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Matemática
Ejercicios
RESUELTOS
Patricio Alcaíno Martínez
Derechos Reservados
PSU
- 2 -
PSU Matemática-Ejercicios resueltosPatricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
Palabras iniciales
Estimados usuari@s:
• Este material que pongo a su disposición está creado a partir de las directrices dadas por el DEMRE para la PSU Matemática año 2011, en cuanto los ejes temáticos y contenidos que abarca y el tipo de ejercicios que comprende.
• La prueba original consta de 75 ejercicios y se debe responder en un máximo de 2 horas y 25 minutos.
• Este documento contiene 25 preguntas similares a las que se encuentran en la prueba original.
• Para trabajar con este material el usuario NO deberá hacer uso de calculadora.
Atentamente;
Patricio Alcaíno Martínez
2
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
3
1. Es divisible por tres:
I: La suma de tres números naturales consecutivos
II: La suma de un número natural con su antecesor y su sucesor
II: La suma de tres números impares consecutivos
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I, II y III
Solución:
I: La suma de tres números naturales consecutivos
La suma de ellos es: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1). Es divisible por 3.
II: La suma de un número natural con su antecesor y su sucesor
La suma de ellos es: n + (n - 1) + (n + 1) = 3n. Es divisible por 3.
II: La suma de tres números impares consecutivos
La suma de ellos es: (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 6n + 9 = 3(2n + 3). Es divisible por 3.
Alternativa correcta: E.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
4
2. Se ha observado en cierta variedad de pez, que entre los 10 y 100 días de vida, su peso (gr) es directamente proporcional a su longitud (cm) y a su edad (días). De este modo, un ejemplar de un mes tiene una longitud de 20 cm y pesa 90 gramos.
Si esto es así, un ejemplar de 2 meses de edad que mide 15 cm, pesa:
A) 120 gramos
B) 135 gramos
C) 150 gramos
D) 180 gramos
E) 225 gramos
Solución:
Haciendo E = edad, L = longitud, P = peso y K = constante de proporcionalidad, la relación entre las variables pueden ser expresadas algebraicamente así:
ELKP
Reemplazando valores dados:
3020K90
Despejando, K = 0,15
La relación es:
EL15,0P
Reemplazando para E = 60 días y L = 15 cm.
601515,0P
135P gramos.
Alternativa correcta: B.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
5
3. De las siguientes igualdades:
I: 279 5,1 II: 48 32
III: 5,25 42
Es (son) verdadera(s):
A) I, II y III
B) Solo II y III
C) Solo I y III
D) Solo I y II
E) Solo II
Solución:
I: 279 5,1
Convirtiendo el exponente decimal a fracción:
279 23
Convirtiendo la potencia de exponente fraccionario a raíz:
2793
Resolviendo la raíz:
2733 (verdadero)
II: 48 32
Convirtiendo la potencia de exponente fraccionario a raíz:
4823
Resolviendo la raíz:
422 (verdadero)
III: 5,25 42
Convirtiendo la potencia de exponente fraccionario a raíz:5,225 )2(2
55 22 (verdadero)
Alternativa correcta: A.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
6
4. Si 1xlog 231 , entonces xlog1
A) 1/2
B) 3/2
C) 5/2
D) 1/3
E) 1/6
Solución:
1xlog 231 / 3
3xlog 2
Aplicando propiedad del logaritmo de una potencia:
3xlog2 /:2
2
3xlog
Entonces, xlog12
5
2
31
Alternativa correcta: C.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
7
5. En la expresión siguiente, si x = 10, entonces, 3
52
3 2
x
x5=
A) 5
B) 3
C) 2,5
D) 0,33
E) 0,2
Solución:
Como tanto el numerador como el denominador de la expresión tienen el mismo índice de raíz, se puede expresar así:
3
52
2
352
3 2
x
x5
x
x5
Simplificando una x:
3
52
3
52
2
352
3 2x5
x
x5
x
x5
Reemplazando x = 10 y operando la fracción:
3
52
x5= 3
52
105 = 3
25105
= 32
250= 3125 = 5
Alternativa correcta: A.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
8
6. Al reducir la expresión 9m6m
9m2
2
queda:
A) m + 3
B) 3m
3m
C) 3m
1m
D) 3m
1
E) 3m2
3
Solución:
El numerador de la expresión es una suma por su diferencia, mientras que el denominador es un cuadrado de binomio. Haciendo las factorizaciones correspondientes:
9m6m
9m2
2
=
2)3m(
)3m()3m(
Simplificando (m – 3), queda:
2)3m(
)3m()3m(
=
)3m(
)3m(
Alternativa correcta: B.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
9
7. El polinomio pp2p 23 es divisible por:
I: p II: p – 1 III: p + 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
Solución:
Factorizando la expresión:
pp2p 23 = )1p2p(p 2 .
Por lo tanto, la expresión ya es divisible por p.
Al seguir la factorización, se advierte que en la expresión )1p2p(p 2 , el trinomio
es un cuadrado de binomio.
)1p2p(p 2 = 2)1p(p .
Por lo tanto la expre4sión original también es divisible por (p – 1).
Alternativa correcta: C.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
10
8. Un estudio realizado a una población de peces determinó la relación entre su longitud y peso, llegando a la siguiente función:
W = 0,02 L3; siendo W el peso, en gramos, y L la longitud, en centímetros.
Según este modelo, un pez de 160 gramos de peso tiene una longitud de:
A) 82 cm.
B) 53 cm.
C) 32 cm.
D) 25 cm.
E) 20 cm.
Solución:
Se conoce W = 160 y se debe calcular L.
Reemplazando:
160L02,0 3 /:0,02
02,0
160L3
000.8L3 / 3
3 000.8L
20L cm.
Alternativa correcta: E.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
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9. Se tiene una magnitud h, dada por la expresión:
2r
MGh
, en donde G se mide en
2
3
segKg
m
, M se mide en Kg y r en metros.
Entonces, las unidades de h son:
A) seg
m
B) 2seg
m
C) 2
2
seg
m
D) 2seg
mKg
E) 2
2
seg
mKg
Solución:
En la igualdad2r
MGh
, se reemplazan las unidades de cada factor.
2
2
3
m
KgsegKg
m
h
Se simplifica Kg. Además, 3m con 2m , quedando:
2
2
1
seg
m
1
1seg1
m
h
Alternativa correcta: B.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
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10. Un vendedor de diarios tiene 75 diarios para vender. De estos, hay con un precio de venta de $200 y el resto con un precio de venta de $250. Si, por la venta de todos los periódicos este señor junta la suma de $16.500, ¿cuántos diarios de $250 tenía?
A) 55
B) 45
C) 35
D) 30
E) 25
Solución:
Sea X = diarios a $200 e Y = diarios a $250. Entonces:
X + Y = 75
200X + 250Y = 16.500
Es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, en la cual interesa despejar Y.
En la primera ecuación: X = 75 – Y
Reemplazando esta en la segunda ecuación:
200 (75 – Y) + 250Y = 16.500
15.000 – 200Y + 250Y = 16.500
15.000 + 50Y = 16.500
50 Y = 1.500
Y = 1500/50 = 30
Alternativa correcta: D.
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11. La ecuación 21x52 tiene como solución:
A) –3/10
B) –7/20
C) 20/7
D) 7/20
E) 3/40
Solución:
Elevando la ecuación al cuadrado:
21x52 / 2()
2)21
(x52
4
1x52 / 4
1x208
x2018
x207
Alternativa correcta: D.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
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12. ¿Cuál de las rectas siguientes es paralela a la recta 2x + 5y – 5 = 0?
A) y = 1 + 2x
B) y = 1x52
C) y = x125
D) 5x2y
E) y = x952
Solución:
Se puede distinguir recta paralelas por su pendiente. Para ello, se expresa la recta 2x + 5y – 5 = 0 a su forma principal:
2x + 5y – 5 = 0
5y = -2x + 5
1x5
2y
La pendiente de la recta es -2/5. Por lo tanto, una recta paralela tendrá la misma pendiente.
Alternativa correcta: E.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
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13. Se ha establecido en microbiología que bajo ciertas condiciones de cultivo, una población de microorganismos crece en función del tiempo según la función:
N = 3 · 2t, siendo N los miles de bacterias del cultivo en el tiempo t, en horas desde que se inicia el cultivo.
Según el modelo, el tiempo para el cual habrá 30 mil bacterias en el cultivo está dado por la expresión:
A) log 3
B) log 30
C) 2log
1
D) 210log
E) 10
Solución:
En la ecuación N = 3 · t2 , se conoce N = 30 y se debe calcular t:
Reemplazando:
3023 t
3
302t
102t
Para calcular t se aplica logaritmo:
102t /log
10log2log t
10log2logt
2log10log
t
Pero log 10 = 1. Entonces:
2log1
t
Alternativa correcta: C.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
16
14. En la figura, la distancia entre los puntos P y Q es:
A) 12
B) 17
C) 13
D) 130
E) 223
Solución:
La distancia entre dos puntos en el plano está dada por:
221
221 )yy()xx(d , que es una aplicación del teorema de Pitágoras.
Haciendo A = (-3, -2) y B = (5, 13):
22 )132()53(d
22 )15()8(d
22564d
289d
17d
Alternativa correcta: B.
y
A
x-3
-25
13
(0,0)
B
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
17
15. En la figura, 21 L//L . 3L y 4L son transversales que se intersectan en P.
Con las medidas dadas, la medida de x es igual a:
A) 27/4
B) 15/2
C) 9
D) 12
E) 15
Solución:
Aplicando el teorema de Thales, se puede plantear la proporción:
9
x
6
8
Despejando x:
6
98x
12x
Alternativa correcta: D.
P
6
A
B
C
D
8
9x
3L 4L
1L
2L
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16. En la figura, ABC es triángulo rectángulo en C y CD es altura. Con los valores dados, la medida de x es:
A) 9
B) 10
C) 12
D) 15
E) 16
Solución:
Como ABC es rectángulo, es posible calcular AB , aplicando el teorema de Pitágoras.
22 2015AB = 25
Ahora, por el teorema de Euclides:
x25152
925
225x
Alternativa correcta: A.
Ax
B
C
D
2015
A x B
C
D
2015
25
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sitio 1 sitio 2
sitio 4sitio 3
125 m
17. Una parcela rectangular de 10.000 m2 de superficie, se ha dividido en cuatro sitios rectangulares, tal como muestra la figura. El terreno no considerado en los sitios se pavimentará, representado en forma achurada en la figura.El perímetro de la superficie a pavimentar es igual a:
A) 285 m
B) 330 m
C) 375 m
D) 410 m
E) Falta información
Solución:
Si la parcela tiene 10.000 2m de superficie y es un rectángulo de largo 125 m, entonces su ancho es:
125
000.10A = 80 m.
Como los sitios son rectangulares, entonces los lados del área achurada son paralelos. Se puede distinguir que los trazos horizontales superiores corresponden a un largo de la parcela y los inferiores también. De la misma forma, los trazos verticales corresponden a dos anchos.
Por lo tanto, el perímetro del área a pavimentar es igual a 2 largos + 2 anchos = 410 m.
Alternativa correcta: D.
PSU Matemática-Ejercicios resueltos 2Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados
20
18. En la figura, ABCD es trapecio rectángulo en B, con base BC.Si AD = 4 cm, BC = 14 cm, la altura del trapecio es 6 cm y E es punto medio de CD, entonces, el área de la región achurada es:
A) 54 cm2
B) 42 cm2
C) 33 cm2
D) 27 cm2
E) 21 cm2
Solución:
Adjuntando los datos a la figura, se tiene:
Se tiene, en resumen, que el área achurada es el área de un trapecio de bases 14 y 4 y altura 6, menos el área de un triángulo de base 14 y altura 3.
Área achurada = 2
3146
2
414
= 54 – 21 = 33 cm2
Alternativa correcta: C.
B
C
D
A
E
B
C
D
A
E
414
6
h=3
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19. Se tiene un rectángulo de lados x y x2 . Entonces, la expresión igual a su diagonal es:
A) 5x
B) 3x
C) x5
D) x3
E) x5
Solución:
Llevando la situación al esquema de un rectángulo:
Se tiene que la diagonal d es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos x y 2x.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
222 )x2(xd
222 x4xd 22 x5d /
2x5d
5xd
Alternativa correcta: A.
x
2x
d
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20. En la figura, ABC es triángulo isósceles rectángulo en C, con AC = 2 cm. CD y CE son arcos de circunferencia con centro en B y A, respectivamente. El área de la región sombreada en la figura es, en cm2:
A) 4 - 21
B) 2 - 21
C) 4 - 2
D) 2 -
E) 4 -
Solución:
Cada una de las regiones sombreadas de la figura corresponde al área del triángulo, menos un sector circular correspondiente a su arco. Por ello, primero se calculará una de estas regiones:
El área del triángulo es 22A21 = 2 2cm .
Como el triángulo es isósceles rectángulo, cada sector circular corresponde al de un arco de 45°. Es decir, a la octava parte de un círculo completo:
Área de un sector circular = 281 2 =
21 2cm
En 2cm , cada región sombreada corresponde, entonces: 212A )
Como son 2 regiones sombreadas: )2(2A21
sombreada = (4 - ) 2cm
Alternativa correcta: E.
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21. En la figura, O es centro de la semicircunferencia de radio OP = 4 cm, con una circunferencia inscrita tangente en O.
El área de la circunferencia inscrita es:
A) 21 2cm
B) 2cm
C) 2 2cm
D) 4 2cm
E) 16 2cm
Solución:
El diámetro de la circunferencia inscrita es 4 cm. Por lo tanto, su radio es 2 cm.
El área del círculo inscrito es, entonces:
22A = 4 2cm
Alternativa correcta: D.
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22. Se realiza un estudio con un pequeño grupo de familias, para verificar el número de lactantes por familia. El siguiente es el gráfico resultante:
De acuerdo al gráfico, ¿qué % de las familias de la muestra tiene uno o dos lactantes?
A) 47%
B) 44%
C) 28%
D) 16%
E) 11%
Solución:
De acuerdo al gráfico:
El total de familias de la muestra es: 12 + 4+ 7 +2 = 25 familias
Las familias que tienen uno o dos lactantes son: 4 +7 = 11
Llevando a %:
P = 11/25 * 100 = 44%.
Alternativa correcta: B.
Número de lactantes por familia
0 1 2 3
Núm
ero
de c
asos
1211109876543210 Nº
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23. Una máquina tiene dos pilotos (luces), A y B, que pueden estar encendidas o apagadas independiente una de otra. La probabilidad de que A esté encendida es 0,2 y la B es 0,6.
La probabilidad de que solo una de ellas esté encendida es igual a:
A) 0,56
B) 0,48
C) 0,32
D) 0,24
E) 0,12
Solución:
Sean los siguientes sucesos:
A = luz A está encendida; A’ = luz A no está encendida
B = luz B está encendida; B’ = luz B no está encendida
Entonces, de acuerdo a los datos:
P(A)= 0,2; P(A’) = 0,8
P(B)= 0,6; P(B’) = 0,4
Para que haya solo una de ellas encendida se tiene que dar lo siguiente:
Encendida la A y no la B, o: encendida la B y no la A.
Esto, en lenguaje de probabilidades es:
P(A y B’) o P(A’ y B)
Aplicando propiedad del producto en el conectivo “y” y el de la suma en el “o”:
0,2 x 0,4 + 0,8 x 0,6 = 0,08 + 0,48 = 0,56
Alternativa correcta: A.
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24. Es posible calcular el perímetro del triángulo PQR de la figura, si:
(1) PQ = 15 cm
(2) tg = 0,75
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
Solución:
Para calcular el perímetro de un triángulo se requiere tener sus lados. Ya se
conoce 9PR . Faltan PQ y QR .
(1) PQ = 15 cm
Con este dato se conocen dos lados del triángulo, pero falta uno. No hay datos que nos permitan deducir que PQR es rectángulo y, por lo tanto, nada se puede hacer
para calcular QR .
Por lo tanto, (1) por sí sola, no permite llegar a la solución.
(2) tg = 0,75
Sin saber qué tipo de triángulo, el conocer tg = 0,75 no ayuda a llegar a la solución.
Por lo tanto, (2) por sí sola, no permite llegar a la solución.
Ambas juntas, (1) y (2).
Sin saber qué tipo de triángulo es PQR, esta información conjunta, sigue siendo insuficiente para llegar a la solución.
Por lo tanto, se requiere información adicional.
Alternativa correcta: E.
R
P Q
9
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25. Una urna, cuyo contenido no puede ser visto desde afuera, contiene solo bolitas blancas y bolitas negras. Es posible calcular cuántas bolitas blancas contiene la urna, si:
(1) La caja contiene un total de 8 bolitas.
(2) En una primera extracción al azar, la probabilidad de extraer una bolita negra es 1/4.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
Solución:
(1) La caja contiene un total de 8 bolitas.
Si bien se tiene el total de bolitas, falta un dato de casos favorables para poder determinar la cantidad de bolitas blancas.
Por lo tanto, (1) por sí sola, no permite llegar a la solución.
(2) En una primera extracción al azar, la probabilidad de extraer una bolita negra es 1/4.
Con esta probabilidad solo es posible calcular que la probabilidad de bolita blanca es ¾, pero no permite calcular la cantidad de bolitas blancas.
Por lo tanto, (2) por sí sola, no permite llegar a la solución.
Ambas juntas, (1) y (2).
Si la probabilidad de negra es ¼ y hay 8 bolitas en total, entonces sí se puedecalcular la cantidad de bolitas negras y finalmente las blancas.
Ambas juntas, (1) y (2), sí permite resolver el problema.
Alternativa correcta: C.