2012-2013

YAZAR: FURKAN AYDIN

http://matematik-canavari.blogspot.com/

Bu kaynak ücretsiz olarak sunulmuştur.

Parayla satılmaz. Öğrencilere yardımcı

olmak üzere ders kitapları referans

alınarak hazırlanmıştır.

8. SINIF MATEMATİK CANAVARI

1

8. SINIF KONULARI 1.BÖLÜM ....................................................................................................................................................

8.1.1.Üslü Sayılar - Bilimsel Gösterim ...................................................................................................1

8.1.2.Kareköklü Sayılar .........................................................................................................................5

8.1.3.Gerçek Sayılar - İrrasyonel Sayılar ...............................................................................................9

2.BÖLÜM ....................................................................................................................................................

8.2.1. Özel Örüntüler (Sayı Dizileri) - Fraktallar ................................................................................. 11

8.2.2. Özdeşlikler, Çarpanlara Ayrılma .............................................................................................. 15

8.2.3. Doğrusal Denklem Sistemleri - Eşitsizlikler .............................................................................. 21

8.2.4. Koordinat Düzleminde Öteleme ve Yansıma .......................................................................... 29

3.BÖLÜM ....................................................................................................................................................

8.3.1.Üçgende Kenar Bağıntıları ........................................................................................................ 31

8.3.2.Üçgen Çizimi ve Üçgende Yardımcı Elemanlar ........................................................................ 33

8.3.3.Üçgende Eşlik ve Benzerlik ....................................................................................................... 35

8.3.4.Pisagor Bağıntısı - Özel Üçgenler .............................................................................................. 41

8.3.5.Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar- Doğrunun Eğimi ............................................................ 48

4.BÖLÜM ....................................................................................................................................................

8.4.1. Üçgen Prizma ........................................................................................................................... 52

8.4.2. Dikdörtgenler Prizması - Kare Prizması - Küp .......................................................................... 56

8.4.3. Piramitler ................................................................................................................................. 60

8.4.4. Koni .......................................................................................................................................... 64

8.4.5. Küre ......................................................................................................................................... 68

8.4.6. Çok Yüzlüler ve Yapıların Görünümleri - Perspektif................................................................. 72

2

5.BÖLÜM ....................................................................................................................................................

8.5.1. Kombinasyon - Permütasyon .................................................................................................. 75

8.5.2. Olasılık - Olay Çeşitleri ............................................................................................................. 82

8.5.3. İstatiksel Temsil Biçimleri - Standart Sapma............................................................................ 85

8.5.4. Olasılık Çeşitleri ....................................................................................................................... 87

1

8.1.1.Üslü Sayılar - Bilimsel Gösterim

Üslü Sayılar

a.a.a.a.a…..a=an (n tane a’nın çarpımı)

(a=taban, n=üs veya kuvvet)

3x3x3x3=34 (4 tane 3’ün yan yana yazılıp

çarpılmasıdır.)

ÖR:

81=3.3.3.3=34 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)

27=3.3.3=33(Her iki tarafı da 3’e bölelim)

9=3.3=32 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)

3=3.1=31 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)

1=3.

=30 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)

= 3-1 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)

=3-2 (Her iki tarafı da 3’e bölelim)

Bu işlem sonsuza kadar gider ve diğer tam

sayılar içinde geçerlidir.

Sonuç :

=x-1 veya x-1 =

dir.

Sonuç :

=x-m veya x-m =

dir.

Pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti

pozitiftir.

Negatif bir sayısının tek kuvvetleri

negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

Not: (-2)4≠-24 tür .Çünkü,

(-2)4=(-2). (-2). (-2). (-2)=16 dır.

-24=-2. 2.2.2=-16 dır.

İpucu: Ardışık tek sayıların toplamı:

1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n.n=n2

Not: (

)-n=(

)n dir.

Not: Tabanları aynı olan üslü sayılar

çarpıldığında taban aynen alınır ve üslerin

toplamı tabana kuvvet şeklinde yazılır.

ax.ay=ax+y

Not: Tabanları aynı olan üslü sayılarla bölme

işlemi yapılırken taban aynen alınır. Paydaki

üslü sayının kuvvetinden paydadaki üslü

sayının kuvveti çıkarılarak tabana kuvvet

şeklinde yazılır.

=ax-y

Not: Bir üslü sayının üssü alındığında üsler

çarpılarak aynı tabana üs şeklinde yazılır.

(ax)y= axy

Not: Birbirine eşit olan üslü sayıların tabanları

eşit ise üsleri de eşittir.

ax=ay ise x=y dir.

Not: ax.bx=(ab)x

Çok Büyük ve Çok Küçük Pozitif Sayılar

Bir tam sayıyı 10n (n ∈ N) ile çarpmak tam

sayının sağına n tane sıfır ilave etmektir.

Bir basamaklı bir tam sayıyı 10–n (n ∈ N) ile

çarpma işlemi, tam sayının soluna ve ondalık

sayının kesir kısmına (n - 1) tane sıfır ilave

etmektir.

Ör:

200 000 000 = 2000.105=2.108

0,000000002 = 20.10–10 =2.10–9

Bilimsel Gösterim

a.10n biçiminde yazılan sayılarda n’nin pozitif

tam sayı olduğu sayılar çok büyük pozitif

sayılar, n’nin negatif tam sayı olduğu sayılar

çok küçük pozitif sayılardır.

2

1 ≤ a < 10 olmak üzere a · 10n (n∈Z) biçiminde

yazılan sayılar çok büyük veya çok küçük

pozitif sayıların bilimsel gösterimidir.

Ör: 19.1023=1,9.1024

0,028.1040=2,8.1038

0,0091.10–31=9,1.10–34

700.10–34=7.10–32

SORULAR

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3

7.

8.

9.

10.

11.

12.

4

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

5

8.1.2.Kareköklü Sayılar

√ Sembolünü ilk kez Alman matematikçi

Christoff Rudolff (Kristof Rudolf 1499-1545)

“Die Coss” kitabında, 1525 yılında kullanmıştır.

ÖR: 49=7.7=72 olduğunu biliyoruz. Buradan

yola çıkarak 49 hangi pozitif sayının çarpımıdır

dediğimizde bunu karekök denilen işlemle

kısaca yapabiliriz.

√ =√ =7 olur.

Sonuç: Verilen sayının, hangi sayının karesi

olduğunu bulma işlemi, karekök almaktır.

Pozitif karekök “√ ” sembolü ile, negatif

karekök“-√ ” sembolü ile gösterilir.

√ ifadesi “karekök üç” olarak okunur.

NOT: “√ ” sembolünü, bir sayının pozitif

karekökünü bulmak için kullanırız. Yani bir

sayının karekökü pozitif bir sayıdır.

√ =1, √ =2, √ =3,

√ =4, √ =5,

√ =6, √ =7, √ =8,

√ =9, √ =10 dur.

Karekökleri tam sayı olan doğal sayılar

(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...),

tam kare sayılar olarak adlandırılır.

Karekök Tahmini

ÖR: √ sayısını en yakın onda birliğe kadar

tahmin edelim:

√ <√ <√ ise

7<√ <8 dir.

Cevap :7

ÖR:

Karekökü alınacak sayıyı,

sağdan sola doğru ikişerli

gruplara ayırırız.Soldaki

grupta bulunan 40’a en yakın olan tam kare

sayı 36’dır. 36’nın karekökünü çizginin üzerine

yazıp 40’tan 36’yı çıkarırız.4’ün yanına 96

sayısını indiririz.

Çizginin üzerindeki 6

sayısını çizginin altına

yazıp 2 ile çarparız.

12 sayısının yanına

ve altına öyle bir

rakam yazalım ki

elde ettiğimiz sayı

ve rakamın çarpımı 496 olsun. Bu sayı 4’tür. 4

sayısını çizginin üzerindeki 6 sayısının yanına

da yazarız. Elde ettiğimiz 64 sayısı, aradığımız

sayının kareköküdür.

Kareköklü İfadelerde İşlemler

Toplama ve Çıkartma

Kareköklü sayılarla toplama işlemi yapılırken

kök içleri aynı olan terimlerin kat sayıları

toplanır, ortak kök aynen yazılır. Bu özellik

kareköklü sayılarla çıkarma işlemi için de

geçerlidir.

√ √ √

√ √ √

√ √ √ √

NOT: √ √ √ dir.

√ √ √ √

Ör:

√ √ √ =12√

√ √ √ √ =1√ =√

6

Çarpma ve Bölme

Kareköklü sayılarla çarpma işleminde kat

sayılar kendi aralarında, karekök içindeki

sayılar da kendi aralarında çarpılır.

√

√

√

NOT: √

ifadesinde n yazılmamışsa 2 olduğu

bilinmelidir.

***Aynı karekök içindeki sayılar pay ve

paydada ayrı ayrı köklerde yazılarak bölme

işlemi yapılabilir.

√

√ √

ÖR:

√

=√

√ =

=

NOT: √

dir.

Köklü İfadeyi Dışarı Çıkartma

ÖR: √ =

75 sayısını çarpanlara ayıralım:

Paydayı Kökten Kurtarmak

√

√ √

√

√

√

√

√

√ √

SORULAR

1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) 725 B)

C) 3

49:16 D) 333

2.

=?

3. 17

161

11

251

5

4 =?

4. 3356 A ise A =?

1025

258

)2(8)3( 32

7

5. 320 sayısının yaklaşık değerinin

bulunabilmesi için aşağıdaki sayılardan

hangisinin bilinmesi yeterlidir?

a) 2 b) 3 c) 5

d) 7

6.1082775

4

52

=?

7. ?4444

22223333

4444

8. 13 a ve 13 b iseba

ba

=?

9. a= 3 , b= 5 olduğuna göre, 240

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine

eşittir?

a)3ab b)4ab c)5ab

d)6ab

10. 4467 x ise x=?

8

11. 2222

2222

4444

8888

=?

12. ?01,0

1

04,0

1

09,0

1

13. 1111

1111

3.3.3.3

2.2.2.2

=?

14. 8 5 15 1 =?

15.√ ifadesinin sonucunun bir tam sayı

olması için m yerine gelebilecek sayılar

toplamı kaçtır?

16. a = -2, b = 1 için

2 2 03 3 2 4 11a b a b ifadesinin değeri

kaçtır?

17. x - y nin çarpanlarından biri

aşağıdakilerden hangisidir?

a) x + y b) yx

c) yx d) x + y

18. 5 19 11 4 =?

9

8.1.3.Gerçek Sayılar - İrrasyonel Sayılar

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılar irrasyonel sayı olarak adlandırılır. Bu sayıların oluşturduğu küme irrasyonel sayılar kümesidir. ÖR: Aşağıdaki sayılardan hangilerinin irrasyonel sayı hangilerinin rasyonel sayı olduğunu belirleyelim. a) 4,33... devirli ondalık kesrini iki tam sayının oranı olarak yazabiliriz. Aradığımız oran x olsun, x= 4,333... olur. Devreden 3 sayısını yok edebilmek için eşitliğin her iki tarafını 10 ile çarpalım: 10x=43,333... Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkaralım:

9x=39 olur. x=

=

4,333... devirli ondalık kesri, iki tam sayının oranı olarak yazılabildiğinden rasyonel sayıdır. b) 2,01020301... şeklinde sonsuza kadar düzensiz bir şekilde devam eden sayılar iki tam sayının oranı şeklinde yazılamaz. Dolayısıyla bu sayı irrasyonel sayıdır. Sayı kümelerini inceleyelim: Sayma sayıları (S), Doğal sayılar (N), Tam sayılar (Z), Rasyonel sayılar (Q) olup aralarında S⊂N⊂Z⊂Q şeklinde alt küme ilişkisi vardır. Aynı zamanda S = N+ olur. İrrasyonel sayılar (I), rasyonel sayılar kümesini kapsamaz. Dolayısıyla bu kümeler ayrıktır. I∩Q={ } Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesini oluşturur. Gerçek sayılar kümesi R sembolü ile gösterilir. I ∪Q=R Gerçek sayılarla, sayı doğrusundaki tüm noktalara bir sayı sistemi karşılık gelmiş olur. Yani gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

Gerçek sayılar kümesinin diğer sayı kümeleriyle ilişkisini aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.

Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:

Sayının tamamından devretmeyen kısım çıkarılır.

Paydaya virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılarak rasyonel sayı oluşturulur. SORULAR

1.

3,03

3332

xxx

ise x=?

2. Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayı değildir?

a) 3

365

b) 643

c) 82 d) 45

3

10

3. X=0,3+0,03+0,003+….. Y=0,6+0,06+0,006+….. Z=0,9+0,09+0,009+…. Yukarıda verilen X,Y,Z değerlerine göre X.Y.Z çarpımının sonucu kaçtır?

4.

=?

5. Bir irrasyonel sayı ile bir tam sayının toplamı rasyonel bir sayı mıdır?

11

8.2.1. Özel Örüntüler (Sayı Dizileri) –

Fraktallar

Belirli bir kurala göre düzenli bir şekilde tekrar eden veya genişleyen şekil ya da sayı dizisine örüntü denir. Örüntüler eş ya da benzer çokgenler kullanılarak oluşturulur. Ünlü matematikçi Fibonacci’nin bulduğu sayılarda özel bir örüntü vardır. Bu örüntüde bir sayıyı kendisinden önceki sayıya böldüğümüzde birbirine çok yakın sayılar elde edilir. Bu oran altın oran olarak adlandırılır. Fibonacci sayıları 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,… şeklindedir. Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri ile inşa edilen örüntüler “fraktal” olarak adlandırılır.

NOT: Karesel sayıların oluşturduğu dizide, ardışık sayılar arasındaki farkın oluşturduğu dizi tek sayılar dizisidir. 0 1 4 9 16 25 36…(aralarındaki fark altına yazılmış.) 1 3 5 7 9 11 ÖR: Pascal üçgeni,

Yanda verilen sayıların oluşturduğu üçgen, Pascal üçgenidir. Pascal üçgenini yandaki gibi gösterip üzerindeki örüntüleri inceleyelim:

Sayılar aşağıdaki şekildeki gibi toplandığında ise Fibonacci dizisi elde edilir.

Aritmetik Dizi Bir sayıya art arda aynı sayının eklenmesi veya çıkarılması ile oluşan diziye aritmetik dizi denir. Aritmetik dizide ardışık iki terimin farkı ardışık eklenen veya çıkarılan sayıdır. Bu sayıya dizinin ortak farkı denir. ÖR: 1, 3, 5 , 7, … dizisi aritmetik bir dizidir. 1.terime 2 eklenerek elde edilmiştir. Ortak fark 2 dir. Geometrik Dizi Bir sayıyı ardışık olarak aynı sayı ile çarparak veya bölerek oluşturulan diziye geometrik dizi denir. Geometrik dizide ardışık terimlerin oranı, ardışık çarpılan veya bölünen sayıdır. Bu sayıya dizinin ortak çarpanı denir. ÖR: 3, 12, 48, 192, … dizisi geometrik dizidir. 1. Terim 4 ile çarpılarak elde edilmiştir. ÖRNEKLER 1. Aşağıdaki örüntünün kuralını bulalım.

1. sırada 1 tane 2. sırada 4 tane 3. sırada 9 tane 4. sırada 16 tane

12

n. sırada ? tane Dikkat edersek sıra sayısı ile oluşan birim kare sayısı arasındaki ilişkiyi görebiliriz. Sıra sayısının karesi örüntünün kuralını verir. Sonuç: n. sırada n2 tane birim kare vardır. 2.

1. sırada 1 tane 2. sırada 3 tane 3. sırada 5 tane 4. sırada 7 tane n. sırada ? tane Sonuç: n. sırada (2n-1) tane birim kare vardır.

3. Fraktal ile normal örüntü arasındaki fark nedir?

Fraktallar da bir çeşit örüntüdür. Fakat örüntülerden farklıdır. Fraktallar virüs gibidir, her bir parçasından devamlı benzer parçaları

oluşur. Normal örüntülerde ise benzer parçalar vardır fakat bu parçalar birbirinden oluşmaz. Bir şeklin fraktal olup olmadığını anlamamızı sağlayan en önemli nokta şudur: Fraktalların içinde veya üzerinde oluşturulan şekiller birbirinin küçültülmüş veya büyütülmüş şekilleridir. Genellikle küçülme ve büyüme yoluyla oluşturulurlar. Fraktallara en çok verilen örnek eğrelti otudur. Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.

4.

Yukarıdaki şekli devam ettirirsek oluşabilecek 3. Şekil:

5. Fraktallar

6. Aşağıdaki verilen fraktalın 5. adımındaki üçgen sayısını bulunuz?

1.adım 1 üçgen 2.adım 1 + 3= 4 üçgen 3.adım 1 + 3 + 9 = 13 üçgen 4.adım 1 + 3 + 9 + 27 = 40 üçgen 5.adım 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 üçgen

13

7. Aşağıda şekil dizilerinden hangisi fraktal belirtir?

"Fraktal geometri insan zihninin bir ürünü olmaktan çok, bir keşiftir" R. Penrose SORULAR S1. Aşağıdaki şekilde kibrit çöpleri ile oluşturulan örüntü modeli ile her bir modelde kullanılan kibrit çöpü sayısı arasındaki ilişkiyi bulunuz.

S2. 5 sayısına 3 sayısını art arda ekleyerek aritmetik dizi oluşturunuz. Bu dizinin 17. terimini bulunuz.

S3. Yandaki örüntüye

göre 11. ve 25. Sıradaki kibrit sayısını bulunuz. S4. 3 sayısına ardışık olarak (1/3) n sayısı çarpılarak bir geometrik dizi oluşturuluyor. Dizinin kuralını belirleyip 10. terimini yazınız. S5.

S6.

14

S7.

Şekilde iç içe çizilen çemberler, içinde bulundukları çemberlere ve bu çemberlerin merkezinde birbirlerine teğettirler. Buna göre; a) 7. sıraya kadar her bir sırada kaç çember çizilir? b) 8. sıradaki çember sayısını bulunuz. c) Örüntünün kuralını bulunuz. S9.

S10.

15

8.2.2. Özdeşlikler, Çarpanlara Ayrılma

ÖZDEŞLİKLER Değişkenlerin tüm değerleri için doğru olan eşitliklere özdeşlik, bir veya birkaç değeri için doğru olan eşitliklere ise denklem denir. Not: Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için; denklemler ise bazı gerçek sayı veya sayılar için doğrudur. Ör: x2-1=(x-1).(x+1) ifadesi özdeşliktir, Çünkü her x değeri için eşitlik asla bozulmaz. İki Kare Farkı Özdeşliği:

a2 – b2 = (a + b).(a – b)

ÖR: a2-b2= (a-b). (a+b) ifadesini modelleyelim.

Kenar uzunluğu “a” olan bir karenin bir köşesinden kenar uzunluğu “b” olan başka bir kare çizelim.

Kalan

parçayı

köşesinden kesip elde ettiğimiz parçaları

birleştirerek yandaki gibi bir dikdörtgen elde

edebiliriz. Oluşan dikdörtgenin alanı (a-

b).(a+b)’dir. Aynı alanı, alanı a2 olan büyük

karenin alanından, alanı b2 olan küçük karenin

alanını çıkararak da bulabiliriz. O hâlde;

a2-b2= (a-b).(a+b)’dir.

Tam Kare Özdeşliği:

İki Terim Toplamının Karesi:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

İki Terim farkının Karesi:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Not: Tam kare özdeşlikleri taraf tarafa toplama ve çıkartma işlemleri yapılırsa aşağıdaki özdeşlikler elde edilir. x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy Çarpanlara Ayırma Harfli ifadelerin çarpanları aşağıdaki yöntemlerden uygun olan kullanılarak bulunur. • Ortak çarpan parantezine alma • Gruplandırma • Baştaki ve sondaki terimin çarpanlarından yararlanma • Özdeşliklerden yararlanma 1.Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma işleminde, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanılır. Ör: 4x+6 ifadesinin çarpanlarına ayıralım. 4x+6 ifadesine karşılık gelen modeller:

Bu parçalar kullanılarak aşağıdaki dikdörtgen elde edilir.

16

Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları 4x+6 ifadesinin çarpanlarıdır. 4x+6= 2.(2x+3) 2. Gruplandırma: Benzer terimler ortak paranteze alınır. Ör: 2xy-6 + 3x-4y ifadesini çarpanlara ayıralım. (2xy-4y) + (3x-6) İfadeyi yandaki gibi gruplandıralım. =2y.(x-2) + 3.(x-2) Gruplardaki terimleri ortak çarpan parantezine alalım.

=(x-2) . (2y+3) (x-2) ortak çarpan parantezine alalım. 3. ax2 + bx + c Üç Terimlisini Çarpanlarına Ayırma Ör: x2 + 6x + 9

x2 ve 9’un uygun çarpanlarının yazıldığına ve bu çarpanların çapraz çarpımları toplamının ortadaki terimi verdiğine dikkat ediniz.

x2 ve 9’un

çarpanlarının ok yönünde toplanarak çarpılmasının x2 + 6x + 9’un çarpanlarını verdiğine dikkat ediniz.

Ör:

Ör:

(x+2).(x+1)

SADELEŞTİRME Ör:

Ör:

Ör:

17

SORULAR

1. ?4a4a

8a2:

4a

8a6a22

2

2. 5ba ve a.b= 6 ise; 22 ba ifadesi

kaça eşittir?

3. ?8x7x2 ifadesini çarpanlara ayır.

4.

ifadesini sadeleştir.

5. 22

22

288

28

yxyx

yx

ifadesini sadeleştir.

6. 2 2119 117 2A olduğuna göre A kaçtır?

7. 2

2

3 4 4:

1 1

a a a

a a

ifadesini sadeleştir.

8. a+b=8 a.b=3 olduğuna göre a²+b²= ?

18

9. 3

2x ifadesinin açılımını bulunuz.

10. 7ax - x(5a-3) – (5x- 4ax) işleminin sonucunu bulunuz.

11. 93

4:

27

652

2

3

2

xx

x

x

xx=?

12. 2

3223

22

22 33:

2

ba

babbaa

ba

baba

=?

13. 282 – 122 ifadesinin değeri kaçtır?

14. 3 1x ve 3 1y ise 22 yxy2x ifadesinin değeri kaçtır?

15. 2 2

2 2

25 6 5

4 5 1

x x x

x x x

=?

19

16.

22

3

2

3

2

xx=?

17. 22 2516 ba =? İfadesinin çarpanlarına ayrılmış halini bulunuz.

18. a 2 sayısının 2a+1 fazlası a 2 -1 sayısının kaç katıdır?

19.

5

5

25

2510 2

2

2

x

xx

x

xx=?

20. 24

5222

yx

yx ise ? yx

21. a2-b2=17 ise 2a+b ifadesinin değeri kaçtır?

22. )23.(

)2).(1(2

22

xxx

xxx=?

20

23. 3a2a

3a4a

6a5a

6aa2

2

2

2

=?

24. 2 2

2 2x x =?

25. (25m²x² - 49tª) = (5mx – 7t³).(5mx + 7t³) yandaki özdeşlikte а = ?

26. ab-ac=15 ve b-c=5 ise b-c-a ’nın değeri

kaçtır?

21

8.2.3. Doğrusal Denklem Sistemleri –

Eşitsizlikler

Doğrusal Denklem Sistemleri Aynı bilinmeyenlerle oluşturulan farklı denklemler, denklem sistemi oluşturur. Ör: x+y=5 ve x-2y=-4 denklemleri denklem sistemi oluşturur. Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri Yerine Koyma Yöntemi Verilen iki denklemin, herhangi birinden bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsinden bulunur ve diğer denklemde yerine yazılır. Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülür. Bulunan bu değer, denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur. Yok Etme Yöntemi Verilen her iki denklemin, bilinmeyenlerinden birinin katsayıları simetrik (mutlak değerce eşit ve zıt işaretli) olmalıdır. Bu koşul yoksa bilinmeyenlerden herhangi birinin, her iki denklemde de katsayıları simetrik duruma getirilir. Sonra her iki denklem taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir. Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülerek, bilinmeyenlerden biri bulunur. Bulunan bu değer, denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur. Karşılaştırma Yöntemi Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir). Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.

Ör:

y=0,5 bulunur. y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılırsa x=0,4 olur. SORULAR 1. 2.

22

3. Denklemini sağlayan x değeri 2 ise a kaçtır? 4.

5.

6.

7.

23

8.

9.

10.

11.

12.

13.

24

14.

15.

16.

x=0 için y değeri bulunur. A(0,y)

y=0 için x değeri bulunur. B(x,0)

Bulunan noktalar koordinat düzleminde

işaretlenir.

Bu noktalar bir doğru yardımıyla birleştirilir.

Ör: 6x+2y=0

x=0 için y=0

y=0 için x=0 bulunur. Demek ki doğrumuz

orijinden geçiyor. O

halde

x=1 olsun y= -3 olur.

y= 3 için x= -1 olur.

Sorular 1. y=2x+2 nin grafiğini çiziniz.

25

2. x=3 ün grafiğini çiziniz. 3. y= 3x+6 nın grafiğini çiziniz. 4. 5y=20x+10 un grafiğini çiziniz.

EŞİTSİZLİKLER Taraflar ya da karşılaştırılan nicelikler birbirine eşit değilse yazılan sayısal ifade eşitsizlik olur. Eşitsizlik sembolleri; “ < ” küçük “ > ” büyük “ ≤ ” küçük eşit “ ≥ ” büyük eşit olarak gösterilir. ÖR: 6<8, 6>5, 5≥5, 6≥5, 4≤5 gibi Eşitlikte, karşılaştırılan taraflar veya nicelikler aynı değere sahiptir. Bilinmeyen içeren bir eşitlikte bilinmeyen tek değer alır. Eşitsizlikte ise taraflar veya nicelikler aynı değere sahip değildir. Bilinmeyen içeren bir eşitsizlikte bilinmeyen birden fazla değer alabilir. ÖR: x +5 < 8 ise x<3 tür. a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere; ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 ve ax + b ≥ 0 biçimindeki eşitsizlikler birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerdir. Ör: 2 eksiği 3 veya 3’ten küçük olan sayılar: x - 2 ≤ 3 x - 2 + 2 ≤ 3 + 2 x ≤ 5 Eşitsizliğin çözüm kümesini 5 veya 5’ten küçük sayılar oluşturur. Bu sayıları kümelerdeki ortak özellik yöntemini kullanarak sayı doğrusunda gösterelim. Ç = , x I x ≤ 5, x ∈ IR }

NOT: İçinde sayılar ve “ , ≤, , ≥ ” sembollerinden birini içeren cebirsel ifadeler eşitsizlik olarak adlandırılır. Bu eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

26

Eşitsizliklerin Grafikleri “ y ax + b” veya “ y ≥ ax + b” doğrusal eşitsizliklerin grafikleri çizilirken önce y = ax + b doğrusunun grafiği çizilir. Sonra doğrunun ayırdığı bölgelerden birer sıralı ikili seçilip eşitsizlikte yerine yazılır. Eşitsizliği sağlayan sıralı ikilinin olduğu taraf taranır. Doğrusal eşitsizlikte“≤” veya “≥” sembolleri olduğunda doğru, çözüm kümesine dâhildir ve grafiği düz çizgi ile çizilir. “ y<ax + b” veya “ y>ax + b” doğrusal eşitsizliklerin grafikleri çizilirken aynı yol takip edilir. Ancak doğru, çözüm kümesine dâhil değildir ve grafiği kesik çizgi ile çizilir.

SORULAR 1.

2. 3. 4.

27

5. 6. 7.

8. 9. 10.

28

11. 12. 13.

29

8.2.4. Koordinat Düzleminde Öteleme ve

Yansıma

Koordinatlarından biri (a,b) olan bir şekli, orijin etrafında saat yönünde 90° döndürdüğümüzde (a,b) koordinatı (b,-a), 180° döndürdüğümüzde (a,b) koordinatı (-a,-b) 270° döndürdüğümüzde (a, b) koordinatı (-b, a) olur. 360° döndürdüğümüzde ise(a,b) koordinatı değişmez. Ör: A(-2,4) noktasını saat yönünde, 90° döndürdüğümüzde A’(4,2) olur. 180° döndürdüğümüzde A’’(2,-4) olur. 270° döndürdüğümüzde A’’’(-4,-2) olur. 360° döndürdüğümüzde A’’’’(-2,4) olur. Bir şekle ait tüm (x,y) noktalarının x eksenine göre simetriği (x,−y) noktalarıdır. Bir şekle ait tüm (x,y) noktalarının y eksenine göre simetriği (−x,y) noktalarıdır. Şeklin 180° dönme sonucunda görüntüsü şeklin orijine göre simetriğidir. Öteleme: Doğruya göre öteleme yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar, bütün noktalar paralel ötelenir. Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği yer, görüntüsüdür. Ötelemede şeklin duruşu, biçimi ve boyutları aynı kalır. Ötelemeli Yansıma Bir şeklin, bir doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yansıması aynıdır. Ötelemeli yansımada hiçbir nokta ve yansıma doğrusundan başka hiçbir doğru sabit kalmaz.

Aşağıdaki şekli d doğrusu boyunca üç birim sağa öteleyip yansımasını çizelim.

Aşağıya ise şeklin önce d doğrusuna göre yansımasını çizip daha sonra doğru boyunca üç birim sağa öteleyelim.

SORULAR 1. A(-30 , -24) noktasının x eksenine göre simetriği (yansıması) nedir? 2. A(-3,-2) noktasının 4 birim sağa ötelenmiş hali nedir? 3. A(10,12) noktasının 6 birim aşağıya doğru ötelenmiş hali nedir?

30

4. A(+3,-5) noktasının orijine göre yansıması altındaki görüntüsünün koordinatı nedir? 5. A(+x , +y) noktasının apsis eksenine göre yansıması nedir? 6. A(-6 , +5) noktası 4 birim aşağı ötelenip orijin etrafında saat yönünde 90 derece döndürülürse hangi nokta elde edilir? 7. A(a,b) noktası orijin etrafın da saatin tersi yönünde 270 derece döndürülürse, oluşan noktanın koordinatı nedir? 8. A(+4,-1) noktası 8 birim sağa ötelenip orijin etrafında saat yönünde 180 derece döndürülürse hangi nokta elde edilir? 9. A(a , b) noktasının x eksenine göre simetriği B(3 , 4) noktasıdır. Buna göre a+b kaçtır?

10. A(+x,+y) noktasının ordinat eksenine göre yansıması 4 birim yukarı ötelenirse hangi koordinat elde edilir?

31

8.3.1.Üçgende Kenar Bağıntıları

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

a)Küçük açı karşısında küçük kenar, büyük açı

karşısında büyük kenar bulunur.

s(Â)>s(B)>S(C) ise a>b>c dir.

Not: Bir üçgende; ölçüsü diğerlerinden büyük

olan açının karşısındaki kenarın uzunluğu da

diğer kenarların uzunluğundan büyük, ölçüsü

diğerlerinden küçük olan açının karşısındaki

kenarın uzunluğu da diğer kenarların

uzunluğundan küçüktür.

Dik Üçgen

Bir dik üçgende; birbirini dik olarak kesen kenarlar dik kenar, dik açı karşısındaki

kenar ise hipotenüs olarak adlandırılır. Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın (hipotenüsün) uzunluğu en büyüktür.

b)Üçgen Eşitsizliği

Üçgenin iki kenarının uzunluğunun toplamının,

üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olduğu

bağıntısına “Üçgen Eşitsizliği” denir.

Ia+bI>c>Ia-bI dir.

Ia+cI>b>Ia-cI dir. Ic+bI>a>Ic-bI dir.

c) A açısı 900 den büyük ise

a2>b2+c2 dir. d) A açısı 900 den küçük ise

a2<b2+c2 dir.

32

SORULAR 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

33

8.3.2.Üçgen Çizimi ve Üçgende Yardımcı

Elemanlar

Bir Üçgen Şu Şartlarda Çizilebilir

a) Üç kenar uzunluğu, b) İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü veya c)Bir kenarının uzunluğu ile iki açısının ölçüsü verilen bir üçgen Cetvel, açıölçer ve pergel kullanılarak çizilebilir. Üçgenin Yardımcı Elemanları Yükseklik

Üçgende yükseklik bir köşenin karşısındaki kenara uzaklığı veya köşeden bu kenara inilen dikmedir. Dar açılı ∆(SRP)’nde yükseklikler üçgenin içinde noktadaş, geniş açılı ∆(DEF)’nde ise yüksekliklerin uzantıları üçgenin dışında noktadaştır. Kenarortay

Üçgende kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın ortasına birleştiren doğru parçasıdır.

Kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık

merkezi denir.

G, ağırlık merkezi ise

IAGI=2IGFI ve IBGI=2IGDI ve IGCI=2IGEI dir.

Kenar orta dikme, bir kenarı dik olarak iki eş parçaya böler.

Açıortay Bir üçgenin bir açısını iki eş açıya ayıran ışının, karşı kenarı kestiği nokta ile açının köşesi arasında kalan doğru parçasına, o açıya ait açıortayın uzunluğu denir. Açıortay bir köşedeki açıyı iki eş parçaya ayıran doğru parçasıdır.

ve

IANI2=a.b-p.k

dir.

34

SORULAR 1.Açıölçer ve cetvel kullanarak aşağıda ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz. a) IABI= 8 cm, s(ABC ) = 40° ve s(BAC ) = 54° b) IPSI= 6 cm, s(PSR) = 48° ve s(SPR ) = 47° 2.Cetvel ve pergel kullanarak aşağıda ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz. a) IEFI= 10 cm, IFGI= 8 cm ve IEGI= 6 cm b) IKLI= 5,4 cm, ILMI= 4,6 cm ve IKMI= 4,6 cm 3.Açıölçer, cetvel ve pergel kullanarak aşağıda ölçüleri verilen üçgenleri çiziniz. a) IABI= 6 cm, s(BAC) = 85° ve IBCI= 7 cm

b) IDEI= 8 cm, s(DEF) = 78° ve IDFI= 7 cm

35

8.3.3.Üçgende Eşlik ve Benzerlik

Aralarında bire bir eşleme yapılan iki üçgenin,

karşılıklı kenar uzunlukları eşit ve karşılıklı

açıları eş ise bu iki üçgene, eş üçgenler denir.

Üçgenlerde Eşlik Şartları

Kenar-Açı-Kenar

İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede iki

üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarların

oluşturduğu açılar eş ise bu iki üçgen eştir. Bu

kural kenar açı kenar kuralı olarak adlandırılır.

Açı-Kenar-Açı ve Kenar-Açı-Açı

İki üçgenin karşılıklı birer kenarları ile köşeleri

bu kenarların uç noktaları olan açıları eş ise bu

iki üçgen birbirine eştir. Bu kural açı kenar açı

kuralı olarak adlandırılır.

Kenar-Kenar-Kenar

İki üçgen arasında bire bir eşleme yapıldığında

karşılıklı kenarları birbirine eş ise bu iki üçgen

birbirine eştir. Bu kural kenar-kenar-kenar

kuralı olarak adlandırılır.

Üçgenlerde Benzerlik Özellikleri

Kenar-Kenar-Kenar

Karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olan

üçgenler benzer üçgenlerdir. Bu benzerlik

özelliği kenar-kenar kenar benzerlik özelliği

olarak adlandırılır.

Açı-Açı-Açı

Aralarında bire bir eşleme yapılan iki üçgenin

karşılıklı açıları eş ise bu eşleme bir

benzerliktir. Bu özellik açı-açı-açı benzerlik

özelliği olarak adlandırılır.

Tüm üçgenlerde iç açıların ölçülerinin toplamı

180° dir. Üçgenlerin ikişer açılarının ölçüleri

eşit ise üçüncü açı ölçüleri de eşit olur. O hâlde

bu özellik ikişer açı ölçüsü kullanarak açı-açı

benzerlik özelliği olarak da söylenebilir.

Kenar-Açı-Kenar

İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ve orantılı kenarların arasında kalan açıların ölçüleri eşit ise, bu üçgenler benzerdir. Bu benzerlik kenar-açı-kenar özelliğidir. BENZERLİK ORANI

ABC ile DEF üçgeni benzer ise

Benzerlik oranı

Temel Benzerlik Teoremi

ED//BC ise

Oranına temel

benzerlik teoremi

denir.

Thales Teoremi

AD//BE//CF

36

SORULAR

37

38

13.

14.

15.

39

16.

17.

18.

19.

20.

40

21.

22.

23.

41

8.3.4.Pisagor Bağıntısı - Özel Üçgenler

Pisagor Bağıntısı

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının

kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun

karesine eşittir.

b=Hipotenüs

b2=a2+c2 dir.

Muhteşem Üçlü

Dik açıdan çizilen kenarortay hipotenüsün

yarısı uzunluğundadır.

Öklid Bağıntısı

h2=p.k

b2=k.a c2=p.a

30-60-90 Üçgeni

Bu üçgen eşkenar

üçgenin bir kenarına

indirilen bir dikme

sonucu oluşur.

Özellik:

*** 30 un gördüğü a ise 90 ın gördüğü 2a dır.

*** 30 un gördüğü a ise 60 ın gördüğü a√

tür.

ÖR:

45-45-90 Üçgeni

Bu üçgen karenin en az bir köşegeninin

çizilmesi ile oluşur.

Özellik:

45 in gördüğü a ise 90 ın gördüğü a√

dir.

42

Kenarları Tam Sayı Olan Bazı Dik Üçgenler

SORULAR

43

44

TEST

45

46

ÖZEL ÜÇGENLER, 45-45-90 VE 30-60-90

ÜÇGENİ

1.

47

2.

3.

4.

5.

6.

48

8.3.5.Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar-

Doğrunun Eğimi

Trigonometri

Veya

sinα=

cosα=

tanα=

cotα=

NOT: Bir dik üçgende iki dar açıdan birinin

sinüsü diğerinin cosünüsüne, birinin tanjantı

ise diğerinin kotanjantına eşittir.

secα=

=

cosecα=

=

tanα=

cotα=

NOT: Bir açının tanjantı ile kotanjantının

çarpımı 1e eşittir.

tanα.cotα=1

NOT: sin2α+cos2 α=1

30-60-90 ÜÇGENİNİN TRİGONOMETRİK

ORANLARI

45-45-90 ÜÇGENİNİN TRİGONOMETRİK

ORANLARI

49

DOĞRUNUN EĞİMİ

Şekildeki dik üçgende

*AB+ nın *AC+ na göre

eğimi dikey

uzunluğunun (|BC|)

yatay mesafeye (|AC|)

oranlanması ile

bulunur. Bu oran tanA

değerine eşittir.

Eğim=tan A

Dikey uzunluğun, yatay uzunluğa oranı “eğim”

olarak adlandırılır. Eğim “m” harfi ile gösterilir.

Eğim = m =

Doğrunun Denkleminin Eğimi

y = ax + b biçimindeki bir doğru denkleminde

x’ in kat sayısı doğrunun eğimini verir.

NOT: y = ax + b ve y = cx + d doğrusal denklem

sisteminin çözüm kümesi varsa bu, doğruların

grafiklerinin kesim noktasının koordinatlarıdır.

SORULAR

1.

2.

3.

4.

5.

6.

50

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

51

15.

16.

17.

52

8.4.1. Üçgen Prizma

Yandaki prizmada, eş ve paralel üçgensel bölge

olan iki taban renklendirilmiştir. Bu iki taban

arasındaki uzaklık, prizmanın yüksekliğidir. Üç

dikdörtgensel bölgenin birleştirilmesiyle elde

edilen yüzey ise yanal yüzeydir.

Üçgen prizmanın temel elemanları taban, yan

yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.

***Üçgen prizmanın tabanlarının karşılıklı

köşelerini birleştiren ayrıtlar tabanlara dik ise

dik prizma, eğik ise eğik prizma olarak

adlandırılır. Buna göre ilk prizma dik, ikincisi

ise eğik prizmadır.

***Üçgen prizmanın 6 köşesi, 5 yüzeyi ve 9 ayrıtı vardır. NOT: Tabanların merkezinden geçen doğru, prizmanın eksenidir. ÖR: Eşkenar üçgen dik prizmanın tabanlarının merkezinden geçen doğru “eksen” dir. Prizmamızı bu eksen etrafında iki kez 60º lik açı ile döndürelim.

Eşkenar üçgen dik prizma ekseni etrafında 120º lik açı ile döndürüldüğünde yönü değişmediğinden dönme simetrisine sahiptir. Üçgen Prizmanın Yüzey Alanı

YA(Yanal Alan) = c.h + b.h + a.h = h(c + b + a) Toplam Alan = 2TA + YA ’dır. Üçgen Prizmanın Hacmi

Hacim=V= =Taban Alanı x Yükseklik =TAxh

53

SORULAR 1.

2.

3.

4.

54

5.

6.

7.

8.

9.

55

10.

11.

12.

13.

56

8.4.2. Dikdörtgenler Prizması - Kare

Prizması – Küp

Dikdörtgenler Prizması

TA Taban alan

YA Yanal alan

TA = a.b

YA = 2a.h + 2b.h = 2h(a+b)

Yüzey alanı = 2TA + YA

= 2a.b + 2h(a+b) dir.

Hacim = Taban Alanı . Yükseklik

=a.b.h

Küp

Her yüzeyi eş karelerden

oluşan 3 boyutlu cisme küp

denir.

TA = a2

YA = 4a.a = 4a2

Yüzey alanı = 2TA + YA= 2a2 + 4a2

= 6a2 dir.

Hacim=a.a.a=a3

Kare Prizma

Tabanları kare yan yüzeyi

dikdörtgen olan prizmaya

kare prizma denir.

TA = a2

YA = 4a.h

Yüzey alanı = 2TA + YA

= 2a2 + 4a.h

= 2a(a+2h) dir.

Hacim=a.a.h=a2.h

57

SORULAR

1.

2.

3.

4.

58

5.

6.

7.

8.

59

9.

10.

11.

60

8.4.3. Piramitler

Piramidin temel elemanları tepe noktası,

tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.

Piramitte yükseklik tepe noktasının taban

düzlemine olan uzaklığıdır.

Piramidin tepe noktasını taban merkezine

(ağırlık merkezi) birleştiren doğru parçası

tabana dik ise dik piramit, eğik ise eğik

piramit olarak adlandırılır.

Her iki piramitte de ayrıtlar kırmızı ile

işaretlenmiştir. I. piramidin tabanındaki

çokgensel bölge, karesel bölge olduğu için

“kare piramit”; II. piramidin tabanındaki

çokgensel bölge üçgensel bölge olduğu için

“üçgen piramit” olarak isimlendirilir.

Piramit’in Açınımı

Kare Piramit

Yüzey Alanı

Piramidin yüzey alanı, taban alanı ile yanal

alanının toplamıdır.

Hacim

Taban alanları ve yükseklikleri eşit olan tüm

dik piramit ve prizmalarda;

Dik piramidin hacmi = (Taban Alanı.

Yükseklik)/3 tür.

Not: Piramidin hacmi aynı tabana ve

yüksekliğe eşit prizmanın hacminin 3 te 1 ine

eşit olduğunu fark edin.

SORULAR

1.

Şekildeki kare

dik piramidin

taban ayrıtı 16

cm ise, IOEI

uzunluğu kaç

cm dir?

61

2. Şekildeki kare

dik piramidin

taban ayrıtı 16

cm ve cisim

yüksekliği 6 cm

ise, yan yüz

yüksekliği kaç cm

dir?

3.

Şekildeki kare dik piramidin hacmi kaç cm3

tür?

4.

Şekildeki kare

dik piramidin

yanal alanı kaç

cm karedir?

5.

Şekildeki kare

dik piramidin

taban ayrıtı 6

cm dir.

A(TBC)=15 cm2

ise, Kare dik

piramidin

hacmi kaç cm

küptür?

62

NOT:

KESİK PİRAMİT: Bir piramit, tabana paralel bir

düzlem ile kesildiğinde, taban düzlemi ile kesit

yüzeyi arasında kalan kısmına kesik kare

piramit denir.

KESİK KARE PİRAMİTTE BENZERLİK:

Bir piramit, tabana paralel bir düzlem ile

kesilirse:

1) Kesit çokgeni tabana benzerdir. EFGH ile

ABCD kareleri benzerdir.

2) Kesit alanının taban alanına oranı, bunların

tepe noktasına olan uzaklıklarının, karelerinin

oranına eşittir. Alanlar oranı benzerlik oranının

karesine eşittir.

3)(T,EFGH) ile (T,ABCD) piramitlerinin

hacimleri oranı benzerlik oranının küpüne

eşittir.

Kare dik piramidin bir yatay düzlem ile kesişimi bir karedir.

k|DA|

|HE|

|CD|

|GH|

|BC|

|FG|

|AB|

|EF|)1

22222 )()()()()(

)()2 k

DA

HE

CD

GH

BC

FG

AB

EF

ABCDA

EFGHA

222 )()1

()1

()(

)()2

a

c

y

y

h

h

ABCDA

EFGHA

33333 )()()()(),(

),()3 k

DA

HE

CD

GH

BC

FG

AB

EF

ABCDTV

EFGHTV

333 )()1

()1

(),(

),()3

a

c

y

y

h

h

ABCDTV

EFGHTV

63

ÖR:

(T,EFGH)

piramidi

ile

(T,ABCD)

piramidinin hacimleri arasındaki benzerlik

oranı 216/343 dür. V(T,EFGH)=432 cm3 ise,

V(T,ABCD)=?

ÖR:

(T,EFGH)

piramidi ile

(T,ABCD)

piramidinin

hacimleri

arasındaki

benzerlik

oranı kaçtır?

NOT:

Kare DİK PRİZMA tabana dik bir düzlem ile

kenarların orta noktalarından kesilirse arakesit

yüzeyi bir ikiz kenar üçgendir. Kare dik

prizmanın bu şekilde 2 tane simetri düzlemi

vardır.

NOT:

Kare dik piramidin en küçük dönme simetri

açısını bulmak için Tabanına bakmamız

gerekir. Tabanı düzgün dörtgen yani karedir.

Karenin en küçük dönme simetri açısı 360

derece bölü 4 eşit kenar oda eşittir 60

derecedir. Karenin en küçük dönme açısı 60

derecedir. Kare dik prizma 60-120-180-240-

300-360 derecede kendisi gibi olur. Kare dik

prizmanın en küçük dönme simetri açısı 60-

120-180-240-300 derece şeklindedir.

64

8.4.4. Koni

KONİ

Bir çemberin bütün noktalarının çemberin

dışındaki bir nokta ile birleştirilmesinden elde

edilen cisme koni denir. Kısaca Koni, tabanı

daire olan piramittir. Koni, dik koni ve eğik

koni olmak üzere iki bölümde incelenir.

Cisim

yüksekliği

tabana dik

olan koniye

dik koni

denir.

Cisim

yüksekliği

tabana dik

olmayan

koniye eğik

koni denir.

DİK KONİ: Bir dik üçgenin, dik kenarlarından

biri etrafında 360 derece döndürülmesi ile

oluşan cisme dik koni denir.

Tabanı daire ve tepe noktasından

indirilen dikme taban merkezinden geçen

konilere dik koni denir.

Tepe noktasını tabanın kenarlarına

birleştiren doğru parçalarına koninin ana

doğrusu ( a veya L ) denir.

Tepe noktasını tabanın orta

noktasına birleştiren dikmenin

uzunluğu, koninin yüksekliğidir.(h)

Koninin taban yüzeyi bir

daire, yanal yüzeyi ise bir daire parçasıdır.

DİK KONİNİN TABAN ÇEVRESİ:

Koninin tabanı bir dairedir. Taban çevresi

dairenin çevresi gibi hesaplanır.

DİK KONİNİN TABAN ALANI:

Koninin tabanı bir dairedir. Taban alanı

dairenin alanı gibi hesaplanır.

DİK KONİNİN YANAL ALANI:

Koninin yanal yüzü bir

daire dilimidir. Taban

çevresi ile yan yüz

yüksekliği çarpılır.

Çarpım 2 ye bölünür.

Yan yüz yüksekliği ana

doğrudur.

Cisim yüksekliği (h) ile gösterilir.

Taban yarıçapı (r)

ile gösterilir.

Ana doğru (a veya l) ile

gösterilir.

65

Olup yerine yazılırsa,

DİK KONİNİN HACMİ:

Dik Koninin hacmi, taban alanı ile yükseklik

çarpılır. Çarpım 3’e bölünür. Dik Koninin

hacmi, yarıçapı ve yüksekliği eşit olan Dik

silindirin hacminin 1/3’üne eşittir. Dik silindirin

hacmi, yarıçapı ve yüksekliği eşit olan Dik

Koninin hacminin 3 katına eşittir.

KESİK KONİ:

Bir koni

piramidin

tabanına

paralel bir

düzlemle

kesilmesinden oluşan altta kalan kısmına kesik

koni piramit denir.

KESİK KONİDE BENZERLİK ORANLARI:

1) Benzer iki koninin alanlarının oranı,

benzerlik oranının karesine eşittir.

2) Benzer iki koninin hacimlerinin oranı,

benzerlik oranının küpüne eşittir.

SORULAR

1.

Yanda açık şekli verilen koninin Merkez açısı 90 derece, ana doğrusu 16 cm dir. Koninin

taban alanı (Pi) cinsinden kaç cm karedir?

222 )1

()1

()1

2(

2

1)1

l

l

h

h

r

r

TA

TA

333 )1

()1

()1

2(

2

1)2

l

l

h

h

r

r

V

V

kl

l

h

h

r

r

11

1

2)3

66

2. Yanda açık sekli verilen

koninin yüzey alanı kaç

cm karedir?

( =3 alınız. )

3. Yandaki

kesik

koninin

yüzey

alanı kaç

cm

karedir?

4.

Yandaki kesik

koninin hacmi kaç

cm küptür?

5.

Şekildeki koninin

alt taban yarı

çapı 16 cm cisim

yüksekliği 12 cm

dir. Koni tabana

paralel bir

düzlem ile ilk 9

cm de kesiliyor.

Arakesit

düzleminin PD =r yarıçapı kaç cm dir? (π=3)

6.

Yanda açınımı

verilen dik

koninin yanal

alanının taban

alanına oranını

bulunuz.

67

7.

8. Aşağıdaki cismin yüzey alanını bulunuz.

9.

10.

68

8.4.5. Küre

KÜRE

Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta

bulunan noktaların birleşim kümesine küre

denir.

Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre

yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.

Bir yarım dairenin çapı etrafında 3600

döndürülmesi ile oluşan cisme küre denir.

Kürenin bir düzlem ile kesişimi (arakesiti) bir

dairedir.

Kürenin merkezinden geçen düzlem ile

kesişiminden oluşan daireye kürenin en büyük

dairesi, bu dairenin çemberine de kürenin en

büyük çemberi denir.

Bir Daire AB çapı

etrafında 180

derece

döndürülürse bir

küre oluşur.

Yarım Daire AB çapı

etrafında 360 derece

döndürülürse bir

küre oluşur.

KÜRENİN YÜZEY ALANI:

Yüzey alanı (Bütün alan) ,Kürenin büyük

dairesinin alanın 4 katına eşittir.

KÜRENİN HACMİ:

Çapı silindirin yüksekliğine eşit olan Küre,

(silindirin çapı ile yüksekliği eşittir.) Su dolu bir

silindirin içine atılırsa, taşırdığı suyun hacmi

silindirin hacminin 2/3’üne eşit olur.

Kürenin

yarıçapı

69

KÜREDE BENZERLİK:

İki küre benzer ise;

1) Alanlar oranı benzerlik oranının

(Yarıçapların oranının) karesine eşittir.

2) Hacimler oranı benzerlik oranının

(Yarıçapların oranının) küpüne eşittir.

KÜRE KAPAĞININ (KÜRE PARÇASININ) YÜZEY

ALANI (TÜM ALAN):

Küre kapağının kabuk (Üst yüz) alanı ile Küre

kapağının taban dairesinin alanı toplamına

Küre parçasının alanı denir.

SORULAR

1.

2.

2)2

1(

2

1)1

r

r

A

A

3)2

1(

2

1)2

r

r

V

V

70

3.

4.

5.

6.

7.

71

8.

9. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden

uzaklıkta bir düzlemde kesiliyor.

Elde edilen kesitin alanı kaç dir?

10. Bir kürenin, merkezinden 4 cm uzaklıktaki

kesitlerin çevresi olduğuna göre bu kürenin

yarıçapı kaç cm dir?

72

8.4.6. Çok Yüzlüler ve Yapıların

Görünümleri – Perspektif

Birçok yüzlünün yüzleri birer çokgensel

bölgedir. Ayrıt ve köşeleri ise bu çokgensel

bölgelerin kenar ve köşeleridir.

Birçok yüzlünün yüzeyi, yüzleri ile ayrıtlarının

birleşiminden oluşur. Çok yüzlüler yüz

sayılarına göre “dört yüzlü”, “beş yüzlü”

şeklinde isimlendirilir.

Bütün yüzleri ve bütün ayrıtları eş olan çok

yüzlülere “düzgün çok yüzlü” denir.

EULER FORMÜLÜ

Çok yüzlülerde K + Y - A = 2 bağıntısı vardır. Bu

bağıntı, 18. yüzyılda yaşamış olan matematikçi

Euler (Öyler) tarafından bulunduğu için onun

adıyla anılır.

ÖR:

Herhangi bir yüzü iç bükey çokgen olan çok

yüzlüler, iç bükey çok yüzlülerdir.

Platonik Cisimler

Tüm yüzleri ve tüm ayrıtları eş olan çok

yüzlülere “düzgün çok yüzlü” denir. Yukarıdaki

çok yüzlüler sırasıyla düzgün dört yüzlü,

düzgün altı yüzlü, düzgün sekiz yüzlü, düzgün

on iki yüzlü ve düzgün yirmi yüzlüdür. Bu

cisimler “platonic (platonik) cisimler” olarak

adlandırılır.

Çok Yüzlü Cisimlerin Kodlarının Yazılması

Kodlar yazılırken Z,D,L,1,2,3 kodlarına

bakılarak yazılır. Çok yüzlüler kodlanırken 2,3,4

tane kod yan yana gelebilir.

73

ÖR:

ÖR:

Kodu LZL olan yapılar oluşturup görünümlerini

izometrik kâğıda çizelim:

PERSPEKTİF

Prizma modelinin ön yüzü, resmin (çizimin)

düzlemine paralel olarak yapılıyorsa bu

perspektif çizim tipine “bir nokta perspektifi”

denir.

Kaybolunan nokta, prizmaya sağdan

bakıldığında ufuk çizgisi üzerinde ve prizmanın

sağında; soldan bakıldığında ise solundadır. Bu

durum, prizmaya alttan veya üstten

bakıldığında değişmez.

Prizma modelinin ön yüzü (sağ ve sol yüzlerin

kesiştiği dikey ayrıt) çizimin düzlemine paralel

değilse perspektif çiziminde iki kaybolunan

nokta vardır. Bu tekniğe “iki nokta

perspektifi” adı verilir.

SORULAR

1. Aşağıda verilen cisimlerden hangisi dış

bükeydir?

74

2.

3.

4.

5.

75

8.5.1. Kombinasyon – Permütasyon

Permütasyon

n tane farklı elemanın bir sıra üzerinde r li (r ≤

n) sıralanışlarından her birine n nin r li

permütasyonu denir.

n elemanlı A kümesinin r li permütasyonlarının

sayısı;

P(n,r)=

Not: r=n ise; n farklı elemanın n li permütasyonlarının sayısı P(n,n)=n! dir. Yani n farklı elemanın doğrusal bir sıra üzerindeki farklı sıralanışlarının sayısı n! tanedir. Tekrarlı Permütasyon

n tane nesnenin n1 tanesi bir türden, n2 tanesi

ikinci türden, ...nr tanesi r. türden ve

n1+n2+...+nr=n ise n nesnenin n li

permütasyonlarının sayısı;

n tane eleman içerisinden; n1 tanesi 1. çeşit ve özdeş, n2 tanesi 2. çeşit ve özdeş, n3 tanesi 3. çeşit ve özdeş, ......................................... ......................................... nr tanesi r. çeşit ve özdeş olmak üzere; bu n eleman bir sıra üzerinde

farklı sıralanabilir.

KOMBİNASYON n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinden her birine n nin r li kombinasyonu denir.

C(n,r) veya ( )şeklinde gösterilir.

( n , r ∈ N, n ≥ r )

C(n,r)=( ) =

Örnek ,ali, burak, cem, deniz, esra - sağlık elemanlarından oluşan ekipten 3 kişilik ilk yardım ekibi kaç farklı şekilde kurulabilir? Çözüm Ekipteki elemanların yer değiştirmesi farklı bir ekip meydana getirmiyor. Oluşturulabilen tüm farklı ekipler aşağıda da görüldüğü gibi 10 tanedir. abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde 3 kişilik 10 tane farklı ekip Eleman sayısı 5 olan bir kümenin elemanlarından 3 tanesi seçilerek oluşturulabilecek farklı Gurupların sayısını arıyoruz. 5 elemanın 3 lü sıralanışları sayısının P(5,3) tane olduğunu biliyoruz. Her sıralanışta 3 eleman 3! kadar kendi arasında yer değiştirmektedir, bu da farklı bir gurup oluşturmamaktadır. O halde tüm durum sayısı olan P(5,3) den farklı durum meydana gelmeyen 3! tane gurup sayısı atılmalıdır. Çarpım durumundaki ifadelerden istenmeyen durumun atılması bölme ile yapıldığından; P(5,3)/3! tane farklı gurup oluşturulabilir. Genelleme n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinden her birini, n elemanın r li gurup sayısı olarak düşünebileceğimizden;

şeklinde hesaplanır. Not Permütasyonda sıralanışın önemi vardır fakat kombinasyonda sıralanışın önemi yoktur. Seçim yapma ve gruplama işlemleri kombinasyonla, Sıralama ve dizme işlemleri permütasyonla hesaplanır.

76

ÖRNEKLER 1. 5 kişi bir sıra halinde sıralanacaktır. a) Bu 5 kişiden belli iki kişi bir arada olacaksa kaç farklı şekilde sıralanırlar? A,B,C,D,E bir sıra halinde dizilecek kişiler ve belli iki kişi D ile E olsun a) A,B,C,D,E ; D ile E sanki tek kişilermiş gibi düşünülürse, birbirlerinden ayrılmamış olurlar. 4! . 2! = 48 farklı sıralanırlar. Dikkat: 4 kişiymiş gibi sıralandı. D ile E kendi arasında yer değiştirebilir. b) Belli iki kişi bir arada olmayacaksa kaç farklı şekilde sıralanırlar? b) D ile E yan yana gelmeyecek; Tüm durum sayısı = 5!=120 İstenmeyen durum sayısı = 4!.2!=48 İstenen durum sayısı = 120 – 48 =72 5 kişi 120 farklı şekilde sıralanabilir, bunlardan 48 tanesinde belli iki kişi yan yana gelir ve 72 tanesinde yan yana gelmez. 2. 5 erkek, 5 kız öğrenci 5 erli iki sıra halinde dizileceklerdir, a) kaç farklı şekilde dizilebilirler?

b) Erkekler aynı sırada olmak koşulu ile kaç farklı dizilebilir?

5! . 5! + 5! . 5! = 28800 farklı sıralanır. (E ler arkada K lar önde E ler önde K lar arkada) c)Sıraların başında ve sonunda belli 4 erkek, iki sıranın da tam ortasında belli iki kız olacak şekilde kaç farklı sıralanırlar?

4! . 2! . 4! =1152 farklı sıralanır. Kenarlarda bulunan erkekler kendi aralarında yer değiştirebilir. Ortadaki kızlar kendi aralarında yer değiştirebilir. Geri kalan 1 erkek ve 3 kız boşluklara rasgele dizilir. d)Belli bir kız ile erkek yan yana olacak şekilde kaç farklı dizilebilirler? Ayrılmayacak iki öğrenci K ve E olsun; K ve E bir kişiymiş gibi düşünülecek fakat farklı iki sıra olduğu için önce ön sırada olacaklarını dikkate alarak yanlarında olan 3 kişilik boşluğa 8 kişiden 3 kişi seçilerek toplam 4 kişi varmış gibi sıralanacaklar. K ile E nin kendi aralarında yer değiştirebilecekleri, geriye kalan 5 kişi de arkada sıralanacak. Aynı işlemlerin arka sıradan başlanarak yapılabileceği unutulmamalıdır.

( ). .4!.2!.5!.2 farklı sıralanır.

e) 1 erkek, 1 kız, 1 erkek,1 kız, ... şekilde kaç farklı dizilirler? 5!.5!.2 farklı dizilirler. 1 erkek, 1 kız,... şeklinde dizilmeleri için önce erkekler uygun olarak (arada bir boşluk bırakacak şekilde) otururlar, sonra erkeklerin arasındaki boşluklara kızlar sıralanır. İlk başlangıç kızlarla olacağı unutulmamalıdır. 3. 4 öğretmen ve 3 öğrencinin bulunduğu bir grup, bir sıraya en az iki öğrenci yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı dizilebilirler? 4!.3!=144 farklı sıralanırlar. Önce öğretmenler sıralandıktan sonra aralarına öğrenciler sıralanır. 4. 5 telefon hattı bulunan iş yerinde bir sekreter her aramasını üst üste aynı hattan yapmamak koşuluyla 5 aramayı ard arda kaç farklı şekilde yapılabilir?

5.4.4.4.4 =5.44=1280 farklı şekilde.

77

1. aramada 5 hat kullanabilir. 2. aramada 1. aramada kullandığı hattı kullanamaz.

3. aramada 2. aramada kullandığı hat hariç diğer hatların hepsini kullanır. 4. aramada 3. aramada kullandığı hat hariç diğer hatların hepsini kullanır. 5. aramada 4. aramada kullandığı hat hariç diğer hatların hepsini kullanır. 5. 22233330 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek sekiz basamaklı birbirinden farklı sayılar yazılacaktır. a) Kaç sayı yazılabilir? a) Sıfırın da başa gelebileceği tüm durumdan, sadece sıfırın başta bulunduğu sayılar atılır. Tüm durum – istenmeyen durum

=245 tane b) Kaç çift sayı yazılabilir? 0 veya 2 ile bitmeli; 0 ile bitenlerin sayısı + 2 ile bitenlerin sayısı (x 0) (2 2) veya (3 2)

=125 tane 6.

Özdeş

karelerden oluşan yukarıdaki şekil bir iş merkezinin koridorlarını göstermektedir. G kapısından girip, Ç kapısından çıkmak isteyen birinin yalnız batı ve kuzey istikametinde yürümek koşuluyla kaç farklı seçeneği vardır?

Yalnız batı ve kuzey istikametinde yürüyeceği için, hangi yolu kullanırsa kullansın 5 birim batı, 3 birim kuzey istika-metinde yürümesi gerekir.

Şekil üzerinde BBKBKKBB biçiminde örnek bir yol verilmiştir. Diğer yollar da 5 tane B ile 3 tane G harfinin yerlerinin değiştirilebileceği kadar olacağından;

7. 15 kişiden iki oyuncu ile kaptanın kesinlikle takımda olacağı belli ise kaç farklı futbol takımı kurulabilir? 15 kişiden 8 kişi seçilmelidir, çünkü 3 kişi seçilidir.

( )=495farklı futbol takımı kurulabilir.

8. Bir kurstaki erkek öğrencilerin sayısı kız öğrenci sayısının 3 katıdır. Kızlardan oluşturulabilecek ikişerli gurupların sayısı erkek öğrencilerin sayısına eşitse, bu kursta kaç öğrenci vardır? Kızlar x kişi ise erkekler 3x kişidir.

( )=3x

⇒ 6x=x2-x ⇒ x=7 dir. O halde toplam öğrenci sayısı 4x=28 kişidir. 9. 6 basketçiden 3 kişi ve 4 voleybolcudan 2 kişi seçilip hatıra fotoğrafı çektirmek istiyorlar. 3 basketçi arkada ve 2 voleybolcu önde olmak üzere kaç farklı poz verebilirler?

78

10. 4 doktor ve 3 hemşireden oluşan hastane personelinden 4 kişilik sağlık ekibi kurulacaktır. 4D, 3H den 4 kişilik ekip kurulacak; a) Kaç farklı ekip oluşturulabilir? 7 kişiden 4 kişi seçilecek:

( )=35

b) 2 doktor ve 2 hemşireden oluşan kaç farklı ekip oluşturulabilir? (4D den 2D) ve (3H den 2H) seçilecek:

( ). (

)=18

c) En az biri hemşire olan kaç farklı ekip oluşturulabilir? 1H,3D veya 2H,2D veya 3H,1D seçimi:

=34 ekip 2. yol Tüm durum – İstenmeyen durum Tüm durum sayısı= 35 farklı ekip

İstenmeyen durum=( ). (

)=1

35-1=34 11.

Şekilde verilen 5 ışın kaç tane açı belirtir? 1 açı için 2 ışın gerekir. 5 ışın C(5,2)=10 farklı açı belirtir.

12. Düzlemde bir noktadan geçen 6 doğru ile birbirine paralel 4 doğru şekildeki gibi verilmiştir. Şekilde kaç tane yamuk vardır?

13.

Uzayda paralel iki düzlem içinde şekildeki gibi verilen 11 nokta ile taban

köşeleri E düzleminde ve tepe noktası F düzleminde olan kaç farklı üçgen piramit çizilebilir? F düzleminde C(7,3)-C(4,3)-C(3,3)=30 tane farklı üçgen ve E düzleminde C(4,1)=4 farklı nokta birlikte seçilirse 30.4=120 tane piramit elde edilir. SORULAR 1.

79

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

80

11.

12.

13.

14.

15.

81

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

82

8.5.2. Olasılık - Olay Çeşitleri

Bağımsız Olay A ve B aynı örnek uzayına ait olaylar olsun. Bu olaylardan birinin elde edilmesi diğerinin elde edilmesini etkilemiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara birbirlerine bağımlıdır denir. Birbirine bağımlı olmayan olaylar bağımsız olaylardır. A ve B olayları bağımsız iki olay ise O(A ve B) = O(A).O(B) dir. Bağımlı Olay İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesi birbirine bağlıysa yani bir olayın sonucu diğer olayın sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara “bağımlı olaylar” denir. Bağımlı ise (B, A’ya bağlı) O(A ve B)=O(A).O(A’ya bağlı B) SORULAR 1. İçerisinde 4 mavi 5 kırmızı top bulunan bir

torbadan, çekilen bir top yerine konulmaksızın

ard arda 2 top çekiliyor. Çekilen iki topun da

mavi olma olasılığı nedir?

2. Birinci kutuda 6 kırmızı 6 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 2 mavi top vardır. Rasgele seçilen bir kutudan çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?

3. Birinci kutuda 2 kırmızı 4 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 5 mavi top vardır. Birinci kutudan bir top çekiliyor ve ikinci kutuya atılıyor. Ardından ikinci kutudan çekilecek topun mavi olma olasılığı nedir? 4. Kusursuz bir para 3 kez atılmıştır. X, Y ve Z olayları sırasıyla ilk iki atışın yazı gelme, üçüncü atışın tura gelme ve üç atışta iki tura gelme olayları iken, a. X ve Y olaylarının, b. Y ve Z olaylarının, bağımsız olaylar olup olmadığını yazınız. 5. Bir zar ile bir para aynı anda atılıyor. Paranın tura, zarın 3'ten büyük gelme olasılığı nedir?

83

6.

7.

8.

9.

10. 6 kız ve 4 erkek öğrenci arasından 3 öğrenci seçiliyor. Seçilenlerden en az birinin erkek olma olasılığı kaçtır?

84

11. 3 yüzü sarı, 2 yüzü mor, 1 yüzü lacivert olan bir zar ard arda 2 kez atılıyor. İkisinin de üst yüzüne sarı gelme olasılığı nedir? 12. 4 pozitif,5 negatif sayı arasından rastgele üç sayı seçiliyor. Bu sayıların çarpımının negatif bir sayı olma olasılığı nedir? 13. Ali’nin bir hedefi vurma olasılığı 2/3 Veli’nin aynı hedefi vurma olasılığı 1/4 tür. İkisi birer atış yapıyorlar. En az birinin hedefi vurma olasılığı kaçtır?

85

8.5.3. İstatiksel Temsil Biçimleri - Standart

Sapma

Aritmetik ortalama, ortanca (medyan), tepe değeri (mod), “merkezî eğilim”; açıklık, çeyrekler açıklığı ve standart sapma ise “merkezî yayılma” ölçüleridir. Histogram ***Belli bir veri kümesinin elemanlarının gruplara ayrılarak sütunlarla gösterildiği grafiğe “histogram” denir.

Histogram genel olarak; I) Verilerin merkezinin yaklaşık olarak nerede olduğunu, II) Verilerin yayılımını, III) Verilerin dağılımının şeklini gösterir. Açıklık Açıklık = En Büyük Değer – En Küçük Değer Veriler sıralandıktan ve ortanca değeri

bulunduktan sonra alt ve üst çeyrekler

bulunur.

Alt çeyrek, ortancaya göre verilerin alt

yarısının ortanca değeridir.

Üst çeyrek, ortancaya göre verilerin üst

yarısının ortanca değeridir.

Çeyrekler açıklığı = üst çeyrek – alt çeyrek

şeklinde hesaplanır.

Çeyrekler açıklığı, uçlarda yer alan verilerden

daha az etkilendiği için verilerin yayılması

hakkında açıklıktan daha iyi bilgi verir.

Grup Genişliği

oranına grup genişliği denir.

NOT: Bu oran tam sayı değilse çıkan sayıdan büyük ve bu sayıya en yakın tam sayı, grup genişliği olarak alınır. NOT: Gruplar oluşturulurken grup açıklıklarının verilere uygun düzenlenmesi için ilk grubun alt sınırı veya son grubun üst sınırı verilerden farklı seçilebilir. ARİTMETİK ORTALAMA (A.O.)

Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür.

NOT: Veri grubunda çok yüksek ve çok düşük

değerlerin olması aritmetik ortalamayı etkiler.

Bu tür değerler olmadığında aritmetik

ortalama, var olan durumu ortaya koymada

veya gelecek ile ilgili tahmin yapmada

kullanışlı bir ortalama çeşididir. Veri grubunda

çok yüksek ve çok düşük değerlerin olması

durumunda ortanca, aritmetik ortalamadan

daha sağlıklı bilgi verir. Bunun nedeni sözü

edilen değerlerin ortancayı etkilemesidir.

ORTANCA(MEDYAN)

Bir veri grubu sıralandığında ortadaki değere ortanca adı verilir. MOD(TEPE DEĞER)

Bir veri grubunda en çok tekrar eden değere

tepe değeri adı verilir.

STANDART SAPMA Bir veri grubunun standart sapmasını bulmak için aşağıdaki aşamalar uygulanır: •Veri grubunun aritmetik ortalaması bulunur.

86

•Her bir verinin aritmetik ortalama ile farkının karelerinin toplamı bulunur. •Bulunan toplam, veri sayısının bir eksiğine bölünerek bölümün karekökü alınır. •Bulunan sonuç veri grubunun standart sapmasını belirler. a1, a2, a3, ..., an veri grubunun aritmetik ortalaması aort olsun. Bu veri grubunun standart sapması aşağıdaki formül ile hesaplanır. Standart Sapma =

√

*Tüm veri değerleri ortalamaya yakın ise standart sapma sıfıra yakın bir değerdir. *Veri değerleri ortalama etrafında ne kadar çok yayılıma sahip ise standart sapma da o kadar büyük olur. *Eğer standart sapma sıfır ise bütün veri değerleri birbirine eşittir. SORULAR 1. 5, 6, 12, 18, 6, 19, 15 sayılarının merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini bulunuz.

2. Bir lokantaya 24 günde gelen günlük müşteri sayısı aşağıdaki gibidir. 26, 24, 18, 35, 40, 16, 19, 37, 12, 11, 19, 11, 23, 27, 21, 30, 12, 12, 11, 49, 48, 40, 26, 24, Bu verilere göre lokantaya 24 günde gelen günlük müşteri sayısını gösteren histogramı çiziniz.

87

8.5.4. Olasılık Çeşitleri

OLASILIK ÇEŞİTLERİ Deneysel olasılık: Bir olasılık deneyi sonunda hesaplanan olasılığa denir. Bu olasılıkta deneyin yapıldığı problemin içinde geçer, problemi okuduğunuzda bir şeyler yapıldığını anlar, verileri görürsünüz. NOT: Deneylere bağlı olarak yapılan ölçme ve işlem sonucunda elde edilen olasılıklar deneysel olasılıklardır. Örnek: Hileli bir zar 20 kez atıldığında 3 kez 1, 2 kez 2, 3 kez 3, 2 kez 4, 3 kez 5 ve 7 kez 6 geliyor. Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığı kaçtır? Cevap: 3/20 Teorik olasılık: Bir olasılık deneyinden teorik olarak beklenen olasılığa denir. Genelde şimdiye kadar karşılaştığımız problem tipleridir. İstenen durumların sayısını tespit edip tüm durumlara böleriz. Örnek: Bir zar atıldığında 3 gelme olasılığı kaçtır? Cevap: 1/6 NOT: Teorik olasılığın hesaplanması için her bir çıktının eş olumlu olması gerekir. Eğer deneydeki her bir çıktı eş olasılıklı değilse deneysel olasılıktan yararlanılır. Deneysel olasılıklarda yapılan atış sayısı arttıkça elde edilen olasılıklar teorik olasılığa yaklaşır. Öznel olasılık: Kişilerin kendi düşüncelerine göre karar verdikleri olasılıklara denir. Bu tip problemlerde kişilerin ismi ve tahmini yer alır. NOT: Ölçme ve işlem yapmadan ifade edilen olasılıklar, öznel olasılıklardır. Örnek: 25 yumurtadan bazıları çift sarılıdır. Ali'ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 10/25=0,4'tür. Ayşe'ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 15/25=0,6'dır.

88