežas

2. veida pārtraukuma punkts• Funkcijas pārtraukuma punktu  x0, kas

nav ne funkcijas novēršama rakstura pārtraukuma punkts, ne funkcijas 1. veida pārtraukuma punkts, sauc par funkcijas 2. veida pārtraukuma punktu.

• Funkcijas 2. veida pārtraukuma punkti ir tie pārtraukuma punkti, kuros vismaz viena no šīs funkcijas vienpusējām robežām ir bezgalība vai vispār neeksistē.

Dotajām funkcijām sameklēt pārtraukuma punktus un noteikt to veidu