Augstāku kārtu atvasinājumi

Funkcijas atvasinājuma jēdziena fizikālā

interpretācija

t

x

t t + tt

x(t)

x(t + t)

t

txttx

t

xvvid

t

txttx

t

xvv

ttvid

t

limlimlim

000

x

Otrās kārtas atvasinājuma mehāniskā interpretācija txx Materiāla punkta taisnvirziena kustības likums

tvtx ' Punkta momentānais ātrums

tvttvv Momentānā ātruma pieaugums laika intervālā t

vidat

v

Materiāla punkta vidējais paātrinājums intervālā t

it

vidt

vt

vaa 'limlim

00

Materiāla punkta paātrinājums a laika momentā t

''''' ttttt xxva

''' vuvu '''''''' vuvuvu

''' uvvuuv ''''2''''''' uvvuvuuvvuuv

nnnnn uvvunn

vnuvuuv

...''21

1' 21

Leibnica formula

3xxf 3223

3

33 xxxxxx

xxxxf

322 33 xxxxx

xfxxfy

xx 23

323 xxx

Lineārais saskaitāmais pret x

Nelineārais saskaitāmais pret x

232

0

2

0

322

00

333

33

limlim

limlim

xx

xxx

x

xx

x

xxxxx

x

y

xx

xx

xxfx

y

' xxxxfy '

xxf '

xx

Funkcijas pieauguma galvenais loceklis

Augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija

• Funkcijas y = f(x) pieauguma galveno un attiecībā pret x lineāro locekli sauc par funkcijas f(x) diferenciāli punktā x un apzīmē ar dy jeb df(x).

xxfxdfdy '

dxxfdy ' dx

dyxf '

Fermā teorēma

• Pieņem, ka funkcija f(x) ir definēta intervālā (a; b) un kāda šī intervāla punktā x = c tai ir lielākā vai mazākā vērtība. Ja punktā x = c funkcijai f(x) eksistē atvasinājums, tad tas ir vienāds ar nulli.

0' cf

• Pieņem, x = c max M f(c) f(c + x)f(c + x) - f(c) 0

• Pieņem, x > 0

• Ja x 0, tad f’(c) 0

• Ja x < 0, tad

f’(c) 0

0

x

cfxcf

cfx

cfxcf

x

'lim0

0

x

cfxcf

cfx

cfxcf

x

'lim0

Lagranža teorēma

• Pieņem, ka funkcija f(x) ir nepārtraukta intervālā [a; b] un diferencējama šī intervāla iekšējos punktos. Tad intervālā (a; b) eksistē vismaz viens tāds punkts c, kurā ir pareiza vienādība

cfab

afbf'

abcfafbf '

• Taisnes vienādojums caur diviem dotajiem punktiem A(a; f(a)) un B(b; f(b))

ab

ax

afbf

afy

afaxab

afbfy

xfy

Funkcijas vienādojums Taisnes vienādojums

afaxab

afbfxfxF

Starpība starp funkcijas grafika un hordas punkta ordinātām

ab

afbfxfxF

''

0' cF 0'

ab

afbfcf

Košī teorēma• Pieņemsim, ka funkcijas f(x) un (x) ir nepārtrauktas intervālā [a; b] un

diferencējamas šī intervāla iekšējos punktos, pie tam (x) ≠ 0. Tad intervālā eksistē vismaz viens tāds punkts c, kurā ir spēkā vienādība

ccf

ab

afbf

'

'

Lopitāla kārtula

• Pieņem, ka funkcijas f(x) un (x) ir nepārtrauktas un diferencējamas punkta a apkārtnē, izņemot varbūt pašu punktu a, pie tam minētajā apkārtnē ir spēkā nevienādības (x) ≠ 0, ’(x) ≠ 0, un abas šīs funkcijas tiecas uz nulli vai bezgalību, kad x a.

• Ja eksistē šo funkciju atvasinājumu attiecības robeža, kad x a, tad eksistē funkciju attiecības robeža un abas minētās robežas ir vienādas.

xxf

x

xf

axax '

'limlim

Attiecas uz nenoteiktībām un 0

0

01;;0 00

x

x

xb lim0

01

1

1ln

lnlnlnln

limlimlim

limlimlim

02

00

000

x

x

x

x

x

xxxxb

xxx

x

x

x

x

x

Teilora formula n-tās pakāpes polinomam

nn

n

nnnn

xxn

xP

xxxP

xxxP

xPxP

00

20

00

00

!...

!2

''

!1

'

Funkcijas f(x) n-tās pakāpes Teilora polinoms

xRxxn

xf

xxxf

xxxf

xfxf

nn

n

00

20

00

00

!...

!2

''

!1

'

0xRn